1 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITEacuteCNICO 2 ldquoSANTIAGO MARINtildeOrdquo 3 AMPLIACIOacuteN SAN CRISTOBAL

INTEGRALES TRIPLES APLICACIOacuteN Y METODOS

ALUMNO RUIZ URIBE LUIS ANTONIOCI 23828595

INGENIERIA INDUSTRIAL COD 45TACHIRA SAN CRISTOBAL

191215

2 INTEGRALES TRIPLESEn esta seccioacuten se presenta la integral triple para funciones de tres variables funcionesDel tipo f B sube 10486683 rarr1048668 tal como se hizo en la seccioacuten anterior para las integralesDobles Asiacute como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y seIlustra el proceso de resolucioacuten de la misma de manera similar se puede esbozar laDefinicioacuten y el caacutelculo de integrales muacuteltiples de funciones del tipo f Q sube 1048668n rarr1048668

21 INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJARECTANGULARSea f una funcioacuten definida sobre la caja rectangular B esto esf B sube 10486683 rarr1048668 donde B estaacute definida comoB = [ab]times[cd ]times[rs] (II1)o tambieacutenB = ( x yz)isin10486683 a le x le b and c le y le d and r le z le s (II2)Sea P una particioacuten del paralelepiacutepedo B la cual se logra con elproducto cartesiano de las particiones x P y P y z P y de losintervalos [ab] [c d] y [rs] respectivamente como se muestraa continuacioacuten x i i n n P x x x x x x x 0 1 2 minus1 minus1 = hellip hellip (II3) y j j m m P y y y y y y y 0 1 2 minus1 minus1 = hellip hellip (II4) z 0 1 2 k 1 k l 1 l P z z z z z z z minus minus = hellip hellip (II5)

ENTONCES

P = Px times Py times Pz (II6)

entoncesLa caja rectangular B tambieacuten recibe el nombrede rectaacutengulo en 10486683 Ointervalo tridimensionalaunque el nombre maacutesapropiado para B es paralelepiacutepedo

La particioacuten P del paralelepiacutepedo B entonces se obtiene aldividirla en pequentildeas cajas rectangulares tal como se muestra enla siguiente figura

Figura 21Particioacuten P de una caja rectangular B Si la particioacuten x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x x minus1de longitud minus1 Δ = minus i i i x x x la particioacuten y P tiene m+1 elementos y msubintervalos [ ] j j y y minus1 de longitud minus1 Δ = minus j j j y y y y la particioacuten z Ptiene l +1 elementos y l subintervalos [ ] k 1 k z z minus de longitudk k k 1 z z zminusΔ = minus entonces la caja rectangular B queda dividida porla particioacuten P en n sdotmsdotl paralelepiacutepedos denominados ijk B dondeel volumen de cada una de estas pequentildeas cajas osubparalelepiacutepedos denotado ijk ΔV se obtiene de acuerdo a lasiguiente ecuacioacuten ΔVijk = Δxi Δysdot j Δzsdot k

Al evaluar la funcioacuten f en un punto arbitrario ( )i j k x y z del

subparalelepiacutepedo ijk B se puede establecer la triple suma de

Riemann para la funcioacuten f en la particioacuten P denotada como T S ( )1 1 1n m l T i j k ijki j kS f x y z V= = ==ΣΣΣ Δ (II8)En la figura 22 se observa el punto ( )i j k x y z contenido en elelemento ijk B de la particioacuten P Figura 22Paralelepiacutepedo geneacuterico ijk B de la particioacuten P

La norma de la particioacuten P denotada como P es la longitud dela diagonal maacutes grande de todos los paralelepiacutepedos ijk B Si se selecciona una particioacuten maacutes fina de manera que la norma de laparticioacuten tienda a cero esto es P rarr0 entonces la expresioacuten(II8) cambia y recibe el nombre del liacutemite de la triple suma deRiemann como se muestra a continuacioacuten( ) 0 0 1 1 1n m l P T P i j k ijk i j kLim S Lim f x y z Vrarr rarr= = == ΣΣΣ Δ (II9)A partir del liacutemite de la triple suma de Riemann se establece ladefinicioacuten de la integral triple de una funcioacuten f en unparalelepiacutepedo B

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

2 INTEGRALES TRIPLESEn esta seccioacuten se presenta la integral triple para funciones de tres variables funcionesDel tipo f B sube 10486683 rarr1048668 tal como se hizo en la seccioacuten anterior para las integralesDobles Asiacute como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y seIlustra el proceso de resolucioacuten de la misma de manera similar se puede esbozar laDefinicioacuten y el caacutelculo de integrales muacuteltiples de funciones del tipo f Q sube 1048668n rarr1048668

21 INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJARECTANGULARSea f una funcioacuten definida sobre la caja rectangular B esto esf B sube 10486683 rarr1048668 donde B estaacute definida comoB = [ab]times[cd ]times[rs] (II1)o tambieacutenB = ( x yz)isin10486683 a le x le b and c le y le d and r le z le s (II2)Sea P una particioacuten del paralelepiacutepedo B la cual se logra con elproducto cartesiano de las particiones x P y P y z P y de losintervalos [ab] [c d] y [rs] respectivamente como se muestraa continuacioacuten x i i n n P x x x x x x x 0 1 2 minus1 minus1 = hellip hellip (II3) y j j m m P y y y y y y y 0 1 2 minus1 minus1 = hellip hellip (II4) z 0 1 2 k 1 k l 1 l P z z z z z z z minus minus = hellip hellip (II5)

ENTONCES

P = Px times Py times Pz (II6)

entoncesLa caja rectangular B tambieacuten recibe el nombrede rectaacutengulo en 10486683 Ointervalo tridimensionalaunque el nombre maacutesapropiado para B es paralelepiacutepedo

La particioacuten P del paralelepiacutepedo B entonces se obtiene aldividirla en pequentildeas cajas rectangulares tal como se muestra enla siguiente figura

Figura 21Particioacuten P de una caja rectangular B Si la particioacuten x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x x minus1de longitud minus1 Δ = minus i i i x x x la particioacuten y P tiene m+1 elementos y msubintervalos [ ] j j y y minus1 de longitud minus1 Δ = minus j j j y y y y la particioacuten z Ptiene l +1 elementos y l subintervalos [ ] k 1 k z z minus de longitudk k k 1 z z zminusΔ = minus entonces la caja rectangular B queda dividida porla particioacuten P en n sdotmsdotl paralelepiacutepedos denominados ijk B dondeel volumen de cada una de estas pequentildeas cajas osubparalelepiacutepedos denotado ijk ΔV se obtiene de acuerdo a lasiguiente ecuacioacuten ΔVijk = Δxi Δysdot j Δzsdot k

Al evaluar la funcioacuten f en un punto arbitrario ( )i j k x y z del

subparalelepiacutepedo ijk B se puede establecer la triple suma de

Riemann para la funcioacuten f en la particioacuten P denotada como T S ( )1 1 1n m l T i j k ijki j kS f x y z V= = ==ΣΣΣ Δ (II8)En la figura 22 se observa el punto ( )i j k x y z contenido en elelemento ijk B de la particioacuten P Figura 22Paralelepiacutepedo geneacuterico ijk B de la particioacuten P

La norma de la particioacuten P denotada como P es la longitud dela diagonal maacutes grande de todos los paralelepiacutepedos ijk B Si se selecciona una particioacuten maacutes fina de manera que la norma de laparticioacuten tienda a cero esto es P rarr0 entonces la expresioacuten(II8) cambia y recibe el nombre del liacutemite de la triple suma deRiemann como se muestra a continuacioacuten( ) 0 0 1 1 1n m l P T P i j k ijk i j kLim S Lim f x y z Vrarr rarr= = == ΣΣΣ Δ (II9)A partir del liacutemite de la triple suma de Riemann se establece ladefinicioacuten de la integral triple de una funcioacuten f en unparalelepiacutepedo B

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

La particioacuten P del paralelepiacutepedo B entonces se obtiene aldividirla en pequentildeas cajas rectangulares tal como se muestra enla siguiente figura

Figura 21Particioacuten P de una caja rectangular B Si la particioacuten x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x x minus1de longitud minus1 Δ = minus i i i x x x la particioacuten y P tiene m+1 elementos y msubintervalos [ ] j j y y minus1 de longitud minus1 Δ = minus j j j y y y y la particioacuten z Ptiene l +1 elementos y l subintervalos [ ] k 1 k z z minus de longitudk k k 1 z z zminusΔ = minus entonces la caja rectangular B queda dividida porla particioacuten P en n sdotmsdotl paralelepiacutepedos denominados ijk B dondeel volumen de cada una de estas pequentildeas cajas osubparalelepiacutepedos denotado ijk ΔV se obtiene de acuerdo a lasiguiente ecuacioacuten ΔVijk = Δxi Δysdot j Δzsdot k

Al evaluar la funcioacuten f en un punto arbitrario ( )i j k x y z del

subparalelepiacutepedo ijk B se puede establecer la triple suma de

Riemann para la funcioacuten f en la particioacuten P denotada como T S ( )1 1 1n m l T i j k ijki j kS f x y z V= = ==ΣΣΣ Δ (II8)En la figura 22 se observa el punto ( )i j k x y z contenido en elelemento ijk B de la particioacuten P Figura 22Paralelepiacutepedo geneacuterico ijk B de la particioacuten P

La norma de la particioacuten P denotada como P es la longitud dela diagonal maacutes grande de todos los paralelepiacutepedos ijk B Si se selecciona una particioacuten maacutes fina de manera que la norma de laparticioacuten tienda a cero esto es P rarr0 entonces la expresioacuten(II8) cambia y recibe el nombre del liacutemite de la triple suma deRiemann como se muestra a continuacioacuten( ) 0 0 1 1 1n m l P T P i j k ijk i j kLim S Lim f x y z Vrarr rarr= = == ΣΣΣ Δ (II9)A partir del liacutemite de la triple suma de Riemann se establece ladefinicioacuten de la integral triple de una funcioacuten f en unparalelepiacutepedo B

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

Riemann para la funcioacuten f en la particioacuten P denotada como T S ( )1 1 1n m l T i j k ijki j kS f x y z V= = ==ΣΣΣ Δ (II8)En la figura 22 se observa el punto ( )i j k x y z contenido en elelemento ijk B de la particioacuten P Figura 22Paralelepiacutepedo geneacuterico ijk B de la particioacuten P

La norma de la particioacuten P denotada como P es la longitud dela diagonal maacutes grande de todos los paralelepiacutepedos ijk B Si se selecciona una particioacuten maacutes fina de manera que la norma de laparticioacuten tienda a cero esto es P rarr0 entonces la expresioacuten(II8) cambia y recibe el nombre del liacutemite de la triple suma deRiemann como se muestra a continuacioacuten( ) 0 0 1 1 1n m l P T P i j k ijk i j kLim S Lim f x y z Vrarr rarr= = == ΣΣΣ Δ (II9)A partir del liacutemite de la triple suma de Riemann se establece ladefinicioacuten de la integral triple de una funcioacuten f en unparalelepiacutepedo B

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

La norma de la particioacuten P denotada como P es la longitud dela diagonal maacutes grande de todos los paralelepiacutepedos ijk B Si se selecciona una particioacuten maacutes fina de manera que la norma de laparticioacuten tienda a cero esto es P rarr0 entonces la expresioacuten(II8) cambia y recibe el nombre del liacutemite de la triple suma deRiemann como se muestra a continuacioacuten( ) 0 0 1 1 1n m l P T P i j k ijk i j kLim S Lim f x y z Vrarr rarr= = == ΣΣΣ Δ (II9)A partir del liacutemite de la triple suma de Riemann se establece ladefinicioacuten de la integral triple de una funcioacuten f en unparalelepiacutepedo B

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

22 TEOREMA DE FUBINIEl teorema de Fubini proporciona un meacutetodo praacutectico para evaluaruna integral triple por medio de integrales iteradas tal como semostroacute para las integrales dobles en el capiacutetulo anterior

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

La integral iterada presente en la ecuacioacuten (II11) del teorema deFubini tambieacuten puede ser escrita de otras cinco formas diferentesque se obtienen al cambiar el orden de integracioacuten de las variablesx y y z Estas integrales iteradas son( ) ( )d s bB cr aintintint f x yz dV = int int int f x yz dxdzdy (II12)( ) ( )s b dB ra cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydxdz (II13)( ) ( )b s dB ar cintintint f x yz dV = int int int f x yz dydzdx (II14)( ) ( )b d sB ac rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdydx (II15)( ) ( )d b sB ca rintintint f x yz dV = int int int f x yz dzdxdy (II16)

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

Evaluacutee la integral triple ( ) Bintintint f x yz dV y dibuje el paralelepiacutepedoB donde f ( x yz) = xz3 (1minus y) y B = [23]times[minus21]times 0 2 SolucioacutenPara resolver la integral triple de la funcioacuten f se debe seleccionarprimero el orden de integracioacuten En la figura 23 se muestra elparalelepiacutepedo B donde ademaacutes se sentildeala mediante la flechaque atraviesa verticalmente a la regioacuten B que la integracioacuten secomienza con la variable z

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

23 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MAacuteSGENERALESAsiacute como en el capiacutetulo anterior se definioacute la integral doble sobreregiones generales en esta seccioacuten se ampliacutea la definicioacuten de laintegral triple de una funcioacuten f sobre una regioacuten general Bacotada del espacio tridimensionalPor ejemplo considere una regioacuten B maacutes general que unparalelepiacutepedo del espacio tridimensional tal como se ilustra enla figura 26

Para evaluar la integral triple de la funcioacuten f 10486683 rarr1048668 sobre laregioacuten general B usando una integral iterada primero debeseleccionarse el orden de integracioacuten En la figura 27 dondese aprecian las superficies que acotan superior e inferiormentea la regioacuten B se sentildeala el orden de integracioacuten sugerido paraesta regioacuten

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLEA continuacioacuten se presentan las propiedades de la integral triplede una funcioacuten f 10486683 rarr1048668 real de tres variables sobre una regioacutengeneral B del espacio tridimensional Estas propiedades sonsimilares a las propiedades de las integrales dobles241 Propiedad de linealidadSean f 10486683 rarr1048668 y g 10486683 rarr1048668 dos funciones reales y continuasdefinidas en una regioacuten tridimensional B y sean α y β dosnuacutemeros reales cualesquiera entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces

Definicioacuten (Integral triple)

Si f es una funcioacuten acotada y existe el y no depende de la eleccioacuten de

Los entonces se dice que f es integrable y al valor de este liacutemite se le llama integral triple sobre R y se representa

Consecuencia Si f(x y z) = 1 entonces = V representa el volumenPropiedadesSe cumplen las mismas propiedades que en la integral doble1 Toda funcioacuten continua es integrable2 Linealidad monotoniacutea y aditividad3 Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integracioacuten reiteradaIntegrales triples sobre regiones maacutes generalesSe repite el mismo proceso que en las integrales dobles Se consideran los siguientes tipos de regionesTipo I (paralelepiacutepedo con paredes frontal y posterior rectas)

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepiacutepedos con paredes izquierda y derecha planas)Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepiacutepedos con fondo y tapa planas)Sus integrales triples se resuelven de manera anaacutelogaLas regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I II o IIIConsecuencia Si f(x y z) = 1 y W es una regioacuten acotada de entonces