integrales 1

Integrales

José María Martínez Mediano

1

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

OBSERVACIONES

1. Las primeras integrales que aparecen se han obtenido del libro de Matemáticas I (1º de Bachillerato) McGraw-Hill, Madrid 2007. 2. Otros problemas se han obtenido de las Pruebas de Selectividad.

Algunas integrales con solución.

1. cxdxx 32

3

44

2. cx

dxx 3

22

32

3. cxx

dxx 23

2)1(2

32

4. cxdx 4)4(

5. cxxxdxxx 42

3

3

4)434( 232

6. cxx

dxx 52

)52(4

3

7. cxx

xdxxx 2)13(

232

8. cxxdxx

5

4

10

3

5

43 2

9. cxxx

dxxx

3

1

3

1

93

12 232

10. cxxxdxxx 2

1

2

1

6

1)12(

2

1 232

11. cxxxdxxxx 2342 633)434(3

12. cxxdxxx 342

3

5

4

3)53(

13. dxxx 2)53( cxxx 234

2

2510

4

9

14. cx

dxx

11

2

15. cx

dxx

23

12

16. cx

dxx

34

13

17. cx

dxx

45

14

18. cxdxxx 2/5

5

2

19. cxdxx

x 2/12

20. cxdxx

x 2/3

3

2

21. cxdxx

ln33

22. cxdxx

)1ln(3

1

3

23. cxdxx

)12ln(

2

1

12

1

24. cxdxx

)12ln(

2

3

12

3

25. cxxdxx

x

ln4343

26. cxxx

dxx

xx

ln3

1

3

2

63

12 22

27. cx

dxx

5

)3()3(

54

28. cx

dxxx

6

)12(6·)12(

63253

29. cxdxx

x

)6ln(6

2 22

30. cxsendxxx

cos2

1

31. cxdxx

)13ln(6

13

118

32. cxdxx

x

)6ln(2

1

62

2

33. cxxdxxx

x

)3ln(3

32 22

34. cedxe xx 66

35. cedxe xx 33 26

36. cedxe xx 33

3

44

Integrales


2

37. cedxe xx 3232 24

38. cxedxe xx 2)12(

39. cx

edxxe xx 2)2(

222

40. cxedxxe xx 222 )(2

41. cxedxxe x

x

22

2

6

1

3

1

3

2

42. csenxdxx 2cos2

43. cxsendxx 22

12cos

44. cxsendxx 33

5)3cos5(

45. cxsendxx

412

1

3

4cos

46. cxdxxsen 3cos33

47. cxdxxsen 4cos2

142

48. cxdxxsen 5cos5

2)52(

49. cxdxxsen 2

3cos

3

2

2

3

50. ctagxdxxtag 2)22( 2

53. ctagxdxx

2cos

1

54 cxdxtagx cosln

Integrales resueltas

1. Calcula

dxx

xx

1

11

Solución: Descomponiendo la expresión del integrando:

1

11

1

1

1

1

1

11

xx

x

x

x

x

xx

Por tanto: cxxdxx

dxx

xx

121

11

1

11

NOTA: La integral dxx 1

1 es inmediata, pues cxdx

xdx

x

1212

12

1

1

2. De una función )(xfy , x > 1, sabemos que tiene por derivada x

ay

1´ , donde a es

una constante. Determina la función si, además, sabemos que 1)0( f y 1)1( f . Solución:

La función )(xfy es una primitiva x

ay

1´ .

Por tanto, dx

x

axf

1)( = kxa )1ln( , siendo k una constante.

De 1)0( f 1)01ln( ka k = 1. Luego 1)1ln()( xaxf

Integrales


3

De 1)1( f 1)11ln(1 a 22ln a 2ln

2a .

La función es 1)1·ln(2ln

2)( xxf .

3. Calcula una primitiva de la función 2/12)1()( xxxf que se anule en x = 1. Solución: El conjunto de todas las primitivas es

dxxx 2/12)1( = dxxxxdxxxx )2()12( 2/12/12/32/12 =

= cxxxxxcxxx

23

4

5

2

2/12/3

2

2/52

2/12/32/5

Como la primitiva buscada se anula en x = 1 c 23

4

5

20

15

56c

La primitiva es: 15

562

3

4

5

2)( 2 xxxxxxF .

4. Calcula razonadamente la expresión de una función f (x) tal que 2

)´( xxexf y que

2

1)0( f .

Solución:

cedxxexf xx 22

2

1)(

De 2

1)0( f

2

1

2

1 0 ce c = 1.

Luego, 12

1)(

2 xexf

5. Calcula la integral indefinida: dxx

x

cos

sen3

Solución:

dxx

x

cos

sen3

= dxx

xx

cos

·sensen 2

= dx

x

xx

cos

)·sencos1( 2

=

= dx

x

xxx

cos

·sencossen 2

= dxxxxx ))·(cossen)·(cos(sen 2/32/1 =

= cxx 2/52/1 )(cos5

2)(cos2

Integrales


4

6. Calcula la primitiva de la función 1)( 2 xxxf que se anula en el punto de abscisa x = 2. Solución:

Sea dxxxxF 1)( 2 la primitiva buscada.

dxxxxF 1)( 2 = dxxx 2/12 )1( = dxxx 2/12 )1(22

1 =

cx

cx

3

)1(

2/3

)1(·

2

1 2/322/32

= cx

3

)1( 32

Si se anula para x = 2 03

)12()2(

32

cF 03

27 c 3c

Luego, 33

)1()(

32

x

xF

7. Dada la función 45

)(2

x

xxf :

a) Calcula la integral dxxf )( .

b) Halla la primitiva F de f que cumple que 1)1( F . Solución: a) Ajustando constantes se tiene:

dxxf )( = cxdxx

xdx

x

x

455

1

452

10

10

2

45

2

22

b) Como cxxF 455

1)( 2 , para que 1)1( F se tendrá:

141·55

1)1( 2 cF 1

5

1 c

5

4c

Por tanto, la primitiva buscada es 5

445

5

1)( 2 xxF

8 . Calcula

dxxx

x

134

12

2

.

Solución: Primera descomposición:

134

1241

134

124134

134

122

2

2

2

xx

x

xx

xxx

xx

x

La segunda fracción:

134

4

134

)42(2

134

124222

xxxx

x

xx

x

Y, por último:

Integrales


5

2222

3

21

3

1·

3

4

3

21

9

4

)2(9

4

134

4

xxxxx

Por tanto, la integral pedida es:

dxxx

x

134

12

2

=

dx

xxx

x

3

21

3

1

·3

4

134

42·21

22=

= cx

arctagxxLx

3

2

3

4)134(2 2

Integrales


6

Cambios de variable

10. Calcula 2)1(x

dx

Solución: Haciendo el cambio de variable x 1 = t dx = dt, se tiene:

ctdttt

dt

x

dx

12

22)1( c

xx

dx

1

1

)1( 2

11. Calcula dx

x1

2.

Solución:

Puede hacerse el cambio tx . Con esto, si diferenciamos se tiene:

dtdxx

2

1 dtxdx 2 tdtdx 2 .

Sustituyendo en la integral dada:

cttdtt

dtt

ttdt

tdx

x

)1ln(441

44

1

42·

1

2

1

2

Deshaciendo el cambio se obtiene:

cxxdxx

1ln44

1

2

12. Calcula dxx

x

1

1

Solución:

Haciendo el cambio de variable tx se tiene: tx ; 2tx ; tdtdx 2 Por tanto

dxx

x

1

1 =

dtt

tttdt

t

t

1

222·

1

1 32

Haciendo la división del integrando:

cttttdtt

ttdtt

tt

)1ln(44

3

2

1

4422

1

22 2323

Deshaciendo el cambio se tendrá que:

dxx

x

1

1 = cxxxxx )1ln(44

3

2

Integrales


7

13. Calcula dxxx 12 .

Solución:

Haciendo x + 1 = t

22 )1(

1

tx

tx

dtdx

Luego:

dxxx 12 = dttttdtttt )2()12( 2/12/32/52/12 =

= cxxxcttt 2/32/52/72/32/52/7 )1(3

2)1(

5

4)1(

7

2

3

2

5

4

7

2

15. De todas las primitivas de la función )(sec)tan(2)( 2 xxxf , halla la que pasa por el

punto P(/4, 1). Solución: Como debería saberse, sec2(x) = 1 + tan2(x). En consecuencia:

dxxx )(sec)tan(2 2 = dxxx )](tan1)[tan(2 2

Haciendo el cambio tan(x) = t [1 + tan2(x)]dx = dt, luego

dxxx )](tan1)[tan(2 2 = cxctdtt )(tan2 22

Para que pase por P(/4, 1) tan2(/4) + c = 1 1 + c = 1 c = 0.

La primitiva buscada es )(tan)(sec)tan(2 22 xdxxx

Integrales


8

Integración por partes

16. Describe en qué consiste el método de integración por partes para el cálculo de primitivas. Aplica dicho método para calcular las siguientes primitivas:

dxxeI x2 dxxxJ )ln(

Solución: El método de integración por partes puede usarse para la integración de un producto de funciones. Su regla se obtiene como sigue: Sean u y v las funciones. Diferenciando: vduudvuvd )(

Integrando: vduudvuvd )( vduudvuv

Despejando: vduuvudv

Aplicación a los casos planteados:

dxxeI x2

Tomando: u = x du = dx

dvdxe x 2 dvdxe x2 xev 2

2

1

Se tiene: dxxeI x2 = dxexe xx 22

2

1

2

1= cexe xx 22

4

1

2

1

dxxxJ )ln(

Tomando: u = x lnx du = (lnx +1)dx dv = dx v = x

Luego, dxxxJ )ln( = xdxxdxxxxdxxxxxx lnln)ln(ln 22

2 xdxx ln = cx

xx 2

ln2

2

De donde, dxxxJ )ln( = cx

xx 4

ln2

1 22

17. Calcula las siguientes integrales indefinidas:

dxx )1ln(

Solución:

dxx )1ln( se hace por partes, tomando:

u = ln (x + 1) dxx

du1

1

dv = dx v = x

Integrales


9

Queda;

dx

x

xxxdxx

1)1ln()1ln( =

dx

xxx

1

11)1ln( =

= cxxxx )1ln()1ln(

18. Determina la función f (x) sabiendo que xxxf ln)´´( , f ´(1) = 0 y 4

)(e

ef .

Solución:

cx

xx

dxx

xx

xdxxxf 4ln

22ln

2ln)´(

222

Esta integral la hemos hecho por partes, tomando: ln x = u; xdx = dv

Como f ´(1) = 0 c4

10

4

1c .

Por tanto, dxdxx

xdxx

xf4

1

4ln

2)(

22

Haciendo por partes xdxx

ln2

2

dvdx

xux

2 ;ln

2

, se tiene:

18

ln6

ln2

332 xx

xxdx

x

Luego, dxdxx

xdxx

xf4

1

4ln

2)(

22

= ´41218

ln6

333

cxxx

xx

Como 4

)(e

ef 4

´41218

ln6

333 ec

eeee

e 3

36

1´ ec

De donde, 364

1

18

5ln

6)(

33

3 exxx

xxf

19. Calcula la siguiente integral indefinida

dxcbxxeax )( 2

En función de los parámetros a, b y c. Solución:

La integral pedida dxcbxxeax )( 2 = dxcedxbxedxex axaxax2

Las dos primeras integrales deben hacerse por el método de partes; la tercera es inmediata.

La integral kea

cdxae

a

cdxce axaxax

Para dxbxeax hacemos

u = bx du = bdx

dxedv ax axea

v1

Integrales


10

Luego, dxbxeax = axaxaxax ea

bxe

a

bdxe

a

be

abx

2

1 (*)

Para dxex ax2 hacemos

u = x2 du = 2xdx

dxedv ax axea

v1

Luego dxea

xe

a

xdxex axaxax 22

2

La segunda integral es idéntica a (*) para a

b2

. Por tanto

dxea

xe

a

xdxex axaxax 22

2 = axaxax ea

xea

ea

x32

2 22

Teniendo en cuenta todos los resultados,

dxcbxxeax )( 2 = kea

ce

a

bxe

a

be

axe

ae

a

x axaxaxaxaxax

232

2 22 =

= kea

caabx

a

ab

a

x ax

3

2

2

2 22

20. Sea f: (0, +) R la función definida por )ln1()( xxxf , donde ln x es logaritmo neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 1) (3 puntos) Solución:

dxxxxF )ln1()(

Hacemos xdxx ln por partes:

u = x lnx du = (lnx +1)dx dv = dx v = x

Luego, xdxx ln = dxxxxxx )ln(ln2 2 xdxx ln =2

ln2

2 xxx

De donde, xdxx ln =4

ln2

1 22 x

xx

Con esto:

dxxxxF )ln1()( = cxxx

cx

xxx

ln2

1

4

3

4ln

2

1

22

222

2

Como el punto (1, 1) es de F(x), se cumple que:

c 1ln2

1

4

31

4

1c

Por tanto, la primitiva pedida es 4

1ln

2

1

4

3)( 2

2

xxx

xF

Integrales


11

Descomposición en fracciones simples 21. Halla la integral indefinida

62 xx

dx

Solución: Por descomposición en fracciones simples:

326

12

x

B

x

A

xx=

)3)(2(

)2()3(

xx

xBxA

Luego: )2()3(1 xBxA si x = 2: 1 = 5A A = 1/5 si x = –3: 1 = –5B B = 1/5 Por tanto:

62 xx

dx =

dx

xdx

xdx

xx 3

1

5

1

2

1

5

1

3

5/1

2

5/1 =

= cxx )3ln(5

1)2ln(

5

1

22. Calcula dxx 1

22

Solución: Por descomposición en fracciones simples:

111

22

x

B

x

A

x=

1

)1()1(2

x

xBxA

Luego: )1()1(2 xBxA si x = 1: 2 = 2A A = 1 si x = –1: 2 = 2B B = 1

Con esto:

dx

xdx

xdx

x 1

1

1

1

1

22

= cxx )1ln()1ln(

23. Calcula: dx

x21

1

Solución: (Observa que es casi igual que la anterior.) Descomponiendo en fracciones simples,

dx

x21

1= cxLxLdx

xdx

x

)1(2

1)1(

2

1

1

2/1

1

2/1

Integrales


12

24. Calcula:

dxx

xx

4

12

23

Solución: Hacemos la división 4:1 223 xxx .

Queda: 4

541

4

122

23

x

xx

x

xx.

Descomponemos en fracciones simples 4

542

x

x.

4

)2()2(

224

5422

x

xBxA

x

B

x

A

x

x )2()2(54 xBxAx

Para x = 2, se tiene: A413 4/13A Para x = 2, se tiene: B43 4/3B

Luego, 2

4/3

2

4/13

4

542

xxx

x

Por tanto:

dxx

xx

4

12

23

= dxxx

x

2

4/3

2

4/131 =

=

dx

xdx

xdxx

2

1

4

3

2

1

4

13)1( = kxxxx )2ln(

4

3)2ln(

4

13

2

1 2

25. Calcula:

xx

dx3

2

Solución: Puede hacerse por el método de descomposición en fracciones simples.

Como las raíces del denominador de la expresión xx 3

2 son 0, 1 y 1, se tendrá:

11)1)(1(

223

x

C

x

B

x

A

xxxxx=

xx

xCxxBxxA

3

2 )1()1()1(

Por tanto: )1()1()1(2 2 xCxxBxxA

Si damos los valores 0, 1 y 1 se tendrá: Para x = 0 2 = A A = 2 Para x = 1 2 = 2B B = 1 Para x = 1 2 = 2C C = 1 Luego

cxxxdxxxx

dxxx

)1ln()1ln(ln21

1

1

1223

Integrales


13

26. Se consideran las funciones reales 59812)( 23 xxxxf y 276)( 2 xxxg . Se pide:

a) Determina las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función )(

)(

xg

xf.

b) Calcula la función dxxg

xfxH

)(

)()( que cumple H(1) = 1.

Solución:

a) La función 276

59812

)(

)()(

2

23

xx

xxx

xg

xfxF :

tiene una asíntota oblicua, pues el grado del numerador es uno más el grado del denominador; puede tener asíntotas verticales en los ceros del denominador; en las soluciones de

0276 2 xx , que son x = 1/2 y x = 2/3. Las asíntotas verticales se confirman, pues

276

598122

23

2/1 xx

xxxlím

x y

276

598122

23

3/2 xx

xxxlím

x

La asíntota oblicua puede calcularse dividiendo:

La asíntota es la recta y = 2x + 1.

b) Por la división anterior, sabemos que 276

71212

)(

)(2

xx

xx

xg

xf.

Si tenemos en cuenta que 712´276 2 xxx ,

dxxg

xfxH

)(

)()( =

dxxx

xx

276

71212

2 = cxxxx 276ln 22

Si H(1) = 1 1 + 1 + ln 1 + c = 1 c = 1. Por tanto, 1276ln)( 22 xxxxxH

27. Calcula la siguiente integral: dx

x

x3)1(

Solución: Por descomposición en fracciones simples se tiene:

323 )1()1(1)1(

x

C

x

B

x

A

x

x =

3

2

)1(

)1()1(

x

CxBxA

Por tanto,

12x3 8x2 9x 5 6x2 7x 2

12x3 +14x2 4x 2x + 1 6x2 5x 5 6x2 +7x 2 12x 7

Integrales


14

CxBxAx )1()1( 2 = )()2(2 CBAxBAAx Identificando coeficientes se tiene el sistema,

0

12

0

CBA

BA

A

A = 0, B = 1, C = 1

Luego 323 )1(

1

)1(

1

)1(

xxx

x, de donde

dx

x

x3)1(

= dxx

dxx

dxxx

3232 )1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1 =

= cxx

2)1(2

1

1

1

Las dos últimas integrales son inmediatas, pues 1

)()()´(

1

n

xfdxxfxf

nn . Ahora basta

con escribir

dxxdxxdxx

dxx

32

32)1(1

)1(

1

)1(

1

integrales 1

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