UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE ELECTRICA

Análisis Numérico

Integracion Numerica

Metodos

Autor:

Alfredo Vazquez C.I: 21.564.370

Cabudare, Septiembre 2015

Introducción

Constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral

definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos

para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo

abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente

si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más

dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución

aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una

ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para

ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados

al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados

específicamente para el problema formulado como una integral definida.

Regla del rectángulo

El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función

constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto . Este

método se llama la regla del rectángulo:

Regla del punto medio

Si en el método anterior la función pasa a través del punto este

método se llama la regla del punto medio:

El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un

intervalo [a, b] es decir

REGLA DEL TRAPECIO

Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se

construye el polinomio de Lagrange de grado uno.

ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,

si h = b - a

La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque

geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo

un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio

Regla de Simpson

La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos

, y . Este método se llama regla de Simpson:

.

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor

aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2.

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde

.

Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de

grado 2,

ahora La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

Luego ,

Por lo tanto.

Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es

Ejemplo.

Aproximar usando:

i) La regla del trapecio

ii) La regla de Simpson

Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución:

i) Para la regla del trapecio. entonces

ii) Para la regla de Simpson

, a = x0 = 0, b = x2 = 2, x1 = x0 + h = 1

El valor real de la integral es

Observaciones

La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c) ya que el término de

error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0 y el error sería cero.

La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya

que el error contiene y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que

3 es cero.

Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función f en un

intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en

cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen

como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente.

Conclusiones

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar

analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste

en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la

aproximación polinomial de la función.