integral entre dos curvas
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Area entre dos curvas
Por: Jose A Vega Cotto MBA, MA
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Encientre el area entre las curvas
• f (x) = 4 - x 2 and g (x) = x 2 - 4.
• los puntos de intersección son x = -2 y x = 2.
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Graficar las dos ecuaciones
• La razón para graficar las dos ecuaciones es ser capaz de determinar qué función es en la parte superior y que es una en la parte inferior. A veces, también puede determinar los puntos de intersección. A partir de este gráfico, es taco que f (x) es la función superior, g (x) es la función inferior, y que los puntos de intersección son x = -2 y x = 2.
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f (x) = 4 - x 2 y g (x) = x 2 - 4.
• Si no desea determinar los puntos de intersección gráficamente lo puede resolver algebraicamente o con la calculadora. Para encontrarlos algebraicamente, hay que igualar las ecuaciones.
• 4 - x 2 = x 2 – 4 • -2x 2 = -8 • x 2 = 4 ® • x = -2 o x = 2
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Evalue la integral
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Proximo paso evaluar la integralRecuerde F (x) – g (x)
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Solucion
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Fijense en la grafica de las dos funciones
• Se puede notar que se puede utilizar simetría en la creación de la integral. La región es simétrica con respecto tanto a la X y el eje y. Si se hubiera utilizado la simetría del eje, la integral resultante habría tenido límites de 0 y 2, y hubiéramos tenido que tomar 2 veces el área para encontrar el área total. Aquí está esta integral.
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Por medio de simetria.
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Ejemplo 2
• Encuentra el área entre las curvas x = y ³ y x = y ² que está contenida en el primer cuadrante.
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x = y ³ , x = y ²
• Dado que ambas ecuaciones son x en términos de y, que se integrará con respecto a y.
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Integrar con respecto Y
• Cuando se integran con respecto a x, tenemos que determinar la función superior y la función inferior. Ahora que estamos integrando con respecto a y, tenemos que determinar cuál de las funciones esta más alejada del eje de y. La función que esta más alejada del eje y es x = y². Así que esa será nuestra curva superior. La curva inferior será la curva que está más cerca del eje y. En este caso, es la función x = y ³.
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Igualamos para encontrar los puntos de intersección.
• y 2 = y 3 • y 2 - y 3 = 0• y 2 (1 - y) = 0• y = 0 , y = 1
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Por ultimo se evalúa la integral.
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Ejemplo 3
• y = x2 -5x + 6• y = 2x
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Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
• En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
• x₁ = 1 x₂ = 6
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Calculamos la Integral
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Calcule el area entre dos curvas
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Calcule el area entre dos curvas
• Solucion• Y=x²-4x-1 • Y=-⅓ x²-1• 6
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Calcule el area
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Solucion• Area = 2
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 1 ⅓
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 3 ⁵⁄₉
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 2 ₃²̸�
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 9 ⅓
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 3 ⅓
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 8
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Calcule el area
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Solucion
• Area = 6
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Calcule el area
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Solucion
• Area = ⅓