Instrumentos de medición de: Orden Cero, Primer Orden y Segundo Orden

Miguel Espinoza & Francisco Changotasi & Daniel García

Mayo 2016.

Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”.

Departamento de Eléctrica y Electrónica.

Dispositivos y mediciones

ii

Copyright © 2016 por Miguel Espinoza & Francisco Changotasi & Daniel García. Todos

los derechos reservados.

iii Resumen

El orden de los instrumentos de medición está relacionado con el número de elementos

almacenadores de energía independientes que incluye el sensor, y repercute en su exactitud y

velocidad de respuesta. Esta clasificación es de gran importancia cuando el sensor forma parte de

un sistema de control en lazo cerrado.

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TABLA DE CONTENIDO Justificación ................................................................................................................................... vi

1. Instrumentos de Medición Orden Cero ............................................................................... 1 1.1. Características ................................................................................................................. 1 1.1.1. Características dinámicas de un sistema de medición. ............................................... 1 1.2. Ejemplo. .......................................................................................................................... 2 2. Instrumentos de Medición de Primer Orden ....................................................................... 3 2.1. Características ................................................................................................................. 3

2.2. Ejemplo ........................................................................................................................... 9

3. Instrumentos de Medición de Segundo Orden .................................................................. 10 3.1. Características ............................................................................................................... 10 3.2. Ejemplo ......................................................................................................................... 12

Conclusiones ................................................................................................................................. 15 Bibliografía ................................................................................................................................... 15

TABLA DE FIGURAS

Figura 1: Potenciómetro como medidor de desplazamiento ............................................... 2 Figura 2: Respuesta al escalón y a una señal cambiante en un sistema de orden cero. ...... 2

Figura 3. Condiciones para crear un escalón ...................................................................... 4 Figura 4. Resultado Normalizado ....................................................................................... 4

Figura 5. Gráfica de error .................................................................................................... 5 Figura 6. Rango de Tolerancia ............................................................................................ 6 Figura 7. Error ..................................................................................................................... 7 Figura 8. Error Mediante..................................................................................................... 8 Figura 9. Análisis ................................................................................................................ 9

Figura 10. Respuesta de un sistema de 2do orden ............................................................ 11 Figura 11. Tiempo muerto ................................................................................................ 13

v Objetivos

Objetivo principal

Investigar sobre los instrumentos de medición de orden cero, primer orden y segundo

orden,

Objetivos específicos

- Conocer las características principales sobre cada instrumento de medición.

- Identificar las diferencias entre los mismos.

- Comprobar su uso mediante ejemplos.

vi Justificación

Las características dinámicas de un sistema de medida describen su comportamiento ante una

entrada variable. Este comportamiento es distinto al que presentan los sistemas cuando las

señales de entrada son constantes debido a la presencia de inercias (masas, inductancias),

capacidades (eléctricas, térmicas) y en general elementos que almacenan energía.

El tipo de entrada puede ser transitoria (impulso, escalón, rampa), periódica (sinodal) o aleatoria

(ruido). La elección de una u otra depende del tipo de sensor.

Es importante en el ámbito de la instrumentación la respuesta de un sistema o equipo ante un

cambio brusco de la variable de entrada (señal escalón) porque estos incorporan los efectos

dinámicos propios del sistema.

Los sistemas pueden tener muchos tipos de respuestas al escalón, eso depende del orden del

numerador y el denominador de su Función de Transferencia. La respuesta es similar a la que

presentaría un sistema de primer orden o de segundo orden (en el denominador).

1

1. Instrumentos de Medición Orden Cero

1.1.Características

1.1.1. Características dinámicas de un sistema de medición.

Para el estudio de las características de un instrumento o sistema de medición, se necesita un

modelo matemático que encierre a todos los detalles existentes de la relación dinámica entre

una entrada y una salida. (Rivera, 2005)

El modelo matemático general de un sistema de medición es la ecuación diferencial ordinaria

con coeficientes constantes:

Donde:

𝑞𝑜 ⇒𝐶𝐴𝑁𝑇𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑆𝐴𝐿𝐼𝐷𝐴

𝑞𝑖 ⇒ 𝐶𝐴𝑁𝑇𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴

𝑡 ⇒ 𝐶𝐴𝑁𝑇𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑆𝐴𝐿𝐼𝐷𝐴

𝑎′𝑠, 𝑏´𝑠 ⇒𝐶𝐴𝑁𝑇𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑆𝐴𝐿𝐼𝐷𝐴

Si se define el Operador 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡

Orden cero.

El caso más frecuente sucede cuando todas las 𝑎′𝑠, 𝑏´𝑠 en la ecuación general son

equivalente a cero excepto 𝑎0 𝑦 𝑏0. Entonces EDO queda de la forma:

Cualquier instrumento de medición que tenga la forma de esta ecuación es considerado

como instrumento de orden cero.

2

𝐾 =𝑏𝑜

𝑎0 (sensitividad estática)

Los instrumentos de orden cero interpretan el "comportamiento dinámico

perfecto" (Rivera, 2005). Como se puede ver en la ecuación anterior, no importa si 𝑞𝑖 cambia o no respecto al tiempo.

La salida del instrumento sigue perfectamente a la entrada, sin retardo y sin distorsión.

1.2.Ejemplo.

Un ejemplo claro sería el de un potenciómetro como medidor de desplazamiento

Figura 1: Potenciómetro como medidor de desplazamiento

Si la resistencia distribuida es lineal se puede decir que:

Figura 2: Respuesta al escalón y a una señal cambiante en un sistema de orden cero.

3

2. Instrumentos de Medición de Primer Orden

2.1.Características

Un caso simple que se puede dar sobre los instrumentos de primer orden en donde todas

las a’s y b’s de la ecuación son cero, son considerar a 𝑎1, 𝑎0 y 𝑏0. Obtenemos la siguiente

ecuación diferencial

𝑎1

𝑑𝑞0

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑞0 = 𝑏0𝑎𝑖

Al cumplir con esta ecuación se considera un instrumento de primer orden.

Si se divide para 𝑎0; ya que necesitamos los parámetros 𝑎1, 𝑎0 y 𝑏0.

𝑎1

𝑎0

𝑑𝑞0

𝑑𝑡+ 𝑞0 =

𝑏0

𝑎0𝑎𝑖

(𝜏𝐷 + 1)𝑞0 = 𝐾𝑞𝑖

𝐾 =𝑏0

𝑎0=→ 𝑆𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 (entrada/salida)

𝜏 =𝑎1

𝑎0=→ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (tiempo)

𝑞0

𝑞𝑖

(𝐷) =𝐾

(𝜏𝐷 + 1)

(Rivera, 2005)

Respuesta al Escalón de instrumentos de primer Orden

Tenemos como condiciones 𝑞𝑖 = 𝑞0 = 0 en 𝑡 = 0 para crear un escalón, es decir crear un

incremento de la carga 𝑞𝑖𝑠 para 𝑡 > 0. (Rivera, 2005)

𝑞0(𝑠) =𝐾

(𝜏𝑠 + 1)𝑞𝑖𝑠(𝑠)

𝑞0(𝑡) = 𝐾 (1 − 𝑒−𝑡𝜏) 𝑞𝑖𝑠

4

Figura 3. Condiciones para crear un escalón

La velocidad con la cual tenemos una respuesta depende del valor que tenga 𝜏, entonces

existe una relación si 𝜏 es de magnitud baja la velocidad será más rápida. Y si

minimizamos 𝜏 obtenemos la medida dinámica.

El resultado normalizado se lo presenta de la siguiente manera:

𝑞0(𝑡)

𝐾𝑞𝑖𝑠(𝑡)= 1 − 𝑒−

𝑡𝜏

Figura 4. Resultado Normalizado

5

Como en toda medición siempre se obtiene un error, el error se lo representa con 𝑒𝑚y se

define por:

𝑒𝑚 = 𝑞𝑖 −𝑞0

𝐾

𝑒𝑚 = 𝑞𝑖𝑠 − 𝑞𝑖𝑠 (1 − 𝑒−𝑡𝜏⁄ )

(Rivera, 2005)

Figura 5. Gráfica de error

El tiempo de asentamiento 𝑡𝑠 es una característica con respecto a la velocidad de

respuesta.

El tiempo de asentamiento es el tiempo con el cual el instrumento puede quedarse dentro

de +/- un margen de tolerancia, un pequeño tiempo de asentamiento depende del margen

de tolerancia.

Un ejemplo es cuando el instrumento permanece dentro del rango de tolerancia +/- 5% su

tiempo de asentamiento de primer orden es de 3 constantes de tiempo. (Rivera, 2005)

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Figura 6. Rango de Tolerancia

Respuesta a la rampa de Instrumentos de Primer Orden

Se aplica una señal como por ejemplo:

𝑞𝑖 = {𝑞𝑖 = 0 𝑡 ≤ 0

𝑞𝑖 = 𝑞𝑖𝑟𝑡̇ 𝑡 > 0}

Entonces de

𝑞0

𝑞𝑖

(𝐷) =𝐾

(𝜏𝐷 + 1)

Obtenemos

𝑞0(𝑡) = 𝐾𝑞𝑖𝑟(𝑡)̇ (𝜏𝑒−𝑡𝜏⁄ + 𝑡 − 𝜏)

Definimos el error por la ecuación

𝑒𝑚 = 𝑞𝑖 −𝑞0

𝐾= 𝑒𝑚 = 𝑞𝑖𝑟̇ (𝑡)𝑡 − 𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏𝑒−𝑡

𝜏⁄ − 𝑞𝑖𝑟̇ (𝑡)𝑡 + 𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏

Simplificando

𝑒𝑚 = −𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏𝑒−𝑡𝜏⁄ + 𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏

7

Definimos

𝑒𝑚,𝑡 = −𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏𝑒−𝑡𝜏⁄

𝑒𝑚,𝑠𝑠 = 𝑞𝑖𝑟̇ 𝜏

Podemos expresar el error mediante

𝑒𝑚 = 𝑒𝑚,𝑡 + 𝑒𝑚,𝑠𝑠

(Rivera, 2005)

Figura 7. Error

8

Figura 8. Error Mediante

Respuesta a la frecuencia de instrumentos de primer orden

𝑞0

𝑞𝑖

(𝐷) =𝐾

(𝜏𝐷 + 1)

Sustituyendo D por wj

𝑞0

𝑞𝑖

(𝑤𝑗) =𝐾

(𝜏𝑗𝑤 + 1)=

𝐾

√𝑤2𝜏2 + 1[arctan (−𝑤𝑡)]

Relación de Amplitud

|𝑞0

𝑞𝑖

(𝑤𝑗)| =𝐾

√𝑤2𝜏2 + 1

Relación de Fase

Ɵ = arctan (−𝑤𝑡)

Respuesta a la frecuencia de un instrumento de primer orden es la de un instrumento de

orden cero.

𝑞0

𝑞𝑖

(𝑤𝑗) = 𝐾 0°

9

Si 𝑤𝜏 es lo suficientemente pequeño el instrumento de primer orden se acerca a la

perfección de la primera ecuación. Se requiere una frecuencia de entrada 𝑤 para que la

medición sea exacta y una 𝜏 de mínima magnitud. (Rivera, 2005)

2.2.Ejemplo

Para una termocupla de cobre, encontrar la función de transferencia que relacione la fem

inducida por cambios de temperatura alrededor de 100°C, con una constante de tiempo de

10s.

𝑞0

𝑞𝑖

(𝐷) =𝐾

(𝜏𝐷 + 1)

Para pequeñas fluctuasiones de temperatura alrededor de 100°C ∆𝐸

∆𝑇se encuentra evaluado

𝑑𝐸

𝑑𝑇 a 100°C, se usa la siguiente ecuación:

Así si a constante de tiempo de la termocupla es 𝜏 = 10𝑠, la relación dinámica global

entre los cambios de la fem y la temperatura fluido es:

Figura 9. Análisis

En el caso general de un elemento con características estáticas y dinámicas, el efecto de

cambios pequeños y rápidos en ∆𝜇 se evalúan en la figura 11, y 𝜇0 es el valor en reposo

de 𝜇 alrededor del cual toman lugar las fluctuaciones.

10

3. Instrumentos de Medición de Segundo Orden

3.1.Características

Un instrumento de segundo orden es aquel que tiene la siguiente ecuación:

𝑎2

𝑑2𝑞0

𝑑𝑡2+ 𝑎1

𝑑𝑞0

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑞0 = 𝑏0𝑎𝑖

Esta ecuación debería tener más términos sobre el lado derecho, pero en análisis de

ingeniería esta ecuación es aceptable para definir un instrumento de segundo orden.

𝐾 =𝑏0

𝑎0=→ 𝑆𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑊𝑛 = √𝑎0

𝑎2→ 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑑/𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝜁 =𝑎1

2√𝑎0𝑎1

→ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

La función de transferencia:

𝑞0

𝑞𝑖

(𝐷) =𝐾𝑤2

𝑛

𝐷22𝜁𝑊𝑛𝐷 + 𝑤2𝑛

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Respuesta al escalón de instrumentos de segundo orden.

𝑞0(𝐷) =𝐾𝑤2

𝑛

𝐷2 + 2𝜁𝑊𝑛𝐷 + 𝑤2𝑛

𝑞𝑖𝑠(𝐷)

Figura 10. Respuesta de un sistema de 2do orden

Un incremento en ζ reduce la oscilación, pero causa que la respuesta sea lenta. El tiempo

de asentamiento puede ser mejor indicador de la

Velocidad de respuesta. El valor óptimo de ζ variara de acuerdo con la banda de

tolerancia.

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3.2.Ejemplo

Si elegimos un tiempo de asentamiento del 10%, la curva de ζ=0.6 dará un tiempo de

asentamiento de 2.4/wn, si este es óptimo un valor mayor o menor de ζ dará un mayor

tiempo de asentamiento. Si elegimos un tiempo de asentamiento del 5%, un valor de entre

0.7 y 0.8 para ζ dará el menor tiempo de asentamiento.

Respuesta a la rampa de instrumentos de segundo orden.

La ecuación diferencial es:

(𝐷2

𝑊𝑛2 +

2𝜁𝐷

𝑊𝑛+ 1) 𝑞0 = 𝐾𝑞𝑖𝑠𝑡

Para:

𝑞0 =𝑑𝑞0

𝑑𝑡= 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0

La respuesta se muestra en la siguiente figura, y el error de estado estable es:

𝑒𝑚 =2𝜁𝑞𝑖𝑠

𝑤𝑛

El error de estado estable puede disminuirse únicamente si se reduce

ζ o se incrementa wn. Para un valor especifico de wn una reducción de

ζ generaría una gran oscilación. El tiempo de retardo de estado estable está dado por:

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𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜 =2𝜁

𝑤𝑛

Figura 11. Tiempo muerto

Respuesta a la frecuencia de instrumentos de segundo orden.

𝑞0

𝑞𝑖

(𝑗𝑤) =𝐾𝑤2

𝑛

𝑗𝑤2 + 2𝜁𝑊𝑛𝑗𝑤 + 𝑤2𝑛

𝑞0

𝑞𝑖

(𝑗𝑤) =𝐾

(𝑗𝑤𝑊𝑛

)2

+ 2𝜁𝑗𝑤𝑊𝑛

+ 1

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Se puede ver de la forma

𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1 (2𝜁

𝑤𝑊𝑛

−𝑊𝑛

𝑤

)

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Conclusiones

En un instrumento de orden cero se tiene que en la ecuación diferencial no hay

derivadas, su respuesta temporal y frecuencial no experimentará cambios.

En un instrumento de primer orden hay un elemento que almacena energía y otro

que la disipa.

Un sensor es de segundo orden cuando incluye dos elementos que almacenan

energía y otros dos que la disipan, por lo tanto, la relación entre la entrada x(t)

y la salida y(t) viene dada por una ecuación diferencial lineal de segundo

orden

Bibliografía

Rivera, J. (2005). Introducción a la Instrumentación. Chihuahua: DEPI.