instrucciones a) duración: 1 hora y 30 minutos. b) elija...

INSTRUCCIONES a)Duración:1horay30minutos.b)Elijaunadelasdosopcionespropuestasycontestelosejerciciosdelaopciónelegida.c)Encadaejercicio,parteoapartadoseindicalapuntuaciónmáximaquelecorresponde.d)Sepermitiráelusodecalculadorasquenoseanprogramables,gráficasniconcapacidadparaalmacenarotransmitirdatos.e)Siobtieneresultadosdirectamenteconlacalculadora,expliquecondetallelospasosnecesariosparasuobtenciónsinsuayuda.Justifiquelasrespuestas.

MATEMÁTICASAPLICADASALASCIENCIASSOCIALESII

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CURSO1997‐1998 1

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(2puntos)Tresamigos,Marcos,LuisyMiguel,sonaficionadosalamúsica.Entrelostresposeenuntotaldediscoscompactos(CD)comprendidoentre16y22.Marcospresta4CDaMiguel,Luispresta1CDaMarcosyMiguelpresta2CDaLuis,conlocuallostresamigostienenahoraelmismonúmerodeCD.¿CuántosCDpuedentenerentotal?b)(1punto)SiAyBsondosmatricescualesquiera,¿escorrectalasiguientecadenadeigualdades?(A+B)(A–B)=A(A–B)+B(A–B)=AA–AB+BA–BB=A2–AB+BA–B2=A2–B2Justifiquelarespuesta.EJERCICIO2Un rectángulomide 8 dmde largo y 4 dmde ancho.De cada esquina se recorta uncuadradodeladox,conelfindehacerunacajasintapa.a)(1punto)Calculeelvolumendelacajaenfuncióndex.b)(1punto)Hallexparaqueelvolumenseamáximo.c)(1punto)Halledichovolumen.EJERCICIO3ParteIAna, JuanyRaúl,queestánesperandopara realizarunaconsultamédica, sortean,alazar,elordenenquevanaentrar.a)(0.75pts)Calculelaprobabilidaddequelosdosúltimosenentrarseanhombres.b)(1.25puntos)DeterminesisonindependienteslossucesosS1yS2,siendo S1:“lamujerentraantesquealgunodeloshombres” S2:“losdoshombresentranconsecutivamente”.ParteIISe ha tomado unamuestra de los precios de unmismo producto alimenticio en 16comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado lossiguientesprecios: 95, 108,97, 112,99, 106,105,100,99, 98, 104,110,107,111,103,110.Suponiendoquelospreciosdeesteproductosedistribuyensegúnunaleynormaldevarianza25ymediadesconocida,a)(1punto)¿cuálesladistribucióndelamediamuestral?b) (1punto)Determineel intervalodeconfianza,al95%,para lamediapoblacional.

CURSO1997‐1998 1

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Untrabajadordeunafábricadeenvasesdecartónhacecajasdedostipos.Parahacerunacajadelprimertipo,quevendea12pta,gasta2mdecintaadhesivay0.5mderollodepapeldecartón.Parahacerunadelsegundotipo,quesevendea8pta,gasta4mdecintaadhesivay0.25mdelmismorollodepapeldecartón.Sidisponedeunrollodecintaadhesivaquetiene440myotrodepapeldecartónde65m,¿cuántascajasdecadatipodebenhacerseparaqueelvalordelaproducciónseamáximo?EJERCICIO2

Lasiguientefunción )xx()x(f 1600100901 2

Representaelbeneficio, expresadoenmillonesdepesetas,queobtieneunaempresaporlafabricacióndexunidadesdeundeterminadoproducto.a)(1.5puntos)Representegráficamentedichafunción.b) (0.75 puntos) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcanpérdidas?c) (0.75 puntos) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades debenfabricarseparaobtenerlo?EJERCICIO3ParteISedisponedeunmazode450fichasdeestudiantesdeunaescueladeidiomas.Cadaestudiantecursaunsoloidiomadelos3queseimparten.Elnúmerodemujereses 3/2 del de los hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% delalumnado.Elnúmerodeestudiantesdefrancésduplicaaldealemán.SeaMelsuceso“sacarunafichademujer”alextraerunaficha,alazar,delcitadomazo,(análogamente,seanH,I,FyAsacarhombre,inglés,francésyalemán,respectivamente).SabiendoqueM/AeselsucesoseguroyqueM/FyH/Fsonequiprobables,determine:a)(1.5puntos)ProbabilidaddeF.ProbabilidaddeM∩I.b)(0.5puntos)ProbabilidaddeF/M.ParteII(2puntos)Lavariablealturade lasalumnasqueestudianenunaescuelade idiomassigueunadistribuciónnormaldemedia1.62mydesviacióntípica0.12m.¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediadeunamuestraaleatoriade100alumnasseamayorque1.60m?


2

CURSO1997‐1998 2

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seconsideralamatriz

361b

A

a)(1.5puntos)Suponiendoqueb=0,HalleunamatrizX,dedimensión2x2,talque

0316

A·X

b)(1.5puntos)Suponiendoqueb=2,HalleunamatrizX,dedimensión2x2,talque

9030

X·A

EJERCICIO2

Dadalafunción

xsiaxxsix

xsix)x(f

220

032 ,donde“a“esunparámetroreal.

a)(0.5puntos)Calculeelvalorde“a”paraquefseacontinuaenx=2.b)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddefcuandoa=3.c)(1punto)Dibujelagráficadelafunciónqueseobtienecuandoa=2.EJERCICIO3ParteI(2 puntos) Se ha observado que de cada 20 recién nacidos, 11 son niños. Laprobabilidaddequeunniñotenga losojosazuleses0.2,mientrasque ladequeunaniñalostengaazuleses0.3.Seelige,alazar,unreciénnacido,¿cuáleslaprobabilidaddequenotengalosojosazules?ParteIIElpesodelosindividuosdeunaciudadsedistribuyesegúnunaleynormaldemediadesconocidayvarianza9kg2.Sehaseleccionado,enesaciudad,unamuestraaleatoriaquehadadounpesomediode65kg.Conuna confianzadel 96% seha construidoun intervalopara lamediapoblacionalcuyolímiteinferiorharesultadoser62.95kg.(1.25puntos)¿Cuálhasidoeltamañodelamuestraseleccionada?(0.75puntos)Determineellímitesuperiordelintervalo.

CURSO1997‐1998 2

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos) Un camión puede transportar, comomáximo, 12 Tm por viaje. En ciertoviajedeseatransportar,almenos,5TmdelamercancíaAyunpesodelamercancíaBquenoseainferioralamitaddelpesoquetransportedeA.Sabiendoquecobra4ptaporkilodemercancíaAy3ptaporkilodemercancíaB,transportadas,¿cómosedebecargarelcamiónparaobtenerlagananciamáxima?EJERCICIO2Sealafunción : 2 → ,definidapor 3 ,conx≠2.a) (1.25puntos)Calcule lospuntosde la gráficadedicha funcióndonde la tangentetienependiente–1.b) (0.75 puntos) Explique, razonadamente, si puede existir algún punto de tangentehorizontalenestafunción.c)(1punto)Representegráficamentelafunción,indicandosusasíntotas,crecimientoydecrecimiento. A la vista de la gráfica, indique los intervalos de concavidad yconvexidad.EJERCICIO3ParteIUna tiendavende frigoríficos yha efectuadoun seguimientode los2000 frigoríficosvendidos durante un año, obteniendo una relación del número de aparatos que hantenidoalgunaaveríaantesdelosdosprimerosaños,según3tiposdemarcasA,ByC:

A B CAveriada(Av) 13 4 3Noaveriada(NoAv) 987 396 597

a)(1punto)ComparandoP(Av/A),P(Av/B),P(Av/C)dígasecuáldelastresmarcasharesultadoserlamássegura.(Nota:P=Probabilidad)b) (1punto)Estudie sihaydependenciaentreel suceso “tenerunaavería”concadaunodelossucesos“tenerunamarcadeterminada”.ParteII(2puntos)LavariableXsedistribuyesegúnunaleynormaldemedia10ydesviacióntípica3.Determineeltamañodeunamuestraextraídadelapoblación,demodoquelaprobabilidaddequelamediamuestralestéporencimade12seade0.0025.


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CURSO1997‐1998 3

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) Alumnos de dos grupos distintos, A y B, realizan un mismo examen deMatemáticasAplicadasalasCC.SS.II.SesabequelanotamediaenelgrupoAhasidode4.5puntosyde5.4puntosenelB.Calculeelnúmerodealumnosdecadagrupo,sabiendoquelos2gruposAyBsuman72alumnosyquelanotamediadelos72alumnoshasidode4.95puntos.EJERCICIO2Calculelasfuncionesderivadasdelassiguientes:

a)(1punto))xcos(

x)x(f32

b)(1punto) )x(Ln)x(g 532

(Ln:logaritmoneperiano)

c)(1punto) 35

21 xe)x(h

EJERCICIO3ParteIEnunaurnahay8bolasnegrasy5bolasblancas.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequealextraer2bolas,conreemplazamiento,la1ªseanegrayla2ªblanca.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequealextraer2bolas,sinreemplazamiento,la1ªseanegrayla2ªblanca.ParteII(2 puntos) Sea una población formada por sólo 3 elementos con valores 2, 4 y 6.Consideremostodaslasmuestras,conreemplazamiento,detamaño2.Calculemediaydesviacióntípicade lapoblaciónasícomode lasmediasmuestrales.¿Quérelaciónhayentreambasmedias?

CURSO1997‐1998 3

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Determinelosóptimos(máximoymínimo)delafunciónobjetivoz=xydefinidaenlaregióndeterminadaporlassiguientesrestricciones: 6x+y≥3; 2x+y≤2; y≤2.5; x≥0; y≥0.EJERCICIO2

Dadalafunción

02

02

4

2 xsi

xsix)x(f

x

a)(1punto)Estudielacontinuidaddeesafunciónyanalicesucomportamientoenlosposiblespuntosdediscontinuidad.b)(1punto)Calculelafunciónderivadadef(x).c)(1punto)Representegráficamentelafunción.EJERCICIO3ParteIUna determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en lasproporciones30%,20%y%0%respectivamente.(Encadaenfermosolosepresentaunadeestas3causas).Eltratamientodeestaenfermedadrequierehospitalizaciónenel20%deloscasossiestáprovocadaporA,enel55%silacausaesByenel10%silacausaesC.a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citadaenfermedadnonecesitehospitalización?b)(1punto)Siunenfermoestáhospitalizado,¿cuáleslaprobabilidaddequelacausaseaA?ParteII(2puntos) Unascensoradmitecomopesomáximo300kg.Lapoblacióndeusuariostiene un peso que se distribuye según una ley normal demedia 70 kg y desviacióntípica10kg.Calculelaprobabilidaddeque4personascualesquieradedichapoblación,quesubanalascensor,superenelpesomáximo.


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CURSO1997‐1998 4

OPCIÓNAEJERCICIO1(3puntos)Detrescantidadesdistintas:r<s<t,sesabequelasumadelastresesiguala113;quealdividirlamayorentrelamenorseobtieneuncocienteiguala6yunrestoiguala4,yquealdividirlamayorentrelaintermedia,s,seobtieneuncocienteiguala2yunrestoiguala6.Calculeelvalordecadacantidad.EJERCICIO2

Dadalafunción

14

123

2 xsixx

xsix)x(f

a)(1punto)Estudielacontinuidaddelafunción.b) (2 puntos) Represéntela gráficamente, determinando previamente: cortes con losejes,crecimiento,extremosyasíntotas.EJERCICIO3ParteI(2 puntos) El tren español de alta velocidad, más conocido como AVE, asegura talpuntualidad,quedevuelveelpreciodelbilletealosusuariossitieneunretrasodemásde5minutos.SupongamosquelaprobabilidaddequeuntrenAVEseretrasemásdeesetiempoesde0.01cuandocirculadeSevillahaciaMadrid,yde0.017cuandocirculadeMadridaSevilla.Si una persona hace un viaje de ida y vuelta en un tren AVE en el recorridomencionado, ¿cuál es la probabilidad de que le devuelvan dinero por motivos deretraso?ParteIIUnavariablealeatoriaXsobreunapoblacióntienedemedia50ydedesviacióntípica5.Extraemos,aleatoriamente,dedichapoblación1000muestras.Todasellasdetamaño64. De cada muestra calculamos su media y llamamos A al conjunto de númerosformadosconesasmedias.a)(1punto)Diga,deformarazonada,quévaloressepuedenesperarparalamediayladesviacióntípicadeA.b) (1punto) ¿Cuál es laprobabilidaddequeunade esasmuestras tengaunamediacomprendidaentre48.5y50.5?

CURSO1997‐1998 4

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Paraabonarunaparcelaagrícolasenecesitan,porlomenos,8kgdenitrógenoy12kgdefósforo.SedisponedeunproductoAcuyoprecioesde30pta/kgyquecontieneun 10% de nitrógeno y un 30% de fósforo. Existe en elmercado otro producto B quecontieneun20%denitrógenoyun20%defósforoycuyoprecioesde40pta/kg¿Quécantidad se debe tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gasto posiblesabiendoque,comomáximo,sepuedenllevaralaparcela60kgdeproducto?EJERCICIO2

Dadalafunción

23

1203

02

xsix

xsiaxxsix

)x(f (a:constantereal)

a)(0.5puntos)Razonesiparaalgúnvalordealafunciónescontinuaenx=0.b)(1punto)Obtenga,silashay,lasasíntotas,horizontalesyverticalesdelafunción.c)(1.5puntos)Dibujelagráficadelafunciónparaa=0.EJERCICIO3ParteIUncruceestáreguladoporunsemáforo.Laprobabilidaddequeestérojoes½,ladequeestéverde1/3yladequeestéenámbar1/6.La probabilidad de tener que detenerse cuando está en verde es de 1/10 y la dedetenerse cuando está en ámbar es 1/2. Cuando el semáforo está en rojo todos losconductoressedetienen.a)(1punto)Calcule laprobabilidaddequeunconductorquepase3vecespordichocruceencuentrelastresveceselsemáforoenrojo.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeunconductorquepaseunaveztengaquedetenerseporalgúnmotivo.ParteIISesabequeladesviacióntípicadelastallasdelosalumnosdeunaUniversidades6cm.Paraestimarlatallamediadedichosalumnossetomaunamuestrade64estudiantes,resultandounamediamuestralde173cm.a)(1punto)DetermineelintervalodeconfianzadelatallamediadelosalumnosdelaUniversidad,conunniveldeconfianzade0.97.b) (1punto)Calculeel tamañomuestralnecesarioparaestimar la tallamediade losalumnosdelaUniversidad,conunniveldeconfianzadel95%yunerrormáximodeestimaciónnosuperiora1.2cm.


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CURSO1997‐1998 5

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) En un almacén caben, a lo sumo, 60 contenedores. Para atender lasdemandas, el almacén debe disponer, en cualquier momento, de un mínimo de 30contenedoresdezumoy20deleche.Almacenaruncontenedordezumoconllevaungastode40ptamientrasqueeldeunodelecheasciendea80pta.Determineconquénúmerodecontenedores,dezumoydeleche,sealcanzaungastodealmacenajemáximo.EJERCICIO2UnaempresadeautomóvileshaestimadoquesubeneficioB,enmillonesdepesetas,depende del tiempo t, enminutos, que dedica diariamente a la publicidad, según lafunción 95416851 2 tt.)t(B a)(1punto)Calculelosminutosdiariosquedebededicarapublicidadparaobtenerunbeneficiomáximo.¿Cuáleselbeneficio?b) (1 punto) Calcule en qué intervalo debe estar comprendido el tiempo diariodedicadoapublicidadparaquelaempresaobtengaunbeneficiopositivo.c)(1punto)DibujelagráficadelafunciónB(t).EJERCICIO3ParteI(2puntos)Enungrupodealumnos,el80%haaprobadolasMatemáticasyel25%laFísica.TambiénsesabequehaaprobadolasMatemáticasolaFísicael85%.Estudiesisonindependienteslossucesos: M:“aprobarMatemáticas” F:“aprobarFísica”ParteIIUncontabletomaunamuestraaleatoriadetamañon=36deunapoblaciónde1000cuentasporcobrar.Elvalormediodelascuentasporcobraresde2600pta,conunadesviacióntípicapoblacionalde450pta.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelamediamuestralseainferiora2500pta.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelamediamuestralseencuentreanomásde225ptadelamediadelapoblación.

CURSO1997‐1998 5

OPCIÓNBEJERCICIO1Unvendedordisponedetrestiposdepiensos:A,ByC.Aciertoganaderolecobra62ptaelkgdeunamezclaformadaporunapartedepiensode tipoA,dosdeBy tresdeC.Aotroganadero lecobra48ptaelkgdeunamezclaformadapordospartesdepiensodetipoAyunadetipoB.a)(1.5puntos)Averigüeelpreciodelkgdeunamezcla,apartesiguales,decadatipodepienso.b) (1.5 puntos) Determine el precio del kg de cada tipo de pienso, sabiendo que lamezcla,apartesiguales,delostiposByCcuesta65ptaelkg.EJERCICIO2

Dadalafunción

3032033

2 xsixxxsie)x(f

x

a)(1.5puntos)Represéntelagráficamente.b)(0.5puntos)¿Escontinuaenx=0?c)(1punto)Calculesumáximoysumínimo,absolutos,ensudominiodedefinición.EJERCICIO3ParteIUnacajacontienedosmonedas.Unatienegrabadacaraycruzylaotradoscaras.Setomadelacaja,alazar,unamonedayselanzaalaire.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddeobtenercara.b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddeobtenercaraysermonedadedoscaras? ParteIISedisponedeunamuestraaleatoriade10alumnosdeunapoblacióndealumnosde3ºdeE.S.O.Se sabe, por experiencias anteriores, que la altura de los alumnos de ese curso sedistribuyesegúnunavariablenormaldemedia167cmydesviacióntípica3.2cm.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelamediamuestralestécomprendidaentre166cmylamediapoblacional.b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediamuestraltengaunvalorsuperiora169cm?


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CURSO1997‐1998 6

OPCIÓNAEJERCICIO1

Dadaslasmatrices3 11 02 4

2 32 1 1 2 0

2 1 0

a)(1punto) Indique losproductosmatricialesquepuedenefectuarseentreellas,sinrepetirfactores.b)(1punto)CalculeB+C·Ac)(1punto)CalculeeldeterminantedeA·C;¿tieneinversaA·C?EJERCICIO2Unapersonaestáaprendiendoanadar.Despuésde thorasdeprácticas,escapazdenadar,enunminuto,unadistanciaf(t)metros,dadaporlafunción

503 1 .

a)(1punto)Estudieelcrecimientoydecrecimientodelafunción.b)(1punto)Calcule,siexisten,lasasíntotashorizontalesyverticalesdelafunciónf.c)(1punto)Conlosresultadosdelascuestionesanteriores¿quéconclusionesobtienesobre la influencia del número de horas de práctica en la distancia que recorre elnadadorporminuto?EJERCICIO3ParteISedisponedeunabarajaespañolade40cartas;sesacaunacartay,sindevolverlaalabaraja,sesacaotra.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelasdoscartasextraídasseanoros.b)(1punto)Sabiendoquelasegundaesunoro,calculelaprobabilidaddequelohayasidotambiénlaprimera.ParteII(2 puntos) Unamáquina fabrica clavos cuya longitud sigue una distribución normalcon desviación típica 0.5 mm. Se toma una muestra de 25 clavos y se obtiene unalongitudmedia,paralosmismos,de50mm.Calcule un intervalo de confianza del 95% para la longitud media de la población.

CURSO1997‐1998 6

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos)Una finca se quiere dedicar a un cultivo de secano y otro de regadío, demodoqueentre losdospuedenocupar,comomáximo,12hectáreasperonopuedendedicarsealregadíomásde7hectáreas.Elcultivodesecanotieneuncostede100000ptaporhectárea,elderegadíouncostede200000ptaporhectáreaylasumadeloscostesnopuedesermayorde1600000pta.Silaganancianetadeunahectáreadesecanoesde1600000ptayladeunaderegadíoesde3000000pta,encuentre ladistribucióndecultivosquemaximiza lagananciaycalculeestemáximo.EJERCICIO2

Dadalafunción

xsixxsixx

xsi)x(f

414404

00

3

2

a)(1punto)Representegráficamentef.b)(1.5puntos)Estudiesucontinuidadysuderivabilidad.c)(0.5puntos)Obtengalosvaloresdef‘(1)yf‘(5).EJERCICIO3ParteIEnunapoblación,dondeel42%sonhombresyelrestomujeres,sesabequeel4%deloshombresyel6%delasmujeressoninmigrantes.a)(1punto)¿Quéporcentajedeinmigranteshayenesapoblación?b) (1 punto) Si se elige, al azar, un inmigrante de esa población, ¿cuál será laprobabilidaddequeseahombre? ParteII(2puntos)Si losalumnosdepreescolardeAndalucíatienenunaestaturaqueesunavariable aleatoria de media 95 cm y desviación típica 16 cm y consideramos unamuestraaleatoriade36detalesalumnos,¿cuáleslaprobabilidaddequelamediadeesamuestratomevalorescomprendidosentre90cmy100cm?


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CURSO1998‐1999 1

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seaelsistemadeecuaciones:

02120

zyxzxzyx

a)(1punto)Expréseloenformamatricial.b)(1punto)Calculelamatrizinversadeloscoeficientes.c)(1punto)Resuélvalo.EJERCICIO2Unacompañíaquefabricabolígrafoslanzaalmercadounnuevoproducto.Sesuponeque la relación entre el precio por unidad (x) del nuevo bolígrafo y el beneficio enmillonesdepesetasb(x)vieneexpresadoporlafunciónb(x)=x2+130x–3000.a)(0.5puntos)¿Québeneficioobtienecuandovendecadabolígrafoa50pta?b)(1.5puntos)¿Entrequévaloresdebefijarelpreciodeventadecadabolígrafoparaobtenerunbeneficiopositivo?c)(1punto)Calculeaquépreciodebevendercadabolígrafoparaqueelbeneficioseamáximo.EJERCICIO3ParteI(2puntos)Enunhospitalsehanproducido60nacimientosenunasemana.Deellos35sonvaronesydeéstos21tienenelpelonegro.Asimismo,sehaobservadoquedelasniñasnacidas10notienenelpelonegro.Basándoseenestosdatosrazonesitenerelpelonegrodepende,ono,delsexo.ParteIIEnunapoblación,unavariablealeatoriasigueunaleynormaldemediadesconocidaydesviacióntípica20.a)(1punto)Sideunamuestradetamaño25sehaobservadoquelamediaes2743,determineunintervalo,conel90%deconfianza,paralamediadelapoblación.b)(1punto)Elegidaunamuestra,sumediahasido2740;sehaconstruidounintervalodeconfianza,al95%,queharesultadoser(2736.08,2743.92).¿Cuáleraeltamañodelamuestra?

CURSO1998‐1999 1

OPCIÓNBEJERCICIO1a) (1 punto) Represente gráficamente, el recinto definido por las siguientesinecuaciones: 2x+y1000; x+1.5y750; x0; y0.b)(1punto)Hallesusvértices.c)(1punto)Obtengaelvalormáximode la funciónF(x,y)=15x+12y enelrecintoanterior,asícomoenquépuntoloalcanza.EJERCICIO2

Sealafunción1

1 11 ln 1

(ln:logaritmoneperiano)

a)(1punto)Estudiesucontinuidad.b)(1.5puntos)Estudieladerivabilidad,obteniendolafunciónderivada.c)(0.5puntos)Calcule,siesposible,f´(0)yf´(2).EJERCICIO3ParteIUnadeterminadapoblaciónestáformada,apartesiguales,porhombresymujeres.Laprobabilidad de que un individuo de esa población no lea ningúnperiódico es 0.25.Además,elporcentajedeindividuosqueobienleealgúnperiódicoobiensonhombresesel95%.Seelige,alazar,unapersona.a)(1punto)Hallelaprobabilidadde“serhombreyleeralgúnperiódico”.b)(1punto)Hallelaprobabilidaddequeleaalgúnperiódico,sabiendoqueeshombre.ParteII(2puntos)Eltiempodevidadeuntipodeinsectosigueunadistribuciónnormalconmediadesconocidaydesviacióntípica25días.Paraestimarlavidamediasehaceunseguimientoaladuracióndelavidadeunamuestradeninsectos.Calculeelvalordenparaqueel intervalode confianzadeestavidamedia, conunnivelde confianzadel95%,tengaunaamplitudcomomáximode5días.


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CURSO1998‐1999 2

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(1punto)Planteesinresolver,elsistemadeecuacionesnecesarioparadarsoluciónal siguiente problema: “Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de638000pta.Supreciooriginalerade1200ptaporcamiseta,perohavendidoen lasrebajasunapartedeellasconundescuentodel30%delpreciooriginalyotraparteconundescuentodel40%.Sabiendoqueelnúmerototaldecamisetasrebajadasfuelamitad del número de las que vendió a 1200 pta, calcular cuántas camisetas sevendieronacadaprecio”.b)(2puntos)Resuelvaelsistemaformadoporlasecuaciones: x–2y–3z=1; x–4y–5z=1; 2x+2y+4z=2EJERCICIO2Calculelasfuncionesderivadasdelassiguientesfunciones,simplificandosuexpresióncuandoseaposible:

a)(1punto) 331xx)x(f

para 0x

b)(1punto)31

)x(g ln(4x) parax>0;(ln:logaritmoneperiano)

c)(1punto) )x(sen)·xcos()x(h para x REJERCICIO3ParteISe dispone de una baraja española de 40 cartas. Se saca una carta al azar y, sindevolverlaalabaraja,sesacaotra,tambiénalazar.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las cartas extraídas sea unafigura(esdecir,nisota,nicaballo,nirey).b) (1 punto) Sabiendo que la segunda carta extraída no ha sido figura, calcule laprobabilidaddequetampocolofueralaprimera.ParteIILasventasmensualesdeunatiendadeelectrodomésticossedistribuyensegúnunaleynormal con desviación típica 90000 pta. En un estudio estadístico de las ventasrealizadasenlosúltimos9meses,sehaencontradounintervalodeconfianzaparalamediamensualdelasventas,cuyosextremosson466300y583900pta.a)(0.5puntos)¿Cuálhasidolamediadelasventasenestos9meses?b)(1.5puntos)¿Cuáleselniveldeconfianzadeesteintervalo?

CURSO1998‐1999 2

OPCIÓNBEJERCICIO1a)(1punto)Dibujeelrecintodefinidoporelsiguientesistemadeinecuaciones: x6; y8; x+y10; x0; y0.b)(1punto)Calculesusvértices.c)(1punto)CalculeelmáximodelafunciónF(x,y)=20x+60yendichorecinto.EJERCICIO2Losdueñosdeunmanantialdeaguamineralcalculanque,sivendencadabotelladeaguaaunpreciodexpta,tendránunagananciadiaria(enmilesdepesetas):

15002510

2

xx)x(g

a)(2puntos)Representegráficamentelafuncióng(x).b)(0.5puntos)¿Cuáleselprecioconelquesealcanzaelmáximodeganancia?c)(0.5puntos)¿Cuáleslagananciamáximadiariaquepuedeobtenerse?EJERCICIO3ParteILaprobabilidaddequeunconductornollevelaruedaderepuestoes0.13yladequeno lleve lámparasderepuestoes0.37.Sesabequeel60%de losconductores llevanambosrepuestos.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un conductor no lleve alguno de losrepuestosseñalados.b) (1 punto) ¿Son independientes los sucesos “llevar rueda de repuesto” y “llevarlámparasderepuesto”?ParteIILamediadelasestaturasdeunamuestraaleatoriade400personasdeunaciudades1.75metros. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variablealeatoriaquesigueunadistribuciónnormalconvarianzaσ2=0.16m2.a) (1 punto) Construya un intervalo, de un 95% de confianza, para lamedia de lasestaturasdelapoblación.b)(1punto)¿Cuálseríaelmínimotamañomuestralnecesarioparaquepuedadecirseque laverdaderamediade lapoblaciónde las estaturasestáamenosde2 cmde lamediamuestral,conunaconfianzadel90%?


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CURSO1998‐1999 3

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(1punto)Dibujeelrecintodefinidoporlassiguientesinecuaciones: x+y27; x12; y6.b)(1punto)Determinelosvérticesdeesterecinto.c)(1punto)¿CuálessonlosvaloresmáximoymínimodelafunciónF(x,y)=90x+60yenelrecintoanterioryenquépuntosalcanzadichosvalores?EJERCICIO2Dedosfuncionesfyg,sesabequelarepresentacióngráficadesusfuncionesderivadases una recta que pasa por los puntos (0, 2) y (2, 0) (para la derivada de f) y unaparábolaquecortaalejeOXen(0,0)y(4,0)ytienevértice(2,1)(paraladerivadadeg).Utilizandolasgráficasdetalesderivadas:a)(2puntos)Estudieelcrecimientoydecrecimientodefyg.b)(1punto)Determine,siexisten,máximosymínimosdefyg.EJERCICIO3ParteIUnaexperienciaaleatoriaconsisteenpreguntara trespersonasdistintas,elegidasalazar,sisonpartidariasonodeconsumirundeterminadoproducto.a) (1punto)Escriba el espaciomuestral asociadoadichoexperimento, utilizando laletra“s”paralasrespuestasafirmativasyla“n”paralasnegativas.b)(0.5puntos)¿Quéelementosdelespaciomuestralconstituyenelsuceso“almenosdosdelaspersonassonpartidariasdeconsumirelproducto”?c)(0.5puntos)Describaelsucesocontrariode“másdeunapersonaespartidariadeconsumirelproducto”.ParteIISehatomadounamuestraaleatoriade100individuosalosquesehamedidoelniveldeglucosaensangre,obteniéndoseunamediamuestralde110mg/cc.Sesabequeladesviacióntípicadelapoblaciónesde20mg/cc.a)(1.5puntos)Obtengaunintervalodeconfianza,al90%,paraelniveldeglucosaensangreenlapoblación.b)(0.5puntos)¿Quéerrormáximosecometeconlaestimaciónanterior?

CURSO1998‐1999 3

OPCIÓNBEJERCICIO1Enunatienda,unclientesehagastado15000ptaenlacomprade12artículosentrediscos,librosycarpetas.Cadadiscolehacostado2000ptaycadacarpeta500pta.Sesabequeentrediscosycarpetashayeltriplequedelibros.a)(1.5puntos)Formuleelsistemaasociadoalenunciadoanterior.b)(1.5puntos)Determinecuántosartículoshacompradodecadatipo.EJERCICIO2

Sea

282122

112

2

2

xsixxxsix

xsixx)x(f

a)(1punto)Estudiesucontinuidadysuderivabilidad.b)(1punto)Representegráficamentelafuncióny,alavistadesugráfica,determinesusmáximosymínimosrelativos,asícomoelcrecimientoydecrecimiento.EJERCICIO3ParteIEnunsupermercado,el70%delascompraslasrealizanlasmujeres,;delascomprasrealizadas por éstas, el 80% supera las 2000 pta, mientras que de las comprasrealizadasporhombressóloel30%superaesacantidad.a)(1punto)Elegidounticketdecompraalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequesuperelas2000pta?b) (1 punto) Si se sabe que un ticket de compra no supera las 2000pta, ¿cuál es laprobabilidaddequelacomprahayasidorealizadaporunamujer?ParteIILa media de edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a laUniversidades18.1añosyladesviacióntípica0.6años.a)(1punto)Delosalumnosanterioresseelige,alazar,unamuestrade100,¿cuáleslaprobabilidaddequelamediadelaedaddelamuestraestécomprendidaentre17.9y18.2años?b) (1 punto) ¿Qué tamaño debe tener unamuestra de dicha población para que sumedia esté comprendida entre 17.9 y 18.3 años, con una confianza del 99.5 %?


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CURSO1998‐1999 4

OPCIÓNAEJERCICIO1a) (2puntos)Unaheladeríapreparaheladosde tres tamaños, 125g, 250g y500g,cuyospreciosson150pta,270ptay495pta,respectivamente.Unclientecompra10helados, conunpeso total de2.5 kg, ypagapor ellos2670pta. Sedesea conocer elnúmerodeheladosquehacompradodecadatipo.Formuleelsistemadeecuacionesasociadoalenunciadodelproblema.Halleelnúmerodeheladosquesellevadecadatipo.

b)(1punto)Dadalamatriz:

0110

A halleA200.

EJERCICIO2

Sealafunción5225320

xx)x(f

a)(1punto)Estudielacontinuidaddefycalculesufunciónderivadaf´.b)(0.5puntos)Razonesiexistenonoextremosrelativosdelafunciónf.c)(1.5puntos)Calculelasasíntotasdedichafunción.EJERCICIO3ParteI(2puntos)Disponemosde3urnasyde10bolas,5blancasy5negras.Distribuimoslasbolasdelasiguientemanera: Enla1ªurnaponemos1bolablancay1bolanegra. Enla2ªurnaponemos3bolasblancasy2bolasnegras. Enla3ªurnaponemos1bolablancay2bolasnegras.Deunadelasurnas,elegidaalazar,seextraeunabola.Hallelaprobabilidaddequelabolaelegidaseanegra.ParteII(2puntos)Unfabricantedebombillassabequeladesviacióntípicadeladuracióndelasbombillases90horas.Tomadaunamuestradetamaño100sehaencontradoquelamediadeladuracióndelasbombillashasido1200horas.Determineunintervalo,conel95%deconfianza,paraladuraciónmediadelasbombillas.

CURSO1998‐1999 4

OPCIÓNBEJERCICIO1Un agricultor cosecha garbanzos y lentejas. Se sabe que, a lo sumo, sólo se puedencosechar500toneladasmétricas(Tm),delasquecomomáximo200Tmsonlentejas.Los beneficios por Tm de garbanzos y lentejas son 50000 pta y 30000 ptarespectivamente,ydeseaplanificarlaproducciónparaoptimizarelbeneficiototal.a)(1punto)Formuleelsistemadeinecuacionesasociadoalenunciadodelproblemaylafunciónobjetivodelmismo.b)(1punto)Representegráficamentelaregiónfactibleycalculesusvértices.c) (1 punto) ¿Cuántas Tm de garbanzos y cuántas de lentejas debe cosechar paraobtenerelmáximobeneficio?EJERCICIO2a)(1.5puntos)Lagráficadelafunciónf(x)=x3+ax2+bx+cpasaporelpunto(1,0)ytieneunmáximorelativoenelpunto(0,4).Halleloscoeficientesa,byc.b)(1.5puntos)Obtengalosmáximosymínimosrelativosylospuntosdeinflexióndelafuncióng(x)=x3–6x2+20.EJERCICIO3ParteITenemos tres cajas de bombones, A, B y C. La caja A contiene 10 bombones, de loscuales4estánrellenos;lacajaBcontiene8bombones,deloscuales3estánrellenosylacajaCcontiene6bombones,delosque1estárelleno.a)(0.5puntos)SitomamosalazarunbombóndelacajaA,¿cuáleslaprobabilidaddequenoestérelleno?b)(1.5puntos)Sielegimosalazarunade lastrescajasytomamosunbombónde lacajaelegida,¿cuáleslaprobabilidaddequeestérelleno?ParteIISeaunconjuntodecuatrobolas,marcadasconlosnúmeros1,3,5y7.a) (1punto)Escriba todas lasmuestrasde tamaño2quepodrían formarseconesasbolassielmuestreosehacesinreposición;calculelasmediasdelosnúmerosdecadamuestrayhallelamediadetodasesasmedias.b)(1punto)Haga lomismoqueena)perosuponiendoqueelmuestreosehaceconreemplazamiento.


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CURSO1998‐1999 5

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seanlasmatrices 2 0 10 1 0

1 01 20 1

a)(1.5puntos)Compruebeque(A·B)t=Bt·At(tindicatraspuesta).b)(1.5puntos)HalleunamatrizXqueverifique: 3 6

0 3 EJERCICIO2LosingresosI(x)yloscostesC(x),enmillonesdepesetas,deunafábricadebolígrafos,dependendelpreciodeventaxdecadabolígrafo(enpesetas)segúnlasfunciones: I(x)=4x–9 y C(x)=0.01x2+3xElbeneficioanualesB(x)=I(x)–C(x)a)(1punto)¿Cuáldebeserelpreciodeventaparaobtenerelmáximobeneficio?b)(0.5puntos)¿Cuálesesebeneficiomáximo?c)(1punto)Representegráficamentelafunciónbeneficio.d) (0.5 puntos) Razone (sobre la gráfica o con la funciónB(x)) para qué precios deventatendríapérdidasestaempresa.EJERCICIO3ParteIA un congresomédico asisten oculistas y pediatras. Sabemos que 240médicos sonandaluces,135navarrosy225soncanarios.Elnúmerototaldepediatrases315.Delosandaluces,96sonoculistasy,delosnavarros,sonoculistas75.a)(0.75puntos)Escogemosunasistentealazar,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaunpediatranavarro?b)(0.75puntos)Hemoselegidounmédicocanario,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaoculista?c)(0.5puntos)¿Sonindependienteslossucesos“serandaluz”y“seroculista”?ParteII(2puntos)Alcalificarlosexámenesdeunnumerosogrupodeopositores,sehavistoquesuspuntuacionessiguenunadistribuciónnormalconunamediade72puntosyunadesviacióntípicade9puntos.¿Cuáleslaprobabilidaddequeenunamuestrade16deesosopositores,elegidosalazar,seobtengaunapuntuaciónmediasuperiora78puntos?

CURSO1998‐1999 5

OPCIÓNBEJERCICIO1a) (1punto)Representegráficamenteel recintodefinidoporel siguiente sistemadeinecuaciones: x+y11; 40x+30y360; x0; y0.b)(1punto)Calculelosvérticesdeeserecinto.c)(1punto)ObtengaendichorecintoelvalormáximoyelmínimodelafuncióndadaporF(x,y)=10000x+7000y,ydigaenquépuntossealcanzan.EJERCICIO2

Siendo : → lafuncióndadaporlaexpresión:

xsixxsibx

xsiax)x(f

24203

053

2

2

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidaddefsegúnlosvaloresdelasconstantesayb.b) (1 punto) Represente la gráfica de esta función para a = 1, b =1 e indique losintervalosdecrecimientodedichagráfica.c)(0.5puntos)Justifiquesilafuncióndelapartadob)presenta,enelintervalo(2,+∞)algúnpuntodetangentehorizontal.EJERCICIO3ParteI(2puntos)EnunespaciomuestraldadoseconsiderandossucesosAyBtalesquesuuniónes el suceso seguro y las probabilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = yP(B/A)= .HallelasprobabilidadesdelossucesosAyB.ParteII(2puntos)Eltiempoquepermanececadapacienteenlaconsultadeciertomédicoesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónnormalconunadesviacióntípicade4minutos.Se ha tomado una muestra aleatoria de 256 pacientes de este médico y se haencontrado que su tiempo medio de consulta ha sido de 10 minutos. ¿Cuál es elintervalode confianza,aunniveldel95%,parael tiempomediode consultaque sededucedeestamuestra?


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CURSO1998‐1999 6

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(1punto)Dibujeelrecintolimitadoporlassiguientesinecuaciones:

x+y2; x–y0; y4; x0; y0.b)(1punto)Calculelosvérticesdeeserecinto.c) (1punto)Determineelmáximoyelmínimode la función F(x,y)=12x+4yenelrecintoanterior.EJERCICIO2Sealafunciónf(x)=x3+ax2+bx+c.a)(2puntos)Determineelvalorquedebentomarlosparámetrosa,bycparaquef(x)tengaunmáximoenx=1,unpuntodeinflexiónenx=2ycortealejeOYenelpuntodeordenada–1.b) (1 punto) Represente, gráficamente, la función g(x) = x3 – 3x, determinando lospuntosdecorteconlosejesylosmáximosymínimos.EJERCICIO3ParteIEl 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30% va al teatro y el 20% aambos.a)(1punto)Siunapersonadeesaciudadnovaalcine,¿cuáleslaprobabilidaddequetampocovayaalteatro?b) (1 punto) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya alcine?ParteIISesabequeeltiempo,dereacciónaundeterminadoestímulosedistribuyesegúnunaleynormaldemediadesconocidaydesviacióntípica0.15segundos.Observadaunamuestradetamaño9,sehaobtenidounamediamuestralde0.85s.a)(1punto)Obtengaunintervalodeconfianzaparalamediadelapoblación,conunniveldeconfianzadel99%.b) (1 punto) ¿Con qué nivel de confianza se debería construir un intervalo para lamedia de manera que los límites de dicho intervalo fuesen 0.768 y 0.932?

CURSO1998‐1999 6

OPCIÓNBEJERCICIO1Seaelsistemadeecuacioneslineales: x+my+z=4 x+3y+z=5 mx+y+z=4a)(1.5puntos)Resuélvaloyclasifíqueloparam=1.b)(1.5puntos)Resuélvaloyclasifíqueloparam=2.EJERCICIO2Sealafunción : → definida,atrozos,delasiguienteforma:

324314

13

2

2

xsixxsi

xsix)x(f

a)(1.25puntos)Represéntelagráficamente.b)(0.75puntos)Estudielacontinuidaddef.c)(1punto)Estudieladerivabilidaddef.EJERCICIO3ParteIEnuncentrodeenseñanzasecundaria se sabequeel70%de losalumnospracticanatletismo,queel50%juegaalfútbol,yqueel40%delosquepracticanatletismojuegaalfútbol.a) (0.75 puntos) Razone si los sucesos “jugar al fútbol” y “practicar atletismo” sonindependientes.b)(1.25puntos)Siseeligealazarunalumnodeesecentro,¿cuáleslaprobabilidaddequenoparticipeenningunodeestosdeportes?ParteII(2puntos)Enun colegiohay2000alumnosdistribuidos en5 cursos así: 400en1ercurso,380en2º,520en3º,360en4ºy340en5º.Sequiereseleccionarunamuestrade100alumnos,utilizandolatécnicademuestreoaleatorio con afijación proporcional y considerando cada curso como un estrato.¿Cómoseseleccionaríadichamuestra?


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CURSO1999‐2000 1

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(2puntos)Dibujeelrecintodelplanodefinidoporlasinecuaciones: 5x+y5; 9y2x0; x+2y2; x0ydeterminesusvértices.b)(1punto)Determine,eneserecinto,lospuntosdondelafunciónF(x,y)=6x+y–3tomalosvaloresmáximoymínimo.EJERCICIO2Elbeneficiodeunaempresavienedadoporlafunciónf(x)= 2

225 +20x 21 x2,dondex

representaelgastoenpublicidad.a)(0.5puntos)Calculeelgastoxapartirdelcuallaempresanoobtienebeneficios.b)(1punto)Determinelosintervalosdecrecimientoydecrecimientodeesafunción.c)(1punto)Representegráficamentelafunciónf.d) (0.5 puntos) Calcule el valor de x que producemáximo beneficio. ¿Cuánto es esebeneficiomáximo?EJERCICIO3Parte1Enunconjuntodeestudiantesel15%estudiaalemán,el30%estudiafrancésyel10%ambasmaterias.a)(1punto)¿Sonindependientes lossucesos“estudiaralemán”y“estudiarfrancés”?Justifiquelarespuesta.b)(1punto)Siseeligeunestudiantealazar,calculelaprobabilidaddequenoestudienifrancésnialemán.Parte2A 400 personas elegidas al azar se les ha preguntado su gasto anual en libros,obteniéndoseunacantidadmediade22000pta.Conindependenciadeestamuestrasesabequeladesviacióntípicadelainversiónenlibrosenlapoblaciónesde4000pta.a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza al 90% y centrado, para la mediapoblacionaldeestainversión.b) (1 punto) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para que el correspondienteintervalodeconfianzadelapartadoanteriorfuese(21904,22096)?

CURSO1999‐2000 1

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seanlasmatrices:A=

1011yB=

21

32

a) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial: A·X + 2B = At, siendo At la matriztraspuestadeA.b)(1punto)CalculelamatrizA2000.EJERCICIO2

Sealafunción:f(x)=

2178212

2 xsixxxsix

a)(1.75puntos)Represéntelagráficamenteyestudiesucontinuidadyderivabilidad.b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y losextremosrelativos.c)(0.5puntos)Losextremoshalladosanteriormente,¿sonpuntosdondef‘(x)=0?Razonelarespuesta.EJERCICIO3Parte1Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, conprobabilidadesP(A)=0.25,P(B)=0.6yP(C)=0.15,respectivamente.LaprobabilidaddeseralcanzadosihuyeporlacalleAes0.4,sihuyeporlacalleBes0.5,ysihuyeporlacalleCes0.6.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeelpolicíaalcancealladrón.b)(1punto)Sielladrónhasidoalcanzado,¿cuáleslaprobabilidaddequehayasidoenlacalleA?Parte2Unamáquinaqueenvasaaceiteengarrafasde5litrosestáajustadademaneraquelacantidadquellenasigueunaleynormalcondesviacióntípicas=0.15litros.a)(1.5puntos)Calculeunintervalodeconfianzadel95%paralamediadelcontenidode lasgarrafasque llenaestamáquinasabiendoqueunamuestraaleatoriade36deellasdiouncontenidomediode4.97litros.b)(0.5puntos)¿Contienenlasgarrafas5litrosdeaceite?


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CURSO1999‐2000 2

OPCIÓNAEJERCICIO1

SealamatrizM=

3212

a)(1.5puntos)Determinelasmatrices:A=M1;B=2MMt.b)(1.5puntos)Resuelvalaecuación:X·M+B=I2.(MtindicatranspuestadeM;I2indicamatrizunidaddeorden2)EJERCICIO2Laderivadadeunafunciónfdefinidade en es:f‘(x)=x2+x6.a)(1punto)Determine,siesposible,paraquévaloresdexalcanzafsumáximoysumínimorelativos.b) (1punto)Calculeunpuntode inflexióndeesta funciónydeterminesi esúnicoopuedenexistirotros.c)(1punto)Sabiendoquef(0)=3,deduzcarazonadamentesiesf(1)<3oesf(1)>3.EJERCICIO3Parte1La tabla adjunta muestra los resultados de una encuesta realizada entre variaspersonasconestudiosprimarios(P),medios(M)ysuperiores(S),sobrelapreguntadesifuman(F)onofuman(FC).

Segúnlosdatosdeestatabla:a)(0.5puntos)¿Cuáles laprobabilidaddequeunapersonaencuestadaconestudiosprimariosfume?¿Ysitieneestudiossuperiores?b) (0.75 puntos) ¿Son independientes los sucesos “tener estudios superiores” y “nofumar”?c)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeunapersonaencuestadaquefumenotengaestudiossuperiores?Parte2(2 puntos) El tiempode reacción de un automovilista ante un obstáculo inesperadosigue una distribución normal con desviación típica de 0.1 segundos. Deduzca eltamañoconelquehade tomarseunamuestrapara tenerunaconfianzadel90%deque el error de estimación del tiempomedio de reacción no supere 0.02 segundos.

CURSO1999‐2000 2

OPCIÓNBEJERCICIO1a)(1.5puntos)Eltriángulolimitadoporlasrectas:2x=7;5y–4x=11;2x+5y=17,representa la solucióndeun cierto sistemade inecuaciones lineales.Determine estesistemadeinecuaciones.b)(1punto)CalculelospuntosdelrecintoanteriorenlosquelafunciónF(x,y)=2x+7yalcanzasusvaloresmáximoymínimo.c)(0.5puntos)Encuentredichosvaloresmáximoymínimo.EJERCICIO2

Dadalafunción:f(x)=

xsix

xsix

21

204

a)(1punto)Dibujelagráficadeestafunción.b)(2puntos)Estudiesucontinuidad,asíntotas,monotoníayextremos.EJERCICIO3Parte1Deentre losalumnosquecursan2ºcursodelBachilleratodeCienciasde laSalud,el80% elige Estadística como optativa y el restoMatemáticas II. No hay alumnos quecursenlasdosmateriasalavez.El40%delosalumnosqueeligenEstadísticasuperaelcurso,mientrasquedelosqueeligenMatemáticasIIel55%superaelcurso.a)(1punto)Elegidounalumnoalazar,calculelaprobabilidaddequesupereelcurso.b) (1punto)Siunalumnohasuperadoel curso, calcule laprobabilidaddequehayaelegidoEstadística.Parte2(2 puntos) Sea la población {1, 2, 3, 4}. Forme todas las muestras, sinreemplazamiento,detamaño2ycalculelamediayvarianzadelasmediasmuestrales,comparando los resultados obtenidos con la media y varianza de la población.


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CURSO1999‐2000 3

OPCIÓNAEJERCICIO1

a)(1.5puntos)Dadoelsiguientesistemadeecuaciones:2 2

2 22 4

calcule,param=+1,lainversadelamatrizdecoeficientes.b)(1.5puntos)Resuelva,param=1,elsistemadelapartadoanterior.EJERCICIO2ElprecioenBolsadelasaccionesdeunaempresadurantelascincohorasqueduraunajornadabursátil,medidoenpesetas,vienedadoporlafunciónC:[0,5]Rdefinidaasí:C(t)=100(t2–6t+25),dondetrepresentaeltiempomedidoenhoras.a)(1.5puntos)DibujelagráficadeC, indicandolassubidasybajadasenelpreciodecadaaccióndurantelasesión,asícomosuprecioenelinstanteinicial.b)(1punto)¿Cuáleselvalormáximoymínimoquealcanzanlasaccionesalolargodelajornada?c) (0.5puntos) Si la sesiónbursátil durara treshorasmásy se rigierapor lamismafunción,¿cuálseríalatendenciaenelpreciodelasacciones?¿Cuálseríalacotizaciónalcabodelasochohoras?EJERCICIO3Parte1En un famoso concurso de televisión basta con responder acertadamente a 15preguntas para ganar 50 millones de pesetas. Cada pregunta tiene 4 posiblesrespuestas,delasquesólounaesverdadera.a) (1punto)Determine laprobabilidaddequeun concursantequeno sabeningunapreguntayrespondealazarpuedaganarlos50millones.b)(1punto)Determinelaprobabilidaddequeunconcursanteconculturamediaquesóloconocelasrespuestascorrectasdelas5primeraspreguntas,aciertelasrespuestasdelas10últimassiéstaslascontestaalazar.Parte2La duración de losmatrimonios en un país se distribuye según una ley normal condesviacióntípica4.8años.a)(1punto)Sisetomaunamuestrade64matrimonioscuyamediaes16años,halleunintervalodeconfianzaal95%paralamediadelapoblación.b)(1punto)Sisabemosquelamediapoblacionales15,¿cuáleslaprobabilidaddequela media de una muestra de tamaño 100 sea superior a 16.35 años?

CURSO1999‐2000 3

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seaelrecintodefinidoporlasinecuaciones:2 3

5.

a)(1punto)Represéntelográficamente.b)(1punto)Calculesusvértices.c) (1punto) ¿Enquépuntosdel recinto alcanza la funciónF(x,y)=2x +y 1 susvaloresextremos?EJERCICIO2

Sealafunción:2

4 2 44 4

a)(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b)(1punto)Represéntelagráficamente.c)(1punto)Hallesusintervalosdecrecimientoydecrecimiento.EJERCICIO3Parte1El80%delosalumnosdeunIESsonaficionadosalfútbolyel60%alcine;lamitaddelosalumnosdeeseIESlosonalasdoscosas.Seeligealazarunalumno:a)(1punto)Hallelaprobabilidaddequenoseaaficionadoaningunadelasdoscosas.b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseaaficionadoalcinesabiendoquenoesaficionadoalfútbol?Parte2Enunamuestraaleatoriade225individuossehaobtenidounamediadeedadde16.5años.Sesabequeladesviacióntípicadelapoblacióndelaqueprocedeesamuestraesde0.7años.a) (1.5puntos)Obtengaun intervalode confianza,al95%,para la edadmediade lapoblación.b)(0.5puntos)¿Quéerrorsecometeenlaestimaciónanterior?


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CURSO1999‐2000 4

OPCIÓNAEJERCICIO1Laregiónfactibledeunproblemadeprogramaciónlinealeslainterseccióndelprimercuadranteconlos3semiplanosdefinidosporlassiguientesinecuaciones:

a)(2puntos)Dibujedicharegiónydeterminesusvértices.b) (1punto)Calculeelmínimode la funciónobjetivoF(x, y)=4x+5yenel recintoanterior.EJERCICIO2

a)(1punto)Calculeladerivadadecadaunadelasfunciones:g(x)=x1;h(x)=x·sen(x)

b) (2 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función cuya funciónderivadavienedadagráficamenteporlarectaquepasaporlospuntos(1,0)y(0,1).EJERCICIO3Parte1En un Instituto se ofertan tres modalidades excluyentes A, B y C y dos idiomasexcluyentes,InglésyFrancés.LamodalidadAeselegidaporun50%dealumnos,laBporun30%ylaCporun20%.TambiénseconocequehanelegidoInglésel80%delosalumnos de la modalidad A, el 90% de la modalidad B y el 75% de la C, habiendoelegidoFrancéselrestodelosalumnos.a)(1punto)¿QuéporcentajedeestudiantesdelInstitutohaelegidoFrancés?b)(1punto)SiseeligealazarunestudiantedeFrancés,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadelamodalidadA?Parte2La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según una ley normal de mediadesconocidayvarianza25cm2.Se ha seleccionado una muestra aleatoria y con una confianza del 95% se haconstruidounintervaloparalamediapoblacionalcuyaamplitudesde2.45cm.a)(1punto)¿Cuálhasidoeltamañodelamuestraseleccionada?b)(1punto)Determineel límitesuperioryel inferiordelintervalodeconfianzasi lamuestratomadadiounaalturamediade170cm.

CURSO1999‐2000 4

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seconsideraelsistema:

5933359

zyxzyxzyx

a)(2puntos)Resuélvaloyclasifíqueloenfuncióndelnúmerodesoluciones.b) (1punto)Determine si esposible, ono, eliminarunade las ecuaciones,de formaqueelsistemaqueresulteseaequivalentealanterior.Razonelarespuesta.EJERCICIO2

Dadalafunciónf(x)=

1112

122

xsiLxxsix

xsiax(Lindicalogaritmoneperiano)

a)(1punto)Calculeelvalorde“a”paraquefseacontinuaenx=1.b)(1punto)Representegráficamentelafunciónanteriorsia=3.c)(1punto)Justifiquelaexistenciaonodederivadaenlospuntosx=1yx=1paralafunciónobtenidaenelapartadoanterior.EJERCICIO3Parte1SeanAyBdossucesosdelmismoespaciomuestraltalesqueP(A)=0.7,P(B)=0.6yP(AB)=0.9.a)(1punto)JustifiquesiAyBsonindependientes.b)(1punto)CalculeP(A/BC)yP(B/AC);ACyBCindicanloscontrariosdeAyB.Parte2Seconocequeelnúmerodedíasdepermanenciadelosenfermosdeunhospitalsigueunadistribuciónnormaldemedia8.1díasydesviacióntípica9días.Seelige,alazar,unamuestrade100enfermos:a)(1punto)Razonecuálesladistribucióndelamediamuestral.b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediamuestralestécomprendidaentre8y10días?


17

CURSO1999‐2000 5

OPCIÓNAEJERCICIO1

SealamatrizA=

11221

013a

a)(1punto)CalculeA·AT;dondeATindicalamatriztranspuestadeA.b)(1punto)HallelamatrizinversadeAparaa=8.c)(1punto)¿TieneinversaAcuandoa=7?EJERCICIO2a)(1.5puntos)Dadalafunciónf(x)=x3+ax2+b,calculeaybparaquef(x)tengaunpuntodeinflexiónen(1,2).b)(1.5puntos)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadey=x31encadaunodelospuntosenlosquesupendienteseaiguala3.EJERCICIO3Parte1DossucesosAyBsontalesqueP(A)=0.30,P(B/A)=0.10yP((AB)C)=0.63,donde(AB)CindicaelcontrariodeAB.a)(1.5puntos)¿EsAindependientedeB?¿EsBindependientedeA?b)(0.5puntos)CalculeP(ACBC);dondeACyBCindicanloscontrariosdeAyB.Parte2Unapoblaciónestáformadaporlos4númerossiguientes:3,7,11,15.a) (0.5 puntos) Encuentre todas las muestras posibles, con reemplazamiento, detamaño2.b)(1punto)Hallelamediayladesviacióntípicadeladistribuciónmuestraldemedias.c)(0.5puntos)Hallelamediayladesviacióntípicadelapoblación.

CURSO1999‐2000 5

OPCIÓNBEJERCICIO1Seaelrecintodefinidoporlasinecuaciones:x 3

1 (x+y);x+y18;y15;x0a)(2puntos)Representedichorecintoydeterminesusvértices.b)(1punto)EncuentreelpuntodeéstedondesehacemínimalafunciónF(x,y)=80x+100·(15y).¿Cuálesesevalormínimo?EJERCICIO2

Seaf(x)=

23213

122

xsixxsix

xsix

a)(2puntos)Representegráficamentelafuncióny,alavistadesugráfica,determinesusmáximosymínimosrelativos,asícomosucrecimientoydecrecimiento.b)(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.EJERCICIO3Parte1En una clase el 60% de los alumnos aprobó Historia y la mitad de la clase aprobóInglés.Sesabequeel70%delosalumnosqueaprobaronHistoriaaprobóInglés.a) (1 punto)Calcule la probabilidad deque un alumno cualquierade la citada claseapruebealmenosunadelasdosasignaturas.b) (0.5puntos)Calcule elporcentajede losalumnosque, habiendoaprobado Inglés,apruebanHistoria.c)(0.5puntos)¿Sonindependienteslossucesos“aprobarHistoria”y“aprobarInglés”?Razonelarespuesta.Parte2Se sabe que el intervalo (2.9, 3.7) es un intervalo de confianza al 95%para el pesomedio,enkilogramos,delosreciénnacidosenelaño1999,elaboradoapartirdeunamuestrade200deellos.a) (1punto)Comente razonadamentesi sepuedededucirdel intervalodeconfianzadado la siguiente afirmación: “el pesomedio de los recién nacidos del año 1999 esseguroqueestáentre2.9y3.7kilogramos”.b)(1punto)¿Quésepodríahacerparatenerunintervalodeconfianzamáspequeño?


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CURSO1999‐2000 6

OPCIÓNAEJERCICIO1a) (2 puntos) Represente y calcule los vértices de la región determinada por lasinecuacionessiguientes:x0;y0;yx2;yx1;2y+x7.b) (1 punto) Calcule el valor máximo de la función F(x, y) = 2x + 3y en la regiónanterioryelpuntodondeloalcanza.EJERCICIO2

Seconsideralasiguientefunción:f(x)=

xsix

xsiaxx

xsix

01

2022

21

2

2

a)(1.5puntos)Halleelvalordeaparaquefseacontinua.Paradichovalordea,¿esfderivable?b)(1.5puntos)Paraelcasodea=2,dibujelagráficadef.EJERCICIO3Parte1(2puntos)Lapoblaciónespañolaestácompuestaporun55%demujeres,delasqueun 8% ha realizado en alguna ocasión una compra por Internet. Se sabe que laprobabilidaddequeunapersonahaya compradoalgunavezusando Internet es0.3.Hallelaprobabilidaddequeunhombre,elegidoalazar,hayacompradoalgunavezporInternet.Parte2Lasnotasdeunexamensedistribuyensegúnunaleynormaldemedia5.6yvarianza9.Seleccionamosalazar16estudiantesycalculamoslamediadesusnotas.a)(1.5puntos)Calculelaprobabilidaddequedichamediaestécomprendidaentre4.7y6.5.b) (0.5 puntos) Si en lugar de seleccionar 16 estudiantes, seleccionamos 25,¿aumentaráodisminuirálaprobabilidadcalculadaenelapartadoanterior?Razonelarespuesta.

CURSO1999‐2000 6

OPCIÓNBEJERCICIO1a) (1.5 puntos) Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para darsoluciónal siguienteproblema: “Unaempresaderepostería tiene10vehículosentremotocicletas (2 ruedas), turismos (4 ruedas) y pequeños camiones de reparto (6ruedas). El impuestomunicipal, por vehículo, es de 2000 pta, 5000 pta y 8000 pta,respectivamente.Sabiendoquehapagadountotalde41000ptaporesteconceptoyqueeltotalderuedasdesusvehículosesde34,¿cuántosvehículostienedecadatipo?”

b)(1.5puntos)DadalamatrizA=

5221 ,halleA+A1.

EJERCICIO2Laaltura,enmetros,quealcanzaunapelotalanzadahaciaarribaenfuncióndeltiempo(ensegundos)transcurridodesdesulanzamiento,vienedadaporlaexpresión:

f(t)=22

5 2tt

a)(1punto)Representegráficamentef.b) (1 punto) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 4 segundos? ¿Al cabo decuántotiempollegaráalsuelo?c) (1 punto) ¿En qué instante alcanzará la pelota su alturamáxima? ¿Cuál es dichaaltura?EJERCICIO3Parte1Deuna listade10personas,de lasque7sonhombres, seleccionamos2personasalazar.Calculelaprobabilidaddequeseandedistintosexoenlossiguientescasos:a)(1punto)Seeligensinreemplazo.b)(1punto)Seeligenconreemplazo.Parte2Enunapoblación,unavariablealeatoriasigueunaleynormalcondesviacióntípica12.a)(1punto)Sienunamuestradetamaño100,tomadaalazar,sehaobservadoquelamedia es 40, determine un intervalo, con el 95% de confianza, para lamedia de lapoblación.b)(1punto)Conunniveldeconfianzadel90%sehaconstruidounintervaloparalamediapoblacional cuyo límite inferiorhasido36.71. ¿Qué tamañodemuestra sehatomadoenestecaso?


19

CURSO2000‐2001 1

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seaelsistema:

0213223

zyzxzyx

.

(0.5puntos)Expréseloenformamatricial.(0.5puntos)¿Lamatrizdeloscoeficientesposeeinversa?Justifiquelarespuesta.(2puntos)Resuélvaloyclasifíqueloencuantoalnúmerodesoluciones.EJERCICIO2Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la función

5210050

xxxf ,dondexrepresentalosañosdevidadelaempresa,cuandox0.

(2puntos)Representegráficamentelafuncióny= f(x),parax (,+), indicando:dominio,corteconlosejes,asíntotas,crecimientoydecrecimiento.(0.5puntos)¿Apartirdequéañolaempresadejadetenerpérdidas?(0.5puntos)Amedidaque transcurreel tiempo, ¿están limitados susbeneficios?Encasoafirmativo,¿cuálessulímite?EJERCICIO3ParteIUnacajacontienedieztornillos,delosquedossondefectuosos.(1 punto) Si vamos extrayendo tornillos, uno tras otro, hasta localizar los dosdefectuosos,¿cuáleslaprobabilidaddenecesitarexactamentetresextraccionesparalocalizarlos?(1 punto) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha resultado ser defectuoso,¿cuáleslaprobabilidaddequeelprimerotambiénlohayasido?ParteII(2 puntos) Según un estudio sociológico, el gastomensual de los jóvenes españolesdurante losfinesdesemanasedistribuyesegúnuna leynormaldemedia=25000ptaydesviacióntípica=3000pta.Tomamos,alazar,unamuestrade36jóvenes.¿Cuáleslaprobabilidaddequeestamuestratengaungastomediocomprendidoentre23800ptay26200pta?

CURSO2000‐2001 1

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Ciertasaladeespectáculostieneunacapacidadmáximade1500personas,entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. Elpreciode laentradaaunasesióndeunadultoesde800pta,mientrasque ladeunniñoesdeun40%menos.Elnúmerodeadultosnopuedesuperaraldobledelnúmerodeniños.Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puederecaudarporlaventadeentradas?¿Cuántasdelasentradasserándeniños?EJERCICIO2

Dadalafunción xsix

xsiaxsiax

xf

222

222

(aR).

(1punto)Calculeelvalorde“a”paraquefseacontinuaenx=2.(1punto)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddefcuandoa=2.(1punto)Dibujelagráficadelafunciónqueseobtienecuandoa=2.EJERCICIO3ParteIDisponemosdetresdados,unodeloscualesestátrucado.Laprobabilidaddesacar5coneldadotrucadoes0.25siendolosotrosresultadosequiprobables.Seeligeundadoalazaryserealizaunlanzamientoconél.(1punto)Determinelaprobabilidaddeobtenerun2.(1punto)Dadoquehasalidoun2,¿cuáleslaprobabilidaddequehayamoselegidoeldadotrucado?ParteII(2puntos)Sabiendoquelavarianzadeunaleynormales2=16,determineelniveldeconfianzaconelquepuededecirsequesumediaestácomprendidaentre6.2y8.8,sisetomaunamuestraaleatoriadetamaño36deesaleynormal,cuyamediamuestrales7.5.


20

CURSO2000‐2001 2

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazassuficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas deequipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. LacontratacióndeunavióndeltipoAcuesta4millonesdeptaypuedetransportar200personasy6toneladasdeequipaje; lacontratacióndeunodeltipoBcuesta1millóndeptaypuedetransportar100personasy15toneladasdeequipaje.¿Cuántosavionesdecadatipodebenutilizarseparaqueelcosteseamínimo?EJERCICIO2

Sealafunción

00

2

2

xsixxxsixx)x(f .

(1punto)Represéntelagráficamente.(0.5puntos)Estudiesucontinuidad.(1punto)Obtenga,siexiste,laderivadadefenx=1/2,x=1/2yx=0.(0.5puntos)Indiquesiposeemáximosymínimosrelativosyenquépuntos.EJERCICIO3ParteIEn una ciudad el 60 % de sus habitantes son aficionados al fútbol, el 30 % sonaficionadosalbaloncestoyel25%aambosdeportes.(0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “ser aficionado al fútbol” y “seraficionadoalbaloncesto”?.(0.75puntos)Siunapersonanoesaficionadaalfútbol,¿cuáleslaprobabilidaddequenoseaaficionadaalbaloncesto?(0.75puntos)Siunapersonanoesaficionadaalbaloncesto,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaaficionadaalfútbol?ParteII(2puntos)Elperiododefuncionamientodelasbombillasdeunadeterminadamarcasigueunadistribuciónnormaldemedia360díasydesviacióntípica40días.Queremos elegir una muestra de bombillas de esa marca cuyo periodo medio defuncionamientoseasuperiora330días,conprobabilidad0.97.Calculeeltamañomínimodelamuestra.

CURSO2000‐2001 2

OPCIÓNBEJERCICIO1(2 puntos) Determine dos números sabiendo que al dividir el mayor por el menorobtenemos7decocientey2deresto,yqueladiferenciaentreeltripledelmayoryelmenores106.(1punto)Resuelvaelsiguientesistemaeinterpretegráficamentesussoluciones:

.)y()x(yx

1212452

EJERCICIO2Elestudiodelarentabilidaddeunaempresarevelaqueunainversióndexmillonesdepesetasproduceunagananciadef(x)millonesdepts,siendo:

525

5058

258

50

2

xsix

xsixx)x(f .

(1punto)Representelafunciónf(x).(0.75puntos)Hallelainversiónqueproducemáximaganancia.(0.75puntos)Halleelvalordelainversiónqueproduceganancianula.(0.5 puntos) Razone lo que ocurre con la rentabilidad si la inversión se incrementaindefinidamente.EJERCICIO3ParteITenemosuncofreAcon2monedasdeoroy3deplata,uncofreBcon5monedasdeoroy4deplatayuntercercofreCcon2monedasdeoro.Elegimosuncofrealazarysacamosunamoneda.(1punto)Calculelaprobabilidaddequeseadeoro.(1 punto) Sabiendo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sidoextraídadelcofreA.ParteIIEn los individuosdeunapoblación, lacantidaddecolesterolensangresedistribuyesegún una ley normal de media desconocida y desviación típica de 0.5 g/l. Hemostomadounamuestrade10individuos,ysehaobtenidounamediamuestralde1.7g/l.(1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para la cantidad media decolesterolensangredelapoblación.(1 punto) ¿Qué nivel de confianza tendría un intervalo para la media cuyos límitesfuesen1.2930y2.107?


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CURSO2000‐2001 3

OPCIÓNAEJERCICIO1(1punto)UnestablecimientoponealaventatrestiposdecamisasA,ByC.SesabequelarazónentrelospreciosdelascamisasCyBes19/18yentrelosdeByAes6/5.Alcomprar tres camisas, una de cada clase, se pagan 13000 pta. Plantee el sistema deecuacionesquepermitaconocerelpreciodecadacamisa.

(2 puntos) Siendo A =

101012001 y B =

110110, razone si posee solución la ecuación

matricialA·X=By,encasoafirmativo,resuélvala.EJERCICIO2Unobjetoselanzaverticalmentehaciaarribademodoquelaaltura“h”(enmetros)alaqueseencuentraencadainstante“t”(ensegundos)vienedadaporlaexpresión:h(t)=5t2+40t.(0.75puntos)¿Enquéinstantealcanzalaalturamáxima?¿Cuálesesaaltura?(1punto)Representegráficamentelafunciónh(t).(0.75 puntos) ¿En quémomento de su caída se encuentra el objeto a 60metros dealtura?(0.5puntos)¿Enquéinstantellegaalsuelo?EJERCICIO3ParteISeanAyBdossucesostalesqueP(A)= 2

1 ,P(B)= 31 yP(AB)= 4

1 .Calcule:(0.5puntos)P(A/B)yP(B/A).(0.75puntos)P(AB).(0.75puntos)P(ACB).(ACindicaelcontrariodelsucesoA).ParteIIUna agencia de alquiler de automóviles necesita estimar el número medio dekilómetros diarios que realiza su flota de automóviles. Se sabe que el número dekilómetrospordíasigueunadistribuciónnormalcondesviacióntípicade6km/día.Setomanlosrecorridosde100vehículosdelaflota,obteniéndosequelamediamuestralesde165km/día.(1punto)Construyaunintervalodeconfianzaparalamediadedichadistribuciónaunniveldeconfianzadel95%.(1punto)¿Cuáldeberíasereltamañodelamuestraparaaseguraralniveldeconfianzadel90%queelerrorcometidoesalosumo0.1?

CURSO2000‐2001 3

OPCIÓNBEJERCICIO1(1 punto) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema deinecuaciones:

00162632182

y;xyxyxyx

.

(1punto)Calculelosvérticesdeeserecinto.(1punto)Obtengaendicho recintoel valormáximoy elmínimode la funciónF(x,y)=5x+3y.Digaenquepuntossealcanzan.EJERCICIO2(3puntos)Determinelosvaloresquehandetomar“a”y“b”paraquelafunción:

17614

2 xsixaxxsibx

)x(f

seaderivable.EJERCICIO3ParteIEnuncineclubhay80películas;60sonde“acción”y20de“terror”.Susanaeligeunapelículaalazaryselalleva.AcontinuaciónLuiseligeotrapelículaalazar.(1punto)¿Cuáles laprobabilidaddeque tantoSusanacomoLuiselijanpelículasdeacción?(1punto)¿CuáleslaprobabilidaddequelapelículaelegidaporLuisseadeacción?ParteIISedeseaestimar,conunerrormáximode0.2horas,eltiempomediodeestudiodiariodelosalumnosdeprimercursouniversitario.Sesabequeladesviacióntípicaesde1horaysetomaunamuestraaleatoriade100alumnos.(1punto)Calculeelniveldeconfianzadelintervaloqueseobtendrá.(1 punto) Calcule el número de individuos que debe tener una muestra paraasegurarnosunaconfianzadel99%.


22

CURSO2000‐2001 4

OPCIÓNAEJERCICIO1(3puntos)Resuelvalasiguienteecuaciónmatricial:A·X2B=C,siendo

A=

011101210,B=

421,C=

135.

EJERCICIO2Lagráficadelafunciónderivadadeunafunciónf(x)esunaparáboladevértice(1,4)quecortaalejedeabscisasenlospuntos(1,0)y(3,0).Apartirdelagráficadef‘:(1.75puntos)Estudieelcrecimientoyeldecrecimientodef.¿Paraquévaloresdexsealcanzanlosmáximosymínimosrelativos?(1.25 puntos) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea laparáboladada.EJERCICIO3ParteIDoscajas,AyB,tienenelsiguientecontenido: LaA: 5monedasde1euroy3de10pesetas. LaB: 4monedasde1euro,4de10pesetasy2de25pesetas.Deunadelascajaselegidaalazar,seextraeunamoneda.(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseade1euro?(1punto)Silamonedaextraídaresultaserde10pesetas,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelacajaB?ParteII(2 puntos) Se sospecha que el número de unidades que contiene cada dosis de unmedicamentonollegaalas10000queseindicanenelenvase.Paracomprobarqueelcontenido medio de las dosis es el indicado tomamos, al azar, 100 dosis ydeterminamos el número de unidades de cada una, obteniendo de media 9940unidadesydedesviacióntípica120unidades.¿Quépodemosdecirsobrelaindicacióndelenvase,paraunniveldeconfianzadel99%?

CURSO2000‐2001 4

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seaelconjuntoderestriccionessiguiente:

016209

xyxyxyx

.

(1punto)Dibujelaregiónfactibledeterminadapordichasrestricciones.(1punto)Calculelosvérticesdedicharegión.(1punto)ObtengalospuntosenlosquelafunciónobjetivoF(x,y)=x+2ypresentaelmáximoyelmínimo.EJERCICIO2El consumo de luz (en miles de pesetas) de una vivienda, en función del tiempotranscurrido,nosvienedadoporlaexpresión:f(t)= 5

1 t2+2t+10,con0t12(1punto)¿Enquéperiododetiempoaumentaelconsumo?¿Encuáldisminuye?(1punto)¿Enquéinstanteseproduceelconsumomáximo?¿Yelmínimo?(1punto)Representegráficamentelafunción.EJERCICIO3ParteILaprobabilidaddequeunjugadorAmarqueungoldepenaltiesde5/6,mientrasqueladeotrojugadorBes4/5.Sicadaunolanzaunpenalti,(1punto)Hallelaprobabilidaddequemarquegolunosolodelosdosjugadores.(1punto)Hallelaprobabilidaddequealmenosunomarquegol.ParteIIUnamuestraaleatoriade36 cigarrillosdeunamarcadeterminadadioun contenidomediodenicotinade3miligramos.Sesabequeelcontenidoennicotinadeestoscigarrillossigueunadistribuciónnormalconunadesviacióntípicade1miligramo.(1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido medio en nicotina de loscigarrillosdeesamarcaseasuperiora3.2miligramos?(1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 99% para el contenido medio denicotinadeestoscigarrillos.


23

CURSO2000‐2001 5

OPCIÓNAEJERCICIO1(3puntos)Para fabricar2 tiposdecable,AyB,quesevenderána150y100ptaelmetro, respectivamente, seemplean16kgdeplásticoy4kgdecobreparacadahm(hectómetro)deltipoAy6kgdeplásticoy12kgdecobreparacadahmdeltipoB.SabiendoquelalongituddecablefabricadodeltipoBnopuedesermayorqueeldobledeladeltipoAyque,además,nopuedenemplearsemásde252kgdeplásticonimásde 168 kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debefabricarseparaquelacantidaddedineroobtenidaensuventaseamáxima.EJERCICIO2Calculelasfuncionesderivadasdelassiguientes:

(1punto) 2xxL)x(f ( xL indicalogaritmoneperianodex)

(1punto) xcos)x()x(g 31

(1punto) xexx)x(h 154 3

EJERCICIO3ParteIDosurnasAyB,quecontienenbolasdecolores,tienenlasiguientecomposición:A:5blancas,3negrasy2rojas.B:4blancasy6negras.Tambiéntenemosundadoquetiene4carasmarcadasconlaletraAylasotrasdosconlaletraB.Tiramoseldadoysacamosunabolaalazardelaurnaqueindicaeldado.(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeesabolaseablanca?(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeesabolasearoja?(0.75puntos)Labolaextraídaharesultadoserblanca,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelaurnaB?ParteIIUnestudiorealizadosobre100usuariosrevelaqueunautomóvilrecorreanualmenteunpromediode15200kmconunadesviacióntípicade2250km.(1punto)Determineunintervalodeconfianza,al99%,paralacantidadpromediodekilómetrosrecorridos.(1punto)¿Cuáldebesereltamañomínimodelamuestraparaqueelerrorcometidonoseasuperiora500km,conigualconfianza?

CURSO2000‐2001 5

OPCIÓNBEJERCICIO1(1punto)Determinelosvaloresdexeyquehacenciertalasiguienteigualdad:

23

11

2311

yx

yx .

(2puntos)DeterminelamatrizXdedimensión2x2talque:

1301

1110

25231

X .

EJERCICIO2

Sealafunción:

3x3x1

1xsisisi

xx

xxx

)x(f

301629123

1

2

2

2

.

(2puntos)Dibujesugráficay,alavistadeella,estudiemonotoníayextremos.(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.EJERCICIO3ParteIEn el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran lossiguientessucesos: A:“sacaralmenosunacarayunacruz”. B:“sacaralosumounacara”.(1punto)DetermineelespaciomuestralasociadoaeseexperimentoylossucesosAyB.(1punto)¿Sonindependientesambossucesos?ParteII(2puntos)Lacantidaddehemoglobinaensangredelhombresigueunaleynormalcondesviacióntípicade2g/dl.Calculeelniveldeconfianzadeunamuestrade12extraccionesdesangrequeindiqueque lamedia poblacional de hemoglobina en sangre está entre 13 y 15 gramos pordecilitro.


24

CURSO2000‐2001 6

OPCIÓNAEJERCICIO1

SeconsideralamatrizA=

011111

xx

x.

(1.5puntos)CalculelosvaloresdexparalosquenoexistelainversadeA.(1.5puntos)Parax=3,calcule,siesposible,A1.EJERCICIO2Unagricultorcompruebaquesielprecioalquevendecadacajadefresases“x”euros,subeneficiodiario,eneuros,será:B(x)=10x2+100x210.(1punto)Representelafunciónprecio‐beneficio.(1punto)Indiqueaquépreciodebevendercadacajadefresasparaobtenerelmáximobeneficio.¿Cuálseráesebeneficiomáximo?(1punto)Determineaquépreciosdelacajaobtienepérdidaselagricultor.EJERCICIO3ParteIDadounespaciomuestralEseconsideranlossucesosAyB,cuyasprobabilidadessonP(A)=2/3yP(B)=1/2.(0.75puntos)¿PuedenserlossucesosAyBincompatibles?¿Porqué?(0.75puntos)SuponiendoquelossucesosAyBsonindependientes,calculeP(AB).(0.5puntos)SuponiendoqueAB=E,calculeP(AB).ParteII(2puntos)Unaciudadde2000habitantesestápobladaporpersonasdepelonegro,rubioocastaño.Se ha seleccionado, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijaciónproporcional,unamuestraconstituidapor28personasdepelonegro,32depelorubioy20depelocastaño.Determinecuáleslacomposición,segúnelcolordelpelo,deesaciudad.

CURSO2000‐2001 6

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seaelrecintodefinidoporlassiguientesinecuaciones:

.yx

yxyxyx

00020430201025

(2puntos)Dibujedichorecintoydeterminesusvértices.(1punto)DetermineenquépuntodeeserecintoalcanzalafunciónF(x,y)=4x+3yelmáximovalor.EJERCICIO2(1.5 puntos) Dada la función f(x) = x3 + bx + c, determine los valores de “b” y “c”sabiendoquedichafunciónalcanzaunmáximorelativoenelpunto(1,3).(1.5puntos)Calcule“a”paraqueelvalormínimodelafuncióng(x)=x2+2x+aseaiguala8.EJERCICIO3ParteIEl35%delosestudiantesdeuncentrodocentepracticaelfútbol.El70%delosquepracticanel fútbolestudiaMatemáticas, así comoel25%de losquenopracticanelfútbol.Calculelaprobabilidaddequealelegir,alazar,unestudiantedeesecentro:(1punto)EstudieMatemáticas.(1punto)Practiqueelfútbol,sabiendoquenoesalumnodeMatemáticas.ParteII(2puntos)Enunapoblaciónnormalconvarianzaconocidasehatomadounamuestradetamaño49ysehacalculadosumedia: x =4.2Determinelavarianzadelapoblaciónsabiendoqueelintervalodeconfianza,al95%,paralamediapoblacionales(3.64,4.76).


25

CURSO2001‐2002 1

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(1.5puntos)Unautobústransporta90viajeroscon3tarifasdiferentes: 1ª:Viajerosquepaganelbilleteentero,quevale0.70euros. 2ª:Estudiantes,condescuentodel50%. 3ª:Jubilados,condescuentodel80%.Sesabequeelnúmerodeestudianteses10veceseldejubiladosyquelarecaudacióntotalhasidode46.76euros.Plantee,sinresolver,elsistemadeecuacionesnecesarioparadeterminarelnúmerodeviajeros,decadatarifa,quevaenelautobús.

b) (1.5 puntos) Dada la matriz A =

101011001, determine, si existe, la matriz X que

verifiqueA⋅X=

321

EJERCICIO2a)(2puntos)Determinelosvaloresdeaybparaqueseaderivablelafunción

f(x)=

142132

xsibxxsibxax

b)(1punto)Representegráficamentelafunciónfsia=1yb=2.EJERCICIO3.ParteISedisponedeunabarajaespañolade40cartas(10deoros,10decopas,10deespadasy10debastos).Sesacaunacarta,alazar,y,sindevolverla,sesacaotra,alazar.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeningunadelasdoscartasseadeoros.b)(1punto)Sabiendoquela2ªcartaextraídahasidodecopas,calculelaprobabilidaddequetambiénlofueralaprimera.ParteII(2 puntos) Para estudiar el gastomensual en teléfonomóvil de los jóvenes de unaciudad se ha elegido una muestra aleatoria de 16 estudiantes, con los resultadossiguientes,expresadoseneuros:

4,6,30,14,16,14,15,16,22,8,3,56,42,26,30,18.AdmitiendoqueestegastomensualsigueunaleyNormalcondesviacióntípica13.78euros,determineunintervalodeconfianza,al95%,paralamediadelgastomensual.

CURSO2001‐2002 1

OPCIÓNBEJERCICIO1Unapersonadeseaadelgazar.EnlafarmacialeofrecendoscompuestosAyBparaquetomeunamezcladeambosenlacomida,conlassiguientescondiciones:

Nodebetomarmásde150gdelamezcla,nimenosde50g.LacantidaddeAdebesermayoroigualqueladeB.Nodebeincluirmásde100gdelcompuestoA.

Sesabequecada100gdeAcontienen30mgdevitaminasycada100gdeBcontienen20mgdevitaminas.a)(2puntos)Formulematemáticamenteelconjuntoderestricciones,dibujelaregiónfactibleydeterminesusvértices.b) (1 punto) ¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener elpreparadomásricoenvitaminas?EJERCICIO2Sealafunciónf(x)=−x3+3x.a)(0.75puntos)Determinesuspuntosdecorteconlosejesdecoordenadas.b)(1.5puntos)Represéntelagráficamente.c)(0.75puntos)Obtenga lasecuacionesde lasdosrectastangentesa lagráficade lafunciónquetienenpendienteceroydigacuálessonlospuntosdetangencia.EJERCICIO3ParteIJuanyPedrojueganaobtenerlapuntuaciónmásaltalanzandosusdados.EldadodeJuantienecuatrocarasconlapuntuación5ylasotrasdoscarasconel1.EldadodePedrotienedoscarasconel6,otrasdosconel4ylasotrasdosconel1.a)(1punto)¿CuáleslaprobabilidaddequeganePedro?b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddeempatar?ParteII(2puntos)LaedaddelosniñosquevanaunparquesigueunaleyNormaldemedia8añosydesviación típica2.1 años.Enunmomentodeterminadohay25niños en eseparque.¿Cuáles laprobabilidaddeque laedadmediadeesegrupoestéentre8.5y9años?


26

CURSO2001‐2002 2

OPCIÓNAEJERCICIO1(3puntos)Unafábricademueblesdisponede600kgdemaderaparafabricarlibreríasde 1 y de 3 estantes. Se sabe que son necesarios 4 kg demadera para fabricar unalibreríade1estante,siendosupreciodeventa20euros;parafabricarunalibreríade3estantessenecesitan8kgdemaderayelpreciodeventadeéstaes35euros.Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener elmáximoingreso,sabiendoque,porfaltadeotrosmateriales,nosepuedenfabricarmásde120libreríasde1estante,nitampocomásde70de3estantes.EJERCICIO2.

Sealafunciónf(x)=

515452106

252

xsixxsixx

xsi

a)(1.5puntos)Represéntelagráficamente.b)(1.5puntos)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.EJERCICIO3.ParteIEnuncolectivodepersonas,el80%tienemásde35años.Delosmayoresde35años,el40%sonmujeres.Delosquenohansuperadolos35años,el45%sonhombres.Seeligeunapersona,alazar,deesecolectivo.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseamujer?b)(1punto)¿Cuáles laprobabilidaddequenohayasuperado los35añossabiendoquesehaelegidounhombre?ParteIISehamedido la tallade100personaselegidasalazar,mediantemuestreoaleatoriosimple, de entre los estudiantes varones de bachillerato de una gran ciudad,obteniéndose una talla media de 1.75 m. Se sabe que la desviación típica de lapoblaciónes0.2m.a)(1punto)Halleunintervalodeconfianza,al90%,paralamediapoblacionaldelatalladelosestudiantes.b)(1punto)¿Conquéniveldeconfianzasehaconstruidoelintervalo(1.73,1.77)paralamediapoblacional?

CURSO2001‐2002 2

OPCIÓNBEJERCICIO1

SealamatrizA=

mm11

60101

a)(1.5puntos)DetermineparaquévaloresdelparámetromexisteA–1.b)(1.5puntos)CalculeA–1param=2.EJERCICIO2.Elbeneficioobtenidopor laproducciónyventadexkilogramosdeunartículovienedadoporlafunción:B(x)=−0.01x2+3.6x−180.a)(1punto)Representegráficamenteestafunción.b)(1punto)Determineelnúmerodekilogramosquehayqueproduciryvenderparaqueelbeneficioseamáximo.c)(1punto)Determinecuántoskilogramossedebenproduciryvender,comomáximo,paraquelaempresanotengapérdidas.EJERCICIO3ParteIDeunabolsaque contiene4monedasde2 euros, 5de1 euroy3de0.20 euros, seextraendosmonedas,alazar,sucesivamenteysindevolverlasalabolsa.a)(1.5puntos)Calculelasprobabilidadesdelossiguientessucesos:A=“lasumadelasdosmonedasesinferiora2.20euros”.B=“almenosunadelasdosmonedasesde0.20euros”.b)(0.5puntos)Razonesiesosdossucesossonindependientes.ParteII(2puntos)ElpesodelospecesadultosquesecríanenunapiscifactoríasedistribuyesegúnunaleyNormalcondesviacióntípica9g.Lospesos,engramos,deunamuestraaleatoriade9pecesadultosdeesapiscifactoríason:

310, 311, 309, 295, 280, 294, 303, 305, 293.Determineunintervalodeconfianza,al95%,paraelpesomediodelospecesadultosdeesapiscifactoría.


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CURSO2001‐2002 3

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos)Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24litrosdeleche,6kgdejamónserranoy12litrosdeaceitedeoliva.Planteey resuelvaun sistemadeecuacionespara calcularelpreciounitariodecadaartículo,sabiendoque1litrodeaceitecuestaeltriplequeunlitrodelecheyque1kgdejamóncuestaigualque4litrosdeaceitemás4litrosdeleche.EJERCICIO2

Seaf(x)=

10516253912305

2

23

tsittsitttsitt

a)(2puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddefent=3yt=5.b)(1punto)Razonesifposeealgúnpuntodeinflexiónycalcúlelo,encasoafirmativo.EJERCICIO3ParteILosalumnosdeBachilleratodeunI.E.S.procedende3localidadesA,ByC,siendoun20%deA, un30%deBy el restodeC. El 80%de los alumnosdeA cursa1º deBachillerato y el resto 2º.El 50%de los alumnos deB cursa 1º deBachillerato y elresto2º.El60%delosalumnosdeCcursa1ºdeBachilleratoyelresto2º.a)(1punto)Seleccionado,alazar,unalumnodeBachilleratodeeseI.E.S.,¿cuáles laprobabilidaddequeseade2º?b)(1punto)Sielegimos,alazar,unalumnodeBachilleratodeeseI.E.S.yésteesunalumnode1º,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelalocalidadB?ParteIISesabequelaestaturadelosindividuosdeunapoblaciónesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica6cm.Setomaunamuestraaleatoriade225individuosquedaunamediade176cm.a) (1 punto) Obtenga un intervalo, con un 99% de confianza, para la media de laestaturadelapoblación.b)(1punto)Calculeelmínimotamañodemuestraquesehadetomarparaestimarlaestaturamediadelosindividuosdelapoblaciónconunerrorinferiora1cmyunniveldeconfianzadel95%.

CURSO2001‐2002 3

OPCIÓNBEJERCICIO1Seaelsistemadeinecuacionessiguiente:x+y≤120;3y≤x;x≤100;y≥10.a)(2puntos)Representegráficamentelaregiónfactibleycalculesusvértices.b)(1punto)¿Enquépuntodeesaregión,F(x,y)=25x+20y,alcanzaelmáximo?EJERCICIO2Seax,eneuros,elpreciodeventadellitrodeaceitedeolivavirgenextra.Sea f(x) = 2 −

14x

, con 0 ≥ x, la función que representa el balance económico

quincenal,enmilesdeeuros,deunaempresaagrícola.a)(2puntos)Representelafunciónf.b) (0.5 puntos) ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza estaempresaatenerbeneficios?c) (0.5 puntos) ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? ¿Y laspérdidas?EJERCICIO3ParteISegún la estadística de los resultados en las Pruebas de Acceso en una provinciaandaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es 840, de lasquehanaprobadoun70%,mientrasqueelnúmerodealumnospresentadoses668,habiendoaprobadoun75%deéstos.a) (1 punto) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es laprobabilidaddequehayaaprobado?b)(1punto)Sabiendoqueunapersonahaaprobado,¿cuáles laprobabilidaddequeseavarón?ParteIISesabequelosestudiantesdeunaprovinciaduermenunnúmerodehorasdiariasquesedistribuyesegúnunaleyNormaldemediaµhorasydesviacióntípicaσ=2horas.a) (1 punto) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguienteintervalodeconfianza(7.26,8.14)paralamediadelapoblación.Determineelniveldeconfianzaconquesehaconstruidodichointervalo.b)(1punto)Determineeltamañomuestralmínimonecesarioparaqueelerrorquesecometa al estimar lamedia de la población por un intervalode confianza sea, comomáximo,de0.75horas,conunniveldeconfianzadel98%.


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CURSO2001‐2002 4

OPCIÓNAEJERCICIO1

(3puntos)SeanlasmatricesA=

013113 ,B=

yx ,C=

011,D=

zzz.

Calculex,y,z,sabiendoqueA·B=2C−D.EJERCICIO2Sealafunciónf(x)=

2116233

2 xsixxxsix

a)(1punto)Represéntelagráficamente.b)(1.5puntos)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.Calculesusextremos.c)(0.5puntos)¿Existealgúnpuntodondelapendientedelarectatangenteasugráficaseacero?Encasoafirmativo,determinecuáles.EJERCICIO3ParteIUna urna contiene 15 bolas, de las cuales 6 son azules y 9 son rojas. Se extraensucesivamenteysinreemplazamiento,3bolas,alazar.a)(0.5puntos)Describaelespaciomuestralasociadoalexperimento.b)(0.75puntos)Determinelaprobabilidaddequeseextraiga,almenos,unabolaazul.c)(0.75puntos)Hallelaprobabilidaddequelatercerabolaextraídasearoja.ParteII(2 puntos) En un pueblo habitan 700 hombres adultos, 800mujeres adultas y 500menores.Deélsequiereseleccionarunamuestrade80personas,utilizando,paraello,muestreoestratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tenerdichamuestra?

CURSO2001‐2002 4

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Unahorradordisponede10000eurosparainvertirenfondosdedostipos:A o B. La inversión en fondos A debe superar los 5000 euros y, además, ésta debedoblar,almenos,lainversiónenfondosB.LarentabilidaddelpasadoañodelosfondosAhasidodel2.7%yladelosBhasidodel6.3%.Suponiendoquelarentabilidadcontinúesiendolamisma,determinelainversiónqueobtengaelmáximobeneficio.Calculeestebeneficio.EJERCICIO2Sealafunciónf(x)=ax3+bx2+cx.a)(2puntos)Halleelvalordeloscoeficientesa,byc,sisesabequeenelpunto(0,0)sugráficaposeeunextremorelativoyqueelpunto(2,−16)esunpuntodein lexion.b)(1punto)Paraa=1,b=1yc=0,calculelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónenelpuntodeabscisax=−2.EJERCICIO3ParteITenemos3estuchesdelápicesA,ByC.ElestucheAtiene9lápices,deloscuales3sonnegros;elBcontiene7lápices,deloscuales2sonnegros;elCcontiene5lápicesdelosque1esnegro.a)(0.5puntos)Sitomamos,alazar,unlápizdelestucheB,¿cuáleslaprobabilidaddequeseanegro?b)(1.5puntos)Sielegimos,alazar,unodelos3estuchesydeéstetomamos,alazar,unlápiz,¿cuáleslaprobabilidaddequenoseanegro?ParteII(2puntos)ElpesodelosalumnosdeunInstitutoesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormaldemediaµ,desconocida,ydesviacióntípica8kg.¿Cuál es el tamañomínimoquedebe tenerunamuestraparaquepermitaestimarµconunerrormáximode3kgyunniveldeconfianzadel99%?


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CURSO2001‐2002 5

OPCIÓNAEJERCICIO1Seanlasmatrices:A=

2312 ,B=

111210 ,C=

143521

a)(1punto)Realice,cuandoseaposible,lossiguientesproductosdematrices:A·B,B·C,C·A.b)(2puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial:A·X+B=C.EJERCICIO2Sealafunciónf(x)= 3

1 x3x23x+4.a) (1 punto)Represente gráficamente su función derivada determinando los puntosdecorteconelejedeabscisasysuvértice.b)(1punto)Hallelospuntosdelagráficadefdondelarectatangenteesparalelaay=−3x+3.c)(1punto)Calculelosmáximosymínimosdef.EJERCICIO3ParteIEldespertadordePedronofuncionabien,puesel20%delasvecesnosuena.Cuandosuena,Pedrollegatardeaclaseconprobabilidad0.2;perosinosuena,laprobabilidaddequelleguetardeaclasees0.9.a)(1punto)CalculelaprobabilidaddequePedrollegueatiempo.b)(1punto)Determinelaprobabilidaddequeeldespertadorhayafuncionadobien,sisabemosquePedrohallegadotardeaclase.ParteIIElgastomensualdelosestudiantesdeunInstitutosedistribuyesegúnunaleyNormalde media desconocida y desviación típica 4 euros. Se ha seleccionado una muestraaleatoriay, conunaconfianzadel97%,sehaconstruidoun intervalopara lamediapoblacionalcuyaamplitudes2.17euros.a)(1.5puntos)¿Cuálhasidoeltamañodelamuestraseleccionada?b)(0.5puntos)Calculeelgastomensualmediodelamuestratomadasabiendoqueellímiteinferiordelintervalodeconfianzaes83.915euros.

CURSO2001‐2002 5

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos)Una empresa pastelera dispone semanalmente de 160 kgde azúcar y de240kgdealmendraparahacertortasdealmendraytabletasdeturrón.Senecesitan150gdealmendray50gdeazúcarparahacerunatortadealmendray100gdealmendray100gdeazúcarparacadatabletadeturrón.Elbeneficionetoporlaventadecadatortaes1.75euros,yporcadatabletadeturrónesde1euro.Determinecuántastortasdealmendraycuántastabletasdeturrónhandeelaborarseparaobtenerlamáximaganancia.¿Cuáleselbeneficiomáximosemanal?EJERCICIO2

Seconsideralasiguientefunción:f(x)=

xsixx

xsiax

xsixx

1211

12

2

a)(1.5puntos)Hallelosvaloresdeaparalosquefescontinuayderivable.b)(1.5puntos)Paraa=4,hallelasasíntotasyextremosrelativos.EJERCICIO3ParteILas instalaciones de un club tienen una sala de medios audiovisuales y una deinformática.El60%delossociosutilizala1ª,el30%la2ªyel20%ambas.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeunsocio,elegidoalazar,noutiliceningunadelasdossalas.b) (1 punto) Si se sabe que un socio utiliza la sala de audiovisuales, ¿cuál es laprobabilidaddequenoutiliceladeinformática?ParteIIEl tiempo de espera, en minutos, de los usuarios en una determinada parada deautobússigueunadistribuciónNormaldemediaµydesviacióntípica1.5minutos.a) (0.75 puntos) ¿Cómo se distribuye el tiempo medio de espera para muestrasaleatoriasdetamaño16?b)(1.25puntos)Sihemostomadounamuestraaleatoriade16usuarios,cuyamediaes5minutos, determine el intervalo de confianza, al 95%, para lamedia poblacional.


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CURSO2001‐2002 6

OPCIÓNAEJERCICIO1

SealamatrizA=

021360112

mm

a)(1punto)Calculelosvaloresdemparaquedichamatriztengainversa.b)(2puntos)Haciendom=4,resuelvalaecuaciónmatricialX·A=(311)EJERCICIO2Calculelasfuncionesderivadasdelassiguientes:

a)(0.75puntos)f(x)=13 x

ex b)(0.75puntos)g(x)=4x·L(3x+1)

c)(0.75puntos)h(x)=(x2−1)·(x3+2x).d)(0.75puntos)p(x)=22

xx

EJERCICIO3ParteIElpartidoAyelpartidoBconcurrenaunaseleccionesenunmunicipiodondeel55%delosvotantessonmujeres.Sesabequeel40%deloshombresvotanalpartidoAyel50%alB.El60%delasmujeresvotanalpartidoAyel20%alB.Elrestodeelectoresnovota.a)(1punto)Hallelaprobabilidaddequeunapersona,elegidaalazar,novote.b)(1punto)Sabiendoqueunapersona,elegidaalazar,havotadoalpartidoA,hallelaprobabilidaddequeseamujer.ParteIILos resultados de un test de sensibilidad musical realizado a los alumnos de unConservatoriosedistribuyensegúnunaleyNormaldemedia65ydesviacióntípica18.a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la distribución de la media muestral para muestras detamaño25?b)(1.25puntos)Paramuestrasaleatoriasdetamaño100,hallelaprobabilidaddequesupuntuaciónmediaestécomprendidaentre63y67puntos.

CURSO2001‐2002 6

OPCIÓNBEJERCICIO1(3puntos)Unafábricaproducedostiposdejuguetes,muñecasycochesteledirigidos.Lafábricapuedeproducir,comomáximo,200muñecasy300coches.Laempresadisponede1800horasdetrabajoparafabricarlosjuguetesysabequelaproduccióndecadamuñecanecesita3horasdetrabajoyreportaunbeneficiode10euros,mientrasqueladecadacochenecesita6horasdetrabajoyreportaunbeneficiode15€.Calculeelnúmerodemuñecasydecochesquehandefabricarseparaqueelbeneficioglobaldelaproducciónseamáximoyobtengadichobeneficio.EJERCICIO2

a)(1.5puntos)Sealafunciónf(x)=xa +bx2.Calculelosvaloresdelosparámetrosay

bparaqueftengaunextremorelativoenelpunto(1,3).b) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funcióng(x)=x·L(x)enelpuntodeabscisa1.EJERCICIO3ParteIEn una ciudad, el 60 % de los niños usa zapatillas deportivas, el 50 % usa ropadeportivayel20%usaambasprendas.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeunniño,elegidoalazar,nouseningunadelasdosprendas?b)(1punto)Siunniñousazapatillasdeportivas,¿cuáleslaprobabilidaddequenouseropadeportiva?ParteIIEl peso neto de las bolsas de almendras de una determinadamarca es una variablealeatoriaNormal conmedia µ, desconocida, y varianza σ2 = 50.4 g2. Se sabe que 35bolsas,elegidasalazar,handadounpesototalde8652g.a)(1.5puntos)Calculeunintervalo,conunniveldeconfianzadel90%,paraµ.b)(0.5puntos)¿Apartirdequéniveldeconfianza,elcorrespondienteintervaloparaµcontieneelvalor250g?


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CURSO2002‐2003 1

OPCIÓNAEJERCICIO1

a)(1.5puntos)Clasifiqueyresuelvaelsistema

52432

zyxzyx

b)(1.5puntos)SeanlasmatricesA=

0211

yB=

2111

.

Calcule(At·B2I2)1;(I2eslamatrizunidaddeorden2yAtlatraspuestadeA).EJERCICIO2Elnúmeromediodeclientesquevisitanunhipermercadoentrelas11ylas20horasestádadoporf(x)=x342x2+576x2296,enfuncióndelahorax,siendo11x20.a)(1punto)Hallelosextremosrelativosdeestafunción.b)(1punto)Representeestafunciónydeterminelashorasenlasquecreceelnúmeromediodeclientes.c)(1punto)Halle losvaloresmáximosymínimosdelnúmeromediodeclientesquevisitanelhipermercadoentrelas11ylas20horas.EJERCICIO3ParteIEl55%delapoblaciónespañolasonmujeres,delascualesun23%usaelcocheparairaltrabajo.Sesabequelaprobabilidaddequeunapersona,seahombreomujer,vayaaltrabajoencochees0.52.a)(1punto)Elegidounhombre,alazar,¿cuáleslaprobabilidaddequeutiliceelcocheparadesplazarsealtrabajo?b) (1punto)Si seeligeunapersona,alazar,y resultaquenousael cochepara iraltrabajo,calculelaprobabilidaddequeseaunamujer.ParteII(2puntos)ElpesodelosadultosdeunadeterminadaespeciedepecessigueunaleyNormaldedesviacióntípica112g.¿Cuáleseltamañomínimodelamuestradepecesquedeberíatomarseparaobtener,con una confianza del 95%, la media de la población con un error menor de 20gramos?

CURSO2002‐2003 1

OPCIÓNBEJERCICIO1a)(2puntos)Representegráficamentelaregióndelplanodelimitadaporlassiguientesinecuaciones:x+2y80,3x+2y160,x+y70,ydeterminesusvértices.b) (1punto)Calculeelmáximoyelmínimode la funciónF(x,y)=9x+8y5en laregiónanterioreindiqueparaquévaloressealcanzan.EJERCICIO2a)(1.5puntos)Sealafunciónf(x)=x2+ax+b.Calculeaybparaquesugráficapaseporelpunto(0,–5)yqueenestepuntolarectatangenteseaparalelaalarectay=4x.b)(1.5puntos)Estudieelcrecimientoydecrecimientodeunafuncióngcuyaderivadatieneporgráficalarectaquepasaporlospuntos(2,0)y(3,1).EJERCICIO3ParteIEn una biblioteca sólo hay libros de física y de matemáticas, que están escritos eninglésoenespañol.Sesabequeel70%deloslibrossondefísica,el80%deloslibrosestánescritosenespañolyel10%sonlibrosdematemáticasescritoseninglés.a) (1 punto) Calcule qué tanto por ciento de los libros son de física y escritos enespañol.b)(1punto)Sicogemosunlibrodefísica,¿cuáleslaprobabilidaddequeestéescritoenespañol?ParteIISeestáestudiandoelconsumodegasolinadeunadeterminadamarcadecoches.Paraello seescogen50automóvilesal azary seobtienequeel consumomedioesde6.5litros. Con independencia de esta muestra, se sabe que la desviación típica delconsumodeesemodelodecocheses1.5litros.a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97 %, para el consumo medio degasolinadeloscochesdeesamarca.b)(1punto)El fabricanteafirmaqueelconsumomediodegasolinadesusvehículosestácomprendidoentre6.2y6.8litros.¿Conquéniveldeconfianzapuedehacerdichaafirmación?


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CURSO2002‐2003 2

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seaelsiguientesistemadeinecuaciones

373262235

yxyxyx

.

a)(2.25puntos)Representeelconjuntosoluciónydeterminesusvértices.b) (0.75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función

, 2 5 alcanzasuvalormáximo.EJERCICIO2

a)(2puntos)Sealafunciónf(x)=

23321

2

2

xsixaxsibx .

Halleaybparaquelafunciónseacontinuayderivableenx=2.

b)(1punto)Hallelafunciónderivadadeg(x)= 2

12

1)x(e x

EJERCICIO3ParteIBlancayAlfredoescriben,alazar,unavocalcadaunoenpapelesdistintos.a)(1punto)Determineelespaciomuestralasociadoalexperimento.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequenoescribanlamismavocal.ParteIILalongituddelaballenaazulsedistribuyesegúnunaleyNormalcondesviacióntípica7.5m.Enunestudioestadísticorealizadoa25ejemplaressehaobtenidoelintervalodeconfianza(21.06,26.94)paralalongitudmedia.a)(0.5puntos)Calculelalongitudmediadelos25ejemplaresdelamuestra.b) (1.5 puntos) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dichointervalo.

CURSO2002‐2003 2

OPCIÓNBEJERCICIO1

SeanlasmatricesM=

4321

yN=

1234.

a)(0.75puntos)CalculelamatrizA=M·Mt5M;(MtindicalatraspuestadeM).b)(2.25puntos)CalculelamatrizB=M1yresuelvalaecuaciónN+X·M=M·B,dondeXesunamatriz22.EJERCICIO2

Sealafunción

1 00 2

2.

a)(1punto)Represéntelagráficamente.b)(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.c)(1punto)Calculesusextremosyasíntotashorizontalesyverticales.EJERCICIO3ParteIEl70%delosalumnosdeunInstitutosondeBachilleratoyelrestodeE.S.O.DelosalumnosdeBachillerato,el60%estudiamásde3horasaldía,ysóloel30%delosdeE.S.O.estudiamásde3horasaldía.a) (1punto)Calcule laprobabilidaddequeun alumnodedicho Instituto, elegido alazar,estudiemásde3horasaldía.b)(1punto)SabiendoqueunalumnodeesteInstituto,elegidoalazar,estudiamásde3horasaldía,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadeBachillerato?ParteIIDeunapoblaciónNormal,conmediadesconocidayvarianza81,seextraeunamuestraaleatoriaqueresultatenerunamediamuestralde112.a)(1punto)Obtengaunintervalodeconfianza,al95%,paralamediapoblacional,sieltamañodelamuestraes49.b)(1punto)¿Cuáldebesereltamañomínimodelamuestrasisedeseaqueelerrorcometido,alestimarlamediapoblacional,seainferiora2,paraunniveldeconfianzadel90%?


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CURSO2002‐2003 3

OPCIÓNAEJERCICIO1

SealamatrizA=

20

2xx

.

a)(1.5puntos)HallelosvaloresdexparalosqueseverificaA2=2A.b)(1.5puntos)Parax=1,halleA1.CompruebeelresultadocalculandoA·A1.EJERCICIO2

Sealafunciónf(x)=1

3xx .

a)(1punto)Determinesudominioyasíntotas.Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b) (1 punto)Determine susmáximos ymínimos relativos, si los hubiere. Estudie sucrecimiento,decrecimiento,concavidadyconvexidad.c)(1punto)Represéntelagráficamente.EJERCICIO3ParteIUnamáquinaA fabrica100piezasaldía,de las cualesun6%sondefectuosas.OtramáquinaBfabrica50piezasaldía,conunporcentajededefectuosasdel2%.Mezclamos las piezas fabricadas por ambasmáquinas en un día y extraemos una alazar.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelapiezaextraídaseadefectuosa?b)(1punto)Sabiendoquelapiezaextraídaesdefectuosa,¿cuáleslaprobabilidaddequelahayafabricadolamáquinaB?ParteIISesabeque laantigüedadde loscoches fabricadosporunaempresaesunavariablealeatoriaNormal,condesviacióntípica2.9años.a)(1punto)Unestudiorealizadosobreunamuestraaleatoriade169coches,deesaempresa, revela que la antigüedad media de la muestra es 8.41 años. Obtenga unintervalodeconfianza,al90%,paralaantigüedadmediadelapoblación.b)(1punto)Determineelnúmeromínimodecochesquedebecomponerunamuestra,paraobtener,conunniveldeconfianzadel95%,unerrordeestimaciónmenorque0.35años.

CURSO2002‐2003 3

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos) Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100eurosporcadaTmdeyeso.Laproduccióndiariadebesercomomínimode30Tmdeescayolay30Tmdeyeso.Lacantidaddeyesonopuedesuperarenmásde60Tmaladeescayola.Eltripledelacantidaddeescayola,máslacantidaddeyeso,nopuedesuperar420Tm.Calcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener lamáximagananciaydeterminedichaganancia.EJERCICIO2

Sealafunción

11 2

2.

a)(2puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddefenx=1yenx=2.b)(1punto)Represéntelagráficamente.EJERCICIO3ParteISeanAyBdossucesosaleatorios independientes.SesabequeP(A)=0.3,P(B)=0.4.Calculelassiguientesprobabilidades:a)(1punto)P(AB).b)(1punto)P(A/BC).ParteIIEn un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes paraestimarlatemperaturamediadesusenfermos.Lamediadelamuestrahasido37.1Cysesabequeladesviacióntípicadetodalapoblaciónes1.04C.a)(1punto)Obtengaunintervalodeconfianza,al90%,paralamediapoblacional.b)(1punto)¿Conquéniveldeconfianzapodemosafirmarquelamediadelapoblaciónestácomprendidaentre36.8Cy37.4C?


34

CURSO2002‐2003 4

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene unbeneficio,porunidad,de1500y2000euros,respectivamente.Almenossedebenfabricar6sofásdeltipoAy10deltipoB,porsemana,yademás,elnúmerodelosdeltipoAnodebesuperarenmásde6unidadesalnúmerodelosdelB.¿Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtenerbeneficiomáximo,sinosepuedenfabricarmásde30sofássemanalmente?EJERCICIO2Losbeneficiosesperadosdeunainmobiliariaenlospróximos5añosvienendadosporlafunciónB(t)=t39t2+24t.(tindicaeltiempo,enaños,0t5).a)(2puntos)Representelaevolucióndelbeneficioesperadoenfuncióndeltiempo.b)(1punto)Eneseperiodo,¿cuándoserámáximoelbeneficioesperado?EJERCICIO3ParteIEnuncurso,elporcentajedeaprobadosenLenguaesdel65%yenFilosofíadel50%.SesabequelaprobabilidadP(F/L)=0.7,siendoFyLlossucesos“aprobarFilosofía”y“aprobarLengua”,respectivamente.a)(1punto)CalculeP(L/F).b)(1punto)Hallelaprobabilidaddenoaprobarningunadelasdosasignaturas.ParteIIa)(1punto)Sesabeque ladesviacióntípicade lossalariosdeunapoblaciónes205euros.Determineun intervalo, conel90%deconfianza,parael salariomediode lapoblación, sabiendo que el salario medio correspondiente a una muestra de 2500personashasidode1215euros.b) (1 punto) Elegida otra muestra grande, cuya media ha sido 1210 euros, se haobtenido, con un 95% de confianza, el intervalo (1199.953, 1220.045). ¿Cuál es eltamañodeestamuestra?

CURSO2002‐2003 4

OPCIÓNBEJERCICIO1a) (1.5 puntos) Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones que dé solución alsiguienteproblema:Un inversor compró acciones de las empresas A, B y C por un valor total de 20000euros,invirtiendoenCeldoblequeenA.AlcabodeunañolaempresaAlepagóel6%debeneficio, laBel8%y laCel10%.Sielbeneficio total fuede1720euros, ¿quédineroinvirtióencadaempresa?

b)(1.5puntos)Resuelvalaecuación311

24531

xx =0.

EJERCICIO2

Sealafunciónf(x)=

4219

43

1

2 xsixx

xsix

a)(1.5puntos)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b) (1.5puntos)Representegráficamente la funciónydeterminemáximosymínimosrelativos,siloshubiere,asícomoelcrecimientoydecrecimiento.EJERCICIO3ParteISeaelexperimentoaleatorioconsistenteenlanzar3vecesunamonedayobservarelresultado.a) (0.8 puntos) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de lossucesoselementales.b)(1.2puntos)Sean lossucesosA: “obteneralmenosunacara”,B: “obtenercaraensolounodelostreslanzamientos”.CalculeP(A)yP(B).¿SonindependientesAyB?ParteIIElperímetro cranealdeunapoblacióndevaronesadultos sigueuna leyNormal condesviacióntípica4cm.a)(1.5puntos)Obtengaunintervalodeconfianza,al95%,paraelperímetrocranealmedio,sabiendoqueunamuestraaleatoriade100individuosdeesapoblacióntieneunamediade57cm.b) (0.5 puntos) Con el mismo nivel de confianza, si se aumenta el tamaño de lamuestra, razone si aumenta, disminuye o no varía la amplitud del intervalo.


35

CURSO2002‐2003 5

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(2puntos)Representegráficamentelaregióndelplanodelimitadaporlassiguientes

inecuaciones: 143

yx ,yx,x2.Determinesusvértices.

b)(1punto)CalculelosvaloresmáximoymínimodelafunciónF(x,y)=x+2y3enlaregiónanterioreindiqueparaquévaloressealcanzan.EJERCICIO2

Sealafunciónf(x)=

121112

1342

xsix

kxsix

xsix.

a)(2puntos)Calculeelvalorquedebetomarelparámetrokparaquelafunciónseacontinuaen yestudiesuderivabilidadparaelvalordekobtenido.b)(1punto)Dibujelagráficadelafunciónparak=–1.EJERCICIO3ParteIEnunaresidenciahay212ancianosde losque44tienenafeccionespulmonares.Deltotaldeancianos,78sonfumadores,ysolohay8quetienenenfermedaddepulmónynofuman.a) (1punto)¿Cuáles laprobabilidaddequeunancianodeesaresidencia,elegidoalazar,nofumeytampocotengaafecciónpulmonar?b)(1punto)¿Quéporcentajedeenfermosdepulmónsonfumadores?ParteIISe sabe que la desviación típica del peso de las naranjas que se producen en unadeterminada huerta es de 20 gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100naranjasdeesahuerta,siendosupesomedio200gramos.a) (0.75 puntos) Indique la distribución aproximada que siguen las medias de lasmuestrasdeesetamañoyjustifiquesurespuesta.b) (1.25puntos)Calculeun intervalodeconfianza,aunniveldel95%,paraelpesomediodelasnaranjasdeesahuerta.

CURSO2002‐2003 5

OPCIÓNBEJERCICIO1

SealamatrizA=

11

3mmm .

a)(1puntos)Calculelosvaloresdemparaquedichamatriztengainversa.b)(2puntos)Haciendom=0,resuelvalaecuaciónmatricialA·X·A=I2,dondeI2eslamatrizunidaddeorden2yXesunamatrizcuadradadeorden2.EJERCICIO2Sealafunciónf(x)=2x3+ax212x+b.a)(1.5puntos)Halleaybparaquelafunciónseanuleenx=1ytengaunpuntodeinflexiónenx= .b)(1.5puntos)Paraa=–3yb=2,calculesusmáximosymínimosrelativos.EJERCICIO3ParteIDisponemosdedosurnasAyBconteniendobolasdecolores.LaurnaAtiene4bolasblancasy3rojas,ylaBtiene5blancas,2rojasy1negra.Lanzamosundado,sisale1,2,3o4extraemosunaboladeAysisale5o6laextraemosdeB.a)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequelabolaextraídasearoja.b)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequelabolaextraídaseanegra.c) (1punto)Sabiendoque labolaextraídahasidoblanca, calcule laprobabilidaddequeeneldadohayasalido5o6.ParteIIEltiempoquelapoblacióninfantildedicasemanalmenteaverlatelevisión,sigueunaleyNormalcondesviacióntípica3horas.Sehaseleccionadounamuestraaleatoriade100niñosy,conunniveldeconfianzadel97%,sehaconstruidounintervaloparalamediapoblacional.a) (1.25puntos)Calculeel errormáximocometidoyel tiempomediode lamuestraelegida, sabiendo que el límite inferior del intervalo de confianza obtenido es 23.5horas.b) (0.75 puntos) Supuesto el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería haber sido eltamañomínimodelamuestraparacometerunerrorenlaestimacióninferioramediahora?


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CURSO2002‐2003 6

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) Una piscifactoría vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kg,respectivamente.Laproducciónmáximamensualesdeunatoneladadecadaproductoylaproducciónmínimamensualesde100kgdecadauno.Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg almes, ¿cuál es la producción quemaximizalosingresosmensuales?Calculeestosingresosmáximos.EJERCICIO2Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros 45minutos de un partido viene dado por la función : 0, 45 → cuya expresiónanalíticaesf(t)=7.2t‐0.16t2,dondeteseltiempo,expresadoenminutos.a)(1.5puntos)Representegráficamenteestafunción.b) (1.5 puntos) ¿Cuál es el máximo rendimiento del jugador? ¿En qué momento loconsigue?¿Enquéinstantestieneunrendimientoiguala32?EJERCICIO3ParteIDe dos sucesos A y B, asociados a unmismo experimento aleatorio, se conocen lasprobabilidadesP(B)=0.7,P(A/B)=0.8yP(ABC)=0.24.a)(0.5puntos)CalculeP(AB).b)(1punto)HalleP(A).c)(0.5puntos)DeterminesiAyBsonindependientes.ParteIIUnavariablealeatoriasigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica15.a)(1punto)Construyaunintervalodeconfianzaparalamediadelapoblación,conunniveldeconfianzadel99.5%,sabiendoqueunamuestrade20 individuos tieneunamediade52.b)(1punto)¿Cuáldebesereltamañomínimodeunamuestradeestapoblaciónparaqueunintervalodeconfianza,conniveldel90%,paralamediadelapoblacióntengaunaamplitudinferiora3unidades?

CURSO2002‐2003 6

OPCIÓNBEJERCICIO1a)(1.5puntos)Clasifiqueyresuelvaelsistemaformadoporlasecuacionessiguientes:x2y+z=0,2x+yz=5,4x+7y5z=15.b)(1.5puntos)DeterminelamatrizX,deorden2,queverificalaigualdad

1171

2151

21031

·X

EJERCICIO2

Sealafunciónf(x)=11

xx

.

a)(1.5puntos)Indiqueeldominiodedefinicióndef,suspuntosdecorteconlosejes,susmáximosymínimos,siexisten,ysusintervalosdecrecimientoydecrecimiento.b)(1.5puntos)Obtengalasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticalesdef,silastiene,yrepresentelagráficadelafunción.EJERCICIO3ParteIEnunhospitalsehanproducido200nacimientosenunmes.Deellos,105sonvaronesy,deéstos,21 tienen losojosazules.Asimismosehaobservadoque38de lasniñasnacidasenesemestienenlosojosazules.Seelige,alazar,unreciénnacidoentrelos200citados.a)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequetengalosojosazules.b) (1.5 puntos) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, ¿cuál es laprobabilidaddequeseaunvarón?ParteIISeaunapoblacióncuyoselementosson1,2,3.Mediantemuestreoaleatoriosimplesepretendeseleccionarunamuestradetamaño2.a)(0.75puntos)Escribalasposiblesmuestras.b)(1.25puntos)Calculelavarianzadelasmediasmuestrales.


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CURSO2003‐2004 1

OPCIÓNAEJERCICIO1(3puntos)Unafábricaproducedostiposderelojes:depulsera,quevendea90euroslaunidad,ydebolsillo,quevendea120euroscadauno.Lacapacidadmáximadiariade fabricaciónesde1000 relojes,peronopuede fabricarmásde800de pulseranimásde600debolsillo. ¿Cuántos relojesde cada tipodebeproducir paraobtener elmáximoingreso?¿Cuálseríadichoingreso?EJERCICIO2

a) (1 punto)Halle la función derivada de la función

1xxL)x(f y simplifique el

resultado.

b)(1punto)Obtengalasasíntotasdelafunción1332

xx)x(f .

c) (1 punto) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función23

23 xx)x(f .

EJERCICIO3ParteIEnciertobarriohaydospanaderías.El40%delapoblacióncompraenlapanaderíaA,el25%enlaB,yel15%enambas.Seescogeunapersonaalazar:a)(0.5puntos)¿CuáleslaprobabilidaddequeestapersonacompreenAynocompreenB?b)(0.5puntos)SiestapersonaesclientedeA,¿cuáleslaprobabilidaddequetambiénseaclientedeB?c)(0.5puntos)¿CuáleslaprobabilidaddequenoseaclientedeAnideB?d)(0.5puntos)¿Sonindependienteslossucesos“serclientedeA”y“serclientedeB”?ParteIIPara estimar la media de una variable aleatoria X, que se distribuye según una leyNormal con desviación típica 2.5, se toma unamuestra aleatoria cuyamedia es 4.5.Paraunniveldeconfianzadel99%:a)(1punto)Halleunintervalodeconfianzaparalamediadelapoblación,sieltamañodeesamuestraes90.b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debería tener otra muestra paraobtener un intervalo de confianza, con una amplitud máxima de 1 unidad.

CURSO2003‐2004 1

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seaelsistemadeecuacioneslineales

2342322

zyxzyx

zyx.

a)(2puntos)Clasifiqueyresuelvaelsistema.b)(1punto)Escribalamatrizdecoeficientesdeestesistemay,siesposible,calculesumatrizinversa.EJERCICIO2

Sealafunción .xx)x(f

2214

a)(2puntos)Determinesudominio, lospuntosdecorteconlosejes,susasíntotas,yrepreséntelagráficamente.b)(1punto)Calculelaecuacióndelarectatangentealacurva )x(fy enelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3ParteIEntrelas7bolasdeunamáquinadefutbolínhay2rojasy5blancas;encadapartida,lamáquinavasacandolasbolasdeunaenuna,deformaaleatoria,sinreemplazamiento.Calculelaprobabilidaddecadaunodelossiguientessucesos:a)(0.5puntos)“Laprimerabolaesroja”.b)(0.5puntos)“Lasdosprimerasbolassonblancas”.c)(1punto)“Lasdosprimerasbolassondecoloresdistintos”.ParteIILa resistencia a la rotura, de un tipo de hilos de pesca, es una variable aleatoriaNormal,conmedia4kgydesviacióntípica1.4kg.Setomanmuestrasaleatoriasde25hilosdeestetipoyseobtienelaresistenciamediaalarotura.a)(0.75puntos)¿Cómosedistribuyelaresistenciamediaalarotura?b) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistenciamedia a la rotura nopertenezcaalintervalodeextremos3.90kgy4.15kg?


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CURSO2003‐2004 2

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seanlasmatrices .CyB,A

110121

011210

2101

a)(1punto)Calcule(AI2)·B,siendoI2lamatrizidentidaddeorden2.b)(1punto)ObtengalamatrizBt(matriztraspuestadeB)ycalcule,siesposible,Bt·A.c)(1punto)CalculelamatrizXqueverificaA·X+B=C.EJERCICIO2

Sealafunción

.xsixxxsix)x(f

1241

2

2

a)(1punto)Analicesucontinuidadysuderivabilidad.b)(1.5puntos)Estudielamonotonía,determinesusextremosyanalicesucurvatura.c)(0.5puntos)Representelagráficadelafunción.EJERCICIO3ParteISeanAyBdossucesostalesqueP(A)=0.4,P(BC)=0.7yP(AB)=0.6,dondeBCeselsucesocontrariodeB.a)(1punto)¿SonindependientesAyB?b)(1punto)CalculeP(A/BC).ParteIIUnaempresadeteléfonosmóvileshahechounestudiosobreeltiempoquetardansusbateríasendescargarse,llegandoalaconclusióndequedichaduración,endías,sigueunaleyNormaldemedia3.8ydesviacióntípica1.Setomaunamuestrade16móvilesdeestaempresa.Hallelaprobabilidaddeque:a)(1punto)Laduraciónmediadelasbateríasdelamuestraestécomprendidaentre4.1y4.3días.b)(1punto)Laduraciónmediadelasbateríasdelamuestraseainferiora3.35días.

CURSO2003‐2004 2

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función

yx)y,x(F 53 ,enelrecintodelplanodeterminadoporlasinecuaciones:.yx,yx,yx,y,x 152432102300

EJERCICIO2Sealafunción .xxx)x(f 96 23 a)(1punto)Estudielamonotoníaycalculelosextremosrelativosdef.b)(1punto)Estudielacurvaturaycalculeelpuntodeinflexióndef.c)(1punto)Representegráficamentelafunción.EJERCICIO3ParteISerealizaunaencuestasobrelaspreferenciasdevivirenlaciudadoenurbanizacionescercanas. Del total de la población encuestada el 60% son mujeres, de las cualesprefierenvivirenlaciudadun73%.Sesabequelaprobabilidaddequeunapersona,seahombreomujer,deseevivirenlaciudades0.62.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeelegidounhombrealazar,prefieravivirenlaciudad.b)(1punto)Supuestoqueunapersona,elegidaalazar,deseevivirenlaciudad,calculelaprobabilidaddequeseamujer.ParteIISesabequelavelocidaddeloscochesquecirculanporunacarreteraesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica12km/hora.a)(1punto)Setomaunamuestraaleatoriade400cochesquedaunavelocidadmediade 87 km/hora. Obtenga un intervalo con un 95% de confianza, para la velocidadmediadeltotaldecochesquecirculanporesacarretera.b)(1punto)Calculeelmínimotamañodelamuestraquesehadetomarparaestimarla velocidadmedia del total de coches que circulan por esa carretera, con un errorinferiora1km/horaparaunniveldeconfianzadel99%.


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CURSO2003‐2004 3

OPCIÓNAEJERCICIO1(3 puntos) Una pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas. Cada trufadulcelleva20gdecacao,20gdenatay30gdeazúcarysevendea1eurolaunidad.Cadatrufaamargalleva100gdecacao,20gdenatay15gdeazúcarysevendea1.3euroslaunidad.Enundía,lapasteleríasólodisponede30kgdecacao,8kgdenatay10.5kgdeazúcar.Sabiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo debenelaborarseesedía,paramaximizarlosingresos,ydeterminedichosingresos.EJERCICIO2Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar elresultado):

(0.75puntos) .)xx(xx)x(f 22513

(0.75puntos) .xL)x()x(g 12

(0.75puntos) .)x(h x52

(0.75puntos) .)x()xx()x(i 323 16 EJERCICIO3ParteIConsideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados distintos y anotar elproductodesuspuntuaciones.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequedichoproductoseaiguala6?b) (1 punto) Si sabemos que el producto ha sido 4, ¿cuál es la probabilidad de quehayansalidolosdosdadosconlamismapuntuación?ParteIIDada lapoblaciónde elementos {3, 4, 5, 8}, sepretende seleccionarunamuestradetamaño2,mediantemuestreoaleatorioconreemplazamiento.a)(0.5puntos)Escribatodaslasmuestrasposibles.b)(0.75puntos)Calculelavarianzadelapoblación.c)(0.75puntos)Calculelavarianzadelasmediasmuestrales.

CURSO2003‐2004 3

OPCIÓNBEJERCICIO1(3 puntos) De unamatriz A se sabe que su segunda fila es 21 y su segunda

columnaes .

321

HallelosrestanteselementosdeAsabiendoque .A

1000

102111

EJERCICIO2Deunafunciónfsesabequesufunciónderivadaes .xx)x´(f 693 2 a)(1.5puntos)Estudielamonotoníaylacurvaturadef.b) (1.5puntos)Sabiendoque lagráficade fpasapor(0,1), calcule laecuaciónde larectatangenteendichopunto.EJERCICIO3ParteIEnunaciudad,el40%desushabitantesleeeldiarioA,el25%leeeldiarioByel50%leealmenosunodelosdosdiarios.a)(0.5puntos)Lossucesos“leereldiarioA”y“leereldiarioB”¿sonindependientes?b)(0.5puntos)EntrelosqueleeneldiarioA,¿quéporcentajeleetambiéneldiarioB?c)(0.5puntos)Entrelosqueleen,almenos,undiario¿quéporcentajeleelosdos?d)(0.5puntos)EntrelosquenoleeneldiarioA,¿quéporcentajeleeeldiarioB?ParteIIEl número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudaddedicanaldeportesedistribuyesegúnunaleyNormaldemedia8yvarianza7.29.a) (0.5 puntos) Paramuestras de tamaño 36, indique cuál es la distribución de lasmediasmuestrales.b)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediadeunamuestradetamaño36estécomprendidaentre7.82y8.36horas?


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CURSO2003‐2004 4

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(2puntos)Sabemosqueelpreciodelkilodetomateseslamitadqueeldelkilodecarne.Además,elpreciodelkilodegambaseseldoblequeeldecarne.Sipagamos18eurospor3kilosdetomates,1kilodecarney250gramosdegambas,¿cuántopagaríamospor2kilosdecarne,1kilodetomatesy500gramosdegambas?

b)(1punto)DadalamatrizA=

1001

,halleA2004.

EJERCICIO2

a) (1.25puntos)Calcule la ecuaciónde la recta tangente a1

1

x

y en el puntode

abscisax=2.b)(1.25puntos)¿Enquépuntodelagráficadelafunciónf(x)=2x2+3x+1,larectatangenteesparalelaay=3x5?c)(0.5puntos)Seag(x)=2x28x+a.Halleaparaqueelvalormínimodegsea3.EJERCICIO3ParteIUnaurnacontiene5bolasrojasy3verdes.Seextraeunabolaysereemplazapor2bolasdelotrocolor.Acontinuación,seextraeunasegundabola.Calcule:a)(1punto)Laprobabilidaddequelasegundabolaseaverde.b)(1punto)Laprobabilidaddequelaprimerahayasidoroja,sabiendoquelasegundatambiénhasidoroja.ParteIILasuperficiedelasparcelasdeunadeterminadaprovinciasedistribuyesegúnunaleyNormalconmedia2.9Haydesviacióntípica0.6Ha.a) (0.5 puntos) Indique la distribución de las medias muestrales para muestras detamaño169.b)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeunamuestradetamaño169tengaunasuperficiemediacomprendidaentre2.8y3Ha?

CURSO2003‐2004 4

OPCIÓNBEJERCICIO1a)(1punto)Losvérticesdeunpolígonoconvexoson(1,1),(3,1/2),(8/3,5/2),(7/3,3)y(0,5/3).Calculeelmáximode lafunciónobjetivoF(x,y)=3x–2y+4en laregióndelimitadapordichopolígono.b)(2puntos)Dibujeelrecintodelplanodefinidoporlasinecuaciones:

005162 y;x;y;yx;yx ydeterminesusvértices.EJERCICIO2(2puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddelafunción:

.xsix

xsixx)x(f

3

24

3742

b)(1punto)Calculeladerivadade .e)x()x(g x 121 EJERCICIO3ParteIEldespertadordeuntrabajadorsuenaenel80%deloscasos.Sisuena,laprobabilidaddequelleguepuntualaltrabajoes0.9;sinosuena,llegatardeel50%delasveces.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelleguepuntual?b) (1 punto) Si llega tarde, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sonado eldespertador?ParteIIa)(1punto)DeunapoblaciónNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica6,seextraelasiguientemuestra

82, 78, 90, 89, 92, 85, 79, 63, 71.Determineunintervalodeconfianza,al98%,paralamediadelapoblación.b)(1punto)Determineeltamañoquedebetenerotramuestradeestapoblaciónparaqueunintervalodeconfianzaparalamedia,al98%,tengaunaamplitudiguala4.66.


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CURSO2003‐2004 5

OPCIÓNAEJERCICIO1

Seaelsistemadeinecuaciones

03313236

xyxyxyx

.

a)(2puntos)Dibujeelrecintocuyospuntossonlassolucionesdelsistemayobtengasusvértices.b)(1punto)HallelospuntosdelrecintoenlosquelafunciónF(x,y)=x2ytomalosvaloresmáximoymínimo,ydetermineéstos.EJERCICIO2La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a unprocesovienedadaenfuncióndeltiempot,enhoras,porlaexpresión:

T(t)=40t10t2con0t4a) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función T y determine la temperaturamáximaquealcanzalapieza.b)(1.5puntos)¿Quétemperaturatendrálapiezatranscurrida1hora?¿Volveráateneresamismatemperaturaenalgúnotroinstante?EJERCICIO3ParteIMaríayLauraideanelsiguientejuego:cadaunalanzaundado,sienlosdosdadossaleelmismonúmero, ganaLaura; si la sumadeamboses7, ganaMaría; y en cualquierotrocasohayempate.a)(1punto)CalculelaprobabilidaddequeganeLaura.b)(1punto)CalculelaprobabilidaddequeganeMaría.ParteIIUnfabricantedepilasalcalinassabequeeltiempodeduración,enhoras,delaspilasquefabricasigueunadistribuciónNormaldemediadesconocidayvarianza3600.Conunamuestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% haobtenidoparalamediaelintervalodeconfianza(372.6,392.2).a) (1 punto) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamañomuestralutilizado.b)(1punto)¿Cuálseríaelerrordesuestimación,sihubieseutilizadounamuestradetamaño225yunniveldeconfianzadel86.9%?

CURSO2003‐2004 5

OPCIÓNBEJERCICIO1

Seanlasmatrices .C,B,A

022021

2212

120012

a)(2puntos)CalculelamatrizPqueverificaB·PA=Ct(Ct,indicatraspuestadeC)b) (0.5puntos)Determine ladimensiónde lamatrizMparaquepuedaefectuarseelproductoA·M·C.c) (0.5puntos)Determine ladimensiónde lamatrizN paraqueCt·N seaunamatrizcuadrada.EJERCICIO2a)(1.5puntos)Hallelosvaloresdeaybparaquelafunciónf(x)=x3+ax2+btengaunextremorelativoenelpunto(2,3).b)(1.5puntos)Halle laecuacióndelarectatangentea lacurvay=x34x+2ensupuntodeinflexión.EJERCICIO3ParteIDadosdossucesosaleatoriosAyB,sesabeque:P(BC)= 4

3 yP(A)=P(A/B)= 31

(BCindicaelcomplementariodelsucesoB).a)(0.75puntos)RazonesilossucesosAyBsonindependientes.b)(1.25puntos)CalculeP(AB)ParteIIEl peso de los paquetes enviados por una determinada empresa de transportes sedistribuye segúnuna leyNormal, conunadesviación típicade0.9kg.Enunestudiorealizadoconunamuestraaleatoriade9paquetes,seobtuvieronlossiguientespesosenkilos:

9.5, 10, 8.5, 10.5, 12.5, 10.5, 12.5, 13, 12.a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 99%, para el peso medio de lospaquetesenviadosporesaempresa.b)(1punto)Calculeel tamañomínimoquedeberíatenerunamuestra,enelcasodeadmitirunerrormáximode0.3kg,conunniveldeconfianzadel90%.


42

CURSO2003‐2004 6

OPCIÓNAEJERCICIO1a)(1punto)Dibujelaregióndelplanodefinidaporlassiguientesinecuaciones: .y,yx,yx,yx 01117321332 b)(1punto)Determinelosvérticesdeesterecinto.c)(1punto)Calculelosvaloresmáximoymínimodelafunción yx)y,x(F 65 enlaregiónanterioreindiqueenquépuntossealcanzan.EJERCICIO2a) (1.5 puntos)Dada la función bxax)x(f 2 , calculea yb para que la funcióntengaunextremorelativoenelpunto(1,4).b) (1.5puntos)Determine la ecuaciónde la recta tangentea la gráficade la función

xLx

)x(g 2

enelpuntodeabscisax=1.

EJERCICIO3ParteIEnunauniversidadespañolael30%delosestudiantessonextranjerosy,deéstos,el15%estánbecados.Delosestudiantesespañoles,sóloel8%tienenbeca.Siseelige,alazar,unalumnodeesauniversidad:a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseaespañolynotengabeca?b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeseaextranjero,sabiendoquetienebeca.ParteIILa duración de un cierto tipo de bombillas eléctricas se distribuye según una leyNormalcondesviacióntípica1500horas.a)(1punto)Sienunamuestradetamaño100,tomadaalazar,sehaobservadoquelavidamediaesde9900horas,determineunintervalo,conel95%deconfianza,paralavidamediadeestaclasedebombillas.b)(1punto)Conunniveldeconfianzadel99%sehaconstruidounintervaloparalamediaconunerrormáximode772.5horas,¿quétamañodelamuestrasehatomadoenestecaso?

CURSO2003‐2004 6

OPCIÓNBEJERCICIO 1 a) (1.5puntos)Plantee, sin resolver, un sistemade ecuaciones asociado al siguienteproblema:“Unmonedero contiene 1 euro enmonedas de 2, 5 y 10 céntimos; en total hay 22monedas.Sabiendoqueelnúmerodemonedasde5y10céntimosjuntasexcedeen2unidades al número demonedas de 2 céntimos, obtenga el número demonedas decadatipoquehayenelmonedero”.

b)(1.5puntos)Resuelvaelsistemaformadoporlasecuaciones

33233226

zyxzyxzyx

.

EJERCICIO2

Sealafunción

33016239

2

2

xsixxxsix)x(f .

a)(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b)(1punto)Estudiesumonotoníaycalculesusextremosrelativos.c)(1punto)Represéntelagráficamente.EJERCICIO3ParteIEnuncentrodeBachillerato,losalumnosde1ºsonel60%deltotal,ylosde2ºel40%restante.Detodosellos,el46%poseemóvilyel18%sonde1ºytienenmóvil.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno de 1º, elegido al azar, poseamóvil.b) (1 punto) Elegido un alumno, al azar, resulta que tiene móvil, ¿cuál es laprobabilidaddequeseade2º?ParteIIUna variable aleatoria puede tomar los valores 20, 24 y 30. Mediante muestreoaleatoriosimpleseformantodaslasmuestrasposiblesdetamaño2.a)(0.75puntos)Escribatodaslasmuestrasposibles.b)(1.25puntos)Calculelamediayvarianzadelasmediasmuestrales.


43

CURSO2004‐2005 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(2.25puntos)Resuelvaelsiguientesistemayclasifíqueloatendiendoalnúmerodesoluciones:

02 3 174 5 17

b) (0.75 puntos) A la vista del resultado anterior, ¿podemos afirmar que hay unaecuaciónqueescombinaciónlinealdelasotrasdos?EJERCICIO2.Sealafunciónf(x)=x3+3x2.a) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto deabscisax=−1.b)(0.5puntos)Hallesupuntodeinflexión.c)(1.5puntos)Dibujelagráficadelafunción,estudiandopreviamentelamonotoníaylosextremosrelativos.EJERCICIO3.ParteIUnestudiantesepresentaaunexamenenelquedeberesponderadostemas,elegidosalazar,deuntemariode80,delosquesesabe60.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequerespondacorrectamentealosdos?b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequerespondacorrectamentealmenosaunodelosdos?ParteIIEnunapoblación,unavariablealeatoriasigueunaleyNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica3.a)(1punto)Apartirdeunamuestradetamaño30sehaobtenidounamediamuestraliguala7.Halleunintervalodeconfianza,al96%,paralamediadelapoblación.b)(1punto)¿Quétamañomínimodebetenerlamuestraconlacualseestimelamedia,conunniveldeconfianzadel99%yunerrormáximoadmisiblede2?

CURSO2004‐2005 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1punto)Dibujeelrecintodefinidoporlassiguientesinecuaciones:

x−y≤1; x+2y≥7; x≥0; y≤5.b)(1punto)Determinelosvérticesdeesterecinto.c)(1punto)¿Cuálessonlosvaloresmáximoymínimodelafunciónobjetivo

F(x,y)=2x+4y–5yenquépuntosalcanzadichosvalores?EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónfdefinidadelaformaf(x)=1+L(2x−1)enelpuntodeabscisax=1.b)(1punto)Deduzcarazonadamentelasasíntotasdelafuncióng,definidadelaforma

32

c) (0.5 puntos) Determine la posición de la gráfica de la función g respecto de susasíntotas.EJERCICIO3.ParteIEn los “Juegos Mediterráneos Almería 2005” se sabe que el 5% de los atletas sonasiáticos,el25%sonafricanosyelrestosoneuropeos.Tambiénsesabequeel10%delosatletasasiáticos,el20%de losatletasafricanosyel25%de losatletaseuropeoshablanespañol.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeunatleta,elegidoalazar,hableespañol.b) (1 punto) Si nos encontramos con un atleta que no habla español, ¿cuál es laprobabilidaddequeseaafricano?ParteIIa) (0.75 puntos) En una población hay 100 personas: 60mujeres y 40 hombres. Sedesea seleccionar una muestra de tamaño 5 mediante muestreo estratificado conafijaciónproporcional.¿Quécomposicióntendrádichamuestra?b) (1.25 puntos) En la población formada por los números 2, 4, 6 y 8, describa lasposiblesmuestrasdetamaño2seleccionadaspormuestreoaleatoriosimple,ycalculelavarianzadelasmediasmuestrales.


44

CURSO2004‐2005 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.


1 12 02 1

.

a)(1punto)Calculelamatriz .b)(2puntos)HallelamatrizXqueverifique 4

2 .EJERCICIO2.

Sealafunción2 1

1

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddef.b)(0.5puntos)Calculesusasíntotas.c)(1punto)Determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.ParteIEn un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras,numeradasdel000al999.a)(0.75puntos)Calculelaprobabilidaddequeelnúmeropremiadotermineen5.b)(0.75puntos)Calculelaprobabilidaddequeelnúmeropremiadotermineen55.c)(0.5puntos)Sabiendoqueayersaliópremiadounnúmeroterminadoen5,calculelaprobabilidaddequeelnúmeropremiadohoytambiéntermineen5.ParteIIEnunapoblaciónunavariablealeatoriasigueunaleyNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica2.a) (1punto)Observadaunamuestrade tamaño400, tomadaalazar, sehaobtenidounamediamuestraliguala50.Calculeunintervalo,conel97%deconfianza,paralamediadelapoblación.b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener lamuestraparaquelaamplituddelintervaloqueseobtengasea,comomáximo,1?

CURSO2004‐2005 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelsiguientesistemadeinecuaciones:

2x−3y≤6; x≥2y−4; x+y≤8; x≥0; y≥0.a)(2puntos)Dibujelaregiónquedefinenycalculesusvértices.b) (1 punto)Halle los puntos de esa región en los que la función F(x, y) = 2x + 3yalcanzalosvaloresmáximoymínimoycalculedichosvalores.EJERCICIO2.Elbeneficio, enmillonesdeeuros,deunaempresaen funcióndel tiempo t, enaños,vienedadopor:

f(t)=−t2+12t−31, 4≤t≤7.a)(1.5puntos)Representelagráficadelafunciónf.b)(1.5puntos)¿Paraquévalordetalcanzalaempresasubeneficiomáximoyacuántoasciende?¿Paraquévalordetalcanzasubeneficiomínimoycuáleséste?EJERCICIO3.ParteIUnabolsacontienetrescartas:unaesrojaporlasdoscaras,otratieneunacarablancayotraroja,ylaterceratieneunacaranegrayotrablanca.Sesacaunacartaalazarysemuestra,tambiénalazar,unadesuscaras.a)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelacaramostradasearoja?b)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelacaramostradaseablanca?c) (0.5puntos)Si la caramostradaesblanca, ¿cuáles laprobabilidaddeque laotracarasearoja?ParteIISealapoblacióndeelementos{22,24,26}.a)(0.5puntos)Escribatodas lasmuestrasposiblesdetamaño2,escogidasmediantemuestreoaleatoriosimple.b)(0.75puntos)Calculelavarianzadelapoblación.c)(0.75puntos)Calculelavarianzadelasmediasmuestrales.


45

CURSO2004‐2005 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.a) (2puntos)Represente la regióndefinidapor las siguientes inecuacionesy calculesusvértices:

2 6, 10 2 , 12 3 1, 0b) (1punto)Calculeelmáximoyelmínimode la funciónF(x,y)=4−3x−6y en laregiónanterioreindiqueenquépuntossealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafunción0

0

a)(1.5puntos)Dibujelagráficadefyestudiesumonotonía.b)(0.75puntos)Calculeelpuntodelacurvaenelquelapendientedelarectatangentees–1.c)(0.75puntos)Estudielacurvaturadelafunción.EJERCICIO3.ParteIEn una agrupaciónmusical el 60%de sus componentes sonmujeres. El 20%de lasmujeresyel30%deloshombresdelacitadaagrupaciónestánjubilados.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeuncomponentedelaagrupación,elegidoalazar,estéjubilado?b) (1 punto) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, estájubilado¿cuáleslaprobabilidaddequeseamujer?ParteIILa duración de un viaje entre dos ciudades es una variable aleatoria Normal condesviacióntípica0.25horas.Cronometrados30viajesentreestasciudades,seobtieneunamediamuestralde3.2horas.a)(1.5puntos)Halleunintervalodeconfianza,al97%,paralamediadeladuracióndelosviajesentreambasciudades.b)(0.5puntos)¿Cuáleselerrormáximocometidocondichaestimación?

CURSO2004‐2005 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelsistemadeecuaciones:

22 0 2 4

a)(2puntos)Resuélvaloyclasifíqueloencuantoasussoluciones.b)(0.5puntos)¿Tieneinversalamatrizdecoeficientesdelsistema?Justifíquelo.c)(0.5puntos)Obtenga,siexiste,unasolucióndelsistemaqueverifiquex=2y.EJERCICIO2.(3puntos)Seaflafuncióndefinidapor:

1 13 1

.Determinelosvaloresquedebenteneraybparaquefseaderivable.EJERCICIO3.ParteISeanAyBdossucesosdelmismoexperimentoaleatoriotalesque

16 ,

13 ∪

12.

a)(1.5puntos)¿SonAyBincompatibles?¿Sonindependientes?b)(0.5puntos)CalculeP[A/(A∪B)]ParteIISeaXunavariablealeatoriaNormaldemedia50ydesviacióntípica4.a) (1 punto) Para muestras de tamaño 4, ¿cuál es la probabilidad de que la mediamuestralsupereelvalor54?b) (1 punto) Si indica la variable aleatoria “media muestral para muestras detamaño16”,calculeelvalordeaparaque 50 50 =0.9876.


46

CURSO2004‐2005 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.

a)(1punto)Seanlasmatrices 2 1 31 2 0

0 11 21 1

.

Delassiguientesoperaciones,algunasnosepuedenrealizar;razoneporqué.Efectúelasquesepuedanrealizar.

; ; ; .b)(2puntos)Resuelvayclasifique,atendiendoalnúmerodesoluciones,elsistema:

2 1 31 0 21 3 1

321.

EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Determineaybenlaecuacióndelaparábolay=ax2+bx+5sabiendoqueéstatieneunmáximoenelpunto(2,9).b)(1.5puntos)Calculelasasíntotasdelafunción .EJERCICIO3.ParteIEnunaurnahay1 bola blanca, 3 rojas y 4 verdes. Se considera el experimentoqueconsisteensacarprimerounabola,siesblancasedejafuera,ysinoloessevuelveaintroducirenlaurna;acontinuaciónseextraeunasegundabolayseobservasucolor.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequesalgan2bolasdelmismocolor?b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelabolablancasalgaenla2ªextracción?ParteIILaestaturadelossoldadosdeuncuartelsigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica12cm.a) (0.5 puntos) Indique la distribución que sigue la media de la estatura de lasmuestrasdesoldadosdeesecuartel,detamaño81.b)(1.5puntos)Sisedeseaestimarlaestaturamediadelossoldadosdeesecuarteldeformaqueelerrornosobrepaselos3cm,¿cuántossoldadosdeberánescogerseparaformarpartedelamuestrasiseutilizaunniveldeconfianzadel97%?

CURSO2004‐2005 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)ElestadiodelMediterráneo,construidopara lacelebraciónde los“JuegosMediterráneosAlmería2005”,tieneunacapacidadde20000espectadores.Paralaasistenciaaestosjuegossehanestablecidolassiguientesnormas:El número de adultos no debe superar al doble del número de niños; el número deadultosmenoselnúmerodeniñosnoserásuperiora5000.Si elpreciode la entradadeniñoesde10eurosy ladeadulto15euros ¿cuál es lacomposición de espectadores que proporciona mayores ingresos? ¿A cuántoascenderánesosingresos?EJERCICIO2.EJERCICIO2(3puntos)Hallef ′(2),g′(4)yh′(0)paralasfuncionesdefinidasdelasiguienteforma

16; 9 ; 1 .

EJERCICIO3.ParteISeanAyBdossucesosindependientestalesqueP(A)=0.4yP(A∩B)=0.05.a)(0.5puntos)CalculeP(B).b)(0.75puntos)CalculeP(A∩BC).c)(0.75puntos)SabiendoquenohasucedidoB,calculelaprobabilidaddequesucedaA.ParteIIElíndicederesistenciaalarotura,expresadoenkg,deundeterminadotipodecuerdasigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica15.6kg.Conunamuestrade5deestascuerdas,seleccionadasalazar,seobtuvieronlossiguientesíndices:

280, 240, 270, 285, 270.a)(1punto)Obtengaunintervalodeconfianzaparalamediadelíndicederesistenciaalaroturadeestetipodecuerdas,utilizandounniveldeconfianzadel95%.b)(1punto)Si,conelmismoniveldeconfianza,sedeseaobtenerunerrormáximoenla estimación de la media de 5 kg, ¿será suficiente con elegir una muestra de 30cuerdas?


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CURSO2004‐2005 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seanlasmatrices 1 3

0 1 2 10 .

a)(1.5puntos)DetermineelvalordexenlamatrizBparaqueseverifiquelaigualdad

b)(1.5puntos)ObtengalamatrizCtalque

EJERCICIO2.Elvalor,enmilesdeeuros,delasexistenciasdeunaempresaenfuncióndeltiempot,enaños,vienedadoporlafunciónf(t)=−4t2+60t−15,1≤t≤8.a)(1punto)¿Cuálseráelvalordelasexistenciasparat=2?¿Yparat=4?b)(1punto)¿Cuáleselvalormáximodelasexistencias?¿Enquéinstantesealcanza?c)(1punto)¿Enquéinstanteelvalordelasexistenciasesde185milesdeeuros?EJERCICIO3.ParteISeanAyBdossucesosindependientestalesqueP(B)=0.05yP(A/B)=0.35.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequesucedaalmenosunodeellos?b)(1punto)¿CuáleslaprobabilidaddequeocurraelsucesoAperonoelB?ParteIILa longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal condesviacióntípica0.1cm.Sehaseleccionadounamuestraaleatoriay,conunaconfianzadel95%, seha construidoun intervalo, para lamediapoblacional, cuya amplitudes0.0784cm.a)(1punto)¿Cuálhasidoeltamañodelamuestraseleccionada?b)(1punto)Determineel intervalodeconfianza,sienlamuestraseleccionadasehaobtenidounalongitudmediade1.75cm.

CURSO2004‐2005 5

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelsistemadeinecuacionessiguiente:

x+y≤600, x≤500, y≤3x, x≥0, y≥0.a)(2puntos)Representegráficamenteelconjuntodesolucionesdelsistemaycalculesusvértices.b)(1punto)HalleelpuntodelrecintoanteriorenelquelafunciónF(x,y)=38x+27yalcanzasuvalormáximo.EJERCICIO2.

Sealafunción 2 42 8 4

.

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddeestafunción.b) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, sumonotoníaysusextremos.EJERCICIO3.ParteIEn un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45%aprueban Matemáticas. Se sabe además que la probabilidad de aprobar EconomíahabiendoaprobadoMatemáticases0.75.a)(1punto)Calculeelporcentajedeestudiantesqueapruebanlasdosasignaturas.b)(1punto)EntrelosqueapruebanEconomía¿quéporcentajeapruebaMatemáticas?ParteIIEl número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión sedistribuyesegúnunaleyNormaldemedia9horasydesviacióntípica4.Paramuestrasde64adolescentes:a)(0.5puntos)Indiquecuálesladistribucióndelasmediasmuestrales.b) (1.5puntos)Calcule laprobabilidaddeque lamediadeunade lasmuestras estécomprendidaentre7.8y9.5horas.


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CURSO2004‐2005 6

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3puntos)Unaempresamontadostiposdeordenadores:fijosyportátiles.Laempresapuedemontar comomáximo 10 fijos y 15 portátiles a la semana, y dispone de 160horasde trabajoa la semana. Se sabeque elmontajedeun fijo requiere4horasdetrabajo, y reportaunbeneficiode100euros,mientrasque cadaportátil necesita10horasdetrabajoygeneraunbeneficiode150euros.Calcule el número de ordenadores de cada tipo que debenmontarse semanalmenteparaqueelbeneficioseamáximo,yobtengadichobeneficio.EJERCICIO2.Sealafunción 2 0

0.

a) (1.5 puntos) Para a = −2 represente gra icamente la funcion f, e indique susextremosrelativos.b)(1.5puntos)Determineelvalordeaparaquelafunciónfseaderivable.EJERCICIO3.

ParteIEnunconcursosedisponedecincosobres;dosdeelloscontienenpremioylosotrostresno.Sepideaunprimerconcursantequeescojaunsobreyobservesitienepremio,yaunsegundoconcursantequeelijaotrodelosrestantesyobservesitienepremio.a)(1punto)Escribaelconjuntoderesultadosposiblesasociadoaesteexperimentoeindiquelaprobabilidaddecadaunodeellos.b)(1punto)¿Quéprobabilidadtieneelsegundoconcursantedeobtenerpremio?¿Cuáleslaprobabilidaddequeambosconcursantesobtenganpremio?

ParteIISesuponequelapuntuaciónobtenidaporcadaunodelostiradoresparticipantesenlasededeGádorde los“JuegosMediterráneosAlmería2005”,esunavariablealeatoriaque sigue una distribución Normal con desviación típica 6 puntos. Se toma unamuestraaleatoriadetamaño36quedaunamediade35puntos.a)(1punto)Obtengaunintervalo,conun95%deconfianza,paralapuntuaciónmediadeltotaldetiradores.b)(1punto)Calculeeltamañomínimodelamuestraquesehadetomarparaestimarlapuntuaciónmediadel totalde tiradores, conunerror inferior a1puntoy conunniveldeconfianzadel99%.

CURSO2004‐2005 6

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seanlasmatrices 1 2

1 0 .a)(1punto)Calcule,siexiste,lamatrizinversadeB.b)(2puntos)SiA·B=B·AyA+At=3·I2,calculexey.EJERCICIO2.Sealafunción .a) (2 puntos)Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, las asíntotas y lamonotonía.b)(1punto)Representegráficamenteestafunción.EJERCICIO3.ParteIJuan dispone de dos días para estudiar un examen. La probabilidad de estudiarlosolamenteelprimerdíaesdel10%,ladeestudiarlolosdosdíasesdel10%yladenohacerloningúndíaesdel25%.CalculelaprobabilidaddequeJuanestudieelexamenencadaunodelossiguientescasos:a)(0.5puntos)Elsegundodía.b)(0.75puntos)Solamenteelsegundodía.c)(0.75puntos)Elsegundodía,sabiendoquenolohahechoelprimero.ParteIIElpesodeloscerdosdeunagranjasigueunaleyNormalcondesviacióntípica18kg.a)(1punto)Determineel tamañomínimodeunamuestraparaobtenerunintervalodeconfianza,paralamediadelapoblación,deamplitud5kgconunniveldeconfianzadel95%.b)(1punto)Silamediadelospesosdeloscerdosdelagranjafuera92kg,¿cuálseríalaprobabilidaddequeelpesomediodeunamuestrade100cerdosestuvieseentre88y92kg?


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CURSO2005‐2006 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3puntos)Unaimprentalocaleditaperiódicosyrevistas.Paracadaperiódiconecesitauncartuchodetintanegrayotrodecolor,yparacadarevistaunodetintanegraydosdecolor.Sisólodisponede800cartuchosdetintanegray1100decolor,ysinopuedeimprimirmásde400revistas,¿cuántodineropodráingresarcomomáximo,sivendecadaperiódicoa0.9eurosycadarevistaa1.2euros?EJERCICIO2.Seanlasfunciones 22 264 xx)x(gyxx)x(f .a) (2puntos)Determine, para cadaunade ellas, los puntosde corte con los ejes, elvérticeylacurvatura.Represéntelasgráficamente.b) (1 punto) Determine el valor de x para el que se hace mínima la función

)x(g)x(f)x(h .EJERCICIO3.ParteISeanAyBdossucesostalesque ..BAPy.)B(P,.)A(P C 550250600 a)(1punto)RazonesiAyBsonindependientes.b)(1punto)Calcule ).BA(P CC ParteII(2 puntos) De 500 encuestados en una población, 350 semostraron favorables a laretransmisióndedebatestelevisivosentiemposdeelecciones.Calculeunintervalodeconfianza,al99.5%,paralaproporcióndepersonasfavorablesaestasretransmisiones.

CURSO2005‐2006 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.

Seanlasmatrices .B,A

2101

0112

a)(1.5puntos)Calcule ).IB(A 21 32

b)(1.5puntos)DeterminelamatrizXparaque 2IAAX .EJERCICIO2.Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:

a)(1punto) 32531

x

xx)x(f .

b)(1punto) 22 22 xLx)x(g .c)(1punto) .exh xx 53 EJERCICIO3.ParteIUna urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas. Se extraen al azar tres bolassucesivamenteconreemplazamiento.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelastresseandelmismocolor.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequedosseanazulesyunaroja.ParteIIElgastoanual,envideojuegos,delos jóvenesdeunaciudadsigueunaleyNormaldemediadesconocidaµydesviacióntípica18euros.Elegida,alazar,unamuestrade144jóvenessehaobtenidoungastomediode120euros.a)(0.5puntos)Indiqueladistribucióndelasmediasdelasmuestrasdetamaño144.b)(0.75puntos)Determineunintervalodeconfianza,al99%,paraelgastomedioenvideojuegosdelosjóvenesdeesaciudad.c)(0.75puntos)¿Quétamañomuestralmínimodeberíamostomarpara,conlamismaconfianza,obtenerunerrormenorque1.9?


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CURSO2005‐2006 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Representegráficamenteelrecintodefinidoporelsiguientesistemadeinecuaciones:

.y;x;x;yx;yx 0015363233 b)(1punto)Calculelosvérticesdelrecinto.c) (0.5 puntos) Obtenga el valormáximode la función yx)y,x(F 128 en esterecintoeindiquedóndesealcanza.EJERCICIO2.a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada de una función fes la parábola devértice(0,2)quecortaalejedeabscisasenlospuntos(─3,0)y(3,0).Apartirdedichagráfica,determinelosintervalosdecrecimientoydecrecimientodelafunciónf.b)(1.5puntos)Calculelosextremosrelativosdelafunción xx)x(g 33 .EJERCICIO3.ParteILauratieneundadocontrescaraspintadasdeazulylasotrastresderojo.Maríatieneotrodadocontrescaraspintadasderojo,dosdeverdeyunadeazul.Cadaunatirasudadoyobservanelcolor.a)(1punto)Describaelespaciomuestralasociadoylasprobabilidadesdelossucesoselementales.b)(1punto)SisalenlosdoscoloresigualesganaLaura;ysisaleelcolorverde,ganaMaría.Calculelaprobabilidadquetienecadaunadeganar.ParteIIa)(1punto)Losvalores:

52,61,58,49,53, 60,68,50,53constituyen unamuestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviacióntípica6.Obtengaunintervalodeconfianzaparalamediadelapoblación,conunniveldeconfianzadel92%.b)(1punto)SedeseaestimarlamediapoblacionaldeotravariablealeatoriaNormal,con varianza 49, mediante la media de una muestra aleatoria. Obtenga el tamañomínimo de la muestra para que el error máximo de la estimación, mediante unintervalodeconfianzaal97%,seamenoroigualque2.

CURSO2005‐2006 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Elcajerodeunbancosólodisponedebilletesde10,20y50euros.Hemossacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. Elnúmerodebilletesde10eurosquenoshadadoeseldobledelde20euros.Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema paraobtenerelnúmerodebilletesdecadatipoquenoshaentregadoelcajero.EJERCICIO2.

Seconsideralafunciónxx)x(f

23

.

a) (1 punto)Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en elpuntodeabscisax=1.b)(1punto)Estudiesumonotonía.c)(1punto)Calculesusasíntotas.EJERCICIO3.ParteIDeunestudiosobreaccidentesdetráficosededujeronlossiguientesdatos:Enel23%deloscasosnosellevabapuestoelcinturóndeseguridad,enel65%noserespetaronlos límites de velocidad permitidos y en el 30% de los casos se cumplían ambasnormas,esdecir,llevabanpuestoelcinturónyrespetabanloslímitesdevelocidad.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se hayacumplidoalgunadelasdosnormas.b) (1 punto) Razone si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y“respetarloslímitesdevelocidad”.ParteII(2puntos)Enunamuestraaleatoriade1000personasdeunaciudad,400votanaundeterminadopartidopolítico.Calculeunintervalodeconfianzaal96%paralaproporcióndevotantesdeesepartidoenlaciudad.


51

CURSO2005‐2006 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices .Byx

xA

1110

111

a)(1punto)Encuentreelvalorovaloresdexdeformaque .AB 2

b)(1punto)Igualmenteparaque .BIA 12

c)(1punto)Determinexparaque .IBA 2 EJERCICIO2.a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función

bxxax)x(f 53 23 paseporelpunto(1,3)ytengaelpuntodeinflexiónenx=1.b)(1.5puntos)Hallelosintervalosdemonotoníaylosextremosrelativosdelafuncióndefinidapor .xx)x(g 73 23 EJERCICIO3.ParteIEn un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sinrespaldohay3nuevasyentrelassillasconrespaldohay7nuevas.a)(1punto)Tomadaunasillaalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequeseanueva?b) (1punto)Si secogeunasillaquenoesnueva,¿cuáles laprobabilidaddequenotengarespaldo?ParteII(2 puntos) En una población, una variable aleatoria sigue una leyNormal demediadesconocidaydesviacióntípica9.¿De qué tamaño, comomínimo, debe ser lamuestra con la cual se estime lamediapoblacionalconunniveldeconfianzadel97%yunerrormáximoadmisibleiguala3?

CURSO2005‐2006 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (2puntos)Represente la regióndefinidapor las siguientes inecuacionesy calculesusvértices:

.x;yx;yx;y;x 466200 b) (1 punto) Calcule el máximo de la función 122 yx)y,x(F en la regiónanterioreindiquedóndesealcanza.EJERCICIO2.

Sealafunción f definidapor

0

012

2 xsixx

xsixx

)x(f .

a)(2puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidadde .f b) (1punto)Calcule la ecuaciónde la recta tangente a la gráficade la función en elpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.ParteISean lossucesosAyB independientes.LaprobabilidaddequeocurraelsucesoBes0.6.SabemostambiénqueP(A/B)=0.3.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequesucedaalmenosunodelosdossucesos.b)(1punto)CalculelaprobabilidaddequeocurraelsucesoAperonoelB.ParteII(2puntos)Sehalanzadoundado400vecesysehaobtenido80veceselvalorcinco.Estime, mediante un intervalo de confianza al 95%, el valor de la probabilidad deobteneruncinco.


52

CURSO2005‐2006 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.

a)(1.5puntos)Seanlasmatrices .B,A

4221

0212

Calcule )AB(A t1 .

b)(1.5puntos)Resuelvayclasifiqueelsistema .zyx

.

112

110121031

EJERCICIO2.

Consideremoslafunción

11112

xsixxsix)x(f .

a)(1punto)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b)(1punto)Determinelamonotoníadef.c)(1punto)Representegráficamenteestafunción.EJERCICIO3.ParteIUnaenfermedadafectaaun5%delapoblación.Seaplicaunapruebadiagnósticaparadetectardichaenfermedad,obteniéndoseel siguiente resultado:Aplicadaapersonasquepadecen laenfermedadseobtieneun96%deresultadospositivos,yaplicadaapersonas que no la padecen se obtiene un 2%de resultados positivos. Elegida unapersona,alazar,yaplicadalaprueba:a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseobtengaunresultadopositivo?b)(1punto)Siseobtieneunresultadopositivo,¿cuáles laprobabilidaddequeestapersonanopadezcalaenfermedad?ParteIIa) (1.25 puntos) Sea la población {1, 5, 7}. Escriba todas lasmuestras de tamaño 2,mediantemuestreoaleatoriosimple,ycalculelavarianzadelasmediasmuestrales.b)(0.75puntos)Deunapoblaciónde300hombresy200mujeressedeseaseleccionar,mediantemuestreoaleatorioestratificadoconafijaciónproporcional,unamuestradetamaño30distribuidaenlosdosestratos,¿cuálserálacomposicióndelamuestra?

CURSO2005‐2006 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Unlaboratoriofarmacéuticovendedospreparados,AyB,arazónde40y20 euros el kg, respectivamente. Su producción máxima es de 1000 kg de cadapreparado.Sisuproduccióntotalnopuedesuperarlos1700kg,¿cuáleslaproducciónquemaximizasusingresos?Calculedichosingresosmáximos.EJERCICIO2.

a)(1.5puntos)Calculelaecuacióndelarectatangentealagráficade123

xx)x(g

enelpuntodeabscisax=1.b)(1.5puntos)Seconsideralafunción 42 bxax)x(f .Calculelosvaloresdelosparámetrosaybparaqueftengaunextremorelativoenelpunto(1,10).EJERCICIO3.ParteIUnaurnaA contienediez bolas numeradasdel 1 al 10, y otra urnaB contiene ochobolasnumeradasdel1al8.Seescogeunaurnaalazarysesacaunabola.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequelabolaextraídatengaelnúmero2?b)(1punto)Sielnúmerodelabolaextraídaesimpar,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelaurnaB. ParteIISehantomadolastallasde16bebés,elegidosalazar,deentrelosnacidosenunciertohospital,ysehanobtenidolossiguientesresultados,encentímetros:

51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51.LatalladelosbebéssigueunaleyNormaldedesviacióntípica2centímetrosymediadesconocida.a)(0.75puntos)¿Cuálesladistribucióndelasmediasdelasmuestrasdetamaño16?b) (1.25 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 97%, para la mediapoblacional.


53

CURSO2005‐2006 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.Sealaregióndefinidaporlassiguientesinecuaciones:

.y;yx;yx 202132

a)(2puntos)Representegráficamentedicharegiónycalculesusvértices.b) (1 punto)Determine en qué puntos la función 463 yx)y,x(F alcanza susvaloresextremosycuálessonéstos.EJERCICIO2.Elbeneficioesperadodeunaempresa,enmillonesdeeuros,enlospróximosochoañosvienedadoporlafunciónBdefinidapor

85105072

tsitsitt)t(B

dondetindicaeltiempotranscurridoenaños.a)(2puntos)RepresentegráficamentelafunciónB yexpliquecómoeslaevolucióndelbeneficioesperadoduranteesos8años.b)(1punto)Calculecuándoelbeneficioesperadoesde11.25millonesdeeuros.EJERCICIO3.ParteISedisponededosurnasAyB.EnlaurnaAhaydiezbolas,numeradasdel1al10yenlaurnaBhay3bolas,numeradasdel1al3.Selanzaunamoneda,sisalecaraseextraeunaboladelaurnaAysisalecruzseextraedelaB.a)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddeobtenercarayun5.b)(0.5puntos)Hallelaprobabilidaddeobtenerun6.c)(1punto)Calculelaprobabilidaddeobtenerun3.ParteIIUnfabricanteproducetabletasdechocolatecuyopesoengramossigueunaleyNormaldemedia125gydesviacióntípica4g.a)(1punto)Si lastabletasseempaquetanenlotesde25,¿cuáleslaprobabilidaddequeelpesomediodelastabletasdeunloteseencuentreentre124y126gramos?b)(1punto)Siloslotesfuesende64tabletas,¿cuálseríalaprobabilidaddequeelpesomediodelastabletasdellotesuperaselos124gramos?

CURSO2005‐2006 5

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Seanlasmatrices:

.E;D;C;B;A

552

321

252

121

103011001

Calculelosvaloresdelosnúmerosrealesx,y,z,paraqueseverifiquelasiguienteigualdadentrematrices: DzCyBAxE .

EJERCICIO2.Sealafunción .xx)x(f 13 23 a)(1.5puntos)Determinelamonotoníaylosextremosrelativosdef.b)(0.75puntos)Calculesupuntodeinflexión.c)(0.75puntos)Teniendoencuentalosapartadosanteriores,represéntela.EJERCICIO3.

ParteISeconocenlossiguientesdatosdeungrupodepersonas,relativosalconsumodeundeterminadoproducto:

12253010

MujerHombre

consumeNoConsume

Seeligeenesegrupounapersonaalazar.Calculelaprobabilidaddeque:(0.5puntos)Seamujer.(0.75puntos)Habiendoconsumidoelproducto,setratedeunamujer.(0.75puntos)Seamujerynoconsumaelproducto.

ParteIIUnavariablealeatoriasigueunaleyNormalconmediadesconocidaydesviacióntípica2.4.Sequiereestimarlamediapoblacional,conunniveldeconfianzadel93%,paraloquesetomandosmuestrasdedistintostamaños.a) (1punto) Si unade lasmuestras tiene tamaño16y sumedia es 10.3, ¿cuál es elintervalodeconfianzacorrespondiente?b)(1punto)Siconlaotramuestraelintervalodeconfianzaes(9.776,11.224),¿cuáleslamediamuestral?¿Cuáleseltamañodelamuestra?


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CURSO2005‐2006 6

OPCIÓNAEJERCICIO1.

a)(2puntos)Seanlasmatrices .ByA 114522

Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuaciónmatricial 012 BAX .Resuelvadichaecuación.b)(1punto)Plantee,sinresolver,elsistemadeecuacionesquepermitaencontrar lasolucióndelsiguienteproblema:

“En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumnoobtuvounacalificacióntotalde7.2.Lapuntuacióndelprimerproblemafueun40% más que la del segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de laspuntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cadaproblema?”

EJERCICIO2.a)(2puntos)Dadalafunción ,bxxa)x(f 21 calculeaybparaquelagráficadeestafunciónpaseporelpuntodecoordenadas(1,2)ytengaunextremorelativoenelpuntodeabscisax=2.

b)(1punto)Calcule xx

)x(gsiendo´´g 12 .

EJERCICIO3.ParteIEn un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes, A y B. Se sabe que

300180 .B/APy.)BA(P .a)(1punto)CalculelasprobabilidadesdeAydeB.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequenoocurraningunodeesosdossucesos.ParteIIDeunapoblaciónNormal,conmediadesconocidayvarianza36,seextraeunamuestraaleatoriaqueresultatenerunamediamuestralde173.a)(1punto)Obtengaunintervalodeconfianzadel97%paralamediapoblacional,sieltamañodelamuestraes64.b)(1punto)¿Cuáldebesereltamañomínimodelamuestra,sisedeseaqueelerrorcometidoalestimarlamediapoblacionalseainferiora1.2,paraunniveldeconfianzadel95%?

CURSO2005‐2006 6

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seconsideraelrecintodefinidoporlasinecuaciones

.y;x;yx;yx;xy 001244 a)(2puntos)Representeelrecintoycalculesusvértices.

b) (1 punto) Dada la función objetivo yxy,xF54

32

, determine los valores

máximoymínimodeFylospuntosdelrecintodondesealcanzan.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Deunafunciónfsesabequelagráficadesufunciónderivada,f’,eslarectadeecuacióny=2x+4.Estudierazonadamentelamonotoníadelafunciónf,alavistadelagráficadeladerivada.

b)(1.5puntos)Dadalafunción444

xx)x(g ,calculelaecuacióndelarectatangente

asugráficaenelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3.ParteIEn una empresa, el 65% de la plantilla son hombres; de ellos, el 80% usan elordenador.Sesabequeel83.5%delaplantilladelaempresausaelordenador.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que una persona de esa empresa, elegida alazar,seaunhombrequenoutilizaelordenador.b)(1punto)Seleccionadaunamujerdeesaempresa, alazar,calculelaprobabilidaddequeutiliceelordenador.ParteIILascalificacionesobtenidasporlosestudiantesdeMatemáticassiguenunaleyNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica1.19.Paraunamuestradeesapoblaciónseobtiene que (6.801, 6.899) es un intervalo de confianza, al 92%, para la mediapoblacional.a)(0.5puntos)Determinelamediamuestral.b)(1.5puntos)Determineeltamañodelamuestra.


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CURSO2006‐2007 1


1 1 , 10 0 1

1 2 .a)(1punto)EncuentreelvalorovaloresdexdeformaqueB2=A.b)(1punto)IgualmenteparaqueB+C=A−1.c)(1punto)DeterminexparaqueA+B+C=3·I2.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Sealafunción 2 3 0

1 0.

Halleaybparaquelafunciónseacontinuayderivable.b)(1.5puntos)Calculeladerivadadelassiguientesfunciones:

32 5 1 , 1

EJERCICIO3.ParteISe tienendosdados,uno(A)condoscarasrojasycuatroverdes,yotro (B)condoscarasverdesycuatrorojas.Selanzaunamoneda;sisalecarasearrojaeldadoAysisalecruzeldadoB.a)(1punto)Hallelaprobabilidaddeobtenerunacaradecolorrojo.b)(1punto)Sisabemosquehasalidounacaradecolorverdeeneldado,¿cuáleslaprobabilidaddequeenlamonedahayasalidocara?ParteII(2puntos)ElsalariodelostrabajadoresdeunaciudadsigueunadistribuciónNormalcon desviación típica 15 euros. Se quiere calcular un intervalo de confianza para elsalariomedioconunniveldeconfianzadel98%.Determinecuáleseltamañomínimodelamuestraquesenecesitaríarecogerparaqueelintervalodeconfianzatengaunaamplitud,comomáximo,de6euros.

CURSO2006‐2007 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3 puntos) Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de unaurbanizacióndealosumo120viviendas,dedostiposAyB.Para ello la empresa constructora dispone de un capitalmáximo de 15millones deeuros,siendoelcostedeconstruccióndelaviviendadetipoAde100000eurosyladetipoB300000euros.SielbeneficioobtenidoporlaventadeunaviviendadetipoAasciendea20000eurosyporunadetipoBa40000euros,¿cuántasviviendasdecadatipodebenconstruirseparaobtenerunbeneficiomáximo?EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Determinedóndesealcanzaelmínimodelafunciónf(x)=3x2−6x+a.Calculeelvalordeaparaqueelvalormínimodelafunciónsea5.b)(1.5puntos)Calculeg’(3),siendog(x)=2x⋅e3x−1.EJERCICIO3.ParteIEn una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa detelevisiónesdel40%.Se sabequeel60%de laspersonasque loven tieneestudiossuperioresyqueel30%delaspersonasquenolovennotieneestudiossuperiores.a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa ytengaestudiossuperiores.b) (1.25 puntos) Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudiossuperioresveaelcitadoprograma.ParteII(2puntos)Enunaencuestarepresentativarealizadaa1230personasdeunaciudad,seobtuvocomoresultadoque654deellasvanalcinelosfinesdesemana.Calculeunintervalodeconfianza,al97%,paralaproporcióndeasistenciaalcinelosfinesdesemanaendichaciudad.


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CURSO2006‐2007 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices1 2 10 1 01 3 0

,2e 2 .

a)(1punto)DeterminelamatrizinversadeA.b)(2puntos)Hallelosvaloresdex,y,zparalosquesecumpleA⋅X=Y.EJERCICIO2.Paralafunción : → definidadelaformaf(x)=8x3−84x2+240x,determine:a)(1.5puntos)Sumonotoníaysusextremosrelativos.b)(1.5puntos)Sucurvaturaysupuntodeinflexión.EJERCICIO3.ParteILabarajaespañolaconstadediezcartasdeoros,diezdecopas,diezdeespadasydiezde bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, almenos,unadelasdoscartasseadeespadasenlossiguientessupuestos:a)(1punto)Siseextraenlascartasconreemplazamiento.b)(1punto)Siseextraenlascartassinreemplazamiento.ParteIIEnunamuestraaleatoriade256individuossehaobtenidounaedadmediade17.4años.SesabequeladesviacióntípicadelapoblaciónNormaldelaqueprocedeesamuestraesde2años.a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de lapoblación.b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que elcorrespondienteintervalodeconfianza,al90%,tengadeamplitudalosumo0.5?

CURSO2006‐2007 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.Consideramoselrecintodelplanolimitadoporlassiguientesinecuaciones:

y−x≤4; y+2x≥7; −2x−y+13≥0; x≥0; y≥0.a)(2puntos)Representeelrecintoycalculesusvértices.b)(1punto)HalleenquépuntosdeeserecintoalcanzalosvaloresmáximoymínimolafunciónF(x,y)=4x+2y−1.EJERCICIO2.a)(2puntos)Hallelosvaloresdeaybparaquelarectatangentealagráficadef(x)=ax2−benelpunto(1,5)sealarectay=3x+2.

b)(1punto)Parag(x)=e1−x+L(x+2),calculeg’(1).EJERCICIO3.ParteIEnunaurnahaycuatrobolasblancasydosrojas.Selanzaunamoneda,sisalecaraseextraeunaboladelaurnaysisalecruzseextraen,sinreemplazamiento,dosbolasdelaurna.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequesehayanextraídodosbolasrojas.b)(1punto)Hallelaprobabilidaddequenosehayaextraídoningunabolaroja.ParteIIEnunagranjaavícola seha tomadounamuestraaleatoriade200polluelosdepato,entreloscualesseencontraron120hembras.a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para laproporcióndehembrasentreestospolluelos.b)(0.5puntos)Razone,alavistadelintervaloencontrado,siaeseniveldeconfianzapuedeadmitirsequelaverdaderaproporcióndehembrasdepatoenesagranjaes0.5.


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CURSO2006‐2007 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.Deunproblemadeprogramaciónlinealsededucenlassiguientesrestricciones:

4x+3y60, y30, , x0, y0.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule susvértices.b)(0.5puntos)MaximiceenesaregiónfactiblelafunciónobjetivoF(x,y)=x+3y.c)(0.5puntos)¿Perteneceelpunto(11,10)alaregiónfactible?EJERCICIO2.Sealafunción : → ,definidapor 2 1

5 1.a)(1punto)Calculemparaquelafunciónseacontinuaenx=1.b)(1punto)Paraesevalordem,¿esderivablelafunciónenx=1?c)(1punto)Calculelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenx=0.EJERCICIO3.ParteIEnunespaciomuestralsesabequeparadossucesosAyBseverifica

P(A∩B)=0.1, P(AC∩BC)=0.6, P(A/B)=0.5.a)(0.75puntos)CalculeP(B).b)(0.75puntos)CalculeP(A∪B).c)(0.5puntos)¿SonAyBindependientes?ParteIISe sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 ydesviacióntípica4.8.a)(1punto)Sisetomaunamuestraaleatoriade16individuos,¿cuáleslaprobabilidaddequelamediadeestamuestraseasuperiora35puntos?b) (1 punto) ¿Qué porcentaje demuestras de tamaño 25 tiene unamediamuestralcomprendidaentre34y36?

CURSO2006‐2007 3

OPCIÓNB

EJERCICIO1. a)(1.5puntos)HallelamatrizAqueverifica 2 3

1 5928 .

b) (1.5 puntos) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuacionessiguientes:x−3y+2z=0;−2x+y−z=0;x−8y+5z=0.EJERCICIO2.a)(2puntos)Sealafuncióndefinidaparatodonúmerorealxporf(x)=ax3+bx.Determineaybsabiendoquesugráficapasaporelpunto(1,1)yqueenesepuntolapendientedelarectatangentees−3.b) (1 punto) Si en la función anterior a = y b = −4, determine sus intervalos demonotoníaysusextremos.EJERCICIO3.ParteIUnaurnaAcontienetresbolasazulesycuatrorojasyotraurnaBcontienedosbolasazules,dosrojasydosnegras.Seextrae,alazar,unaboladeunadelasurnas.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelabolaextraídasearoja.b)(1punto)Silabolaextraídaresultaserazul,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelaurnaB?ParteIISesabeque(45.13,51.03)esunintervalodeconfianza,al95%,paralamediadeunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica15.a)(0.5puntos)¿Cuáleselerrorcometido?b)(1.5puntos)Calcule,conelmismoniveldeconfianza,el tamañomuestralmínimonecesarioparaqueelerrornoseasuperiora1.8.


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CURSO2006‐2007 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1punto)Sealamatriz 1 0

1 .CalculeelvalordebparaqueB2=I2.

b)(2puntos)Resuelvayclasifiqueelsistemadeecuaciones1

2 2

EJERCICIO2.

Seconsideralafunción 02 3 0

a)(1.5puntos)Estudiesuderivabilidadenx=0.b)(1.5puntos)Determinesiexistenasíntotasyobtengasusecuaciones.EJERCICIO3.ParteI(2puntos)EnunespaciomuestralseconsiderandossucesosAyBtalesqueP(A∪B)=1,P(A∩B)= yP(A/B)= .HallelaprobabilidaddelsucesoAyladelsucesoB.ParteIIEnunaUniversidad se toma, al azar,unamuestrade400alumnosy seobservaque160deelloshanaprobadotodaslasasignaturas.a) (1 punto)Halle un intervalo de confianza, al 97%, para estimar el porcentaje dealumnosdeesaUniversidadqueapruebantodaslasasignaturas.b) (1punto)A lavistadelresultadoanteriorsepretenderepetir laexperienciaparaconseguir que el error no sea superior a 0.04, con el mismo nivel de confianza.¿Cuántosalumnos,comomínimo,hadetenerlamuestra?

CURSO2006‐2007 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Unaempresafabricalunasparacoches.Cadalunadelanterarequiere2.5m2decristal,mientrasquecadalunatraserarequiere2m2.Laproduccióndeunalunadelanteraprecisa0.3horasdemáquinadecorteycadalunatrasera0.2horas.Laempresadisponede1750m2decristalporsemanay260horassemanalesdemáquinadecorte.Para adaptarse a la demandahabitual, la empresa fabrica siempre, comomínimo, eldobledelunasdelanterasquedelunastraseras.Determine cuántas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente la empresa paraqueelnúmerototaldelunasseamáximo.EJERCICIO2.Seconsideralafunciónf(x)=x3−9x2+24x.a) (2 puntos) Determine los extremos relativos de f; estudie la monotonía y lacurvatura.b)(1punto)Representegráficamentelafunciónf.EJERCICIO3.ParteIUnexperimentoaleatorioconsisteenlanzarsimultáneamentedosdadosconlascarasnumeradasdel1al6.Calculelaprobabilidaddecadaunodelossiguientessucesos:a)(0.5puntos)Obtenerdosunos.b)(0.5puntos)Obteneralmenosundos.c)(0.5puntos)Obtenerdosnúmerosdistintos.d)(0.5puntos)Obtenerunasumaigualacuatro.ParteII(2 puntos) Para realizar una encuesta en un Instituto se selecciona, aleatoriamente,una muestra de 50 alumnos y se les pregunta si tienen reproductores de mp3,contestando afirmativamente 20 de ellos. Calcule un intervalo de confianza, al 96%,paralaproporcióndealumnosqueposeenreproductoresdemp3enlapoblacióntotaldealumnosdelInstituto.


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CURSO2006‐2007 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.a) (1 punto) Un taller de carpintería ha vendido 15muebles, entre sillas, sillones ybutacas, porun total de1600 euros. Se sabeque cobra50 eurospor cada silla, 150eurosporcadasillóny200eurosporcadabutaca,yqueelnúmerodebutacases lacuartapartedelnúmeroquesumanlosdemásmuebles.Plantee,sinresolver,elsistemadeecuacionesadecuadoquepermitecalcularcuántosmueblesdecadaclasehavendidoesetaller.b) (2 puntos) Dadas las matrices 3 2

2 4 2 53 1 , resuelva la ecuación

matricialA⋅X+Bt=B,dondeXesunamatrizcuadradadeorden2.EJERCICIO2.Seconsideralafuncióndefinidapor 2 8 6 1

2 8 6 1

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddef.b)(1punto)Representelagráficadef.c)(0.5puntos)Indiquelosextremosrelativosdelafunción.EJERCICIO3.ParteIEl 30% de los clientes de una tienda de música solicita la colaboración de losdependientesyel20%realizaunacompraantesdeabandonarlatienda.El15%delosclientespidenlacolaboracióndelosdependientesyhacenunacompra.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni solicite lacolaboracióndelosdependientes.b)(1punto)Sabiendoqueunclienteharealizadounacompra,¿cuáleslaprobabilidaddequenohayasolicitadocolaboraciónalosdependientes?ParteIISehalanzadoalaireunamoneda200vecesysehaobtenidocaraen120ocasiones.a) (1punto)Estime,medianteun intervalode confianza, al 90%, la probabilidaddeobtenercara.b)(1punto)Sepretenderepetir laexperienciaparaconseguirqueelerrorcometidosea inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 97%. ¿Cuál debe ser el tamañomínimodelamuestra?

CURSO2006‐2007 5

OPCIÓNBEJERCICIO1.Lacandidaturadeundeterminadogrupopolíticoparalaseleccionesmunicipalesdebecumplir los siguientes requisitos: el número total de componentesde la candidaturadebeestarcomprendidoentre6y18yelnúmerodehombres(x)nodebeexcederdeldobledelnúmerodemujeres(y).a) (2.5 puntos) Represente el recinto asociado a estas restricciones y calcule susvértices.b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el mayor número de hombres que puede tener unacandidaturaquecumplaesascondiciones?EJERCICIO2.

Sealafunción 02 1 0

a)(2puntos)Calculeelvalordekparaquelafunciónfseacontinuaenx=0.Paraesevalordek,¿esfderivableenx=0?b)(1punto)Parak=0,calculelim → ylim → .EJERCICIO3.ParteIEnunInstitutosepuedenpracticardosdeportes: fútbolybaloncesto.Sesabequeel48%delosalumnospracticafútbolperonobaloncesto,queel15%practicabaloncestopero no fútbol y que el 28%no practica ningunode los dos. Si se toma, al azar, unalumnodeeseInstituto,calculelaprobabilidaddeque:a)(0.75puntos)Practiquefútbol.b)(0.5puntos)Practiquealgunodelosdosdeportes.c)(0.75puntos)Nopractiquefútbol,sabiendoquepracticabaloncesto.ParteIICon los datos de unamuestra aleatoria se estima que el porcentaje de hogares conconexióna Internet esdel30%, conunerrormáximode la estimaciónde0.06yunniveldeconfianzadel93%.a)(0.5puntos)Obtengaelintervalodeconfianza,al93%,delaproporcióndehogaresconconexiónaInternet.b)(1.5puntos)Calculeeltamañomínimodelamuestrautilizada.


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CURSO2006‐2007 6

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seanlasmatrices 1 0 2

2 1 0 , 25 .

a)(1.5puntos)CalculeB·Bt–A·At.b)(1.5puntos)HallelamatrizXqueverifica(A·At)·X=B.EJERCICIO2.Elbeneficioobtenidoporunaempresa,enmilesdeeuros,vienedadopor la función

5 40 60 0 652 15 6 10

dondexrepresentaelgastoenpublicidad,enmilesdeeuros.a)(0.75puntos)Representelafunciónf.b) (0.75puntos)Calcule el gasto enpublicidadapartirdel cual la empresano tienepérdidas.c)(0.75puntos)¿Paraquégastosenpublicidadseproducenbeneficiosnulos?d)(0.75puntos)Calculeelgastoenpublicidadqueproducemáximobeneficio.¿Cuálesesebeneficiomáximo?EJERCICIO3.ParteISelanzaunamonedatresvecesyseconsideranlossucesos:A:“Obteneralmenosdosvecescara”yB:“Obtenercaraenelsegundolanzamiento”.a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule P(A) yP(A∪B).b)(1punto)LossucesosAyB,¿sonindependientes?,¿sonincompatibles?ParteIIEnunapoblaciónunavariablealeatoriasigueunaleyNormalcondesviacióntípica8.Sehaelegido,alazar,unamuestradetamaño100ysumediahasido67.a)(1punto)Calculeelintervalodeconfianza,al93%,paralamediadelapoblación.b)(1punto)¿Cuántosdatos,comomínimo,sonnecesariosparaestimar,conunniveldeconfianzadel99%,lamediadelapoblaciónconunerrornosuperiora2?

CURSO2006‐2007 6

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Una fábricaproducebombillasdebajoconsumoquevendea1eurocadauna,yfocoshalógenosquevendea1.5euros.Lacapacidadmáximadefabricaciónesde1000unidades,entrebombillasy focos,sibiennosepuedenfabricarmásde800bombillasnimásde600focos.Se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Determine cuántas bombillas ycuántos focos debe producir para obtener los máximos ingresos posibles y cuálesseríanéstos.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Lafunciónf(x)=x3+ax2+bxtieneunextremorelativoenx=2yunpuntode inflexiónenx=3.Calcule loscoeficientesa yb ydeterminesiel citadoextremoesunmáximoounmínimorelativo.b) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

enelpuntodeabscisax=3.EJERCICIO3.ParteIEnuntribunalsehanexaminado140alumnosdeunInstitutoAy150deotroInstitutoB.Aprobaronel80%delosalumnosdelAyel72%delB.a)(1punto)Determineeltantoporcientodealumnosaprobadosporesetribunal.b) (1punto)Unalumno,elegidoalazar,nohaaprobado, ¿cuáles laprobabilidaddequepertenezcaalInstitutoB?ParteII(2puntos)Paraestimar laproporcióndeestudiantesdeunaUniversidadqueestáafavor de un aumento del importe de las becas, se entrevistó, aleatoriamente, a 500estudiantes, de los cuales 465 respondieronafirmativamente. Calcule el intervalodeconfianza,al98%,enelcualsehallarálaproporcióndelapoblaciónuniversitariaqueestáafavordelaumentodelacuantíadelasbecas.


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CURSO2007‐2008 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1punto)Dadalamatriz 1

0 ,calculeelvalordeaparaqueA2sealamatriznula.a)(2puntos)Dadalamatriz 1 2

1 1 ,calculelamatriz .EJERCICIO2.Sealafunciónfdefinidamediante a)(0.5puntos)Determinelospuntosdecorteconlosejes.b)(1punto)Estudiesucurvatura.c)(1punto)Determinesusasíntotas.d)(0.5puntos)Representelafunción.EJERCICIO3.ParteILaura tiene en sumonedero6monedas francesas, 2 italianas y4 españolas.Vicentetiene9francesasy3italianas.Cadaunosaca,alazar,unamonedadesumonederoyobservalanacionalidad.a)(0.5puntos)Obtengaelespaciomuestralasociadoalexperimento.b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las monedas extraídas no sean de lamismanacionalidad?c)(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeningunadelasmonedasextraídasseafrancesa?ParteIISedeseaestimarlaproporcióndeindividuoszurdosenunadeterminadaciudad.Paraellosetomaunamuestraaleatoriade300individuosresultandoque45deellossonzurdos.a) (1.5 puntos) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondienteintervalodeconfianzaparalaproporcióndeindividuoszurdosdelapoblación.b) (0.5puntos) ¿Seríamayoromenorel errordeestimación si seusaraunniveldeconfianzadel95%?Razonelarespuesta.

CURSO2007‐2008 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3 puntos) Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg demantequillaparahacerdostiposdetartas,AyB.ParahacerunahornadadetartasdeltipoAsenecesitan3kgdeharina,1kgdeazúcary1kgdemantequilla,mientrasquepara hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg deazúcary1kgdemantequilla.SabiendoqueelbeneficioqueseobtienealvenderunahornadadeltipoAesde20€yde30€alvenderunahornadadeltipoB,determinecuántashornadasdecadatipodebehaceryvenderparamaximizarsusbeneficios.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Lagráficadeladerivadadeunafunciónfeslarectaquepasaporlospuntos(0,3)y(4,0).Estudielamonotoníadelafunciónf.b)(1.5puntos)Calculeladerivadadelassiguientesfunciones:

3 1 1 ; 7 4EJERCICIO3.ParteIDelos150cochesdeunconcesionario,90tienenmotordiéselyelrestodegasolina.Deloscochesconmotordiésel,72sonnuevosyelrestousados;mientrasquedeloscochesconmotordegasolinahayelmismonúmerodecochesnuevosquedeusados.Seelige,alazar,uncochededichoconcesionario;calculelaprobabilidaddeque:a)(1punto)Seanuevo.b)(1punto)Tengamotordiésel,sabiendoqueesusado.ParteII(2puntos)UnavariablealeatoriasigueunaleyNormalcondesviacióntípica6.¿Dequétamaño,comomínimo,sedebeelegirunamuestraquenospermitaestimar lamediadeesavariableconunerrormáximode2yunaconfianzadel99%?


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CURSO2007‐2008 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Planteeyresuelvaelsistemadeecuacionesdadopor:

1 3 21

3 54

b)(1.5puntos)Calculelamatrizinversade1 0 10 1 01 2 0

EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunción enelpuntodeabscisax=1.b)(1.5puntos)Halle losvaloresdeaybparaquelafunción tengaunextremorelativoenelpunto(1,2).EJERCICIO3.ParteIElexamendeMatemáticasdeunalumnoconstadedosejercicios.Laprobabilidaddequeresuelvaelprimeroesdel30%,ladequeresuelvaambosesdel10%,yladequenoresuelvaningunoesdel35%.Calculelasprobabilidadesdelossiguientessucesos:a)(1punto)Queelalumnoresuelvaelsegundoejercicio.b)(1punto)Queresuelvaelsegundoejercicio,sabiendoquenoharesueltoelprimero.ParteIILa longitudde loscablesde losauricularesque fabricaunaempresaesunavariablealeatoria que sigue una ley Normal con desviación típica 4.5 cm. Para estimar lalongitudmediasehanmedidoloscablesdeunamuestraaleatoriade9auricularesysehanobtenidolassiguienteslongitudes,encm:

205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202.a)(1punto)Halleunintervalodeconfianza,al97%,paralalongitudmediadeloscables.b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estosauricularesparaqueelerrordeestimaciónde la longitudmediasea inferiora1cm,conelmismoniveldeconfianzadelapartadoanterior.

CURSO2007‐2008 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3puntos)Unnutricionistainformaaunindividuoque,encualquiertratamientoquesiga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg devitaminaB.Paraelloestándisponiblespíldorasdedosmarcas,PyQ.CadapíldoradelamarcaPcontiene40mgdehierroy10mgdevitaminaB,y cuesta6céntimosdeeuro;cadapíldorade lamarcaQcontiene10mgdehierroy20mgdevitaminaB,ycuesta8céntimosdeeuro.Entrelosdistintostratamientos,¿cuálseríaeldemáximocostediario?EJERCICIO2.Dadalafunción 4 3 ,determine:a)(1.5puntos)Lamonotoníaylacurvaturadef.b)(0.5puntos)Lospuntosdondelafunciónalcanzasusextremosrelativos.c)(1punto)Laecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.ParteISeconsideranlossucesosAyB.a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientessucesos:

1.Quenoocurraningunodelosdos.2.Queocurraalmenosunodelosdos.3.QueocurraB,peroquenoocurraA.

b)(1.25puntos)SabiendoqueP(A)=0.5,P(B)=0.5yP(A/B)=0.3,halleP(AB).ParteII(2 puntos) Se ha aplicadounmedicamento a unamuestrade 200 enfermos y se haobservadounarespuestapositivaen140deellos.Estímese,medianteunintervalodeconfianzadel99%,laproporcióndeenfermosqueresponderíanpositivamentesiestemedicamentoseaplicasealapoblacióndelaquesehaextraídolamuestra.


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CURSO2007‐2008 3


3 0 6 1 .a)(1.5puntos)CalculelosvaloresdeaybparaqueA·B=B·A.b)(1.5puntos)Paraa=1yb=0,resuelvalaecuaciónmatricialX·B–A=I2⋅EJERCICIO2.

Sealafuncióndefinidadelaforma 22 10 2

.

a)(0.5puntos)Halleeldominiodef.b)(1.25puntos)Estudieladerivabilidaddefenx=2.c)(1.25puntos)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3.ParteIa)(1punto)SeanAyBdossucesosdeunmismoespaciomuestral.SabiendoqueP(A)=0.5,queP(B)=0.4yqueP(AB)=0.8,determineP(A/B).b)(1punto)SeanCyDdossucesosdeunmismoespaciomuestral.SabiendoqueP(C)=0.3yP(D)=0.8yqueCyDsonindependientes,determineP(CD).ParteIIEl número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una leyNormaldemediaμdíasydesviacióntípica3días.a)(1punto)Determineunintervalodeconfianzaparaestimarμ,aunniveldel97%,conunamuestraaleatoriade100enfermoscuyamediaes8.1días.b) (1 punto) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poderestimarμconunerrormáximode1díayunniveldeconfianzadel92%?

CURSO2007‐2008 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región determinada por las siguientesrestricciones:

2x+y6; 4x+y10; x+y3; x0; y0ydeterminesusvértices.b)(1punto)Calculeelmáximodelafunciónf(x,y)=4x+2y–3enelrecintoanterioreindiquedóndesealcanza.EJERCICIO2.

Sealafunciónfdefinidamediante 1 1.

a)(1.5puntos)Determineaybsabiendoquefescontinuaytieneunmínimoenx=−1.b)(1.5puntos)Paraa=1yb=1,estudieladerivabilidaddefenx=−1yx=1.EJERCICIO3.ParteISe sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores;tambiénsesabeque,deellos,el95%tieneempleo.Además,delapartedelapoblaciónquenotieneestudiossuperiores,el60%tieneempleo.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeunindividuo,elegidoalazar,tengaempleo.b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule laprobabilidaddequetengaestudiossuperiores.ParteIISealapoblación{1,2,3,4}.a)(1punto)Construyatodas lasmuestrasposiblesde tamaño2,mediantemuestreoaleatoriosimple.b)(1punto)Calculelavarianzadelasmediasmuestrales.


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CURSO2007‐2008 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3puntos)Unjoyerofabricadosmodelosdeanillos.ElmodeloAsehacecon1gramodeoroy1.5gramosdeplata.ElmodeloBlleva1.5gramosdeoroy1gramodeplata.El joyerosólodisponede750gramosdecadametalypiensafabricar,almenos,150anillosdel tipoBqueyatieneencargados.SabiendoqueelbeneficiodeunanillodeltipoAesde50€ydeltipoBesde70€,¿cuántosanilloshadefabricardecadatipoparaobtenerelbeneficiomáximoycuálseráéste?EJERCICIO2.Elbeneficiodeunaempresa,enmilesdeeuros,vienedadoporlafunción

B(x)=3x2+120x+675, x0dondexrepresentaelgastoenpublicidad,enmilesdeeuros.a)(0.75puntos)Calculeelgastoapartirdelcuallaempresanoobtienebeneficios.b) (0.75puntos)Calculeelvalordexqueproducemáximobeneficio. ¿Cuántoesesebeneficio?c)(0.75puntos)Determinelosintervalosdecrecimientoydecrecimientodelbeneficiodelaempresa.d)(0.75puntos)RepresentegráficamentelafunciónB.EJERCICIO3.ParteIEnunapoblación,dondeel45%sonhombresyelrestomujeres,sesabequeel10%deloshombresyel8%delasmujeressoninmigrantes.a)(1punto)¿Quéporcentajedeinmigranteshayenestapoblación?b) (1 punto) Si se elige, al azar, un inmigrante de esta población, ¿cuál es laprobabilidaddequeseahombre?ParteII(2puntos)Tomadaalazarunamuestrade90alumnosdeunInstitutoseencontróqueunterciohablainglés.Halle, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo de confianza para estimar laproporcióndealumnosdeeseInstitutoquehablainglés.

CURSO2007‐2008 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.

a) (1 punto) Dadas las matrices 2 1 3 y152, calcule los

productosC·FyF·C.b) (2 puntos) Dadas las matrices 2 0

1 1 , 1 32 1 1 1

1 0 ,calculelamatrizXqueverifiquelaecuaciónX·A1–B=C.EJERCICIO2.Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:a)(0.75puntos) 1 b)(0.75puntos) 3 c)(0.75puntos) 1 6 d)(0.75puntos) EJERCICIO3.ParteIUnacajacontiene12bombillas,delascuales4estánfundidas.Seeligen,alazarysinreemplazamiento,tresbombillasdeesacaja.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeningunadelastresbombillasestéfundida.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelastresbombillasesténfundidas.ParteIIEltiempodeutilizacióndiariadeordenadorentrelosempleadosdeunaempresasigueunadistribuciónNormaldemediaμydesviacióntípica1.2horas.a)(1.25puntos)Unamuestraaleatoriade40empleadostieneunamediadeltiempodeutilizaciónde2.85horasdiarias.Determineunintervalodeconfianza,al96%,paralamediadeltiempodeutilizacióndiariadeordenador.b) (0.75 puntos) Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra paraestimar la media del tiempo de utilización diaria del ordenador con un error nosuperiora0.75horasyelmismoniveldeconfianzadelapartadoanterior.


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CURSO2007‐2008 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.De las restricciones que deben cumplir las variables x e y en un problema deprogramaciónlinealsededuceelsiguienteconjuntodeinecuaciones:

2y–x8, x+y13, y+4x49, x0, y0.a)(1.5puntos)Representegráficamenteelrecintodeterminadoporestasinecuaciones.b)(1punto)Determinelosvérticesdelrecinto.c)(0.5puntos)ObtengalosvaloresextremosdelafunciónF(x,y)=3x–4y+12eneserecintoeindiqueenquépuntoopuntossealcanzacadaextremo.EJERCICIO2.Sealafunción 6 .a)(1punto)Determinesuspuntosdecorteconlosejes.b)(1punto)Calculesusextremosrelativosysupuntodeinflexión.c)(1punto)Representegráficamentelafunción.EJERCICIO3.ParteIEnunauladeinformáticahay20puestosdeordenador.Deellos,10soncompartidosyotros10sonindividuales.Delospuestoscompartidos,hay3enlosqueelordenadornofunciona,delosindividualeshay2enlosqueelordenadornofunciona.a)(1punto)Seleccionadoalazarunpuestoenelaula,¿cuáleslaprobabilidaddequenofuncioneelordenador?b)(1punto)Siseeligealazarunpuestoenelquefuncionaelordenador,¿cuáles laprobabilidaddequeseacompartido?ParteIIElpeso,enkg,delosalumnosdeprimariadeuncolegiosigueunadistribuciónNormaldemedia28kgydesviacióntípica2.7kg.Consideremosmuestrasaleatoriasde9alumnos.a)(0.5puntos)¿Quédistribuciónsiguelamediadelasmuestras?b)(1.5puntos)Sielegimos,alazar,unadeesasmuestras,¿cuáleslaprobabilidaddequesumediaestécomprendidaentre26y29kg?

CURSO2007‐2008 5

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(2puntos)HallelamatrizXqueverificalaecuación 2 5

1 312 3 4 .

b)(1punto)Determinelosvaloresdexeyquecumplenlaigualdad 1 03 1

2 1 11

EJERCICIO2.Sealafunción 4 1

1.

a)(2puntos)Calculeayb,sabiendoquef(2)=7yquefescontinuaenx=1.b)(1punto)Determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.ParteISedisponedelossiguientesdatossobreelequipamientodeloshogaresdeunaciudad:Enel60%deloshogaressepuedeverlaTDT(TelevisiónDigitalTerrestre)yel70%deloshogaresdisponedeordenador.Deentreloshogaresquedisponendeordenador,el80%puedeverlaTDT.a) (1 punto) ¿Son sucesos independientes “disponer de ordenador” y “poder ver laTDT”?b)(1punto)¿Quéporcentajedehogaresnodisponendeordenadornipuedenver laTDT?ParteII(2puntos)Enuncentrodeanillamientodeavessehadetectadoqueenunamuestrade250ejemplaresdeunaespecie,60sonportadorasdeunabacteria.Obtengaunintervalodeconfianza,al97%,paralaproporcióndeavesdeesaespeciequesonportadorasdelabacteria.


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CURSO2007‐2008 6

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3puntos)Unaempresaproducebotellasdelecheenteraydelechedesnatadaytieneuna capacidad de producciónmáximade 6000botellas al día. Las condicionesde laempresaobliganaquelaproduccióndebotellasdelechedesnatadasea,almenos, laquintapartedelasdelecheenteray,comomáximo,eltripledelamisma.Elbeneficiode la empresa por botella de leche entera es de 20 céntimos y por botella de lechedesnatadaesde32céntimos.Suponiendoquesevendetodalaproducción,determinelacantidaddebotellasdecadatipoqueproporcionaunbeneficiomáximoyelimportedeestebeneficio.EJERCICIO2.Sealafunción 0

1 0.a)(1punto)¿Esfcontinuaenx=0?¿Escontinuaensudominio?b)(1punto)¿Esfderivableenx=0?¿Esderivableensudominio?c)(1punto)Estudielamonotoníadef.EJERCICIO3.ParteI(2puntos)AnayBlasdecidenjugarconundadodelasiguienteforma:“Analanzaeldadoy,sisacaun6,ganayseacabaeljuego.EncasocontrariolanzaBlas,queganasisacaun2oun3,ytambiénseacabaeljuego.Denoocurriresto,lapartidaseacabasinganador.Halle la probabilidad de los siguientes sucesos: “gana Ana”, “gana Blas”, “ningunogana”.ParteII(2 puntos) En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450utilizanhabitualmenteeltransportepúblico.Obtengaelintervalodeconfianza,al90%,de laproporciónderesidentesen laciudadqueutilizanhabitualmenteel transportepúblico.

CURSO2007‐2008 6

OPCIÓNBEJERCICIO1.SeanAyBlasmatricessiguientes: 1 2

0 1 , 0 12 4 .

a)(1punto)Calcule(A+B)·(A–B).b)(2puntos)DeterminelamatrizX,cuadradadeorden2,enlaecuaciónmatricial(A+2B)·X=3I2.EJERCICIO2.a) (1.5puntos)Calcule laecuaciónde larecta tangentea lagráficade enelpuntodeabscisa1.b) (1.5 puntos) Sea la función . Calcule a y b sabiendo que sugráficapresentaunpuntodeinflexiónenelpunto(2,5).EJERCICIO3.ParteIEn una industria de calzado se producen botas y sandalias. De cada 12 paresproducidos,7paressonbotasy5desandalias.Laprobabilidaddequeunpardebotasseadefectuosoes0.08ydequeloseaunpardesandaliases0.03.Seescogealazarunparyresultaser“nodefectuoso”.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequesehayaescogidounpardebotas?b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequesehayaescogidounpardesandalias?ParteIIElconsumo,engramos,deunciertoproductosigueunaleyNormalconvarianza225g2.a)(1punto)Apartirdeunamuestradetamaño25sehaobtenidounamediamuestraliguala175g.Halleunintervalodeconfianza,al90%,paralamediadelconsumo.b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que elcorrespondienteintervalodeconfianza,al95%,tengaunaamplitudmáximade5?


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CURSO2008‐2009 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.a) (1.5 puntos) En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de treslongitudes:0.90m,1.50my2.40m,cuyospreciosrespectivosson4euros,6eurosy10euros.Unclientehacomprado19 listones,conuna longitudtotalde30m,que lehancostado126eurosentotal.Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántoslistonesdecadalongitudhacompradoestecliente.b)(1.5puntos)Clasifiqueelsiguientesistemadeecuacionesyresuélvalo,siesposible:

3 02 2 18 3 0

EJERCICIO2.a) (1.5 puntos) Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por lassiguientesexpresiones:

2 3 ;ln

; .

b)(1.5puntos)Determineeldominioylasasíntotasdelafunción EJERCICIO3.ParteILenayAdriánsonaficionadosaltiroconarco.Lenadaenelblancoconprobabilidad

y Adrián con probabilidad . Si ambos sucesos son independientes, calcule laprobabilidaddelossiguientessucesos:a)(0.6puntos)"Ambosdanenelblanco".b)(0.6puntos)"SóloLenadaenelblanco".c)(0.8puntos)"Almenosunodaenelblanco".ParteIIEnunamuestraaleatoriade100individuossehaobtenido,paralaedad,unamediade17.5años.Sesabeque laedaden lapoblación,de laqueprocedeesamuestra,sigueunadistribuciónNormalconunadesviacióntípicade0.8años.a) (1.5puntos)Obtengaun intervalode confianza,al94%,para la edadmediade lapoblación.

CURSO2008‐2009 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.EnunexamendeMatemáticasseproponeelsiguienteproblema:"Indiquedónde sealcanza elmínimode la funciónF(x, y)=6x+3y–2 en la regióndeterminadaporlasrestricciones2x+y6;2x+5y30;2x–y6."a)(2.5puntos)Resuelvaelproblema.b)(0.5puntos)Anarespondequesealcanzaen(1,4)yBenitoquelohaceen(3,0).¿Esciertoqueelmínimosealcanzaen(1,4)?¿Esciertoquesealcanzaen(3,0)?EJERCICIO2.

a)(1.5puntos)Sealafunción1 2 0

0.

Estudiesucontinuidadysuderivabilidad.b)(1.5puntos)Seconsideranlasfunciones: 2 1 , .Hallesusfuncionesderivadas.EJERCICIO3.ParteIUna encuesta realizada por un banco muestra que el 60% de sus clientes tiene unpréstamohipotecario,el50%tieneunpréstamopersonalyel20%tieneunpréstamodecadatipo.Seelige,alazar,unclientedeesebanco.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequenotenganingunodelosdospréstamos.b)(1punto)Calcule laprobabilidaddequetengaunpréstamohipotecario,sabiendoquenotieneunpréstamopersonal.ParteIIElcocienteintelectualdelosalumnosdeuncentroeducativosedistribuyesegúnunaleyNormaldemedia110ydesviacióntípica15.Seextraeunamuestraaleatoriasimplede25alumnos.a)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediadelcocienteintelectualdelosalumnosdeesamuestraseasuperiora113?b)(0.5puntos)Razonecómoseveríaafectadalarespuestaalapreguntaanteriorsieltamañodelamuestraaumentase.


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CURSO2008‐2009 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3 puntos) Obtenga los valores máximo y mínimo, indicando los puntos donde sealcanzan,delafunciónobjetivoF(x,y)=x–yenlaregióndefinidaporlasrestricciones

6x+y3; 2x+y2; y ; x0; y0.EJERCICIO2.Sealafunciónf(x)=x31.a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía yextremosrelativos,silostuviese.b)(1punto)Determinesucurvaturaypuntodeinflexión.c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene dependiente3.EJERCICIO3.Parte1Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.65. Contesterazonadamentelassiguientespreguntas:a)(0.5puntos)¿SonincompatiblesAyB?b)(0.5puntos)¿SonindependientesAyB?c)(1punto)CalculeP(A/BC).ParteIIUnavariablealeatoriaXsedistribuyedeformaNormal,conmediaydesviacióntípica=0.9.a) (1 punto) Una muestra aleatoria de tamaño 9 ha proporcionado los siguientesvaloresdeX:

7.0,6.4,8.0,7.1,7.3,7.4,5.6,8.8,7.2.Obtengaunintervalodeconfianzaparalamediaconunniveldeconfianzadel97%.b)(1punto)Conotramuestra,sehaobtenidoqueunintervalodeconfianzapara,al95%,eselsiguiente(6.906,7.494).¿Cuáleseltamañodelamuestrautilizada?

CURSO2008‐2009 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. ElfabricanteAenvasael tomateen latasde250g,el fabricanteB loenvasaen latasde500gyelfabricanteCenlatasde1kg.Esaslatasdetomatesevendena1,1.8y3.3euros, respectivamente.Compramosen total20 latas,quepesanun totalde10kgynos cuestan 35.6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemoscomprado.a)(1punto)Planteeelsistemadeecuacionesqueresolveríaelproblemaanterior.b)(2puntos)Resuelvaelproblema.EJERCICIO2.Sealafunciónrealdevariablereal 1 1

1 1.a)(1punto)Representegráficamentelafunción.b)(1punto)Estudielacontinuidaddelafunción.c)(1punto)Estudieladerivabilidaddelafunción.EJERCICIO3.Parte1AyBsondossucesos independientesdeunmismoexperimentoaleatorio, talesqueP(A)=0.4,P(B)=0.6.a)(1punto)CalculeP(AB)yP(AB).b)(1punto)CalculeP(A/B)yP(B/AC).ParteII(2 puntos) Tomando, al azar, una muestra de 80 empleados de una empresa, seencontróque20usabangafas.Halle,conunniveldeconfianzadel90%,unintervalodeconfianzaparaestimarlaproporcióndeempleadosdeesaempresaqueusangafas.


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CURSO2008‐2009 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.(3puntos)Seanlasmatrices:

1 4 10 1 03 1 2

,2 1 30 2 11 0 1

5 2 60 3 22 0 1

.

DetermineXenlaecuaciónmatricialX·A2B=C.EJERCICIO2.Sealafunción .a) (1 punto)Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en elpunto(0,1).b)(1punto)Estudielamonotoníadef.c) (1 punto) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y representegráficamentelafunción.EJERCICIO3.Parte1SeconsiderandossucesosAyB,asociadosaunespaciomuestral,talesque P(AB)=1, P(AB)=0.3 y P(A/B)=0.6.a)(1.5puntos)HallelasprobabilidadesdelossucesosAyB.b)(0.5puntos)DeterminesielsucesoBesindependientedelsucesoA.ParteIIEl gasto que hacen las familias españolas en regalos de Navidad sigue una leyNormal de media desconocida y desviación típica 84 euros. Para estimar estamediaseseleccionóunamuestraaleatoriayseobtuvoel intervalodeconfianza(509.41,539.79),conunniveldeconfianzadel97%.a)(0.5puntos)¿Cuálhasidolamediadelamuestraescogida?b)(1.5puntos)¿Quétamañoteníalamuestra?

CURSO2008‐2009 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1.25puntos)Plantee, sin resolver, el siguienteproblemadeprogramación lineal:"Una empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B. El beneficio que obtiene es de 8eurosporcadacamisaquefabricadeltipoA,yde6eurosporcadaunadeltipoB.Laempresa puede fabricar, como máximo, 100000 camisas, y las del tipo B han desuponer,almenos,el60%deltotal.¿Cuántascamisasdebefabricardecadatipoparaobtenerelmáximobeneficio?"b)(1.75puntos)Representelaregióndefinidaporlasinecuaciones:

yx, y+2x6, x4y+3.CalculeelmáximodeF(x,y)=y+2xenlaregiónanterioreindiquedóndesealcanza.EJERCICIO2.Sealafunción : → definidamediante 0

1 0.a)(1punto)¿Esfcontinuaenx=0?¿Escontinuaensudominio?b)(1punto)¿Esfderivableenx=0?¿Esderivableensudominio?c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto deabscisax=1.EJERCICIO3.Parte1El70%delosvisitantesdeunmuseosonespañoles.El49%sonespañolesymayoresdeedad.Delosquenosonespañoles,el40%sonmenoresdeedad.a)(1punto)Siseescoge,alazar,unvisitantedeestemuseo,¿cuáleslaprobabilidaddequeseamayordeedad?b)(1punto)Sehaelegido,aleatoriamente,unvisitantedeestemuseoyresultaqueesmenordeedad,¿cuáleslaprobabilidaddequenoseaespañol?ParteIILos jóvenesandalucesduermenunnúmerodehorasdiariasquesedistribuyesegúnuna leyNormaldemediadesconocida,,ydesviacióntípica2horas.Apartirdeunamuestrade64jóvenessehaobtenidounamediade7horas.a)(1punto)Halleunintervalodeconfianza,al97%,paralamediapoblacional.b)(1punto)Manteniendolamismaconfianza,¿cuáldebesereltamañomínimodelamuestra para estimar lamedia de horas de sueño, cometiendo un errormáximo de0.25horas?


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CURSO2008‐2009 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(2puntos)Planteeyresuelvaelsistemadeecuacionesdadopor

3 1 2 02 1 20 1

21

120

.

b)(1punto)Dadalamatriz 2 34 5 ,calculelamatriz .

EJERCICIO2.Unalmacenistadefrutashaestimadoqueelbeneficioqueleproducecadakilogramo(kg)defresasdependedelpreciodeventadeacuerdoconlafunción

B(x)=−x2+4x−3siendoB(x)elbeneficioporkgyxelpreciodecadakg,ambosexpresadoseneuros.a)(1.25puntos)¿Entrequépreciosseproducenbeneficiosparaelalmacenista?b)(1.25puntos)¿Quépreciomaximizalosbeneficios?c)(0.5puntos)Sitieneenelalmacén10000kgdefresas,¿cuálseráelbeneficiototalmáximoquepodráobtener?EJERCICIO3.ParteISeanAyBdossucesosdeunexperimentoaleatoriotalesque:

P(AC)=0.2, P(B)=0.25 y P(AB)=0.85.a)(1.25puntos)¿SonlossucesosAyBindependientes?b)(0.75puntos)CalculeP(AC/BC).ParteII(2puntos)Escribatodaslasmuestrasdetamaño2que,mediantemuestreoaleatoriosimple(conreemplazamiento),sepuedenextraerdelconjunto{8,10,12}ydetermineelvalordelavarianzadelasmediasdeesasmuestras.

CURSO2008‐2009 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(3 puntos) Un agricultor posee 10 hectáreas (ha) y decide dedicarlas al cultivo decereales y hortalizas. Por las limitaciones de agua no puede destinar más de 5 ha ahortalizas.Elcultivodecerealestieneuncostede1000euros/ha.yeldehortalizasde3000 euros/ha, no pudiendo superar el coste total la cantidad de 16000 euros. Elbeneficionetoporhadecerealesasciendea2000eurosyeldehortalizasa8000euros.Halleladistribucióndecultivosquemaximizaelbeneficioycalculedichomáximo.EJERCICIO2.Sealafunción 3 1

6 8 1.a)(2puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddelafunciónf.b)(1punto)Calcule laecuaciónde larectatangentea lagráficade la función fenelpuntodeabscisax=3.EJERCICIO3.ParteIUnpolideportivodisponede100bolasdepádely120bolasdetenis.Sesabeque65bolassonnuevas.Además,75bolasdepádelsonusadas.Porunerror,todaslasbolassehanmezclado.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequesielegimos,alazar,unaboladetenis,éstaseausada.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequesielegimos,alazar,unabola,seanueva.ParteIIa)(1punto)Enunapoblación,unavariablealeatoriaXsigueunadistribuciónNormaldemedia50ydesviacióntípica9.Seelige,alazar,unamuestradetamaño64deesapoblación.¿Cuáleslaprobabilidaddequelamediamuestralestécomprendidaentre48y52?b)(1punto)Enunaempresadegastrabajan150personasenmantenimiento,450enoperaciones,200en serviciosy100en cargosdirectivos.Conobjetode realizarunaencuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores de esaempresapormuestreoaleatorioestratificadoconafijaciónproporcional,¿quénúmerodetrabajadoressedebeelegirdecadagrupo?


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CURSO2008‐2009 JUNIO

OPCIÓNAEJERCICIO1.Sea la igualdad A·X + B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la mismadimensión.a)(1punto)DespejelamatrizXenlaigualdadanterior,sabiendoqueAtieneinversa.

b)(2puntos)ObtengaXenlaigualdadanterior,siendoA=

3152 yB=

2130 .

EJERCICIO2.

Sealafunciónf(x)=

01

02

xsixx

xsixx

a)(2puntos)Analicelacontinuidadyderivabilidaddelafunciónensudominio.b)(0.5puntos)Determinelaasíntotahorizontal,silatiene.c)(0.5puntos)Determinelaasíntotavertical,silatiene.EJERCICIO3.ParteIUnturistaquerealizauncrucerotieneun50%deprobabilidaddevisitarCádiz,un40%devisitarSevillayun30%devisitarambasciudades.Calculelaprobabilidaddeque:a)(0.5puntos)Visitealmenosunadelasdosciudades.b)(0.5puntos)Visiteúnicamenteunadelasdosciudades.c)(0.5puntos)VisiteCádiz,peronovisiteSevilla.d)(0.5puntos)VisiteSevilla,sabiendoquehavisitadoCádiz.ParteIIEl tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller dereparación es una variable aleatoria con distribución Normal de desviación típica 4horas.a)(1punto)Seeligieron,alazar,16cochesdeltallerysecomprobóque,entretodos,estuvieron 136horas en reparación.Determine un intervalo de confianza, al 98.5%,paralamediadeltiempoquepermanecenloscochesenesetaller.b) (1punto)Determineel tamañomínimoquedebe tenerunamuestraquepermitaestimarlamediadeltiempoquepermanecenenreparaciónloscochesenesetallerconun error en la estimación no superior a una hora ymedia y con elmismo nivel deconfianzadelapartadoanterior.


OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Dibujaelrecintodefinidoporlassiguientesrestricciones: x+y2, x−y0, y4, x0.b)(1punto)DetermineelmáximoyelmínimodelafunciónF(x,y)=x+yenelrecintoanteriorylospuntosdondesealcanzan.c)(0.5puntos)¿Perteneceelpunto( 3

431 , )alrecintoanterior?Justifiquelarespuesta.

EJERCICIO2.Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de unaciudadindicaqueelniveldecontaminaciónvienedadoporlafunción: C(t)=−0.2t2+4t+25,0t25(t=añostranscurridosdesdeelaño2000)a) (1punto)¿Enquéañosealcanzaráunmáximoenelniveldecontaminación?b) (1punto)¿Enquéañosealcanzaráelniveldecontaminacióncero?c) (1punto)CalculelapendientedelarectatangentealagráficadelafunciónC(t)ent = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento odecrecimiento.EJERCICIO3.ParteIEnuncentroescolar,losalumnosde2ºdeBachilleratopuedencursar,comoasignaturasoptativas, Estadística oDiseñoAsistido porOrdenador (DAO). El 70%de los alumnosestudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60% de los alumnos que estudiaEstadísticasonmujeresy,delosalumnosqueestudianDAOsonhombresel70%.a)(1punto)Elegidounalumnoalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequeseahombre?b) (1punto)Sabiendoquesehaseleccionadounamujer, ¿cuáles laprobabilidaddequeestudieEstadística? ParteIIEn un estudio demercado del automóvil en una ciudad se ha tomado unamuestraaleatoriade300turismos,ysehaencontradoque75deellostienenmotordiésel.Paraunniveldeconfianzadel94%:(1’5 puntos)Determine un intervalo de confianza de la proporción de turismos quetienenmotordiéselenesaciudad.(0’5puntos)¿Cuáleselerrormáximodelaestimacióndelaproporción?


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CURSO2008‐2009 SEPTIEMBREOPCIÓNA

EJERCICIO1.a) (2.5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones ydeterminesusvértices:

3 12; 3 5 1; 1; 0.b) (0.5puntos)Calcule losvaloresextremosde la funciónF(x,y)=5x+15y endicharegiónydóndesealcanzan.EJERCICIO2.Lafunciónderivadadeunafunciónfvienedadaporf'(x)=3x2–12x+9.a)(1.5puntos)Obtengalosintervalosdemonotoníadelafunciónfylosvaloresdexenlosquedichafunciónalcanzasusextremoslocales.b)(0.75puntos)Determinelosintervalosdeconcavidadyconvexidaddelafunciónf.c) (0.75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 5), calcule laecuacióndelarectatangentealagráficadefendichopunto.EJERCICIO3.ParteIUna enfermedad afecta al 10%de la población.Una prueba de diagnóstico tiene lassiguientescaracterísticas:siseaplicaaunapersonaconlaenfermedad,dapositivoenel98%deloscasos;siseaplicaaunapersonaquenotienelaenfermedad,dapositivoenel6%deloscasos.Seeligeunapersona,alazar,yseleaplicalaprueba.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequedépositivo?b)(1punto)Sinodapositivo,¿cuáleslaprobabilidaddequetengalaenfermedad?ParteIISedeseaestimarlaproporcióndefumadoresdeunapoblaciónmedianteunamuestraaleatoria.a)(1punto)Silaproporcióndefumadoresenlamuestraes0.2yelerrorcometidoenla estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%, calcule eltamañomínimodelamuestra.b)(1punto)Sienotramuestradetamaño280elporcentajedefumadoresesdel25%,determine, para un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo deconfianzaparalaproporcióndefumadoresdeesapoblación.

CURSO2008‐2009 SEPTIEMBRE


0 2 , 3 11 1 .

a)(1punto)CalculeA2y2B+I2.b)(2puntos)ResuelvalaecuaciónmatricialA·X–I2=2B2.EJERCICIO2.Sealafunciónf(x)=ax3+bx2+x.a)(1.5puntos)Determineelvalorde losparámetrosayb sabiendoque la función ftieneunmáximoenx=1yquef(1)=2.b)(1.5puntos)Paraa=b=1,hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3.Parte1En una editorial hay dosmáquinas A y B que encuadernan 100 y 900 libros al día,respectivamente.Además,sesabeque laprobabilidaddequeun libroencuadernadopor A tenga algún fallo de encuadernación es del 2%, y del 10% si ha sidoencuadernado por la máquina B. Se elige, al azar, un libro encuadernado por esaeditorial.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequenoseadefectuoso.b)(1punto)Siesdefectuoso,hallelaprobabilidaddehabersidoencuadernadoporlamáquinaA.ParteIIEltiempoquesetardaenlacajadeunsupermercadoencobraralosclientessigueunaleyNormalconmediadesconocidaydesviacióntípica0.5minutos.Paraunamuestraaleatoriade25clientesseobtuvountiempomediode5.2minutos.a)(1punto)Calculeunintervalodeconfianza,alniveldel97%,paraeltiempomedioquesetardaencobraralosclientes.b)(1punto)Indiqueeltamañomuestralmínimonecesarioparaestimardichotiempomedioconunerrormáximode0.5yunniveldeconfianzadel96%.


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CURSO2009‐2010 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seaelrecintodelplanodefinidoporelsiguientesistemadeinecuaciones: x+y3; x+y3; x2; y0a)(1punto)Represéntelográficamente.b)(1punto)Calculelosvérticesdedichorecinto.c)(0.5puntos) ¿Cuáles son los valoresmáximoymínimode la funciónobjetivoF(x,y)=2xy?¿Enquépuntossealcanzandichosvalores?EJERCICIO2.En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión enpublicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles deeuros, viene dado por la expresión B(x) = 0.5x2 – 4x + 6, siendo x la inversión enpublicidad,enmilesdeeuros,conxenelintervalo[0,10].a)(1punto)¿Paraquévaloresdelainversiónlaempresatienepérdidas?b) (1 punto) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener elmayorbeneficioposible?c)(0.5puntos)¿Cuáleselbeneficiosinose inviertenadaenpublicidad?¿Hayalgúnotrovalordelainversiónparaelcualseobtieneelmismobeneficio?EJERCICIO3.DedossucesosaleatoriosAyBdelmismoespaciodesucesossesabeque ,

∩ .Calcule:a)(0.75puntos)Laprobabilidaddequeseverifiquealgunodelosdossucesos.b)(0.75puntos)Laprobabilidaddequenoocurraningunodelosdossucesos.c)(1punto)LaprobabilidaddequeocurraAsisehaverificadoB.EJERCICIO4.a) (1.25 puntos) En una población de 2000 hombres y 2500 mujeres se quiereseleccionar unamuestra de 135 personasmediantemuestreo aleatorio estratificadoconafijaciónproporcional,¿cuálseríalacomposicióndelamuestra?b)(1.25puntos)Dadalapoblación{6,8,11,a},¿cuántodebevalerasabiendoquelamediadelasmediasmuestralesdetamaño3,obtenidasmediantemuestreoaleatoriosimple,es10.3?

CURSO2009‐2010 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1punto)SeanA,ByCmatricescon2,3y2filasrespectivamente.SabiendoqueelproductodematricesA·B·Cesposibleyqueelresultadoesunamatrizcon4columnas,hallelasdimensionesdedichasmatrices.b) (1.5 puntos) Halle la matriz X que verifica I2 2X = A·(A Bt), siendo

1 12 1 0 2

1 2 .EJERCICIO2.


.

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddelafunción.b)(1punto)Represéntelagráficamente.EJERCICIO3.El60%deloscamarerosdeunalocalidadtienen35añosomás,ydeellosel70%sondueños del local donde trabajan. Por otra parte, de los camareros conmenos de 35añossóloel40%sondueñosdellocaldondetrabajan.a)(1.25puntos)Seleccionadouncamareroalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequenoseadueñodellocal?b)(1.25puntos)Elegidoalazaruncamarerodueñodesulocal,¿cuáleslaprobabilidaddequetengamenosde35años?EJERCICIO4.(2.5puntos)Unamáquinadeenvasadoestádiseñadaparallenarbolsascon300gdealmendras. Para comprobar si funciona correctamente, se tomaunamuestrade100bolsasyseobservaquesupesomedioesde297g.Suponiendoquelavariable“peso”tieneunadistribuciónNormalconvarianza16,yutilizandouncontrastebilateral¿esaceptable,aunniveldesignificaciónde0.05,queelfuncionamientodelamáquinaescorrecto?


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CURSO2009‐2010 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seanlasmatrices 1

0 2 , 10 3 1 3

2 5 .a)(1punto)HallelosvaloresdeaybparaqueseverifiqueAB+A·Bt=C.b) (0.75 puntos) ¿Existe algún valor deb para el que el productoB·Bt sea igual a lamatriznula?c)(0.75puntos)Paraa=0.5yb=1,hallelamatrizXqueverificalaigualdadA·X+B=O(Orepresentalamatriznula).EJERCICIO2.Seanlasfunciones

2 1 02 0 1

, 2 1 02 0 1

a)(1punto)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddelafunciónfenx=0.b)(1punto)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddelafunciónhenx=0.c) (0.5 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arcopuntiagudodeunacatedralyeldeunarcoredondeado(sinpicos)deuntúnel,indique,razonadamente,laquecorrespondealacatedralylaquecorrespondealtúnel.EJERCICIO3.UnaempresautilizadosservidoresparaconectarseaInternet.Elprimero,S1,loutilizael45%delasvecesyelsegundo,S2,elresto.CuandoseconectaaInternetconS1,losordenadoressebloqueanel5%delasveces,ycuandolohaceconS2el8%.Siundía,alazar,laempresaestáconectadaaInternet,a) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que los ordenadores se quedenbloqueados?b)(1.25puntos)¿CuáleslaprobabilidaddequelaempresaestéutilizandoelservidorS1,sabiendoquelosordenadoressehanquedadobloqueados?EJERCICIO4.Deunamuestraaleatoriade350individuosdeunapoblación,50sonadultos.a)(1.5puntos)Calculeunintervalodeconfianza,al98%,paralaproporcióndeadultosdeesapoblación.b)(1punto)¿Puedeadmitirse,aeseniveldeconfianza,quelaproporcióndeadultosdeesapoblaciónes2/15?

CURSO2009‐2010 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones ydeterminesusvértices: x2; y4x+8; 3y–4x–160.b)(0.5puntos)CalculelosvaloresmáximoymínimodelafunciónF(x,y)=3x–y,ylospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2.Elgerentedeunaempresasabeque losbeneficiosde lamisma, f(x),dependende lainversión,x,segúnlafunciónf(x)=–x2+11x–10.(xeslacantidadinvertida,enmillonesdeeuros).a)(0.75puntos)Determinelosvaloresdelainversiónparalosquelafunciónbeneficioesnonegativa.b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿Acuántoasciendeéste?c)(0.75puntos)¿Entrequévaloreshadeestarcomprendidalainversiónparaqueelbeneficioseacreciente,sabiendoqueésteesnonegativo?EJERCICIO3.Enun centrodeenseñanza secundaria se sabequeel45%de los alumnos jueganalfútbol, que el 60%practican atletismo, y que de los que practican atletismo el 50%jueganalfútbol.a)(0.75puntos)¿Quéporcentajedealumnospracticanambosdeportes?b)(0.75puntos)Siseeligealazarunalumnodeesecentro,¿cuáleslaprobabilidaddequenopractiqueningunodeestosdeportes?c)(1punto)Siunalumnodeesecentronojuegaalfútbol,¿cuáleslaprobabilidaddequepractiqueatletismo?EJERCICIO4.(2.5puntos)Sesabeque losañosdevidade los individuosdeunapoblaciónesunavariablealeatoriaNormalcondesviacióntípica8.9años.Unamuestraaleatoriade100individuos de esa población mostró una vida media de 71.8 años. Mediante uncontrastedehipótesisunilateral,¿puedeafirmarseconlosdatosanterioresquelavidamediaesmayorde70años,aunniveldesignificaciónα=0.05?


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CURSO2009‐2010 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5puntos)Uncomerciantequieredarsalidaa400kgdeavellanas,300kgdenuecesy400kgdealmendras.Paraellohacedostiposdelotes:losdetipoAcontienen2kgdeavellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg deavellanas,1kgdenuecesy4kgdealmendras.Elpreciodeventadecadaloteesde20eurosparalosdeltipoAyde40eurosparalosdeltipoB.¿Cuántoslotesdecadatipodebevenderparaobtenerelmáximoingresoyacuántoasciendeéste?EJERCICIO2.

Sealafuncióndefinidapor0

4 0 41 4

a)(1.75puntos)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.b)(0.75puntos)Determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónenelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.El41%dequienessepresentanaunexamensonvarones.Apruebandichoexamenel70%delosvaronespresentadosyel60%delasmujerespresentadas.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar haaprobado,seamujer.b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar hasuspendido,seamujer.c) (0.5puntos)Anadicequesi alguienhaaprobado,esmásprobablequeseamujerquevarón;Benitodicequesi alguienhasuspendidoesmásprobableque seamujerquevarón.¿Quiéntienerazón?EJERCICIO4.Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido políticomedianteunamuestraaleatoria.a)(1.25puntos)Sideunamuestrade500personas200dicenquelovotan,calculeconun nivel de confianza del 97% un intervalo para la proporción de votantes a esepartidoenlapoblación.b) (1.25puntos)Si laproporcióndevotantesenotramuestraha sido0.2y el errorcometidoenlaestimaciónhasidoinferiora0.05,conunniveldeconfianzadel99%,calculeeltamañomínimodedichamuestra.

CURSO2009‐2010 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seconsideraelrecintodelplanodeterminadoporlossiguientessemiplanos: 4x–y4; 2x+y15; 3y–x10; y0.a)(1.5puntos)Representeelrecintoycalculesusvértices.b)(0.5puntos)CalculelospuntosdelrecintodondelafunciónF(x,y)=4x–7yalcanzaelmáximoyelmínimo.c)(0.5puntos)¿EntrequévaloresvaríalafunciónF(x,y)=4x–7yenelrecinto?EJERCICIO2.Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. Elvolumendeagua,enm3,quehayencadamomentoeneldepósito,desdequeempiezaavaciarse,vienedadoporlafunción 8 ,dondeteseltiempoenminutos.a)(0.5puntos)¿Cuáleslacapacidaddeldepósito?b)(0.5puntos)¿Cuántotiempotardaenvaciarse?c)(0.8puntos)RepresentegráficamentelafunciónV.d)(0.7puntos)Calculeladerivadadeesafunciónent=8einterpretesusignificado.EJERCICIO3.Una persona lanza dos veces consecutivas un dado equilibrado, con las carasnumeradasdel1al6.a) (0.5 puntos) Determine el número de resultados del espacio muestral de esteexperimentoaleatorio.b)(1.5puntos)SeaAelsuceso“lamayordelaspuntuacionesobtenidasesmenorque4”yBelsuceso“laprimerapuntuaciónesimpar”.HallelaprobabilidaddeAyladeB.c)(0.5puntos)¿SonindependientesAyB?EJERCICIO4.SesabequeeltiempodereacciónaundeterminadoestímulosedistribuyesegúnunaleyNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica0.2segundos.a) (1.25puntos)Observadaunamuestraaleatoriade tamaño25sehaobtenidounamediamuestralde0.3segundos.Obtengaunintervalodeconfianzaparalamediadelapoblaciónconunniveldeconfianzadel94%.b) (1.25 puntos) A un nivel de confianza del 90%, ¿cuál será el tamaño muestralmínimosielerrorcometidoesinferiora0.05?


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CURSO2009‐2010 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5 puntos)Un supermercado se abastecede gambas y langostinos a travésdedosmayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambosproductos.El mayorista A envía en cada contenedor 2 cajas de gambas y 3 de langostinos, alpreciode350euroselcontenedor,mientrasqueelmayoristaBenvíaencadauno1cajadegambasy5delangostinos,alpreciode550euroselcontenedor.El supermercado necesita, comomínimo, 50 cajas de gambas y 180 de langostinospudiendoalmacenar,comomáximo,50contenedores.¿Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista parasatisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese costemínimo.EJERCICIO2.Sealafunción 2 a) (1.25puntos)Determine los valoresdea yb sabiendoque su gráficapasapor elpunto(1,3)yalcanzaunextremolocalenelpuntodeabscisax=−2.b)(1.25puntos)Tomandoa=8yb=−10deduzcalacurvaturadesugráfica,elvalormínimoquealcanzalafunciónylosvaloresdondelafunciónseanula.EJERCICIO3.En el experimento aleatorio consistente en lanzarundadoequilibrado con las carasnumeradasdel1al6yobservarelresultadoseconsideranlossiguientessucesos:A:“obtenerunnúmeromayorque4”,B:“obtenerunnúmeropar”.a)(1punto)Escribaloselementosdecadaunodelossiguientessucesos: A; B; ACB; ABC; (AB)C.b)(1.5puntos)CalculelasprobabilidadesP(ACBC)yP(ACBC).EJERCICIO4.En los individuos de una población, la concentración de una proteína en sangre sedistribuyesegúnuna leyNormaldemediadesconocidaydesviación típica0.42g/dl.Setomaunamuestraaleatoriade49individuosyseobtieneunamediamuestralde6.85g/dl.a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 96%, para estimar laconcentraciónmediadelaproteínaensangredelosindividuosdeesapoblación.b)(1.25puntos)¿Essuficienteeltamañodeesamuestraparaobtenerunintervalodeconfianza,al98%,conunerrormenorque0.125g/dl?

CURSO2009‐2010 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1punto)Dibujeelrecintodelplanodefinidoporlasinecuaciones:

x+3y9; 4x–5y+250; 7x–2y17; x0; y0.b)(1punto)Calculelosvérticesdelmismo.c) (0.5puntos)Obtengaendichorecinto losvaloresmáximoymínimode la funciónF(x,y)=2x–y+6ylospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:

2 53

1 2, 3 2 ln 1

b)(1punto)Hallelasasíntotasylospuntosdecorteconlosejesde EJERCICIO3.Una fábrica posee un sistema de alarma contra robos. Por estudios previos a lainstalacióndelsistemasesabequelaprobabilidaddequeundíaseproduzcaunroboenlafábricaes0.08.Lasindicacionestécnicasdelfabricantedelaalarmadicenquelaprobabilidaddequesuenesisehaproducidounroboes0.98,ydequesuenesinohahabidoroboes0.03.a) (1.25 puntos) En un día cualquiera calcule la probabilidad de que no suene laalarma.b)(1.25puntos)Sisuenalaalarma,¿cuáleslaprobabilidaddequenoseadebidoaunrobo?EJERCICIO4.Elpesode lossacosdepatatasdeunacooperativaesunavariablealeatoriaNormalcondesviacióntípica0.25kg.Elagentedeventasdeesacooperativaafirmaqueelpesomediodelossacosnobajade5kg.Se desea contrastar estadísticamente esta hipótesis. Para ello se toma una muestraaleatoriade20sacosyseobtienequesupesomedioesde4.8kg.a)(0.5puntos)Determinelashipótesisdelcontrastequeseplanteaenesteenunciado.b)(1punto)Hallelaregióncríticadeestecontrasteparaα=0.01.c)(1punto)Conlosdatosdelamuestratomada,¿puededecirsequeexisteevidenciaestadísticasuficientepararechazarlahipótesisdelagentedeventasdelacooperativa,alniveldesignificaciónα=0.01?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.Seaelrecintodefinidoporlasinecuacionessiguientes:

x+y15; x2y; 0y6; x0a)(1punto)Representegráficamentedichorecinto.b)(1punto)Calculesusvértices.c)(0.5puntos)DetermineelmáximovalordelafunciónF(x,y)=8x+5yenelrecintoanteriorydóndesealcanza.EJERCICIO2.Sealafunción 2 .Calcule:a)(1punto)Losintervalosdecrecimientoydecrecimiento.b)(1punto)Lascoordenadasdesusextremosrelativos.c)(0.5puntos)Elpuntodelagráficaenelquelapendientedelarectatangenteadichagráficaes4.EJERCICIO3.Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche.Cuando va en autobús llega tarde el 20%de las veces y cuando va en coche llega atiemposóloel10%delasveces.Elegidoundíacualquieraalazar,determine:a)(0.75puntos)Laprobabilidaddequellegueatiempoaclaseyhayaidoenautobús.b)(0.75puntos)Laprobabilidaddequelleguetardeaclase.c)(1punto)Sihallegadoatiempoaclase,¿cuáleslaprobabilidaddequenohayaidoenautobús?EJERCICIO4.Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de lostrabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500trabajadores,delosque118afirmanresidirenotraciudad.Conunniveldeconfianzadel93%,a)(1.75puntos)Calculeunintervalodeconfianzaparalaproporcióndetrabajadoresqueresidenfuera.b)(0.75puntos)Calculeelerrorcometidoenelintervaloanterior.



3 1 1 21 0 .

a)(1punto)CalculeAt·BA·Bt.b)(1.5puntos)ResuelvalaecuaciónmatricialAX+BA=B.EJERCICIO2.Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:a)(0.8puntos) .b)(0.8puntos) 1 3 .c)(0.9puntos) 2 .EJERCICIO3.Delas180personasqueasistenauncongresomédico,100sonmujeres.Observandolasespecialidadesdeloscongresistas,vemosquedelas60personasquesonpediatras20sonmujeres.Seeligealazarunapersonaasistentealcongreso.a)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseamujerypediatra?b)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequenoseahombreniseapediatra?c)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseapediatra?EJERCICIO4.Unagricultorpiensaquelaproducciónmediapornaranjo,ensufinca,esde88kgomás. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa suproducciónyobtienecomoresultado,enkg,paracadaunodeellos: 80, 83, 87, 95, 86, 92, 85, 83, 84, 95.Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal condesviacióntípica5kg.a)(1.5puntos)Planteeelcontrastedehipótesisunilateralquerespondaalascondicionesdelproblemaydeterminelaregióncríticaparaunniveldesignificaciónα=0.05.b)(1punto)Conlosdatosdeestamuestra,¿quéconclusióndebeobtenerelagricultorsobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel designificación?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.Seaelrecintodelplanodefinidoporelsiguientesistemadeinecuaciones: 3x+y4; x+y6; 0y5.a)(1punto)Represéntelográficamente.b)(1punto)Calculelosvérticesdedichorecinto.c)(0.5puntos)Enelrecintoanterior,hallelosvaloresmáximoymínimodelafunciónF(x,y)=5x+3y.¿Enquépuntossealcanzandichosvalores?EJERCICIO2.Unconsultoriomédicoabrealas5delatardeycierracuandonohaypacientes.Laexpresiónquerepresentaelnúmeromediodepacientesenfuncióndeltiempoenhoras,t,quellevaabiertoelconsultorioesN(t)=4tt2.a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es esemáximo?b)(1punto)Sabiendoqueelconsultoriocierracuandonohaypacientes,¿aquéhoracerrará?c)(0.5puntos)RepresentegráficamenteN(t)=4tt2,conN(t)0.EJERCICIO3.Enunacapitalseeditandosperiódicos,CIUDADyLAMAÑANA.Sesabequeel85%delapoblaciónleealgunodeellos,queel18%leelosdosyqueel70%leeCIUDAD.Sielegimosalazarunhabitantedeesacapital,hallelaprobabilidaddeque:a)(0.75puntos)Noleaningunodelosdos.b)(0.75puntos)LeasóloLAMAÑANA.c)(1punto)LeaCIUDAD,sabiendoquenoleeLAMAÑANA.EJERCICIO4.(2.5puntos)Enunadeterminadaespecieanimalelporcentajedemortalidaddebidaaunaenfermedadvíricaesdealmenosun40%.Seestárealizandounestudioparaprobarlaeficaciadeunfármacoquepermitetrataresa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esaespecie.Paraello,sesuministróelfármacoa50sujetosenfermos,elegidosalazar,delosquemurieron14.Alavistadeestosdatos,ytomandocomoniveldesignificación0.015,¿sepuedeafirmarqueexisteevidenciaestadísticasuficientepararechazarlahipótesisH0:p0.4,dondepeslaproporción,yporlotantoaceptarlaeficaciadelfármaco?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Seanlasmatrices: 1 2

0 , 1 1 58 4 6

10 10 50 .a)(1punto)Calcule,siesposible,P·QyQ·P,razonandolarespuesta.b)(1.5puntos)¿Cuántodebenvalerlasconstantesa,b,cydparaqueP·2Q=R?EJERCICIO2.Sealafunción 2 3 1

6 5 1

a)(0.5puntos)Calculeelvalordeaparaquefseacontinuaenx=1.b)(2puntos)Paraa=1,representesugráficay,alavistadeella,indiquesumonotoníaylascoordenadasdesusextremoslocales.EJERCICIO3.Undadotieneseiscaras,tresdeellasmarcadasconun1,dosmarcadasconunaXylaotramarcadaconun2.Selanzatresvecesesedado.a)(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddeobtenertresvecesel1?b)(1punto)¿CuáleslaprobabilidaddeobtenerdosXyun2encualquierorden?c)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddeobtenertresresultadosdiferentes?EJERCICIO4.a) (1.25puntos)Laalturade losalumnosdeunaUniversidadsigueunadistribuciónNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica11cm.Calculeeltamañomínimoqueha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido alestimarlaalturamediaseainferiora1cm,conunniveldeconfianzadel98%.b)(1.25puntos)Dadalapoblación{10,12,17},escribatodaslasmuestrasdetamaño2mediantemuestreo aleatorio simple y calcule lamedia y la desviación típica de lasmediasmuestrales.


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CURSO2010‐2011 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.a) (1.2 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientesinecuaciones 6x−y+9≥0, 2x+5y−13≤0, 2x−3y−5≤0.b)(0.9puntos)Determinelosvérticesdelrecintoanterior.c)(0.4puntos)HallelosvaloresmáximoymínimodelafunciónF(x,y)=3x−2y+3enelrecintodelprimerapartado,yespecifiqueenquépuntoslosalcanza.EJERCICIO2.

Sealafunción4 2

2 44 1 4

a)(1punto)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddef.b)(0.5puntos)Determinelosextremoslocalesdef.c) (1 punto)Calcule la ecuaciónde la recta tangente a la gráfica de la función en elpuntodeabscisax=3.EJERCICIO3.Unexamenconstadeunaparteteóricayunapartepráctica.Laprobabilidaddequeseapruebe laparte teóricaes0.7y ladequeseapruebe lapartepráctica0.75.Sesabequeel50%delosalumnoshaaprobadoambas.a)(0.75puntos)Calculelaprobabilidaddeaprobaralgunadelasdospartes.b)(0.75puntos)Calculelaprobabilidaddeaprobarlaparteprácticasabiendoquenosehaaprobadolaparteteórica.c)(1punto)¿Sonindependienteslossucesos“aprobarparteteórica”y“aprobarpartepráctica”?EJERCICIO4.Eldirectordeunatelevisiónafirmaqueunnuevoprogramaquevaaemitirseserávisto,al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizó una encuesta a 500personas,elegidasalazar,yéstarevelóque130deellashabíanvistoeseprograma.a)(0.5puntos)Formulelahipótesisnulaylaalternativadelcontrastedehipótesisquepermite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con laafirmacióndeldirector.b)(1punto)Hallelaregióncríticadeesecontrasteparaunniveldesignificacióndel5.5%.c)(1punto)Segúneldatoobtenidoenelapartadoanterior¿quéconclusiónseobtienesobrelaafirmaciónrealizadaporeldirectordeesatelevisión?

CURSO2010‐2011 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1.5 puntos) Dadas las matrices 0 3 1

1 0 2 2 3 11 1 0 , razone

cuálesdelassiguientesoperacionestienensentidoyefectúelasquepuedanrealizarse:M+Nt,Mt⋅N,M⋅N.b)(1punto)Unindustrialcafeteroproducedostiposdecafé,naturalydescafeinado,entresmodalidadescadauno,A,ByC.SehananotadoenlamatrizPlospesos,enkg,delcaféqueelindustrialproducedecadaunadelasmodalidadesdecadatipo,yenlamatrizQlospreciosalosquevendeelkgdecadaproductofinal:

P: .550 400 240260 200 100 Q: .

2.20 2.75 2.503.20 3.90 3.60

Efectúe el producto P⋅Qt y explique el significado económico de cada uno de loselementosdeladiagonalprincipaldelamatrizresultante.EJERCICIO2.(2.5puntos)Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:

2; 1 4 ;

13

52

EJERCICIO3.Pedroviveenunaciudaddondeel40%de losdíasdelañohayriesgode lluviayelresto no lo hay. Cuandohay riesgode lluvia, Pedro coge el paraguas un 98%de lasvecesycuandonolohay,un5%delasveces.Siseseleccionaundíadelañoalazar,a)(1.25puntos)¿cuáleslaprobabilidaddequePedronohayacogidoelparaguasesedía?b)(1.25puntos)¿cuáleslaprobabilidaddequeexistariesgodelluvia,sisabemosqueesedíaPedrohacogidoelparaguas?EJERCICIO4.El pesonetode las tabletasde chocolatedeunadeterminadamarca esunavariablealeatoriaNormal conmediaμydesviación típica7gramos. Se sabeque36 tabletas,elegidasalazar,handadounpesototalde5274gramos.a)(1.25puntos)Calculeunintervaloconunniveldeconfianzadel94%paralamediaμ.b) (1.25 puntos) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, comomínimo,habráquetomarcomomuestraparaquelaamplituddelintervaloqueseobtengasea,comomáximo,de3gramos?


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CURSO2010‐2011 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.a) (1.5 puntos) De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguienteselementos a12=a21=2, a13=a31=0, a23=a32=1.Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse laecuación A⋅B=Ct,dondeBt=(1 −1 1)yC=(−4 2 −1).b)(1punto)Calcule2D2,siendo 1 5

3 5 EJERCICIO2.Elbeneficio,enmilesdeeuros,alcanzadoenunatiendaderopaelpasadoaño,vienedadoporlafunciónB(t)expresadaacontinuación:

5 0 6

6 12,teseltiempotranscurridoenmeses.

a)(1punto)Estudieladerivabilidaddelafunciónalcabode6meses.b)(0.5puntos)¿Cuándofuemínimoelbeneficio?¿Cuálfuedichobeneficio?c) (1 punto) Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo elbeneficio?¿Acuántoascendió?EJERCICIO3.Enunaciudad,el55%delapoblaciónconsumeaceitedeoliva,el30%degirasol,yel20%ambostiposdeaceite.Seescogeunapersonaalazar:a) (1 punto) Si consume aceite de oliva, ¿cuál es la probabilidad de que consumatambiénaceitedegirasol?b)(1punto)Siconsumeaceitedegirasol,¿cuáleslaprobabilidaddequenoconsumaaceitedeoliva?c)(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequenoconsumaningunodelosdostiposdeaceite?EJERCICIO4.ElpesodelosadultosdeunadeterminadapoblaciónsigueunadistribuciónNormaldemedia70kgydesviacióntípica16kg.Sielegimos,alazar,muestrasdetamaño4,a)(0.5puntos)¿cuálesladistribucióndelamediamuestral?b) (1punto)¿cuáles laprobabilidaddequeelpesomediodeunadeesasmuestrasestécomprendidoentre65y72kg?c)(1punto)¿cuáleslaprobabilidaddequeesepesomedioseamenorque70kg?

CURSO2010‐2011 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.SeconsideraelrecintoRdelplanodeterminadoporlassiguientesinecuaciones: 13x+8y≤600; 3(x−2)≥2(y−3); x−4y≤0.a)(1.75puntos)RepresentegráficamenteelrecintoRycalculesusvértices.b)(0.75puntos)CalculeelvalormáximoendichorecintodelafunciónF(x,y)=65x+40y,indicandodóndesealcanza.EJERCICIO2.a)(1.5puntos)Lagráficadelafunciónderivada,f ‘,deunafunciónfesunaparábolaquecortaalejeOXenlospuntos(−1,0)y(3,0),ytienesuvérticeen(1,−4).Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cadaextremorelativo.b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

2 enelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3.El30%de losaparatosque lleganaun servicio técnicopara ser reparadosestánengarantía.Delosquenoestánengarantía,el20%yafueronreparadosenotraocasiónyde losquesí loestán,solamenteun5%fueronreparadosanteriormente.Seeligeunaparatoalazarenelserviciotécnico:a)(1.25puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequehayasidoreparadoenotraocasión?b) (1.25 puntos) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, ¿cuál es laprobabilidaddequeestéengarantía?EJERCICIO4.Conelfindeestudiarelpesomediodelosperrosreciénnacidosdeunadeterminadaraza, se tomó unamuestra en una clínica veterinaria y se obtuvieron los siguientespesos,medidosenkg: 1.2 0.9 1 1.2 1.1 1 0.8 1.1SesabequeelpesodeloscachorrosdeestarazasedistribuyesegúnunaleyNormalcondesviacióntípica0.25kg.a)(1.5puntos)Obtengaunintervalodeconfianzaparaestimarlamediapoblacional,al95%.b)(0.5puntos)Halleelerrormáximoquesecometeríausandoelintervaloanterior.c) (0.5 puntos) Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si,manteniendoelmismoniveldeconfianza,aumentásemoseltamañodelamuestra.


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CURSO2010‐2011 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.

a)(1.25puntos)Dadalamatriz1 5 60 1 70 0 1

,calcule .

b)(1.25puntos)Dadaslasmatrices 13 , 1

3 , 510 ,determineay

bdemaneraqueB·C–D=O,siendoOlamatriznula.EJERCICIO2.Unbanco lanza almercadounplande inversión cuya rentabilidadR(x), enmilesdeeuros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también enmiles deeuros,porlasiguienteexpresión:

R(x)=−0.001x2+0.4x+3.5, conx≥10.a)(0.5puntos)Calculelarentabilidadparaunainversiónde100000euros.b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener lamáximarentabilidad.c)(0.5puntos)¿Quérentabilidadmáximaseobtendría?EJERCICIO3.Unjugadorlanzaalavezundadoyunamoneda.a)(1punto)Construyaelespaciomuestraldeesteexperimentoaleatorio.b)(1punto)Determine laprobabilidaddelsucesoA:“El jugadorobtieneunnúmeropareneldadoycruzenlamoneda”.c)(0.5puntos)Sisabemosqueenlamonedahasalidocara,¿cuáleslaprobabilidaddequeeneldadohayasalidomásde3puntos?EJERCICIO4.En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribuciónNormal de media 6.2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó,aleatoriamente,unamuestradetamaño25.a)(1punto)Indiqueladistribucióndelamediadelasmuestrasdetamaño25.b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que lamedia de las calificaciones de losalumnosdeunadeesasmuestrasestécomprendidaentre6y6.6puntos?

CURSO2010‐2011 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1.5 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema deinecuacionesydeterminesusvértices:

y≥200−2x, x−100≤3y, x+2y≤600, x≥0.b)(1punto)SabiendoqueA(0,2),B(1,4),C(3,4),D(4,2)yE(2,1)sonlosvérticesdeunaregiónfactible,determineenellaelmínimoyelmáximodelafunciónF(x,y)=10x+5y+21,eindiquelospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafunción1 2 12 3 1 38 15 3

a)(0.75puntos)Calculeelvalordeaparaquefseacontinuaenx=1.b)(1.75puntos)Paraa=2estudielacontinuidadyladerivabilidaddef.EJERCICIO3.Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana y Manolo practican elsiguiente juego: Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, acontinuaciónManoloextraeunabolayanotasucolor.SilasdosbolasextraídastienenelmismocolorganaAna,sisólohayunabolablancaganaManolo,yenotrocasohayempate.a)(1.25puntos)CalculelaprobabilidaddequeganeAna.b)(1punto)CalculelaprobabilidaddequeganeManolo.c)(0.25puntos)Calculelaprobabilidaddequehayaempate.EJERCICIO4.(2.5puntos)Unestudiosociológicoafirmaqueel70%de las familiascenaviendo latelevisión.Sedeseacontrastarlaveracidaddeestaafirmacióny,paraello,setomaunamuestrade500familias,enlaqueseobservaque340venlatelevisiónmientrascenan.Decida,medianteuncontrastedehipótesis,si laafirmaciónesciertaconunniveldesignificaciónde0.01.


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CURSO2010‐2011 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices0 1 01 0 10 1 0

0 1 11 0 11 1 0

a)(1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial2⋅X−C⋅D=(I3+D)⋅C.b) (1 punto) Si lasmatricesC yD son lasmatrices de adyacencia de dos grafos, devértices a, b, c y 1, 2, 3, respectivamente, haga la representación gráfica de dichosgrafos.EJERCICIO2.Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que elconsumodegasolina,c(x),expresadoenlitros,vienedadoporlafunción

c(x)=7.5−0.05x+0.00025x2,siendoxlavelocidadenkm/hy25≤x≤175.a)(0.5puntos)Determineelconsumodegasolinaalasvelocidadesde50km/hy150km/h.b)(1punto)Estudieelcrecimientoydecrecimientodelafunciónc(x).c) (1punto) ¿Aquévelocidadesdeese intervalo seobtieneelmínimoconsumoyelmáximoconsumoycuálessonéstos?EJERCICIO3.Seandossucesos,AyB,talesqueP(A)=0.5,P(B)=0.4yP(A/B)=0.5.a)(1punto)Hallelaprobabilidaddequeseverifiquealgunodelosdossucesos.b)(0.75puntos)CalculelaprobabilidaddequenoseverifiqueBsisehaverificadoA.c)(0.75puntos)¿SonindependienteslossucesosAyB?Razonelarespuesta.EJERCICIO4.Eldirectordeunbancoafirmaquelacantidadmediadedineroextraído,porcliente,deun cajero automático de su sucursal no supera los 120 euros. Para contrastar estahipótesiseligealazar100extraccionesdeestecajeroyobtieneunamediamuestralde130 euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajeroautomático se distribuye según una ley Normal demedia desconocida y desviacióntípica67euros.a)(0.5puntos)Planteeelcontrastedehipótesisasociadoalenunciado.b)(1punto)Determinelaregióndeaceptación,paraunniveldesignificaciónα=0.05.c) (1 punto) Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística pararechazarlahipótesisdeestedirector,conelmismoniveldesignificaciónanterior?

CURSO2010‐2011 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5puntos)Unaempresaelaboradosproductos,AyB.CadaunidaddeArequiere2horasenunamáquinay5horasenunasegundamáquina.CadaunidaddeBnecesita4horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente sedisponede100horasenlaprimeramáquinayde110horasenlasegunda.Silaempresaobtieneunbeneficiode70eurosporcadaunidaddeA,yde50eurosporcadaunidaddeB,¿quécantidadsemanaldecadaproductodebeproducirconobjetodemaximizarelbeneficiototal?¿Cuálesesebeneficio?EJERCICIO2.

Seconsideralafuncióndadapor 0

0

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddef.b)(1punto)Hallelasecuacionesdelasasíntotasdeestafunción.EJERCICIO3.Una compañía aseguradora realiza operacionesde segurosmédicos y de seguros devida.El20%delasoperacionescorrespondeasegurosmédicosyelrestoasegurosdevida.Elporcentajedeoperacionesenlasquenoseproducenretrasosenlospagosesdel10%enlossegurosmédicosydel15%ensegurosdevida.a)(1.5puntos)Halleelporcentajedeoperacionesenlasquenoseproducenretrasosenlospagos.b)(1punto)Delasoperacionesquehansufridoretrasosenlospagos,¿quéporcentajecorrespondealossegurosdevida?EJERCICIO4.Sesabequelaestaturadelaspersonasdeunapoblaciónesunavariablealeatoriaquesigue una distribución Normal cuya desviación típica es de 0.04m. Para estimar lamedia de esta variable se ha tomado unamuestra aleatoria de 60 personas de esapoblaciónysehaencontradounaestaturamediade1.73m.a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del 97%, para lamediadeladistribucióndeestaturas.b) (1.25 puntos) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estapoblación,paraquelaamplituddeunintervalodelamediaconesteniveldeconfianzaseainferiora0.08m.


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1 3 , 3 1 20 1 1 , 1 2 3

1 5 3 .a)[1punto]Calcule .b)[1.5puntos]ResuelvalaecuaciónmatricialA·X+B=2·C.EJERCICIO2.a)(1punto)Calculelafunciónderivadade .b)(1.5puntos)SesabequelaexpresiónquerepresentaelnúmeromediodeclientesN(t)queacudeundíaaunacadenadealmacenes,en funcióndelnúmerodehoras tquellevanabiertos,esN(t)=a⋅t2+b⋅t,0≤t≤8,a,b∈R.Sabiendoqueelmáximodeclientesquehanacudidoesedíahasidode160yquesehaproducidoalas4horasdeabrir,calculeayb.EJERCICIO3.Enunaprimerabolsa sehan colocado4bolasblancasy3negras,y enuna segundabolsa3blancasy5negras.Sesacaunaboladelaprimeray,sinverla,seintroduceenlasegunda.Acontinuaciónsesacaunaboladelasegunda.Hallelaprobabilidaddeque:a)(1.25puntos)Labolaextraídadelasegundabolsaseanegra.b)(1.25puntos)Labolaextraídadelaprimerabolsaseanegra,sisabemosquelabolaextraídadelasegundahasidoblanca.EJERCICIO4.Unamáquinaestápreparadaparafabricarpiezasde,alosumo,10cmdelongitud.Setomaunamuestrade1000piezas,comprobándosequelamediasuslongitudesesde 10.0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esamáquina sigue una leyNormalcondesviacióntípica0.2cm.a)(0.5puntos)Planteeuncontrastedehipótesisunilateralparacomprobarsiconlosdatos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezasfabricadasporlamáquinaesdemásde10cm.b) (1punto)Determine la regióndeaceptaciónde lahipótesisnuladeesecontrasteparaunniveldesignificaciónα=0.025.c)(1punto)Conlosdatosdelamuestrayusandoelcontrastedehipótesisdelprimerapartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezasfabricadas?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelrecintodeterminadoporlassiguientesinecuaciones:

x+y≤20, 3x+5y≤70, x≥0, y≥0.a)(0.5puntos)Razonesielpuntodecoordenadas(4.1,11.7)pertenecealrecinto.b)(1.25puntos)Representedichorecintoycalculesusvértices.c)(0.75puntos)¿DóndealcanzarálafunciónF(x,y)=0.6x+ysusvaloresextremosycuálesseránéstos?EJERCICIO2.Las funciones I(t) = −2t2 + 51t y G(t) = t2 − 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18 representan,respectivamente,losingresosygastosdeunaempresa,enmilesdeeuros,enfuncióndelosaños,t,transcurridosdesdesuinicioyenlosúltimos18años.a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, losingresoscoincidieronconlosgastos?b)(1punto)Determinelafunciónquereflejelosbeneficios(ingresosmenosgastos)enfuncióndetyrepreséntelagráficamente.c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, losbeneficiosfueronmáximos?Calculeelvalordeesebeneficio.EJERCICIO3.Unlibrotienecuatrocapítulos.Elprimercapítulotiene140páginas,elsegundo100,eltercero150yelcuarto50.El5%delaspáginasdelprimercapítulo,el4%delsegundoy el 2% del tercero tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienenerrores.a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tengaalgúnerror?b) (1.25puntos)Supongamosqueelegimosunapáginaalazaryobservamosquenotieneningúnerror,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadelsegundocapítulo?EJERCICIO4.a) (1punto)Unapoblaciónde tamaño1000sehadivididoen4estratosde tamaño150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijaciónproporcionalsehanseleccionado10individuosdeltercerestrato,¿cuáleseltamañodelamuestra?b)(1.5puntos)ElpesodelosindividuosdeunapoblaciónsedistribuyesegúnunaleyNormal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra paraestimar,conunniveldeconfianzadel95%,elpesomedioenlapoblaciónconunerrornosuperiora1kg.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.SeconsideraelrecintoRdelplano,determinadoporlassiguientesinecuaciones:

x+y≥2, x+3y≤15, 3x−y≤15, x≥0, y≥0.a)(1.5puntos)RepresentegráficamenteelrecintoRycalculesusvértices.b)(0.5puntos)HallelosvaloresmáximoymínimoquealcanzalafunciónF(x,y)=3x+yendichorecinto.c)(0.5puntos)Razonesiexistenpuntos(x,y)delrecinto,paralosqueF(x,y)=30.EJERCICIO2.a)(1.25puntos)Halleeldominio,lospuntosdecorteconlosejes,ylasasíntotasdelafunción

42 1

b) (1.25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, losintervalosdecurvaturaylospuntosdeinflexióndelafuncióng(x)=x3+3x2+3x.EJERCICIO3.Enun sistemadealarma, laprobabilidaddequehayaun incidentees0.1. Si éste seproduce,laprobabilidaddequelaalarmasuenees0.95.Laprobabilidaddequesuenelaalarmasinquehayaincidenteesde0.03.a)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequesuenelaalarma?b) (1 punto) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habidoincidente.EJERCICIO4.Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue unadistribuciónNormalcondesviacióntípica8.9años,sedeseacontrastarlahipótesisdequelavidamediadelosmismosnosuperalos70años.Apartirdeunamuestraaleatoriade100individuossehaobtenidoquesuvidamediahasido71.8años.a)(0.5puntos)Formuleelcontrastedehipótesisqueindicaelenunciado.b)(1punto)Determinelaregióncríticaaunniveldesignificacióndel5%.c) (1 punto)Con los datosmuestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar lahipótesisaeseniveldesignificación?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Seanlasmatrices 0 1 0

1 0 1 3 11 2

a)(1.25puntos)Efectúe,siesposible,lossiguientesproductos: A·At; At·A; A·Bb)(1.25puntos)Resuelvalasiguienteecuaciónmatricial A·At·X=B.EJERCICIO2.

Sealafunción3 4 2

4 2

a) (1.5 puntos)Halle el valor dea para que dicha función sea continua y estudie laderivabilidaddefparaesevalordea.b)(1punto)Paraa=1,¿existealgunaasíntotaverticaldeesafunción?¿Yhorizontal?Razonelasrespuestasycalcule,encasoafirmativo,dichasasíntotas.EJERCICIO3.SeanAyBdossucesosaleatoriostalesque:

P(A)=0.4, P(B)=0.5 y P(A∩B)=0.2.a)(1.5puntos)Calculelassiguientesprobabilidades:P(A∪B),P(A/B)yP(B/AC).b)(0.5puntos)RazonesiAyBsonsucesosincompatibles.c)(0.5puntos)RazonesiAyBsonindependientes.EJERCICIO4.Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se tomanmuestrasdetamaño16.a)(1punto)¿Cuálesladistribucióndelamediamuestral?b) (1.5puntos) ¿Cuáles laprobabilidaddeque lamediamuestralesté comprendidaentre47.5y52.5?


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CURSO2011‐2012 1


2 4 , 1 1 21 0 1 , 0 1

3 1 a)(1punto)HallelosvaloresdeaybparaqueseverifiqueB·Ct=A.b)(1.5puntos)ResuelvalaecuaciónmatricialA·X–A2=I2.EJERCICIO2.Delafunciónfsesabequesufunciónderivadaesf´(x)=3x28x+5.a)(1.5puntos)Estudielamonotoníaylacurvaturadef.b)(1punto)Sabiendoquelagráficadefpasaporelpunto(1,1),calculelaecuacióndelarectatangenteendichopunto.EJERCICIO3.Enun congresode200 jóvenesprofesionales sepasaunaencuestapara conocer loshábitosencuantoacontratarlosviajesporinternet.Seobservaque120sonhombresyque,deestos,84contratanlosviajesporinternet,mientrasque24delasmujeresnoempleanesavía.Elegidouncongresistaalazar,calculelaprobabilidaddeque:a)(1punto)Nocontratesusviajesporinternet.b)(0.75puntos)Useinternetparacontratarlosviajes,silapersonaelegidaesunamujer.c)(0.75puntos)Seahombre,sabiendoquecontratasusviajesporinternet.EJERCICIO4.Lavariable“tiempodereaccióndeunconductoranteunobstáculoimprevisto”sigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica0.05segundos.Almedirdichotiempoen50conductoressehaobtenidountiempomediode0.85segundos.a)(1.25puntos)Halleelintervalodeconfianzaparaeltiempomediodereacción,conunniveldeconfianzadel99%.b)(1.25puntos)¿Dequétamañomínimohadetomarseunamuestraparaqueelerrordeestimaciónnosupere0.01segundos,conunniveldeconfianzadel95%?

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OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelrecintodeterminadoporlassiguientesinecuaciones: 3x+4y28; 5x+2y42; xy0.a)(0.5puntos)Razonesielpuntodecoordenadas(7,3)pertenecealrecinto.b)(1.5puntos)Representedichorecintoyhallesusvértices.c)(0.5puntos)CalculeelvalormáximodelafunciónF(x,y)=3x2y+6enelrecinto,indicandoelpuntoopuntosdondesealcanzaesemáximo.EJERCICIO2.a) (1.25puntos)Dada la función f (x)=2x2+ax+b,determine losvaloresdea ybsabiendoquesugráficapasaporelpunto(1,3)yalcanzaunextremoenx=2.b)(1.25puntos)Calculelaecuacióndelarectatangentealafuncióng(x)=3x22x+1,enelpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urnaA, que contiene 6bolasblancas y4negras. Si saleotro resultado se extraeunabolade laurnaB, quecontiene3bolasblancasy7negras.Calcule:a)(1punto)Laprobabilidaddequelabolaextraídaseanegra.b)(0.5puntos)LaprobabilidaddequelabolaseanegraydelaurnaB.c)(1punto)Laprobabilidaddequehayasalidomenosde5silabolaextraídahasidoblanca.EJERCICIO4.UninformedeunAyuntamientoafirmaquealmenosel26%delosusuariosdelcarrilbici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haberexistido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato,informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1000 usuariosencuestadosafirmanquehabríanutilizadoelcocheparticular.a)(1.5puntos)Establezcauncontraste,conhipótesisnulaH0:p0.26,paraverificarlaafirmacióndelAyuntamientoeindiquelaregióncríticadedichocontrasteparaunniveldesignificacióndel5%.b) (1 punto) Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe delAyuntamiento?


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CURSO2011‐2012 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5puntos)HallelamatrizXqueverifiquelaecuaciónmatricialA2·X=AB·C,siendo

A,ByClasmatrices 1 10 2 , 1 0 1

1 1 4 ,1 01 12 0

EJERCICIO2.Seconsideralafunción 1 .a)(0.8puntos)Determinelamonotoníaycurvaturadelafunción.b)(0.8puntos)Calculesusasíntotas.c)(0.9puntos)Represéntelagráficamente.EJERCICIO3.Sehaimpartidouncursode“conduccióneficiente”a200personas.Delosasistentesalcurso, 60 son profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado suconducción. Este porcentaje baja al 80% en el resto de los asistentes. Halle laprobabilidaddeque,elegidounasistentealazar:a)(1.25puntos)Nohayamejoradosuconducción.b) (1.25 puntos) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado suconducción.EJERCICIO4.Se acepta que los rendimientos anuales, medidos en porcentajes, que producen losdepósitosbancariosaplazo,sedistribuyensegúnunaleyNormalcondesviacióntípica1.8ysepretenderealizarunaestimacióndelrendimientomediodelosmismos.Paraello, se tiene una muestra de 36 entidades bancarias en las que se observa que elrendimientomediodelosdepósitosesdel2.5.a)(1.5puntos)Calculeunintervalodeconfianza,al96%,paraelrendimientomediodelosdepósitosaplazo.¿Cuáleselerrormáximocometidoenlaestimación?b) (1 punto) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamañomínimodelamuestraparaestimarelrendimientomediodelosdepósitosconunerrormáximode0.5?

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OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1.9puntos)Representelaregióndefinidaporlassiguientesinecuaciones 7xy10; x+y2; 3x5y14ydeterminesusvértices.b)(0.6puntos)CalculelosvaloresmáximoymínimoquealcanzalafunciónF(x,y)=2x+3yendicharegión.EJERCICIO2.SeaP(t)elporcentajedecélulas,deundeterminadotejido,afectadasporunciertotipodeenfermedadtranscurridountiempot,medidoenmeses:

0 5100 250

5 5

a)(0.5puntos)EstudielacontinuidaddelafunciónP.b)(0.75puntos)EstudieladerivabilidaddePent=5.c) (0.75puntos)Estudie lamonotoníadedicha funcióne interprete la evolucióndelporcentajedecélulasafectadas.d)(0.5puntos)¿Enalgúnmomentoelporcentajedecélulasafectadaspodríavaler50?EJERCICIO3.Se sabe que el 44% de la población activa de cierta provincia está formada pormujeres.Tambiénsesabeque,deellas,el25%estáenparoyqueel20%deloshombresdelapoblaciónactivatambiénestánenparo.a)(1.25puntos)Elegida,alazar,unapersonadelapoblaciónactivadeesaprovincia,calculelaprobabilidaddequeestéenparo.b) (1.25 puntos) Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, ¿cuál es laprobabilidaddequeseahombre?EJERCICIO4.a)(1punto)Enunaciudadviven400hombresy320mujeresysequiereseleccionarunamuestrade tamaño54utilizandomuestreoestratificadoporsexos,conafijaciónproporcional,¿cuálseríalacomposicióndelamuestra?b) (1.5 puntos) A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan,mediantemuestreoaleatoriosimple,todaslasmuestrasdetamaño2.Escribadichasmuestrasycalculelavarianzadelasmediasmuestrales.


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CURSO2011‐2012 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5 puntos) Un comerciante dispone de 1200 euros para comprar dos tipos demanzanasAyB.LasdeltipoAlascompraa0.60euros/kgylasvendea0.90euros/kg,mientrasquelasdeltipoBlascompraa1euro/kgylasvendea1.35euros/kg.Sabiendoquesuvehículoalosumopuedetransportar1500kgdemanzanas,¿cuántoskilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beneficio que obtenga seamáximo?¿Cuálseríaesebeneficio?EJERCICIO2.a) (0.75 puntos) Para la función f definida de la forma , determine,razonadamente,losvaloresdeaybsabiendoquetienecomoasíntotaverticallarectadeecuaciónx=2ycomoasíntotahorizontalladeecuacióny=3.b)(1.75puntos)Paralafuncióng,definidadelaformag(x)=x33x2+2,determine:sudominio, sus intervalosde crecimientoydecrecimientoy extremos relativos. Conesosdatoshagaunesbozodesugráfica.EJERCICIO3.UnaempresadisponedetresmáquinasA,ByC,quefabrican,respectivamente,el60%,30%y10%delosartículosquecomercializa.El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C sondefectuosos.Elegido,alazar,unartículodelosquesefabricanenlaempresa:a)(0.5puntos)¿CuáleslaprobabilidaddequeseadefectuosoyestéfabricadoporlamáquinaC?b)(1.25puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequenoseadefectuoso?c) (0.75 puntos) Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de queprocedadelamáquinaA?EJERCICIO4.Una característica de una determinada población se distribuye según una variablealeatoriaNormalXdemediadesconocidaydesviacióntípica0.9.Extraídaalazarunamuestradetamaño9deesapoblaciónyobservadaX,diocomoresultados:

10.5 10 8.5 10.5 11.5 13.5 9.5 13 12a)(1.25puntos)Halleunintervalodeconfianza,al99%,paralamediadelavariableX.b) (1.25 puntos) Determine el tamañomínimo que debe tener una muestra de esapoblación, para que el error máximo que se cometa en la determinación de unintervalodeconfianzaparalamediadeXsea,alosumo,0.3,conunniveldeconfianzadel90%.

CURSO2011‐2012 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.Losalumnosde2ºdeBachilleratoorganizanunaventadepastelesparaelviajedefindecurso.Vendenpastelesgrandes,quenecesitan2huevos,5terronesdeazúcary100gdeharinacadauno,ypastelespequeños,quenecesitan1huevo,3terronesdeazúcary80gdeharinacadauno.a) (0.5 puntos) Presente en unamatrizM, de dimensión 3x2, las cantidades de loselementosnecesariosparalaelaboracióndeunpastelgrandeyunopequeño.b)(0.5puntos)Sideseanfabricar20pastelesdeunaclasey30deotra,escribalasdosmatricescolumna,A(20grandesy30pequeños)yB(30grandesy20pequeños)querepresentanestereparto.c)(1.5puntos)CalculelosproductosM·AyM·Beindiquesicon8docenasdehuevos,200terronesdeazúcary5kgdeharinasepuedenelaborar20pastelesgrandesy30pequeños.¿Y30grandesy20pequeños?EJERCICIO2.

Sealafunción2 2

2

a) (1.5puntos)Calcule a ybparaque la función sea continua en todo sudominio ypresenteunmínimoenx=1.b)(1punto)Representegráficamentelafunciónparaa=1.5yb=0.5.EJERCICIO3.Se sabe que el 90% de los estudiantes del último curso de una Universidad estápreocupadopor susposibilidadesdeencontrar trabajo, el30%estápreocupadoporsusnotasyel25%porambascosas.a) (1.5 puntos) Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dichaUniversidad,¿cuántosdeellosnoestánpreocupadosporningunadelasdoscosas?b) (1punto)Si un alumnodelúltimocurso, elegidoal azar, no estápreocupadoporencontrartrabajo,¿cuáleslaprobabilidaddequeestépreocupadoporsusnotas?EJERCICIO4.(2.5puntos)Secreequealmenosel25%de losusuariosde teléfonosmóvilessondecontrato. De una encuesta realizada a 950 personas, elegida al azar, 200 de ellasmanifestaronqueteníanteléfonomóvildecontrato.Alavistadeestosresultadosyconunnivelde significacióndel5%, ¿puedeadmitirseque laproporcióndepersonas concontratoensuteléfonomóvilhadisminuido?Utiliceparalaresolucióndelproblemauncontrastedehipótesisconhipótesisnula“laproporciónpesmayoroigualque0.25”.


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CURSO2011‐2012 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.UnaempresavendetresartículosdiferentesA,ByC,cadaunodeellosendosformatos,grandeynormal.EnlamatrizFseindicanlascantidadesdelostresartículos,encadaunodelosdosformatos,quehavendidolaempresaenunmes.EnlamatrizGse indicanlasganancias,eneuros,queobtienelaempresaporcadaunidadquehavendidodecadaartículoencadaformato

a)(1punto)EfectúelosproductosFt·GyF·Gt.b) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que harecibidolaempresaenesemesporeltotaldelasunidadesvendidasdecadaunodelostresartículosyespecifiquecuálessonesasganancias.c) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que harecibidolaempresaenesemesporeltotaldelasunidadesvendidasencadaunodelosdosformatos,especifiquecuálessonesasgananciasyhallelagananciatotal.EJERCICIO2.Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son,respectivamente,f´(x)=x+2yg´(x)=2.a)(1punto)Estudielamonotoníadelasfuncionesfyg.b)(0.75puntos)Delasdosfuncionesfyg,indique,razonadamente,cuáldeellastienealgúnpuntoenelquesuderivadaesnula.c)(0.75pntos)¿Cuáldelasfuncionesfygesunafunciónpolinómicade1ergrado?¿Porqué?EJERCICIO3.Unaurnacontiene25bolasblancassinmarcar,75bolasblancasmarcadas,125bolasnegrassinmarcary175bolasnegrasmarcadas.Seextraeunabolaalazar.a)(0.75puntos)Calculelaprobabilidaddequeseablanca.b)(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseablancasabiendoqueestámarcada?c)(0.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeseanegrayestémarcada?d)(0.75puntos)¿Sonindependienteslossucesos“sacarbolamarcada”y“sacarbolablanca”?EJERCICIO4.(2.5puntos)Uníndiceparacalibrarlamadurezlectoradelosalumnosdeprimariasedistribuye segúnuna leyNormal condesviación típica2.Elegidaunamuestrade18alumnos en un centrode primaria, se obtiene unamediamuestral de 10.8 en dichoíndice.Medianteelusodeuncontrastedehipótesis,¿sepuedeaceptar,conunniveldesignificacióndel1%,lahipótesisnuladequelamediadelíndicedemadurezlectoradelosalumnosdeestecentronoesinferiora11?

CURSO2011‐2012 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5 puntos) En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes ypequeñas,ysetienenparaello60m2detablerosdemadera.Lasgrandesnecesitan4m2de tableroy laspequeñas3m2.El carpinterodebehacer comomínimo3 estanteríasgrandes,yelnúmerodepequeñasquehagadebeser,almenos,eldobledelnúmerodelasgrandes.Silagananciaporcadaestanteríagrandeesde60eurosyporcadaunadelas pequeñas es de 40 euros, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para obtener elmáximobeneficio?EJERCICIO2.Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:a)(0.8puntos) ln 2 5 .b)(0.8puntos) .c)(0.9puntos) 3 5 1 x ln .EJERCICIO3.Se consideran dos sucesosA yB asociados a un experimento aleatorio. Se sabe queP(A)=0.8,P(B)=0.7,P(AB)=0.94.a)(1punto)¿SonAyBsucesosindependientes?b)(1punto)CalculeP(A/B).c)(0.5puntos)CalculeP(ACBC).EJERCICIO4.LavelocidadalaquecirculanlosconductoresporunaautopistasigueunadistribuciónN(,20).Enuncontrolefectuadoa100conductoreselegidosalazarharesultadounavelocidadmediade110km/h.a)(2puntos)Determineelintervalodeconfianzapara,conunniveldel99%.b)(0.5puntos)¿Cuáleselmáximoerrorcometidoenestaestimación?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.Seaelrecintolimitadoporlassiguientesinecuaciones y+2x≥2; 2y–3x≥–3; 3y–x≤6a)(1punto)Representegráficamentedichorecinto.b)(1punto)Calculesusvértices.c) (0.5 puntos) Obtenga el valormínimo de la funciónF(x, y) = 2x – y en el recintoanterior,asícomodóndeloalcanza.EJERCICIO2.

a)(1.5puntos)Sealafunción

2423

2

2

xsibxxxsixax)x(f

Determinelosvaloresdeayb,paraquelafunciónfseaderivableenx=2.b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

12

xx)x(g enelpuntodeabscisax=0.

EJERCICIO3.Unacompañíadeseguroshahechounseguimientoduranteunañoa50000cochesdelamarcaA,a20000delamarcaBya30000delaC,queteníaasegurados,obteniendoque,deellos,habíantenidoaccidente650cochesdelamarcaA,200delaBy150delaC.Alavistadeestosdatos:a) (1,25 puntos) ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción deaccidentes?b) (1,25 puntos) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido unaccidente,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadelamarcaC?EJERCICIO4.Deunanuestraaleatoriade120alumnospresentadosalasPruebasdeAcceso,sólo15hanresultadonoaptos.a)(1,5puntos)Calculeunintervalodeconfianza,al99%paraestimarlaproporcióndealumnosquehanresultadoaptosendichaprueba.b) (1 punto)Manteniendo lamisma confianza, ¿cuál debe ser el tamañomínimo de lamuestraparaestimarlaproporcióndealumnosaptos,cometiendounerrorinferioral5%.


OPCIÓNBEJERCICIO1.

SealamatrizA=

1211

a)(1,5puntos)ResuelvalaecuaciónmatricialA·X+At=I2.b) (0,5puntos) ¿Qué requisitosmínimosdebe cumplirunamatrizBparaquepuedaefectuarseelproductoA·B?c)(0,5puntos)¿Yparaelproducto3·B·A?EJERCICIO2.Seestimaqueelbeneficiodeunaempresa,enmillonesdeeuros,paralospróximos10

años viene dado por la función

1062602

tsittsitat)t(B , siendo t el tiempo

transcurridoenaños.a)(0,75puntos)CalculeelvalordelparámetroaparaqueBseaunafuncióncontinua.b)(1punto)Paraa=8representesugráficaeindiqueenquéperíodosdetiempolafuncióncreceráodecrecerá.c)(0,75puntos)Paraa=8indiqueenquémomentoseobtieneelmáximobeneficioenlosprimeros6añosyacuántoasciendesuvalor.EJERCICIO3.Enuna localidadhay solamentedos supermercadosAyB.El 58%de loshabitantescompraenelA,el35%enelByel12%compraenambos.Siseeligeunciudadanoalazar,calculelaprobabilidaddeque:a)(0.75puntos)Compreenalgúnsupermercado.b)(0.5puntos)Nocompreenningúnsupermercado.c)(0.5puntos)Compresolamenteenunsupermercado.d)(0.75puntos)CompreenelsupermercadoA,sabiendoquenocompraenB.EJERCICIO4.Se considera que, a lo sumo, el 5% de los artículos guardados en un almacén sondefectuosos.Pasadountiempo,lapersonaencargadadelmantenimientodelalmacéndecideinvestigarsiesaestimaciónesadecuada.Paraello,escogealeatoriamente300artículosdelosque35estándefectuosos.a)(1.5puntos)Planteeuncontrastedehipótesis(H0:p<0.05)paradeterminarsihaaumentado la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica delcontrasteparaunniveldesignificacióndel5%.b)(1punto)¿Quéconclusiónseobtieneconlosdatosmuestralesobservados?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5puntos)Unempresariofabricacamisasypantalonesparajóvenes.Parahacerunacamisasenecesitan2metrosdetelay5botones,yparahacerunpantalónhacenfalta3metrosdetela,2botonesy1cremallera.Laempresadisponede1050metrosdetela,1250botonesy300cremalleras.Elbeneficioqueseobtieneporlaventadeunacamisaesde30eurosyeldeunpantalónesde50euros.Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y depantalonesquedebeconfeccionarparaobtenerelmáximobeneficio,ydetermineestebeneficiomáximo.EJERCICIO2.(2.5puntos)Determinelosvaloresquehandetomaraybparaquelafunción

7 14 1

seaderivableen .EJERCICIO3.Unpescadortienetrestiposdecarnadadelasquesólounaesadecuadaparapescarsalmón.Siutilizalacarnadacorrectalaprobabilidaddequepesqueunsalmónes1/3,mientrasquesiusaunadelasinadecuadasesaprobabilidadsereducea1/5.a) (1.25 puntos) Si elige aleatoriamente la carnada, ¿cuál es la probabilidad de quepesqueunsalmón?b) (1.25 puntos) Si ha pescado un salmón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayahechoconlacarnadaadecuada?EJERCICIO4.Enunacajadeahorrossesabequeelporcentajedelosnuevosclientesquecontratanunplandepensionesno supera el 23%. El directordeunade las sucursales decidehacerunregaloacualquiernuevoclientequecontrateunodeesosplanesy, trasunmes, comprueba que 110 de los 470 nuevos clientes han contratado un plan depensiones.a)(1.5puntos)Planteeuncontrastedehipótesis,conH0:p0.23,paradecidirsi,conlos datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumentado lacontratación de estos planes de pensiones. Halle la región de aceptación de estecontrastedehipótesisparaunniveldesignificacióndel5%.b) (1 punto) Según el resultado del apartado anterior, ¿qué conclusión podemosobtenersobrelamedidatomadaporeldirectordeestasucursal?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Unafábricaproducedostiposdeproductos,AyB,quedistribuyeatresclientes.Enelmesdeeneroelprimerclientecompró9unidadesdeAy5deB,elsegundocliente3deAy7deB,yeltercercliente4deAy6deB.En elmesde febrero el primer cliente yel segundoduplicaron las comprasdelmesanterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las quecompróenenero.Enmarzoelprimerclientenocomprónada,yelsegundoyeltercerocompraronlomismoqueenfebrero.a)(0.75puntos)Paracadamesconstruyalamatrizdedimensión3x2correspondientealascomprasdeesemes.b)(0.5puntos)Calculelamatrizdecomprasdeltrimestre.c) (1.25puntos) Si lospreciosde losproductosAyB son, respectivamente, 80y100euros,calculeloquefacturalafábricaenelprimertrimestre,porcadaclienteyentotal.EJERCICIO2.En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficieafectada, en km2, viene dada por la función , siendo t el tiempotranscurridodesdequeempezamosaobservarla.a)(0.5puntos)¿Cuáleslasuperficieafectadainicialmente,cuandoempezamosamedirla?b)(1.25puntos)Estudiesilamanchacreceodecrececoneltiempo.c)(0.75puntos)¿Tienealgúnlímitelaextensióndelasuperficiedelamancha?EJERCICIO3.Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen lasprobabilidades P(A)=0.60 y P(B)=0.25. Determine las probabilidades que debenasignarsealossucesosAByABencadaunodelossiguientessupuestos:a)(0.5puntos)SiAyBfuesenincompatibles.b)(1punto)SiAyBfueranindependientes.c)(1punto)SiP(A/B)=0.40.EJERCICIO4.El peso de las calabazas de una determinada plantación sigue una ley Normal condesviacióntípica1200g.a)(2puntos)Halleeltamañomínimodelamuestraquesehadeelegirpara,conunniveldeconfianzadel95%,estimarelpesomedioconunerrormenorde450g.b)(0.5puntos)Paraelmismoniveldeconfianza,indique,razonandolarespuesta,sielerroraumentaodisminuyealaumentareltamañodelamuestra.


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CURSO2012‐2013 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5 puntos) Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cadaanillo del primer tipo precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno delsegundonecesita3gdeoroy1deplata.Sabiendoquedisponede48gdeoroy20deplatayquelospreciosdeventadecadatipodeanilloson150euroselprimeroy100euroselsegundo,¿cuántosanillosdecadatipotendríaqueproducirparaobtenerlosingresosmáximos?¿Acuántoascenderíanestosingresos?EJERCICIO2.Consideremoslafunción 6 5 2 4

2 11 4 5

a)(1punto)Estudieladerivabilidaddelafunciónf(x)enelpuntodeabscisax=4.b) (1.5puntos)Represente gráficamente la función f (x) e indiquedóndealcanza sumáximoysumínimoabsolutos.¿Cuáleselvalordelmáximo?¿Ydelmínimo?EJERCICIO3.Enunexperimentoaleatorio,laprobabilidaddequeocurraunsucesoAes0.68,ladequeocurraotrosucesoBes0.2,yladequenoocurraningunodelosdoses0.27.Hallelaprobabilidaddeque:a)(1punto)Ocurranlosdosalavez.b)(0.75puntos)OcurraBperonoA.c)(0.75puntos)OcurraB,sabiendoquenohaocurridoA.EJERCICIO4.Queremosestudiarlaproporcióndepersonasdeunapoblaciónqueaccedenainternetatravésdeteléfonomóvil.Paraellohacemosunaencuestaaunamuestraaleatoriade400 personas de esa población, y obtenemos que 240 de ellas acceden a internet atravésdelmóvil.a)(1.75puntos)Determineunintervalodeconfianza,al98.5%,paralaproporcióndepersonasdeesapoblaciónqueaccedenainternetatravésdelteléfonomóvil.b) (0.75 puntos) Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo deconfianza el aumento o disminución del tamaño de la muestra, suponiendo que semantuvieranlamismaproporciónmuestralyelmismoniveldeconfianza.

CURSO2012‐2013 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1 punto) En un problema de programación lineal, la región factible es la regiónacotadacuyosvérticessonA(2,−1),B(−1,2),C(1,4)yD(5,0).Lafuncionobjetivoeslafunciónf(x,y)=2x+3y+k,cuyovalormáximo,endicharegión,esiguala19.Calculeelvalordekeindiquedóndesealcanzaelmáximoydóndeelmínimo.

b)(1.5puntos)Seanlasmatrices 1 2 3 ,211

,2 0 11 1 11 3 2

Resuelva,siesposible,laecuaciónmatricialB·A+2X=C.EJERCICIO2.Sealafunción 2 3.a)(1punto)Determinesusmáximosymínimosrelativos.b) (1 punto) Consideremos la función g(x) = f ´(x). Calcule la ecuación de la rectatangentealagráficadelafuncióng(x),enelpuntodeabscisax=2.c)(0.5puntos)Dibujelagráficadeg(x)ydelarectatangentecalculadaenb).EJERCICIO3.Una encuesta realizada en un banco indica que el 60% de sus clientes tiene unpréstamohipotecario,el50%tieneunpréstamopersonalyun20%tieneunpréstamodecadatipo.Seelige,alazar,unclientedeesebanco:a)(1.25puntos)Calculelaprobabilidaddequenotenganingunodelosdospréstamos.b) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecariosabiendoquenotienepréstamopersonal.EJERCICIO4.a)(1.25puntos)Unapoblaciónde6000personassehadivididoen3estratos,unocon1000personas, otro con3500yotro con1500.En esapoblación seha realizadounmuestreoestratificadoconafijaciónproporcional,enelquesehanelegidoalazar15personasdeltercerestrato.Determineeltamañodelamuestratotalobtenidaconestemuestreoysucomposición.b)(1.25puntos)Dadalapoblación{1,4,7},construyatodaslasmuestrasposiblesdetamaño2quepuedanformarsemediantemuestreoaleatoriosimple,yhallelavarianzadelasmediasmuestralesdetodasesasmuestras.


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CURSO2012‐2013 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1.25puntos)Seconsideranlasmatrices 3 1

5 2 2 13 2 .

DeterminalamatrizXqueverificaB·X=3A+At.

b)(1.25puntos)CalculalamatrizYqueverifica2 51 52 1

6126

EJERCICIO2.

Sealafunción2 12 3

3 3 21 2

a)(1punto)Estudielacontinuidadyderivabilidaddef(x)ensudominio.b)(1punto)Determinelosintervalosdecrecimientoydecrecimiento.c)(0.5puntos)CalculelosextremosrelativosEJERCICIO3.EnunaurnaAhay10bolasverdesy10rojas,yenotraurnaBhay15verdesy5rojas.Selanzaundado,deformaquesisalemúltiplode3seextraeunaboladelaurnaAyenelrestodecasosseextraeunaboladelaurnaB.a)(1.5puntos)Calculelaprobabilidaddequelabolaextraídasearoja.b)(1punto)Silabolaextraídaresultaserdecolorverde,¿cuáleslaprobabilidaddequeprocedadelaurnaB?EJERCICIO4.ElpesodelossobresdecaféquefabricaunaempresasigueunaleyNormaldemediadesconocida y desviación típica 0.3 g. Se quiere construir un intervalo de confianzaparaestimardichamedia,conunniveldeconfianzadel98%,yparaellosetomaunamuestrade9sobres.a)(1punto)¿Quéamplitudtendrádichointervalo?b) (0.5 puntos) ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de lamuestra,manteniendoelmismoniveldeconfianza?c)(1punto)Obtengael intervalodeconfianzasabiendoquelospesos,engramos,delossobresdelamuestrason:7;7.1;7;6.93;7.02;7;7.01;6.5;7.1.

CURSO2012‐2013 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.SeconsideraelrecintoRdelplanodeterminadoporlassiguientesinecuaciones: 5x4y20; x+8y48; x2; y0.a)(1.5puntos)RepresentegráficamenteelrecintoRycalculesusvértices.b)(0.5puntos)HallelosvaloresmáximoymínimoquealcanzalafunciónF(x,y)=2x+12yenesterecintoeindiquedóndesealcanzan.c)(0.5puntos)Razonesiexistenvalores(x,y)pertenecientesalrecintoparalosqueF(x,y)=100.EJERCICIO2.Sealafunciónf(x)=x324x2+4x.a) (1.25 puntos) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos deinflexión.b) (0.75 puntos)Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en elpuntodeabscisax=2.c)(0.5puntos)Enelpuntodeabscisax=1,¿lafunciónescrecienteodecreciente?EJERCICIO3.En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% hablatambién alemán. De los que no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se escoge unempleadoalazar:a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequehableambosidiomas?b)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequehablealemán?c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, habletambiéninglés?EJERCICIO4.(2.5puntos)Losrepresentantesdeunpartidopolíticocreenquelaproporcióndesusvotantesseráalmenosdel35%.Paraconfirmarloeligenunamuestraalazarde1200votantes y obtienen que 336 de ellos son partidarios de votarles. Mediante uncontrastedehipótesis,con:H0:p0.35yaunniveldesignificacióndel0.01,¿sepuedeadmitircomociertalacreenciadelosrepresentantesdelpartidopolítico?


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CURSO2012‐2013 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices 2 33 5 , 3 5 3

0 2 1 ,830

, 53 .

a)(1punto)CalculeA3.b)(1.5puntos)DeterminelamatrizXparaqueA·X+B·C=DEJERCICIO2.Calculalasderivadasdelassiguientesfunciones:

a)(0.75puntos) b)(0.75puntos) 5 .c)(1punto) EJERCICIO3.UnCentrodeSaludproponedosterapias,AyB,paradejardefumar.DelaspersonasqueacudenalCentroparadejardefumar,el45%eligelaterapiaA,yelrestolaB.Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el 80% de los quesiguieronlaBnohanvueltoafumar.SeeligealazarunusuariodelCentroquesiguióunadelasdosterapias:a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequedespuésdeunañonohayavueltoafumar.b) (0.75 puntos) Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule laprobabilidaddequehubieraseguidolaterapiaA.c) (0.75 puntos) Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule laprobabilidaddequehubieraseguidolaterapiaA.EJERCICIO4.Se conoce que la acidez de una solución es una variable aleatoria que sigue unadistribuciónNormalcondesviacióntípica0.2.Sehatomadounamuestraaleatoriadecincosolucionesysehanobtenidolassiguientesmedidasdelaacidez:

7.92 7.95 7.91 7.9 7.94.a)(1.25puntos)Halleelintervalodeconfianza,al99%,paralamediapoblacional.b)(0.5puntos)¿Quéerrormáximosehacometidoenelintervaloanterior?c)(0.75puntos)Paraelmismoniveldeconfianza,calculeeltamañomínimomuestralquepermitareducirelerroranterioralamitad.

CURSO2012‐2013 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.SedeseamaximizarlafunciónF(x,y)=14x+8yenelrecintodadopor:

y+3x≥9; y≤− x+14 5x−2y≤15 x≥0.a)(1punto)Representelaregiónfactibledelproblema.b)(1punto)¿CuáleselvalormáximodeFylasoluciónóptimadelproblema?c)(0.5puntos)Obtengaunpuntodelaregiónfactiblequenoseaelóptimo.EJERCICIO2.Seconsideralafunción 1 1

4 3 1.

a)(0.75puntos)Determineeldominioyestudielacontinuidaddelafunción.b)(1punto)Obtengalosextremosdelafunción.c)(0.75puntos)Estudiesucurvatura.EJERCICIO3.DelossucesosindependientesAyBsesabequeP(AC)=0.4yP(A∪B)=0.8.a)(1.25puntos)HallelaprobabilidaddeB.b)(0.75puntos)HallelaprobabilidaddequenoseverifiqueBsisehaverificadoA.c)(0.5puntos)¿SonincompatibleslossucesosAyB?EJERCICIO4.a)(1.25puntos)Seconsideralapoblación{2,4,6}.Escribatodaslasposiblesmuestrasdetamañodoselegidasmediantemuestreoaleatoriosimpleydetermineladesviacióntípicadelasmediasmuestrales.b)(1.25puntos)Enunaciudadseseleccionóunamuestraaleatoriade500alumnosdeBachilleratoa losquese lespreguntósiposeíanunadeterminadamarcade teléfonomóvil,resultandoque80deelloscontestaronafirmativamente.Obtengaun intervalode confianza, al 92%,para estimar la proporciónde estudiantes deBachilleratoqueposeenesamarcadeteléfonomóvil.


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CURSO2012‐2013 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1punto)Plantee,sinresolver,elsiguienteproblema:“Unbarcopuedetransportarvehículosdedostipos:cochesymotos.Lascondicionesdelanaveobliganaqueelnúmerodemotosnopuedaserinferioralacuartapartedeldecochesnisuperiorasudoble;además,lasumadelnúmerodemotosmáseldobledelnúmerodecochesnopuedesermayorque100.¿Cuántosvehículos,comomáximo,puedetransportarestebarco?”b)(1.5puntos)Dadoelrecintolimitadoporlasinecuaciones y≥30, 3x−y≥150, 6x+7y≤840,halleenquépuntosdeeserecintolafunciónF(x,y)=6x−2yalcanzasuvalormínimo.EJERCICIO2.(2.5puntos)Estudieladerivabilidaddelafunción

01 0 36 2 3

EJERCICIO3.Unagranjaavícoladedicadaalaproduccióndehuevosposeeunsistemaautomáticodeclasificaciónentrescalibressegúnsupeso:grande,medianoypequeño.Seconocequeel40%delaproducciónesclasificadacomohuevosgrandes,el35%comomedianosyel 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema de clasificaciónproducedefectosporroturaenelcascarónquedependendelpeso.Así,laprobabilidaddequeunhuevograndeseadefectuosoporestarazónesdel5%, ladeunomedianodel3%ydeun2%ladeunopequeño.Elegidoaleatoriamenteunhuevo,a)(1.25puntos)¿cuáleslaprobabilidaddequeseadefectuoso?b)(1.25puntos)Sielhuevoesdefectuoso,¿cuáleslaprobabilidaddequeseagrande?EJERCICIO4.(2.5puntos)UndirectorsanitariosostienequeelÍndicedeMasaCorporal(IMC)mediodelosadolescentesdesudistritonosuperaelnivel25(sobrepeso).Paracontrastarsuafirmacióntomaunamuestraaleatoriade225adolescentesquedacomoresultadounIMCmediode26.SabiendoqueelIMCsigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípica5discuta,medianteuncontrastedehipótesisconH0:μ≤25,silaafirmacióndeldirectorsanitarioescorrecta,conunniveldesignificacióndel5%.

CURSO2012‐2013 5


1 0 , 1 23 1 .

a)(1punto)CalculeA2yA2013.b)(1.5puntos)ResuelvalaecuaciónmatricialA·X+I2=5Bt–A2.EJERCICIO2.


.

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyladerivabilidaddelafunción.b)(1punto)Calculelaecuacióndelarectatangentealagráficadef(x)enelpuntodeabscisax=0.EJERCICIO3.AlaJuntaGeneraldeAccionistasdeunaempresaasisten105accionistasdeloscuales45tienenmenosde40añosy18másde60años.Sometidaavotaciónunapropuesta,esrechazadaporlatercerapartedelosmenoresde40años,porlatercerapartedelosque están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás laaceptan.a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tengamenosde40añosyhayaaceptadolapropuesta.b)(0.75puntos)Laprensaafirmóquelapropuestahabíasidoaceptadaporel80%delosasistentes,¿escorrectalaafirmación?c) (1 punto) Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿quéprobabilidadhaydequetengamásde60años?EJERCICIO4.Enunapoblaciónpróximaaunpuertodeportivosequiereestimar laproporcióndehabitantesquenaveganalmenosunavezalasemana.Setomaunamuestra,alazar,de400habitantesde lapoblación,de losque160afirmannavegaralmenosunavezensemana.a) (1.5 puntos) Halle el intervalo de confianza del 90% para la proporción dehabitantesquenaveganalmenosunavezensemana.b)(1punto)Alavistadelresultado,sepretenderepetirlaexperienciaparaconseguiruna cota del error de 0.1 con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.¿Cuántosindividuosdebeteneralmenoslamuestra?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.Seanlasmatrices 2 1 1 1

3 0 .

a)[1.25puntos]Obtengaaybsabiendoque 5 22 1 .¿EsAsimétrica?

b)[1.25puntos]Paralosvaloresa=3yb=1calculelamatrizXtalqueA·B=2(X–3I2).EJERCICIO2.Losbeneficiosdeunaempresaensusprimeros8añosvienendados,enmillonesdeeuros,porlafunción:

4 3 9 ,0 8dondelavariabletindicaeltiempotranscurrido,enaños,desdesufundación. a)[1.5puntos]EstudielamonotoníaylosextremosdeB(t).b)[1punto]DibujelagráficadeB(t)enelintervalo[0,8]yexplique,apartirdeella,laevolucióndelosbeneficiosdeestaempresaensus8añosdeexistencia.EJERCICIO3.El55%delosalumnosdeuncentrodocenteutilizaensudesplazamientotransportepúblico,el30%usavehículopropioyelrestovaandando.El65%delosqueutilizantransportepúblicosonmujeres,el70%delosqueusanvehículopropiosonhombresyel52%delosquevanandandosonmujeres.a)(1.5puntos)Elegidoalazarunalumnodeesecentro,calculelaprobabilidaddequeseahombre.b)(1punto)Elegidoalazarunhombre,alumnodeesecentro,¿cuáleslaprobabilidaddequevayaandando?EJERCICIO4.Sequiereestimarlaproporcióndehembrasentrelospecesdeunapiscifactoría;paraellosehatomadounamuestraaleatoriade500peces,yenellahay175hembras. a) (1.5 puntos) Calcule un intervalode confianzapara la proporción de hembras enestapoblacióndepeces,conunniveldeconfianzadel94%. b)(1punto)Alavistadelresultadodelmuestreosequiererepetirlaexperienciaparaconseguir un intervalo de confianza con elmismo nivel y un errormáximode 0.02,¿cuáleseltamañomínimoquedebetenerlanuevamuestra?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Unfabricantedetapicesdisponede500kgdehilodeseda,400kgdehilodeplatay225kgdehilodeoro.Deseafabricardostiposdetapices:AyB.ParalosdeltipoAsenecesita1kgdehilodeseday2kgdehilodeplata,yparalosdeltipoB,2kgdehilodeseda,1kgdehilodeplatay1kgdehilodeoro.CadatapizdeltipoAsevendea2000eurosycadatapizdeltipoBa3000euros.Sisevendetodoloquesefabrica,a) (2 puntos) ¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio seamáximoycuálesesebeneficio?b) (0.5 puntos) ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique elnúmerodetapicesqueproporcionaelmáximobeneficio?EJERCICIO2.Seaf(x)unafuncióncuyafunciónderivada,f ´(x),tieneporgráficaunaparábolaquecortaalejeOXenlospuntos(−1,0)y(5,0)yconvertice(2,−4).a)(1punto)Estudierazonadamentelamonotoníadef(x).b)(0.5puntos)Determinelasabscisasdelosextremosrelativosdelafunciónf(x). c)(1punto)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadef(x)enelpuntodeabscisax=2,sabiendoquef(2)=5.EJERCICIO3.De lossucesosaleatorios independientesAyBsesabequeP(A)=0.3yqueP(BC)=0.25.Calculelassiguientesprobabilidades: a)(0.75puntos)P(A∪B). b)(0.75puntos)P(AC∩BC). c)(1punto)P(A/BC).EJERCICIO4.El tiempoque losespañolesdedicanaver la televisión losdomingosesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormaldemediadesconocidaydesviacióntípica75minutos.Elegidaunamuestraaleatoriadeespañolessehaobtenido,paralamediadeesadistribución,elintervalodeconfianza(188.18,208.82),conunniveldel99%.a)(1.5puntos)Calculelamediamuestralyeltamañodelamuestra.b)(1punto)Calculeelerrormáximopermitidosisehubieseutilizadounamuestradetamaño500yunniveldeconfianzadel96%.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.SeaRlaregiónfactibledefinidaporlassiguientesinecuacionesx3y,x5,y1.a) (0.5puntos)Razonesielpunto(4.5,1.55)perteneceaR.b) (1.5 puntos) Dada la función objetivo F(x, y) = 2x – 3y, calcule sus valoresextremosenR.c) (0.5puntos)RazonesihayalgúnpuntodeRdondelafunciónFvalga3.4.¿Y7.5?EJERCICIO2.En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por untrabajador depende de los días trabajados según la función , t 1,dondeteselnúmerodedíastrabajados.a) (0.5 puntos) ¿Cuántosmontajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitarápararealizarcincomontajesdiarios?b) (0.75 puntos) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajaraindefinidamente?c) (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diariosaumentaconlosdíasdetrabajo.Estudiandolafunción,justifiquesiesciertadichacreencia.d) (0.5puntos)Dibujelagráficadelafunción.EJERCICIO3.Secreequehayunavueltahaciaestilosdebailemáspopulares,porloqueserealizaunaencuestaaestudiantesdebachillerato,resultandoqueal40%lesgustalasalsa,al30%lesgustaelmerengueyal10%lesgustatantolasalsacomoelmerengue.a)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeaunestudiantelegusteelmerenguesilegustalasalsa?b)(0.75puntos)¿Yladequeaunestudiantelegusteelmerenguesinolegustalasalsa?c)(1punto)¿Sonindependienteslossucesos"gustarlasalsa"y"gustarelmerengue"?¿Soncompatibles?EJERCICIO4.(2.5puntos)Enunabodegautilizanunamáquinaquedebeenvasarelvinoenbotellasconuncontenidode750ml.Paracomprobarsiesamáquinafuncionacorrectamente,setomaunamuestrade36botellasyseobservaqueelcontenidomediodelasmismasesde748ml.Suponiendoque lavariable "contenido"sigueunadistribuciónNormalconvarianza25,analicemedianteuncontrastedehipótesisbilateral(H0:=750)sisepuede aceptar, con un nivel de significación de 0.05, que la máquina envasadorafuncionacorrectamente.


OPCIÓNBEJERCICIO1.

Seanlasmatrices0

,1

, 1 0 12 1 3 .

a) (1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial2A+B·X=3A–B.b) (1punto)DetermineencadacasoladimensióndelamatrizDparaquesepuedanrealizarlassiguientesoperaciones: , , , .EJERCICIO2.Sealafunción 1 2

2 2

a)(1.5puntos)Determinelosvaloresdeaybparaquedichafunciónseacontinuaenx=2y,además,tengaunmínimoenx=1.b)(1punto)Paraa=2yb=6,determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónenelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.El 50% de los préstamos que concede un banco son para vivienda, el 30% paraindustriayel20%paraconsumo.Nosepaganel20%delospréstamosparavivienda,el15%delospréstamosparaindustriayel70%delospréstamosparaconsumo.a)(1punto)Siseeligealazarunpréstamo,calculelaprobabilidaddequesepague.b) (0.75 puntos) Se elige un préstamo al azar que resulta impagado, ¿cuál es laprobabilidaddequeseaunpréstamoparaconsumo?c)(0.75puntos)Anteunpréstamoimpagadoeldirectordelbancoafirmaqueesmásprobablequeseaparaviviendaqueparaconsumo,¿llevarazóneldirector?EJERCICIO4.El gasto mensual de las familias de un municipio se distribuye según una variableNormalcondesviacióntípicaiguala180euros.Seleccionadas30familiasalazar,hantenidoungastomediomensualde900euros.(1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza para el gastomediomensual de lasfamiliasdeesemunicipioconunniveldeconfianzadel95%.(1.25 puntos) Calcule el tamaño maestral mínimo necesario para estimar el gastomediomensualdelasfamiliasconunerrornosuperiora60euros,conelmismoniveldeconfianza.


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CURSO2013‐2014 1


4 6 y 1 8 19 3 6 .

a) (0.5 puntos) Determine la dimensión que debe tener una matriz A para que severifiquelaigualdadA·B=2Ct.b)(2puntos)HallelamatrizAanterior,sabiendoquedeellaseconocenloselementos

2, 3, 1.EJERCICIO2.Sealafunción 2 1a)(1.5puntos)Hallelosvaloresdeaybsabiendoquelafuncióntieneunmínimoenx=0yquelagráficadelafunciónpasaporelpunto(0,0).b)(1punto)Paraa=0yb=1,determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónenelpuntodeabscisax=−1.EJERCICIO3.SeanAyBdossucesosaleatoriosindependientesdelosqueseconoceque:P(A)=0.5yP(B)=0.3.a)(0.5puntos)Diga,razonadamente,siAyBsonsucesosincompatibles.b)(1punto)¿CuáleslaprobabilidaddequesucedaAynosucedaB?c)(1punto)CalculeP(A/BC).EJERCICIO4.Unapanaderíaproducebarrasdepancuyalongitud,medidaencentímetros,sigueunadistribuciónNormalconunadesviacióntípicade5centímetros.a)(1punto)Apartirdeunamuestrade100barrasdepansehacalculadoelintervalode confianza para la media poblacional, resultando ser (31.2, 33.4). Halle la mediamuestralyelerrordeestimación.b)(1.5puntos)Paraunniveldeconfianzadel96%,halleeltamañomuestralmínimonecesarioparaqueelerrordeestimaciónmáximosea1.5.

CURSO2013‐2014 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.Unnutricionista recetaaunadesuspacientesunadieta semanalespecialbasadaenlácteosypescado.Cadakgdelácteoscuesta6€yproporciona3unidadesdeproteínasy1decalorías;cadakgdepescadocuesta12€,aportando1unidaddeproteínasy2decalorías.La dieta le exige no tomarmás de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y unaportemínimode4unidadesdeproteínasy3decalorías.a)(1punto)Planteeelproblemaparaobtenerlacombinacióndeambosalimentosquetengaelcostemínimo.b)(1.5puntos)Dibujelaregiónfactibleydeterminelasoluciónóptimadelproblema.EJERCICIO2. (2.5puntos)Sealafunciónf,definidapor 5 0

0

Determinelosvaloresquehandetomaraybparaquelafunciónfseaderivableenx=0.EJERCICIO3.Unestudioestadísticodelaproduccióndeunafábricadebatidorasdeterminaqueel4.5% de las batidoras presenta defectos eléctricos, el 3.5% presenta defectosmecánicosyel1%presentaambosdefectos.Seescogealazarunabatidora.a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequenotenganingunodelosdosdefectos.b)(1punto)Calcule laprobabilidaddequetengaundefectomecánicosabiendoquetieneundefectoeléctrico.c)(0.5puntos)Justifiquesilossucesos“tenerundefectoeléctrico”y“tenerundefectomecánico”sonindependientes.¿Sonincompatibles?EJERCICIO4.Queremos estudiar la proporción de personas de una población que usan unadeterminadamarcaderopa;paraellosehaceunaencuestaa950personasyseobtieneque215deellasusanesamarca.Utilizandouncontrastedehipótesis(H0:p0.25):a) (1.5puntos)¿Podemosafirmarconestosdatosyconunniveldesignificacióndel5%quealmenosel25%detodalapoblaciónusaesamarcaderopa?b)(1punto)¿Yconunniveldesignificacióndel1%?


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CURSO2013‐2014 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1.75puntos)Represente gráficamente la regióndefinidapor las siguientesinecuacionesycalculesusvértices:x+2y3,x−y1,x–1,y0.b) (0.75 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivoF(x,y)=2x+4yenlaregiónanteriorylospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafuncióndadapor22.

a)(1.5puntos)Determinelosvaloresdeayb,sabiendoquedichafunciónesderivable.b)(1punto)Paraa=2yb=3,determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónfenelpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.Enun servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70%de las cámarasqueserecibensondelmodeloAyel restodelmodeloB.El95%de lascámarasdelmodeloAsonreparadas,mientrasquedelmodeloBsólosereparanel80%.Siseeligeunacámaraalazar:a)(1.25puntos)Calculelaprobabilidaddequenosehayapodidoreparar.b)(1.25puntos)Siseobservaquenohasidoreparada,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadelmodeloB?EJERCICIO4.Con el fin de estudiar el preciomedio del litro de gasolina en una provincia en undeterminadodía,seseleccionanalazaresedía9estacionesdeservicioyseobservanlossiguientesprecios,eneuros,deunlitrodegasolina:

1.3, 1.2, 1.4, 1.27, 1.25, 1.32, 1.37, 1.38, 1.23.Se sabe que el precio del litro de gasolina se distribuye según una ley Normal condesviacióntípicaiguala0.18euros.a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para estimar el preciomediodellitrodegasolina.b) (1 punto) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el preciomediodellitrodegasolinaconunerrornosuperiora0.08euros,conelmismoniveldeconfianza.

CURSO2013‐2014 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1punto)Determinelosvaloresdexeyquehacenciertalaigualdad

2 13 1

11

30 .

b)(1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial: 1 32 5 2 0 1

1 01 23 1

EJERCICIO2. Elporcentajedepersonasquesintonizanunprogramaderadioqueseemiteentrelas6ylas12horasvienedado,segúnlahorat,mediantelafunción

660 231 27 , 6 12a) (0.5 puntos) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar laemisión?¿Yalcierre?b) (2 puntos) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje depersonassintonizanelprogramaadichashoras?EJERCICIO3.Seeligeunnúmero,alazar,entreelsiguienteconjunto: {225,201,162,210,180,172,156,193,218,167,176,222,215,120,190,171}.a)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequeelnúmeroelegidoseaimpar.b)(0.75puntos)Sielnúmeroelegidoesmúltiplode5,¿cuáleslaprobabilidaddequeseamayorque200?c)(0.75puntos)DeterminesisonindependienteslossucesosS:“elnúmeroelegidoesmayorque200”yT:“elnúmeroelegidoespar”.d)(0.5puntos)HallelaprobabilidaddelsucesoST.EJERCICIO4.1)EnuncentrodocentelatercerapartedelosalumnosestudiaelidiomaA,lamitadelidiomaByelrestoelidiomaC(cadaalumnoestudiasólounodeestosidiomas).a)(0.75puntos)Sedeseaseleccionarunamuestrade60alumnos,mediantemuestreoaleatorio estratificado con afijación proporcional al número de los alumnos de cadaidioma.¿Cómodeberíaestarconformadalamuestra?b) (0.75 puntos) En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, elnúmerodealumnostomadosdelidiomaAes14.Determinecuántossehanelegidodelosotrosdosidiomas.2)(1punto)Unapoblacióntiene5elementos.Mediantemuestreoaleatoriosimpleseseleccionanmuestras de tamaño 3, siendo la desviación típica de susmedias 2 y lamedia de las medias muestrales 7. ¿Cuánto valen la media y la varianza de lapoblación?


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CURSO2013‐2014 3

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seconsideranlasmatrices 1

0 1 y 1 1 .a)(1.25puntos)Calculeelvalordelparámetroaparaqueseverifique b)(1.25puntos)Paraa=2,resuelvalaecuaciónmatricial .EJERCICIO2.Sealafunción 3 3 .a)(1punto)Estudielamonotoníadefyhallelosextremosrelativosqueposea.b)(0.75puntos)Estudiesucurvaturaycalculesupuntodeinflexión.c)(0.75puntos)Representelagráficadelafunciónf.EJERCICIO3.El 65% de la población española adulta no fuma, el 15% fuma ocasionalmente y elresto fuma habitualmente. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule lasprobabilidadesdelossiguientessucesos:a)(1.25puntos)Losdosseannofumadores.b)(1.25puntos)Unodeellosseanofumadoryelotroseafumadorocasional.EJERCICIO4.Para estimar la proporción de balances contables incorrectos de un banco, seseleccionan aleatoriamente 200 balances, y se encuentra que 19 de ellos sonincorrectos.a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción debalancesincorrectos.b) (1 punto) ¿Cuántos balances se deberán seleccionar para que, con un nivel deconfianzadel99%,elerrordelaestimaciónnoseasuperiora0.02?

CURSO2013‐2014 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1 punto) Represente la región del plano determinada por las siguientesinecuaciones:2x+5y15,x+y6,5x−7y42,x0.b)(1punto)Hallelosvérticesdelaregiónanterior.c)(0.5puntos)Enesaregión,halleelvalormínimodelafunciónF(x,y)=−2x−2y+3ydóndeloalcanza.EJERCICIO2.

Sealafunción1 1

1

a)(1.5puntos)Estudielacontinuidadyderivabilidaddelafunciónensudominio.b)(0.5puntos)Determinesusasíntotas,encasodequeexistan.c)(0.5puntos)Calculelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.Sesabequeel80%delosvisitantesdeundeterminadomuseosonandalucesyqueel55% son andaluces y adultos. Además, el 17% de los visitantes son no andaluces yadultos.Seelige,alazar,unvisitantedelmuseo:a)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequenoseaadulto?b)(1punto)Siesadulto,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaandaluz?EJERCICIO4.a) (1.5 puntos) Determine todas lasmuestras de tamaño 2 que,mediantemuestreoaleatoriosimple,sepuedenextraerdelconjunto{6,9,12}ycalculelavarianzadelasmediasdeestasmuestras.b) (1 punto) Una empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elaboradiariamente40,15,25y120unidadesrespectivamente.Siundíasequiereelaborarunamuestrade40unidadesconlosproductosfabricados,por muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número deunidadesdecadaproductosedebeelegir?


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CURSO2013‐2014 5

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seconsideranlasmatrices 2 1

3 2 y 3 21 4

a)(0.5puntos)Efectúelaoperación .b)(0.75puntos)DeterminelamatrizXtalqueA+2X=B.c)(1.25puntos)CalculelamatrizY,sabiendoque 6

9 EJERCICIO2.

(2.5puntos)Seanlasfunciones 2 1 ln y Determineelvalorde ′ 1 yde ′ 0 .EJERCICIO3.En un Instituto de Educación Secundaria el 40%de los alumnos juegan al fútbol, el30%jueganalbaloncestoyel20%practicanambosdeportes.a)(1punto)¿Cuáles laprobabilidaddequeunalumno,elegidoalazar,nopractiqueningunodelosdosdeportes?b)(0.75puntos)Siunalumno,elegidoalazar,juegaalfútbol,¿cuáleslaprobabilidaddequenojueguealbaloncesto?c) (0.75 puntos) ¿Son independientes los sucesos “jugar al fútbol” y “jugar albaloncesto”?EJERCICIO4.Losresponsablesdetráficodeunaciudadtrabajanconlahipótesisdeque,almenos,el65%de sus habitantes son favorables a la creación de una red de carril‐bici en esaciudad.Encuestados950habitantes,elegidosalazar,590estánafavordetalmedida.a) (1.5 puntos) Mediante un contraste de hipótesis, (H0: p 0.65), con un nivel designificacióndel10%,¿sepuededecirquetienenrazónlosresponsablesdetráficodeesaciudad?b)(1punto)¿Seconcluiríalomismosielniveldesignificaciónfueradel1%?

CURSO2013‐2014 5

OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 2 ,siendo:

0 12 0 , 0 2

1 21 12 1

b) (1 punto) Si A(0, 2), B(2, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3, 6) son los vértices de unaregión factible,determine,enesaregión,elvalormínimoyelvalormáximode lafunciónF(x,y)=4x−3y+8eindiquelospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2. (2.5 puntos) Represente gráficamente la función 6 12 , estudiandopreviamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía,extremos,intervalosdeconcavidadyconvexidadypuntosdeinflexión.EJERCICIO3.El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita enpapel, el 70% en prensa digital y el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, unestudiantedeesaUniversidad:a)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelealasnoticiasenformatopapelodigital.b)(0.75puntos)Sabiendoqueleelasnoticiasenprensadigital,calculelaprobabilidaddequetambiénlasleaenprensaescritaenpapel.c)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelealasnoticiasexclusivamenteenunodelosdosformatos?EJERCICIO4.Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de uncentrocomercialenunmunicipio,sehaobtenidoelintervalodeconfianza(0.31,0.39),al94%.a)(1punto)¿Cuálhasidoelvalordelaproporciónmuestral?b)(0.5puntos)Silamuestraaleatoriaelegidadeesapoblaciónparaelestudiofuede500personas,¿cuántasdeellasdeseabanlaconstruccióndelcentrocomercial?c)(1punto)Sedesearepetirelestudioparaobtenerunintervalodeconfianzaconunerrormáximode0.03yelmismoniveldeconfianza.¿Cuántaspersonas,comomínimo,debetenerlanuevamuestraaleatoria?


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OPCIÓNAEJERCICIO1.

Se consideran las matrices 10 1 1/2 0

3/4 0 , siendo a un número real

cualquiera.a)[1punto]Obtengalamatriz . b)[1.5puntos]Paraa=2,resuelvalaecuaciónmatricialA3·X–4B=O.EJERCICIO2.La función de beneficios f, enmiles de euros, de una empresa depende de la cantidadinvertidax,enmilesdeeuros,enundeterminadoproyectodeinnovaciónyvienedadaporf(x)=2x2+36x+138,x0. a)[1punto]Determinelainversiónquemaximizaelbeneficiodelaempresaycalculedichobeneficioóptimo. b)[0.5puntos]Calculef‘(7)einterpreteelsignodelresultado. c) [1 punto] Dibuje la función de beneficios f (x). ¿Para qué valor o valores de lainversión,x,elbeneficioesde138mileuros?EJERCICIO3.Unaurna,A,contienesietebolasnumeradasdel1al7.Otraurna,B,contienecincobolasnumeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara,extraeremosunabolade laurnaA,ysi salecruz, laextraemosde laurnaB.Calcule lasprobabilidadesdelossiguientessucesos: a)[0.5puntos]“LabolahayasidoextraídadelaurnaAyelnúmeroseapar”.b)[1punto]“Elnúmerodelabolaextraídaseapar”. c)[1punto]“labolaseadelaurnaA,sihasalidounnúmeropar”.EJERCICIO4.Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros denarrativaquesevendenenlaactualidad.Paraelloseeligeunamuestraaleatoriade121libros,encontrandoquetienenunpreciomediode23€.SesabequeelpreciodeloslibrosdenarrativasigueunadistribuciónNormalconmediadesconocidaydesviacióntípica5€.a)[1.5puntos]Obtengaunintervalodeconfianza,al98%,paraelpreciomediodeesoslibros.b) [1punto]¿Cuántos libroshabríaqueelegircomomuestraparaque,con lamismaconfianza,elerrormáximodelaestimaciónnoexcedierade1€?


OPCIÓNBEJERCICIO1.a) [1.8 puntos]Dadas las inecuaciones y x + 5, 2x + y4, 4x 10 y, y 0representeelrecintoquelimitanycalculesusvértices.b) [0.7 puntos]Obtenga elmáximoy elmínimode la función , en elrecintoanterior,asícomolospuntosenlosquesealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafunciónfdefinidapor 2 2.

a) [1.5 puntos] Obtenga los valores de a y b para que la función sea continua yderivable. b)[1punto]Paraa=48yb=3,estudielamonotoníadef(x)ycalculesusextremos.EJERCICIO3.Antoniovaalacompradosdíasdecadacinco.Alolargodeltiempo,haobservadoquelafrutaestádeofertalatercerapartedelosdíasquevaalacompraylamitaddelosdíasquenova.Elegidoundíaalazar: a)[1.5puntos]¿Cuáleslaprobabilidaddequelafrutaestédeofertaesedía?b)[1punto]CalculelaprobabilidaddequeesedíaAntoniovayaalacompraolafrutaestédeoferta.EJERCICIO4.(2.5 puntos) Un titular de prensa afirma que el 70% de los jóvenes de una ciudadutilizanlasredessocialesparacomunicarse.Paracontrastar laveracidadde talafirmaciónse tomaunamuestraaleatoriade500jóvenesdeesaciudad,yseobtieneque340deellosutilizanlaredparacomunicarse.Analicemedianteuncontrastedehipótesisbilateral,(H0:p=0.7),sisepuedeaceptar,conunniveldesignificacióndel1%,quedichaafirmaciónescierta.


102



2 1 1 05 2 .

a)[1.25puntos]CalculelasmatricesXeYparalasqueseverifica:X+Y=Ay3X+Y=Bb)[1.25puntos]HallelamatrizZqueverificaB·Z+Bt=2I2.EJERCICIO2.Unaempresaharealizadounestudiosobrelosbeneficios,enmilesdeeuros,quehaobtenidoenlosúltimos10años.LafunciónalaqueseajustandichosbeneficiosvienedadaporB(t)=2t3–36t2+162t–6,con0≤t≤10.a)(0.8puntos)¿Québeneficiosobtuvoaliniciodelperiodo(t=0)yalfinaldeldécimoaño(t=10)? b)(1.7puntos)¿Enquémomentosseobtieneelmáximoyelmínimobeneficioycuálesfueronsuscuantías?EJERCICIO3.Se sabe que dos alumnos de la asignatura deMatemáticas asisten a clase, de formaindependiente,elprimeroaun85%de lasclasesyelsegundoaun35%.Tomadoalazarundíadeclase,calculelaprobabilidaddecadaunodelossiguientessucesos:a)[0.75puntos]Quelosdoshayanasistidoaclaseesedía.b)[0.75puntos]Quealgunodeelloshayaasistidoaclaseesedía.c)[0.5puntos]Queningunohayaasistidoaclaseesedía.d) [0.5puntos]Quehayaasistidoa claseel segundo, sabiendoqueelprimeronohaasistido.EJERCICIO4.(2.5puntos)La concejalíadeEducacióndeunadeterminada localidadafirmaqueeltiempomediodedicadoalalecturaporlosjóvenesdeentre15y20añosdeedades,alosumo,de8horassemanales.Paracontrastarestahipótesis(H0 :≤8),seescogealazarunamuestrade100jóvenes,deentre15y20años,yseobtieneunamediade8.3horasdededicaciónalalectura.Supuestoqueeltiempodedicadoalalecturasigueunaley Normal con desviación típica igual a 1 hora, ¿qué se puede decir, a un nivel designificacióndel5%,sobrelaafirmacióndelaconcejalía?


OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Plantee,sinresolver,elsiguienteproblema: “Unmayoristavendeproductoscongeladosquepresentaenenvasesdedostamaños,pequeñosygrandes.Lacapacidaddesuscongeladoresnolepermitealmacenarmásde1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debemantener un stockmínimode100envasespequeñosy200grandes.Lademandadeenvasesgrandesesigualosuperioraladeenvasespequeños.Elcosteporalmacenajeesde10céntimosdeeuroporcadaenvasepequeñoyde20céntimosdeeuroporcadaenvasegrande.¿Quénúmerodeenvasesdecadatipoproporcionaelmínimocostedealmacenaje?”b)(1punto)Representeelrecintoquedeterminanlasinecuaciones 2x10+y, x2(5–y), x0, y0.EJERCICIO2. Sealafunción a) (1.5 puntos) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de lafunciónfpaseporelpunto(4,5)ypresenteunmáximoenelpuntodeabscisax=1.Determineelvalordef(x)enesepunto.b)(1punto)Representelagráficadefparap=2yq=1yhallelaecuacióndelarectatangenteaestagráficaenelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.Enunatiendadecomplementosdisponende100bolsos,deloscuales80sondeunaconocidamarca y 20 son imitaciones casi perfectas de dichamarca. Una inspecciónencargaaunexpertoelperitajede losbolsosde la tienda. Se sabequeesteexpertoaciertaenel95%desusperitajescuandoelbolsoesauténticoyquedetectael98%delasimitaciones.Seelige,alazar,unbolsoparasuexamen: a)(1.25puntos)Calculelaprobabilidaddequeelexpertoacierteensudictamensobreesebolso. b)(1.25puntos)Sielexpertonohaacertadoensuperitaje,calculelaprobabilidaddequeelbolsoseaauténtico.EJERCICIO4.El peso de los huevos de una granja sigue una ley Normal demedia desconocida ydesviación típica 1.23 gramos. Para estimar lamedia poblacional se ha tomado unamuestradedosdocenasdehuevosquehandadounpesototalde1615.2gramos. a)(1.75puntos)Halleunintervalodeconfianza,al96%paralamediapoblacional. b) (0.75 puntos) Con el mismo nivel de confianza anterior, si nos exigieran que elintervalotuvieraunaamplitudmáximade0.8,¿dequétamaño,comomínimo,habríaquetomarlamuestra?


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CURSO2014‐2015 1


3 2 3 21 4

a)(0,75puntos)Efectúelaoperación .b)(0,75puntos)DeterminelamatrizXtalque 2 .c)(1punto)HallelamatrizYtalque 6

9 EJERCICIO2.Unaentidadfinancieralanzaalmercadounplandeinversióncuyarentabilidad,R(x),enmilesdeeuros,vienedadaporlafunción

0.001 0.5 2.5 1 500a) (1 punto) Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener lamáximarentabilidad.b)(0,5puntos)¿Quérentabilidadseobtendrácondichainversión?c)(1punto)¿Cuáleslacantidaddedineroparalaqueseobtienemenorrentabilidad?EJERCICIO3.a)(1punto)Unilusionistatieneseiscartas:cuatroasesydosreyes.Sacaunacarta,laenseñaalpúblicoy,siverla,lavuelveamezclarconlasdemás.Acontinuaciónsacaunasegundacartaqueresultaserunas.¿Cuáles laprobabilidaddeque laprimeracartahayasidotambiénunas?b)(1,5puntos)Sielilusionistanodevolvieralaprimeracartaalabarajaylasegundacartaextraídafueraunas,¿cuáles laprobabilidaddeque laprimeracartahayasidotambiénunas?EJERCICIO4.(2.5puntos)LatallamediadelosalumnosdeunaUniversidadsigueunadistribuciónNormaldemedia170cmydesviacióntípica6cm.Estudiosrecienteshacensospecharquedichatallamediahaaumentado.Paraconfirmar,ono,esasospechasehatomadounamuestrade64estudiantesdeesaUniversidad,cuyatallamediaharesultadoserde172cm.Con un nivel de significación del 1%, plantee un contraste de hipótesis(H0:170),determinelaregióncríticadeesecontrasteyrazonesisepuedeconcluirquelatallamediapoblacionalhaaumentado.

CURSO2014‐2015 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible definida por las siguientesrestricciones:

4 2 5 2 5 10 2 2 6 0 0ycalculesusvértices.b) (0,5 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo

, 2 enlaregiónanteriorylospuntosdondesealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafunción12 1

1 1

a)(1,5puntos)Hallelosvaloresdeaybsabiendoquelafunciónesderivableenx=1.b)(1punto)Paraa=1yb=1obtengalaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónf(x)enelpuntodeabscisax=2.EJERCICIO3.El 30%de los habitantes de una ciudad lee el diario A, el 13% el diario B, y el 6%ambosdiarios.a) (1,25puntos)¿Quéporcentajedehabitantesdeestaciudadno leeningunode losdiarios?b)(1,25puntos)SiseeligealazarunhabitantedeestaciudaddeentrelosnolectoresdeldiarioB,¿cuáleslaprobabilidaddequeleaeldiarioA?EJERCICIO4.El tiempo en horas dedicado cada día al uso de una aplicación de mensajeríainstantáneaporlosestudiantesdebachilleratodeunaciudad,esunavariablealeatoriaque sigue una ley Normal con desviación típica 0.5 horas. Se toma una muestraaleatoriade10estudiantesyseobtienenlossiguientestiemposdeusoenhoras:3,5 4,25 2,25 3,75 4,2 2,75 1,25 1,2 1,75 2,1

a) (1,5 puntos) Determine un intervalo de confianza al 90% para el tiempo mediodiariodedicadoalusodeestaaplicaciónporlosestudiantes.b) (1 punto) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempomedio diario dedicado al uso de esta aplicación, para un error de estimación nosuperiora0,1horasymismoniveldeconfianzaanterior.


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CURSO2014‐2015 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.Seanlasmatrices

1 1 20 1 11 0 2

, 1 2 11 2 0 , 2 1 , 1 1 2

a) (0,8 puntos) Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se puedenrealizar,indicandolasdimensionesdelamatrizresultante:

b)(0,5puntos)DespejelamatrizXenlaecuación 2 3 ,sincalcularsuselementos.c)(1,2puntos)Calculelamatriz 2 .

EJERCICIO2.La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno estácomprendidaentre4Cy36C.Lavidaendías,enfuncióndelatemperaturamediaT,medidaengradoscentígrados,vienedadaporlafunción:

116 40 16 , 4, 36 .

a)(1punto)Determinelavidamáximaquepuedealcanzarlamoscacomún.b)(1punto)Calculelavidamínimaeindiquelatemperaturamediaalaquesealcanza.c)(0,5puntos)Sisabemosqueunamoscahavivido15días,¿aquétemperaturamediahaestadoelentornodondehahabitado?

EJERCICIO3.El70%delosclientesdeunsupermercadorealizanlascomprasenellocalyelrestodelosclienteslasrealizanporinternet.Delascomprasrealizadasenellocal,sóloel30%supera los 100 €, mientras que de las realizadas por internet el 80% supera esacantidad.a)(1,5puntos)Elegidaunacompraalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequesuperelos100€?b)(1punto)Sisesabequeunacomprasuperalos100€,¿cuáleslaprobabilidaddequesehayahechoenellocal?

EJERCICIO4.(2.5puntos)UnacaracterísticapoblacionalXsigueunadistribuciónNormalN(,2.1).SobreellaseformulauncontrastedehipótesisbilateralconH0:=5.5aunniveldesignificación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 queproporcionaunamediamuestralde6.3.Planteedichocontraste,determinesuregióncríticayrazonesisepuedeaceptarlahipótesisnula.

CURSO2014‐2015 2

OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5 puntos)Un supermercado tiene almacenados 600 kg demanzanas y 400 kg denaranjas.Paraincentivarsuventaelaboradostiposdebolsas:AyB.LasbolsasdetipoAcontienen3kgdemanzanasy1kgdenaranjas;lasbolsasdetipoBincluyen2kgdecadaunodelosproductos.ElpreciodeventadelabolsaAesde4€yde3€eldelabolsadetipoB.Suponiendoquevendetodaslasbolsaspreparadas,¿cuántasbolsasdecadatipodebehaberelaboradoparamaximizarlosingresos?¿Acuántoasciendeelingresomáximo?EJERCICIO2. Calculeladerivadadecadaunadelassiguientesfunciones:a)(0,9puntos) .b)(0,8puntos) 1 .c)(0,8puntos) log 1 .EJERCICIO3.SeandossucesosAyBtalesqueP(A)=0,25,P(B)=0,6,P(ABC)=0,1.a)(0,75puntos)CalculelaprobabilidaddequeocurraAyocurraB.b)(0,75puntos)CalculelaprobabilidaddequenoocurraAperosíocurraB.c)(0,5puntos)CalculelaprobabilidaddequeocurraAsabiendoquehaocurridoB.d)(0,5puntos)¿SonindependientesAyB?EJERCICIO4.Sehalanzadoundado400veces,yen72deellashasalidountres.a)(2puntos)Calculeunintervalodeconfianza,al99,2%,paralaproporcióndevecesqueseobtieneuntres.b)(0,5puntos)Calculeelerrormáximoadmisiblecometidoconeseintervalo.


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CURSO2014‐2015 3


1 0 , 1 11 1 , 2 1

3 2 .

a)(1.25puntos)Resuelvalaecuación .

b)(1.25puntos)Calcule .

EJERCICIO2.

Sealafunción1 0

1 0 48 17 4

a)(1.2puntos)Representegráficamentelafunciónf.b)(0.8puntos)Estudiesucontinuidadyderivabilidad.c)(0.5puntos)Calculef´(1)yf´(5).

EJERCICIO3.a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de suspuntuacionesseaunmúltiplode4.b)(1punto)Deunexperimentoaleatorioseconocenlassiguientesprobabilidades

0.8, 0.7, ∪ 0.5¿SonAyBincompatibles?

EJERCICIO4.(2.5puntos)Elserviciodeatenciónalclientedeunaempresafuncionaeficazmentesieltiempomediodeatenciónesinferioroiguala7minutos.Setomaunamuestrade36clientesatendidosyseobservaqueeltiempomedioesde8minutos.Suponiendoqueel tiempo empleado en atender a un cliente sigue una distribución Normal convarianza16,planteeuncontrastedehipótesis : 7 ,conunniveldesignificaciónde0.05,determinelaregióncríticadeestecontrasteyrazonesisepuedeaceptarqueeseserviciofuncionadeformaeficaz.

CURSO2014‐2015 3

OPCIÓNBEJERCICIO1.Seaelsiguienteconjuntodeinecuaciones:

3 8; 3 2 15; 3 12; 0; 0.a)(1punto)Dibujeelrecintodelplanodeterminadoporestasinecuaciones.b)(1punto)Determinelosvérticesdeesterecinto.c) (0.5 puntos) Maximice la función , 5 9 en este recinto, indicando elpuntoopuntosdondesealcanzaesemáximo.EJERCICIO2. Seconsideralafunción 2 a)(1.3puntos)Halleelmáximo,elmínimoyelpuntodeinflexióndelafunción.b)(0.6puntos)Calculelospuntosdecorteconlosejes.c)(0.6puntos)Obtengalasecuacionesdelasrectastangentesa lagráficade fenlospuntosdeabscisasx=0yx=1.EJERCICIO3.Unaempresadedicadaalaproduccióndejamonesibéricosdisponededossecaderos,AyB,condistintascondicionesambientalesydealmacenamiento.EnelsecaderoBsecuranlatercerapartedelosjamones.El25%delosjamonescuradosenelsecaderoAsoncatalogadoscomoReserva,mientrasqueenelBesteporcentajeasciendeal80%.Elegido un jamón al azar de uno de los secaderos, calcule la probabilidad de lossiguientessucesos:a)(1.5puntos)EljamónnoesdeReserva.b)(1punto)SieljamónesdeReserva,queprocedadelsecaderoA.EJERCICIO4.De una poblaciónNormal demediadesconocida y desviación típica 2 se extrae lasiguientemuestraaleatoriasimpledetamaño10: 3.8 6.3 4.3 6 6.2 5.8 1.5 3.3 3.4 2.9a)(1.5puntos)Estime,medianteunintervalodeconfianza,lamediapoblacionalparaunniveldeconfianzadel92%.Obtengasuerrordeestimación.b)(1punto)¿Quétamañomuestralmínimoseríanecesarioparareducireseerroralamitad,conelmismoniveldeconfianza?


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CURSO2014‐2015 4

OPCIÓNAEJERCICIO1.a)(1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 2 1

1 21 10 2 .

b)(1punto)Dadaslasmatrices 0 11 0 y 2 1 ,calculelosvaloresdeayb

paraqueseverifiquelaecuación .

EJERCICIO2.

Sealafunción 23 2

a) (1.5 puntos)Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el puntodondelagráficadelafunciónfcortaalejedeordenadas.b)(1punto)Hallelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenx=3.

EJERCICIO3.Unestudioestadísticodeterminaquelanochedel31dediciembreconduceel5%delapoblación,el20%consumealcoholesanocheyel2%conduceyconsumealcohol.a)(0.5puntos)¿Sonindependienteslossucesos“conducir”y“consumiralcohol”?b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esanoche?c) (1 punto) De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esanoche?

EJERCICIO4.El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es unavariablealeatoriaNormalcondesviacióntípica10000€.a)(2puntos)Setomaunamuestraaleatoriade9hipotecasconlossiguientescapitales(eneuros):

95000 99000 105000 106000 108000 111000 112000 115000 120000Construyaunintervalodeconfianza,al95%,paraelcapitalmediodedichashipotecas.b) (0.5 puntos) ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en unamuestraparaque,conelmismoniveldeconfianza,elerrormáximoenlaestimacióndelcapitalmedioseade4000€?

CURSO2014‐2015 4

OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5puntos)Sedeseainvertir100000€endosproductosfinancierosAyBquetienenunarentabilidaddel2%ydel2.5%respectivamente.SesabequeelproductoBexigeuna inversión mínima de 10000 € y, por cuestiones de riesgo, no se desea que lainversiónenBsupereeltripledelo invertidoenA.¿Cuántosedebeinvertirencadaproductoparaqueelbeneficioseamáximoycuálseríadichobeneficio?EJERCICIO2. Seconsideralafunciónf,definidaatrozosporlaexpresión

6 22 2

a)(0.5puntos)Estudielacontinuidaddelafunción.b)(0.5puntos)Analiceladerivabilidaddelafunción.c)(1.5puntos)Represéntelagráficamente,determinandolosextremos, losintervalosdecrecimientoydecrecimientoylospuntosdecorteconlosejes.EJERCICIO3.Unaenfermedadpuedeestarprovocadaporsolounadeestastrescausas:A,BoC.LaprobabilidaddequelacausaseaAes0.3,ladequeseaBes0.2yladequeseaCes0.5.Eltratamientodeestaenfermedadrequierehospitalizaciónenel20%deloscasossiestáprovocadaporA,enel55%silacausaesByenel10%silacausaesC.a)(1.5puntos)¿Cuáles laprobabilidaddequeunenfermocon lacitadaenfermedadnonecesitehospitalización?b) (1punto) Si un enfermoestá hospitalizadodebido a esta enfermedad, ¿cuál es laprobabilidaddequelacausahayasidoA?EJERCICIO4.(2.5puntos)Elpesomediodelospájarosdeunadeterminadaespeciequehabitaenunparque natural se consideraba no inferior a 110 g, pero los biólogos del parquesostienenahoralahipótesisdequedichopesomediohadisminuidoaconsecuenciadelcambio climático. Seha tomadounamuestrade100pájarosde esta especie y sehaobtenido un pesomedio de 108 g. Se sabe que la variable quemide el peso de lospájarosdeestaespeciesigueunadistribuciónNormalcondesviacióntípicaiguala6g.Planteeuncontrastedehipótesis : 110 ,conunniveldesignificacióndel5%,determinelaregióncríticadeestecontrastey,utilizandoésta,razonesiconesenivelsepuedeaceptarquelosbiólogosdelparqueestánenlocierto.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.(2.5puntos)Conmotivodesuinauguración,unaheladeríaquiererepartirdostiposdetarrinasdehelados.Elprimertipodetarrinaestácompuestopor100gdeheladodechocolate,200gdeheladodestraciatellay1barquillo.Elsegundotipollevará150gdeheladodechocolate,150gdeheladodestraciatellay2barquillos.Sólosedisponede8kgdeheladodechocolate,10kgdeheladodestraciatellay100barquillos.¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo númeroposibledetarrinas?EJERCICIO2.a) (1.5puntos)Calculeladerivadadecadaunadelassiguientesfunciones:

3 ln, 1 1 , 3 7

1

b) (1punto)Hallelasasíntotasdelafunción EJERCICIO3.Delos700alumnosmatriculadosenunaasignatura,210sonhombresy490mujeres.Sesabequeel60%deloshombresyel70%delasmujeresapruebandichaasignatura.Seeligeunapersonaalazar.a)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequeapruebelaasignatura?b)(1punto)Sabiendoquehaaprobadolaasignatura,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaunamujer?EJERCICIO4.La calificacióndeMatemáticasde los alumnosdeun centrodocente es una variablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormaldedesviacióntípica1.2.Unamuestrade10alumnoshadadolassiguientescalificaciones: 3 8 6 3 9 1 7 7 5 6a) (1.75puntos)Se tiene la creenciadeque la calificaciónmediade losalumnosdelcentro en Matemáticas es a lo sumo 5 puntos. Con un nivel de confianza del 5%,planteeelcontrasteunilateralcorrespondiente(H0:5),determinelaregióncríticayrazonesilacreenciaesfundadaono.b) (0.75puntos) ¿Obtendría lamisma respuesta si elnivelde significación fuesedel15%?


OPCIÓNBEJERCICIO1.

Seanlasmatrices 2 31 1 , 2 3

5 1 ,2 00 23 0

a)(1,7puntos)CalculelasmatricesXeYsi 2 y 2 .b) (0.8puntos)Analice cuáles de las siguientesoperaciones conmatrices se puedenrealizar,indicandoenloscasosafirmativoslasdimensionesdelamatrizD:

EJERCICIO2.

Seconsideralafunción2 0 2

2

a)(1punto)Determineelvalordeaparaquelafunciónseacontinua.b)(0.75puntos)¿Paraa=−10,escrecientelafuncionenx=3?c)(0.75puntos)Hallesusasíntotasparaa=−10.EJERCICIO3.Laproporcióndepersonasdeunapoblaciónquetieneunadeterminadaenfermedades de 1 de cada 500 personas. Se dispone de una prueba para detectar dichaenfermedad.Lapruebadetectalaenfermedadenel90%deloscasosenquelapersonaestáenferma,perotambiéndacomoenfermasal5%delaspersonassanas.a) (1.25 puntos) Se elige al azar una persona y se le hace la prueba. ¿Cuál es laprobabilidaddequehayasidodiagnosticadacorrectamente?b)(1.25puntos)Silapruebahadiagnosticadoquelapersonaestáenferma,¿cuáleslaprobabilidaddequerealmenteloesté?¿Ydequeestésana?EJERCICIO4.UnfabricantedetuberíasdePVCsabequeladistribucióndelosdiámetrosinterioresde los tubosde conducciónde aguaqueproduce sigueuna leyNormal convarianza

0.25 .Paraestimareldiámetromediodeesas tuberías, tomaunamuestraaleatoriade64tubosycompruebaqueeldiámetromediodeesamuestraesde20mm.a)(1.5puntos)Calculeunintervalodeconfianza,conunniveldel98%paralamediadelosdiámetrosdelostubosquefabrica.b)(1punto)Halleeltamañomínimoquedebetenerunamuestradeesadistribuciónparaquelaamplituddeunintervalodeconfianza,conesemismoniveldeconfianza,seainferiora2mm.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices 1 21 2 , 1 2 2

1 1 2 ,8 412 88 4

a)(0.5puntos)Calcule .b)(2puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 4 .

EJERCICIO2.a)(1punto)Determineelvalordeaparaqueseacontinuaenx=1lafunción

1 1

3 6 2 1

b) (1.5 puntos) calcule los coeficientesb y c de la función 2paraque(1,2)seaunpuntodeinflexióndeg.

EJERCICIO3.Lucíaquiereirdevacacionesalacosta.Ensuguíadeviajesleequeenesaépocadelaño lluevedosdíasa lasemanayquehacevientoel25%de losdíasque llueveyel40%delosdíasquenollueve.Elegidoundíadeesaépoca,a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequehagaviento?b)(0.75puntos)Sihaceviento,¿cuáleslaprobabilidaddequeestélloviendo?c)(0.75puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequenolluevaynohagaviento?

EJERCICIO4.a)(1.5puntos)Enunamuestraaleatoriade100botellasdeaguamineralseencontróun contenido medio de 48 cl. Sabiendo que la variable “contenido de agua en unabotella” sigue una ley Normal con desviación típica 5 cl, determine un intervalo deconfianzaparalamediapoblacional,conunniveldeconfianzadel95%.b) (1 punto) ¿Qué tamañomuestralmínimo debería considerarse para estimar estamediaconelmismoniveldeconfianzayunerrorinferiora0.5cl?


OPCIÓNBEJERCICIO1.Sedisponede160mdetejidodepanay240mdetejidodelanaparahacertrajesyabrigos.Seusa1mdepanay2mdelanaparacadatraje,y2mdepanay2mdelanaparacadaabrigo.Cadatrajesevendea250€ycadaabrigoa350€.a)(2puntos)¿Cuántostrajesyabrigossedebenconfeccionarparaobtenerelmáximobeneficio?¿Acuántoasciendedichobeneficio?b)(0.5puntos)¿Puedenhacerse60trajesy50abrigosconesascantidadesdetejido?Encasoafirmativo,¿obtendríaelmáximobeneficioalvenderlotodo?EJERCICIO2. Sealafunción 9 8.a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto deinflexión,siexisten.b)(0.8puntos)Determinelaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.EJERCICIO3.EnunaurnaAhay8bolasverdesy6rojas.EnotraurnaBhay4bolasverdes,5rojasy1negra.Selanzaundado,sisaleunnúmeromenorque3sesacaunaboladelaurnaA,ysisalemayoroigualque3sesacaunaboladelaurnaB.a)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequelabolaseaverdesihasalidoun4.b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequelabolaelegidasearoja.c)(1punto)Sabiendoquehasalidounabolaverde,¿cuáleslaprobabilidaddequeseadelaurnaA?EJERCICIO4.La concentración de arsénico en los moluscos de una zona costera sigue una leyNormalcondesviacióntípica6mg/kg.Paraverificar lacalidaddeestosmoluscossetomaunamuestraaleatoriadetamaño36paracontrastarsi lamediapoblacionalnosupera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la normativa sanitaria

: 80 a)(1.5puntos)Determinelaregióncríticadeestecontrasteaunniveldesignificacióndel5%.b)(1punto)¿Deberechazarseestahipótesisnula,alniveldel5%,sienesamuestrade36moluscosseencuentraunaconcentraciónmediadearsénicode82mg/kg?


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CURSO2015‐2016 1

OPCIÓNAEJERCICIO1.

Seanlasmatrices 1 20 3 ,

1 10 21 1

, 1 4 02 3 1

a)(1.7puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 2 .b)(0.8puntos)Analicecuálesdelassiguientesoperaciones,sinefectuarlas,sepuedenrealizaryjustifiquelasrespuestas: 2 , , , .

EJERCICIO2.(2.5puntos)Unafábricaproduceentre1000y6000bombillasaldía.Elcostediariodeproducción,eneuros,dexbombillasvienedadoporlafunción

9000 0.082000000

, 1000 6000

¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? ¿Cuálseríadichocoste?

EJERCICIO3.El60%delosjóvenesdeunaciudadusaFacebook,el80%usaWhatsAppyel4%usaFacebookperonoWhatsApp.a) (0.5 puntos) Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambasaplicaciones.b) (0.75 puntos) Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero noFacebook.c) (0.75puntos)Entre los jóvenesqueusanWhatsApp, ¿quéporcentajeusa tambiénFacebook?d)(0.5puntos)Lossucesos“usarFacebook”y“usarWhatsApp”,¿sonindependientes?

EJERCICIO4.a) (1.5 puntos) La talla de los individuos de una población sigue una distribuciónNormal con desviación típica 8 cm y media desconocida. A partir de una muestraaleatoriasehaobtenidounintervalodeconfianzaal95%paraestimarlatallamediapoblacional,queharesultadoser(164.86,171.14)encm.Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral mínimo necesario parareduciralamitadelerrormáximodeestimaciónanterior.b)(1punto)Enunclubprivadocon243usuariossehaseleccionadounamuestraparahacerun sondeo, según laactividad realizadaypormuestreoaleatorioestratificado.En esamuestra, 5 usuarios practican Yoga, 7 Pilates y 15Mantenimiento, ¿cuántosusuariosestáninscritosencadaactividadeneseclub?

CURSO2015‐2016 1

OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5 puntos)Una empresa fabrica dos tipos de agua de colonia, A y B. La colonia Acontieneun5%deextractoderosasyun10%dealcohol,mientrasquelaBsefabricaconun10%deextractoderosasyun15%dealcohol.ElpreciodeventadelacoloniaAesde24€/litroyeldelaBesde40€/litro.Sedisponede70litrosdeextractoderosas yde120 litrosde alcohol. ¿Cuántos litros de cada colonia convendría fabricarparaqueelimportedelaventadelaproducciónseamáximo?EJERCICIO2. Losbeneficiosdeunaempresa,enmilesdeeuros,hanevolucionadoenlos25añosdesuexistenciasegúnunafuncióndeltiempo,enaños,dadaporlasiguienteexpresión:

4 0 1015 8 20 10 25

a)(1punto)EstudielacontinuidadyderivabilidaddeBenelintervalo[0,25].b) (1 punto) Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueronmayoreslosbeneficiosdeestaempresaycuálfuesubeneficiomáximo.c)(0.5puntos)Representegráficamenteestafunción.EJERCICIO3.De los sucesos A y B de un experimento aleatorio se conocen las siguientesprobabilidades: 0.4, 0.5, ∪ 0.1a)(0.75puntos)RazonesiAyBsonsucesoscompatibles.b)(0.75puntos)RazonesiAyBsonsucesosindependientes.c)(0.5puntos)Calcule ∩ .d)(0.5puntos)Calcule ⁄ .EJERCICIO4.(2.5puntos)EnunartículodeinternetseafirmaqueelnúmeromediodemensajesdeWhatsAppquemandanlosjóvenesaldíanoesinferiora40.Paracontrastardichainformaciónseeligeunamuestraaleatoriade100jóvenesyseobserva que envían una media de 38 mensajes al día. Se sabe que el número demensajesenviadosdiariamentesigueunadistribuciónNormaldedesviacióntípica2.Conunniveldesignificacióndel5%planteeuncontraste, : 40 ,determine laregión de rechazo y concluya si ¿se puede aceptar la afirmación del artículo deinternet?


110

CURSO2015‐2016 2

OPCIÓNAEJERCICIO1.Sealaregiónfactibledefinidaporlassiguientesinecuaciones:

20 0 5 13 8 0

a)(1.5puntos)Represéntelagráficamenteycalculesusvértices.b)(0.4puntos)Razonesielpunto(3,2.5)estáenlaregiónfactible.c)(0.6puntos)Determineelvalormáximoyelmínimodelafunción , 6enesaregiónylospuntosenlosquesealcanzan.

EJERCICIO2.a)(1.2puntos)Calculelasderivadasdelassiguientesfunciones:

1 3 5ln 3

b) (0.7 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funciónenelpuntodeabscisax=1.

c)(0.6puntos)Determine,siexisten,lasecuacionesdelasasíntotasdelafunciónh(x).

EJERCICIO3.En un centro de estudios que tiene 250 estudiantes, hay 50 que tienen problemasvisualesy20quetienenproblemasauditivos.Lossucesos“tenerproblemasvisuales”y“tenerproblemasauditivos”sonindependientes.Seeligeunestudiantealazar,calculelasprobabilidadesdelossucesossiguientes:a)(0.75puntos)Tenerproblemasvisualesyauditivos.b)(0.75puntos)Notenerproblemasvisualesniauditivos.c)(1punto)Teneralgúnproblemaauditivosinotieneproblemasvisuales.

EJERCICIO4.SesabequeeldiámetrodelasestrellasdemardeunaregiónsigueunaleyNormalconvarianza2.25cm2.Sesospechaque,igualqueocurreenotrasregiones,sudiámetronosuperalos11.7cm : 11.7 .Paraconfirmarloseextraeunamuestraaleatoriadeestrellasdemardeesaregión,obteniéndoselossiguientesdiámetros:

12.5 11.8 13.1 14.3 11.7 12.6 12.7 12.1 13.5 11.5a)(1.75puntos)Planteeuncontrastedehipótesis,yparaunniveldesignificacióndel5%,obtengalaregiónderechazodelcontraste.¿Sepuedeconfirmarlasospecha?b) (0.75 puntos) ¿Y para un nivel de significación del 3%, se puede confirmar lasospecha?

CURSO2015‐2016 2


2 61 0 11 2 0

a)(1.5puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 2 .b)(1punto)Razonecuálesdelassiguientesoperacionespuedenrealizarseeindique,ensucaso,ladimensióndelamatrizresultante:

, , , EJERCICIO2. La función de costes de una fábrica, f(x), en miles de euros, viene dada por laexpresión: 2 36 200,dondexeslacantidadfabricadadelproducto,enmilesdekilogramos.a)(0.8puntos)Determinelacantidadafabricarparaminimizarelcosteycalculeestecostemínimo.b) (0.8 puntos) A partir del signo de f ’(7) , ¿qué se puede decir del coste para unaproduccióndesietemilkilogramos?c) (0.9 puntos) Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad ocantidadesfabricadaselcosteesde200000€?EJERCICIO3.En un aeropuerto internacional operaron 300000 vuelos en un determinado año,distribuidosdelasiguienteforma:150000enlaterminalA,100000enlaBy50000enlaC.Eneseañosesabequesufrieronretrasosel10%delosvuelosdelaterminalA,el8%delaByel5%delaC.Determine,paraunvueloelegidoalazar,lasprobabilidadesdelossiguientessucesos:a)(1.25puntos)Quenosufrieraretraso.b)(1.25puntos)QueoperaseenlaterminalA,sabiendoquetuvoretraso.EJERCICIO4.El peso de los paquetes de azúcar de una marca, medido en gramos, sigue unadistribuciónNormal condesviación típicade16gramos.Apartirdeunamuestrade100paquetesdeazúcardedichamarca,seobtuvounpesomediode247gramos.a)(1.5puntos)Obtengaunintervalodeconfianzaparaelpesomediodelospaquetesdeazúcardeesamarca,conunniveldeconfianzadel97%.b) (1 punto) Determine el tamañomuestralmínimo necesario para estimar el pesomedioconunerrormáximode0.5gramos,aunniveldeconfianzadel95%.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.LasfilasdelamatrizP indicanlosrespectivospreciosdetresartículosA1,A2,yA3endoscomercios,C1(fila1)yC2(fila2): 25 20 15

23 25 17 .Catideseacomprar2unidadesdelartículoA1,1deA2y3deA3.Manueldeseacomprar5unidadesdeA1,1deA2y1deA3.HandispuestoesascomprasenlamatrizQ: 2 1 3

5 1 1 a)(1.8puntos)Calcule y e indiqueelsignificadodeloselementosdelasmatricesresultantes.b)(0.7puntos)Alavistadelosobtenidoenelapartadoanterior,¿dóndelesinteresahacerlacompraacadauno?

EJERCICIO2.a)(1.2puntos)Calculelosvaloresdeaybparaquelafunción

2 1

3 1 1

seaderivableenelpuntodeabscisax=1.b)(1.3puntos)Paraa=1yb=2,estudiesumonotoníaydeterminelasecuacionesdesusasíntotas,siexisten.

EJERCICIO3.Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par dezapatosdecolorrojo,otrodecolorazulydosparesblancos.Sidecidealeatoriamentequéponerse,determinelasprobabilidadesdelossiguientessucesos:a)(0.8puntos)Llevaruntrajerojoyunoszapatosblancos.b)(0.9)puntos)Noirtodavestidadeblanco.c)(0.8puntos)Calzarzapatosazulesoblancos.

EJERCICIO4.SedeseaestimarlamediadeunavariablealeatoriaNormalcuyadesviacióntípicaes2.5.Paraello,setomaunamuestraaleatoria,obteniéndoselossiguientesdatos: 18 18.5 14 16.5 19 20 20.5 17 18.5 18a)(1punto)Determineunintervalodeconfianzaal96%paralamediapoblacional.b)(0.5puntos)¿Cuáleselerrormáximocometidoconesaestimación?c) (1punto)Conelmismonivelde confianza, si queremosque el errormáximo seainferiora1,¿quétamañomuestralmínimodebemostomar?


OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5 puntos)Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para laelaboracióndeunaunidadsenecesitauntrabajomanualde2horasparaelprimertipoyde3horasparaelsegundoydeuntrabajodemáquinade2horasparaelprimertipoyde1horaparaelsegundo.Porcuestioneslaboralesydeplanificación,sedisponedehasta600horasalmesparaeltrabajomanualydehasta480horasalmesparaeldestinadoalamáquina.Sielbeneficioporunidadparacadatipodealfombraesde150€y100€respectivamente,¿cuántasalfombrasdecadatipodebeelaborarparaobtenerelmáximobeneficio?¿Acuántoasciendeelmismo?EJERCICIO2. Lacantidad,C,queunaentidadbancariadedicaacréditosdependedesu liquidez,x,segúnlafunción

150 5100 10 50

200 1025 3 50

dondeCyxestánexpresadasenmilesdeeuros.a)(1punto)JustifiquequeCesunafuncióncontinua.b)(1punto)¿Apartirdequéliquidezdecrecelacantidaddedicadaacréditos?¿CuáleselvalormáximodeC?c)(0.5puntos)Calculelaasíntotahorizontaleinterprételaenelcontextodelproblema.EJERCICIO3.Enunaencuestasobrelanacionalidaddelosveraneantesenunmunicipiodelacostaandaluza, se ha observado que el 40% de los encuestados son españoles y el 60%extranjeros, que el 30%de los españoles y el 80%de los extranjeros residen en unhotelyelrestoenotrotipoderesidencia.Seeligealazarunveraneantedelmunicipio.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequenoresidaenunhotel?b)(1punto)Sinoresideenunhotel,¿cuáleslaprobabilidaddequeseaespañol?c)(0.5puntos)¿Sonindependienteslossucesos"serextranjero"y"residirenunhotel"?EJERCICIO4.ElpesodeloshabitantesdeunadeterminadaciudadsigueunaleyNormaldemedia65kgydesviacióntípica8kg.a) (0.75 puntos) ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras dehabitantesdetamaño64extraídasdeesaciudad?b)(1.75puntos)Siseextraeunamuestraaleatoriadetamaño100deesaciudad,¿cuáleslaprobabilidaddequeelpesomediodeesamuestraestécomprendidoentre64y65kg?


112



1 3 , 2 1 34 0 1 1 1 0

2 3 2 .

a)(1.7puntos)Resuelvalaecuaciónmatricial 2 .

b)(0.8puntos)¿QuédimensionesdebentenerlasmatricesPyQparaquelasmatrices(B+C)·PyB·Q·Ctseancuadradas?

EJERCICIO2.Deunafuncióncontinuayderivable,f,sesabequelagráficadelafunciónderivada,f‘,esunaparábolaquepasapor lospuntos (1,0)y (3,0)yque tienesuvérticeenelpunto(1,2).

a)(1.5puntos)Determinelosintervalosdecrecimientoydecrecimientodelafunciónf,asícomolaexistenciadeextremos.

b)(1punto)Si f (1)=2,encuentre laecuaciónde larectatangentea lagráficade lafunciónfenelpuntodeabscisax=1.

EJERCICIO3.SeanAyBdossucesosaleatoriostalesque

0.3, 0.6, ∩ 0.28.a)(1punto)Hallelaprobabilidaddequeocurranambossucesosalavez.b)(1punto)CalculalaprobabilidaddequeocurraAsabiendoquenohaocurridoB.c)(0.5puntos)¿SonAyBindependientes?

EJERCICIO4.Una cadena de hipermercados decide estudiar la proporción de artículos de undeterminado tipo que tienen defectos en su envoltorio. Para ello, se seleccionaaleatoriamente2000artículosdeeste tipoentresushipermercadosyencuentraque19deellostienendefectosensuenvoltorio.a)(1.5puntos)Determineunintervalo,al95%deconfianza,paralaproporciónrealdeartículosconestetipodedefectoeinterpreteelresultadoobtenido.b) (1 punto) ¿Cuántos artículos, comomínimo, deberá seleccionar para que, con unniveldeconfianzadel99%, laproporciónmuestraldifierade laproporciónreala losumoenun1%?


OPCIÓNBEJERCICIO1.a) (1.5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones ydeterminesusvértices:

2 2 4 2 10 5 4 0b)(1punto)Calculelosvaloresextremosdelafunción , 6 3 ,enlaregiónanteriorydeterminelospuntosenlosquesealcanzan.EJERCICIO2.

Sealafunción4 2

2

a)(1.3puntos)Calculeelvalordeaparaquelafunciónseacontinuaenx=2.Paraesevalordeaobtenido,¿esderivablelafunciónenx=2?b) (1.2 puntos) Para a = 4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de lasasíntotas,siexisten.EJERCICIO3.Elaparcamientodeunasaladeconciertosestácompletoel85%delosdías.El90%delosdíasqueelaparcamientoestácompleto,lasaladeconciertosestállena,yel22%delosdíasqueelaparcamientonoestácompleto,lasaladeconciertosnoestállena.Elegidoundíaalazar,a)(1.5puntos)¿Cuáleslaprobabilidaddequelasaladeconciertosestéllena?b)(1punto)Sisesabequelasaladeconciertosestállena,¿cuáleslaprobabilidaddequeelaparcamientoestécompleto?EJERCICIO4.a) (1.25puntos) Sedesea tomarunamuestra aleatoria estratificadade las personasmayores de edad de un municipio, cuyos estratos son los siguientes intervalos deedades, en años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 46 a 60 ymayoresde 60. En el primerintervalohay7500personas,enelsegundohay8400,eneltercero5700yenelcuarto3000. Calcule el tamaño de la muestra total y su composición, sabiendo que elmuestreosehaceconafijaciónproporcionalysehanelegidoalazar375personasdelprimerestrato.b)(1.25puntos)Dadalapoblación{2,4,6}construyatodaslasmuestrasposiblesdetamaño 2, que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple, y halle lavarianzadelasmediasmuestralesdetodaslasmuestras.


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0 13 10 2 .

a)(1punto)CalculelamatrizA2017.b)(1.5puntos)¿Severificalaexpresión(B+A)·(B—A)=B2–A2?

EJERCICIO2.Sea f(t) elporcentajedeocupacióndeundeterminadocomplejohoteleroen funcióndeltiempot,medidoenmeses,transcurridodesdesuinauguración:

52 20 0 690 240

4 6

a)(0.5puntos)¿Evolucionalafunciónfdeformacontinua?b)(0.5puntos)¿Cuálseríaelporcentajedeocupaciónalfinalizarelsegundoaño?c)(1punto)¿Enquémomentoselporcentajedeocupaciónseríadel40%?d)(0.5puntos)¿Llegaríaenalgúnmomentoaestarcompletoencasodequeestuvieseabiertoindefinidamente?

EJERCICIO3.Sesabequeel90%delosalumnosdeuncentrodocenteestáinteresadoporlasredessociales,el60%estáinteresadoporsusnotasyel55%porambascuestiones.Seeligealazarunalumnodeesecentro.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequedichoalumnoestéinteresadoporalgunadelasdoscuestiones?b)(1punto)Calculelaprobabilidaddequeestéinteresadoporsusnotas,sabiendoquenoestáinteresadoporlasredessociales.c)(0.5puntos)Calculelaprobabilidaddequenoestéinteresadoporningunadeestasdoscuestiones.

EJERCICIO4.Laalturadelosestudiantesde2°debachilleratodeuncentrosigueunaleyNormaldemedia165cmydesviacióntípica10cm.a)(1punto)¿Quédistribuciónsiguelaalturamediadelasmuestrasdetamaño25?b)(1.5puntos)Seeligealazarunamuestrade25estudiantesyselesmidelaaltura.¿Cuáleslaprobabilidaddequelaalturamediadeesamuestrasupere160cm?


OPCIÓNBEJERCICIO1.(2.5 puntos)Un distribuidor de software informático tiene en su cartera de clientestanto a empresas comoaparticulares.Hade conseguir almenos25empresas comoclientesyelnúmerodeclientesparticularesdeberásercomomínimoeldoblequeelde empresas. Por razones de eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado unlímite global de 120 clientes anuales. Cada empresa le produce 386 € de beneficio,mientras que cada particular le produce 229 €. ¿Qué combinación de empresas yparticularesleproporcionaráelmáximobeneficio?¿Acuántoascenderáesebeneficio?EJERCICIO2. a)(1.5puntos)Calculeladerivadadelassiguientesfunciones:

2 ln 2

b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la funciónenelpuntodeabscisax=1.

EJERCICIO3.Enunaciudadhaydosfábricasdepasta,F1yF2,queproducendostiposdeproductos,A y B, que venden a un distribuidor en paquetes de 1 kg. En unmes, la fábrica F1produce20000kgdepasta,de losque12000sondel tipoAy la fábricaF2produce25000kgdepastadelosque15000kgsondeltipoA.Seescogealazarunpaquetedeldistribuidor.a)(1.5puntos)¿CuáleslaprobabilidaddequeseadeltipoB?b) (1 punto) Si el paquete elegido resulta ser del tipoA, ¿qué esmás probable, queprocedadelafábricaF1oqueprocedadelaF2?EJERCICIO4.LapuntuaciónobtenidaporlosparticipantesenunapruebaesunavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónNormalconunadesviacióntípicade6puntos.Setomaunamuestraaleatoriade64participantesenesaprueba,resultandounapuntuaciónmediade35puntos.a)(1.25puntos)Calculeunintervalodeconfianza,al95%,paralacalificaciónmediadeltotaldeparticipantesenlacitadaprueba.b) (1.25 puntos) Halle el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar lapuntuaciónmediadel total departicipantes, conunerror inferior a0.5puntos yunniveldeconfianzadel99%.


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OPCIÓNAEJERCICIO1.


0 11 01 1

.

a)(1.5puntos)Justifiquecuálesdelassiguientesoperacionespuedenrealizarsey,encalcaso,calculeelresultado: b)(1punto)HallelamatrizXtalque 3 .

EJERCICIO2.Sealafunción .a)(1punto)Halleaybsabiendoquelafuncióntieneunmínimoenelpuntodeabscisax=1yunpuntodeinflexiónenelpuntodeabscisax=2.b) (1.5 puntos) Paraa = 6 yb = 9, halle los puntosde corte con los ejes, estudie lamonotoníayextremosyesbocelagráficadelafunción.

EJERCICIO3.Supongamosqueel20%delosvotantesdeTrumpapoyalaconstruccióndelmuroenlafronteraconMéxicoyquesoloel5%delosquenolovotaronlaapoya.Enungrupoformadopor5000votantesdeTrumpy10000estadounidensesquenolovotaronseeligeunapersonaalazar.a)(1punto)¿Cuáleslaprobabilidaddequeéstaapoyelaconstruccióndelmuro?b) (0.75 puntos) Si la persona elegida apoya la construcción del muro, ¿cuál es laprobabilidaddequenohayavotadoaTrump?c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea votante de Trump o apoye laconstruccióndelmuro.

EJERCICIO4.Eltiempodevidadeunadeterminadaespeciedetortugaesunavariablealeatoriaquesigue una ley Normal de desviación típica 10 años. Se toma una muestra aleatoriasimplede10tortugasyseobtienenlossiguientesvalores:

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34a) (1.5puntos)Determineun intervalode confianza, al95%,para lavidamediadedichaespeciedetortugas.b)(1punto)Calculeeltamañomínimoquedebetenerunamuestraparaqueelerrordeestimacióndelavidamedianoseasuperiora5años,conunniveldeconfianzadel98%.


OPCIÓNBEJERCICIO1.a)(0.8puntos)Representeelrecintodefinidoporlassiguientesinecuaciones:

3 2 4 1b)(0.25puntos)Razonesielpunto(2,1)pertenecealrecintoanterior.c)(1.2puntos)Obtenga losvérticesdelrecintoy losvaloresmínimoymáximode lafunción , 5 4 eneserecinto,indicandoenquépuntossealcanzan.d)(0.25puntos)RazonesilafunciónFpuedealcanzarelvalor9enelrecintoanterior.EJERCICIO2. Seconsideranlassiguientesfunciones

5 16

a)(1punto)Determinelaabscisadelpuntodondeseverifiqueque .b)(1.5puntos)Calculelaecuacióndelarectatangentealagráficadecadafunciónenelpuntodeabscisax=2ydetermineelpuntodecortedeambasrectastangentes,siexiste.EJERCICIO3.Unaurnacontiene5bolasrojasy3verdes.Seextraeunabolaysereemplazapor2bolasdelotrocolor.Acontinuaciónseextraeunasegundabola.a)(1.25puntos)Calculelaprobabilidaddequelasegundabolaextraídaseaverde.b)(1.25puntos)Hallelaprobabilidaddequelaprimerahayasidoroja,sabiendoquelasegundatambiénhasidoroja.EJERCICIO4.En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se haobservadoque25desayunanenlacafeteríadelcampus.a) (1.25 puntos) Determine, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo deconfianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad quedesayunanenlacafetería.b)(1.25puntos)SilaproporcióndeestudiantesdeesaUniversidadquedesayunanenlacafeteríadelcampusenunamuestraaleatoriaesde0.2,yelerrorcometidoen laestimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5 % calcule eltamañomínimodelamuestra.

instrucciones a) duración: 1 hora y 30 minutos. b) elija...

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