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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO Facultad de Artes y Humanidades

Taller 2

Tipos de funciones PREPARADO POR: Sergio Alberto Alarcón Vasco. DTC María Cristina González Mazuelo. DTC.

I. FUNCIÓN LINEAL

1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

a. (2, −1) y (3, 5)

b. (−4, −8) y (−3, −9)

c. (2

3, −6) y (

1

2,

1

4)

d. (3.5, −4.2) y (−1.3, 5.1)

2. Hallar la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones:

a. Tiene pendiente 𝑚 = −3

2 y pasa por el punto (−1,4)

b. Pasa por los puntos (2, −8) y (5, 3)

c. Tiene pendiente 𝑚 = 2 y pasa por el punto (4, 8)

d. Pasa por los puntos (−4, −9) y (−2, −6)

e. Pasa por el punto (−2, 4) y es paralela a la recta 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

3. Para cada una de las siguientes ecuaciones hallar: la pendiente, el intercepto con el

eje 𝑦, el intercepto con el eje 𝑥 y el gráfico de la recta.

a. 3𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0

b. −5𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

c. 2𝑥 − 3𝑦 = 9

d. 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

e. 1

2𝑥 − 3𝑦 = 3

f. 𝑦 = −2

4. El gráfico que se presenta a continuación representa el voltaje 𝑣(𝑖), que pasa a través

de una resistencia dada, como una función lineal de la corriente 𝑖, donde 𝑣(𝑖) se

expresa en milivoltios (𝑚𝑣) y la corriente 𝑖 en miliamperios (𝑚𝐴).

2

De acuerdo con la información suministrada en el gráfico, encontrar:

a. El valor de la resistencia 𝑅, en ohmios (Ω).

b. Un modelo matemático que represente el voltaje 𝑣 como función de la corriente 𝑖

A partir del modelo matemático, hallar:

c. El voltaje 𝑣(𝑖), en voltios, cuando la corriente es de 15.4 𝑚𝐴

d. La corriente 𝑖 cuando el voltaje es de 3.65 𝑣.

5. Supóngase que el voltaje que pasa a través de una resistencia se modela mediante la

función 𝑣(𝑖) = 500𝑖, donde 𝑣 es el voltaje, en milivoltios (𝑚𝑣), e 𝑖 la corriente, en

miliamperios (𝑚𝐴). De acuerdo con esta información, hallar:

a. La resistencia en el circuito. ¿Hay corto circuito? (justifique su respuesta)

b. El voltaje, en voltios, cuando la corriente en el circuito es de 11 𝑚𝐴

c. La corriente cuando el voltaje es de 8.5 𝑣

d. El gráfico de la función

e. ¿Qué ocurre con el voltaje si la corriente 𝑖 no varía, sino que permanece

constante? ¿Cómo sería el gráfico?

6. El gráfico que se presenta a continuación representa la manera como varía la carga 𝑞

(en coulomb, C), en una batería de un dispositivo móvil, en función del tiempo 𝑡 (en

minutos).

1200

600

𝑣(𝑖)

𝑖 1

3000

4 2 3 5 6

2400

1800

7 8 0

3

De acuerdo con la información dada responda las siguientes preguntas:

a. ¿Qué cantidad de carga entra a la batería cada minuto?

b. Encontrar una fórmula que exprese la carga 𝑞 de la batería en función del tiempo 𝑡

A partir del modelo matemático del numeral b, responder lo siguiente:

c. ¿Cuánta carga habrá en la batería 2 horas y 45 minutos después de haber

comenzado a cargarse?

d. ¿Cuándo la batería alcanzará una carga de 29,25 C?

e. Si la capacidad de la batería es de 80 C, ¿cuánto tiempo después terminará de

cargarse?

7. La carga eléctrica en una batería disminuye de manera constante a razón de 0.4 coulomb

por minuto. Después de 1 hora y 20 minutos de haberse iniciado la descarga, la carga

en la batería es de 43 coulomb. De acuerdo con esta información, encontrar:

a. Un modelo matemático que exprese la carga 𝑞 de la batería en función del tiempo 𝑡.

b. La capacidad de carga de la batería.

c. La carga de la batería 35 minutos después de haberse iniciado la descarga.

d. El tiempo en el cual la carga en la batería es de 17 coulomb

e. Después de cuantos minutos queda totalmente descargada la batería

f. Representar gráficamente la situación

6

3

𝑞(𝑡)

𝑡 1

15

4 2 3 5 6

12

9

7 8 0

9 12 10 11 13 14 15 16

18

4

8. El gráfico siguiente representa la velocidad 𝑣(𝑡), en pies, de un objeto que se mueve en

caída libre en un tiempo 𝑡, en segundos.

De acuerdo con la información del gráfico, hallar:

a. La velocidad inicial del objeto (¿el objeto fue lanzado o fue dejado caer?)

b. La aceleración del objeto

c. Una fórmula para la velocidad 𝑣 del objeto en función del tiempo t.

De acuerdo con el modelo matemático del numeral C. encontrar lo siguiente:

d. La velocidad del objeto 6.3 segundos después de haberse iniciado el movimiento.

e. El tiempo en el que el objeto adquiere una velocidad de 238 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔.

9. La velocidad de un objeto en caída libre está representada por el modelo matemático

𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 54, donde 𝑣(𝑡) se expresa en metros por segundo (𝑚

𝑠𝑒𝑔) y el tiempo 𝑡 en

segundos (𝑠𝑒𝑔). De acuerdo con esta información, hallar:

a. El significado de la pendiente en el modelo matemático.

b. La velocidad inicial del objeto.

c. El tiempo en que el objeto alcanza la máxima altura

d. La velocidad en 𝑡 = 2.5 𝑠𝑒𝑔 y la velocidad en 𝑡 = 6 𝑠𝑒𝑔 (Indicar si en estos tiempos

el objeto sube o baja)

e. El gráfico de la función

100

50

𝑣(𝑡)

𝑡 1

250

4 2 3 5 6

200

150

7 8 0

9 12 10 11

300

350

400

5

10. Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un carrito de

cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego

la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 10 segundos. A

continuación, se presenta un esquema de la actividad y los resultados obtenidos por

un grupo de estudiante

t 0 10 20 30 40 50

s(t) 9 39 69 99 129 159

Donde t es el tiempo (en segundos) y s(t) la posición del carrito con respecto al inicio de la

pista (en centímetros).

De acuerdo con la situación anterior:

a. Represente los datos obtenidos en el plano cartesiano

b. Halle el modelo matemático que representa la situación

A partir del modelo matemático del numeral B., responder lo siguiente:

c. ¿A qué distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 37 segundos

después de haber comenzado el movimiento?

d. ¿A los cuántos segundos, después de haber comenzado el movimiento, el carrito se

encuentra a 82 centímetros del inicio de la pista?

e. Si la pista tiene una longitud de 200 centímetros, ¿cuánto tiempo se tardó el carrito

en recorrer toda la pista?

f. ¿Qué longitud recorre el carrito cada segundo?

g. ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? ¿A qué concepto de la Física

corresponde?

h. Determinar el dominio y el rango de la situación

0 cm.

t=0 t=20 t=50

9 cm. 69 cm. 159 cm.

Inicio de la pista

Dirección del

movimiento

6

11. En un coliseo el tiempo de reverberación es de 2,5 segundos. Si se sabe que la energía

acústica producida por el estallido de un globo en ese coliseo se disipa linealmente a

razón de −36 𝑑𝐵

𝑠𝑒𝑔 :

a. Identifique las variables que intervienen en la situación indicando cuál es la variable

independiente y la variable dependiente.

b. Hallar el modelo matemático que representa la situación

c. Represente gráficamente en un plano cartesiano la situación.

A partir del modelo matemático responda las siguientes preguntas

d. ¿Cuál fue la energía acústica registrada a los 0,9 segundos después del estallido

del globo?

e. ¿Cuánto tiempo después del estallido se registró una energía acústica de 75 dB?

f. ¿Cuál fue la energía acústica registrada en el instante del estallido del globo?

Potencia acústica

La potencia acústica es la cantidad de energía por unidad de tiempo emitida por una fuente

determinada en forma de ondas sonoras. Esta potencia se mide en 𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑠 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔⁄ ). No

se debe confundir entre potencia acústica y potencia eléctrica, esta última se convierte en

acústica cuando pasa a través de un trasductor electroacústico como por ejemplo una alta

voz. Estas se relacionan de acuerdo con la siguiente expresión:

𝑃𝑎𝑐ú𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝜂. 𝑃𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

Donde 𝜂 se llama eficiencia del transductor. En el

caso de parlantes comerciales 𝜂 varía entre 0,05 y

0,1, es decir, que en un parlante la potencia acústica

es aproximadamente del 5% al 10% de la potencia

eléctrica.

7

12. En cierta referencia de amplificadores de guitarra Fender se requieren 50 vatios de

potencia eléctrica para producir 4 vatios de potencia acústica, y 200 vatios para producir

De acuerdo con lo anterior:

a. Identifique las variables que intervienen en la situación indicando cuál es la variable

independiente y la variable dependiente.

b. Represente gráficamente en un plano cartesiano la situación.

c. Hallar el modelo matemático que representa la situación.

A partir del modelo matemático responda las siguientes preguntas:

d. ¿Cuál es la eficiencia de esa referencia de amplificadores?

e. ¿Cuántos vatios de potencia eléctrica se requerirán para producir 10 vatios de

potencia acústica?

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA

13. Hallar las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas a partir de su expresión

canónica:

a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2

b. 𝑓(𝑥) = −5𝑥2

c. 𝑓(𝑥) = −0,3𝑥2

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2

e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7

f. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2

g. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2

h. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 4

i. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2 + 3

14. Determine las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas a partir de su

expresión general:

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 − 1

b. 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 5

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1

d. ℎ(𝑡) = 10𝑡2 + 40𝑡 + 113

e. 𝑓(𝑠) = 𝑠2 − 1,2𝑠 + 16

f. ℎ(𝑡) = 100 − 49𝑡 − 7𝑡2

g. 𝑔(𝑥) = 100𝑥2 − 1500𝑥

h. 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 − 𝑥 + 3

i. 𝑓(𝑥) = 7 + 2𝑥 −𝑥2

3

j. 𝑤(𝑡) = 2𝑡(𝑡 − 4) + 7

8

15. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas:

i. Determine el vértice de la parábola a la cual representa

ii. Halle los intersectos con los ejes cartesianos

iii. Determine el dominio y el rango de la función

iv. Realice un gráfico de la parábola

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥

b. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 10𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥2

d. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2

e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2

f. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 6

g. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 12𝑥 − 5

h. 𝑓(𝑥) = 1 − 6𝑥 − 𝑥2

i. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 13

j. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 + 3

16. Encontrar la función cuya gráfica es una parábola con vértice 𝑉(1, −2) y que pasa por

el punto (4,16).

17. Hallar una función cuya gráfica es una parábola con vértice en 𝑉(3,4) y que pasa por

el punto (1, −8).

18. Encontrar una función cuya gráfica es una parábola con vértice en 𝑉(−2,8) y que pasa

por el punto (−5,3).

19. Para las funciones cuadráticas de los numerales 16, 17 y 18:

a. Halle los intersectos con los ejes cartesianos

b. Determine el dominio y el rango de la función

c. Realice un bosquejo de la parábola

20. Relacione cada uno de los gráficos que se dan a continuación (Figura16) con alguna

de las funciones (la que mejor los describa) que se dan en los numerales desde A.

hasta H.

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5

c. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4

d. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4

e. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2

f. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2

g. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 1

h. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 + 1

9

21. Un proyectil se lanza hacia arriba de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo t

segundos después de que se dispara viene dada por el modelo:

2( ) 16 400s t t t

De acuerdo con este modelo, encontrar

a. El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura

b. La altura máxima que alcanza el proyectil después de ser lanzado

c. El tiempo que tarda el proyectil en caer

d. Represente en el plano cartesiano la situación.

e. Determine el dominio y el rango de la situación.

22. Una mujer que iba en un globo dejó caer sus binoculares cuando el globo se encontraba

a 150 pies sobre el suelo y se elevaba con una velocidad de 10𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔. La altura de los

binoculares respecto al suelo está dada por:

10

𝐻(𝑡) = 150 − 10𝑡 − 16𝑡2

A partir del modelo matemático conteste las siguientes preguntas:

a. ¿A qué altura respecto al suelo se encontraban los binoculares 2 segundos

después de que la señora los dejó caer?

b. ¿En qué momento los binoculares se encontraban a 30 pies de altura respecto al

suelo?

c. ¿Cuánto tardarán los binoculares en llegar al suelo?

d. Represente en el plano cartesiano la situación.

e. Determine el dominio y el rango de la situación.

23. Un niño lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en

metros), 𝐻, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, 𝑡 segundos

después de haberla lanzado, viene dada por la expresión

2( ) 5 5 15H t t t

De acuerdo con lo anterior

a. Encontrar la altura de la terraza

b. ¿Después de cuántos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de la terraza?

c. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda en

alcanzarla?

d. ¿Después de cuántos segundos la pelota choca contra el suelo?

e. Representar en el plano cartesiano la situación

f. Determinar el dominio y el rango de la situación

24. El gráfico que se presenta a continuación representa el desplazamiento de un objeto

en caída libre. De acuerdo con la información suministrada en el gráfico encontrar lo

que se pide a continuación:

11

a. La altura máxima alcanzada por el objeto, y el tiempo que tarda en alcanzarla.

b. La altura desde donde fue lanzado el objeto.

c. El tiempo que demora el objeto en caer al piso

d. Un modelo matemático que represente la altura 𝑠(𝑡) con respecto al piso, en

metros, alcanzada por el objeto en un tiempo 𝑡, en segundos.

e. A partir del modelo matemático encontrar la altura alcanzada por el objeto 8

segundos después de haber sido lanzado.

f. A partir del modelo matemático indicar cuando el objeto alcanza una altura de 100

metros.

25. El gráfico siguiente representa la corriente 𝑖(𝑡), en amperios (𝐴), que fluye a través

de un tramo de un circuito, en un tiempo 𝑡, dado en segundos (s).

𝑠(𝑡)

𝑡 2

60

6

100

1 3 4 5 7 8

20

120

140

9 10

𝑖(𝑡)

𝑡 2

60

6

100

1 3 4 5 7 8

20

120

140

9 10

𝑖(2) = 60

𝑖(6) = 108

12

a. Halle el modelo matemático que representa la corriente 𝑖(𝑡), en dicho tramo.

A partir del modelo matemático responda las siguientes preguntas:

b. ¿Cuál es la corriente que hay inicialmente en el circuito?

c. ¿Cuándo se alcanza, en el tramo del circuito, una corriente de 120 𝐴.?

26. La gráfica que se muestra a continuación representa el precio por Kg del fríjol, apartir

de enero de este año. Si se espera que en julio el precio sea de $3800 y de acuerdo

con la información de la gráfica:

a. Halle un modelo matemático que represente la situación.

b. ¿Cuándo el precio del fríjol registra su valor mínimo?

Sustentado a partir del modelo matemático responda:

c. ¿Cuál era el precio por Kg del fríjol en enero?

d. ¿Cuál será el precio por Kg del fríjol en octubre?

27. La función 𝑖(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 representa la corriente eléctrica, 𝑖(𝑡), que se distribuye a

través de un tramo de un circuito eléctrico en un tiempo 𝑡; donde 𝑖(𝑡) se expresa en

Amperes (𝐴), y 𝑡 en segundos (𝑠). De acuerdo con esta información y sustentado a

partir del modelo matemático encuentre lo siguiente:

𝑃 ($)

𝑡 (𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)

(4,3200)

(6,3800)

13

a. La corriente mínima que llega al circuito y el tiempo que demora en alcanzarla.

b. La corriente que hay inicialmente en el circuito.

c. La corriente en el circuito a los 2,5 segundos de ser encendido.

d. El tiempo en el cual la corriente en el circuito es de 24 𝐴

e. Gráfico de la función que representa la situación.

28. En un cultivo de flores, cierto día a las 11:00 pm la temperatura empezó a descender

de tal manera que la temperatura mínima registrada fue de 1° C bajo cero a las 3:00

de la madrugada. Luego volvió a subir hasta alcanzar 19° C a las 8:00 am. Si se sabe

que la temperatura en el cultivo obedece a un modelo cuadrático:

a. Identificar las variables que intervienen en la situación y determinar cuál es la

independiente y cuál la dependiente.

b. Hallar el modelo matemático que representa la situación.

Sustentado en el modelo matemático responda las siguientes preguntas:

c. ¿Cuál fue la temperatura a la 1:00 am?

d. ¿A qué horas se registró una temperatura de 0°C?

e. ¿Cuál fue la temperatura a las 11:00 pm?

f. ¿A qué horas vuelve a alcanzar la temperatura inicial?

III. FUNCIONES POR TRAMOS

En los ejercicios 29 al 32 evaluar la función definida por tramos en los valores indicados:

29. Evaluar: 𝑓(0), 𝑓(5), 𝑓(−3), 𝑓(2) en:

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

30. Evaluar: 𝑓(−5), 𝑓(5), 𝑓(3), 𝑓 (10

3) en:

𝑓(𝑥) = {2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3 3𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 > 3

14

31. Evaluar: 𝑔(−5), 𝑔(3), 𝑔 (1

2) , 𝑔 (−

1

4) , 𝑔(−1) en:

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 1−1 𝑠𝑖 𝑥 > 1

32. Evaluar: |4| , |−3

4| en:

|𝑥| = {−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

33. Realice la gráfica de cada una de las siguientes funciones definidas por tramos

a. 𝑓(𝑥) = {−𝑥, 𝑥 ≤ 1

−1, 𝑥 > 1

b. 𝑔(𝑥) = {𝑥 − 1, 𝑥 < 0

𝑥 + 1 𝑥 ≥ 0

c. ℎ(𝑥) = {3

4𝑥2, 𝑥 < 1

3𝑥, 𝑥 ≥ 1

d. 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 + 3, 𝑥 < 0

𝑥2, 0 ≤ 𝑥 < 2 1 , 𝑥 ≥ 2

e. 𝑔(𝑥) = {−(𝑥 + 2)2 + 3 , 𝑥 ≤ −2 −𝑥 − 2 < 𝑥 ≤ 3

𝑥2 − 6𝑥 + 7 𝑥 > 3

f. ℎ(𝑥) = {−𝑥2 − 1, 𝑥 < 0

0 𝑥 = 0𝑥2 + 1, 𝑥 > 0

Aplicaciones a los circuitos eléctricos

El concepto de carga eléctrica es el principio fundamental para explicar todos los

fenómenos eléctricos. Así la carga eléctrica (𝒒) es una propiedad eléctrica de las

partículas atómicas de las que se compone la materia, la cual se mide en coulomb (c).

15

Una característica de la carga eléctrica o electricidad es

su movilidad, esto es que, puede ser transferida de un

lugar a otro y ser convertida en otra forma de energía.

De esta forma se define la corriente eléctrica (𝒊) como la velocidad de cambio de carga

respecto al tiempo, medida en amperes (A).

34. La corriente que fluye por un elemento es:

𝑖(𝑡) = {2 𝐴, 0 ≤ 𝑡 < 1

2𝑡2 𝐴, 𝑡 ≥ 1

De acuerdo con lo anterior determine la corriente en el elemento cuando 𝑡 = 0.5 s. y

𝑡 = 2.5 s.

35. En la gráfica a continuación se presenta la corriente que pasa a través de un oscilador.

a. Determine el modelo matemático que representa a 𝑖(𝑡)

b. Halle la corriente que pasa a través del oscilador en 𝑡 = 1, 𝑡 = 2 y 𝑡 = 3.5

c. ¿Cuándo la corriente que pasa por el oscilador es de 48 𝑚𝐴?

36. La corriente que pasa a través de un sintetizador está dada por:

16

a. Determine la representación analítica de 𝑖(𝑡)

b. Determine la corriente en: 𝑡 = 1, 𝑡 = 1.5, 𝑡 = 3, 𝑦 𝑡 = 5

c. ¿En qué momento la corriente que pasa a través del el sintetizador es de 7.5 𝐴 ?

37. Si la corriente que fluye a través de un oscilador está representada por:

a. Realice la gráfica que representa a 𝑖(𝑡) durante 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 𝑠.

b. ¿Cuál es la corriente en el oscilador a los 11.5 𝑠 de iniciado el oscilador?

c. ¿Cuándo la corriente en el oscilador es de 8,5 𝐴?

d. Explique en el contexto del problema el significado de 𝑖 (2

3) .

e. Determine 𝑖 (2

3)

38. En un sistema de energía solar, la corriente 𝑖 que se genera en una de las celdas

fotovoltaicas a partir de las 6:00 am está representada por la siguiente función por

tramos:

a. Halle el modelo matemático

que representa la situación

A partir del modelo matemático

b. ¿A qué horas la corriente fue de 10 amperios?

c. ¿Cuándo la celda se queda

sin corriente? Otras aplicaciones

39. Un teléfono celular cuesta 39 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada

minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dólar. El costo mensual es una función

de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

𝐶(𝑥) = {39 0 ≤ 𝑥 ≤ 40039 + 0,2(𝑥 − 400) 𝑥 > 400

𝑖(𝑡)

𝑡

(𝐴𝑚𝑝)

(ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)

30

5

2

0 4 9

17

Determinar:

a. El coso de 350 minutos

b. El costo de 400 minutos

c. El costo de 1000 minutos

IV. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

40. Para cada una de las siguientes funciones exponenciales:

i. Determine la ecuación de la asíntota horizontal

ii. Determine la posición del eje de la curva

iii. Halle las coordenadas del punto de control

iv. Halle los intersectos con los ejes cartesianos

v. Determine el dominio y el rango de la función

vi. Realice un bosquejo de la curva

a. 𝑓(𝑥) = −5𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2

c. 𝑓(𝑥) = 10𝑥+3

d. 𝑓(𝑥) = 4 − (1

2)

𝑥

e. 𝑓(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 1

f. 𝑓(𝑥) = 21−𝑥 + 3

g. 𝑓(𝑥) = −4 + 3. 𝑒−5−𝑥

h. 𝑓(𝑥) = 1 − 5. 3−(2−𝑥)

i. 𝑓(𝑥) = −3 (1

𝑒)

𝑥+ 7

j. 𝑓(𝑥) = −10𝑥 + 4

41. Encuentre una función cuya gráfica es una curva exponencial en base 5, con asíntota

horizontal en 𝑦 = 3, y que pasa por el punto (1,8).

42. Halle una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑎𝑥−ℎ + 𝑘 cuya gráfica es:

a) b)

18

43. Para cada una de las siguientes funciones logarítmicas:

i. Encuentre el dominio de la función ii. Determine la ecuación de la asíntota vertical iii. Determine la posición del eje de la curva iv. Halle las coordenadas del punto de control v. Halle los intersectos con los ejes cartesianos vi. Realice un bosquejo de la curva

a. 𝑓(𝑥) = −3 + 𝑙𝑛 𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 4 + log(𝑥 − 2)

c. 𝑓(𝑥) = −1 + log2(𝑥 + 3)

d. 𝑓(𝑥) = −2 − log5(𝑥 + 1)

e. 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑙𝑛(−𝑥)

f. 𝑓(𝑥) = log3(1 − 𝑥) − 4

g. 𝑓(𝑥) = −3𝑙𝑛(2 − 𝑥)

h. 𝑓(𝑥) = −5 log2(1 + 𝑥) − 4

i. 𝑓(𝑥) =1

2log(𝑥 + 3) + 1

j. 𝑓(𝑥) = −𝑙𝑛(4 − 𝑥) − 1

44. Halle una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏. log𝑎(𝑥 − ℎ) + 𝑘 cuya gráfica es:

45. Dada la información consignada en la tabla que se presenta a continuación, halle una

fórmula de la forma 𝑔(𝑥) = 𝑏 𝑎𝑥 que la represente.

𝑥 𝑓(𝑥)

−1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

19

A partir de la fórmula:

a. Determine el valor de 𝑔(9).

b. Halle el valor de x para el cuál 𝑔(𝑥) = 256

46. En una gran universidad tres estudiantes comienzan el rumor de que los exámenes

finales se han cancelado. Después de 2 horas, 6 estudiantes (incluyendo los primeros

tres) han escuchado el rumor. Si se sabe que él rumor se propaga obedeciendo a un

modelo exponencial, es decir, de la forma: 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑎𝑡 , donde 𝑁(𝑡) representa al

número de personas que escucharon el rumor después de un tiempo 𝑡 determinado, y

𝑁0 es el número de personas que inicialmente escucharon el rumor:

a. Halle el modelo matemático que representa la situación.

b. Complete la tabla que se presenta a continuación utilizando el modelo determinado

en el numeral anterior:

𝒕 0 2 4 6 8 10 12 14 16

𝑵(𝒕)

c. A partir del modelo matemático determine el número de personas que han

escuchado dicho rumor un día después.

47. Los niveles de intensidad 𝛽1 y 𝛽2 a distancias 𝑑1 y 𝑑2 desde una fuente de sonido se

relacionan mediante la ecuación:

𝛽2 = 𝛽1 + 20𝑙𝑜𝑔𝑑1

𝑑2

Si el nivel de intensidad 𝛽1en un concierto de rock es de 100 dB a una distancia 𝑑1 de 2

m de la fuente ¿A qué distancia se obtendrá un nivel de intensidad 𝛽2 de 120 dB?

48. El nivel de la intensidad del sonido 𝛽, en decibeles (dB) es:

𝛽 = 10 log (𝐼

𝐼𝑜)

20

donde 𝐼 es la intensidad del sonido medido en 𝑊

𝑚2, e 𝐼𝑜 = 10−12 𝑤

𝑚2 es el umbral de audición

del oído humano, es decir, la intensidad de sonido mas baja audible.

a. Calcular el nivel de intensidad 𝛽 del sonido ocasionado por el tráfico en la ciudad,

donde 𝐼 = 10−5 𝑤

𝑚2

b. Determine la intensidad 𝐼 ocasionada por el despegue de un avión si se sabe que el

nivel de intensidad 𝛽 = 110 𝑑𝐵

49. Cuando se incrementa el control de volumen de un sistema estereofónico, el voltaje que

pasa por la bocina cambia de 𝑉1 a 𝑉2, y el aumento de amplificación 𝛽en decibeles está

dado por:

𝛽 = 20 log (𝑉2

𝑉1)

Encuentre el aumento de amplificación en un sistema si el voltaje cambia de 2 volts a

4.5 volts.

50. El circuito electrónico mostrado en la figura consta de un resistor y un inductor. La

corriente 𝐼 en un tiempo 𝑡 está dada por la ecuación:

𝐼 = 20𝑒− 𝑅𝑡

𝐿

Donde 𝑅 es la resistencia y 𝐿 es la

inductancia.

Si el resistor tiene una resistencia de 13 𝑜ℎ𝑚𝑠 y una inductancia de 15 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦𝑠 ¿Después

de cuántos segundos la corriente es de 2 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠?

51. En óptica, una sola lámina de vidrio cancela el 3% de la luz que pasa por ella, el

porcentaje 𝑝 de luz que pasa por 𝑛 láminas sucesivas está dado por la expresión:

𝑝 = 100𝑒−0.03𝑛

a. ¿Qué porcentaje de luz pasará por una ventana fabricada con 4 láminas de vidrio?

21

b. ¿Cuántas láminas de vidrio se necesitan para obtener un porcentaje de luz del

38%?

52. La ganancia de potencia 𝐺 de un amplificador se encuentra definida como:

𝐺 = 10 log (𝑃𝑠𝑎𝑙

𝑃𝑒𝑛𝑡)

donde 𝑃𝑠𝑎𝑙 es la potencia de salida y 𝑃𝑒𝑛𝑡 es la potencia de entrada, ambas en vatios.

a. Si un amplificador tiene una potencia de salida de 12,6 vatios y una potencia de

entrada de 0,146 vatios, determine la ganancia de potencia.

b. Si un amplificador de sonido profesional tiene una potencia de salida de 1200 vatios

y una ganancia de 95 dB ¿cuál es su potencia de entrada?

c. ¿Qué pasa en el caso de que 𝑃𝑠𝑎𝑙 < 𝑃𝑒𝑛𝑡? Sugerencia: Consulte el concepto de

atenuación del sonido.

53. Al dejar libre un circuito RC como el mostrado en la figura, el condensador se descarga

de tal forma que la tensión 𝑣 viene dada por:

𝑣 = 𝑣𝑜𝑒1

𝑅𝐶 𝑡

donde 𝑣𝑜 es la tensión inicial en el circuito, 𝑅 la

resistencia y 𝐶 la capacidad del condensador.

Si un condensador de capacidad de 4 𝜇𝐹, con una tensión inicial de 2 voltios se conecta

a una resistencia de 500 ohmios ¿cuántos segundos deben transcurrir para que la

tensión en el condensador sea de 0,736 voltios?

V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

54. Para cada una de las siguientes funciones trigonométricas:

22

i. Determine la amplitud, la velocidad angular (el número de ondas en 2𝜋), el período

y la frecuencia.

ii. Halle los intersectos con los ejes cartesianos

iii. Grafique la función para un período de 2𝜋

iv. Determine el dominio y el rango de la función

a. 𝑓(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(4𝑡)

b. 𝑓(𝑡) = −2𝑐𝑜𝑠(5𝑡)

c. 𝑓(𝑡) =2

3𝑐𝑜𝑠 𝑡

d. 𝑓(𝑡) = −1

2𝑠𝑒𝑛(𝑡)

e. 𝑓(𝑡) = 7𝑐𝑜𝑠 (1

2𝑡)

f. 𝑓(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛 (1

3𝑡)

g. 𝑓(𝑡) = 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡

h. 𝑓(𝑡) = −4 + 𝑐𝑜𝑠(6𝑡)

i. 𝑓(𝑡) = −3 − 7𝑠𝑒𝑛(4𝑡)

j. 𝑓(𝑡) = 7 − 3𝑐𝑜𝑠 (1

4𝑡)

k. 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 +𝜋

2)

l. 𝑓(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡 −𝜋

3)

m. (𝑡) = −2𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 +𝜋

3)

n. 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠1

2(𝑡 +

𝜋

4)

o. 𝑓(𝑡) = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2+ 𝑡)

p. 𝑓(𝑡) =1

2−

1

2𝑐𝑜𝑠 (2𝑡 −

𝜋

3)

55. Para cada una de las gráficas de las funciones dadas:

i. Determine la amplitud, la velocidad angular (el número de ondas en 2𝜋), el período

y la frecuencia.

ii. Proponga una función de la forma: 𝑓(𝑡) = 𝑘 ± 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑡 − ℎ) o 𝑓(𝑡) = 𝑘 ±

𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜔(𝑡 − ℎ) que represente la curva.

iii. Halle el rango de la función

a. b. c.

23

d. e. f.

g. h.

56. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está representada por:

a. ¿Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda?

b. ¿Cuál el período?

c. ¿Cuál su frecuencia?

d. Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con respecto

al tiempo.

e. Determine )(),(),( 67

126 fff a partir de la gráfica y del modelo matemático.

f. Determine el rango de la situación.

t

f (t)

1

4

-2

/ 3

24

57. Se golpea un diapasón, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Dichas

vibraciones están representadas por:

𝐴(𝑡) = 0,7𝑠𝑒𝑛(880𝜋𝑡)

Donde 𝐴(𝑡) es el desplazamiento de las puntas en milímetros en 𝑡 segundos. De

acuerdo con lo anterior:

a. Determine el período y la frecuencia de la vibración.

b. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas en el instante del golpe?

c. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas 2 segundos después del golpe?

d. ¿En qué momento el desplazamiento es de 0,5 milímetros?

e. Realice la gráfica de 𝐴(𝑡)

58. La corriente que fluye a través de un dispositivo en un tiempo 𝑡 está dada por:

𝑖(𝑡) = 20 cos (𝑡 +𝜋

6) 𝜇𝐴

Donde 𝑖(𝑡) se mide en micro amperes (𝜇𝐴) y 𝑡 en segundos (𝑠).

a. Realice la gráfica que representa a 𝑖(𝑡) durante 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑠.

b. Determine 𝑖(0), 𝑖 (1

2) e 𝑖 (

2

3)

c. ¿Cuándo 𝑖(𝑡) = −5?

59. La corriente alterna (AC) se produce cuando una armadura gira alrededor de su eje en

un campo magnético. En los generadores de corriente alterna (AC) se presenta el

movimiento armónico simple. Cuando el alambre atraviesa el campo magnético, un

voltaje o tensión 𝐸 se genera en el alambre. Este voltaje generado puede representarse

mediante la expresión:

𝐸(𝑡) = 𝐸0 cos 𝑤𝑡

Donde 𝐸0 es la tensión máxima, la cual depende de la fuerza del campo magnético, y

𝑤

2𝜋 es la cantidad de revoluciones por segundo de la armadura, es decir, la frecuencia.

25

Supóngase que la corriente alterna de 110 𝑉 de los hogares varía de 155 𝑉 a −155 𝑉

con una frecuencia de 60 𝐻𝑧 (ciclos por segundo).

a. Plantear una ecuación que describa esta variación del voltaje.

b. Graficar 𝐸(𝑡) para 𝑡 en el intervalo [0, 0.25]

Movimiento armónico simple (MAS)

Un objeto sigue un movimiento armónico simple si la ecuación que describe su

desplazamiento 𝑦 , en un tiempo 𝑡, viene dada por

𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 ó 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡

Donde |𝑎| es la amplitud o desplazamiento máximo del objeto, 2𝜋

𝑏 es el periodo o tiempo

necesario para completar un ciclo y 𝑏

2𝜋 es la frecuencia o número de ciclos por unidad de

tiempo (que se mide en 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑔= 𝐻𝑧, siempre que el tiempo sea en segundos)

De acuerdo con esta información resolver el numeral 60.

60. Un músico toca con una tuba la nota MI y sostiene el sonido durante un tiempo. Para

una nota MI pura la variación en la presión a partir de la presión normal del aire está

dada por

𝑉(𝑡) = 0.3𝑠𝑒𝑛(40𝜋𝑡)

Donde 𝑉 se mide en 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔2 y 𝑡 se mide en segundos.

a. Calcular la amplitud, periodo y frecuencia de 𝑉(𝑡) (con las unidades que se miden)

b. Graficar 𝑉(𝑡) para 𝑡 en el intervalo [0, 0.5]

26

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