instituto tecnolÓgico de costa rica i semestre 1997
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
I SEMESTRE 2020
ESCUELA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA
CURSO: EL-5409 LABORATORIO DE CONTROL AUTOMÁTICO
FECHA: 27 de julio de 2020
PROF: Ing. Eduardo Interiano & Ing. Aníbal Ruiz
PROYECTO CORTO
Tema: Identificación y control de la grúa.
Figura 1: Fotografía de la planta grúa/péndulo invertido doble
Descripción de la planta:
La planta consta de un soporte rígido de aluminio extruido que provee un riel superior por el cual
se desliza un carro del cual cuelga un péndulo doble. Un sensor de cuadratura óptico incremental,
USDigital E5 de 3600 ppr, acoplado al eje del péndulo doble, sirve para medir el ángulo. El eje del
péndulo está montado en rodamientos que le confieren una muy baja fricción. Cada péndulo
individualmente está constituido por un tubo hueco de aluminio que al final posee una masa la cual
simula la carga de la grúa, ambos péndulos se mueven juntos. El carro se mueve por medio de una
banda flexible, tirada por una polea dentada, movida a su vez por un motor de CD de 12V con caja
reductora. El motor es controlado por medio de un puente H Pololu G2 24V13 capaz de suplir hasta
13 A. La posición del carro se mide con otro sensor de cuadratura óptico incremental, USDigital
E5 de 3600 ppr, acoplado al eje de la polea.
Requisitos: Planta de grúa, placa de control basada en kit059. Computador con la aplicación
LabControl instalada. Programa PUTTY instalado. Opcionalmente, Matlab y Excel instalados.
Laboratorio de Control Automático Pág. 2
Proyecto corto
Descripción del trabajo:
El trabajo consta de cuatro partes:
A. Utilizar la aplicación LabControl para realizar varios experimentos y obtener datos de la
grúa con la finalidad de encontrar un modelo empírico.
B. Procesar los datos con la herramienta ident de Matlab para obtener el mejor modelo
empírico de posición angular del péndulo y el mejor modelo de posición lineal del carro.
Con ambos modelos parciales, crear un modelo total en variables de estado para la grúa.
C. Diseñar reguladores de realimentación de estado integral (REI), por ubicación de polos o
por LQR; luego verificar los diseños en simulación y seleccionar el regulador que cumpla
mejor los requisitos de diseño.
D. Probar, con la aplicación LabControl y una placa de control prototipo basada en el kit059,
los diseños de control creados en la planta grúa y contrastar los resultados experimentales
con las simulaciones.
La primera parte del trabajo ha sido realizada. Un video del experimento se encuentra en [2] y los
datos experimentales y la aplicación LabControl se encuentran en [3] y [4] respectivamente.
Los experimentos fueron hechos, estimulando la planta con un trapecio de 7.5 V iniciando desde
el centro aproximado del riel y utilizando las estructuras mostradas en la Figura 2. En la estructura
de control, el modulador de pulsos de ancho variable, PWM y los decodificadores de cuadratura,
QDEC, han sido configurados como se muestra en la Figura 3 y en la Figura 5, respectivamente.
El bloque TRP genera la forma de onda de excitación de tensión en forma de trapecio para el motor
con 7.5 V de amplitud. El bloque SAT sirve para limitar la tensión a +/-12 V.
Figura 2: Estructura para estimular la grúa y obtener la respuesta de posición y ángulo ante una
entrada trapecio.
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Proyecto corto
Figura 3: Configuración del PWM en modo estándar a 12V, con un periodo de 500 s.
Las constantes de los decodificadores de cuadratura tienen signo negativo ambas para que la
posición sea positiva en la dirección hacia la derecha y el ángulo sea positivo en la dirección de
giro contra reloj desde el punto de vista de la cámara. La constante para el decodificador de la
posición del carro mostrada en la Figura 5 fue encontrada de forma experimental. El valor teórico
corresponde a:
𝑘𝑥 =0.955𝜋 ∗ 0.0254
3600[
𝑚
𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎]
y se basa en la información de las dimensiones de la polea mostrada en la Figura 4.
Figura 4: Dimensiones de la polea para el carro de la grúa [5]
La constante para el decodificador el ángulo se calcula como:
𝑘𝜃 =2𝜋
3600[
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎]
Laboratorio de Control Automático Pág. 4
Proyecto corto
Figura 5: Configuración de los decodificadores de cuadratura para el carro y para el ángulo.
Resultados experimentales
Después de realizado el experimento, se obtuvo las respuestas mostradas en la Figura 6. Los datos
experimentales se han procesado con ident de Matlab, para obtener los modelos de posición lineal
y posición angular similares a los prototipos de orden dos, mostrados:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛(𝑠) =𝑘1
𝑠(𝑠 + 𝑎𝑥)
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜(𝑠) =𝑘(𝑠 + 𝑧)
(𝑠2 + 𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)
El modelo de posición del carro posee un integrador, un polo en -𝑎𝑥 y una ganancia 𝑘1. El modelo
para el ángulo es un poco más complejo; pues, además de un par de polos complejos
subamortiguados posee además un cero.
Figura 6: Respuestas obtenidas en el experimento de la grúa. El péndulo tarda aproximadamente
250 segundos en volver al reposo.
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Proyecto corto
Para este proyecto, sus tareas consisten en:
a) Utilizar la herramienta ident de Matlab para identificar el sistema y encontrar modelos
adecuados para la posición lineal del carrito y la posición angular del péndulo para la planta
la grúa y luego de verificar los modelos, decidir cuáles modelos usará para el diseño
posterior de los reguladores y construir un modelo completo en variables de estado para la
grúa.
b) Utilizar Matlab para diseñar reguladores de realimentación de estado integral (REI) por los
métodos de ubicación de polos y LQR y encontrar la matriz de ganancia constante
adecuada. El regulador buscado debe hacer que el sistema grúa ante una entrada escalón de
0.5 m:
a. Posea un tiempo de estabilización tS2% menor a 6 segundos para el movimiento del
carro en 0.5 m, con un sobreimpulso inferior al 3%
b. Con error de estado estacionario cero ante entrada escalón con una incertidumbre
absoluta de 1 mm.
c. Con capacidad para eliminar rápidamente las oscilaciones del péndulo,
manteniendo el desplazamiento máximo del péndulo inferior a 10°.
SUGERENCIA: Para ubicación de polos defina un par de polos dominantes complejos
conjugados bastante amortiguados y coloque los otros 3 polos reales como no dominantes,
esto es con una magnitud de al menos 5 veces la de la parte real de los polos dominantes.
c) Con la herramienta simulink, debe verificar los diseños realizados ante entrada escalón.
d) Descomponer adecuadamente la matriz de ganancia constante obtenida del paso b) para su
uso como K y Ki.
e) Crear y configurar adecuadamente, en la aplicación LabControl, como se hizo en [1], la
estructura de control para REI con los valores K y Ki descompuestos en el paso d) para los
dos métodos de cálculo utilizados.
f) Probar, para cada regulador diseñado, el control de posición del carrito de la grúa ante una
entrada de prueba escalón de 0.5 m, con un tiempo de muestreo de 20 ms y de 5 ms y
verificar la estabilización según los requisitos dados en el paso b).
g) Documentar todo el proceso en un informe escrito.
En la Figura 7 se muestra la estructura para el control de la grúa por realimentación de estado
integral (REI) y en la Figura 8 se muestra la configuración del bloque REI al cual solamente le
falta colocar las matrices del control diseñado que se probará. El sistema solamente tendrá una
salida y1 que será el estado x1 que corresponde a la posición del carro; pero, posee cuatro
estados. El modelo de la grúa para este caso será como un SISO; pero, a diferencia de un PID
que solamente conoce la salida del sistema, la REI conoce las dos salidas: la posición lineal del
carro y la posición angular del péndulo y además se sintetiza con derivadores las otras variables
de estado que corresponden a las velocidades de ambas salidas medidas. El vector de estado
para la grúa es entonces: 𝐱𝑇 = [𝑥 𝜃 �̇� �̇�]
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Proyecto corto
En el Apéndice I se muestran los modelos parciales y el modelo completo en forma de variables
de estado para la grúa. Estos modelos fueron obtenidos del experimento contenido en [3].
Figura 7: Estructura del control REI para la grúa.
Figura 8: Configuración del bloque REI con 4 estados una única salida y1 que corresponde al
estado x1, la posición del carro. Las matrices mostradas K y Ki son solo como ejemplo.
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Proyecto corto
Sus resultados experimentales serán similares a los mostrados en la Figura 9 donde se puede
apreciar que se cumplen todas las condiciones de diseño solicitadas.
Figura 9: Resultados experimentales de la grúa bajo control REI.
Entrega: El informe debe subirse a más tardar una semana después de completado el experimento
al TecDigital en formato PDF.
Referencias:
[1] www.ie.tec.ac.cr\einteriano\control\Laboratorio\4.2ProyectoCorto_I_2020__motorCD.pdf
[2]
http://www.ie.tec.ac.cr/einteriano/control/Laboratorio/VideosyFotosLabControl/VideosFotos/PC
5/ExperimentoModeloGrua.mp4
[3] www.ie.tec.ac.cr\einteriano\control\Laboratorio\4.3Grua.zip
[4] www.ie.tec.ac.cr\einteriano\control\Laboratorio\4.2AppLabControl.zip
[5] https://www.servocity.com/0-250-15-tooth-pinion-pulley/
EIS/eis
2020
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Proyecto corto
Apéndice I: Modelos de la grúa
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛(𝑠) =0.42393
𝑠(𝑠 + 17.72)
Con el vector de estado descrito
𝐱 = [
𝑥𝜃�̇��̇�
]
El modelo parcial de posición del carro puede escribirse como:
[
�̇��̇��̈��̈�
] = [
0 0 1 00 0 0 00 0 −17.72 00 0 0 0
] 𝐱 + [
00
0.423930
] 𝑢𝑎(𝑡)
𝑦 = 𝑥 = [1 0 0 0]
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜(𝑠) =−0.39958(𝑠 + 1.399)
(𝑠2 + 0.03409𝑠 + 35.32)
El modelo parcial para el ángulo del péndulo puede escribirse después de varias transformaciones
como:
[
�̇��̇��̈��̈�
] = [
0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 −35.32 0 −0.03409
] 𝐱 + [
0−0.3996
0−0.5454
] 𝑢𝑎(𝑡)
𝑦 = 𝜃 = [0 1 0 0]
Combinando ambos modelos se obtiene un modelo SIMO del cual, para verificar, se pueden extraer
las funciones de transferencia de posición lineal x y de posición angular 𝜃.
[
�̇��̇��̈��̈�
] = [
0 0 1 00 0 0 10 0 −17.72 00 −35.32 0 −0.03409
] 𝐱 + [
0−0.39960.42393−0.5454
] 𝑢𝑎(𝑡)
𝒚 = [𝑥𝜃
] = [1 0 0 00 1 0 0
]
NOTA: Para realizar la realimentación de estado integral con una sola salida x, hay que utilizar
una matriz C = [1 0 0 0] para que el sistema grúa sea un SISO de 4 estados.