integral definida

FACFYM La Practica no te hace perfecto pero si el mejor..!!!

Facultad de Ciencias Fsicas y Matematicas

Calculo Integral

Tema:Integral Indenida

Darwin Daz Delgado

2015 - I

Chiclayo, junio del 2015

Computacion e Informatica 1 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo

Contents

1. Integral Denida 3

1.1. Area, Integral denida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Propiedades de la Integral Denida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Teoremas Fundamentales del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

Chapter 1

Integral Denida

1.1. Area, Integral denida.

El gran problema se plantea cuando se intenta calcular el area de regiones mas generales

que las poligonales. Los primeros matematicos que intentaron resolver el problema de

una forma seria fueron los griegos, utilizando el metodo de exhaucion . Este metodo,

atribuido a Arqumedes, consiste en encajar la region entre dos polgonos, uno inscrito y

otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos polgonos es peque~na, entonces

podemos aproximar el area de la region por cualquier numero comprendido entre el area

del polgono inscrito y el area del polgono circunscrito. El metodo que emplearemos aqu

es parecido. Se trata de aproximar el area de la region S que esta debajo de la curva

y = f(x), desde a hasta b. Es decir que S esta limitada por la graca de una funcion

continua f positiva (f(x) 0), las rectas verticales x = a y x = b, y el eje x.

S =(x; y) 2 R2=a x b; 0 y f(x)

3

1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA

Observacion: Calcular el area de guras cuyos lados son rectos es relativamente facil

Consideremos la funcion y = f(x) = x2 desde 0 hasta 1

1

1

(1; 1)

y = x2

ahora aproximaremos el area de la region S por exceso, usando rectangulos (n = 4) cuyas

bases tienen una longitud de 1=4 y cuyas alturas estan dadas por el valor de f(x) = x2

en los puntos extremos de la derecha de cada rectangulo. Se puede observar que el area

de la suma de los rectangulos es mayor al area de la region S

lo mismo podemos hacer para aproximar el area de la region S por defecto, usando

rectangulos (n = 4) cuyas bases tienen una longitud de 1=4 y cuyas alturas estan dadas

por el valor de f(x) = x2 en los puntos extremos de la izquierda de cada rectangulo. Se

puede observar que el area de la suma de los rectangulos es menor al area de la region S



veamos ahora que sucede si consideramos mas rectangulos (n = 8) para la aproximacion

del area de la region S por exceso y por defecto



si observamos ambas aproximaciones por exceso y defecto podemos notar que a mas

rectanguloshes decir si n es un numero muy grande (n !1)

imejor es la aproximacion,

si denotamos a Rn como la suma de las areas de los rectangulos para cada valor de n;

podemos decir que:

Area de la region S = limn!1

Rn

Nota: Ahora formalizaremos esta idea

Consideremos la siguiente graca que corresponde a una funcion general, en la cual se

consideran rectangulos con ancho 4x = b an

y altura f(xi), donde xi es el extremo

derecho de cada intervalo (ancho)

notemos que x0 = a, es el limite izquierdo que corresponde al rectangulo cuya area se

denota por A1, luego:



x1 = a+4xx2 = a+ 24 xx3 = a+ 34 x

...

xi = a+ i4 x = a+ in(b a)

luego:

Suma de Areas = A1 + A2 + ::::::::::::+ An

=b an

f(x1) +b an

f(x2) + :::::+b an

f(xn)

=nX

i=1

b an

f(xi)

como la sumatoria depende de \ i "

=b an

nXi=1

f(xi)

recordemos que el area bajo la curva que se quiere aproximar es el lmite de las suma de

las areas Ai, es decir

limn!1

(Suma de Areas) = limn!1

b an

nXi=1

f(xi)

como el lmite depende de \n "

= (b a) limn!1

1

n

nXi=1

f(xi)| {z }Area bajo la curva

usando la notacion de integrales tenemos:

Z ba

f(x)dx = (b a) limn!1

1

n

nXi=1

f(xi) (1.1)



Formulas de sumas:nX

i=1

c = nc

nXi=1

cai = cnX

i=1

ai

nXi=1

(ai + bi) =nX

i=1

ai +nX

i=1

bi

nXi=1

i =n(n+ 1)

2

nXi=1

i 2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

nXi=1

i 3 =hn(n+ 1)

2

i2

Ejemplo 1.1.1 Hallar:

Z 10

x3dx

Solucion:

f(x) = x3, a = 0; b = 1

xi =i

n

entonces f(xi) = f in

=

i3

n3

(1; 1)

y = x3

1

0 1

Z 10

x3dx = (1 0) limn!1

1

n

nXi=1

f(i

n)

= limn!1

1

n

nXi=1

i3

n3

= limn!1

1

n4

nXi=1

i3



= limn!1

1

n4

hn(n+ 1)2

i2= lim

n!11

n4

n4 + 2n3 + n24

= limn!1

14+

2

4n+

1

4n2

=1

4

Ejemplo 1.1.2 Hallar:

Z 21

(4x3 3x2)dx

Solucion:

f(x) = 4x3 3x2, a = 1; b = 2xi = 1 +

i

n

Z 21

(4x3 3x2)dx = (2 1) limn!1

1

n

nXi=1

f(1 +i

n)

= limn!1

1

n

nXi=1

h41 +

i

n

3 3

1 +

i

n

2 i

= limn!1

1

n

nXi=1

h 4i3n3

+9i2

n2+

6i

n+ 1

i

= limn!1

1

n

h 4n3

nXi=1

i3 +9

n2

nXi=1

i2 +6

n

nXi=1

i+nX

i=1

1i

= limn!1

1

n

h 4n3

hn(n+ 1)2

i2+

9

n2n(n+ 1)(2n+ 1)

6+

6

n

n(n+ 1)

2+ n

i

= limn!1

h1 +

1

n

2+

3

2

1 +

1

n

2 +

1

n

+ 3

1 +

1

n

+ 1

i= 8



Ejercicios 1.1.1

1. Usando denicion de integral denida, calcular las siguientes integrales:

a)

Z 11

x(x+ 1)dx b)

Z 22

x2dx

c)

Z 22(x2 2x+ 2)dx d)

Z 22(x2 2x+ 2)dx

e)

Z b0

x3dx f)

Z 21

(4x3 3x2)dx

2. Expresar el siguiente limite como una integral denida sobre el intervalo dado:

a) limn!1

nXi=1

1

n+ i; sobre [0; 1] b) lim

n!1

nXi=1

1

n+ i; sobre [2; 6]

c) limn!1

nXi=1

i

(2i+ n)2; sobre [0; 1] d) lim

n!1

nXi=1

n

i2; sobre [0; 1]

e) limn!1

nXi=1

pn+ ipn3

; sobre [0; 1] f) limn!1

nXi=1

i

npi2 + n2

; sobre [0; 1]

3. Exprese como una integral denida sobre [0; 1] y luego calcule la integral

limn!1

1np1 + n2

+2

np4 + n2

+ ::::+n

npn2 + n2

4. Exprese el lmite

limn!1

4n2

nXk=1

(2n+ k) sen 2k2n

como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0;

2]

5. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

ln

npk + 2n ln np2k + n

como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 1]



6. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

(n+ k)pkn

n3 + 3k2n


7. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

1pnpn+ k


8. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

2k

n3

pk2 + n2


9. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

1

n2(n k)

2k + nn


10. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

n+ 2k

n2 + 2nk + 2k2


11. Exprese el lmite

limn!1

nXk=1

3

n

pln(n+ 3k) ln(n) + 1


12. Dibuje la region cuya area A esta dada por la formula

A = limn!1

2

n

nXk=1

r4 4k

2

n2


1.2 Propiedades de la Integral Denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA

1.2. Propiedades de la Integral Denida.

1.

Z ba

Kf(x)dx = K

Z ba

f(x)dx

2.

Z ba

f(x) g(x)dx = Z b

a

f(x)dxZ ba

g(x)dx

3.

Z ba

f(x)dx =

Z ca

f(x)dx+

Z bc

f(x)dx

donde f es integrable en [a; c] [c; b][a; b]; a c b

4.

Z ba

f(x)dx = Z ab

f(x)dx

5.

Z aa

f(x)dx = 0

6.

Z ba

f(x)dx =

Z b+ka+k

f(x k) dx (invarianza frente a la traslacion)

7. Si f(x) 0, 8x 2 [a; b] =)Z ba

f(x)dx 0

8. Si f(x) g(x), 8x 2 [a; b] =)Z ba

f(x)dx Z ba

g(x)dx

9. Sim yM son los valores mnimos y maximos absolutos de f en [a; b] respectivamente

tal que

m f(x) M; 8x 2 [a; b] =) m(b a) Z ba

f(x) dx M(b a)

10. Si f es una funcion contnua en el intervalo [a; b], entonces:

Z ba

f(x)dx Z b

a

jf(x)jdx


1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA

11. Si f es una funcion contnua en el intervalo [0; a], entonces:

Z a0

f(x)dx =

Z a0

f(a x)dx

12. Si f es una funcion contnua y par en el intervalo [a; a], entonces:

Z aa

f(x)dx = 2

Z a0

f(x)dx

13. Si f es una funcion contnua e impar en el intervalo [a; a], entonces:

Z aa

f(x)dx = 0

14. Si f es integrable en [a; b], entonces para cualquier c 2 R f0g se tiene que

a)

Z ba

f(x)dx =1

c

Z bcac

fxc

dx

b)

Z ba

f(x)dx = c

Z bc

ac

f(cx)dx

1.3. Teoremas Fundamentales del Calculo .

Teorema 1.3.1 (Teorema del Valor Medio para Integrales). Sea f una funcion

contnua en el intervalo [a; b], entonces 9 c 2 [a; b] tal que:Z ba

f(x) dx = f(c)(b a)

Teorema 1.3.2 (Primer Teorema Fundamental del Calculo). Sea f una funcion

contnua en el intervalo [a; b], entonces la funcion F denida por:

F (x) =

Z xa

f(t) dt; a x b

es derivable en [a; b] y ademas

d

dxF (x) = f(x); 8x 2 [a; b]



Teorema 1.3.3 ( Generalizacion Primer Teorema Fundamental del Calculo).

Sea f una funcion contnua en R, g y h son diferenciables en R entonces:

d

dx

h Z g(x)h(x)

f(t) dti= f(g(x))g0(x) f(h(x))h0(x)

Ejercicios 1.3.1

1. Demostrar que:

1 Z 10

p1 + x3dx 5

4

2. Comparando areas de regiones adecuadas pruebe la desigualdad sin evaluar la inte-

gral

3p3

2Z p30

p4 x2dx 2

p3

3. Hallar Z 12

jxj 2dx4. Si f es una funcion no negativa en [1;

p3] tal que

Z p31

f(x)dx = 2, probar que

1 Z p31

f(x)p1 + x2

dx p2

5. Demuestre que2

13Z 20

dx

10 + 3 cos x 2

7

6. Sea f una funcion con derivada contnua en [0;+1 >, tal que:

Z x0

(t x)f 0(t)dt =Z x0

t2f(t)dt

Hallar f(x); 8x > 0

7. Hallar la forma explcita de F denida por:

F (x) =

Z x0

te tdt ; x 2 R+0



8. Sea f una funcion contnua en < 0;+1 >, tal que:

x sen (x) =

Z x21

f(t) dt ; x 2 R+0

9. Si

F (x) =

Z senxx

1 + t

3 + t3dt

Hallar F 06

10. Si

F (x) =

Z x32

(xt)2sent2

dt

Hallar F 0(1)

11. Dada la funcion

f(x) = 5 +

Z x0

t+ 1

1 + sen 2(t2)dt

Hallar un polinomio P (x) de grado 2 tal que:

P (0) = f(0); P 0(0) = f 0(0); P 00(0) = f 00(0)

12. Para x > 0 sea:

g(x) =

Z px1x

ln(1 + t2) dt

Hallar g 0(x)

13. Dada la integral In =

Z 4

0

tg nx dx

a) Demostrar que In + In2 =1

n 1; 8n 2 Z; n > 1b) Sabiendo que

tg nx tg n2x; x 2 [0; 4]; 8n 2 Z; n > 1

Demostrar que:

In2 12(n 1)



14. Para todo n 2 N, se dene

In =

Z p 32

0

(3 2x2)ndx

a) I1 = 2I0

b) In =6n

1 + 2nIn1

15. Sea f(t) =

(t+ 2 ; t < 1

1 ; t 1 . HallarZ 22

f(t)dt

16. Sea la funcion denida por

f(x) = 3e2x +

Z senx0

(x+ 2)f(t)dt

Halle la ecuacion de la recta tangente a la graca de f en x = 0

17. Evaluar las siguientes integrales

a)

Z 42(jxj 2) dx b)

Z 22

x2 sen 3x

1 + x2dx

c)

Z 2

2

(x5 + 5) cos xp4 sen 2x dx d)

Z 22

x sen 4x+ x3 x

4

x2 + 1

dx

e)

Z 11

p1 + cos(x) dx f)

Z =40

x sec2 x dx

g)

Z 11

xpx4 + 1 x+ 1

x2 + 4

dx h)

Z 41

dxpx(px+ 1)2

dx

i)

Z 11

tet dt j)Z 22

x sen 4x+ x2

1 + 4x2dx

k)

Z 21

jex 1j+ 2ex + 1

dx l)

Z 44

x(x4 5x2 + 1)6 + e1x + 3

dx

m)

Z 13

x2px2 + 4x+ 5

dx n)

Z =2=6

1 + cos

( + sen )2dx



18. Sea f(x) =

Z ex1

t+ xpt2 + 1

dt, para x 2 R. Halle la ecuacion de la recta tangente a lagraca de f en el punto (0; f(0))

19. Pruebe que :

Z =30

cos(t3) dt 3

20. Sean f y g dos funciones con segundas derivadas continuas, tales que f(0) = g(0) =

f(1) = g(1) = 0. Pruebe que:Z 10

f(x)g00(x) dx =Z 10

f 00(x)g(x) dx

21. Sea In =

Z =40

secn x dx. Halle las expresiones A y B, en terminos de n, tal que

In = A+B In2, n 2

22. Demuestre que

arctan(

2)

Z =20

1 + sen x

1 + x2dx 1 +

2

23. Sea f : [a; b] ! R, una funcion que tiene derivada continua sobre el intervalo [a; b]vericando f(a) = f(b) = 0. Demuestre que si

Z ba

f 2(x) dx = 1, entonces

Z ba

xf(x)f 0(x) dx = 12

24. Sea f(x) =

Z 2xx

1 + cos tpt2 + 4

dt , x 2 R. Analice si f es una funcion par o impar.

25. Pruebe que la funcion f(x) =

Z 2xx20

et2

dt, 0 x 2, tiene un valor maximorelativo.

26. Calcule la integral

Z 13

2 + x+ sen (x+ 1)

(x+ 1)2 dx



27. Halle explcitamente la funcion F y analice la diferenciabilidad de F en x = 1 si

F (x) =

Z x0

f(t) dt; x 2 [0; 2]; donde f(x) =(

1 ; 0 x 11 ; 1 x 2

28. Sea y = f(x) una funcion invertible con derivada continua en [a; b], pruebe queZ f(b)f(a)

f1(y) dy +Z ba

f(x) dx = bf(b) af(a)

29. Calcule la integral

Z 2=30

x3p4 9x2 dx, usando sustitucion trigonometrica.

30. Sean f una funcion continua en [o; b] y g(x) =

Z bx0

f(t)

xdt. Demuestre que

g0(1) = bf(b)Z b0

f(t)dt

31. Sea In =

Zx4 lnn x dx, para todo n 2 N

a) Demuestre que

In =x5 lnn x

5 n

5In1; 8n 1

b) Utilizando el item a) calcule

Zx4 ln4 x dx

32. Sea la funcion

G(x) =

Z x0

xp1 + t3 dt; x 0

a) Halle G 0(x), para x 0b) Halle la ecuacion de la recta tangente al graco de G en el punto P (0; G(0))

c) Pruebe que

2 Z 20

p1 + t3 dt 6

d) Justique la desigualdad

8 G 0(2) 12

33. Sea g una funcion denida por

Z x0

f(t)dt, donde f esta dada por f(t) =

Z sen tcos t

z3 dz

Calcule

Z 6

0

g00(x)dx


integral definida

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