instrumentos y mercados financieros

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F inanc ieros
Se incluyen los siguientes capítulos:
- Conceptos básicos: capital financiero y operación financiera 1
- Capitalización y actualización simple 9
- Capitalización y actualización compuesta 21
- Rentabilidad de operaciones financieras 35
- Conceptos estadísticos para la teoría de carteras 45
- Análisis de indicadores y ciclos económicos 63
- Análisis e interpretación de indicadores de coyuntura 83
- El sistema financiero 129
- Rentas financieras 205

Este material formativo ha sido elaborado por técnicos y formadores del IEF.
Redactores de este tema: Laura González Vila Francesc Ortí Lesma José Sáez Madrid
Pablo Larraga López
© Fundació Privada Institut d’Estudis Financers Gran Via de les Corts Catalanes, 670, 2n 08010 Barcelona Telf. 93 412 44 31 Fax 93 412 10 15 E-mail: [email protected] Web: www.iefweb.org
Impresión: 2010
El Institut d’Estudis Financers (IEF) ha realizado la revisión de contenidos de este curso con atención a su adecuación a los requisitos del programa de certificación de EFA (European
Financial Advisor ) o Asesor Financiero Europeo, de EFPA.
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8/17/2019 Instrumentos y mercados financieros
Este capítulo responderá, entre otras, a las siguientes preguntas:
¿Qué se entiende por capital financiero y por valor temporal del dinero?
¿Qué se entiende por operación financiera y cuáles son sus principales elementos?
¿Cuáles son y qué significan los diferentes precios financieros?
¿Qué significa interés implícito e interés explícito?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes apartados:
a. Capital financiero
b. Operación financiera
b.1 Sujetos de una operación financiera b.2 Operaciones de capitalización y operaciones de actualización
c. Precios financieros
MÓDULO 2
Aunque habitualmente se habla de capital haciendo referencia exclusivamente a
una cantidad de dinero, financieramente hablando es necesario tener en cuenta
que la valoración de un capital depende del momento en el tiempo que se consi-
dere. Así, resulta evidente que 6.000 € de hace 20 años (en realidad, su equiva-
lente en pesetas) no tienen el mismo valor que 6.000 € actuales. Es decir, cualquier cantidad de dinero tiene un valor intrínseco derivado del número de unidades monetarias que representa, y otro valor como consecuencia del momento del tiempo en que esté situado. Este segundo valor es el que se conoce como valor temporal del dinero.
Así pues, se entiende por capital financiero una cantidad monetaria situa- da en un determinado instante en el tiempo. Se representará a partir de
dos componentes (C t , t ), donde C t es el número de unidades monetarias que componen el capital financiero y t, el momento de disponibilidad correspondiente.
Ejemplo:
Si una persona dispondrá de 2.000 € dentro de 3 años, el capital financiero correspon-
diente sería (2.000, 3).
Los capitales financieros también se acostumbran a representar sobre un eje temporal, de
forma que el mismo capital anterior, tomando como origen temporal la fecha de hoy, serepresenta del siguiente modo:
2000
0 3
En cambio, si los 2.000 € estuvieran disponibles dentro de 2 meses, el capital financiero
2 se representaría como (2.000, ).
12
Aunque ambos capitales tienen la misma cuantía, es preferible este último al primero. Esta preferencia es lo que da sentido al valor temporal del dinero.
a. Capital financiero
Resumen:
En el cálculo financiero es necesario acompañar toda cuantía monetaria de la información del instante en el tiempo en que se sitúa. Este par (C t , t), formado por cuantía monetaria e instante temporal, se denomina
capital financiero.
MÓDULO 2
A partir del concepto de capital financiero, se denomina operación financiera cualquier intercambio entre sujetos económicos de capitales financieros situados en diferentes momentos del tiempo.
El concepto de operación financiera se utiliza para estudiar los diferentes produc-
tos financieros existentes en el mercado.
Por sujetos económicos se entienden las personas físicas, empresas, entidades
financieras, el Estado... Por lo tanto, productos financieros como préstamos, líneas
de descuento a una empresa, Letras del Tesoro, etc., son operaciones financieras.
Los capitales financieros que se intercambian en una operación financie-
ra se dice que son capitales equivalentes.
Ejemplo:
Una persona efectúa hoy una imposición de 2.000 € a plazo fijo de un año, y la entidad
financiera le abonará al vencimiento 2.060 €. Este intercambio constituye una operación
financiera, que se representa de la forma:
2.000 2.060
0 1 año
En este caso, el capital (2.000,0) es equivalente al capital (2.060,1).
Ejemplo:
Una persona dispone de un efecto comercial de nominal 2.075 € y vencimiento al cabo
de 90 días, que descuenta en una entidad financiera obteniendo hoy 2.043 €. Este inter-
cambio es otra operación financiera que se representa:
2.043 2.075
MÓDULO 2
b.1 Sujetos de una operación financiera
Obsérvese en los dos ejemplos anteriores que, aunque se trata de dos operaciones
completamente diferentes, hay algunos elementos comunes a ambas. En realidad,
en toda operación financiera se pueden distinguir los siguientes sujetos:
Sujeto activo, prestamista o acreedor: es el que cede uno o varios capita-
les financieros durante un determinado plazo de tiempo y, por esta cesión,
percibirá un precio llamado interés. Los capitales financieros que cede el sujeto activo se denominan prestación.
Sujeto pasivo, prestatario o deudor: es el que recibe uno o varios capita-
les financieros durante un determinado plazo de tiempo, comprometiéndose
a su devolución futura y al pago de un precio. Los capitales financieros que retorna el sujeto pasivo se denominan contraprestación.
En el ejemplo anterior del plazo fijo, la persona que realiza la imposición es el sujeto acti-
vo, la prestación son los 2.000 € que cede hoy y el interés que percibe son los 60 €. El
sujeto pasivo es la entidad financiera y los 2.060 € que abonará dentro de un año cons-
tituyen la contraprestación.
En el ejemplo del descuento del efecto comercial, la persona que solicita el descuento es
el sujeto pasivo, la contraprestación son los 2.075 € de dentro de 90 días y el precio que
abona (se denomina descuento) son los 32 €
. El sujeto activo es la entidad financiera ylos 2.043 € que abona hoy constituyen la prestación.
b.2 Operaciones de capitalización y operaciones de actualización
Cualquier operación en la que el sujeto activo cede un capital en un determinado momento para recuperarlo en un instante posterior, junto con el interés que ha generado, se denomina operación de capitalización o de interés.
Capital Capitalización Capital
© Institut d’Estudis Financers (IEF). Barcelona 2010 4
MÓDULO 2
Cualquier operación en la que al sujeto pasivo se le anticipa un capital, disponible en el futuro, a un momento anterior y por esta antici- pación paga un descuento, se denomina operación de actualización o de descuento.
Capital Actualización Capital
Capital inicial = Capital final - Descuento
Los ejemplos anteriores, el plazo fijo es una operación de capitalización y el descuento del
efecto comercial es una operación de actualización.
Resumen: Una operación financiera es todo intercambio de capitales financieros en distintos momentos de tiempo entre un sujeto activo y un sujeto pasivo.
Los capitales que cede el sujeto activo se denominan prestación y los que devuelve el sujeto pasivo se lla- man contraprestación. Este intercambio genera un interés.
La operación financiera se denomina de capitalización
cuando se cede un capital para recuperarlo en un instante posterior, y se llama de actualización o descuen- to cuando se dispone anticipadamente de un capital futuro.
MÓDULO 2
En cualquier operación financiera, puede resultar interesante valorar su rentabili-
dad o su coste. Para efectuar una primera aproximación, se introducen los precios
financieros, básicamente los de interés. Por otra parte, teniendo en cuenta la
forma en que se pacta el interés que retribuirá una operación, el mercado distin-
gue los intereses implícitos de los explícitos.
Dada una operación financiera elemental, en la que se intercambian una presta-
ción hoy, (C 0 , 0), y una contraprestación en t , (C t , t), se pueden definir los siguientes precios financieros1 de interés:
Precio total (interés o descuento): es la diferencia C t – C 0 .
Precio unitario (o tanto efectivo) de interés: es el precio por unidad
C t – C 0monetaria cedida para todo el plazo de la operación, es decir, . C 0
Precio unitario y medio (o tanto nominal) de interés: es el precio por
C t – C 0 unidad monetaria cedida y en promedio anual, es decir, .
C 0 · t
Operación Prestación Contraprestación
A (2.000, 0) (2.120, 2)
B (3.000, 0) (3.120, 2)
C (2.000, 0) (2.120, 4)
Los precios financieros de interés correspondientes a cada operación son los siguientes:
Operación Precio total Precio unitario Precio unitario y medio
(tanto efectivo) (tanto nominal)
A C t – C 0 = 120 = 0,06 = 6% = 0,03 = 3%
B C t – C 0 = 120 = 0,04 = 4% = 0,02 = 2%
C C t – C 0 = 120 = 0,06 = 6% = 0,015 = 1,5%
1 Se podrían definir también los precios de descuento, sustituyendo en el denominador C 0 por C t .
C t – C 0
MÓDULO 2
Obsérvese que:
Las tres operaciones tienen el mismo precio total. Sin embargo, comparando, por
ejemplo, las operaciones A y B, para el sujeto activo es preferible la operación A por-
que se obtienen, por todo el plazo de la operación, los mismos 120 € por colocar una
cantidad inferior. Es decir, para comparar estas dos operaciones no basta con analizar
el precio total sino que éste se ha de referir a la cuantía inicialmente aportada. Esta
comparación la realizamos con el cálculo del precio unitario.
Las operaciones A y C tienen el mismo precio unitario; es decir, en las dos opera-
ciones, por cada euro colocado hoy, se obtendrán, al final del plazo de la operación,
1,06 €. Sin embargo, resulta evidente que, para el sujeto activo, es preferible la
operación A porque obtiene la misma cantidad en un plazo inferior. Estas dos ope-
raciones, para compararlas no basta con analizar el precio unitario sino que éste se
ha de referir al plazo de la operación. Se realiza con el precio unitario y medio.
La operación con mayor precio unitario y medio es la operación A con un 0,03.
Este precio indica que por cada euro colocado hoy, en promedio se obtendrán
0,03 € cada año.
El precio que recoge el mayor número de magnitudes de las que intervienen en la
operación (cuantía inicial, plazo,...) es el precio unitario y medio o tanto nominal.
Por esta razón, éste es el precio que habitualmente se pacta en las operaciones
financieras en el mercado.
Por otra parte, dependiendo del tipo de producto financiero, en el mercado se
acostumbra a hablar de interés implícito, en el caso de que los sujetos de la operación acuerden los precios de adquisición y amortización del produc- to, y de interés explícito, en el caso que se acuerde el porcentaje que se debe aplicar.
Ejemplo:
Se dice que una Letra del Tesoro ofrece un interés implícito porque su valor nominal es de
1.000 € y se adquiere por un valor efectivo determinado, como puede ser 965,70 €. Por
lo tanto, el interés al que resulta se debe calcular a partir de esos valores, que son los que establece el mercado.
En cambio, se dice que una imposición a plazo fijo de 3.000 € durante un año ofrece un
interés explícito porque el pacto especifica que se pagará un determinado tanto de inte-
rés, por ejemplo, el 2 % anual, sobre la cantidad depositada.
Finalmente, un mismo producto, como un Bono del Estado de nominal 1.000 €, puede
tener simultáneamente interés implícito y explícito ya que ofrece un cupón anual, por
ejemplo el 4,20 %, que sería el interés explícito; y si se emite por un valor distinto a su
valor nominal, como podría ser 983,30 €, tendría también un interés implícito.
MÓDULO 2
Resumen:
Básicamente, existen los siguientes precios financieros: C t – C 0precio total (C t – C 0 ), precio unitario ( ) y pre-
C 0
C t – C 0cio unitario y medio ( ). C 0 · t
Asimismo, el mercado financiero suele distinguir entre el interés implícito (se acuerdan los precios de adquisi- ción y amortización) y el explícito (se acuerda el porcentaje del interés a aplicar).
MÓDULO 2
¿Cuáles son los principales métodos de capitalización y actualización simples?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés simple vencido?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a descuento comercial?
¿Cuál es la relación entre el interés vencido y el descuento matemático?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a descuento matemático?
¿Cuál es la relación entre el descuento comercial y el interés anticipado?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés anticipado?
¿Cómo se usan los métodos anteriores en algunos productos presentes en el
mercado?
a. Interés simple vencido
a.2 Actualización a interés simple vencido: descuento matemático o racional
b. Descuento simple comercial
b.2 Capitalización a descuento simple comercial: interés simple anticipado
0
5
1
1
MÓDULO 2
a.1 Capitalización a interés simple vencido
Se utiliza en operaciones financieras de capitalización en las que el suje- to activo cede un capital. Como contraprestación, al final de un plazo con- venido, recuperará el capital cedido y obtendrá unos intereses por esa cesión. Estos intereses son proporcionales al capital cedido (C 0), al tanto nominal
o anual pactado (i ), expresado en tanto por uno, y al plazo de la cesión ( t ), expre-
sado en años. Es decir, los intereses serán:
Intereses = C 0 · i · t
y, por lo tanto, el capital final (C t ) que se obtendrá será:
C t = C 0 + C 0 · i · t
o, de forma equivalente:
C t = C 0 · ( 1 + i · t )
La idea de proporcionalidad en el interés es intuitiva, porque significa que cuanto mayores sean la cantidad invertida, el interés nominal pactado y el plazo, mayores serán los intereses que genere la operación, y vice- versa.
Esta operación se podría esquematizar de la siguiente forma:
1 + i · t
0 t
donde 1 + i · t es el factor de capitalización a interés simple vencido y repre-
senta el valor de un euro de hoy dentro de t años, al tanto nominal i . Es decir:
C 0 · (Factor de capitalización) = C t
El interés simple vencido se utiliza habitualmente en operaciones a corto plazo (en
general a menos de un año) como, por ejemplo, cuentas corrientes y repos.
MÓDULO 2
Ejemplo:
Un cliente invierte 5.000 € en un depósito a tres meses (91 días), que ofrece un interés
anual del 3,10 %. El capital que percibirá al final del plazo será:
91 C t = 5.000 · (1+ 0,0310 · ) = 5.038,64
365
365
36.500
Obsérvese que en el primer caso el tipo de interés está expresado en tanto por uno, mien-
tras que en la última expresión se utiliza en tanto por ciento.
Además, en este ejemplo el factor de capitalización correspondiente sería:
91 1 + i · t = 1 + 0,0310 · = 1,0077288
365
Como este factor significa que por cada euro invertido hoy se obtienen 1,0077288 € al
cabo de 91 días, multiplicando por 5.000 € depositados se obtienen:
5.000 · 1,0077288 = 5.038,64 €
Ejemplo: cálculo de intereses en cuentas corrientes
Una cuenta corriente que remunera un interés del 1,50 % anual ha tenido los siguientes
movimientos durante el último trimestre:
Fecha valor Imposición Reintegro Saldo Nº días
1 abril 5.512,29 46
30 junio 4.761,32
Para calcular la liquidación trimestral de intereses a fecha 30 de junio se procede de la
forma siguiente, a partir del cálculo del saldo medio del trimestre:
MÓDULO 2
5.512,29 · 46 + 6.827,29 · 14 + 6.174,01 · 12 + 4.761,32 · 19 Saldo medio = =
91 = 5.645,06
Cada uno de los términos de la suma del numerador de esta expresión se conoce con el
nombre de números comerciales.
Los intereses de la cuenta corriente se calcularán como si ésta hubiese mantenido el saldo
medio durante los 91 días del trimestre. Así:
91 Intereses brutos = 5.645,06 · 0,015 · = 21,11 €
365
Estos intereses brutos, menos la retención fiscal correspondiente, se acumularán al saldo de 4.761,32 €.
En el caso de que aparecieran saldos negativos durante el periodo de liquidación de inte-
reses, deberían calcularse por separado los saldos medios positivo y negativo, aplicando a
cada uno de ellos el tipo de interés correspondiente, que suele ser distinto.
Ejemplo: cuentas corrientes remuneradas por tramos
Si la cuenta corriente del ejemplo anterior fuese remunerada por tramos, según el cuadro:
Saldo medio Tanto anual
Más de 3.000 € 1,5 %
la liquidación de intereses se efectuaría, a partir del saldo medio, de la forma:
Tramos Intereses
365
365
365
Por lo tanto, los intereses totales brutos serían: 0 + 3,74 + 9,89 = 13,63 €
Si se quisiera saber el tanto de interés al que resulta la cuenta corriente durante este tri-
mestre, procederíamos de la forma siguiente:
MÓDULO 2
365
13,63 i = = 0,00968 = 0,968%
a.2 Actualización a interés simple vencido: descuento matemático o racional
El interés simple vencido también puede utilizarse en operaciones de actualización o descuento. Obsérvese que, despejando a partir de
C t = C 0 · ( 1 + i · t ), se obtiene:
C t C 0 = 1 + i · t
En este caso se denomina descuento matemático o racional. La cuantía Ct
suele denominarse valor nominal y C0 es el valor efectivo.
Su esquema es:
0 t
1 donde es el factor de descuento y representa el valor actual de un
1 + i · t
euro disponible al cabo de t años, al tanto nominal i . Así pues:
C t · (factor de descuento) = C 0
MÓDULO 2
El descuento matemático se utiliza, por ejemplo, en la valoración de las Letras del
Tesoro que vencen en un plazo inferior a un año natural.
Ejemplo: valoración de Letras del Tesoro
En la subasta de Letras del Tesoro a 12 meses, con vencimiento a los 364 días, se esta-
blece un interés anual medio ponderado del 1,842 %.
Para calcular el precio medio de adquisición de una Letra del Tesoro actualizaremos su
valor nominal, 1.000 €, al 1,842 % de descuento matemático durante los 364 días:
1.000 C 0 = = 981,72
1 + 0,01842 · 360
Se debe tener en cuenta que el descuento de Letras del Tesoro se realiza tomando como
base el año comercial, es decir, 360 días.
Esquemáticamente:
1 = 0,98172
360
El valor de 0,98172 significa que 1 € disponible al cabo de 364 días es equivalente a 0,98172
€ de hoy. Mediante el producto determinaremos que por una Letra de nominal 1.000 € se
debe pagar hoy:
1.000 · 0,98172 = 981,72
Resumen:
En una operación de capitalización a interés simple vencido los intereses son C 0 · i · t . Por lo tanto, el capital final obtenido es:
C t = C 0 · (1 + i · t )
donde 1 + i · t es el factor de capitalización.
MÓDULO 2
Resumen:
El interés simple vencido se usa habitualmente en operaciones a corto plazo.
Si se usa en operaciones de actualización, se denomina descuento matemático o racional:
C t C 0 =
1 + i · t
b.1 Actualización a descuento simple comercial
Se utiliza en operaciones financieras de actualización. El sujeto pasivo dispondría en el futuro de un capital, denominado valor nominal, que necesita adelantar a un momento anterior. El sujeto activo le anticipa esa dis-
ponibilidad, pero por ello el sujeto pasivo deberá pagar un precio llamadodescuento. Este descuento es proporcional al valor nominal (C t ), al tanto nomi-
nal o anual pactado (d), expresado en tanto por uno, y al plazo (t), expresado en
años. Es decir, el descuento será:
Descuento = C t · d · t
y, por lo tanto, el valor efectivo que percibirá el sujeto pasivo C 0 será:
C 0 = C t – C t · d · t
o, equivalentemente:
Esta operación se podría esquematizar de la siguiente forma:
1 – d · t
MÓDULO 2
donde 1 – d · t es el factor de actualización del descuento comercial y repre-
senta el valor actual de un euro disponible al cabo de t años, al tanto nominal d .
Es decir:
C t · (Factor de descuento) = C 0
El descuento comercial se utiliza habitualmente en operaciones a corto plazo (en
general, menos de un año), como por ejemplo descuento de ciertos pagarés de
empresa y de efectos comerciales.
Ejemplo:
Una empresa descuenta un efecto comercial de nominal 3.500 € y vencimiento a 62 días
en una entidad bancaria, a una tasa de descuento del 8 % anual. El efectivo que percibi- rá será:
62 C 0 = 3.500 · ( 1 – 0,08 · ) 3.451,78
360
360
62 1 + i · t = 1 – 0,08 · = 0,98622
360
El valor de 0,98622 significa que 1 € disponible al cabo de 62 días es equivalente a
0,98622 € hoy, mediante el producto determinaremos que al descontar el efecto
comercial de 3.500 € se obtendrán:
3.500 · 0,98622 = 3.451,78
Se debe tener en cuenta que el descuento de efectos comerciales se realiza tomando como base el año comercial, es decir, 360 días.
Ejemplo: efecto de las comisiones en el descuento
Si en el descuento anterior la entidad bancaria cobrase una comisión del 0,7 % sobre el
valor nominal, el efectivo que percibiría la empresa sería2:
62 C 0 = 3.500 – 3.500 · 0,08 · – 0,007 · 3.500 = 3.427,28
360
2 El efecto de la comisión sobre la tasa de descuento inicialmente pactada es lo que se conoce como
tirón bancario.
MÓDULO 2
Si se quisiera saber el tanto de interés simple vencido al que resulta la operación de des-
cuento del efecto, procederíamos de la forma siguiente:
3,427,28 3.500
365
3.427,28 · 365
El descuento simple comercial también puede utilizarse en operacionesde interés o capitalización, denominándose en tal caso interés simple anticipado.
Obsérvese que, si despejamos a partir de C 0 = C t · (1 – d · t ), y sustituimos la tasa
de descuento d por una tasa de interés anticipado i a, se obtiene:
C 0C t = 1 – i a · t
Su esquema sería:
0 t
1 donde es el factor de capitalización y representa el valor de un euro
1 – i a · t de hoy dentro de t años, al tanto nominal anticipado i a.
MÓDULO 2
Es decir:
Ejemplo: préstamo a interés anticipado
Una empresa necesita 5.000 € para llevar a cabo un proyecto de inversión. Una entidad
financiera le ofrece un préstamo al 6 % nominal de interés anticipado, a devolver median-
te un solo pago a los 8 meses. Desde el punto de vista de la entidad, el préstamo es una
operación a interés simple anticipado.
Pero, ¿cuál será el nominal del préstamo que deberá solicitar la empresa para disponer hoy
de los 5.000 €?
5.000 C t =
8 1 – 0,06 ·
el nominal del préstamo es: C t = 5.208,33 €
Obsérvese que, en el momento de conceder el préstamo, la entidad percibe unos intere-
ses anticipados de:
12
Por lo tanto, la cantidad neta que recibe la empresa son los 5.000 € (5.208,33 – 208,33)
que precisaba.
Puesto que, generalmente, el mercado ofrece tipos de interés vencidos, será interesante
conocer, a efectos comparativos, cuál es la tasa de interés vencido equivalente a un inte-
rés anticipado para un plazo determinado.
En el ejemplo, el interés simple vencido equivalente se podrá calcular a partir del siguiente esquema:
5.000 5.208,33
12
MÓDULO 2
de donde:
8 5.000 ·
12
Esto significa que, a un plazo de 8 meses, un 6 % de interés simple anticipado es equi-
valente a un 6,25 % de interés simple vencido.
En general, el tanto de interés simple vencido equivalente a un tanto de interés simple anticipado ( i a ), o tasa de descuento comercial, para un plazo t es:
i ai = 1 – i a · t
8 En el ejemplo anterior, si i a= 6% y t = , se obtiene:
12
Ejemplo: depósito con retribución en especie
Una entidad ofrece, por un depósito a 6 meses de 1.500 €, una sandwichera valorada,
según el certificado de retenciones, en 16,50 €. Por lo tanto, la tasa anual de interés anti-
cipado i a que cobra el cliente es:
6 16,50 = 1.500 · i a ·
12
1.500 · 0,5
Obsérvese que el 2,2 % de interés anticipado sería equivalente al tanto de interés simple
vencido que podría calcularse a partir del siguiente esquema:
1.500 – 16,50 1.500
0 6 meses
MÓDULO 2
6 1.500 = (1.500 – 16,50) · 1 + i · = 1.483,50 · (1 + i · 0,5)
12
1.483,50 · 0,5
0,022 i = = 0,02224
1 – 0,022 · 0,5
Resumen:
En una operación de actualización a descuento simple comercial, el descuento es C t · d · t . Por lo tanto, el valor efectivo obtenido es:
C 0 = C t · (1 – d · t )
donde 1 – d · t es el factor de actualización.
El descuento simple comercial se usa habitualmente en operaciones a corto plazo.
Si se usa en operaciones de capitalización se denomina interés simple anticipado ( i a ):
C 0 C t =
1 – i a · t
1 – i a · t
El tanto de interés simple vencido equivalente a un tanto de interés simple anticipado para un plazo t es:
i a i =
MÓDULO 2
¿Cuál es el método usado en capitalización y actualización compuesta?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés compuesto?
¿Qué es y cómo se calcula el tanto efectivo anual de una operación elemental?
¿Qué es y cómo se calcula la TAE de una operación elemental?
¿Qué son y cómo se utilizan los tipos spot y forward ?
¿Cómo se usan todos estos conceptos en algunas operaciones presentes en el
mercado?
a. Interés compuesto
b. Tanto efectivo anual y TAE
b.1 Tanto efectivo anual
c. Tipos spot y forward 3
9
22
2
3
MÓDULO 2
a.1 Capitalización a interés compuesto
A diferencia de la capitalización simple, en la capitalización compuesta el plazo de la operación se divide en periodos de capitalización, y la cuantía acumulada al final de la operación se obtiene mediante un proceso de acumulación periódica de capital e intereses.
Partiendo de un capital inicial C 0, al final de cada uno de los periodos los intere-
ses se acumulan al capital que había al inicio del periodo, y pasa a ser el capital
inicial del periodo siguiente.
Ejemplo:
Se realiza un depósito de 10.000 € durante 2 años, que devenga y acumula semestral-
mente intereses a una tasa nominal del 4 %. Al final del primer semestre, los intereses que
habrá generado el depósito son:
1 10.000 · 0,04 · = 200 €
2
Puesto que estos intereses se suman al capital que había al inicio del periodo, la cuantíaacumulada al final del primer semestre es de 10.200€, cantidad que se considerará capi-
tal inicial para el segundo semestre.
Al final del segundo semestre, los intereses que se han generado son:
1 10.200 · 0,04 · = 204 €
2
Obsérvese que de los 204 € de intereses que se han generado durante este semestre,
200 € se deben a los intereses del capital inicial (10.000 €) y 4 € se deben a los inte-
reses generados durante el primer semestre (200 €). Es decir, hay una capitalización de
los intereses del periodo anterior. Con independencia de su origen, al sumarse dichos intereses al capital existente al inicio del periodo (10.200 €), la cuantía acumulada al
final del segundo semestre es de 10.404 €, cantidad que se considera el capital inicial
para el tercer semestre.
Al final del tercer semestre, los intereses que se han generado son:
1 10.404 · 0,04 · = 208,08 €
2
Estos 208,08 € de intereses generados durante el semestre incluyen los intereses deven-
gados por el capital inicial y los intereses devengados sobre los intereses de los dos semes-
MÓDULO 2
tres anteriores. La cuantía acumulada al final del tercer semestre es de 10.612,08 €, can-
tidad que se considera como el capital inicial para el cuarto y último semestre.
Al final del cuarto semestre, los intereses que habrá generado el depósito son:
1 10.612,08 · 0,04 · = 212,24 €
2
Estos 212,24 € de intereses generados durante el semestre incluyen los intereses
devengados por el capital inicial y los intereses devengados sobre los intereses de los
tres semestres anteriores. Por lo tanto, la cuantía acumulada al final de los dos años es
de 10.824,32 €.
En definitiva, los intereses de cada semestre se obtienen al aplicar el interés simple sobre
la cuantía al inicio de semestre.
Esquemáticamente, este proceso sería:
0 1 2 3 4 semestres
Evidentemente, si el plazo de la operación fuese de 10 años, este proceso sería
largo y reiterativo.
Se puede demostrar que, en general, al final de todo proceso de acumulación periódica de capital e intereses, conocido como interés compuesto, el capital final C t que se obtiene es:
i C t = C 0 · 1 +
k
donde:
C 0: capital cedido al inicio del plazo por el sujeto activo;
i : interés nominal pactado en la operación, expresado en tanto por uno;
k: frecuencia de capitalización o número de veces que se acumulan intereses en un año;
:representa el tanto de interés efectivo correspondiente a un periodo de capitalización;
t: plazo temporal de la operación expresado en años. En consecuencia, el exponente
t · k representa el número total de veces que se han acumulado intereses durante el
plazo de la operación.
MÓDULO 2
1 +
0 t
donde 1 + es el factor de capitalización a interés compuesto y
representa el valor de un euro de hoy dentro de t años, al tanto nominal i con acu-
mulación de intereses k veces al año.
Ejemplo:
Si aplicamos la expresión general al depósito del ejemplo anterior, para el plazo de 2 años,
resulta:
C 0 = 10.000
i = 0,04k = 2, puesto que al devengarse intereses semestralmente, en un año se acumularán
intereses 2 veces.
= = 0,02 = 2% es el tipo de interés efectivo correspondiente a un semestre,
o tanto efectivo semestral, y representa el aumento que en cada semestre experimenta un
euro.
t = 2 años
Por lo tanto, el exponente t · k = 2 · 2 = 4 representa el número total de veces que se han
acumulado intereses durante los 2 años.
Entonces podemos calcular: 0,04
C t = 10.000 · 1 + = 10.824,32 2
Si la operación tuviera una duración de 10 años, en lugar de repetir el proceso de cálcu-
lo y acumulación de intereses para los 20 semestres, se obtiene directamente:
0,04 C t = 10.000 · 1 + = 14.859,47
2
4
MÓDULO 2
Ejemplo:
Una entidad financiera ofrece un producto financiero por el cual, si se invierten hoy
12.000 €, se recibe al cabo de 4 años la cantidad de 13.400 €. En este enunciado faltan
dos parámetros: el interés nominal al que se ha pactado el producto financiero y la fre-
cuencia de pago de los intereses. Cuando no se informa sobre la periodicidad con que se
acumulan los intereses, se supone que se acumulan una vez al año (es decir, se toma k =
1). En consecuencia, ya sólo queda por conocer el interés de la operación, que se obten-
drá a partir de la siguiente ecuación:
13.400 = 12.000 · 1 +
Si se resuelve esta expresión, se obtiene que el valor de i es 0,02797, es decir, un interés
nominal del 2,797 %.
La expresión matemática que permite despejar directamente el valor de i es:
i = t·k – 1 · k
Ejemplo: interés compuesto a tanto variable
Una persona deposita 10.000 € durante 3 años en un producto que ofrece un inte-
rés acumulable trimestralmente y variable cada año. Si los tipos de interés nominales
son del 4 %, 3 % y 2 %, respectivamente, para calcular la cuantía final acumulada se
considera el siguiente esquema:
10.000 C t
Por lo tanto:
0,04 0,03 0,02 C t = 10.000 · 1 + · 1 + · 1 + = 10.937,80
4 4 4
MÓDULO 2
Ejemplo: tratamiento de los periodos residuales
Si en el ejemplo anterior la persona decidiera cancelar el depósito a los 10 meses, para
calcular la cuantía acumulada en ese momento se podrían aplicar las dos fórmulas
siguientes:
0,04 C t = 10.000 · 1 + = 10.337,24
4
2. Aplicando interés compuesto a los tres trimestres completos e interés simple al periodo
residual de un mes:
4 12
La segunda forma de cálculo, la práctica de mercado más habitual, siempre dará una
cuantía C t superior a la primera, coincidiendo ambas al final de cada periodo com-
pleto, es decir, cuando no haya periodo residual.
Hay que tener en cuenta que en muchas operaciones financieras los interesesdevengados periódicamente no se acumulan en la propia operación, sino que se
liquidan al sujeto activo. Por tanto, en cada periodo, los intereses se calculan sobre
la cuantía inicialmente aportada. En este caso, dicho sujeto deberá decidir el des-
tino de los intereses.
Ejemplo:
Se realiza un depósito de 10.000 € durante 2 años que devenga y liquida semestralmen-
te intereses a una tasa nominal del 4 %. Al final del primer semestre, los intereses que
habrá generado el depósito serán:
1 10.000 · 0,04 · = 200 €
2
que liquidan al sujeto activo. Por tanto, el capital existente al inicio del segundo semestre
siguen siendo los 10.000 €.
Puesto que al inicio de cada semestre el capital son los 10.000 €, los intereses devenga-
dos y liquidados semestralmente son de 200 €.
· 49 12
MÓDULO 2
t·k
- t·k
t·k
0 1 2 3 4 semestres
200 € 200 € 200 € 200 €
El destino de los 200 € de interés semestrales dependerá del propio sujeto activo.
a.2 Actualización a interés compuesto
La actualización compuesta se realiza a partir de la expresión ya conocida para el
interés compuesto. En este caso, al despejar a partir de:
i C t = C 0 · 1 +
k
1 + k
o, equivalentemente:
k
MÓDULO 2
1 donde ó 1 + es el factor de actualización a interés
compuesto y representa el valor actual de 1 € disponible al cabo de t años, al
tanto nominal i con frecuencia k .
Ejemplo: actualización a interés compuesto
Se adquiere un activo financiero de vencimiento a tres años, que tiene un valor nominal
de 1.000 €, a un interés del 3,80 % anual. Su precio de compra es el valor actualizado
de la forma siguiente:
1.000 C 0 = = 894,14 €
En una operación de capitalización a interés compues-
to, al final de cada uno de los periodos los intereses seacumulan al capital existente. Por lo tanto, el capital final obtenido es:
Ct = C0 · 1 +
El interés compuesto también se utiliza para actualizar capitales:
Ct C0 =
i
MÓDULO 2
12
Teniendo en cuenta que un tanto nominal de interés compuesto se puede perio-
dificar o acumular de muchas formas (mensualmente, trimestralmente…), es inte-
resante poder calcular su tipo de interés efectivo anual equivalente. Si para el cál-
culo del tanto efectivo anual se consideran las comisiones o gastos de tipo finan-
ciero, aparece la denominada tasa anual equivalente o TAE, de obligada publica-
ción según la normativa vigente.
b.1 Tanto efectivo anual
En toda operación financiera en la que se acumulen periódicamente los intereses, puede calcularse el tipo de interés anual equivalente al tanto nominal pactado para dicha operación. Se denomina tanto efectivo anual y se repre- sentará por l.
Ejemplo:
Si se invierten 1.000€ al 10 % de interés nominal acumulable mensualmente durante un
año, el capital que se obtiene al final es:
0,10C t = 1.000 · 1 + = 1.104,71 12
Para determinar el tipo de interés efectivo anual se tiene:
1.104,71 = 1.000 · ( 1 + I )1
de donde se deduce que I = 0,10471 = 10,471 %.
Obsérvese que el efecto de la acumulación de los intereses hace que el interés efectivo
anual equivalente al 10 % nominal acumulable mensualmente sea superior.
En general, la expresión que permite calcular el tanto efectivo anual equivalente al tanto nominal i de frecuencia k es:
I = 1 + – 1
En el ejemplo anterior, el tanto efectivo anual se hubiese podido determinar a partir de:
0,10

MÓDULO 2
Ejemplo:
Si se depositan 3.500 € durante un plazo de 3 años al 5% de interés nominal acumula-
ble trimestralmente, el capital final que se obtiene es:
0,05 C t = 3.500 · 1 + = 4.062,64
4
El tanto efectivo anual equivalente se podría calcular a partir de la expresión general, así:
0,05 I = 1 + – 1 = 0,05095 = 5,095%
4
También se podría determinar a partir de los capitales inicial y final, y en este caso:
4.062,64 = 3.500 · (1 + I )3
de donde se obtiene:
I = – 1 = 0,05095 = 5,095%
El concepto de tanto efectivo anual no es exclusivo de las operaciones a interés
compuesto. En realidad, puede calcularse para cualquier operación, independien-temente de cómo haya sido pactada. Para ello, basta con conocer los capitales ini-
cial y final y el plazo de la operación, en años, y aplicar la expresión:
I = – 1
Ejemplo:
Un fondo de inversión garantizado ofrece una revalorización del 20 % en 6 años. El tanto
efectivo anual resultante, independientemente de la cantidad colocada, se calculará a par-
tir de:
de donde: I = – 1 = 0,03085 = 3,085%
Si la revalorización del 20 % fuese en un plazo de 6 años y un mes, se hubiese tomado
t = 6 + . En este caso el tanto efectivo anual resultante sería del 3,042 %.
4
4.062,64
3.500
3
MÓDULO 2
b.2 Tasa anual equivalente (TAE)
Si en operaciones financieras con un único capital en la prestación y en la contraprestación, el tanto efectivo anual se calcula teniendo en cuenta las condiciones impuestas por el Banco de España3, que básicamente hace
referencia a determinados gastos de naturaleza financiera que deben considerar-
se, entonces se denomina tasa anual equivalente (TAE).
Ejemplo: TAE de una operación de activo con comisiones
Se concede un préstamo de 10.000 € que hay que devolver a los 6 meses en un solo
pago, a un tanto nominal del 8 % que acumula mensualmente intereses, con una comi-
sión de apertura del 1 %. La cuantía que hay que devolver es:
0,08 C t = 10.000 · 1 + = 10.406,73
12
0,08 I = 1 + – 1 = 0,083 = 8,30%
12
I = – 1 = 0,083 = 8,30%
Sin embargo, para calcular la TAE hay que tener en cuenta la comisión de apertura. El
prestatario, en realidad, recibirá 10.000 – 0,01 · 10.000 = 9.900 €. Por tanto:
TAE = – 1 = 0,105 = 10,50%
Ejemplo: TAE de una operación de pasivo con comisiones
Una cuenta corriente ha mantenido un saldo constante de 2.514 € durante todo el año.
Esta cuenta se remunera al 1% de interés nominal y tiene una comisión de mantenimiento
de 6 € que se liquidan a final de año. La cuantía final, sin tener en cuenta la comisión,
será:
Ct = 2.514 · (1 + 0,01)1 = 2.539,14
3 Circular 8/90 de 7 de septiembre sobre Transparencia de las operaciones y protección de la clientela,
y sus modificaciones posteriores.
MÓDULO 2
El tanto efectivo anual es del 1%. Sin embargo, para calcular la TAE debe tenerse en cuen-
ta la comisión de mantenimiento. En realidad, el cliente recibirá 2.539,14 – 6 = 2.533,14 €.
Por tanto:
TAE = – 1 = 0,0076 = 0,76%
Puede comprobarse que en la operación de activo las comisiones hacen que la TAE sea más alta que el interés efectivo anual. En cambio, en la opera- ción de pasivo, el efecto de las comisiones es el contrario.
Ejemplo: TAE de una operación sin comisiones
Se constituye una IPF a 9 meses por un importe de 5.000 €, con abono mensual de inte-
reses al 3,75 % nominal. Al no haber comisiones, coincidirán el tanto efectivo anual y la
TAE:
12
El tanto efectivo anual de una operación elemental puede calcularse:
Si se conoce el tanto de interés nominal y su frecuencia:
I = 1 + – 1
Si se conocen los capitales inicial y final y el plazo:
I = – 1
Si para el cálculo del tanto efectivo anual se tienen en cuenta los gastos financieros que especifica la normativa vigente, se obtiene la TAE.
i
k
k
MÓDULO 2
El tipo spot asociado a un vencimiento, también denominado tipo de con- tado, es el tipo de interés anual vigente hoy para un activo financiero.
Se calcula4 teniendo en cuenta que lo que se establece en el mercado para cada
vencimiento son los precios de compra y de amortización del activo. Como el pre-
cio de compra varía diariamente según las condiciones del mercado, el tipo spot
asociado a cada vencimiento también variará diariamente.
Ejemplo:
Un activo financiero de nominal 1.000 € y con vencimiento a los 18 meses se compra por
953,62 €. El tipo spot asociado al plazo de 18 meses está determinado por el interés anual del activo, es decir:
1.000 = 953,62 · ( 1 + i )1,5
Por tanto, el tipo de interés spot a 18 meses es: i = 0,03217 = 3,217 %
Ejemplo:
Un activo financiero de nominal 1.000 €
y con vencimiento dentro de 3 años hoy tieneun valor de mercado del 90,541 %. El tipo spot asociado al plazo de 3 años está deter-
minado por el interés anual ofrecido por el activo, es decir:
1.000 = 905,41 · ( 1 + i )3
Por tanto, el tipo de interés spot a 3 años es: i = 0,03368 = 3,368 %
Si se representan gráficamente los tipos spot, asociados a cada uno de los vencimientos, se obtiene una curva de tipos de interés. El objetivo de esta
curva es conocer hoy las expectativas sobre cómo pueden evolucionar los tipos de
interés en el futuro.
Por ejemplo, una curva creciente significa que las operaciones a más largo plazo
ofrecen más interés; por lo tanto, se prevé que los tipos de interés evolucionen al
alza. En cambio, una curva plana significa que los tipos de interés se mantendrán
aproximadamente constantes en el futuro.
4 Para vencimientos inferiores a 1 año se calcula a interés simple, y para vencimientos superiores a inte-
rés compuesto.
MÓDULO 2
Dados dos tipos spot con diferentes vencimientos, el tipo forward asociado a dichos vencimientos, también denominado tipo a plazo, es el tipo de interés anual que permite capitalizar el tipo spot de menor vencimiento de forma que el resultado conjunto sea equivalente al tipo spot
de mayor vencimiento.
Ejemplo:
Dados los dos tipos spot a 18 y 36 meses de los ejemplos anteriores, el tipo forward ( i f ),
vigente dentro de 18 meses y para un plazo de 18 meses, se representará esquemática-
mente a partir de:
3,368%
Por tanto, será aquel tipo de interés anual que iguale:
(1 + 0,03368)3 = (1+ 0,03217)1,5 · (1 + i f ) 1,5
de donde se deduce que el tipo de interés forward asociado a estos dos vencimientos es:
i f = 0,03519 = 3,519 %
Este sería el tanto de interés al que se debería reinvertir el primer activo a su vencimiento,
durante 18 meses, para obtener el mismo tipo de interés que con el segundo activo al final
del plazo.
Resumen:
El tipo spot asociado a un vencimiento es el tipo de interés anual vigente hoy para un activo financiero.
El tipo forward asociado a dos vencimientos es el tipo de interés anual que permite capitalizar el tipo spot de menor vencimiento, de forma que el resultado conjun- to sea equivalente al tipo spot de mayor vencimiento.
MÓDULO 2
¿Qué se entiende por rentabilidad de una operación financiera?
¿Cuáles son los factores que afectan a la rentabilidad de una operación?
¿Cuáles son las medidas de rentabilidad más habituales, dependiendo de los fac-
tores que se consideren?
a. Concepto de rentabilidad
b. Medidas de rentabilidad
b.1 Rentabilidad simple b.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR), Tasa anual equivalente (TAE)
y Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
b.2.1 Tasa interna de rentabilidad
b.2.2 Tasa anual equivalente
b.3 Tasa geométrica de rentabilidad (TGR)
b.4 Rentabilidad real
MÓDULO 2
En general, la idea de rentabilidad hace referencia a la relación que se
establece entre los rendimientos obtenidos de una operación y el capital
invertido en ella. Esta relación, normalmente, se expresa en porcentaje, ya sea
como rendimiento obtenido por cada 100 unidades monetarias invertidas
durante todo el plazo de la operación (se trataría de un interés efectivo) ,
o como rendimiento obtenido en un año por cada 100 unidades invertidas
(se trataría de un interés nominal o bien de un interés efectivo anual).
Ejemplo:
Si una persona compra acciones por valor de 5.350 € y las vende a los 3 años por
6.535 €, ha obtenido los rendimientos dados por la diferencia:
6.535 - 5.350 = 1.185 €
Por lo tanto, una primera manera elemental de determinar la rentabilidad que ha obteni-
do el inversor es el interés efectivo:
6.535 – 5.350 = 0,2215 = 22,15%
5.350
y significa que, por cada euro invertido, se han obtenido 0,2215 € al cabo de 3 años.
Hay que considerar que esta medida no tiene en cuenta el plazo de la inversión. De
manera que, por ejemplo, si la inversión tuviera un plazo de un año, el interés efectivo
resultaría el mismo. En cambio, es evidente que esta segunda posibilidad es claramen-
te favorable para el inversor.
Para tener en cuenta el plazo de la inversión, se suelen calcular las rentabilidades anuales.
Hay dos formas de anualizar la rentabilidad:
Interés nominal: utiliza la expresión del interés simple para obtener la rentabilidad.
En el ejemplo anterior:
5.350 · 3 3
La interpretación del interés nominal es que por cada euro inicial y por cada año de
inversión se han obtenido 0,0738 €.
Interés efectivo anual: utiliza la expresión del interés compuesto con capitalización
anual de intereses para obtener la rentabilidad. En el ejemplo:
– 1 = 0,06897 = 6,897%
MÓDULO 2
La interpretación del interés efectivo anual es que por cada euro inicial y por cada año
de inversión se han obtenido 0,06897 €, lo que supone una acumulación anual de
intereses.
Existen diferentes maneras de cuantificar la rentabilidad de una inversión, en fun-
ción de los factores que se quieran considerar (comisiones, inflación, fiscalidad,
etc.) y de las hipótesis de trabajo (formas de reinversión de los flujos intermedios,
forma de anualización,...). En cualquier caso, todas las medidas de rentabilidad
serán de alguno de los tres tipos de interés mencionados en el apartado anterior.
A continuación, se estudiarán las principales medidas de rentabilidad utilizadas en
el mercado.
b.1 Rentabilidad simple
Es un interés efectivo suponiendo que todos los flujos monetarios inter-
medios generados por la operación, independientemente del instante en
que se producen, se imputan en el instante final de la misma. En realidad
esta suposición equivale a que todos los cobros y pagos intermedios se reinviertan al 0% durante todo el resto de la operación. Es decir:
(C t + D – G) – C 0RS = C 0
donde:
C 0 : capital invertido al inicio de la operación
C t : capital obtenido al final de la operación
D : suma de todos los ingresos generados durante la operación (dividendos, intereses, cupones,...)
G : suma de todos los gastos asociados a la operación (comisiones,...)
Resumen:
el capital invertido, los rendimientos obtenidos y el
plazo necesario para generarlos. Se puede medir como
una tasa nominal o como una tasa efectiva.
b. Medidas de rentabilidad
MÓDULO 2
Por ser un interés efectivo, para interpretar adecuadamente la rentabilidad sim-
ple, deberá mencionarse el plazo en que se ha generado.
Ejemplo:
Si en la compraventa de acciones a 3 años del ejemplo del apartado a., el inversor recibe
unos dividendos de 125 € al cabo de 1 año de la compra y de 150 € a los 2 años, y en
el momento de la venta debe pagar unos gastos de 80 €, entonces, la rentabilidad sim-
ple RS será:
5.350
En realidad, es como si los dividendos y los gastos se hubiesen liquidado en el momento de la venta. Es decir, no se tiene en cuenta el instante en que se producen los cobros y
pagos. Además, como en su cálculo no se toma en consideración el plazo de la inversión,
debería decirse que se ha obtenido una rentabilidad del 25,79% en un plazo de tres años.
b.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR), Tasa anual equivalente (TAE) y Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
A diferencia de la rentabilidad simple, las tres tasas siguientes tendrán en
cuenta la reinversión de los flujos monetarios que se produzcan a lo largode la inversión.
b.2.1 Tasa interna de rentabilidad
Una de las medidas de la rentabilidad de una inversión más conocida y usada, que
considera el instante en que se sitúan cada uno de los cobros y pagos, es
la Tasa interna de rentabilidad o TIR.
La TIR es un tipo de interés efectivo, generalmente anual que iguala los
valores actuales de los flujos de cobros y pagos. (En realidad, iguala el valor
de los cobros y de los pagos en cualquier instante).
En general, para calcular la TIR se tiene que resolver la siguiente ecuación:
P 1 P 2 C 1 C 2+ + ···· = + + ···· (1 + r )t
1 (1 + r )t 2 (1 + r )T
1 (1 + r )T 2
donde:
P 1 , P 2 ,... : cuantías de los diferentes pagos
t 1 , t 2 ,... : instantes en que se hacen efectivos los pagos respectivos (expresados en años) C 1 , C 2 ,... : cuantías de los diferentes cobros
T 1 , T 2 ,... : instantes en que se hacen efectivos los cobros respectivos (expresados en años)
MÓDULO 2
Ejemplo:
Tomamos de nuevo el ejemplo de la compraventa de acciones a 3 años, con los dividen-
dos y gastos asociados. Se puede plantear el siguiente esquema de flujos de cobros y
pagos:
Pagos: 5.350 80
Por lo tanto, la TIR será la tasa efectiva anual de interés, r , que hace que se igualen los
valores actuales:
80 125 150 6.535 5.350 + = + +
(1 + r )3 (1 + r )1 (1 + r )2 (1 + r )3
Para resolver este tipo de ecuaciones se necesitan calculadoras financieras. La solución en
este caso resulta:
r = 0,081274 = 8,1274%
Ejemplo: TIR de un bono
Se adquiere un Bono del Estado a 3 años, con cupón anual del 3,20%, en el mercado
secundario al 96,75%. Si el Bono se emitió hace 95 días, se mantiene hasta el vencimiento
y se supone que no hay gastos asociados, se puede calcular la TIR de la operación a par-
tir del siguiente esquema de flujos de cobros y pagos:
Cobros: 32 32 1.032
Pagos: 967,5
32 32 1.032 967,5 = + +
de donde:
MÓDULO 2
b.2.2 Tasa anual equivalente
Si la tasa interna de rentabilidad o TIR se calcula tomando en considera-
ción las condiciones impuestas por el Banco de España, que, como ya se dijo,
hacen referencia básicamente a determinados gastos de naturaleza financie-
ra que deben incluirse, entonces se obtiene la medida de rentabilidad
conocida como Tasa anual equivalente (TAE).
b.2.3 Tasa de rentabilidad efectiva
Como se ha visto, la ecuación que permite obtener la TIR está basada en el inte-
rés compuesto, lo que significa que es como si todos los flujos monetarios se reinvirtiesen a un tipo de interés exactamente igual a dicha TIR. Esta hipótesis,
habitualmente, no tiene porqué verificarse. Por lo tanto, aparece el denomina-
do riesgo de reinversión.
Ejemplo:
En el ejemplo de la compraventa de acciones a 3 años, cuya TIR es del 8,1274%, se puede
comprobar que si los dividendos se reinvierten a esa misma tasa, el capital final que se
hubiese acumulado al final de los 3 años sería:
C t = 125 · (1 + 0,081274)2 + 150 · (1 + 0,081274)1 + 6.535 – 80 = 6.763,34
Por lo tanto, si por una inversión de 5.350 € se obtienen a los 3 años 6.763,34 €, la ren-
tabilidad efectiva anual es:
5.350 · (1 + r )3 = 6.763,34
de donde r = 0,081274 = 8,1274%.
Si se tiene en cuenta la tasa de interés a que se reinvierten los flujos monetarios
que se producen durante la inversión, aparece la denominada Tasa de rentabilidad efectiva (TRE). Así pues, la TRE es el tanto efectivo anual al que resul-
ta una operación si consideramos la tasa de reinversión de los flujos
intermedios.
Ejemplo:
Si en el ejemplo anterior se consideran diferentes tasas de reinversión y se representa por
i la tasa a que se reinvierten los dividendos, entonces, el capital final acumulado a los 3
años, será:
C t = 125 · (1 + i )2 + 150 · (1 + i )1 + 6.535 – 80
MÓDULO 2
Por lo tanto, si por una inversión de 5.350 € se obtienen a los 3 años C t €, la tasa de ren-
tabilidad efectiva se obtendrá de:
5.350 · (1 + TRE )3 = C t
En la siguiente tabla aparece la TRE para diferentes tasas de reinversión:
Tasa de reinversión C t TRE
0% 6.730,00 7,949%
3% 6.742,11 8,014%
5% 6.750,31 8,058%
8,1274% 6.763,34 8,1274%
10% 6.771,25 8,170%
12% 6.779,80 8,215%
Se comprueba que, efectivamente, la TIR es un caso particular de la TRE, cuan-
do la tasa de reinversión coincide con la propia TIR.
Por otra parte, cuanto mayor sea el horizonte de la inversión y mayores los
flujos y frecuencia monetarios, mayor importancia tendrá el riesgo de
reinversión.
b.3 Tasa geométrica de rentabilidad (TGR)
La Tasa geométrica de rentabilidad (TGR) de una inversión, cuyo horizon-
te temporal se divide en periodos, es el tanto efectivo anual que hace
equivalentes los valores inicial y final de la inversión, teniendo en cuen-
ta que los flujos intermedios que se producen en cada periodo se rein-
vierten dentro de la misma inversión.
Asi mismo, al dividir el plazo de la inversión en periodos, se demuestra que se
puede calcular a partir de una media geométrica de las rentabilidades simples de
cada uno de los periodos. En general:
TGR = (1 + RS 1 ) · (1 + RS 2 ) · ··· · (1 + RS n ) – 1
donde:
t: horizonte temporal de la inversión en años
RS 1 , RS 2 , ..., RS n : rentabilidades simples de los respectivos n periodos
t
MÓDULO 2
Ejemplo:
Hace 2 años y medio se adquirieron 1.000 participaciones en un fondo de inversión, al
precio de 15 € cada una. Un año después, el valor liquidativo de las participaciones era
de 18 €, y dos años después, era de 16 €. Si hoy se ha vendido cada una a 20 €, la tasa
geométrica de rentabilidad se determinará a partir del esquema:
15.000 18.000 16.000 20.000
0 1 2 2,5 años
Por ser un tanto efectivo anual, podemos calcular la tasa geométrica de rentabilidad de la
siguiente manera:
15.000 · (1 + TGR) 2,5 = 20.000
de donde: TGR = 0,12196 = 12,196 %
De la misma manera, se puede calcular la TGR a partir de las rentabilidades simples de
cada periodo:
15.000
18.000
16.000
TGR = (1 + 0,20) · ( 1 – 0,1111) · (1 + 0,25) – 1 = 0,12196 = 12,196%
b.4 Rentabilidad real
Se entiende por rentabilidad real de una inversión la tasa de rentabilidad
que se obtiene si se descuenta el efecto de la inflación existente durante
el plazo de la inversión. Se calcula a partir de la expresión:
R –
: tasa de inflación
MÓDULO 2
Ejemplo:
Por una inversión de 10.000 € se han obtenido en un año 10.800 €, y la inflación en este
periodo ha sido del 3,5%. Como la rentabilidad de la inversión es del 8%, la rentabilidad
real es:
1 + 0,035
Rreal R –
Para que la aproximación sea buena, la inflación debe ser pequeña.
Ejemplo:
R real 0,08 – 0,035 = 0,045 = 4,5%

Cada una de ellas considera distintos aspectos de la
operación (comisiones, inflación,...) y se basa en dife-
rentes hipótesis para su cálculo (formas de reinversión
de los flujos intermedios, forma de anualización,...).
La rentabilidad simple (RS) supone que los flujos mone-
tarios se reinvierten al 0%, mientras que en la TIR se reinvierten a una tasa igual a la misma TIR. La TAE es
una TIR que tiene en cuenta los gastos de naturaleza
financiera. En cambio, en la TRE, los flujos se reinvier-
ten a una tasa cualquiera.
La Tasa geométrica de rentabilidad (TGR) es la media
geométrica de las rentabilidades simples de los perio-
dos en que se divide el plazo de la inversión.
Por otro lado, la rentabilidad real descuenta el efecto
de la inflación.
MÓDULO 2
MÓDULO 2
¿Qué tipo de información permite usar las medidas estadísticas?
¿Qué significan y cómo se calculan la media y la esperanza a partir de una mues-
tra de datos? ¿Cuál es la varianza y la desviación tipo?
¿Cómo medir e interpretar el grado de relación que existe entre dos series de datos?
¿Cómo se obtiene, a partir de una serie histórica de cotizaciones de un título, su
rentabilidad histórica?
¿Cómo se puede estimar la rentabilidad esperada de un activo?
¿Qué es el riesgo de un activo financiero y cómo se utiliza la volatilidad como
medida del riesgo de un activo?
¿Cómo obtener la rentabilidad esperada de una cartera formada por diversosactivos?
Introducción
c. Covarianza
d. Rentabilidad
e. Riesgo
e.2 Consecuencias de la hipótesis de normalidad
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MÓDULO 2
En el campo de las finanzas y de la economía en general, uno de los objetivos fun-
damentales es la comprensión del comportamiento histórico de los fenómenos
estudiados para, a partir de ellos y mediante la observación de sus posibles regu-
laridades, intentar estimar la tendencia futura.
En concreto, en el análisis de inversiones, a partir de los datos históricos disponi-
bles sobre las cotizaciones, dividendos, derechos, valores liquidativos, etc., de
acciones, fondos de inversión u otros activos, se procede a construir una serie his- tórica de rentabilidades. El cálculo de ciertas medidas estadísticas de esta serie nos permitirá tener un cierto grado de conocimiento sobre su comportamiento y, en la medida en que éste se pueda mantener en el futuro, permitiría realizar previsiones.
Evidentemente, las previsiones también pueden generarse a partir de la experien-
cia del gestor, que valorará subjetivamente las posibilidades de que, en el futuro,
se produzcan diferentes escenarios, a los que se asociará una probabilidad de ocu-
rrencia en función de toda la información de que disponga.
En ambos casos se acostumbran a utilizar técnicas estadísticas muy variadas y con
diferentes niveles de complejidad. En este capítulo, se introducirán brevemente y
de forma elemental, algunas medidas estadísticas fundamentales, que son las más
usadas en el análisis de inversiones.
Introducción
MÓDULO 2
Se introducen, en primer lugar, las denominadas medidas de tendencia central. La idea general de todas ellas es calcular un valor que represente, en promedio, el comportamiento de un conjunto de datos. A pesar de que existen
otras medidas, se explican únicamente la media aritmética de unos datos conoci-
dos y la esperanza matemática de unos sucesos con una probabilidad asignada.
Dado un conjunto de datos x 1 , x 2 , ..., x n , su media aritmética, x , es:
x 1 , x 2 , ..., x nx = n
Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice durante una semana han sido 6.951,00;
7.023,80; 7.030,40; 7.119,10 y 7.129,50, su media aritmética es:
6.951,00 + 7.023,80 + 7.030,40 + 7.119,10 + 7.129,50 x = = 7.050,76
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Por otra parte, si una variable X se representa mediante una serie de resultados
x 1 , x 2 , ..., x n , con unas probabilidades respectivas asociadas p1 , p2 , ..., pn ,
entonces, la esperanza matemática, es:
E (X) = p1 · x 1 + p2 · x 2 + ... + pn · x n
Ejemplo:
Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la cotización del índice dentro de un mes:
Escenario Probabilidad Cotización (X)
Pesimista 0,25 7.020
Normal 0,50 7.100
Optimista 0,25 7.250
Entonces, la cotización esperada se calcula a partir de la esperanza matemática:
E(X) = 0,25 · 7.020 + 0,50 · 7.100 + 0,25 · 7.250 = 7.117,5
a. Media y esperanza
MÓDULO 2
Resumen:
Las medidas de tendencia central más utilizadas en el análisis y selección de inversiones son la media aritmé- tica ( x ) y la esperanza matemática ( E(X) ). Su diferencia estriba en el hecho que se conozcan todos los valores que ha tomado una variable o en que se fije la probabilidad de que se den esos valores. Respectiva- mente, se calculan a partir de las expresiones:
x 1 , x 2 , ..., x n x = n
E (X) = p1 · x 1 + p2 · x 2 + ... + pn · x n
b. Varianza y desviación tipo
Si tenemos en cuenta que las medidas anteriores pretenden representar, en pro-
medio, un conjunto de datos, se introducen otras medidas estadísticas como
forma de valorar la dispersión de los datos respecto de su media o espe-ranza. Las medidas de dispersión más utilizadas son la varianza y la des- viación tipo o estándar.
Dado un conjunto de datos x 1 , x 2 , ..., x n , su varianza se representa por 2 y es:
( x 1 – x)2 + ( x 2 – x)2 + ... + ( x n – x)2
2 =
n
donde:
( x i – x ): desviación de cada dato respecto de la media
( x i – x )2: desviación de cada dato al cuadrado, para que las
desviaciones positivas y negativas no se compensen
n: número de observaciones
La desviación tipo o desviación estándar del conjunto de datos anterior se representa por y es la raíz cuadrada de la varianza:
( x 1 – x)2 + ( x 2 – x)2 + ... + ( x n – x)2
= n
MÓDULO 2
Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice, durante la semana, han sido 6.951,00; 7.023,80;
7.030,40; 7.119,10 y 7.129,50, como su media aritmética es de 7.050,76, la varianza y
la desviación tipo se calcularán:
Día Cotización ( x i ) x i – x ( x i – x )2
1 6.951,00 -99,76 9.952,0576
2 7.023,80 -26,96 726,8416
3 7.030,40 -20,36 414,5296
4 7.119,10 68,34 4.670,3556
5 7.129,50 78,74 6.199,9876
Suma 0 21.963,772
Se comprueba que la suma de las desviaciones es cero, ya que se compensan las que están
por encima de la media con las que están por debajo. Para evitarlo se elevan al cuadrado,
y su media es la varianza:
21.963,772
2 = = 4.392,75 5
Para corregir el efecto de haber elevado las desviaciones al cuadrado, la raíz cuadrada de
la varianza da la desviación tipo, que será una medida comparable con la media por estar
expresada en las mismas unidades:
= 4.392,75 = 66,28
Por otra parte, si queremos estimar una variable X que se representa mediante una serie de resultados x 1 , x 2 , ..., x n , con unas probabilidades res-
pectivas asociadas p1 , p2 , ..., pn , entonces, la varianza es:
2 (X) = p1 · ( x 1 – E ( X ))2 + p2 · ( x 2 – E ( X ))2 + ... + pn · ( x n – E ( X ))2
donde:
x i – E ( X ): desviación de cada dato respecto de la esperanza matemática
(x i – E ( X ))2 : desviación de cada dato al cuadrado
La desviación tipo o desviación estándar del conjunto de datos anterior se representa por y es la raíz cuadrada de la varianza:

MÓDULO 2
Ejemplo:
Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la cotización del índice dentro de un
mes:
Pesimista 0,25 7.020
Normal 0,50 7.100
Optimista 0,25 7.250
Como su cotización esperada E(x) es 7.117,5, la varianza y la desviación tipo se calcularán:
Escenario Probabilidad Cotización (X) x i – E(X) ( x i – E ( X ))2 pi · ( x i – E ( X ))2
Pesimista 0,25 7.020 -97,50 9.506,25 2.376,56
Normal 0,50 7.100 -17,50 306,25 153,13
Optimista 0,25 7.250 132,50 17.556,25 4.389,06
La varianza será la suma de los términos de la última columna:
2(x) = 2.376,56 + 153,13 + 4.389,06 = 6.918,75

Resumen:
Las medidas de dispersión se utilizan para medir el grado de oscilación de un conjunto de valores respecto de su media o de su esperanza matemática. Las más utilizadas son la varianza y la desviación tipo. Mientras que la varianza se calcula a partir de las siguientes
expresiones:
( x 1 – x )2 + ( x 2 – x )2 + ... + ( x n – x )2
2 =
n
2(X) = p1 ( x 1 – E(X))2 + p2 ( x 2 – E(X))2 + ... + pn ( x n – E(X))2
La desviación tipo es la raíz cuadrada de la varianza.
( x 1 – x )2 + ( x 2 – x )2 + ... + ( x n – x )2
= n

MÓDULO 2
c. Covarianza
Para estudiar el grado de relación entre las variaciones de dos conjuntos de datos, se introduce la covarianza. Es una medida estadística que cuantifi- ca el tipo de relación lineal que se establece entre los movimientos de dos series distintas de datos.
Dados dos conjuntos de datos asociados de la siguiente forma:
X x 1 x 2 ... x n
Y y 1 y 2 ... y n
su covarianza se representa por XY y es:
( x 1 – x) · ( y 1 – y) + ( x 2 – x) · ( y 2 – y) + ... + ( x n – x) · ( y n – y) XY =
n
donde:
x i – x : desviación de cada dato de la serie X respecto de la media x
y i – y : desviación de cada dato de la serie Y respecto de la media y (x i – x) · (y i – y): producto de las desviaciones asociadas a cada par de datos
La interpretación de la covarianza reside básicamente en su signo:
Si XY > 0 ambas series se mueven, por término medio, en el mismo sentido.
Si XY < 0 ambas series se mueven, por término medio, en sentido contrario.
Si XY = 0 existe independencia lineal entre los movimientos de ambas
series.
Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice I y de un activo A durante una determinada sema-
na se recogen en la siguiente tabla:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
I 6.951,00 7.023,80 7.030,40 7.119,10 7.129,50
A 14,79 14,92 14,88 14,99 15,00
MÓDULO 2
Como la media de un índice en dicha semana es de 7.050,76, la del título A es de 14,916
y las desviaciones tipo son, respectivamente, 66,28 y 0,077, la covarianza entre ambas
se

instrumentos y mercados financieros

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