instituto tecnolÓgico de ciudad juÁrez...resumen en el proceso de modelación de plástico...

1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD JUÁREZ

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E

INVESTIGACIÓN

“COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MÍNIMOS

CUADRADOS Y REGRESIÓN RIDGE GENERALIZADA A TRAVÉS DE LA FUNCIÓN

DEL CUADRADO MEDIO DEL ERROR, EN UNA OPERACIÓN DE MOLDEO”

TESIS

QUE PRESENTA

YADHIRA DUARTE ORTEGA

COMO REQUISITO PARCIAL

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

CD. JUÁREZ CHIH. AGOSTO DE 2010

2

OFICIO DE APROBACIÓN

3

DEDICATORIA

Dedico esta tesis a mi familia y especialmente a mis padres Alejandro

Duarte Huerta y María San Juana Ortega García de Duarte, por su

incondicional apoyo y comprensión.

Gracias

4

AGRADECIMIENTOS

A Dios principalmente, por haberme permitido lograr una de mis grandes

metas.

A mis padres, por haberme dedicado su tiempo y paciencia y con todo su

amor apoyarme para que yo tuviera un futuro con mejores oportunidades.

A mis hermanas y mi familia, que me apoyaron y me dieron muy buenos

consejos.

A todos mis maestros, por brindarme los conocimientos para construir mi

futuro y muy especialmente a mis sinodales.

A mis amigos y compañeros por brindarme su apoyo para seguir

adelante.

Y en general a todos aquellos que me apoyaron para lograr la

culminación de este paso tan importante en mi carrera profesional.

5

RESUMEN BIOGRÁFICO DEL AUTOR

Experiencia 1996-1998 VANI S.A. Cd. Juárez Chih.

Secretaria del departamento de compras

� Implementamos del programa justo a tiempo.

� Buscamos mejores proveedores.

� Introdujimos productos nuevos al mercado de las 16 sucursales en la cuidad.

1998-2000 Primaria “Luis Ramírez” Cd. Juárez Chih.

Profesora de computación

� Conseguimos a través donaciones de la industria privada el equipo de computo

necesario para la impartición de las clases.

� Impartí clases a alumnos de 2do a 6to grado, con programas de la SEP para

desarrollo de habilidades de los alumnos.

� Realizamos programas y actividades extraescolares para el mantenimiento del aula de

computo y equipo.

2000-2001 ISOM S.A. Cd. Juárez Chih.

Auxiliar de supervisor

� Rediseñe las estaciones de trabajo, implemente nuevas técnicas de sistemas de producción.

� Aumenté la calidad del producto, por lo cual obtuvimos mas ventas

� Se redujo considerablemente el numero de desperdicio, obteniendo con esto mejor productividad.

2001 Nutrimex S.A. Cd. Juárez Chih.

Asesora de seguridad de alimentos

� Logre aumentar el promedio de puntos en las auditorias

� Obtuve mayor participación del personal en seguridad e higiene

� Desarrolle e impartí cursos de capacitación para todos los trabajadores existentes

2004 CETCJ Cd. Juárez Chih.

Profesora de Ciencias, Tecnología, Sociedad y Valores

� Logre capacitar a los alumnos de mis grupos asignados.

� Tuve poca reprobación y mucha participación por parte de los alumnos.

2001 – a la fecha CBTIS 128 Cd. Juárez Chih.

Jefa de oficina de desarrollo (Depto. de planeación y evaluación)

Auditora de Calidad del ISO 9001:2008

Docente CBTIS 128 (Áreas: Matemáticas y Estadística)

� La documentación solicitada al departamento se entrega a tiempo y en forma correcta.

� Somos los pioneros en la ejecución y diseño de programas de planeación y evaluación.

� Soy representante del director y auditora externa en le proyecto de la implementación del ISO 9001:2008

� Junto con los mis alumnos destacados obtuvimos los primeros lugares en el concurso de matemáticas

área que yo imparto, a nivel local nacional e internacional.

6

RESUMEN

En el proceso de modelación de plástico intervienen varios factores

como la presión de inyección, temperatura, abertura de la boquilla, entre otros,

de los cuales no son todos independientes entre si, por lo que hay un grado de

multicolinealidad presente en el análisis lo cual origina que los coeficientes

estimados de los efectos por mínimos cuadrados sean inestables.

Para tratar estas situaciones se han desarrollado varios procedimientos,

uno de ellos es la regresión ridge generalizada. Lo que nos llevo a

cuestionarnos si el método de regresión ridge generalizado, es más eficiente

que el método de mínimos cuadrados para ajustar un polinomio cuadrático

cuando existe multicolinealidad.

Esta cuestión y los antecedentes estudiados, nos llevaron a suponer que

la regresión ridge generalizada es mas eficiente que mínimos cuadrados

cuando existe multicolinealidad, debido a que nuestro objetivo fue establecer

una comparación entre ambos métodos en una operación de moldeo de

plástico, y demostrar cual de estos es más eficiente.

En la empresa Siemens R. Juárez dedicada a la fabricación de productos

automotrices se encuentra la antena inmovilizadota demonizada “Pats” que

tienen como función inmovilizar el automóvil a través de una llave con un

código, el cual debe estar grabado en la tablilla electrónica colocada en la parte

que se realiza en la operación de moldeo, objeto de nuestra investigación.

De esta operación de moldeo obtuvimos nuestra matriz de estudio que

se compone de tres variables regresoras y una variable de respuesta, donde se

realizaron veinte corridas. Los errores de estimación se consideraron normales

e independientemente distribuidos con media cero y varianza constante, a

7

través la matriz de correlación observamos que existe un alto grado

multicolinealidad, y realizamos la corrida en minitab para obtener la ecuación de

regresión y el cuadrado medio del error de ambos estimadores.

Dado que la modelación de un sistema a través de un polinomio se

utiliza para determinar el comportamiento de una variable de respuesta, sujeta

a las variables regresoras, con la finalidad de determinar los efectos que cada

variable regresora tiene sobre ella, es imprescindible determinar el mejor

conjunto de coeficientes que optimizan la respuesta. Estos se obtienen a través

de la minimización de la varianza en la estimación representada por el

cuadrado medio del error del estimador.

A través del cuadrado medio del error se obtuvo el valor de la eficiencia

relativa de ambos métodos y esta nos dio como resultado que el estimador de

regresión ridge generalizada es mas eficiente en situaciones donde el problema

de multicolinealidad esta presente como en esta matriz de estudio.

8

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................... 20

2.1 Preguntas de Investigación .................................................................... 21

2.2 Hipótesis y Variables de Investigación ................................................... 21

2.3 Objetivos ................................................................................................. 22

2.4 Justificación ............................................................................................ 22

2.5 Delimitaciones ........................................................................................ 23

3. Marco Teórico ............................................................................................... 24

3.1 Ingeniería de Calidad .............................................................................. 24

3.2 Inferencia Estadística ............................................................................. 25

3.2.1 Importancia de las Suposiciones en la Inferencia ............................ 25

3.2.2 Estimación de Parámetros............................................................... 26

3.2.2.1 Estimación por Intervalos ......................................................... 27

3.2.2.2 Estimación Puntual ................................................................... 27

3.2.2.3 Conceptos Básicos en Estimación Puntual .............................. 29

3.2.2.4 Método de Estimación más Adecuado ..................................... 31

3.2.2.5 Varianza y Cuadrado Medio del Error de un Estimador

Puntual ................................................................................................. 31

3.2.3 Propiedades de los Estimadores ..................................................... 34

3.2.3.1 Propiedades que Debe Cumplir Todo Buen Estimador ............ 35

3.2.3.2 Muestreo Aleatorio ................................................................... 35

3.2.3.3 Estimador Insesgado ................................................................ 38

3.2.3.4 Estimador Insesgado más Eficiente ....................................... 40

3.2.3.5 Estimador Insesgado de Varianza Mínima .............................. 41

3.2.3.6 Estimador Insesgado y Estimador Sesgado ............................. 41

3.3 Regresión y Formación de Modelos ....................................................... 42

3.3.1 Introducción al Análisis de Regresión Lineal ................................... 42

3.3.2 Recolección de Datos ...................................................................... 45

3.3.3 Usos de la Regresión ...................................................................... 46

9

3.3.4 Regresión Lineal Simple .................................................................. 47

3.3.4.1 Modelo de Regresión Lineal Simple ......................................... 47

3.3.4.2 Estimación de β0 y β1 por Mínimos Cuadrados ........................ 48

3.3.4.3 Propiedades de los Estimadores por Mínimos Cuadrados y

el Modelo Ajustado de Regresión ........................................................ 51

3.3.4.4 Abusos Comunes de la Regresión ........................................... 56

3.3.4.5 Estimación de σ2 ..................................................................... 57

3.3.4.6 Prueba de Significancia de la Regresión ................................ 58

3.3.4.7 Procedimientos de Prueba ....................................................... 59

3.3.4.8 Intervalos de confianza de β0, β1 y σ2...................................... 62

3.3.4.9 Coeficientes de Determinación................................................. 63

3.3.4.10 Regresión por el Origen ......................................................... 64

3.3.5 Regresión Lineal Múltiple ................................................................ 67

3.3.5.1 Modelo de Regresión Lineal Múltiple ...................................... 67

3.3.5.2 Estimación de los Coeficientes de Regresión por Mínimos

Cuadrados ............................................................................................ 69

3.3.5.3 Interpretación Geométrica de Mínimos Cuadrados .................. 75

3.3.5.4 Propiedades de los Estimadores de Mínimos Cuadrados ........ 76

3.3.5.5 Prueba de Hipótesis en la Regresión Lineal Múltiple ............... 77

3.3 MULTICOLINEALIDAD .......................................................................... 80

3.3.1 El Problema de la Multicolinealidad ................................................ 81

3.3.2 Multicolinealidad y Dummies ......................................................... 82

3.3.3 Relación Lineal Exacta entre los Regresores ................................. 82

3.3.4 Multicolinealidad Exacta y Aproximada .......................................... 83

3.3.5 Los Modelos de Regresión y la Multicolinealidad ............................ 84

3.3.6 Fuentes de Multicolinealidad ........................................................... 85

3.3.7 Efectos de la Multicolinealidad ........................................................ 89

3.3.8 Diagnóstico de Multicolinealidad ..................................................... 92

3.3.8.1 Examen de la Matriz de Correlación ........................................ 92

3.3.8.2 Análisis de Eigensistema X´X................................................... 93

10

3.3.8.3 Factor de Agrandamiento de la Varianza ................................. 97

3.3.9 Métodos para Manejar la Multicolinealidad ..................................... 98

3.3.9.1 Recolección de datos ............................................................... 98

3.3.9.2 Reespecificación del Modelo .................................................... 99

3.3.9.3 Eliminación de Variables .......................................................... 99

3.3.9.4 Aumento del Tamaño de la Muestra ...................................... 101

3.3.9.5 Utilización de Información Extramuestral ............................... 102

3.3.9.6 Utilización de Ratios ............................................................... 102

3.3.10 Regresión Sesgada ..................................................................... 103

3.3.10.1 Regresión Ridge ................................................................... 103

3.3.10.2 Otras Propiedades de la Regresión Ridge ........................... 108

3.3.10.3 Relación con Otros Estimadores .......................................... 110

3.3.10.4 Métodos para Seleccionar K ................................................ 111

3.3.10.5 Regresión Ridge y Selección de Variables .......................... 115

3.3.11 Regresión Ridge Generalizada .................................................... 116

3.4 Los Plásticos ......................................................................................... 121

3.4.1 La Historia de los Plásticos............................................................ 121

3.4.2 Clasificación de los Plásticos......................................................... 124

3.4.2.1 Termoplásticos ....................................................................... 124

a) Termoplásticos Cristalinos ............................................................. 125

b) Termoplásticos Amorfos ................................................................ 125

3.4.2.2 Termofijos............................................................................... 126

3.4.2.3 Control de Temperatura del Molde ......................................... 127

3.4.3 Moldeo por Inyección .................................................................... 127

3.4.3.1 La Unidad de Inyección .......................................................... 127

3.4.3.2 Unidad de Cierre .................................................................... 130

3.4.3.3 El Molde o Herramienta .......................................................... 130

3.4.3.4. Ciclo de Moldeo ..................................................................... 131

3.4.5 La Máquina de Moldeo por Inyección ............................................ 132

3.4.5.1 La Boquilla.............................................................................. 132

11

3.4.5.2 La Unidad de Cierre o Prensa ................................................ 134

3.4.5.3 El Molde ................................................................................. 135

a) Moldeo sin canales de alimentación .............................................. 141

3.4.4 Factores que Influyen en el Proceso de Moldeo ............................ 142

3.4.4.1 Velocidad ............................................................................... 143

3.4.4.2 Consistencia ........................................................................... 143

3.4.4.3. Velocidad de llenado ............................................................. 143

3.4.4.4 Temperatura ........................................................................... 144

a) El Control de la Temperatura ......................................................... 144

b) Las variaciones de temperaturas ................................................... 145

3.4.4.5 La Presión de Inyección ......................................................... 146

3.4.4.6 Velocidades y Tiempos .......................................................... 148

a) Velocidad de Rotación del Husillo .................................................. 149

b) Tiempo de Enfriamiento para Piezas ............................................. 150

3.4.4.7 Tamaño del Cojín ................................................................... 151

3.4.4.8 Contracción ............................................................................ 151

3.4.4.9 Almacenamiento de Materiales Plásticos ............................... 152

3.4.4.10 Secado de Materiales para Moldeo ...................................... 153

3.4.4.11 Verificación del Contenido de Humedad .............................. 154

3.4.4.12 Desgasificación de los Polímeros Fundidos ......................... 156

4. MATERIALES Y MÉTODOS ....................................................................... 157

4.1 Obtención de Datos .............................................................................. 157

4.2 Multicolinealidad ................................................................................... 158

4.3 Procedimiento para Obtener la Matriz Z ............................................... 159

4.4. Análisis de Datos de Mínimos Cuadrados ........................................... 170

4.5 Procedimiento para Obtener el Valor de K ........................................... 172

4.6 Procedimiento para Obtener la Matriz Z+K ........................................... 174

4.7 Análisis de Datos de Regresión Ridge Generalizada ........................... 178

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS ..................................................................... 180

5.1 Estimadores .......................................................................................... 182

12

5.1.2 Ecuación de Regresión y Cuadrado Medio del Error del Método de

Regresión de Mínimos Cuadrados ......................................................... 182

5.1.3 Ecuación de Regresión y Cuadro Medio del Error del Método de

Regresión Ridge Generalizado............................................................... 182

5.2 Obtención de la Eficiencia Relativa a través ......................................... 183

del Cuadrado Medio del Error ..................................................................... 183

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................. 184

7. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 186

13

LISTA DE TABLAS

Tabla 3.1 Análisis de varianza para probar el significado de la regresión ........ 61

Tabla 3.2 Datos para la regresión lineal múltiple .............................................. 69

Tabla 3.3 Análisis de Varianza, Regresión Lineal Múltiple ............................... 80

Tabla 3.4 . Principales Diferencias entre Termoplásticos Cristalinos y

Amorfos .......................................................................................... 126

Tabla 4.1 Matriz de estudio ............................................................................ 158

Tabla 4.2 Matriz de Correlación...................................................................... 159

Tabla 4.3 Paso 1 del Procedimiento para Escalar la Matriz de Estudio ......... 160

Tabla 4.4 Paso 2 del Procedimiento para Escalar la Matriz de Estudio ......... 160

Tabla 4.5 Primera Comprobación del Escalamiento de la Matriz de

Estudio. ........................................................................................... 161

Tabla 4.6 Segunda Comprobación del Escalamiento de la Matriz de

Estudio ............................................................................................ 161

Tabla 4.7 Matriz W Cuadrática ....................................................................... 162

Tabla 4.8 Paso 1 del Procedimiento para Escalar la Matriz W Cuadrática ..... 163

Tabla 4.9 Paso 2 del Procedimiento para Escalar la Matriz W Cuadrática ..... 163

Tabla 4.10 Primera Comprobación del Escalamiento de la W Cuadrática

Escalada ......................................................................................... 164

Tabla 4.11 Segunda Comprobación del Escalamiento de la W Cuadrática

Escalada ......................................................................................... 164

Tabla 4.12 Matriz X ........................................................................................ 165

Tabla 4.13 Matriz X´X ..................................................................................... 165

Tabla 4.14 Matriz Λ, Eigenvalores .................................................................. 166

Tabla 4.15 Matriz T, Eigenvectores ................................................................ 166

Tabla 4.16 Matriz XT ...................................................................................... 167

Tabla 4.17 Paso 1 del Procedimiento de Escalamiento para la Matriz XT. .... 168

Tabla 4.18 Paso 2 del Procedimiento de Escalamiento para la Matriz XT. .... 168

Tabla 4.19 Primera Comprobación del Escalamiento para XT. ...................... 169

Tabla 4.20 Segunda Comprobación del Escalamiento para XT. .................... 169

14

Tabla 4.21 Matriz Z ......................................................................................... 170

Tabla 4.22 Ecuación de Regresión de Mínimos Cuadrados ........................... 170

Tabla 4.23 Cuadrado Medio del Error y Alpha Estimada de Mínimos

Cuadrados ...................................................................................... 171

Tabla 4.24 Matriz de la Multiplicación de (Λ) .............................................. 172

Tabla 4.25 Matriz de la Multiplicación de (Λ) mostrada en la tabla 4.24 y

mostrada en la tabla 4.23. ........................................................... 173

Tabla 4.26 Matriz Z+K .................................................................................... 174

Tabla 4.27 Paso 1 del Procedimiento de Escalamiento de la Matriz Z+K ...... 175

Tabla 4.28 Paso 2 del Procedimiento de Escalamiento de la Matriz Z+K ...... 176

Tabla 4.29 Primera Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Z+K..... 177

Tabla 4.30 Segunda Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Z+K. .. 177

Tabla 4.31 Matriz Z+K Escalada .................................................................... 178

Tabla 4.32 Ecuación de Regresión de Ridge Generalizada ........................... 178

Tabla 4.33 Cuadrado Medio del Error de Ridge Generalizada ....................... 179

15

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 Estimador Sesgado 1 Tiene una Varianza mas Pequeña que

el Estimador Insesgado 2. .............................................................. 34

Figura 3.2 Distribución de Dos Estimadores Insesgados para el

Parámetro ..................................................................................... 40

Figura 3.3 Casos en los que No se Rechaza la Hipótesis Ho : β1 = 0 ............. 58

Figura 3.4 Casos en lo que Si se Rechaza la Hipótesis Ho : β1 = 0 ................ 59

Figura 3.5 Diagramas de Dispersión y Líneas de Regresión para el

Rendimiento y la Temperatura de Operación en un Proceso

Químico. ........................................................................................... 65

a) Modelo con ordenada al origen b) Modelo sin ordenada al

origen. ............................................................................................... 65

Figura 3.6 Interpretación Geométrica de los Mínimos Cuadrados. ................. 76

Figura 3.7 Niveles de Ingreso Familiar y Tamaño de Vivienda para un

Estudio de Consumo Residencial de Electricidad ............................. 87

a) Estimadores insesgados............................................................. 104

b) Sesgado de β ............................................................................. 104

Figura: 3.8 Distribución de Muestreo de: a) y b) ............................................ 104

Figura 3.9 Interpretación Geométrica de la Regresión Ridge ........................ 108

Figura 3.10. Válvula de Retención (Válvula Check), Abierta y Cerrada. ........ 128

Figura 3.11 . Máquina Moldeadora de Inyección. ........................................... 130

Figura 3.12 . Moldeo por Inyección. ................................................................ 131

Figura 3.13 Tipos de Boquilla......................................................................... 133

Figura 3.14 Área Proyectada de una Tina de Baño Moldeada ...................... 134

Área proyectada = (a x b) — (c x d) ................................................ 134

Figura 3.15 Molde de Dos Placas, Cerrado y Abierto. ................................... 136

Figura 3.16 El Principio del Molde de Tres Placas. ........................................ 137

Figura 3.17 Variaciones en el Diseño de Compuertas. .................................. 139

Figura 3.18 Bebederos a) Balanceados y b) No Balanceados. ...................... 140

16

Figura 3.19 Diagrama de Presión de Inyección en Relación al Tiempo en

una Máquina con Dos Presiones Regulables Independientes: ....... 147

P1 primera presión, P2 segunda presión (presión de

sostenimiento o pospresión). Las presiones se han medido en el

cilindro hidráulico. ........................................................................... 147

Figura 3.20 Secador por Aire Caliente para Materiales Plásticos

Granulados ..................................................................................... 155

Figura 3.21 . Deshumidificador por Circulación de Aire Presecado y

Calentado para Materiales Plástico muy Higroscópicos ................. 156

(ejemplo: poliamidas, policarbonatos, etcétera). El sistema

previsto para secado “continuo” de granulado proveniente de

barriles o de “silos”. ........................................................................ 156

Figura 5.1 Estimador Sesgado 1 Tiene una Varianza Mas Pequeña que

el Estimador Insesgado 2 ............................................................. 181

17

1. INTRODUCCIÓN

Para lograr un sistema de producción mejorado, se debe construir

basándose en nuevas ideas y en la retención de conocimientos básicos. Shingo

(1990). Dentro de estos, se encuentran los métodos estadísticos que proveen

algunas herramientas para conocer el estado de un determinado proceso,

también se emplean en forma extensiva en la experimentación, esta última

utilizada en la mayoría de las investigaciones en el campo de la ingeniería,

ciencia e industria.

Los principios del diseño experimental y los métodos estadísticos en

general no han sido utilizados tan extensamente en los países occidentales

como en Japón, donde se han aprovechado más como un instrumento de

ingeniería, teniendo como meta el lograr el mejoramiento de la calidad en

producto y proceso.

En el proceso del moldeo de plástico en el cual intervienen factores,

como por ejemplo la temperatura del material, la presión de inyección, entre

otros, los cuales no todos son independientes entre si por lo que hay un grado

de multicolinealidad presente en el análisis que origina que los coeficientes

estimados por mínimos cuadrados sean inestables.

Cuando se elige uno de entre varios estimadores el principio lógico de

estimación es seleccionar el estimador que tenga una menor varianza. A través

del teorema de Gauss-Markov, se puede demostrar, que el estimador de

mínimos cuadrados, tiene varianza mínima en la clase de los estimadores

lineales insesgados, pero no hay garantía de que esa varianza sea pequeña

(Mongomery, Peck y Vining, 2003). Por lo que cualquier otro estimador que

consideremos, tendrán que ser sesgados, y una forma de aliviar este problema

es eliminar el requisito de que el estimador sea insesgado, y poder determinar

18

un estimador sesgado de coeficientes de regresión. Para esto se han

desarrollado varios procedimientos, uno de ellos es la regresión ridge

generalizada, propuesto por Hoerl y Kennard (1970), y es una extensión el

procedimiento de regresión ridge, por lo que en la presente investigación se

aplicará la regresión del método de mínimos cuadrados y ridge generalizado a

un proceso de moldeo de plástico con la finalidad de ejemplificar su diferencia.

Aquí veremos si el método de regresión ridge generalizado es más

eficiente que el método de mínimos cuadrados para ajustar un polinomio

cuadrático cuando el problema de multicolinealidad está presente, y también si

los coeficientes estimados con sesgo presentan mayor estabilidad que los

estimados por mínimos cuadrados cuando está presente el problema de

multicolinealidad.

Se podrá demostrar a través del ajuste de un polinomio a un proceso de

moldeo de plástico que los coeficientes estimados por mínimos cuadrados son

inestables cuando el problema de multicolinealidad está presente, y también se

podrá demostrar que los coeficientes estimados con sesgo presentan mayor

estabilidad que los estimados por mínimos cuadrados cuando está presente el

problema de multicolinealidad, y por último el comparar los estimadores de

ridge generalizado y mínimos cuadrados cuando se ajusta un polinomio.

No podemos dejar de tomar en cuenta que los errores de estimación se

consideran normal e independientemente distribuidos con media cero y

varianza constante, que solo se analizan el método ridge generalizado y el

método de mínimos cuadrados y que el modelo solo contiene una variable de

respuesta.

Los modelos de regresión que se ajustan a los datos por el modelo de

mínimos cuadrados, cuando hay una fuerte colinealidad son ecuaciones

19

notoriamente malas de predicción, y los valores de los coeficientes de regresión

suelen ser muy sensibles a los datos de la muestra tomada en particular.

20

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Existen diferentes procedimientos para obtener estimaciones de

parámetros, los cuales no son todos aplicables a cualquier situación, su

aplicación depende de las características del diseño que representa al sistema

del cual obtenemos los parámetros estimados para su operación.

En la modelación del sistema, representado por el diseño, a través de un

polinomio, es vital realizar la estimación de sus parámetros utilizando el

estimador adecuado, ya que el objetivo de la modelación, es la representación

del comportamiento del sistema para fines de pronósticos y/o toma de

decisiones.

El análisis clásico para las estimaciones, se realiza a través de

estimadores insesgados, de entre los cuales, el estimador obtenido por el

método de mínimos cuadrados, es el más utilizado, por ser el más eficiente

entre estos estimadores.

Desafortunadamente, este estimador no tiene dentro de su estructura un

método para detectar los efectos que el problema conocido como

multicolinealidad provoca en los coeficientes estimados, siendo entonces

preferible utilizar un estimador sesgado que es sensible a este problema y que

minimiza sus efectos durante el proceso de estimación, siendo hasta la fecha el

estimador ridge generalizado el más adecuado para estos fines ya que

obtenemos un cuadrado medio del error menor que el cuadrado medio del error

de mínimos cuadrados, permitiendo con ello estimaciones de los coeficientes

más estables y confiables para la modelación del sistema a través de un

modelo polinomial.

21

En el proceso de moldeo de plástico en el cual intervienen factores como

por ejemplo la temperatura del material, la presión de inyección, entre otros, los

cuales no todos son independientes entre si por lo que hay un grado de

multicolinealidad presente en el análisis que origina que los coefientes

estimados por mínimos cuadrados sean inestables.

Cabe destacar que el método ridge generalizado y el método de mínimos

cuadrados, son igualmente eficientes si el problema de multicolinealidad no

existe y el método ridge generalizado es más eficiente que mínimos cuadrados

a medida que la multicolinealidad se agrava.

2.1 Preguntas de Investigación

¿El método regresión ridge generalizado, es más eficiente que el método

de mínimos cuadrados para ajustar un polinomio cuando existe

multicolinealidad?.

¿Por qué el método de regresión de mínimos cuadrados, falla cuando

tenemos problemas de multicolinealidad?.

2.2 Hipótesis y Variables de Investigación

El método de regresión ridge generalizado es más eficiente que el

método de mínimos cuadrados para ajustar un polinomio cuadrático cuando el

problema de multicolinealidad está presente.

Los coeficientes estimados con sesgo presentan mayor estabilidad que

los estimados por mínimos cuadrados cuando está presente el problema de

multicolinealidad.

22

2.3 Objetivos

Demostrar a través del ajuste de un polinomio a un proceso de moldeo

de plástico que los coeficientes estimados por mínimos cuadrados son

inestables cuando el problema de multicolinealidad está presente.

Comparar los estimadores de ridge generalizado y mínimos cuadrados

cuando se ajusta un polinomio.

Demostrar que los coeficientes estimados con sesgo presentan mayor

estabilidad que los estimados por mínimos cuadrados cuando está presente el

problema de multicolinealidad.

2.4 Justificación

Dado que la modelación de un sistema a través de un polinomio, se

utiliza para determinar el comportamiento de una variable de respuesta sujeta a

las variables regresoras, con la finalidad de determinar los efectos que cada


conjunto de coeficientes que optimizan la respuesta. Los cuales se obtienen a

través de la minimización de la varianza en la estimación representada por el

cuadrado medio del error del estimador con que fueron estimados.


estimación es seleccionar el estimador que tenga la menor varianza. A través






23


un estimador sesgado de coeficientes de regresión, para esto se han


generalizada, propuesto por Hoerl y Kennard (1970), y es una extensión el

procedimiento de regresión ridge, por lo que en la presente investigación se

aplicara la regresión del método de mínimos cuadrados y la regresión del

método de regresión ridge generalizado a un proceso de moldeo de plástico

con la finalidad de ejemplificar su diferencia.




suelen ser muy sensibles a los datos de la muestra tomada en particular

2.5 Delimitaciones

Los errores de estimación se consideran normal e independientemente

distribuidos con media cero y varianza constante.

Solo se analizan el método Ridge Generalizado y el método de mínimos

cuadrados.

El modelo solo contiene una variable de respuesta.

24

3. MARCO TEÓRICO

Aquí presentamos los fundamentos teóricos de los aspectos principales

de esta investigación, como lo es la inferencia estadística, que nos lleva a la

estimación puntual, se describen también los modelos de regresión donde se

trabaja con el método de mínimos cuadrados, para obtener nuestro primer

estimador puntual, luego se describe la multicolinealidad y los métodos mas

utilizados para tratar este problema de multicolinealidad, donde encontramos el

método de regresión ridge generalizado como una opción. Y por ultimo algo de

historia de donde se aplico esta investigación, en este caso es en una

operación de moldeo por inyección de plástico. Por lo que se describe la

historia de los plásticos y el proceso de producción.

3.1 Ingeniería de Calidad

El diseño de experimentos es una herramienta de importancia critica en

el mundo de la ingería, es extremadamente útil para descubrir las variables

clave que influyen en las características de calidad de interés en el proceso.

Montgomery (1985)

También ayudan a mejorar el funcionamiento de los procesos de

manufactura en la etapa del diseño del producto, permitiendo evaluar así las

alternativas de materiales utilizados.

Otro de los aspectos en que ayuda el diseño experimental, es en la

selección y establecimiento de parámetros de manera que el producto funcione

bien bajo las condiciones para las cuales fue diseñado y obtener de esta

manera productos robustos.

25

3.2 Inferencia Estadística

El objetivo de la inferencia estadística con respecto a la población

basándose en la información contenida en una muestra.

El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos

utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre una

población. La inferencia estadística puede dividirse en dos grandes áreas, una

es la estimación de parámetros y la otra es la prueba de hipótesis. Estos

métodos utilizan la información contenida en una muestra de la población para

obtener conclusiones.

3.2.1 Importancia de las Suposiciones en la Inferen cia

Toda técnica estadística se apoya en un cierto número de suposiciones.

Si estas suposiciones no se cumplen, la validez de las técnicas disminuye o es

nula. La importancia relativa de las suposiciones no es la misma, ya que

suponer algunas de ellas cuando no se cumplen no altera radicalmente la

validez de las conclusiones, mientras que otras suposiciones son tan

importantes que cuando no se cumplen, los métodos que se basan en ellas no

tienen ninguna confiabilidad.

Cuando la validez de una técnica estadística no se afecta radicalmente

por que una suposición no se cumple, diremos que la técnica es robusta con

respecto a esa suposición.

Aquí se mencionan solo las suposiciones más usuales y su importancia

relativa en los métodos que se han percibido.

26

Una característica común es que dichas observaciones constituyen una

muestra aleatoria de una cierta función de probabilidades. Es decir, que se

supone independencia entre las observaciones y se adopta un modelo

probabilístico.

a) Independencia. La suposición de independencia entre las

observaciones es muy importante para la validez de las inferencias, y puede

decidirse que ningún procedimiento estadístico que adopte esta suposición es

robusto cuando no se cumple. Las técnicas que pueden usarse cuando se

tienen observaciones dependientes en una muestra son de índole muy

especial.

b) Modelo Probabilístico. Los modelos que más frecuentemente se han

sugerido son el Normal y el Binomial, que son útiles bajo una gran variedad de

circunstancias. En cuanto al modelo Normal, me refiero primero al caso de

muestras pequeñas, basta con que las observaciones tengan una distribución

de probabilidades aproximadamente normal para que las técnicas sean validas,

las inferencias sobre la varianza son altamente dependientes de la suposición

de normalidad. Cuando se tienen muestras grandes, las inferencias sobre una

media pueden hacerse usando aproximación a la Normal.

3.2.2 Estimación de Parámetros

Para realizar la estimación de un parámetro objetivo se tienen dos tipos

de técnicas: La estimación de parámetros por intervalos y la estimación de

parámetros puntual.

27

3.2.2.1 Estimación por Intervalos

Se obtienen dos valores o puntos, que corresponden a los limites inferior

y superior de un intervalo, es decir, se obtiene el intervalo [θinf,θsup] tal que

θ≡[θinf,θsup], donde θ es el parámetro objetivo, en cada caso la estimación real

se hace mediante un estimador, al que se denota como .

3.2.2.2 Estimación Puntual

Una aplicación muy importante de la estadística es obtener estimaciones

puntuales de parámetros tales como la media y la varianza de la población.

Cuando se estudian problemas de inferencia, es conveniente tener un símbolo

general para representar el parámetro de interés; para ello se hará uso de la

letra griega θ (theta). El objetivo de la estimación puntual es seleccionar un

número, con base en los datos de la muestra, que sea el valor más plausible de

θ. El valor numérico de alguna estadística de la muestra es el que será utilizado

como estimación puntual.

Con este método se obtiene un solo valor o punto como estimación del

parámetro objetivo, es decir,

θ = = x

Donde:

θ � es el parámetro objetivo.

� es el estadístico o estimador.

X � es el valor o punto de estadístico.

Todos los problemas en los cuales hacemos generalizaciones basadas

en datos de muestra, son en esencia problemas de decisión y, por lo tanto,

pueden manipularse por medio de un enfoque unificado. La distinción principal

es que en problemas de estimación debemos elegir un valor de un parámetro (o

28

sea, debemos escoger una estrategia de la naturaleza en particular) de una

posible continuidad de alternativas, mientras que en la prueba de hipótesis

debemos decidir entre aceptar o rechazar un valor especificado o un conjunto

de valores especificados de un parámetro, no existen las funciones de decisión

perfectas y esta es otra razón para distinguir entre problemas de estimación y la

prueba de hipótesis (los métodos que estamos dispuestos a aceptar como los

“segundos mejores” o las restricciones que debemos imponer para obtener

funciones de decisión optimas difieren un tanto en los dos tipos de problemas).

Si utilizamos el valor de una estadística o valor estadístico para calcular

un parámetro de una población, este valor es una estimación de punto del

parámetro. Si empleamos una media de una muestra para determinar la media

de una población, la proporción de una muestra para calcular el parámetro θ de

una población binomial o la varianza de una muestra para determinar la

varianza de una población, utilizamos en cada caso una estimación de punto

del parámetro en cuestión. Estas estimaciones reciben el nombre de

estimaciones de punto porque son números únicos, o puntos situados sobre el

eje real, que se utilizan, respectivamente, para calcular µ, θ y σ 2.

La estadística, o valor estadístico, cuyo valor se utiliza como la

estimación de punto de un parámetro, se llama estimador. Por lo tanto, la

estadística x es un estimador de µ y su valor es la estimación de punto. De la

misma manera, la estadística s2 es un estimador de σ2 y su valor s2 es la

estimación de punto.

Pueden utilizarse diversas propiedades estadísticas de los estimadores

para decidir que estimador es el más apropiado en una situación dada, cual nos

expondrá al menor riesgo, cual nos brindara la mayor cantidad de información

al más bajo costo.

29

Básicamente, la estimación puntual se refiere a la elección de una

estadística, esto es, de un solo numero calculado a partir de datos muéstrales

(y quizá de información adicional) respecto del cual tenemos cierta expectativa,

o certeza, de que esta “razonablemente cerca” del parámetro que

supuestamente estima. No es tarea fácil; en primer lugar, el valor del parámetro

es desconocido y, en segundo, el valor de la estadística es desconocido hasta

que la muestra haya sido obtenida. De modo que solo podemos preguntarnos

si, en muestreo repetido, la distribución de la estadística posee ciertas

propiedades deseables semejantes a la “cercanía”.

3.2.2.3 Conceptos Básicos en Estimación Puntual

Se tienen variables aleatorias X1, X2, . . . , Xn, las cuales se suponen

independientes, con el mismo modelo probabilístico. El propósito de la

estimación puntual es obtener una estadística (función de las observaciones)

que, una vez evaluada en la muestra, nos proporcione un valor que

plausiblemente refleje el del parámetro desconocido, a la estadística en

cuestión se le llama estimador.

Una vez calculadas en una muestra dada, ya son valores particulares de

esas variables aleatorias y entonces se les llama estimaciones.

De acuerdo con lo anterior, un estimador es una variable aleatoria y, en

consecuencia, tiene una distribución de probabilidades. Esto implica que un

estimador como puede, en algunas muestras, estar muy cerca del valor de la

media poblacional y, en otras, estar muy alejado de ese valor, dependiendo de

la varianza de . Además, para cualquier parámetro habrá muchas estadísticas

que pueden usarse razonablemente como estimadores. De aquí la necesidad

de disponer de criterios para comparar el comportamiento de los posibles

estimadores. Existen en la teoría estadística varios criterios de comparación.

30

Una característica deseable es que sea igual al parámetro que se desea

estimar, es decir, que si denota genéricamente al estimador de un parámetro

θ se desea que:

E( ) = θ → En este caso diremos que es un estimador insesgado del

parámetro θ.

Estimador insesgado.- Sean θ un parámetro de una función de

distribución de probabilidades y un estimador de θ. Se dice que es un

estimador insesgado de θ si la esperanza matemática de la variable aleatoria

es igual a θ. En símbolos: E( ) = θ

En conexión con esta idea es conveniente definir el sesgo de un

estimador.

Sesgo.- El sesgo de un estimador para un parámetro θ se define

como: s( ) = E( - θ) = E( ) - θ

Si un estimador es insesgado, entonces s( ) = 0. También es claro que

si el sesgo es positivo, se sobreestimara sistemáticamente el valor del

parámetro, mientras que si el sesgo es negativo se subestimara al parámetro.

La interpretación es que un estimador insesgado, en un número muy grande de

estimaciones, tiene un promedio que difiere muy poco del valor del parámetro.

Por esto es evidente la importancia de que un estimador sea insesgado. Sin

embargo, a pesar de su importancia, el criterio de insesgamiento no puede ser

único, ya que para un parámetro puede haber dos o más estimadores

insesgados, quedando el problema de decidir cual de ellos es “mejor”, en algún

sentido, que los demás.

31

3.2.2.4 Método de Estimación más Adecuado

Existen diferentes procedimientos para obtener estimadores. No siempre

son todos aplicables a cualquier situación, dependiendo a veces el que se

puedan emplear, de que se cumplan ciertas condiciones adicionales.

Dos puntos importantes a tener en cuenta a la hora de decidir entre

aplicar un determinado método de estimación u otro, son las posibilidades

reales de poder llevar a efecto cada uno de ellos en la práctica, y las

propiedades que tengan los estimadores que produzcan. Si las dificultades

técnicas permiten aplicar o no a una situación un método de estimación

determinado, es algo que debe decidir el investigador combinando el análisis

detenido de esa situación con su experiencia previa.

3.2.2.5 Varianza y Cuadrado Medio del Error de un E stimador Puntual

Supóngase que 1 y 2 son estimadores insesgados de θ. Esto indica

que la distribución de cada estimador esta centrada en el verdadero valor de θ.

Sin embargo, las varianzas de estas distribuciones pueden ser diferentes.

Puesto que 1 tiene una varianza más pequeña que 2, entonces es más

probable que el estimador 1 produzca un estimado más cercano al verdadero

valor de θ. Cuando se elige uno de entre varios estimadores, un principio lógico

de estimación es seleccionar el estimador que tenga la menor varianza.

Si se consideran todos los estimadores insesgados de θ, el que tiene la

menor varianza recibe el nombre de estimador insesgado de varianza mínima

(EIVM).

32

En ocasiones el EIVM (estimador insesgado de varianza mínima)

también se conoce como EIUVM, donde la letra U representa “uniforme”, lo que

significa “para todo θ”.

A veces es necesario utilizar un estimador sesgado. En tales casos,

puede ser importante el error cuadrático medio del estimador. El error

cuadrático medio de un estimador es el cuadrado esperado de la diferencia

entre y θ.

El cuadrado medio del error de un estimador del parámetro θ esta

definido como:

CME ( ) = E( – θ)2

El cuadrado medio del error puede rescribirse de la siguiente manera:

CME ( ) = E [ – E( )]2 + [ – E( )]2

= V( ) + (sesgo)2

Esto es, el cuadrado medio del error de es igual a la varianza del

estimador más el cuadrado del sesgo. Si es un estimador insesgado de θ, el

cuadrado medio del error de es igual a la varianza de .

El cuadrado medio del error es un criterio importante para comparar dos

estimadores. Sean 1 y 2 dos estimadores del parámetro θ, y CME( 1) y

CME( 2) los dos cuadrados medios del error de 1 y 2. Entonces, la eficiencia

relativa (ER) de 2, con respecto a 1 se define como:

ER = CME( 1)

CME( 2)

33

Si la eficiencia relativa es menor que uno (ER<1), entonces puede

concluirse que 1 es un estimador más eficiente de θ que 2, en el sentido de

que tiene un cuadrado medio del error más pequeño.

Por ejemplo, supóngase que se desea estimar la media µ de una

población. Se tiene una muestra aleatoria de n observaciones X1, X2, . . . , Xn y

se quiere comparar dos estimadores posibles de µ: la media muestral y una

observación de la muestra, por ejemplo Xi. Nótese que y Xi son

estimadores insesgados de µ; en consecuencia, el cuadrado medio del error de

ambos estimadores es simplemente la varianza. Por consiguiente, la eficiencia

relativa de Xi con respecto a X es:

CME( 1) = σ2 / n = 1

CME( 2) σ2 n

Puesto que (1/n) < 1 para muestras de tamaño n ≥ 2, puede concluirse

que la media muestral es un mejor estimador de µ que una sola observación Xi.

A veces se encuentra que es preferible utilizar estimadores sesgados

que estimadores insesgados, ya que tienen un cuadrado medio del error menor.

Es decir, es posible reducir de manera considerable la varianza del estimador

mediante la introducción de un sesgo relativamente pequeño.

Ya que la reducción en la varianza es mayor que el cuadrado del sesgo,

se obtiene un estimador mejorando desde el punto de vista del cuadrado medio

del error. Por ejemplo, en la Figura 3.1 se presenta la distribución de

probabilidad de un estimador sesgado 1 que tiene una varianza más pequeña

que el estimador insesgado 2. Un estimado que se basa en 1 puede estar

más cerca del valor real de θ que el basado en 2.

34

Figura 3.1 Estimador Sesgado 1 Tiene una Varianza mas Pequeña que el

Estimador Insesgado 2.

Un estimador que tiene un error cuadrático medio menor o igual que el

error cuadrático medio de cualquier otro estimador, para todos los valores del

parámetro θ, recibe el nombre de estimador optimo de θ. La existencia de este

tipo de estimadores es rara.

3.2.3 Propiedades de los Estimadores

La estimación se extrae del valor de la realización muestral de un

estadístico dado, y por ello lo que vale no será lo mismo según cuál sea la

realización que se obtenga al extraer la muestra. Si ese valor ni siquiera es

siempre el mismo en todas las realizaciones muestrales posibles, no se puede

pretender tampoco que sea igual a la cantidad a estimar.

Puesto que la estimación que se obtenga va a depender de la realización

muestral de cierto estimador, ¿Qué propiedades se le deben exigir a ese

estimador para estar seguro de que en tales realizaciones al menos un alto

porcentaje de ellas sean una buena estimación?.

Distribución de 1

35

3.2.3.1 Propiedades que Debe Cumplir Todo Buen Esti mador

Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media de su

distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto

ocurre, por ejemplo, con el estimador , ya que µx = µ y con estimador p’ ya

que µp = p.

Varianza mínima: La variabilidad de un estimador viene determinada por

el cuadrado de su desviación estándar. En el caso del estimador , su

desviación estándar es σx = σ / √n, también llamada error estándar de µ.

3.2.3.2 Muestreo Aleatorio

En muchos problemas estadísticos, es necesario utilizar una muestra de

observaciones tomadas de la población de interés con objeto de obtener

conclusiones sobre ella.

Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las

cuales se tiene cierto interés.

En cualquier problema particular, la población puede ser pequeña,

grande pero finita o infinita. El número de observaciones en la población recibe

el nombre de tamaño de la población. Puede hacerse referencia a este hecho

diciendo que es una población normal o que es una población normalmente

distribuida que es otra propiedad requerida por los estimadores.

En muchos problemas de inferencia estadística, es imposible o poco

practico observar toda la población, así que, en gran medida, la población debe

verse como algo conceptual y en consecuencia, se depende de un subconjunto

36

de las observaciones provenientes de la población que sean de ayuda para

tomar decisiones sobre esta.

Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una

población.

Para que las inferencias sean validas, la muestra debe ser representativa

de la población. A menudo resulta atractivo seleccionar las observaciones más

convenientes como muestra o ejercitar el juicio en la selección de la muestra.

Es frecuente que estos procedimientos introduzcan un sesgo en la muestra, lo

que trae como consecuencia que el parámetro de interés sea subestimado o

sobrestimado por la muestra. Para evitar estas dificultades, es deseable

seleccionar una muestra aleatoria como el resultado de un mecanismo aleatorio

y cada observación de la muestra es el valor observado de una variable

aleatoria. Supóngase que cada observación en la muestra se obtiene de

manera independiente.

Las variables aleatorias (X1, X2, . . . , Xn) constituyen una muestra

aleatoria de tamaño n, sí;

a) Las Xi son variables aleatorias independientes, y

b) Todas las Xi tienen la misma distribución de probabilidad.

Sea p el valor no conocido de esta proporción. Para hacer una inferencia

con respecto a la proporción verdadera p, un procedimiento más razonable

consiste en seleccionar una muestra aleatoria (de un tamaño apropiado) y

utilizar la proporción observada y esta es una función de los valores

observados en la muestra aleatoria. Puesto que es posible obtener muchas

muestras aleatorias de una población, el valor de cambiara de una a otra.

es una variable aleatoria. Esta variable aleatoria se conoce como estadística.

37

Una estadística es cualquier función de las observaciones contenidas en

una muestra aleatoria.

Si X1, X2, . . . , Xn es una muestra aleatoria de tamaño n, entonces la

media muestral X, la varianza muestral S2, y la desviación estándar muestral S,

son estadísticas.

Puesto que una estadística es una variable aleatoria, esta tiene una

distribución de probabilidad. Se conoce como distribución de muestreo a la

distribución de probabilidad de una estadística.

En general, si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad

ƒ(x), caracterizada por el parámetro no conocido θ, y si X1, X2, . . . , Xn es una

muestra aleatoria de X de tamaño n, entonces recibe el nombre de estimador

puntual de θ.

Una estimación puntual de algún parámetro θ de la población es un valor

numérico .

A menudo es necesario estimar:

� La media µ de una población

� La varianza σ2 (o desviación estándar σ) de una población

� La proporción p de objetos de una población que pertenecen a

cierta clase de interés.

� La diferencia entre medias de dos poblaciones, µ1 – µ2

� La diferencia entre proporciones de dos poblaciones, p1 – p2

Estimadores puntuales razonables de estos parámetros, son los

siguientes:

38

� Para µ, el estimado es , la media muestral

� Para σ2 el estimado es , la varianza muestral

� Para p, es estimado es = x/n, la proporción muestral, donde x es el

numero de objetos en una muestra aleatoria de tamaño n que

pertenece a la clase de interés.

� Para µ1 – µ2, el estimado es = x1 – x2, la diferencia entre las

medias muestrales de dos muestras aleatorias independientes.

� Para p1 – p2, el estimado es 1 – 2, la diferencia entre las

proporciones de las dos muestras, calculadas a partir de dos

muestras aleatorias independientes.

3.2.3.3 Estimador Insesgado

Estimador insesgado: Se dice que una estadística es un estimador

insesgado, o que su valor es una estimación insesgada, si, y solo si, la media

de la distribución de muestreo del estimador es igual a θ.

En términos generales, la propiedad de no sesgadura es una de las

propiedades mas deseables en la estimación puntual, aunque de ningún modo

esencial, pues en ocasiones es superada por otros factores. Una de las

deficiencias del criterio de no sesgadura es que por lo común no ofrece una

estadística única para un problema dado de estimación. Esto es que varios

estimadores pueden ser eficientes pero no todos de igual manera.

Esto sugiere que debemos buscar un criterio adicional para decidir cual

de varios estimadores insesgados es el “mejor” en la estimación de un

parámetro dado.

39

Como no puede haber un estimador perfecto que siempre de la

respuesta correcta; parecería razonable que un estimador deba hacerlo cuando

menos en promedio. Dicho de otra manera, parecería deseable que el valor

esperado de un estimador sea igual al parámetro que se supone estima. Si este

es el caso, se dice que el estimador es insesgado; de lo contrario, se dice que

es sesgado.

Una estadística es una estimador insesgado del parámetro θ si y solo

si E( ) = θ

Si S2 es la varianza de una muestra tomada al azar de una población

infinita, entonces E(S2) = σ 2.

Un estimador debe estar “próximo” en algún sentido al valor verdadero

del parámetro desconocido. De manera formal, se dice que es un estimador

insesgado de θ si el valor esperado de es igual a θ. Esto equivale a afirmar

que la media de la distribución de probabilidad de (o la media de la

distribución de muestreo de ) es igual a θ.

El estimador puntual es un estimador insesgado para el parámetro θ,

si: E( ) = θ, si el estimador no es insesgado, entonces la diferencia es:

E( ) – θ y es conocida como sesgo del estimador .

Cuando un estimador es insesgado, E( ) – θ = 0; esto es, el sesgo es

cero.

La varianza muestral S2 es un estimador insesgado de la varianza

poblacional σ2. Sin embargo, puede demostrarse que la desviación estándar

40

muestral S es un estimador sesgado de la desviación estándar de la población.

Para muestras grandes, este sesgo es poco significativo.

En ocasiones existen varios estimadores insesgados del parámetro de la

población muestral, no es posible depender exclusivamente de esta propiedad

para seleccionar el estimador. Se necesita un método para seleccionar uno de

entre varios estimadores insesgados.

3.2.3.4 Estimador Insesgado más Eficiente

Estimador insesgado mas eficiente: se dice que una estadística 1 es un

estimador insesgado mas eficiente del parámetro q que la estadística 2 si:

1.- 1 y 2 son ambos estimadores insesgados de q.

2.- La varianza de la distribución de muestreo del primer estimador es

inferior a la del segundo.

En la Figura 3.2, es evidente que los valores de 2 se encuentran

distribuidos más cerca de θ que los valores de 1 y, por lo tanto, las

estimaciones de 2 son más confiables que las estimaciones de 1. La razón

es que la varianza de 2 es menor que la varianza de 1. En este sentido son

preferibles estimadores insesgados con la menor varianza posible.

Figura 3.2 Distribución de Dos Estimadores Insesgados para el Parámetro

41

3.2.3.5 Estimador Insesgado de Varianza Mínima

El estimador insesgado de varianza mínima, como su nombre lo indica,

es aquel que tiene menor varianza entre todos los estimadores insesgados de

parámetro que se quiere estimar.

Un estimador sesgado (sobre todo si el sesgo es pequeño) puede ser

preferible a un estimador insesgado.

La varianza no es necesariamente el mejor criterio para medir la

dispersión de una variable aleatoria. En particular, si la distribución es

marcadamente asimétrica, el criterio de varianza mínima puede ser

inadecuado.

3.2.3.6 Estimador Insesgado y Estimador Sesgado

El teorema de Gauss-Markov nos dice que el estimador puntual

insesgado de varianza mínima nos lo dará la regresión del modelo de mínimos

cuadrados pero no hay garantía de que esa varianza mínima ósea la más

pequeña que exista. Al introducir un poco de sesgo a la estimación puntual

reducirá la varianza por lo que dará un estimador más eficiente, por lo cual

tendremos que usar un método diferente al de mínimos cuadrados ya que este

no tiene en su estructura ninguna consideración sobre sesgo inducido.

Manejar una muestra completa puede convertirse en algo pesado por la

gran cantidad de datos que puede incluir. Cabe preguntarse hasta que punto es

posible encontrar un estadístico con las componentes necesarias de forma que

sus valores muestrales aporten la misma información que la que aporta la

propia muestra. Si se pudiera hallar, tendríamos que el conjunto de toda la

42

muestra se puede resumir y sustituir por los valores del estadístico, sin perder

la información relevante que aquella incluía sobre el parámetro. Con ello

conseguiríamos seguramente un notable ahorro de medios, tiempo, y dinero.

3.3 Regresión y Formación de Modelos

El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar y

modelar la relación entre variables. Son numerosas las aplicaciones de la

regresión, y las hay en casi cualquier campo, incluyendo en ingeniería, ciencias

físicas y químicas, economía, administración, ciencias biológicas y en las

ciencias sociales. De hecho puede ser que el análisis de regresión sea la

técnica más usada.

En muchos problemas existe una relación inherente entre dos o más

variables, y resulta necesario explorar la naturaleza de esta relación. El análisis

de regresión es una técnica estadística para el modelado y la investigación de

la relación entre dos o más variables.

3.3.1 Introducción al Análisis de Regresión Lineal

El análisis de regresión es una de las técnicas de uso más frecuente

para analizar datos multifactoriales, usar una ecuación para expresar la relación

entre una variable de interés (la respuesta) y un conjunto de variables

preeditoras relacionadas.

Cuando tenemos varias observaciones de dos variables se ilustran los

valores en una grafica llamada diagrama de dispersión y nos indica con claridad

la relación entre las dos variables. Pero los datos graficados caen en general

pero no exactamente sobre la línea recta.

43

La ecuación de una recta que relaciona esas dos variables es:

y = β0 + β1x ecuación 1

Donde β0 es la ordenada al origen β1 es la pendiente, ahora los datos no

caen exactamente sobre la línea recta por lo que se debe modificar la ecuación

1 para tomar en cuenta esto, sea la diferencia entre el valor observado de y y el

de la línea recta (β0 + β1x) un error ε. Conveniente imaginar que ε es un error

estadístico, esto es, que una variable aleatoria que explica porque el modelo no

ajusta exactamente los datos, entonces la ecuación cambia a:

Y = β0 + β1x + ε ecuación 2

La ecuación 2 solo tiene un variable regresora (x) y por eso se llama

modelo de regresión lineal simple y x es la variable independiente o preeditora

o regresora y y es la variable dependiente o de respuesta.

El verdadero modelo de regresión µy/x = β0 + β1x es una línea recta de

valores promedios, la altura de la línea de regresión en cualquier valor de x no

es mas que el valor esperado de y para esa x, la pendiente β1 es el cambio de

la media de y para un cambio unitario de x, la variabilidad de y en algún valor

particular de x queda determinada por la varianza del componente de error en

el modelo. Esto implica que hay una distribución de valores de y en cada x, y

que la varianza de esta distribución es igual en cada x.

En casi todas las aplicaciones de regresión, la ecuación de regresión

solo es una aproximación a la verdadera relación funcional entre las variables

de interés.

Las ecuaciones de regresión solo son validas dentro del rango de las

variables regresoras contenidas en los datos observados. En general la variable

de respuesta y se puede relacionar con k regresores x1, x2, …, xk de modo que:

Y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε ecuación 3

44

La ecuación 3 se llama modelo re regresión lineal múltiple, ya que implica

a más de un regresor.

Un objetivo importante del análisis de regresión es estimar los

parámetros desconocidos. También se le llama a este proceso ajuste del

modelo a los datos.

La siguiente fase del análisis de regresión se llama comprobación de la

adecuación del modelo en donde se estudia lo apropiado del modelo y la

calidad del ajuste determinado. Mediante esos análisis se puede determinar la

utilidad del modelo de regresión, el análisis de regresión es un procedimiento

iterativo, en el que los datos conducen a un modelo, y se produce un ajuste del

modelo a los datos.

Un modelo de regresión no implica que haya una relación de causa y

efecto entre las variables. Aunque pueda existir una marcada relación empírica

entre dos o más variables, no puede considerarse como prueba de que las

variables regresoras y la respuesta estén relacionadas en forma de causas-

efecto. Para establecer la causalidad, la relación entre los regresores y la

respuesta debe tener una base ajena a los datos de la muestra.

El análisis de regresión ayudará a confirmar la relación de causa-efecto,

pero no puede ser la base única para esta.

El análisis de regresión es una parte de un método mas amplio de

análisis de datos para resolver problemas, la ecuación misma de regresión

puede no ser el objetivo principal del estudio.

45

3.3.2 Recolección de Datos

Un aspecto esencial del análisis de regresión es la recolección,

recopilación o adquisición de datos. Todo análisis de regresión es tan bueno

como lo son los datos sobre los que se basa. Hay tres métodos básicos:

a) Datos históricos

b) Estudio observacional

c) Experimento diseñado

Un buen esquema de recolección de datos puede asegurar un análisis

simplificado y un modelo de aplicación más general.

a) Datos históricos. Se podría hacer un estudio retrospectivo que utilice

todos los datos históricos del proceso, o una muestra de ellos, dentro de algún

periodo, para determinar las relaciones entre las variables. Al hacerlo se

aprovecha la ventaja de contar con datos previamente reunidos, y minimizar el

costo del estudio. Sin embargo hay varios problemas.

Los estudios retrospectivos o datos históricos ofrecen, con frecuencia,

cantidades limitadas de información útil, sus principales desventajas son:

� Con frecuencia faltan algunos de los datos importantes.

� La fiabilidad y la calidad de los datos suelen ser muy dudosas.

� La naturaleza de los datos con frecuencia pueden no permitir atacar

el problema a la mano.

� El analista trata, con frecuencia, de usar los datos en formas que

nunca se pretendió que se usaran.

� Los registros, cuadernos de notas y memorias pueden no explicar

fenómenos interesantes que identifica el análisis de datos.

46

Los datos históricos suelen sufrir de errores de transcripción y otros

problemas con la calidad de datos. Esos errores hacen que los datos históricos

sean propensos a tener datos atípicos y un análisis de regresión solo es tan

fiable como los datos sobre los que se basa.

b) Estudio observacional. Se podría usar un estudio observacional para

recolectar datos para el problema, en un estudio observacional solo se observa

el proceso o la población y se interacciona o perturba el proceso lo necesario

para obtener datos relevantes. Planteándolo adecuadamente, estos estudios

pueden asegurar datos exactos, completos y fiables, a la vez que suelen

proporcionar información muy limitada acerca de las relaciones especificas

entre los datos.

c) Experimento diseñado. Para este problema, la mejor estrategia de

recolección de datos es hacer un experimento diseñado donde se puedan

manipular los dos factores, de acuerdo con una estrategia bien definida,

llamada diseño de experimentos. Comúnmente se usa una pequeña cantidad

de niveles para cada factor.

Cada vez que se lleva a cabo un tratamiento se tiene una corrida

experimental. El plan o diseño del experimento consiste en una serie de

corridas.

3.3.3 Usos de la Regresión

Los modelos de regresión se usan con varios fines, que incluyen los

siguientes:

� Descripción de datos

� Estimación de parámetros

47

� Predicción y estimación

� Control

Es común que los ingenieros y los científicos usen ecuaciones para

resumir o describir un conjunto de datos. El análisis de regresión es útil para

plantear esas ecuaciones.

Muchas aplicaciones de regresión requieren de la predicción de la

variable de respuesta. Se han discutido los peligros de extrapolar cuando se

usa un modelo de regresión para pronosticar, debidos a errores en el modelo o

a la ecuación.

3.3.4 Regresión Lineal Simple

El modelo de regresión lineal simple. Un modelo con un solo regresor x

que tienen una relación con una respuesta y, donde la relación es una línea

recta.

3.3.4.1 Modelo de Regresión Lineal Simple

Este modelo de regresión lineal simple es:

ecuación 6

La media de la distribución es:

ecuación 7

y la varianza es:

ecuación 8

Así, la media de y es una función lineal de x aunque la varianza de y no

depende del valor de x.

48

β o y β1 se les suele llamar coeficientes de regresión. La pendiente β1 es

el cambio de la media de la distribución de y producido por un cambio unitario

en x. Si el intervalo de los datos incluye a x = 0, entonces la ordenada al origen,

β0, es la media de la distribución de la respuesta y cuando x = 0. Si no incluye al

cero, β0 no tiene interpretación práctica.

3.3.4.2 Estimación de β0 y β1 por Mínimos Cuadrados

Los parámetros β0 y β1 son desconocidos, y se deben estimar con los

datos de la muestra.

Para estimar β0 y β1 se usa el método de mínimos cuadrados. Esto es

que se estiman βo y β1 tales que la suma de los cuadrados de las diferencias

entre las observaciones yi y la línea recta sea mínimo. Segunda la ecuación 6

se puede escribir que:

ecuación 9

La ecuación 6 es un modelo poblacional de regresión, mientras que la

ecuación 9 es un modelo muestral de regresión, Así, el criterio de mínimos

cuadrados es:

ecuación 10

Los estimadores, por mínimos cuadrados, de β0 y β1, que se designarán

por y , deben satisfacer.

y

49

Se simplifican estas dos ecuaciones y se obtiene

ecuación 11

Las ecuaciones:

son llamadas ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Su solución

es la siguiente:

ecuación 12

y

ecuación 13

en donde

y

El modelo ajustado de regresión lineal simple es, entonces:

ecuación 14

Entonces esta ecuación produce un estimado puntual, de la media de y

para una determinada x.

50

ecuación 15

y

ecuación 16

Una forma cómoda de escribir la ecuación

es:

ecuación 17

La diferencia entre el valor observado y el valor ajustado correspondiente

ỹi, se llama residual. Matemáticamente, el i -ésimo residual es

ecuación 18

51

3.3.4.3 Propiedades de los Estimadores por Mínimos Cuadrados y el

Modelo Ajustado de Regresión

Los estimadores por mínimos cuadrados y tienen algunas

propiedades importantes. y son combinaciones lineales de las

observaciones yi

ecuación 19

Donde ci = (xi – x)/Sxx para i = 1,2,..... n.

Los estimadores y por mínimos cuadrados son estimadores

insesgados de los parámetros β0 y β1 del modelo. Para demostrarlo con

considérese:

ecuación 20

ya que, se supuso que, E(εj) = 0. ahora se puede demostrar en forma directa

que y que , y entonces

Esto es, si se supone que el modelo es correcto [que E(yi) = β0 + β1xi],

entonces es un estimador insesgado de β1. De igual manera se puede

demostrar que es un estimador insesgado de β0, es decir,

E ( ) = β0

la varianza de se calcula como sigue:

52

ecuación 21

ya que las observaciones yi son no correlacionadas, por lo que la varianza de la

suma es igual a la suma de las varianzas. La varianza de cada termino en la

suma es Var(yi) y hemos supuesto que Var(yi) = σ2; en consecuencia,

ecuación 22

La varianza de es:

ecuación 23

Otro resultado importante acerca de la calidad de los estimadores por

mínimos cuadrados y es el teorema de Gauss – Markov, que establece

que para el modelo de regresión ecuación 6 con las hipótesis E(ε) = 0,

Var(ε) = σ2 y con errores no correlacionados, los estimadores por mínimos

cuadrados son insesgados y tienen varianza mínima en comparación con todos

los demás estimadores insesgados que sean combinaciones lineales de las yi .

Los estimadores por mínimos cuadrados son los estimadores lineales

insesgados óptimos, donde “óptimos” implica que son de varianza mínima.

53

1. La suma de los residuales en cualquier modelo de regresión que

contenga una ordenada al origen β0 siempre es igual a cero, esto es,

ecuación 24

2. La suma de los valores observados yi es igual a la suma de los valores

ajustados ỹi .

ecuación 25

3. La línea de regresión de mínimos cuadrados siempre pasa por el

centroide de los datos, que es el punto ( , ).

4. La suma de los residuales, ponderados por el valor correspondiente de

la variable regresora, siempre es igual a cero:

ecuación 26

5. La suma de los residuales, ponderados por el valor ajustado

correspondiente, siempre es igual a cero:

ecuación 27

Resulta sencillo describir las propiedades estadísticas de los

estimadores de mínimos cuadrados y . Recuérdese que se ha supuesto

que el termino de error є en el modelo Y = β0 + β1x + є es una variable aleatoria

con media cero y varianza σ2. Puesto que los valores de x son fijos, Y es una

variable aleatoria con media µy/x = β0 + β1x y varianza σ2. Por consiguiente, los

valores de y dependen de los valores de y observados; por tanto, los

estimadores de mínimos cuadrados de los coeficientes de regresión pueden

verse como variables aleatorias.

Aquí se explica como se investiga sobre el sesgo y las propiedades de la

varianza de los estimadores de mínimos cuadrados y .

54

Para ello, primero considérese . El valor esperado de es:

ecuación 28

puesto que y por hipótesis E(єi) = 0. Por tanto,

es un estimador insesgado de la pendiente verdadera .

Ahora considérese la varianza de . Dado que se ha supuesto que

V(єi) = σ2, se desprende entonces que V(Yi) = σ2, y

ecuación 29

Las variables aleatorias {Yi} no se encuentran correlacionadas ya que las

{єi} no lo están. Por consiguiente, la varianza de la suma es precisamente la

suma de las varianzas, y la varianza de cada termino de la suma, por ejemplo,

V[Yi(xi – )], es σ2(xi – )2. Por tanto,

55

ecuación 30

Al utilizar un enfoque similar, puede demostrarse que

ecuación 31

En consecuencia, es un estimador insesgado de la ordenada al

origen β0. La covarianza de las variables aleatorias y . no es cero.

Para obtener inferencias con respecto a los coeficientes de regresión β0

y β1, es necesario estimar la varianza σ2. El parámetro σ2, que es la varianza

del término de error є en el modelo de regresión, refleja la varianza aleatoria

alrededor de la verdadera recta de regresión.

Los residuos, ei = yi – i, se emplean en el cálculo de σ2 . La suma de los

cuadrados de los residuos, o suma de los cuadrados de los errores, es

ecuación 32

Puede demostrarse que el valor esperado de la suma de los cuadrados

de los errores SSE es:

por tanto:

ecuación 33

es un estimador no sesgado de σ2 .

56

Puede obtenerse una fórmula más conveniente para el cálculo de SSE

SSE se resume a:

ecuación 34

Las raíces cuadradas de los estimadores de varianza resultantes se

conocen como errores estándar estimados de la pendiente y la ordenada al

origen, respectivamente.

3.3.4.4 Abusos Comunes de la Regresión

La regresión se emplea mucho y, con frecuencia, de mala manera; debe

tenerse cuidado al seleccionar las variables con las que se construyen las

ecuaciones de regresión, así como al determinar la forma del modelo, tan

relacionadas desde un punto de vista práctico.

Incluso puede parecer que una línea recta proporciona un buen ajuste de

los datos, pero la relación es poco razonable. La observación de una fuerte

relación entre variables no necesariamente implica la existencia de una relación

causal entre ellas. Solo los experimentos diseñados son los únicos que ofrecen

una vía para determinar relaciones causales.

Las relaciones de regresión son válidas solo para los valores del

regresor que están dentro del rango de los datos originales. La relación lineal

supuesta de manera tentativa puede ser válida dentro del rango original de x,

pero tal vez no lo sea al momento de la extrapolación –esto es, si se emplean

valores de x que están más allá de los que fueron utilizados para la regresión-.

57

En otras palabras, a medida que se toman valores de x que están más allá de

los recopilados en los datos, menos certidumbre se tiene sobre la validez del

modelo propuesto. Los modelos de regresión no son necesariamente válidos

para fines de extrapolación.

3.3.4.5 Estimación de σ2

Además de estimar β0 y β1, se requiere un estimado de σ2 para probar

hipótesis y formar estimados de intervalo pertinentes al modelo de regresión, el

estimado de σ2 se obtiene de la suma de cuadrados de residuales, o suma de

cuadrados de error:

ecuación 35

Se puede deducir una fórmula cómoda para calcular SSRes sustituyendo

en la ecuación (2.16), se llega a:

ecuación 36

Pero

ecuación 37

La suma de cuadrados de residuales tiene n – 2 grados de libertad,

porque dos grados de libertad se asocian con los estimados y que se

usan para obtener , El estimador insesgado de x^2 es:

ecuación 38

La cantidad MSRes se llama cuadrado medio residual. La raíz cuadrada

de se llama a veces el error estándar de la regresión.

58

3.3.4.6 Prueba de Significancia de la Regresión

Un caso especial es muy importante de la hipótesis, es el siguiente:

H0 : β1 = 0

H1 : β1 ≠ 0

Estas hipótesis se relacionan con la significancia de la regresión. El no

rechazar H0 : β1 = 0 implica que no hay relación lineal entre x y y. Nótese que

eso puede implicar que x tiene muy poco valor para explicar la variación de y y

que el mejor estimador para cualquier x es como en la Figura 3.3a o que

la verdadera relación entre x y y no es lineal como en la Figura 3.3b por

consiguiente, si no se rechaza H0 : β1 = 0, equivale a decir que no hay relación

lineal entre y y x.

Figura 3.3 Casos en los que No se Rechaza la Hipótesis Ho : β1 = 0

También, si se rechaza H0 : β1 = 0, eso implica que x sí tiene valor para

explicar la variabilidad de y. Sin embargo rechazar H0 : β1 = 0 podría equivaler a

que el modelo de línea recta es adecuado como en la Figura 3.4a, o que

aunque hay un efecto lineal de x se podrían obtener mejores resultados

agregando términos polinominales en x como en la Figura 3.4b.

59

Figura 3.4 Casos en lo que Si se Rechaza la Hipótesis Ho : β1 = 0

3.3.4.7 Procedimientos de Prueba

El procedimiento de prueba para H0 : β1 = 0 se puede establecer con dos

métodos. El primero tan sólo usa el estadístico t en la ecuación con β10 = 0, es

decir:

ecuación 39

La hipótesis de la significancia de regresión se rechazaría si Ιt0Ι > tα/2,n–2

También se puede usar un método de análisis de varianza para probar el

significado de la regresión. Este análisis se basa en una participación de la

variabilidad total de la variable y de respuesta. Para obtener esta participación

se comienza con la identidad.

ecuación 40

Se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación 40 y se suma para

todas las n observaciones. Así se obtiene:

ecuación 41

60

Nótese que el tercer término del lado derecho de esta ecuación se puede

escribir de la siguiente forma:

ecuación 42

ya que la suma de los residuales siempre es igual a cero y la suma de los

residuales ponderados por el valor ajustado correspondiente también es

igual a cero, por lo anterior,

ecuación 43

la suma corregida de cuadrados de las observaciones, SST, mide la variabilidad

total en las observaciones. Se ve que es la suma de

cuadrados de los residuales o la suma de cuadrados de error (2.16). Se

acostumbra llamar a la suma de cuadrados de regresión, o del

modelo. En forma simbólica, se acostumbra escribir

SST = SSR + SSRES ecuación 44

Si se coparan la ecuación 44 y ecuación 37 se ve la suma de cuadrados

de regresión se puede calcular como sigue:

ecuación 45

La cantidad de grados de libertad se determina así: La suma total de

cuadrados, SST tiene dfT = n – 1 grados de libertad, porque se perdió un grado

de libertad como resultado de la restricción para las desviaciones

. La suma de cuadrados del modelo, o de la regresión es SSR y tiene

dfR = 1 grado de libertad, porque SSR queda completamente determinado por

un parámetro, que es . Antes se dijo que SSR tiene dfRes = n – 2 grados de

libertad, porque se imponen dos restricciones a las desviaciones como

resultado de estimar , los grados de libertad tienen una propiedad aditiva:

61

ecuación 46

Se puede aplicar la prueba F normal del análisis de varianza para probar

la hipótesis H0: β1 = 0

ecuación 47

sigue la distribución F1, n – 2. los valores esperados de estos cuadros medios

son:

ecuación 48

Estos cuadrados medios esperados indican que si es grande el valor

observado de F0, es probable que la pendiente β1 ≠ 0. También que si β1 ≠ 0,

entonces F0 sigue una distribución F no central, con 1 y n – 2 grados de

libertad, y un parámetro de no centralidad λ:

ecuación 49

Tabla 3.1 Análisis de varianza para probar el significado de la regresión Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrado

medio

F0

Regresión 1 MSR MSR/

MSRes

Residual n - 2 MSRes

Total SST n - 1

Este parámetro de no centralidad también indica que el valor observado

de F0 debe ser grande si β1 ≠ 0, para probar la hipótesis H0: β1 = 0, se cálcula el

estadístico F0 de prueba y se rechaza H0 si:

Fo > Fα,1,1n-2

El procedimiento de prueba se resume en la Tabla 3.2.

62

3.3.4.8 Intervalos de confianza de β0, β1 y σ2

Además de los estimadores puntuales de β0, β1 y σ2 también se pueden

obtener estimados de intervalo de confianza para esos parámetros. El ancho de

dichos intervalos es una medida de la calidad general de la recta de regresión.

Si los errores se distribuyen en forma normal e independiente, entonces la

distribución de muestreo tanto de:

es t, con n – 2 grados de libertad. Así, un intervalo de confianza de 100(1 – α)

por ciento para la pendiente β1 se determina con:

ecuación 50

y un intervalo de confianza de 100(1 – α) por ciento para la ordenada al origen

β0 es:

ecuación 51

formar, intervalos de confianza de 95% de la pendiente para cada muestra,

entonces el 95% de esos intervalos contendrán el verdadero valor de β1, la

distribución de muestreo es ji cuadrada, con n – 2 grados de

libertad, Así:

ecuación 52

y en consecuencia, un intervalo de confianza de 100(1 – α) por ciento para σ 2

es:

ecuación 53

63

3.3.4.9 Coeficientes de Determinación

La cantidad

ecuación 54

se llama coeficiente de determinación. Como SST es una medida de la

variabilidad de y sin considerar el efecto de la variable regresora x y SSRes es

una medida de la variabilidad de y que queda después de haber tenido en

consideración a x, R2 se llama, con frecuencia, la proporción de la variación

explicada por el regresor x. Ya que 0 ≤ SSRes ≤ SST, entonces 0 ≤ R2 ≤ 1. Los

valores de R2 cercanos a 1 implican que la mayor parte de la variabilidad de y

esta explicada por el modelo de regresión.

La magnitud de R2 depende del intervalo de variabilidad de la variable

regresora. En general, R2 aumenta medida que aumenta la dispersión de las x y

disminuye cuando disminuye la dispersión de las x, el valor esperado de R2 en

una regresión rectilínea es,

ecuación 55

Es claro que el valor esperado de R2 aumentará (disminuirá) cuando

aumente (o disminuya) Sxx que es una medida de la dispersión de las x. Así, un

valor grande de R2 puede ser tan solo el resultado de que x se haya variado en

forma no realista dentro de un intervalo grande. Por otro lado, R2 puede ser

pequeña porque el intervalo de las x sea demasiado pequeño como para

permitir detectar su relación con y. En general, R2 no mide la magnitud de la

pendiente de la línea de regresión. Un valor grande de R2 no implica que la

pendiente sea grande , además, R2 no mide la adecuación del modelo lineal,

porque con frecuencia R2 es grande aunque x y y no tengan relación lineal.

64

3.3.4.10 Regresión por el Origen

Modelo de regresión sin ordenada al origen, el modelo sin ordenada al

origen es:

y = β1x + ε ecuación 56

Dadas n observaciones (yi, xi), i = 1,2,..., n, la función de mínimos

cuadrados es

ecuación 57

La única ecuación normal es:

ecuación 58

y el estimador de la pendiente por mínimos cuadrados es:

ecuación 59

el modelo de regresión ajustado es:

ecuación 60

El estimador de σ 2 es:

ecuación 61

con n – 1 grados de libertad.

El intervalo de confianza de 100( 1 – α) por ciento para β1 es

ecuación 62

65

Un intervalo de confianza de 100( 1 – α) por ciento para E(y/x0), la

respuesta media en x = x0, es

ecuación 63

El intervalo de predicción de 100( 1 – α) por ciento para una observación

futura en x = x0:

ecuación 64

Figura 3.5 Diagramas de Dispersión y Líneas de Regresión para el Rendimiento y

la Temperatura de Operación en un Proceso Químico. a) Modelo con ordenada al origen b) Modelo sin ordenada al origen.

66

A veces, el diagrama de dispersión proporciona una guía para decidir si

se ajusta o no el modelo sin ordenada al origen. Si no se puede rechazar la

hipótesis β0 = 0 en el modelo sin ordenada al origen, quiere decir que se puede

mejorar el ajuste si se usa ese modelo. El cuadrado medio de residuales es una

forma útil de comparar la calidad del ajuste. El modelo que tenga el cuadrado

medio residual menor es el mejor ajuste, en el sentido que minimiza el estimado

de la varianza de y respecto a la línea de regresión. Para el modelo con

ordenada al origen.

ecuación 65

Nótese que R2 indica la proporción de variabilidad respecto a explicada por la

regresión. En el caso sin ordenada al origen, la identidad fundamental del

análisis de varianza, la ecuación (2.32) se trasforma a:

ecuación 66

R2 en el modelo sin ordenada al origen sería:

ecuación 67

indica la proporción de variabilidad respecto al origen (cero) que explica la

regresión. A veces se encuentra que es mayor que R2, aún cuando el

cuadrado medio residual (que es una medida razonable de la calidad general

del ajuste) para el modelo con ordenada al origen es menor que el cuadrado

medio residual para el modelo sin ordenada de origen. Esto se debe a que

se calcula con valores de sumas de cuadrados no corregidas.

Variación de y explicada por la regresión

Variación total observada en y

67

Hay otras formas de definir R2 para el modelo sin ordenada al origen, una

posibilidad es:

ecuación 68

en los casos donde es grande, puede ser negativa. Se prefiere

usar MSRes como base de comparación entre los modelos con y sin ordenada al

origen.

3.3.5 Regresión Lineal Múltiple

Un modelo de regresión donde interviene más de una variable regresora

se llama modelo de regresión múltiple.

3.3.5.1 Modelo de Regresión Lineal Múltiple

Un modelo de regresión múltiple que podría describir esta relación es

ecuación 69

Este es un modelo de regresión lineal múltiple con dos variables

regresoras.

El parámetro β0 es la ordenada al origen del plano de regresión. Si en el

intervalo de datos se incluyen x1 = x2 = 0, entonces β0 es el promedio de y

cuando x1 = x2 = 0. Si no es así, β0 no tiene interpretación física. El parámetro

β1 indica el cambio esperado de la respuesta y por cambio unitario en x1,

cuando x2 se mantiene constante. De igual modo, β2 mide el cambio esperado

de y por unidad de cambio de x2 cuando se mantiene constante x1.

68

En general, se puede relacionar la respuesta y con k regresores, o

variables predictoras. El modelo

ecuación 70

se llama modelo de regresión lineal múltiple con k regresores. Los parámetros

βj, j = 0, 1,..., k se llaman coeficientes de regresión. Este modelo describe a un

hiperplano en el espacio de k dimensiones de las variables regresoras xj. El

parámetro βj representa el cambio esperado en la respuesta y por cambio

esperado en la respuesta y por cambio unitario en xj cuando todas las demás

variables regresoras xi (i ≠ j) se mantienen constantes. Por esta razón, a los

parámetros βj, j = 1, 2,...,k se les llama con frecuencia coeficientes de regresión

parcial.

Los modelos de regresión parcial múltiple se usan con frecuencia como

modelos empíricos o como funciones de aproximación, ya que se desconoce la

relación funcional real entre y y x1, x2, ..., xk pero dentro de ciertos márgenes de

las variables regresoras, el modelo de regresión lineal es una aproximación

adecuada a la función verdadera desconocida. Por ejemplo, se tiene el modelo

de polinomio cúbico.

ecuación 71

Si se hace que x1 =x, x2 = x2 y x3 = x3 entonces se puede escribir

ecuación 72

que es un modelo de regresión lineal múltiple con tres variables regresoras.

También se pueden analizar modelos que incluyan efectos de interacción con

métodos de regresión lineal múltiple. Por ejemplo,

ecuación 73

si se hace que x3 = x1x2 y que β3 = β12, la ecuación se podrá escribir

ecuación 74

que es un modelo de regresión lineal.

69

En general, todo modelo de regresión que es lineal en los parámetros

(las β) es un modelo de regresión lineal, independientemente de la forma de la

superficie que genera, el modelo de segundo orden con interacción:

ecuación 75

si se igualan , , , β3 = β11, β4 = β22 y β5 = β12 se podrá

escribir la ecuación 74 como un modelo de regresión lineal múltiple, como

sigue:

ecuación 76

3.3.5.2 Estimación de los Coeficientes de Regresión por Mínimos

Cuadrados

Supongamos que se dispone de n > k observaciones, y sea yi la

i – esima respuesta observada, y xij la i – esima observación o nivel del regresor

xj. Los datos aparecerán como en la Tabla 3.2 Se supone que el término de

error ε del modelo tiene E(ε) = 0, Var(ε) = σ 2 y que los errores no están

correlacionados.

Tabla 3.2 Datos para la regresión lineal múltiple Observación Respuesta Regresores

i y X1 X2 ... Xk

1 y1 X11 X12 ... X1k

2 y2 X21 X22 ... X2k

. . . . .

. . . . .

.

n

.

yn

.

Xn2

.

Xn3

.

Xnk

70

Las variables regresoras X1, X2,.... Xk, son fijas, es decir, que son

matemáticas o no aleatorias, y que se miden sin error. Sin embargo, para el

modelo de regresión lineal simple, todos los resultados obtenidos siguen siendo

validos para el caso en el que los regresores son variables aleatorias. Esto es

realmente importante, porque cuando se toman datos de regresión en un

estudio observacional, algunos o la mayor parte de los regresores son variables

aleatorias. Cuando los datos son el resultado de un experimento diseñado es

más probable que las x sean variables fijas. Cuando las x son variables

aleatorias solo es necesario que las observaciones con cada regresor sean

independientes, y que la distribución no dependa de los coeficientes de

regresión (las β) o de σ2. Cuando se prueban hipótesis o se establecen

intervalos de confianza, se debe suponer que la distribución condicional de y

dadas X1, X2,.... Xk es normal, con promedio β0 + β1x1 + β2x2 + . . . + βkxk y

varianza σ2, el modelo muestral de regresión

ecuación 77

La función de mínimos cuadrados es

ecuación 78

Se debe minimizar la función S respecto a β0, β1, . . ., βk. Los

estimadores de β0, β1, . . ., βk por mínimos cuadrados deben satisfacer

ecuación 79a

71

y

ecuación 79b

Al simplificar la ecuación se obtienen las ecuaciones normales de

mínimos cuadrados.

ecuación 80

La solución de las ecuaciones normales serán los estimadores por

mínimos cuadrados .

Es más cómodo manejar modelos de regresión múltiple cuando se

expresan en notación matricial. Eso permite presentar en forma muy compacta

al modelo, los datos y los resultados. En notación matricial el modelo expresado

por la ecuación ecuación 76 es:

ecuación 81

72

en donde

En general, y es un vector de n x 1 de las observaciones. X es un matriz

de n x p de los niveles de las variables regresoras, β es un vector de p x 1 de

los coeficientes de regresión y ε es un vector de n x 1 de errores aleatorios.

Se desea determinar el vector de estimadores de mínimos cuadrados

que minimice

ecuación

82

nótese que S(β) se puede expresar como sigue:

ecuación 83

ya que β’X’ y es una matriz de 1 X 1, es decir, un escalar, y que su transpuesta

(β’X’ y) = y’Xβ es el mismo escalar. Los estimadores de mínimos cuadrados

deben satisfacer

que se simplifica a

ecuación 84

73

Las ecuaciones anteriores que son las ecuaciones normales de mínimos

cuadrados. Son la forma matricial de la presentación escalar, ecuaciones

ecuación 80.

Para resolver las ecuaciones normales se multiplican ambos lados de

ecuación 80 por la inversa de X’X. Así el estimador de β por mínimos

cuadrados es

ecuación 85

siempre y cuando exista la matriz inversa (X’X)-1. La matriz (X’X)-1 siempre

existe si los regresores son linealmente independientes, esto es, si ninguna

columna de la matriz X es una combinación lineal de las demás columnas.

Es fácil de ver que la forma matricial de las ecuaciones normales

ecuación 83 es idéntica a la forma escalar ecuación 80. Al escribir ecuación 83

con detalle se obtiene

Si se hace la multiplicación matricial indicada, se obtiene la forma escalar

de las ecuaciones normales ecuación 80.En esta presentación se ve que X’X es

una matriz simétrica de p X p, y que X’y es un vector columna de p X 1. Nótese

la estructura especial de la matriz X’X. Los elementos diagonales de X’X son

las sumas de los cuadrados de los elementos en las columnas de X, y los

elementos fuera de la diagonal son las sumas de los productos cruzados de los

74

elementos de las columnas de X. Además, nótese que los elementos de X’y

son las sumas de los productos cruzados de las columnas de X por las

observaciones yi

El modelo ajustado de regresión que corresponde a los niveles de las

variables regresoras x’ = [1, X1, X2,.... Xk] es

ecuación 86

El vector de valores ajustados que corresponden a los valores

observados yi es

ecuación 87

La n X n es la matriz H = X(X’X)-1X’ se suele llamar matriz de sombrero.

Aplica el vector de los valores observados en un vector de valores ajustados.

La matriz de sombrero y sus propiedades desempeñan un papel central en el

análisis de regresión.

La diferencia entre el valor observado yi y el valor ajustado

correspondiente es el residual , Los n residuales se pueden escribir

cómodamente con notación matricial como sigue:

ecuación 88

Hay otras maneras de expresar el vector de residuales ℮, que pueden

ser útiles, como

ecuación 89

75

3.3.5.3 Interpretación Geométrica de Mínimos Cuadra dos

La matriz X consiste en p vectores columna de n X 1. Cada una de esas

columnas define a un vector desde el origen en el espacio muestral. Estos p

vectores forman un subespacio p dimensional llamado espacio de estimación.

El espacio de estimación para p = 2 se muestra en la figura 3.7. se puede

representar cualquier punto en este subespacio mediante una combinación

lineal de los vectores 1, x1, . . . , xk. Así, cualquier punto del espacio de

estimación tiene la forma Xβ. Sea el punto B de la figura 3.7 el determinado por

el vector Xβ. La distancia de B a A elevada al cuadrado es

ecuación 90

Para minimizar la distancia al cuadrado del punto A definido por el vector

de observación y al espacio de estimación, se requiere determinar el punto del

espacio de estimación que está más cercano a A. La distancia al cuadrado será

mínima cuando el punto del espacio de estimación este al pie de la recta que

llega de A y es normal (o perpendicular) al espacio de estimación. Es el punto C

de la Figura 3.6. este punto se define con el vector . Por consiguiente,

como es perpendicular al espacio de estimación, se podrá

escribir

o bien ecuación 91

que se reconocen como las ecuaciones normales de mínimos cuadrados.

76

Figura 3.6 Interpretación Geométrica de los Mínimos Cuadrados.

3.3.5.4 Propiedades de los Estimadores de Mínimos C uadrados

Las propiedades estadísticas del estimador de mínimos cuadrados se

demuestran con facilidad. Examinaremos primero el sesgo:

ecuación 92

porque E(ε) = 0 y (X’X)-1X’X = 1. Entonces es un estimador insesgado de β.

La propiedad de varianza de se expresa con la matriz de covarianza.

ecuación 93

que es una matriz simétrica de p X p, cuyo j-esimo elemento diagonal es la

varianza de y . la covarianza de la matriz de es

ecuación 94

si hacemos C = (X’X)-1, la varianza de es σ2Cjj, y la covarianza entre y

es σ2Cij.

77

En el estimador de mínimos cuadrados es el mejor estimador lineal

insesgado de β.lo explica (el teorema de Gauss Markov). Si además se supone

que los errores tienen distribución normal. también es el estimador de

máxima probabilidad de β. El estimador de máxima verosimilitud es el

estimador insesgado de β de mínima varianza.

3.3.5.5 Prueba de Hipótesis en la Regresión Lineal Múltiple

Una vez estimados los parámetros del modelo, surgen de inmediato dos

preguntas:

� ¿Cuál es la adecuación general del modelo?.

� ¿Cuáles regresores específicos parecen importantes?.

Hay varios procedimientos de prueba de hipótesis que demuestran su

utilidad para contestar estas preguntas. Las pruebas formales requieren que los

errores aleatorios sean independientes y tengan una distribución normal con

promedio E(εi) = 0 y una varianza Var(εi) = σ 2

La prueba de la significancia de la regresión es para determinar si hay

una relación lineal entre la respuesta y y cualquiera de las variables regresoras

x1, x2, . . . , xk. Este procedimiento suele considerarse como una prueba general

o global de la adecuación del modelo. Las hipótesis pertinentes son:

al menos para una j.

El rechazo de la hipótesis nula implica que al menos uno de los

regresores x1, x2, . . . , xk contribuye al modelo en forma significativa.

78

El procedimiento de prueba es una generalización del análisis de

varianza que se uso en la regresión lineal simple. La suma total de cuadrados

SST se divide en una suma de cuadrados debidos a la regresión. SSR, y a una

suma de cuadrados de residuales, SSRes. Así,

SST = SSR + SSRES ecuación 95

Se demuestra que si es cierta la hipótesis nula, entonces SSR/σ2 tiene

una distribución , con la misma cantidad de grados de libertad que la

cantidad de variables regresoras en el modelo. También se demuestra que

SSRes/σ2, X2

n-k-1 y que SSRes y SSR son independientes. De acuerdo con la

definición de un estadístico F

ecuación 96

tiene la distribución Fk, n-k-1

ecuación 97

Siendo β* = (β1, β2, . . . . , βk)’ y Xc es la matriz “centrada” del modelo,

definida por

ecuación 98

Estos cuadrados medios esperados indican que si el valor observado de

F0 es grande, es probable que al menos una βj ≠ 0. Al menos una βj ≠ 0,

79

entonces F0 tiene una distribución F no central, con k y n – k – 1 grados de

libertad, y parámetro de no centralidad definido por

ecuación 99

Este parámetro de no centralidad también indica que el valor observado

de F0 debe ser grande para que al menos una βj ≠ 0. Por consiguiente, para

probar la hipótesis H0: β1 = β2 . . . = βk = 0, se calcula el estadístico de prueba

F0 y se rechaza H0 si .

El procedimiento de prueba se resume normalmente en una tabla de

análisis de varianza. Una fórmula de cálculo para SSR se deduce partiendo de

ecuación 100

y ya que

ecuación 101

se puede escribir la ecuación anterior en la forma

ecuación 102

o bien,

ecuación 103

Por consiguiente, la suma de cuadrados de la regresión es

ecuación 104

80

la suma de cuadrados de residuales, o suma residual de cuadrados es

ecuación 105

y la suma total de cuadrados es

ecuación 106

Tabla 3.3 Análisis de Varianza, Regresión Lineal Múltiple

3.3 MULTICOLINEALIDAD

El uso y la interpretación de un modelo de regresión múltiple dependen,

con frecuencia, en forma explícita o implícita, de los estimados de los

coeficientes individuales de regresión. Entre los ejemplos de las inferencias que

se hacen a menudo están:

1. Identificación de los efectos relativos de las variables regresoras.

2. Predicción y/o estimación.

3. Selección de un conjunto adecuado de variables para el modelo.

Si no hay relación lineal entre los regresores, se dice que estos son

ortogonales. Cuando los regresores son ortogonales se pueden hacer con

relativa facilidad inferencias como las de arriba, desafortunadamente, en la

mayor parte de las aplicaciones de regresión, los regresores no son

Fuente de

variación

Suma de

Cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrado

medio

F0

Regresión SSR k MSR

MSR/

MSRes

Residuales SSRes n – k – 1 MSRes

Total SST n – 1

81

ortogonales. A veces no es grave la falta de ortogonalidad. Sin embargo, en

algunos casos los regresores tienen una relación lineal casi perfecta, y en esos

casos, las inferencias basadas en el modelo de regresión pueden ser

engañosas o erróneas. Cuando hay dependencias casi lineales entre los

regresores, se dice que existe el problema de multicolinealidad.

3.3.1 El Problema de la Multicolinealidad

Uno de los supuestos del modelo de regresión lineal, es que no debe

haber un alto grado de correlación entre las variables predeterminadas, porque

esto trae serias consecuencias que podemos resumir así:

Los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios siguen siendo

lineales, insesgados y óptimos pero las estimaciones tienen varianzas y

covarianzas grandes.

Las razones t de uno o más coeficientes tienden a ser estadísticamente

no significativas, con Io que se pierde de perspectiva el análisis.

Aún cuando la razón t de uno o más coeficientes, es estadísticamente no

significativa, el coeficiente de determinación tiende a ser elevado, con lo que se

demuestra que no se puede separar el efecto individual de cada variable

predeterminada hacia la endógena.

Luego entonces, es necesario que después de estimado un modelo,

tengamos que determinar la existencia o no de un alto grado de correlación

entre las variables predeterminadas.

82

3.3.2 Multicolinealidad y Dummies

Multicolinealidad se refiere al hecho de que las variables independientes

en el modelo de regresión están correlacionadas. Si X1 y X2 están

correlacionadas, cuando introducimos X1 en el modelo, también estamos

introduciendo un poco de X2.

La multicolinealidad no tiene ningún efecto en las predicciones del

modelo. Pero si lo tienen en los coeficientes βi de cada una de las variables.

La multicolinealidad se puede detectar porque la correlación entre las

variables explicativas es habitualmente alta o los coeficientes de dichas

variables βj cambian cuando las otras variables se eliminan del modelo y los

estadísticos t bajan mucho.

3.3.3 Relación Lineal Exacta entre los Regresores

Una de las hipótesis del modelo de regresión lineal múltiple establece

que no existe relación lineal exacta entre los regresores, o en otras palabras,

establece que no existe multicolinealidad perfecta en el modelo. Esta hipótesis

es necesaria para el cálculo del vector de estimadores mínimos cuadráticos, ya

que en caso contrario la matriz X´X será no singular.

La multicolinealidad perfecta no se suele presentar en la práctica, salvo

que se diseñe mal el modelo. En cambio, si es frecuente que entre los

regresores exista una relación aproximadamente lineal, en cuyo caso los

estimadores que se obtengan serán en general poco precisos, aunque siguen

conservando la propiedad de lineales, insesgados y óptimos.

83

En otras palabras la relación entre regresores hace que sea difícil

cuantificar con precisión el efecto que cada regresor ejerce sobre el

regresando, lo que determina que las varianzas de los estimadores sean

elevadas. Cuando se presenta una relación aproximadamente lineal entre los

regresores, se dice que existe multicolinealidad no perfecta.

Es importante señalar que el problema de multicolinealidad, en mayor o

menor grado, se plantea porque no existe información suficiente para conseguir

una estimación precisa de los parámetros del modelo.

El problema de la multicolinealidad hace referencia, en concreto, a la

existencia de relaciones aproximadamente lineales entre los regresores del

modelo, cuando los estimadores obtenidos y la precisión de estos se ven

seriamente afectados.

3.3.4 Multicolinealidad Exacta y Aproximada

La multicolinealidad exacta ocurre cuando una de las variables

explicativas es una combinación lineal deterministica de todas las demás (o de

un subconjunto de ellas). Es decir, la matriz X´X es singular y, por lo tanto,

existen infinitas soluciones a las ecuaciones normales.

Y la multicolinealidad aproximada ocurre cuando una de las variables

explicativas es aproximadamente una combinación lineal de las restantes (o de

un subconjunto de ellas).

En la práctica, la multicolinealidad exacta es fácilmente detectable

porque X´X es singular.

84

3.3.5 Los Modelos de Regresión y la Multicolinealid ad

Los modelos de regresión se usan en una gran diversidad de

aplicaciones. Un problema serio que puede influir mucho sobre la utilidad de un

modelo de regresión es la multicolinealidad, o dependencia casi lineal entre las

variables de regresión.

La multicolinealidad implica una dependencia casi lineal entre los

regresores, los cuales son las columnas de la matriz X. Por lo que es claro que

una dependencia lineal exacta causaría una matriz X´X singular. La presencia

de dependencia casi lineal puede influir en forma dramática sobre la capacidad

de estimar coeficientes de regresión.

Esa multicolinealidad es evidente por los elementos fuera de la diagonal.

Estos elementos fuera de la diagonal se llaman correlaciones simples entre los

regresores, aunque puede ser que el término correlación no sea el adecuado,

a menos de que las x sean variables aleatorias. Los elementos fuera de la

diagonal sí proporcionan una medida de dependencia lineal entre los

regresores. En esta forma, la multicolinealidad puede afectar en forma seria la

precisión con la que se estiman los coeficientes de regresión.

Los elementos de la diagonal principal en la inversa de la matriz X´X en

forma de correlación [(W’W)-1] se llaman con frecuencia factores de inflación de

varianza y son un diagnóstico importante de la multicolinealidad. Se puede

demostrar que, en general, el factor de inflación de varianza para el j-esimo

coeficiente de regresión se puede escribir como sigue:

ecuación 107

85

donde es el coeficiente de determinación múltiple obtenido haciendo la

regresión de xj sobre las demás variables regresoras. Es claro que si xj

depende casi linealmente de alguno de los demás regresores, entonces

será casi la unidad, y que VIFj será grande. Los factores VIF mayores que 10

implican problemas graves de multicolinealidad.





El modelo puede pronosticar en forma razonablemente buena valores de

y en puntos parecidos a los observados en la muestra, pero es muy probable

que cualquier extrapolación que se aleje de esa trayectoria produzca malas

predicciones.

3.3.6 Fuentes de Multicolinealidad

Se escribirá el modelo de regresión múltiple en la forma

ecuación 108

en donde y es un vector de n X 1 de respuestas, X es una matriz de n X p de

las variables regresoras, β es un vector de p X 1 de las constantes

desconocidas y ε es un vector de n X 1 de los errores aleatorios siendo

εj~NID(0,σ2). Será conveniente suponer que las variable regresoras y la

respuesta se han centrado y escalado a longitud unitaria, en consecuencia, X’X

es una matriz de correlaciones de p X p, entre los regresores, y X’y es un vector

de p X 1, de correlaciones entre los regresores y la respuesta.

86

Sea Xj la j-esima columna de la matriz X, de modo que X = [X1, X2, . . . ,

Xp], entonces , Xj contiene los n niveles de la j-esima variable regresora. Se

definirá, formalmente, la multicolinealidad en términos de la dependencia lineal

de las columnas de X. Los vectores X1, X2, . . . , Xp son linealmente

dependientes si hay un conjunto de constantes t1, t2, . . . , tp no todas cero, tales

que

ecuación 109

Si la ecuación es exactamente válida para un subconjunto de las

columnas de X, el rango de la matriz X’X es menor que p, y no existe (X’X)-1.

Sin embargo, supóngase que la ecuación es aproximadamente válida para

algún subconjunto de las columnas de X. En ese caso habrá una dependencia

casi lineal en X’X, y se dice que existe el problema de multicolinealidad, nótese

que la multicolinealidad es una forma de deterioramiento en la matriz X’X,

además, el problema es de grado, indicando con esto que cada conjunto de

datos sufrirá cierto grado de multicolinealidad, a menos que las columnas de X

sean ortogonales (que X’X sea una matriz diagonal), en general, eso solo

sucederá en un experimento diseñado. Como se vera, la presencia de

multicolinealidad puede hacer que el análisis del modelo de regresión, por

mínimos cuadrados, sea terriblemente inadecuado.

Las cuatro principales fuentes de multicolinealidad son:

1. El método de recolección de datos que se empleo.

2. Restricciones en el modelo o en la población.

3. Especificación del modelo.

4. Un modelo sobredefinido.

Es importante comprender las diferencias entre estas fuentes de

multicolinealidad, porque los datos y la interpretación del modelo resultante

87

dependen, en cierto grado, de la causa del problema, para más descripción de

las fuentes de multicolinealidad.

El método de obtención de datos puede originar problemas de

multicolinealidad cuando el analista sólo muestrea un subespacio de la región

de los regresores definidos. En general, si hay más de dos regresores, los

datos estarán, en forma aproximada, a lo largo de un hiperespacio definido por

la ecuación 109.

Figura 3.7 Niveles de Ingreso Familiar y Tamaño de Vivienda para un Estudio de

Consumo Residencial de Electricidad

Las restricciones en el modelo o en la población que se muestrea

pueden causar multicolinealidad: por ejemplo, supóngase que una empresa

eléctrica está investigando el efecto del ingreso familiar (x1) y el tamaño de la

vivienda (x2) sobre el consumo eléctrico residencial. Los niveles de las dos

variables regresoras, obtenidos en los datos de muestreo, nótese que los datos

están más o menos a lo largo de una recta en la Figura 3.7, e indican que hay

un problema potencial de multicolinealidad. En este ejemplo, una restricción

física en la población fue lo que causo este fenómeno; las familias que tienen

88

ingresos mayores en general tienen casas mayores que las familias de

menores ingresos, cuando hay restricciones físicas como esta, habrá

multicolinealidad independientemente del método de muestreo que se emplee.

Con frecuencia se presentan restricciones en problemas donde intervienen

procesos de producción o químicos, cuando los regresores son los

componentes de un producto y esos suman una constante.

También se puede inducir la multicolinealidad por la elección del modelo,

si el rango de x es pequeño, al agregar un término en x2 puede producirse una

multicolinealidad importante. Con frecuencia se encuentran casos como esos,

cuando dos o más regresores tienen dependencia casi lineal, y el retener esos

regresores puede contribuir a la multicolinealidad, en esos casos suele ser

preferible algún subconjunto de regresores, desde el punto de vista de la

multicolinealidad.

Un modelo sobredefinido tienen más variables regresoras que

observaciones. A veces se encuentran esos modelos en la investigación

médica y conductual, cuando puede que sólo haya una pequeña cantidad de

personas (unidades de muestra) disponibles, y se reúne información de una

gran cantidad de regresores en cada persona. El método común para manejar

la multicolinealidad en este contexto es eliminar algunas de las variables

regresoras. Mason, Gunst y Webster [1975] presentan tres recomendaciones

específicas:

1. Redefinir el modelo en términos de un conjunto menor de

regresores.

2. Hacer estudios preliminares usando solo subconjuntos de los

regresores originales.

3. Usar métodos de regresión del tipo de componentes principales,

para decidir cuales regresores se van a quitar al modelo.

89

Los dos primeros métodos no tienen en cuenta las interrelaciones entre los

regresores y, por consiguiente, pueden conducir a resultados no satisfactorios.

3.3.7 Efectos de la Multicolinealidad

La presencia de multicolinealidad tiene una gran cantidad de efectos

graves sobre los estimados de coeficientes de regresión por mínimos

cuadrados. Supóngase que sólo hay dos variables regresoras, x1 y x2. El

modelo, suponiendo que se escalan x1 , x2 y y a longitud unitaria, es

ecuación 110

y las ecuaciones normales de mínimos cuadrados son

ecuación 111

en donde r12 es la correlación simple entre x1 y x2, y rjy es la correlación

simple entre xj y y, j = 1, 2. Ahora bien, la inversa de (X’X) es

ecuación 112

y los estimados de los coeficientes de regresión son

ecuación 113

Si hay fuerte multicolinealidad entre x1 y x2, el coeficiente de correlación

r12 será grande. De acuerdo con la ecuación se ve cuando Іr12І � 1, Var ( ) =

Cjj σ2 – ∞, y Cov( ) = C12σ

2 – ± ∞, dependiendo de si r12 � +1 o r12 � -1,

por consiguiente, la fuerte multicolinealidad entre x1 y x2 da como resultado

90

grandes varianzas y covarianzas de los estimadores de coeficientes de

regresión por mínimos cuadrados. Esto implica que distintas muestras tomadas

con los mismos valores de x podrían ocasionar estimaciones muy diferentes de

los parámetros del modelo.

Cuando hay más de dos variables regresoras, la multicolinealidad

produce efectos parecidos. Se puede demostrar que los elementos diagonales

de la matriz C = (X’X)-1 son

ecuación 114

en donde es el coeficiente de determinación múltiple de la regresión

de xj respecto a las demás p – 1 variables regresoras. Si hay fuerte

multicolinealidad entre xj y cualquier subconjunto de los demás p – 1

regresores, el valor de será cercano a la unidad. Como la varianza de es

Var( ) = Cjj σ2 = (1 – )-1σ2, una fuerte multicolinealidad implica que la

varianza del estimado del coeficiente de regresión βj por mínimos cuadrados es

muy grande, por lo general, la covarianza de y también será grande, si los

regresores xi y xj intervienen en una relación multicolinealidad.

La multicolinealidad tiende también a producir estimados de que son

demasiado grandes en valor absoluto; para visualizar eso, se examina la

distancia de al vector β del parámetro real, elevada al cuadrado, por ejemplo

ecuación 115

91

La distancia esperada, elevada al cuadrado, E( ) es

ecuación 116

en donde la traza de la matriz (que se abrevia Tr) es justo la suma de los

elementos de la diagonal principal. Cuando hay multicolinealidad, algunos de

los eigenvalores de X’X serán pequeños; como la traza de una matriz también

es igual a la suma de sus eigenvalores, la ecuación 116 se transforma en

ecuación 117

en donde λj > 0, j = 1, 2, . . . , p son los eigenvalores de X’X. Así, si la matriz X’X

esta mal acondicionada por la multicolinealidad, al menos una de las λj será

pequeña, y la ecuación 117 implica que la distancia del estimado de por

mínimos cuadrados a los parámetros β puede ser grande. En forma

equivalente se puede demostrar que

ecuación 118

o sea

ecuación 119

En general, al vector es más largo que el vector β, esto implica que el

método de los mínimos cuadrados produce coeficientes de regresión estimados

que son demasiado grandes en valor absoluto.

92

Si bien el método de los mínimos cuadrados producirá en general malos

estimados de los parámetros individuales del modelo cuando hay una fuerte

multicolinealidad, eso no necesariamente implica que el modelo ajustado sea

mal predictor. Si las predicciones se confinan a regiones del espacio de x

donde la multicolinealidad es aproximadamente valida, con frecuencia el

modelo ajustado produce predicciones satisfactorias, lo que puede suceder

porque se logra estimar bastante bien la combinación lineal Σpj=1 βjxij, aún

cuando los parámetros individuales βj se estimen mal. Indica con esto que, si

los datos originales están aproximadamente sobre el hiperplano definido por la

ecuación, las observaciones futuras que también estén cerca de este

hiperplano se podrán predecir con precisión, muy a menudo, a pesar de los

estimados inadecuados de los parámetros individuales del modelo.

3.3.8 Diagnóstico de Multicolinealidad

Se han propuesto varias técnicas para detectar la multicolinealidad. A

continuación se describirán e ilustrarán algunas de esas medidas de

diagnóstico. Las características deseables en un método de diagnóstico son

que refleje el grado del problema de multicolinealidad, y que proporcione

información de utilidad para determinar que regresores están implicados.

3.3.8.1 Examen de la Matriz de Correlación

Una medida muy sencilla de la multicolinealidad es la inspección de los

elementos ri j no diagonales en X´X. Si los regresores xi y xj son casi

linealmente dependientes Іri jІ será próximo a la unidad.

Es útil examinar las correlaciones simples ri j entre los regresores, para

detectar la dependencia casi lineal, sólo entre pares de regresores,

desafortunadamente, cuando intervienen más de dos regresores en una

93

dependencia casi lineal, no hay la seguridad de que alguna de las correlaciones

apareadas ri j sea grande.

3.3.8.2 Análisis de Eigensistema X´X

Las raíces características, o eigenvalores o valores propios de X´X, por

ejemplo λ1, λ2, . . . , λp, se pueden usar para medir el grado de multicolinealidad

en los datos. Si hay una o más dependencias casi lineales en los datos, una o

más de las raíces características será pequeña. Uno o más eigenvalores

pequeños implican que hay dependencias casi lineales entre las columnas de

X. Algunos analistas prefieren examinar el número de condición de X´X que se

define como

ecuación 120

Esto no es más que una medida de la dispersión en el espectro de

eigenvalores de X´X. En general, si el número de condición es menor que 100,

no hay problemas grave de multicolinealidad. Los números de condición de 100

a 1 000 implican multicolinealidad de moderada a fuerte, y si k es mayor que

1 000, es indicio de una fuerte multicolinealidad.

Los índices de condición de la matriz X´X son

ecuación 121

Es claro que el máximo índice de condición es el número de condición

definido en la ecuación. La cantidad de índices de condición que son grandes

(digamos, ≥ 1 000) es una medida útil de la cantidad de dependencias casi

lineales en X’X.

94

También se puede aplicar el análisis del eigensistema para identificar la

naturaleza de las dependencias casi lineales en los datos. La matriz X’X se

puede descomponer como sigue:

X’X = T Λ T’ ecuación 122

donde Λ es una matriz diagonal de p X p, cuyos elementos de diagonal

principal son los eigenvalores λj (j = 1,2, . . . ,p) de X’X y T es una matriz

ortogonal de p X p, cuyas columnas son los eigenvectores de X’X. Sean t1, t2, . .

. , tp las columnas de T. Si el eigenvalor λj es cercano a cero, indicando una

dependencia casi lineal en los datos, los elementos del eigenvector tj describen

la naturaleza de esa dependencia lineal. En forma específica, los elementos del

vector tj son los coeficientes t1, t2, . . . tp, en la ecuación.

Belsley, Kuh y Welsch [1980] proponen un método parecido para

diagnosticar la multicolinealidad. La matriz X de n X p se puede descomponer

como sigue:

X = U D T’ ecuación 123

en donde U es de n X p. T es de p X p, U’U = I, T’T = I y D es una matriz

diagonal de p X p, con elementos µj diagonales, j = 1,2, . . . , p, no negativos.

Las µj se llaman valores singulares de X, y X = UDT’ se llama la

descomposición de X en valores singulares. La descomposición en valores

singulares se relaciona mucho con los conceptos de eigenvalores y

eigenvectores, porque X’X = (UDT’)UDT’ = TD2T’ = TΛT’, por lo que los

cuadrados de los valores singulares de X son los eigenvalores de X’X; en este

caso, T es la matriz de eigenvectores de X’X definida antes, y U es una matriz

cuyas columnas son los eigenvectores asociados con los p eigenvalores no

cero de XX’.

El deterioramiento de X se refleja en el tamaño de los valores singulares.

Habrá un valor singular pequeño por cada dependencia casi lineal. El grado de

deterioramiento depende de lo pequeño que sea el valor singular, en relación

95

con el máximo valor singular, µmax. Belsley, Kuh y Welsch [1980] definen los

Índices de condición de Ia matriz X como sigue:

ecuación 124

El máximo valor de nj es el número de condición de X, nótese que este

método maneja en forma directa Ia matriz de datos X, que es la que nos ocupa

principalmente, y no la matriz de Ia suma de cuadrados y productos cruzados,

X’X. Una ventaja más de este método es que los algoritmos para generar Ia

descomposición en valores singulares son numéricamente más estables que

los del análisis del eigensistema, aunque en Ia práctica puede que eso no sea

una grave limitación, si se prefiere el método del eigensistema.

La matriz de covarianza de es

ecuación 125

y Ia varianza del j-ésimo coeficiente de regresión es el j-ésimo elemento

diagonal de esta matriz, es decir

ecuación 126

También obsérvese que además de σ2, el j-ésimo elemento diagonal de

TΛ-1T’ es el j-esimo factor de inflación de varianza, es decir,

ecuación 127

Es claro que uno o más valores singulares pequeños (o eigenvalores

pequeños) pueden inflar en forma dramática la varianza de . Belsley, Kuh y

Welsch sugieren usar proporciones de varianza, definidas como sigue:

96

ecuación 128

como medidas de multicolinealidad. Si se agrupan las πĳ en una matriz π de p X

p, los elementos de cada columna de π no son más que las proporciones de Ia

varianza de cada (o de cada factor de inflación de varianza), debidas al

i-ésimo valor singular (o eigenvalor). Si una gran proporción de Ia varianza de

dos o más coeficientes de regresión se relaciona con un valor singular

pequeño, quiere decir que hay multicolinealidad, por ejemplo, si π 32 y π 34 son

grandes, el tercer valor singular está asociado con una multicolinealidad que

está inflando las varianzas de y . Índices de condición mayores que 30, y

proporciones de descomposición de varianza mayores que 0.5 son las reglas

que se recomiendan utilizar.

Belsley, Kuh y Welsch [1980] sugieren que se deben escalar los

regresores a longitud unitaria, pero que no se deben centrar al calcular las

proporciones de descomposición de varianza, con objeto de diagnosticar el

papel de Ia ordenada al origen en las dependencias casi lineales.

Hay cierta controversia acerca de si se deben centrar los datos de la

regresión para diagnosticar Ia multicolinealidad, sea con el análisis del

eigensistema, o con el método de la proporción de descomposición de

varianza. El centrado ortogonaliza Ia ordenada al origen con los demás

regresores, por lo que se puede considerar que el centrado es una operación

que no tiene interpretación física (como es el caso en muchas aplicaciones de

la regresión en ingeniería y en las ciencias físicas), entonces el deterioramiento

causado por el término constante es realmente “no esencial” y por ello es

totalmente adecuado centrar los regresores, sin embargo, si Ia ordenada al

origen tiene un valor interpretativo, el centrado no será el mejor método.

97

3.3.8.3 Factor de Agrandamiento de la Varianza

En un modelo de regresión múltiple, si el regresor j-ésimo fuera ortogonal

con respecto a los demás regresores (es decir, si la correlación con el resto de

los regresores fuera nula), la fórmula para la varianza quedaría reducida a

ecuación 129

La expresión del agrandamiento de la varianza sera:

ecuación 130

Así pues el FAV ( ) es la razón entre la varianza observada y la que

habría sido en caso de que Xj estuviera incorrelacionada con el resto de

regresores del modelo. Dicho de otra forma, el FAV muestra en que medida se

“agranda” la varianza el estimador como consecuencia de la no ortogonalidad

de los regresores. Algunos autores consideran que existe un problema grave de

multicolinealidad cuando el FAV de algún coeficiente es mayor de 10, es decir,

cuando el >0.90. En algunos programas de ordenador (el SPSS, por ejemplo)

se define el término de tolerancia como la diferencia entre 1 y el ,

Análogamente con el criterio aplicado a las otras medidas, se puede decir que

existe un problema de multicolinealidad cuando la tolerancia<1.10

El problema que tiene el FAV (o el o la tolerancia) es que no

suministra ninguna información que pueda utilizarse para corregir el problema.

98

3.3.9 Métodos para Manejar la Multicolinealidad

Se han propuesto varias técnicas para manejar los problemas causados

por la multicolinealidad. Entre los métodos generales están el reunir más datos,

la reespecificación del modelo y el uso de métodos de estimación distintos de

los mínimos cuadrados, diseñados en forma específica para combatir los

problemas inducidos por la multicolinealidad.

En principio, el problema de la multicolinealidad está relacionado con

deficiencias en la información muestral. El diseño muestral no experimental es,

a menudo, el responsable de estas deficiencias. Sin embargo, la aproximación

cuantitativa a los conceptos teóricos puede ser inadecuada, haciendo que en el

término de perturbación se absorban errores de especificación. Veamos a

continuación algunas de las soluciones propuestas para resolver el problema

de la multicolinealidad.

3.3.9.1 Recolección de datos

Se ha sugerido la recolección de datos adicionales como el mejor

método para combatir la multicolinealidad. Los datos adicionales se deben

reunir en una forma diseñada para eliminar la multicolinealidad en los datos

actuales, reuniendo algunos datos adicionales en tal forma que se rompa

cualquier multicolinealidad potencial.

Desafortunadamente no siempre es posible coleccionar más datos, por

restricciones económicas o porque el proceso que se estudia ya no está

disponible para su muestreo. Aún cuando hayan más datos disponibles, puede

ser inadecuado usarlos, si amplían el recorrido de las variables regresoras

mucho más allá de Ia región de interés para el analista, además, si los nuevos

puntos de datos son raros o atípicos en el proceso que se estudia, su presencia

99

en la muestra podría ser muy influyente sobre el modelo ajustado. Por último,

nótese que Ia reunión de datos adicionales no es una solución viable del

problema de multicolinealidad cuando ésta se debe a restricciones sobre el

modelo o en Ia población, por ejemplo, considérense los factores “ingreso

familiar” (x1), y “tamaño de casa” (x2), graficados en Ia figura 10.1. La

recolección de más datos seria de poco valor en este caso, porque Ia relación

entre el ingreso familiar y el tamaño de Ia casa es una característica estructural

de Ia población. Casi todos los datos en Ia población tendrán este comporta-

miento.

3.3.9.2 Reespecificación del Modelo

Con frecuencia, Ia multicolinealidad se debe a la elección del modelo,

como cuando dos regresores muy correlacionados se usan en Ia ecuación de

regresión, en estos casos la reespecificación de Ia ecuación de regresión

puede aminorar el impacto de la multicolinealidad. Un método para

reespecificar el modelo es redefinir los regresores, por ejemplo si x1, x2 y x3 son

casi linealmente dependientes, podrá determinarse alguna función, como x =

(x1 + x2)/x3, o x = x1x2x3, que preserve el contenido de información de los

regresores originales, pero que reduzca sin deterioramiento.

3.3.9.3 Eliminación de Variables

Otro método muy usado para reespecificar el modelo es Ia eliminación

de variable. Esto es, si x1, x2, y x3 son casi linealmente dependientes, la

eliminación de un regresor, por ejemplo x3, puede ayudar a combatir la

multicolinealidad. La eliminación de variable es frecuentemente una técnica

muy efectiva, sin embargo, podrá no producir una solución satisfactoria si los

regresores eliminados del modelo tienen un gran poder de explicación en

relación de Ia respuesta y, lo que significa que Ia eliminación de los regresores

100

para reducir la multicolinealidad puede dañar el poder predictivo del modelo. Se

debe tener cuidado al seleccionar las variables, porque muchos de los

procedimientos de selección se distorsionan mucho por la multicolinealidad y no

hay seguridad de que el modelo final muestre menor grado de multicolinealidad

que la que habían en los datos originales.

La multicolinealidad puede atenuarse si se eliminan los regresores que

sean más afectados por la multicolinealidad. El problema que plantea está

solución es que los estimadores del nuevo modelo serán sesgados en el saco

de que el modelo original fuera el correcto. Sobre esta cuestión convienen

hacer la siguiente reflexión.

El investigador está interesado en que un estimador sea preciso (es

decir, que no tenga sesgo o que está sea muy pequeño) y con una varianza

reducida. El error cuadrático medio (ECM) recoge ambos tipos de factores. Así

para el estimador , el ECM se define de la siguiente manera:

ecuación 131

Si un regresor es eliminado del modelo, el estimador de un regresor que

se mantiene (por ejemplo ) será sesgado, pero sin embargo, su ECM puede

ser menor que el correspondiente al modelo original, debido a que la omisión

de una variable puede hacer disminuir suficientemente la varianza del

estimador. En resumen, aunque la eliminación de una variable no es más

práctica que en principio sea aconsejable, en ciertas circunstancias puede tener

su justificación cuando contribuye a disminuir el CME.

101

3.3.9.4 Aumento del Tamaño de la Muestra

Teniendo en cuenta que un cierto grado de multicolinealidad acarrea

problemas cuando aumenta ostensiblemente la varianza muestral de los

estimadores, las soluciones deben ir encaminadas a reducir está varianza.

Existen dos vías: por un lado, se puede aumentar la variabilidad a lo

largo de la muestra de los regresores colineales introduciendo observaciones

adicionales. Esta solución no siempre es viable, puesto que los datos utilizados

en las contrastaciones empíricas proceden generalmente de fuentes

estadísticas diversas, interviniendo en contadas ocasiones el investigador en la

recolección de información.

Por otro lado, cuando se trate de diseños experimentales, se podrá

incrementar directamente la variabilidad de los regresores sin necesidad de

incrementar el tamaño de la muestra.

Finalmente. Conviene no olvidar que el término de perturbación no debe

contener ningún factor que sea realmente relevante para la explicación de las

variaciones del regresando, con el fin de reducir todo lo posible la varianza del

término de perturbación.

102

3.3.9.5 Utilización de Información Extramuestral

Otra posibilidad es la utilización de información extramuestral, bien

establecido restricciones sobre los parámetros del modelo, bien aprovechando

estimadores procedentes de otros estudios.

Es establecimiento de restricciones sobre los parámetros del modelo

recude al número de parámetros a estimar y, por tanto, palia las posibles

deficiencias de la información muestral. En cualquier caso, para estas

restricciones sean útiles deben estar inspiradas en el propio modelo teórico o al

menos, tener un significado económico.

En general, un inconveniente de ésta forma de proceder es que el

significado atribuible el estimador obtenido con datos de corte transversal es

muy diferente del obtenido con datos temporales. A veces, estos estimadores

pueden resultar realmente extraños o ajenos al objeto de estudio. Por otra

parte, al estimar las varianzas de los estimadores obtenidos en la segunda

regresión hay que tener en cuenta la estimación previa.

3.3.9.6 Utilización de Ratios

Si en lugar del regresando y de los regresores del modelo original se

utilizan ratios con respecto al regresor que tenga mayor colinealidad, puede

hacer que la correlación entre los regresores del modelo disminuya. Una

solución de este tipo resulta muy atractiva, por su sencillez de aplicación. Sin

embargo, las trasformaciones de las variables originales del modelo utilizando

ratios pueden provocar otro tipo de problemas. Suponiendo admisibles las

hipótesis básicas con respecto a las perturbaciones originales del modelo, ésta

transformación modificaría implícitamente las propiedades del modelo, de tal

103

manera que las perturbaciones del modelo trasformado utilizando ratios ya no

serían perturbaciones homoscedásticas, sino heteroscedásticas.

3.3.10 Regresión Sesgada

De acuerdo con el teorema de Gauss-Markov, los estimadores mínimos

cuadráticos ordinarios (MCO) son los de varianza mínima en la clase de los

estimadores lineales insesgados. Cualesquiera otros que consideremos, si son

lineales y de varianza menor, habrán de ser sesgados.

3.3.10.1 Regresión Ridge

Cuando se aplica el método de mínimos cuadrados a datos no

ortogonales, se pueden obtener estimaciones muy malas de los coeficientes de

regresión. Se dijo que la varianza de los estimados por mínimos cuadrados, de

los coeficientes de regresión, puede estar muy inflada y que la longitud del

vector de los estimados de los parámetros por mínimos cuadrados es excesiva,

en promedio. Eso implica que el valor absoluto de los estimados por mínimos

cuadrados es demasiado grande, y que esos estimados son muy inestables,

indicando con esto que sus magnitudes y signos pueden cambiar mucho con

una muestra distinta.

104

a) Estimadores insesgados

b) Sesgado de β Figura: 3.8 Distribución de Muestreo de: a) y b)

El problema con el método de los mínimos cuadrados es el requisito que

sea un estimador insesgado de β La propiedad de Gauss-Markov, asegura

que el estimador de mínimos cuadrados tiene varianza mínima en la clase de

los estimadores lineales insesgados, pero no hay garantía de que esa varianza

sea pequeña.

La varianza de es grande, y eso implica que los intervalos de

confianza de β serán grandes, y que el estimado de punto de es muy

inestable.

Una forma de aliviar este problema es eliminar el requisito que el

estimador de β sea insesgado. Supóngase que se puede determinar un

estimador insesgado de β, por ejemplo * que tenga menor varianza que el

β

Β E( *)

*

105

estimador insesgado . El error cuadrático medio del estimador * se define

como sigue:

ecuación 132

es decir

ecuación 133

Nótese que el MSE no es más que la distancia esperada, de * a β,

elevada al cuadrado. Si se permite una pequeña cantidad de sesgo en *, la

varianza de * se puede hacer pequeña, de tal modo que su error cuadrático

medio (MSE) de * sea menor que la varianza del estimador insesgado es .

La figura 10.4b ilustra el caso en el que la varianza del estimador sesgado es

bastante menor que la del estimador insesgado de la figura 10.4a. En

consecuencia, los intervalos de confianza de β serán mucho más angostos si

se usa el estimador sesgado. La pequeña varianza del estimador sesgado

implica también que * es un estimador más estable de β que el estimador

insesgado .

Se han desarrollado varios procedimientos para obtener estimadores

sesgados de coeficientes de regresión. Uno de esos procedimientos es la

regresión ridge (o de cresta). En forma específica, el estimador de ridge de

se define como la solución de

ecuación 134

que es

ecuación 135

en la que k ≥ 0 es una constante que selecciona el analista. El

procedimiento se llama regresión ridge porque las operaciones matemáticas se

parecen al método de análisis ridge, usado antes por Hoerl [1959], para

106

describir el comportamiento de superficies de respuesta de segundo orden;

nótese que cuando k = 0, el estimador ridge es igual al estimador por mínimos

cuadrados.

El estimador ridge es una transformación lineal del estimador de mínimos

cuadrados. Ya que

ecuación 136

Por consiguiente, como E( R) = E(Zk ) = Zk , entonces es un

estimador sesgado de β. Se suele llamar parámetro de sesgo a la constante k.

La matriz de covarianza de es

ecuación 137

El error cuadrático medio del estimador de Ridge es:

ecuación 138

en donde λ1, λ2, . . . λp son los eigenvalores de X’X. El primer término del lado

derecho es la suma de las varianzas de los parámetros en , y el segundo

término es el cuadrado del sesgo. Si k > 0 el sesgo en aumenta al aumentar

k. Sin embargo, la varianza disminuye al aumentar k.

Al usar la regresión ridge seria bueno escoger un valor de k, tal que la

reducción en el término de varianza sea mayor que el aumento en el sesgo al

107

cuadrado. Si se puede hacer, el error cuadrático medio del estimador ridge

será menor que la varianza del estimador , por mínimos cuadrados. Hoerl y

Kennard demostraron que existe un valor de k distinto de cero para el cual el

MSE de es menor que la varianza del estimador por mínimos cuadrados,

siempre y cuando β’β sea acotado. La suma de cuadrados residuales es

ecuación 139

Como el primer término del lado derecho de la ecuación 139 es la suma

de cuadrados residuales, para los estimados por mínimos cuadrados, se ve

que cuando aumenta k, la suma de cuadrados residuales aumenta. En

consecuencia, como la suma total de cuadrados es fija, R2 disminuye al

aumentar k, así, el estimado ridge, en general, no llegará a ser el mejor “ajuste”

a los datos, pero ello no debe preocupar mucho, porque interesa más obtener

un conjunto estable de estimados de los parámetros. Los estimados ridge

pueden dar como resultado una ecuación que funcione mejor para predecir

observaciones futuras, en comparación con los mínimos cuadrados (aunque no

hay una demostración concluyente de que así sucederá).

Hoerl y Kennard han sugerido que un valor adecuado de k puede

determinarse por inspección de la traza ridge. La traza ridge es una gráfica de

los elementos de en función de k, para valores de k que suelen estar en el

intervalo 0 a 1. Marquardt y Snee [1975] sugieren usar hasta unos 25 valores

de k, con espaciado aproximadamente logarítmico en el intervalo [0,1]. Si la

multicolinealidad es grave, la inestabilidad de los coeficientes de regresión será

obvia de acuerdo con la traza ridge. Al aumentar k, algunos de los estimados

ridge variarán en forma dramática. En cierto valor de k se estabilizarán los

estimados ridge . El objetivo es seleccionar un valor de k razonablemente

108

pequeño, en el cual los estimados ridge de sean estables. Es posible que

así se produzca un conjunto de estimados con MSE menor que los estimados

por mínimos cuadrados.

3.3.10.2 Otras Propiedades de la Regresión Ridge

La Figura 3.9 ilustra la geometría de la regresión ridge en un problema

con dos regresores. El punto β en el centro de las elipses corresponde a la

solución de mínimos cuadrados, donde la suma de cuadrados residuales

asume su valor mínimo.

Figura 3.9 Interpretación Geométrica de la Regresión Ridge

La pequeña elipse representa el lugar geométrico de los puntos en el

plano β1 y β2 en donde es constante la suma de cuadrados residuales, en

determinado valor mayor que el mínimo. El estimado ridge es el vector más

corto desde el origen que produce una suma de cuadrados residuales igual al

valor representado por Ia elipse pequeña. Esto es, el estimado ridge de

Curvas del

nivel de

suma

constante de

residuales

109

produce el vector de coeficientes de regresión con la norma mínima,

consistente con un aumento especificado en la suma de cuadrados residuales.

Se observa que el estimador ridge contrae al estimador de mínimos cuadrados

hacia el origen, en consecuencia, los estimadores ridge (y otros estimadores

sesgados en general) se llaman a veces estimadores de contracción. Hocking

[1976] observó que el estimador ridge contrae al estimador de mínimos

cuadrados, con respecto a las curvas de nivel de X’X. Esto es, es la

solución de:

ecuación 140

en donde el radio d depende de k.

Muchas propiedades del estimador hacen suponer que el valor de k es

fijo. En la práctica, ya que k se estima a partir de los datos, por inspección de la

traza ridge, k estocástica. Algunos autores han demostrado, mediante

simulaciones, que Ia regresión ridge ofrece, en general, mejoras en el error

cuadrático medio, en comparación con los mínimos cuadrados, cuando k se

estima a partir de los datos. Theobald [1974] ha generalizado las condiciones

bajo las cuales la regresión ridge produce MSE menores que los mínimos

cuadrados. La mejoría esperada depende de la orientación del vector β en

relación con los eigenvectores de X’X. La mejora esperada es máxima cuando

β coincide con el eigenvector asociado con el máximo eigenvalor de X’X.

Obenchain [1977] demostró que los estimadores ridge contraídos no

estocásticamente producen los mismos estadísticos t y F, para probar hipótesis,

que los mínimos cuadrados. Así, aunque Ia regresión ridge conduce a

estimados sesgados de punto, en general no requiere una nueva teoría de

distribución. Sin embargo, las propiedades de distribución todavía no se

conocen cuando k se escoge estocásticamente. Se podría suponer que cuando

110

k es pequeña, Ia inferencia basada en la teoría de la distribución normal

acostumbrada sería aplicable en forma aproximada.

3.3.10.3 Relación con Otros Estimadores

La regresión ridge se relaciona mucho con Ia estimación bayesiana. En

general, si se puede describir información previa acerca de β mediante una

distribución normal p-variada con vector promedio β0 y matriz de covarianza V0,

el estimador de Bayes de β es

ecuación 141

El uso de los métodos bayesianos en Ia regresión se describe en Leamer

[1973, 1978] y Zellner [1971]. Dos desventajas principales de este método son

que el analista de datos debe hacer una declaración explícita sobre la forma de

la distribución a priori, y no se comprende mucho la teoría estadística; sin

embargo, si se escoge el promedio a priori β0 = 0, y V0 = I, entonces se

obtiene:

ecuación 142

que es el usual estimador ridge. De hecho, el método de mínimos cuadrados se

puede considerar como un estimador de Bayes que usa una distribución

uniforme no acotada y a priori, para β. El estimador ridge es el resultado de una

distribución a priori que impone condiciones débiles de acotamiento para β.

Theil y Goldberger [1961] y Theil [1963] introdujeron un procedimiento

llamado estimación mixta. En ésta técnica se usa información anterior o

adicional, para aumentar los datos en forma directa, en lugar de a través de una

distribución a priori. La estimación mixta comienza con el modelo acostumbrado

111

de regresión y = Xβ + ε y supone que el analista puede escribir un conjunto de

restricciones r <p a priori, para β, tales que:

ecuación 143

en donde E( ) = 0, Var( ) = V, D es una matriz de r X p de constantes

conocidas, de rango r, y a es un vector de r X 1, de variables aleatorias. Si se

aumentan y y X para producir:

ecuación 144

y al aplicar mínimos cuadrados se obtiene el estimador mixto insesgado:

ecuación 145

Ahora bien, si D = A (siendo A’A = I), a = 0 y V = I, entonces:

ecuación 146

Si bien la estimación mixta y Ia regresión ridge podrán ser

numéricamente equivalentes, hay una diferencia de los puntos de vista que se

adoptan. En la de estimación mixta, a es una variable aleatoria, mientras que

en la regresión ridge los elementos de a son constantes especificadas, con lo

que se obtiene un estimador sesgado. La estimación mixta es menos formal

que Ia bayesiana, porque permite introducir información anterior sin una

especificación completa de una distribución a priori para β.

3.3.10.4 Métodos para Seleccionar K

Gran parte de la controversia acerca de la regresión de cresta se centra

en torno a la elección del parámetro k de sesgo. La elección de k por

inspección de la traza ridge es un procedimiento subjetivo que requiere criterio

por parte del analista. Algunos autores han propuesto procedimientos para

112

elegir k, que son mas analíticos. Hoerl, Kennard y Baldwin [1975] sugieren que

una elección adecuada de k es:

ecuación 147

en donde y se determinan con la solución por mínimos cuadrados.

Demostraron, con simulaciones, que el estimador ridge resultante tuvo mejora

importante en el MSE respecto al de mínimos cuadrados. En una publicación

posterior, Hoerl y Kennard [1976] propusieron un procedimiento iterativo de

estimación basado en la ecuación. En forma específica sugirieron la siguiente

secuencia de estimaciones de β y de k:

ecuación 148

el cambio relativo de kj se usa para determinar el procedimiento. Si

ecuación 149

el algoritmo debe continuar; de lo contrario debe terminar y usarse (kj), siendo

T = Tr(X’X)-1/p. Este criterio de terminación se selecciono porque T aumenta

con la dispersión de los eigenvalores de X’X, permitiendo mayor contratación al

aumentar el grado el deterioramiento de los datos. McDonald y Galarneau

[1975] sugieren escoger k de tal modo que

ecuación 150

113

Para los casos en que el lado derecho de ésta ecuación es negativo,

investigaron igualar k = 0 (mínimos cuadrados) o k = ∞ ( = 0). Ningún método,

en todos los casos, fue mejor que el de mínimos cuadrados.

Los métodos que se han descrito para elegir k se enfocan en la mejora

de los estimados de los coeficientes de regresión. Si el modelo se va a usar

para predicción, será más adecuado tener en cuenta criterios orientados a las

predicciones, para elegir k. Mallows [1973] modifico el estadístico Cp para

formar uno Ck que se puede usar para determinar k. Propuso gráficar Ck en

función de Vk, siendo

ecuación 151

y SSRES(k) es la suma de cuadrados residuales en función de k. La sugerencia

es escoger la k que minimice Ck. Obsérvese que

ecuación 152

y que Hk equivale a la matriz de sombrero en mínimos cuadrados

ordinarios.

Otra posibilidad es un procedimiento PRESSRidge donde interviene

ecuación 153

en donde ei, k es el i-ésimo residual para un valor determinado de k y hij,k es el i-

ésimo elemento diagonal de Hk. El valor de k se escoge del tal modo que

minimice PRESSRidge. Nótese que este procedimiento solo es una aproximación

al valor verdadero de PRESSRidge que se podría obtener en realidad eliminando

una por una las observaciones (recalculando cada vez los estimados ridge),

porque cuando se centran y escalan los datos, la eliminación de un punto de

114

dato cambia las constantes de centrado y escalado, y en consecuencia las

observaciones, sin embargo, si no hay grandes diagonales en la matriz de

sombrero (puntos influyentes) y el tamaño de la muestra no es pequeño,

PRESSRidge es una buena aproximación a PRESS exacto:

ecuación 154

en donde es el residual obtenido realmente conservado la i-ésima

observación para una k particular, centrando y escalando los datos, ajustando

el modelo ridge y calculando ; por consiguiente, e(i), k = yi – . Wahba

Golub y Health [1979] sugirieron el estadístico generalizado de validación

cruzada.

ecuación 155

Al escoger k se selecciona de tal modo que se minimiza el estadístico

GCV. Hay una relación obvia con los procedimientos análogos a PRESS,

descritos anteriormente.

Hay muchas otras posibilidades de escoger k. Por ejemplo, Marquardt

[1970] propuso usar un valor de k tal que el VIF quede entre 1 y 10, de

preferencia más cercano a 1. Dempster, Shatzoff y Wermuth [1971], Goldstein y

Smith [1974], Lawless y Wang [1976], Lindley y Smith [1972] y Obenchain

[1975] propusieron otros métodos de selección de k.

No hay seguridad de que cualquiera de ellos produzca determinaciones

semejantes de k, además, no hay garantía de que esos métodos sean mejores

que la inspección directa de la traza ridge.

115

3.3.10.5 Regresión Ridge y Selección de Variables

Los algoritmos normales para selección de variables no funcionan bien,

con frecuencia, cuando los datos son muy multicolineales. Sin embargo, Ia

selección de variables suele funcionar bastante bien cuando los regresores son

ortogonales, o casi ortogonales. Si los regresores se hicieron más ortogonales

usando estimadores sesgados, la selección de variables puede ser una buena

estrategia. Hoerl y Kennard [1970b] sugieren usar Ia traza ridge como guía para

seleccionar variables. Proponen las siguientes reglas para eliminar regresores

del modelo completo:

1. Eliminar los regresores que son estables, pero que tienen poco poder de

predicción; esto es, los regresores con coeficientes estandarizados pequeños.

2. Eliminar los regresores con coeficientes inestables que no mantengan su

poder de predicción que son, los coeficientes inestables que se corren hacia

cero.

3. Eliminar uno o más de los regresores restantes, que tengan coeficientes

inestables.

El subconjunto de los regresores restantes, cuya cantidad sea p, por

ejemplo, se usa en el modelo “final”. Se pueden examinar esos regresores,

para ver si forman un subconjunto casi ortogonal. Esto se puede hacer

graficando (k) (k), la longitud del vector de coeficientes, elevada al

cuadrado, en función de k. Si los regresores son ortogonales, Ia longitud al

cuadrado del vector de estimados ridge debe ser /(1 + k)2, siendo el esti-

mado ordinario de β por mínimos cuadrados, en consecuencia, si el modelo de

subconjunto contiene regresores casi ortogonales, las funciones (k) (k) y

/(1 + k)2 graficadas en función de k, deben ser muy parecidas.

116

3.3.11 Regresión Ridge Generalizada

Hoerl y Kennard [1970a] propusieron una extensión del procedimiento

ordinario de regresión ridge, que permite tener parámetros separados de sesgo

para cada regresor. A este procedimiento se le llama regresión ridge

generalizada.

La descripción de este método se simplifica un poco si se transforman

los datos al espacio de los regresores ortogonales. Para hacerlo, recuérdese

que si Λ es la matriz diagonal de p X p cuyos elementos de diagonal principal

son los eigenvalores λ1, λ2, . . . , λp de X’X , y si T es la matriz ortogonal

correspondiente de eigenvectores, entonces

ecuación 156

Si se definen

ecuación 157

y

ecuación 158

el modelo lineal se transforma en

ecuación 159

El estimador de α por mínimos cuadrados es la solución a

ecuación 160

que equivale a

ecuación 161

o sea

ecuación 162

117

El vector de los estimados originales se obtiene con la ecuación esto es

ecuación 163

Con frecuencia se dice que la ecuación es la forma canónica del modelo.

En términos de la forma canónica, el estimador ridge generalizado es la

solución de:

ecuación 164

donde K es una matriz diagonal con elementos (k1, k2, . . . , kp). En términos del

modelo original, los coeficientes ridge generalizados son:

ecuación 165

Ahora se considerara la selección de los parámetros de sesgo en K. El

error cuadrático medio para la regresión ridge generalizada es:

ecuación 166

El primer término del lado derecho de la ecuación es la suma de las

varianzas de los estimados de parámetro, y el segundo término es el sesgo

elevado al cuadrado. El error cuadrático medio, se minimiza al escoger

ecuación 167

Desafortunadamente, la kj óptima depende de los parámetros

desconocidos σ2 y αj. Hoerl y Kennard [1970a] sugieren un método iterativo

para determinar las kj. A partir de la solución de mínimos cuadrados se obtiene

un estimado inicial de las kj; por ejemplo

ecuación 168

118

Estos estimados iniciales de las kj se usan para calcular los estimados

ridge generalizados iniciales, a partir de:

ecuación 169

en donde K0 = diag( ). A continuación se usan los estimados

iniciales para revisar los estimados de las kj:

ecuación 170

Estos nuevos valores de se pueden usar para corregir los estimados

del α. El proceso iterativo debe continuar hasta que se obtengan estimados

estables de parámetro. Una medida de estabilidad que se usa con frecuencia

es la longitud del vector elevada al cuadrado. En forma específica, si

la longitud del vector de parámetros estimados elevada al cuadrado no cambia

mucho desde la iteración i – 1 hasta la iteración i, entonces se debe terminar.

En caso contrario, se debe continuar el proceso iterativo de estimación, nótese

que no hay alguna presentación gráfica útil de los coeficientes, como la traza

ridge en la regresión ridge generalizada.

Se podrá usar la ecuación para justificar la elección del parámetro de

sesgo k en la regresión ordinaria ridge. El valor de k en la ecuación es un

promedio ponderado de las kj de la ecuación. Es claro que si se combinan las kj

para producir un solo parámetro de sesgo, no se debería usar un promedio

ordinario, porque una αj pequeña produciría un valor grande de k, induciendo

demasiado sesgo en los estimados de parámetro. Sin embargo, la media

armónica de las kj es

ecuación 171

119

Hemmerle [1975] demostró que el procedimiento iterativo de Hoerl y

Kennard, para estimar las kj, tiene una solución explicita en forma cerrada de

modo que, en general, no es necesaria la iteración. En forma específica, sea:

ecuación 172

donde es el estimador de mínimos cuadrados, y B es una matriz diagonal de

elementos no negativos b1, b2, . . . , bp. Hocking, Speed y Lynn [1976]

demostraron que los resultados de Hemmerle son seleccionar:

ecuación 173

dónde . Si se observa que es el estadístico t asociado con el

j-esimo regresor, se observa que si el estadístico t es “pequeño”, el coeficiente

ridge generalizado se iguala a cero, mientras que si el estadístico t es “grande”,

ese coeficiente es una fracción bj del coeficiente de mínimos cuadrados. En

otras palabras, los coeficientes no significativos se contraen a cero, mientras

que los significativos se contraen con menos severidad. A esta solución la

llamaremos solución ridge generalizada y totalmente iterada.

Hemmerle hizo notar que la solución ridge generalizada y totalmente

iterada da como resultado, con frecuencia, la introducción de demasiado sesgo

(o demasiada contracción) en los estimados finales de parámetro. Propuso una

técnica para evitarlo, con base en restringir a la suma de cuadrados residuales

para evitar un aumento importante no deseado. Recomendo establecer un

límite para la pérdida total de R2 y que se reparta esa perdida en forma

proporcional a los regresores individuales. Su procedimiento da como resultado

valores modificados de bj, que se indican con , definidos por:

ecuación 174

120

en donde m es la relación de la pérdida admisible de R2 entre la perdida de R2

si se usa bj de la ecuación 173. Hocking et al. [1976] pone objeción al uso de la

ecuación 174, porque hace que todas las sean distintas de cero. Si se

igualan a cero algunas de las , se elimina la fuerte influencia de un eigenvalor

pequeño sobre la inflación de la varianza. El uso de la ecuación permite

regresar la influencia de ese eigenvalor.

En una publicación posterior. Hemmerle y Brantle [1978] sugieren

seleccionar las kj con base en la minimización de un estimador del criterio del

error cuadrático medio. Se desarrolla una solución explícita de forma cerrada

para el vector de estimados de parámetro resultante. También se presenta un

procedimiento para obtener estimados generalizados restringidos ridge, donde

se escogen restricciones para utilizar la información anterior sobre los signos de

los coeficientes de regresión, sin embargo, una simulación de Monte Carlo no

pudo demostrar alguna superioridad obvia de este método.

Desafortunadamente no hay una “optima” elección bien definida de las kj

para la regresión ridge generalizada. Concuerdo con Hemmerle [1975] en que

una estimación ridge generalizada y una totalmente iterada da como resultado,

con frecuencia, demasiada contracción, y que es adecuado algún tipo de

procedimiento restringido, en especial para datos que sean muy deteriorados.

En la práctica suele funcionar bien restringir el aumento máximo de la suma de

cuadrados residuales de 1 a 20%; sin embargo se necesita trabajar mucho para

desarrollar mejores lineamientos de elección de los parámetros kj y controlar la

cantidad de contracción.

121

3.4 Los Plásticos

Bosquejando en la historia de los plásticos, encontramos que las

primeras operaciones de moldeo fueran indudablemente realizadas para los

antiguos reyes, quienes estampaban los sellos reales sobre importantes

documentos de Estado. Fue el lacre el plástico usado en esa época; del mismo

material eran muchos otros objetos de distintas eras. Esto ésta evidenciado por

Io que se puede ver en muchos museos históricos. Otros antiguos plásticos

son: el papel “maché”, el caucho y algunas formas de goma laca. Los principios

fundamentales de fabricación de éstos, difieren solo ligeramente de las que hoy

rigen. El papel “maché”, por ejemplo, consiste de papel desintegrado mezclado

con proporciones determinadas de cola; el conglomerado formado es

comprimido posteriormente bajo altas presiones, para obtener así el producto

terminado.

3.4.1 La Historia de los Plásticos

De los numerosos plásticos actualmente en uso, se reconoce al caucho

como el más antiguo. Durante varias cientos de años se conocieron las

propiedades de está goma natural, pero en 1839 se hizo uso comercial de ella.

Fue Charles Goodyear quien descubrió en esa fecha el proceso de

vulcanización, por el cual se modificaban las propiedades esenciales del

caucho crudo, mediante el agregado de azufre y la intervención de calor. A

partir de entonces se abrieron amplias posibilidades para el caucho, llegando a

ser uno de los compuestos moldeables más importantes de la actualidad.

En cuanto a la goma laca, si bien se le considera como uno de los

primeros plásticos, no se conoce la fecha definida de su origen. Se trata de la

forma fundida de los productos de secreción del insecto de la goma laca. Es,

por lo tanto, una resina orgánica y natural. El desarrollo de la industria de la

122

goma laca ha seguido muy paralelamente a la del caucho, pero en su escala

mucho menor, por cierto. La goma laca es todavía usada, hasta cierto punto, en

productos modernos.

Aunque la vulcanización del caucho, introducida por Goodyear siete años

antes que el descubrimiento del nitrato de celulosa, por Friederich Schoenbein

en 1846, no fue considerada de tanta importancia como este último. La

aparición de piroxilina, puede considerarse quizá como el nacimiento no oficial

de nuestra actual industria de los plásticos, por cuanto constituye Ia base de

uno de los plásticos que aún hoy goza de un enorme movimiento comercial. Se

acredita a John Hyatt el descubrimiento del celuloide unos veintitrés años

después. Por esa misma época, Paul Schuetzenberger anunció otro compuesto

celulóstico: el acetato de celulosa. El uso de este último compuesto ha

avanzado a grandes pasos debido a los adelantos del proceso de moldeo por

inyección, y también a su no inflamabilidad y a otras características favorables.

A continuación del celuloide y del acetato de celulosa se vieron aparecer los

primeros productos a base de caseína.

En 1885, Emory Edwin Childs produjo el primer plástico en base a la

leche de vaca, pero recién en 1904 fue mejorado al punto de poder usarlo

comercialmente. Adolfo Spitteler descubrió un importante detalle; era éste que

la caseína podía ser moldeada, prensada por extrusión y endurecida en una

solución de formaldehído.

El acontecimiento sobresaliente en toda la historia de los plásticos

modernos ha sido indudablemente la presentación de las primeras resinas

fenólicas comerciales, por el Dr. Leo Baekeland. En 1909, fue anunciado a un

público relativamente desinteresado, el descubrimiento de un material resinoso

fenólico. A partir de entonces, sin embargo, no solo se fue estableciendo una

industria de proporciones prodigiosas, sino que llegó a competir con las más

123

grandes industrias durante los años que siguieron. Se llamó Bakelita al

producto descubierto por el Dr. Baekeland, en su honor. Desde Ia aparición de

ese material, fueron presentándose innumerables resinas fenólicas similares en

el mercado mundial.

Ni siquiera la introducción de la Bakelita y demás productos fenólicos

pudo frenar las investigaciones subsiguientes en este campo de actividades;

así, en 1917 se patento otro descubrimiento afín. Aunque Ia adaptación de los

materiales fenólicos a numerosas aplicaciones fue muy exitosa, las

necesidades de color fueron vitales. La Bakelita apareció primeramente en

negro o marrón, pero pronto aparecieron otros colores oscuros, como resultante

de los experimentos de pigmentación. Entre estos figuraban los carmesíes, los

verdes y azules oscuros y opacos, pero éstos no eran muy resistentes a la luz;

en consecuencia, no paso mucho tiempo sin que hiciera su aparición un nuevo

compuesto plástico en el mercado. Hanns John obtuvo las primeras patentes

para los productos de condensación de urea y formaldehído. Con la

introducción de este polvo se pudieron ver los ya muy necesarios colores

claros. No fue sino hacia 1929 que los plásticos de urea fueron adoptados

como materiales de moldeo ordinarios.

importancia casi equivalente en el desarrollo cronológico de los plásticos, ha

sido el mejoramiento gradual de las prensas. Casi dos siglos antes de pensarse

siquiera en procesos de moldeo, Pascal invento Ia primera prensa hidráulica.

Aunque se reconoce a éste como el creador de este tipo de máquinas en 1653,

recién en 1795 Bramah introdujo una prensa diseñada en forma tal, como para

moldear satisfactoriamente materiales plásticos. Los descubrimientos

posteriores de Goodyear y Schoenbein, relativos a materiales de molde, dieron

su primer uso a este tipo de equipo. Se han hecho cambios y mejoras, se han

aumentado gradualmente las capacidades, al punto de existir hoy un amplio

conjunto de prensas, pero Ia prensa hidráulica continua siendo el tipo más

generalmente usado en Ia industria.

124

3.4.2 Clasificación de los Plásticos

A medida que se fue desarrollando el uso de los plásticos durante el

siglo diecinueve, se comenzó a ver que estos podían tomar su dureza por dos

procesos diferentes. Y entonces los plásticos se clasificaron sobre Ia base de

dos grupos importantes, reconocidas todavía hoy en día. Estos grupos están

formados por los termoplásticos y termofijos.

3.4.2.1 Termoplásticos

El grupo de materiales termoplásticos comprende las resinas que

repetidamente se ablandan al calentarse y endurecen al enfriarse, Ia mayoría

de ellos son solubles en solventes específicos y arden a determinada

temperatura. Las temperaturas de ablandamiento varían según el tipo de

polímero, es importante tomar cuidados para evitar descomponerse, degradar a

encender.

La mayoría de las cadenas de moléculas de los termoplásticos pueden

idealmente semejarse a cuerdas entrelazadas, cuando se calientan las cadenas

individuales resbalan causando que el plástico fluya, luego al enfriarse las

cadenas de átomos y moléculas vuelven a unirse firmemente.

Si calentamos subsecuentemente, la característica de cuerdas

resbaladizas vuelve a presentarse, aunque esto tiene sus limitaciones ya que

dependiendo del número de ciclos de fundición-solidificación existe

degradación de la materia afectando la apariencia física y las propiedades

mecánicas. Estos también están divididos en dos clasificaciones en cristalinos y

amorfos.

125

a) Termoplásticos Cristalinos

Son plásticos que su estructura química es del tipo de cadenas que se

unen entre ellas simétricamente. El resultado son regiones organizadas que

muestran el comportamiento de las características de los cristales. En términos

generales podemos decir que tienen un punto de fusión determinado o en un

rango angosto de temperatura, presentan tendencia a encogerse y torcerse si

los comparamos con amorfos. Dentro de esta clasificación encontramos:

Poliamida, Acetal, Polipropileno, Polietileno, entre los más comunes.

Los polímeros líquidos cristalinos se piensa que son una separada y

única clase de plásticos. Las moléculas son rígidas, coma estructura de

columna que se organizan en regiones o zonas en ambos estados: sólido y

semilíquido.

b) Termoplásticos Amorfos

Son plásticos que su estructura química está formada por moléculas

cortas que no guardan ningún orden o forma, de donde se deriva el nombre de

amorfos, su punto de fusión se encuentra en amplios rangos de temperatura,

utilizando regiones Cristalinas, por esta razón los plásticos son frecuentemente

referidos como semi-cristalinos por algunos autores de libros, en Ia Tabla 3.7,

se muestran las propiedades generales de los plásticos, se enmarca las

diferencias de propiedades entre los termoplásticos cristalinos y amorfos quo

son fundamentales cuando se procesan y analiza el comportamiento de las

piezas manufacturadas con termoplásticos.

126

Tabla 3.4 . Principales Diferencias entre Termoplásticos Cristalinos y Amorfos

PROPIEDADES CRISTALINOS AMORFOS

Densidad relativa 0.9-1.42 1.06-1.40

Esfuerzo de tensión (N/mm2) 10-85 12-75

Modulo de elasticidad (N/mm2) 600-2500 1400-3500

Máxima temperatura de uso (°F)

3.4.2.2 Termofijos

Los termofijos son plásticos que experimentan cambios químicos durante

el proceso volviéndose permanentemente insolubles e infundibles. Felonic,

Amino Epoxy y Poliester insaturado son típicas resinas plásticas termofijas;

Gomas naturales y sintéticas coma Latex, Nitrile, Millable poliuretano, Silicone

Butyl Neopreno.

La estructura de los plásticos termofijos es también tipo cadenas y antes

de moldearse muy similar a Ia de los termoplásticos. La unión con eslabones

entre cadenas es Ia principal diferencia entre el sistema termofijo y el

termoplástico. EI termofijo, durante su curado o endurecimiento se forman

uniones muy fuertes entre moléculas adyacentes resultando en una compleja

malla interconectada.

Estas uniones cruzadas evitan que las cadenas se resbalen

individualmente, previniendo que el plástico fluya al agregar calor, si se le

agrega excesivo calor al termofijo después de que Ia unión entre cadenas fue

completada, entonces se degrada antes que ablandarse o fundirse.

127

3.4.2.3 Control de Temperatura del Molde

Este equipo provee una administración uniforme de un enfriamiento o

calentamiento mediano (usualmente agua) para el molde. La temperatura

máxima que puede ser alcanzada con el agua obviamente debe ser mantenida

abajo de su punto de evaporación. Donde son requeridas las temperaturas

aItas, debe ser sustituida el agua por aceite sintético, el cual debe ser calentado

a un máximo de 500 a 550 °F. El sistema de control recircula el fluido a través

de una bomba incorporada en Ia máquina.

3.4.3 Moldeo por Inyección

El procedimiento básico para el moldeo por inyección consiste en

inyectar un polímero fundido en un molde cerrado y frío, donde solidifica para

dar el producto. La pieza moldeada se recupera al abrir el molde para sacarla.

Una máquina de moldeo por inyección tiene dos secciones principales.

� La unidad de inyección.

� La unidad de cierre, o prensa, que aloja al molde.

En Ia Figura 3.10, se muestra una máquina típica de inyección con las

partes principales identificadas.

3.4.3.1 La Unidad de Inyección

La unidad de inyección es fundamentalmente un tornillo que gira dentro

de un barril o camisa con una distancia mínima entre la pared del barril y el hilo

128

del tornillo. El barril tiene calentadores de resistencias eléctricas que lo rodean.

La profundidad del canal del tornillo disminuye desde el extremo de

alimentación hacia el extremo de salida para favorecer la compresión del

contenido. Los gránulos de polímero fundido salen por el extremo de salida. El

calentamiento se debe en parte a la fricción ocasionada por el tornillo al girar

dentro del barril y a los calentadores del barril. El tornillo de una máquina de

moldeo por inyección tiene un movimiento de vaivén para efectuar la inyección.

Además, hay una boquilla que conecta ésta unidad con el molde y una válvula

que está cerrada mientras se inyecta material para evitar el flujo de retroceso

del mismo después de pasar el hilo del tornillo, y está abierta cuando gira el

tornillo para permitir la acumulación de la nueva carga. En la figura 4 se

muestran estas posiciones de la válvula.

Figura 3.10. Válvula de Retención (Válvula Check), Abierta y Cerrada. En la unidad de inyección, también se encuentra a tolva en donde es

alimentado el material. Una vez que el material pasa par Ia tolva, cae y

atraviesa un cajón magnético, allí es donde generalmente se puede ver el

material antes de que pase a la máquina. Es una caja plástica con una manija

129

en la parte de abajo de la tolva, ésta caja contiene una serie de barras

magnéticas, están colocadas de manera que hace que el material pase por Io

menos sobre una de las barras en su camino hacia Ia máquina. Los imanes

están en el cajón con el objeto de remover cualquier gancho, puntilla, tuerca o

destornillador, etc., que pueda haber caída en la tolva y si Ilegara a caer dentro

de Ia máquina causaría un gran daño.

De los imanes, el material cae dentro de Ia Garganta alimentadora, ésta

se encuentra en la parte trasera del barril de plastificación. La garganta

alimentadora tiene una camisa enfriadora a través de Ia cual el agua es

bombeada, esta evita que el material se caliente con el calor producido por el

tornillo y los calentadores en el barril.

El tornillo puede tener un movimiento de vaivén, come si fuera un pistón,

dentro del barril, durante Ia parte de inyección del ciclo de producción. Durante

Ia fase de plastificación, el extremo de salida está sellado por una válvula de

retención, y el tornillo acumula una reserva, o carga de material fundido frente a

él, al moverse hacia atrás en contra del frente de presión.

A. Contenedor de aceite F. Tolva B. Platina móvil G. Unidad hidráulica de movimiento C. Platina fija H. Gabinete de control D. Barra espaciadora I. Base con bombas E. Barril de inyección

130

Figura 3.11 . Máquina Moldeadora de Inyección.

Cuando se completa esta etapa, abre la válvula de retención, el tornillo

detiene su giro y se le aplica presión que lo convierte en un empujador

mecánico o pistón que impulsa el material fundido acumulado, a través de Ia

boquilla conectora hacia el molde, que se encuentra en la unidad de cierre.

Esta es la etapa de inyección.

3.4.3.2 Unidad de Cierre

Básicamente es una prensa que se cierra con un sistema de presión

hidráulico o mecánico. La fuerza de cierre disponible debe ser bastante grande

para contrarrestar la resistencia que genera el material fundido cuando se

inyecta. La presión que se aplica a este material fundido depende del tamaño

de la pieza a crear, de modo que para las piezas moldeadas que tienen una

gran área se requiere bastante fuerza. Se usan máquinas más grandes, que

tienen fuerza de varios miles de toneladas.

3.4.3.3 El Molde o Herramienta

El molde se sujeta mecánicamente (por ejemplo, mordazas con tornillos)

en la unidad de cierre, pero es intercambiable para permitir el moldeo de

diferentes productos. Las características fundamentales de un molde son:

� La cavidad o impresión, en la cual se moldea el producto. Una

herramienta puede contener una cavidad simple o varias.

� Los canales, a lo argo de lo cuales fluye el material fundido al inyectarse.

Estos son el canal de alimentación, que es el conducto que sale de la

boquilla, y los bebederos, que van del canal de alimentación a las

131

cavidades individuales. El bebedero se hace más estrecho y tiene una

compuerta a la entrada de la cavidad.

� Los canales de enfriamiento, a través de los cuales se bombea el agua

de enfriamiento para eliminar el calor del material fundido. El tamaño y

localización de éstos es muy especial para que haya enfriamiento

uniforme de las piezas moldeadas.

� Los pernos expulsores, los cuales sacan la pieza moldeada de la

cavidad. Funcionan automáticamente al abrir el molde.

En la Figura 3.11 se muestra en un diagrama los fundamentos del

moldeo por inyección.

Figura 3.12 . Moldeo por Inyección.

3.4.3.4. Ciclo de Moldeo

La secuencia de operación para producir piezas moldeadas por

inyección es como se muestra a continuación:

� El molde está cerrado. En ésta etapa está vacío desde luego. La unidad

de inyección está llena de material fundido.

132

� Se inyecta el material. La válvula de retención se cierra y el tornillo, que

actúa como un pistón, fuerza el paso del material fundido por la boquilla

hacia el molde.

� Etapa de retención, donde se mantiene la presión mientras el material se

enfría para evitar la contracción. Una vez que se inicia la solidificación,

puede eliminarse la presión.

� La válvula de retención se abre y se inicia la rotación del tornillo. La

presión se aplica a la boquilla cerrada y el tornillo se mueve hacia atrás

para acumular una nueva carga de material fundido frente a él.

� Mientras tanto, la pieza moldeada se enfría en el molde; cuando está

lista, la prensa y el molde se abren y se expulsa la pieza moldeada.

� El molde cierra de nuevo y se repite el ciclo.

3.4.5 La Máquina de Moldeo por Inyección

En ingeniería, el moldeo por inyección es un proceso semicontinuo que

consiste en inyectar un polímero en estado fundido (o ahulado) en un molde

cerrado a presión y frío, a través de un orificio pequeño llamado compuerta. En

ese molde el material se solidifica, comenzando a cristalizar en polímeros

semicristalinos. La pieza o parte final se obtiene al abrir el molde y sacar de la

cavidad la pieza moldeada.

3.4.5.1 La Boquilla

La boquilla conecta las dos mitades de la máquina para dejar pasar el

material fundido desde la etapa de plastificación hacia el molde. En la Figura 4

se muestran tres modificaciones. Las áreas no sombreadas son los conductos

por los que pasa el polímero fundido. La boquilla abierta que se muestra en la

figura 5 a) es simple y no tiene modificaciones para manejar polímeros muy

especiales. Sin embargo, los materiales fundidos de baja viscosidad, como el

nylon, tienden a gotear de una boquilla como esa, lo que provoca

133

contaminación y crea desperdicios; se necesita, entonces, una compuerta de

cierre positivo. En la compuerta de cierre mecánico simple, como la que se

muestra en la Figura 5 b), la placa A-A’ se desliza en la dirección que indica la

flecha. El cierre con válvula de aguja de la figura 5 c) depende de la presión de

inyección para abrir cuando se mueve B-B’ horizontalmente como lo indican las

flechas.

Es común que las boquillas se calienten por medio de una banda

calefactora, pero también se genera el calentamiento viscoso, ya que en este

punto el canal se estrecha y por lo tanto la velocidad de corte es más alta. La

viscosidad disminuye entonces; esto, a su vez, facilita la inyección. Es común

que se evite que el polímero solidifique en Ia boquilla por el contacto con el

molde frío. Con frecuencia, Ia boquilla no se mantiene en contacto, o se puede

aislar térmicamente. El polímero que solidifico en Ia boquilla tiene que volverse

a fundir en la siguiente inyección, lo cual genera inconsistencias de temperatura

y, por lo tanto, irregularidades del flujo en el material fundido conforme avanza

hacia el molde. Esto, a su vez, provoca defectos del producto.

Figura 3.13 Tipos de Boquilla.

134

3.4.5.2 La Unidad de Cierre o Prensa

La función de la unidad de cierre es mantener cerrado el molde con a

fuerza suficiente para resistir la presión de inyección. Ésta puede exceder de

14OMPa (20 000 lb/pulg2) y muy bien pueden ser necesarios 200 Mpa para

evitar fugas en las superficies de acoplamiento del molde. El cierre se efectúa

mediante un mecanismo de presión, mecánico o hidráulico.

Claramente la carrera de la mitad móvil de la prensa debe ser suficiente

para poder expulsar la pieza, lo cual significa más del doble de la profundidad

de moldeo. La fuerza necesaria de cierre para una pieza moldeada

determinada puede encontrarse a partir de su área proyectada. En el ejemplo

de la Figura 6, en la que se representa una tina de baño con un orificio en el

fondo, como maceta, se puede ver que el área proyectada incluye las paredes

laterales angulosas o radiales, pero excluye las aberturas.

Figura 3.14 Área Proyectada de una Tina de Baño Moldeada

Área proyectada = (a x b) — (c x d)

135

La presión de inyección que se aplica sobre el área proyectada

proporciona Ia fuerza de inyección y, por lo tanto, Ia fuerza de cierre que se

requiere para resistirla. Una manera de evaluar los tamaños de máquina es de

acuerdo a la fuerza de cierre disponible cuanto mayor sea Ia fuerza disponible,

más grande es la maquina.

3.4.5.3 El Molde

El molde se sujeta a Ia placas de cierre, de Ia manera más simple, en

dos mitades. En Ia figura 7, se muestra el molde de dos placas. Esa figura

representa Ia espiga que va desde Ia boquilla hasta los bebederos que

conducen hacia Ia puerta de entrada de Ia cavidad. En la figura 8 se muestra

un molde de tres placas, el cual tiene una tercera placa entre las dos de cierre.

Los moldes de tres placas son necesarios cuando el sistema de bebederos y

las cavidades están en planos diferentes; se requieren dos aberturas para

sacar las piezas moldeadas, así como las espigas y bebederos. Cuando el

molde abre, el polímero solidificado se fractura en Ia compuerta y la pieza

moldeada se recupera por una abertura de Ia maquina; Ia espiga se jala

automáticamente y cae al otro lado.

Los productos que se muestran en las figuras 7 y 8 son similares (un

contenedor hueco). El molde de dos placas abre de un lado y el material

fundido tiene que fluir alrededor de un núcleo para unirse en el lado opuesto.

En el molde de tres placas, el material entra por dos puntos del fondo y puede

fluir uniformemente para formar las paredes del recipiente moldeado. En los

moldes de tres placas se obtienen piezas moldeadas con mejores propiedades

y hay menos probabilidades de obtener un producto con deformaciones.

136

Figura 3.15 Molde de Dos Placas, Cerrado y Abierto.

137

Figura 3.16 El Principio del Molde de Tres Placas.

138

Cuando se llena el molde se debe extraer el aire que se halla en él. Por

lo común, esto pasa de manera espontánea gracias al espacio libre de los

pernos expulsores, pero algunas veces se abren ventilas estrechas, de unos

0.025 m.m. de diámetro, suficiente para que salga el aire y no permita la

entrada de material fundido. Si la ventilación es inadecuada, puede haber fallas

en el proceso o en el producto. El caso más crítico es que quede atrapada una

burbuja de aire, lo que provocaría un hoyo en la pieza moldeada. Una falla más

común es que el material se queme, debido a un escape rápido del aire. El aire

puede escapar tan rápido que la temperatura se eleve lo suficiente como para

degradar localmente el polímero y provocar quemaduras sobre la pieza

moldeada.

Los moldes se suministran con canales de enfriamiento a través de los

cuales pasa el agua. La temperatura de esta agua varía para los diversos

productos. El agua muy fría da los tiempos de enfriamiento más cortos, pero

algunas veces se requiere temperaturas más altas del molde, especialmente

con polímeros cristalinos, con el fin de lograr las propiedades óptimas del

producto terminado. El estrechamiento en la compuerta tiene tres funciones:

� Permite solidificación rápida del polímero cuando concluye a inyección.

Esto aísla la cavidad y permite la extracción de la espiga.

� La sección sólida, estrecha y delgada permite separar fácilmente la

espiga de la pieza moldeada después de sacarla del molde, eliminando

en la mayoría de los casos la necesidad de desbastar en el acabado;

� Incrementa la velocidad de corte conforme fluye el material fundido y,

en consecuencia, disminuye la viscosidad para llenar mejor y más

rápido moldes con formas complejas.

Se usan varios tipos de diseño de compuertas con fines diferentes; en la

Figura 9, se ilustra algunos de uso común.

139

Figura 3.17 Variaciones en el Diseño de Compuertas.

A continuación se describen algunas de las características de las

diversas compuertas

� Compuertas de canal de alimentación: Son las más simples. La

alimentación desde el canal a una sola cavidad es directa.

� Compuertas de aguja: Estas se llenan desde los bebederos. Es común

que usen moldes de tres placas. La pequeña cicatriz que dejan es fácil

de borrar en el acabado. La sección estrecha da una velocidad de

corte muy alta, baja viscosidad y permite que se llenen fácilmente las

secciones delgadas del molde.

� Compuerta submarina: Estas son con varias modificaciones de la

anterior, en la cual la entrada se sitúa en alguna parte por debajo de la

línea de partición.

� Compuertas laterales: Es el tipo común de compuerta que se usa para

moldes de multiimpresión. Alimentan por las partes laterales del molde.

Los moldes de impresión múltiple deben utilizar bebederos

balanceados para tener distribución uniforme a través del sistema. Los

bebederos no balanceados pueden dar lugar a piezas moldeadas de

140

calidad desigual debido a que la presión y, en consecuencia, el flujo,

no son iguales en sitios cercanos al canal de alimentación y en los que

se hallan alejados.

Ver figura 10.

Figura 3.18 Bebederos a) Balanceados y b) No Balanceados.

� Compuertas anulares: Estas se usan en moldes de impresión múltiple

para fabricar piezas moldeadas huecas porque conducen el flujo

alrededor de un núcleo central.

� Diafragma: Es similar a la compuerta anular pero se surte directamente

desde el canal de alimentación para elaborar impresiones simples.

� Compuertas de abanico: Las compuertas de abanico hacen que se

disperse el material fundido a manera de un abanico para cubrir bien

áreas grandes.

� Compuertas de película: También se conocen como compuertas de

borde o de “flash”, dan una distribución uniforme del espesor en piezas

moldeadas planas delgadas. Se usan mucho más para productos

transparentes como las lentes de policarbonato que se utilizan en

dispositivos de medición, en donde un flujo uniforme evita a formación

de ondulaciones.

� Compuertas de lengüeta: La lengüeta elimina “los chorros” en grandes

áreas planas por rompimiento del flujo y que lo vuelven turbulento

141

conforme entra en la cavidad. La formación de chorros provoca líneas

de flujo de mal aspecto, especialmente en materiales transparentes.

a) Moldeo sin canales de alimentación

Uno de los problemas más importantes que existen en el moldeo por

inyección es el de los desperdicios. Los moldeos comunes producen una

cantidad irreducible de desperdicios que tienen la forma de los canales de

alimentación y bebederos. Además de esto, siempre hay algunas piezas

defectuosas que tienen que desecharse. Son muy comunes los moldes que

producen pequeños objetos en los cuales el peso de la espiga excede al de las

piezas moldeadas.

En la actualidad, aunque los termoplásticos son recuperables mediante

una segunda molienda y un nuevo tratamiento, esta técnica es en sí bastante

cara en tiempos y energía; los gránulos consumen grandes cantidades de

energía, son muy ruidosos por lo que no es conveniente trabajar con estas

máquinas. Además, mezclar material remolido con material virgen significa que

una pequeña cantidad de polímero se someterá a varios ciclos de tratamiento.

A pesar de la adición de estabilizadores en el polímero, hay degradación, con la

consecuente pérdida de propiedades.

Por estas razones, el diseño moderno de moldes tiende a reducir la

cantidad de material en el canal de alimentación. En el mejor molde, el canal de

alimentación prácticamente se elimina en su totalidad; es el proceso de moldeo

sin canal de alimentación. Las técnicas incluyen las que se listan enseguida:

El diseño del molde que sitúa a la boquilla directamente sobre la cavidad

del molde. Este se recomienda para piezas moldeadas muy grandes, complejas

y de impresión simple, por ejemplo, los cilindros de aspiradoras.

142

Una técnica similar alarga la boquilla para situarla directamente sin un

canal de alimentación.

Las bebederos con calefacción se hacen cada vez más comunes en

moldes do impresión múltiple. Se construyen calefactores eléctricos en el molde

para mantener calientes a los bebederos y fundido al polímero que se

encuentra en ellos. Luego se usa este material fundido en la siguiente carga.

Otra opción para calentar los bebederos es hacer los

sobredimensionados. Una capa de polímero, que se halla sobre la pared, actúa

entonces como aislante y el polímero del centro se conserve fundido. Estos son

bebederos aislados.

3.4.4 Factores que Influyen en el Proceso de Moldeo

El moldeo por inyección ha sido una de las herramientas de fabricación

más importantes para la industria del plástico desde que se patentó la máquina

de tornillo reciprocante en 1956. En la actualidad es prácticamente imposible

hacer algo sin partes moldeadas por inyección. Se utilizan en interiores de

automóviles, cubiertas de dispositivos electrónicos, artículos para el hogar,

equipos médicos, discos compactos e incluso casas para perros. El moldeo por

inyección se utiliza para fabricar pallets, juguetes, cajones, y baldes,

contenedores para alimentos de paredes delgadas, tazas de promoción para

bebidas, y tapas de botellas de leche.

En el proceso de moldeo por inyección se funde el plástico en un

extrusor y se utiliza el tornillo del extrusor para inyectar el plástico en un molde

donde se enfría. La velocidad y consistencia entre otros son elementos claves

143

para que la operación de moldeo por inyección sea exitosa, ya que los

márgenes de ganancia generalmente están por debajo del 10 por ciento.

3.4.4.1 Velocidad

Un moldeador maximizará la producción al minimizar el tiempo del ciclo,

que es la cantidad de tiempo necesario para fundir el plástico, inyectarlo en el

molde, enfriarlo y extraer una parte terminada.

Utilizar moldes más grandes para producir más de una parte cada vez

que la máquina realiza un ciclo también puede aumentar la producción. Estos

moldes se conocen como moldes de cavidades múltiples.

3.4.4.2 Consistencia

La consistencia, o eliminación de scrap y tiempo improductivo, es tan

importante como la producción en una operación de moldeo exitosa. El

procesamiento más consistente es el resultado de un control cuidadoso de la

temperatura del plástico, presión del plástico a medida que llena el molde, la

velocidad a la que el plástico llena el molde y las condiciones de enfriado. Estas

cuatro variables primarias de moldeo son independientes y con frecuencia

pueden utilizarse para comprender los cambios en el proceso y solucionar

problemas. Si bien las variables se aplican a prácticamente todos los procesos

de moldeo por inyección, el proceso será levemente distinto en cada negocio,

según la aplicación, el plástico utilizado y las preferencias del moldeador.

3.4.4.3. Velocidad de llenado

En las aplicaciones de paredes delgadas, el material debe inyectarse en

el molde tan rápido como sea posible para evitar que el plástico se endurezca

144

antes de que la parte se llene por completo. Por lo general, las más recientes

tecnologías de resinas y maquinarias en el área se concentran en rellenos más

rápidos y sencillos. Además de minimizar el tiempo del ciclo mediante una

mejor capacidad de llenado, el moldeador puede ahorrar en el costo de las

resinas mediante la capacidad de llenar moldes más delgados o lograr mejor

producción al utilizar moldes más grandes de cavidades más altas.

El moldeo de paredes delgadas se logra utilizando máquinas que pueden

inyectar material en menos de un segundo y son lo suficientemente grandes

como para soportar moldes de gran tamaño y múltiples cavidades. Las tapas y

contenedores de paredes delgadas tienden a ser pequeños, entonces los

moldes pueden utilizarse para fabricar más de 100 tapas pequeñas por vez.

3.4.4.4 Temperatura

En los diversos procedimientos de moldeo las variaciones de la

temperatura de fusión o de plastificación juegan un papel diferente, según se

trate de material termoplástico o de un termofijo. Por esta razón es posible

facilitar el llenado de un molde complejo, reduciendo la viscosidad del polímero

con un pequeño aumento de temperatura en el cilindro de plastificación o en el

molde.

De hecho el molde de estas resinas resulta más crítico, respecto a los

termoplásticos, por que debe hacerse en el intervalo de tiempo que ocurre entre

la plastificación y la reacción de endurecimiento.

a) El Control de la Temperatura

En las diferentes zonas del cilindro de plastificación se realizan

mediciones de temperaturas mediante termopares insertados en diversos

145

puntos a lo largo de la trayectoria del material, desde la tolva hasta la boquilla.

Los termopares están conectados a instrumentos de control automáticos, que

mantienen la temperatura de cada zona en un nivel prefijado. Sin embargo, la

temperatura real de la masa fundida que esta por ser inyectada en el molde,

puede ser diferente a la registrada por los termopares ya sea del cilindro o en la

boquilla. Por tal motivo es aconsejable medir directamente la temperatura del

material haciendo salir un poco de material por la boquilla sobre una placa

aislante y ahí mismo hacer la medición con la sonda de un pirómetro o de un

termómetro de respuesta instantánea.

Las lecturas frecuentes por ejemplo una vez por día con la sonda de un

pirómetro o de un termómetro de respuesta instantánea, es la mejor manera de

conocer las variaciones entre la temperatura leída en los instrumentos y la

temperatura real de la masa fundida apenas salida de la boquilla. Así el

operador podrá tomar en cuenta las condiciones cuando ajuste el cuadro de

control.

b) Las variaciones de temperaturas

En el molde pueden producir piezas con calidad variable y dimensiones

diferentes. Cada separación de la temperatura de régimen se traduce en un

enfriamiento más veloz o más lento de la masa fundida inyectada en la cavidad

del molde.

Si la temperatura del molde se baja, la pieza moldeada se enfría más

rápidamente y esto puede crear una marcada orientación en la estructura,

elevadas tensiones internas, alteración de otras propiedades mecánicas y

aspecto superficial de mala calidad.

146

3.4.4.5 La Presión de Inyección

El sistema hidráulico de una máquina de inyección de materiales

plásticos debe proveer fluido a diversos niveles de presión y flujo para

garantizar el correcto funcionamiento de ella.

Durante el ciclo de moldeo intervienen diversos valores de presión en

tiempos sucesivos. La intensidad y duración de cada presión influyen en

diferente medida sobre las características físico-mecánicas y la contracción de

las piezas moldeadas.

Se puede definir como la presión requerida para vencer a resistencia que

el material fundido produce a lo largo de su trayectoria, desde el cilindro de

plastificación hasta el molde. La resistencia que se opone al flujo de material

depende:

� De la brusca reducción de sección correspondiente a la boquilla, los

canales de alimentación y de las entradas al molde.

� De la longitud de la trayectoria y la geometría complicada de la cavidad

que debe producir la pieza moldeada.

A estas resistencias de naturaleza “geométrica” que el polímero fundido

encuentra a lo largo de su trayectoria, se le debe agregar el aumento de la

viscosidad del material que progresivamente endurece por enfriamiento o por

recirculación durante el flujo.

A continuación se muestra un diagrama (figura 12) de una curva típica de

la presión de inyección en relación al tiempo, obtenida en el cilindro de

inyección de una máquina.

147

Figura 3.19 Diagrama de Presión de Inyección en Relación al Tiempo en una

Máquina con Dos Presiones Regulables Independientes: P1 primera presión, P2 segunda presión (presión de sostenimiento o pospresión). Las presiones se han medido en el cilindro hidráulico.

La presión de inyección es la misma que P1, esta corresponde a la fase

de llenado del molde y su valor está determinado, por Ia suma de la resistencia

que se opone al flujo del material inyectado en el molde. Cuando se alcanza Ia

máxima presión de inyección P1, está cambia a valores más bajos y es llamada

presión de sostenimiento o pospresión (segunda presión P2).

El objetivo es mantener bajo presión el material fundido que se solidifica

y se contrae en la cavidad del molde.

Para compensar la contracción, se introduce un poco más de material

fundido en el molde, hasta completar el llenado. Así se obtienen piezas

moldeadas más compactas y se reduce la contracción.

Si se considera que los polímeros en estado fundido son líquidos

compresibles, se podrá comprender que la presión de sostenimiento determina

el grado de contracción de la pieza moldeada solidificada “bajo presión”. Los

valores de contracción disminuyen en la medida que la presión aumenta, pero

enseguida surge la dificultad para extraer la pieza que se deforma al no

separarse de las paredes del molde con facilidad.

148

Existen equipos que controlan la conmutación de la primera a Ia segunda

presión en función de la presión necesaria en la cavidad del molde.

Durante la plastificación, el material fundido se acumula entre el espacio

de la punta del husillo y la boquilla. El material plastificado es llevado hacia

adelante en tanto que el husillo girando va hacia atrás. La contrapresión sobre

el husillo que gira, tiene la función de impedir el retorno de éste, mejorando la

acción de la mezcla del material. Al mismo tiempo aumenta el calor generado

por la fricción al grado de correr el riesgo de “sobrecalentar” los materiales

plásticos sensibles al calor o de romper las fibras de vidrio usadas para reforzar

los materiales.

Para tener bajo control los efectos de la contrapresión es necesario

verificar que la temperatura del cilindro de plastificación (o más exactamente la

temperatura de la masa fundida) no supere los limites preestablecidos para

evitar la degradación térmica del material. Para reducir a cantidad de calor

generado por la fricción se puede bajar tanto el valor de la contrapresión como

la velocidad del husillo (revoluciones por minuto).

3.4.4.6 Velocidades y Tiempos

Cuando se habla de velocidad de inyección se hace una referencia al

avance o carrera axial del husillo en la fase de inyección. La velocidad y el

tiempo de inyección están obviamente ligadas porque varían en razón inversa:

en las máquinas modernas se puede seleccionar en forma directa los valores

de la velocidad de inyección, en tanto que en otras máquinas se determina el

tiempo de inyección en segundos (o tiempo de desplazamiento del husillo).

En general, las velocidades elevadas facilitan el llenado de moldes con

recorrido de flujo largo, sobre todo cuando se moldean piezas de paredes

149

delgadas. En otras palabras, cuando la inyección se realiza en un tiempo breve,

se alcanza a llenar el molde antes de que se empiece a solidificar el puerto de

entrada y por lo tanto se interrumpa el flujo.

Las altas velocidades de inyección disminuyen también las caídas de

presión (o pérdidas de carga) que se presentan cerca de los puertos de entrada

a la cavidad del molde. Un límite para la velocidad de inyección puede ser la

sensibilidad de algunos plásticos al calor que, inyectadas velozmente a través

de secciones restringidas de la boquilla o del puerto de entrada, pueden

presentarse estriados (quemaduras) debido al sobrecalentamiento.

a) Velocidad de Rotación del Husillo

Los dos factores que determinan la capacidad de plastificación de la

máquina son: la velocidad de rotación del husillo y el par motriz aplicado por el

motor hidráulico, pero pueden influir también la homogeneidad y la uniformidad

de Ia temperatura del material fundido contenido en el cilindro.

El aumento de velocidad de rotación (rpm) del husillo (y por lo tanto su

velocidad tangencial) hace incrementar la cantidad de calor generado por Ia

fricción.

Los efectos positivos de este aumento de temperatura más comunes

son:

� Piezas moldeadas más compactadas (completas).

� Superficies mejores de las piezas moldeadas.

� Mejores líneas de unión (mejor fusión de las líneas de flujo).

� Ausencia de partículas no fundidas en a pieza moldeada.

150

� En general los valores de la velocidad de rotación están

expresados en revoluciones por minuto (rpm) sin hacer referencia

al diámetro del husillo.

En la actualidad es más significativo y exacto considerar Ia velocidad

periférica del husillo (expresada en metros por segundo), porque ésta es una

función del diámetro y del número de revoluciones por minuto.

b) Tiempo de Enfriamiento para Piezas

Este tiempo de enfriamiento es para piezas moldeadas con materiales

termoplásticos, que deben solidificar en el molde antes de ser extraídas,

condiciona la duración del ciclo de moldeo y por lo tanto la productividad de una

máquina.

Para el cálculo exacto del tiempo de enfriamiento es un poco complejo,

debido a que se trata de un intercambio de calor que depende de muchas

variables:

� La temperatura del material fundido.

� La temperatura de solidificación del material.

� El coeficiente de conductividad térmica del material.

� La temperatura del molde.

� El espesor de la pieza moldeada.

Para simplificación puede estimarse con cierta aproximación la duración

del tiempo de enfriamiento, usando diagramas trazados para determinados

materiales plásticos moldeados bajo condiciones definidas.

151

3.4.4.7 Tamaño del Cojín

Es la cantidad de plástico que permanece delante del tornillo una vez

que éste ha terminado de empacar el molde. Es necesario para que la presión

en el cilindro sea transmitida a las cavidades. El tamaño del cojín se ajusta

mediante la especificación de la posición donde el tornillo deberá dejar de girar

mientras funde la siguiente carga. La especificación se hace mediante un

interruptor de límite o un potenciómetro en el panel de control. Algunos

sistemas de control automático mantienen un cojín uniforme mediante el ajuste

del lugar donde el tornillo deja de girar. Esto se conoce como control del cojín

(cushion control).

3.4.4.8 Contracción

Es probablemente el problema principal cuando se requiere precisión en

Ia fabricación piezas, es ocasionado por el encogimiento y cambio de volumen

a medida que el plástico se transforma de líquido a sólido. Existen otros

factores que influyen, como por ejemplo, la orientación del flujo del plástico

fundido, la contracción puede presentarse debido a la relajación de las largas

uniones de las cadenas moleculares de Carbón-Carbón. La contracción tiende

a ser más grande en la dirección del flujo que en dirección transversal.

Otra importante consideración es donde el plástico es cristalino o amorfo,

la diferencia entre estos dos tipos de materiales puede ser observada

claramente cuando son calentados. Para plásticos cristalinos existe un cambio

abrupto en la viscosidad a la temperatura de fusión, abajo a esta temperatura

es sólido esencialmente en donde a más altas temperaturas es menor así los

cambios de temperatura en regiones lejanas al punto de fusión tiene poco

afecto en la viscosidad. Para los materiales amorfos por otro lado, hay un

mayor cambio gradual en la fluidez si la temperatura se incrementa.

152

El resultado de esto es que en adición a la contracción, los efectos

mencionados anteriormente, si el plástico es cristalino entonces existirá una

contracción debida al cercano acomodo de las moléculas en el estado

cristalino. Por esta razón la contracción de los materiales es alta, típicamente

de 1 a 4% comparado con 0.3 a 0.7% para los materiales amorfos. Los

materiales cristalinos también facilitan agilizar los tiempos del ciclo debido a

que una vez que la temperatura disminuye abajo de la temperatura de fusión

existe una pequeña variación de viscosidad y la pieza puede ser expulsada del

molde mientras que permanece relativamente caliente.

Cuando un material tiene alto nivel de contracción es más difícil

mantenerse dentro de las tolerancias. Algunos de los factores que afectan la

contracción pueden ser los siguientes: alta temperatura del barril de

plastificación, insuficiente presión o tiempo de inyección, tiempo de enfriamiento

inadecuado, insuficiente tiempo de plastificación, falla en la válvula de

retención, excesiva temperatura de moldeo, compuertas o canaletas muy

pequeñas, mala localización de compuertas y flujo de material incorrecto.

3.4.4.9 Almacenamiento de Materiales Plásticos

Tanto los materiales de moldeo en gránulos como en polvo, así como

productos terminados deberán ser conservados en lugares secos con suficiente

ventilación. Por razones de seguridad (prevención de incendios), los almacenes

deben estar separados del departamento de producción (moldeo, operaciones

secundarias). Las compañías que producen los polímeros de moldeo, protegen

el embalaje de estos materiales, para evitar en lo posible la absorción de

humedad y la contaminación.

153

Cuando se necesite almacenar grandes cantidades de materiales de

moldeo, sea en gránulos o en polvo, se recurre a grandes recipientes a “silos”

provistos de dispositivos con sistemas de aspiración para transportar

directamente el material desde los camiones tanque o furgones de ferrocarril.

La sucesiva utilización de la materia prima, se realiza a través de tuberías que

se conectan a las tolvas de las máquinas o a los secadores de material.

3.4.4.10 Secado de Materiales para Moldeo

La humedad absorbida en diferente medida por los materiales plásticos

durante el transporte o depositados en los almacenes, puede causar durante el

proceso de fusión y de inyección, inconvenientes que se manifiestan en las

piezas moldeadas:

� disminución de la resistencia mecánica.

� variación de la contracción por moldeo.

� defectos superficiales (hojeado, ampollas, etc.).

Los productores de materiales plásticos indican que en los materiales

granulados (o en los polvos) destinados al moldeo por inyección son admisibles

los contenidos de humedad (expresados en porcentaje de peso) mostrados en

la tabla 2.

Algunos polímeros que tienden a absorber poca agua del aire

circundante, si se almacenan en un ambiente seco y ventilado, en su empaque

original, pueden usarse directamente para el moldeo o para extrusión, sin

necesidad de presecarlos.

Otros materiales por el contrario, demuestran una mayor condición

higroscópica, por lo cual si se dejan en un recipiente o embalaje abierto,

absorben humedad del aire ambiente en cantidad superior a los limites (véase

154

tabla 2). Para estos materiales que absorben humedad, es necesario proceder

al secado preventivo, según el caso, con simples secadores con circulación de

aire caliente o con aparatos más complejos como los deshumidificadores con

aire seco o en hornos de secado bajo vacío.

3.4.4.11 Verificación del Contenido de Humedad

Para los materiales termoplásticos que contienen humedad, el secado

antes de procesarlos tiene tal importancia, que los gastos o cuidados en Ia

preparación para el empleo del material, resulta con seguridad recompensado

con la buena calidad del producto moldeado y con Ia menor duración del ciclo

de moldeo.

Para los materiales de moldeo con poca o nula higroscopia y sobre los

cuales puede depositarse humedad en la superficie, puede usarse secadores

de aire caliente. En la figura 16 se muestra el esquema de un secador de aire

caliente.

El aparato está constituido por un grupo de ventilación y calentamiento

colocado en el piso a un lado de Ia máquina y de una tolva especial montada

sobre Ia máquina y conectada al grupo por medio de mangueras. El sistema

asegura Ia circulación forzada de aire caliente a través de los gránulos del

material por secar.

155

Figura 3.20 Secador por Aire Caliente para Materiales Plásticos Granulados

Se emplea generalmente para secar y precalentar materiales plásticos

poco higroscópicos que contengan humedad por adhesión superficial (ejemplo:

poliestireno, polipropileno, etcétera).

Cuando se deban secar materiales plásticos muy higroscópicos que en

estado de equilibrio tienen un contenido de humedad superior a los limites

admisibles, es necesario usar equipos como los deshumidificadores de aire

seco o los hornos de secado en vacío. Un deshumidificador que hace circular

aire presecado y calentado para absorber humedad del material en gránulos se

muestra en la Figura 17.

Este aparato es más eficaz que el simple secador ya descrito, por que el

aire que circula entre los gránulos es previamente secado. El grupo de

ventilación-secado-calentamiento está colocado en el piso de la máquina y

conectado en circuito cerrado a la tolva mediante mangueras.

El sistema está previsto para el secado continuo de gránulos

provenientes de barriles o de silos, con el propósito de asegurar la alimentación

de una o más maquinas sin interrupciones.

156

Figura 3.21 . Deshumidificador por Circulación de Aire Presecado y Calentado para Materiales Plástico muy Higroscópicos (ejemplo: poliamidas, policarbonatos, etcétera). El sistema previsto para secado “continuo” de granulado proveniente de barriles o de “silos”.

3.4.4.12 Desgasificación de los Polímeros Fundidos

El secado de los materiales termoplásticos en gránulos o en polvo hecho

con secadores antes del moldeo, es una operación necesaria que, sin embargo,

tiene un costo adicional al proceso. La experiencia positiva de desgasificar los

polímeros en estado fundido, ya realizado por varios años en los extrusores

continuos de un solo husillo, se ha extendido a los cilindros de plastificación en

las máquinas de inyección. El uso de un cilindro especial con husillo de dos

zonas, permite la plastificación de materiales no secados, que contienen

humedad y sustancias volátiles en cantidad superior a las normas.

La humedad contenida en el material se elimina, durante Ia plastificación,

en forma de vapor que sale por un agujero radial a través de Ia pared del

cilindro.

157

4. MATERIALES Y MÉTODOS

En este capítulo se indican los tipos de materiales y métodos que se

utilizan para llevar a cabo la investigación.

4.1 Obtención de Datos

En la empresa Siemens R. Juárez dedicada a la fabricación de productos

automotrices se encuentra la antena inmovilizadota denominada “Pats” que

tienen como función inmovilizar el automóvil a través de una llave con un

código, el cual debe estar grabado en la tablilla electrónica colocada en la parte

que se realiza en la operación de moldeo, objeto de nuestra investigación.

De esta operación se tomaron tres variables regresoras que son: la

temperatura (X1), la presión de inyección (X2) y la abertura de la boquilla (X3)

una variable de respuesta que representa la longitud (y), con estas variables se

realizaron veinte corridas, y obtenemos la matriz de estudio, representada en la

Tabla 4.1.

158

Tabla 4.1 Matriz de estudio

X1 X2 X3 y

300,0000 35,0000 0,1150 0,3990 300,0000 34,0000 0,1150 0,3990 300,0000 35,0000 0,1150 0,3990 300,0000 36,0000 0,1170 0,3980 300,0000 35,0000 0,1160 0,3980 310,0000 32,0000 0,1200 0,4010 310,0000 33,0000 0,1180 0,4000 310,0000 32,0000 0,1180 0,4010 310,0000 33,0000 0,1180 0,4000 310,0000 33,0000 0,1180 0,4010 315,0000 31,0000 0,1250 0,4020 315,0000 31,0000 0,1250 0,4020 315,0000 33,0000 0,1220 0,4010 315,0000 32,0000 0,1220 0,4000 315,0000 31,0000 0,1250 0,4010 320,0000 30,0000 0,1300 0,4020 320,0000 30,0000 0,1300 0,4030 320,0000 28,0000 0,1290 0,4020 320,0000 28,0000 0,1290 0,4010 320,0000 30,0000 0,1300 0,4030

4.2 Multicolinealidad

La multicolinealidad se refiere al hecho de que las variables

independientes en el modelo de regresión están correlacionadas. Si X1 y X2

están correlacionadas, cuando introducimos X1 en el modelo, también estamos

introduciendo un poco de X2.

Los modelos de regresión se usan en una gran diversidad de

aplicaciones. Un problema serio que puede influir mucho sobre la utilidad de un

modelo de regresión es la multicolinealidad, o dependencia casi lineal entre las

variables de regresión.

Uno de los supuestos de los modelos de regresión lineal, es que no debe

haber un alto grado de correlación entre las variables predeterminadas, porque

esto trae serias consecuencias.

159

Si la multicolinealidad es factor que nos hace dudar de la eficiencia del

método de mínimos cuadrados, entonces tenemos que saber si en este caso

está presente, por lo que capturamos los datos en el software de minitab y

obtendremos la matriz de correlación que es la que se muestra en la Tabla 4.2

Tabla 4.2 Matriz de Correlación

X1 X2 X3 y X1 1.0000 -0.92490 0.93007 0.92099

X2 -0.92490 1.0000 -0.90848 -0.88824

X3 0.93007 -0.90848 1.0000 0.87805

y 0.92099 -0.88824 0.87805 1.0000

Una medida muy sencilla de la multicolinealidad es la inspección de los

elementos rij no diagonales. Si los regresores xi y xj son casi linealmente

dependientes Іri jІ será próximo a la unidad.

Como vemos en la tabla las variables regresoras X1, X2, X3 y la variable

de respuesta y presentan multicolinealidad por lo que nuestro análisis se realiza

con dos modelos, uno el modelo de mínimos cuadrados el cual no tiene dentro

de sus estructuctura un sistema donde se tome en cuenta la dependencia o

multicolinealidad y el otro metodo es el minimos cuadrados, el cual si toma en

cuenta la multicolinealidad por lo que es más efectivo para este caso.

4.3 Procedimiento para Obtener la Matriz Z

Como vemos en la Tabla 4.2 todos los valores se acercan a la unidad,

por lo que podemos decir que el problema de multicolinealidad este presente, y

ahora vamos a escalar a los elementos de la Tabla 4.1 que es la matriz de

estudio, y luego verificar con los pasos 1 y 2 el procedimiento de escalar la

matriz de estudio mostrado en las Tablas 4.3 y Tabla 4.4.

160

Tabla 4.3 Paso 1 del Procedimiento para Escalar la Matriz de Estudio

X1 X2 X3 y 300,0000 35,0000 0,1150 0,3990 300,0000 34,0000 0,1150 0,3990 300,0000 35,0000 0,1150 0,3990 300,0000 36,0000 0,1170 0,3980 300,0000 35,0000 0,1160 0,3980 310,0000 32,0000 0,1200 0,4010 310,0000 33,0000 0,1180 0,4000 310,0000 32,0000 0,1180 0,4010 310,0000 33,0000 0,1180 0,4000 310,0000 33,0000 0,1180 0,4010 315,0000 31,0000 0,1250 0,4020 315,0000 31,0000 0,1250 0,4020 315,0000 33,0000 0,1220 0,4010 315,0000 32,0000 0,1220 0,4000 315,0000 31,0000 0,1250 0,4010 320,0000 30,0000 0,1300 0,4020 320,0000 30,0000 0,1300 0,4030 320,0000 28,0000 0,1290 0,4020 320,0000 28,0000 0,1290 0,4010 320,0000 30,0000 0,1300 0,4030

suma 6225,0000 642,0000 2,4370 8,0130 promedio 311,2500 32,1000 0,1219 0,4007

Tabla 4.4 Paso 2 del Procedimiento para Escalar la Matriz de Estudio

X12 X2

2 X32 y2

90000,0000 1225,0000 0,0132 0,1592 90000,0000 1156,0000 0,0132 0,1592

90000,0000 1225,0000 0,0132 0,1592

90000,0000 1296,0000 0,0137 0,1584

90000,0000 1225,0000 0,0135 0,1584

96100,0000 1024,0000 0,0144 0,1608

96100,0000 1089,0000 0,0139 0,1600

96100,0000 1024,0000 0,0139 0,1608

96100,0000 1089,0000 0,0139 0,1600

96100,0000 1089,0000 0,0139 0,1608

99225,0000 961,0000 0,0156 0,1616

99225,0000 961,0000 0,0156 0,1616

99225,0000 1089,0000 0,0149 0,1608

99225,0000 1024,0000 0,0149 0,1600

99225,0000 961,0000 0,0156 0,1608

102400,0000 900,0000 0,0169 0,1616

102400,0000 900,0000 0,0169 0,1624

102400,0000 784,0000 0,0166 0,1616

102400,0000 784,0000 0,0166 0,1608

102400,0000 900,0000 0,0169 0,1624

suma 1938625,00 20706,0000 0,2975 3,2105

Sjj 1093,7500 97,8000 0,0006 0,0000

raiz Sjj 33,0719 9,8894 0,0243 0,0065

161

La suma de los valores debe ser igual a cero, y la suma de valores al

cuadrado debe ser igual a la unidad, por lo que se comprueba en las

Tablas 4.5 y 4.6.

Tabla 4.5 Primera Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Estudio.

W X1 X2 X3 y -0,3402 0,2932 -0,2814 -0,2529 -0,3402 0,1921 -0,2814 -0,2529 -0,3402 0,2932 -0,2814 -0,2529 -0,3402 0,3944 -0,1992 -0,4063 -0,3402 0,2932 -0,2403 -0,4063 -0,0378 -0,0101 -0,0760 0,0537 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,0996 -0,0378 -0,0101 -0,1582 0,0537 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,0996 -0,0378 0,0910 -0,1582 0,0537 0,1134 -0,1112 0,1294 0,2070 0,1134 -0,1112 0,1294 0,2070 0,1134 0,0910 0,0062 0,0537 0,1134 -0,0101 0,0062 -0,0996 0,1134 -0,1112 0,1294 0,0537 0,2646 -0,2123 0,3348 0,2070 0,2646 -0,2123 0,3348 0,3603 0,2646 -0,4146 0,2937 0,2070 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0537 0,2646 -0,2123 0,3348 0,3603

suma 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabla 4.6 Segunda Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Estudio

W2 X12 X2

2 X32 y2

0,1157 0,0860 0,0792 0,0640 0,1157 0,0369 0,0792 0,0640 0,1157 0,0860 0,0792 0,0640 0,1157 0,1555 0,0397 0,1650 0,1157 0,0860 0,0578 0,1650 0,0014 0,0001 0,0058 0,0029 0,0014 0,0083 0,0250 0,0099 0,0014 0,0001 0,0250 0,0029 0,0014 0,0083 0,0250 0,0099 0,0014 0,0083 0,0250 0,0029 0,0129 0,0124 0,0167 0,0428 0,0129 0,0124 0,0167 0,0428 0,0129 0,0083 0,0000 0,0029 0,0129 0,0001 0,0000 0,0099 0,0129 0,0124 0,0167 0,0029 0,0700 0,0451 0,1121 0,0428 0,0700 0,0451 0,1121 0,1298 0,0700 0,1719 0,0863 0,0428 0,0700 0,1719 0,0863 0,0029 0,0700 0,0451 0,1121 0,1298

suma 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

162

Ahora teniendo la matriz W vamos a generar la matriz W cuadrática, y

obtendremos la Tabla 4.7 mostrada a continuación.

Tabla 4.7 Matriz W Cuadrática

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

-0,3402 0,2932 -0,2814 0,1157 0,0860 0,0792 -0,0998 0,0957 -0,0825 -0,3402 0,1921 -0,2814 0,1157 0,0369 0,0792 -0,0654 0,0957 -0,0541 -0,3402 0,2932 -0,2814 0,1157 0,0860 0,0792 -0,0998 0,0957 -0,0825 -0,3402 0,3944 -0,1992 0,1157 0,1555 0,0397 -0,1341 0,0678 -0,0786 -0,3402 0,2932 -0,2403 0,1157 0,0860 0,0578 -0,0998 0,0817 -0,0705 -0,0378 -0,0101 -0,0760 0,0014 0,0001 0,0058 0,0004 0,0029 0,0008 -0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144 -0,0378 -0,0101 -0,1582 0,0014 0,0001 0,0250 0,0004 0,0060 0,0016 -0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144 -0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144 0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144 0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144 0,1134 0,0910 0,0062 0,0129 0,0083 0,0000 0,0103 0,0007 0,0006 0,1134 -0,0101 0,0062 0,0129 0,0001 0,0000 -0,0011 0,0007 -0,0001 0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0700 0,1719 0,0863 -0,1097 0,0777 -0,1218 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0700 0,1719 0,0863 -0,1097 0,0777 -0,1218 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711

Al igual que con la matriz de estudio de la Tabla 4.1, la matriz W

cuadrática mostrada en la Tabla 4.7, también se tiene que escalar, y el paso 1 y

paso 2 del procedimiento se muestra en la Tabla 4.8 y 4.9 respectivamente.

163

Tabla 4.8 Paso 1 del Procedimiento para Escalar la Matriz W Cuadrática

W cuadrática X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

-0,3402 0,2932 -0,2814 0,1157 0,0860 0,0792 -0,0998 0,0957 -0,0825 -0,3402 0,1921 -0,2814 0,1157 0,0369 0,0792 -0,0654 0,0957 -0,0541

-0,3402 0,2932 -0,2814 0,1157 0,0860 0,0792 -0,0998 0,0957 -0,0825

-0,3402 0,3944 -0,1992 0,1157 0,1555 0,0397 -0,1341 0,0678 -0,0786

-0,3402 0,2932 -0,2403 0,1157 0,0860 0,0578 -0,0998 0,0817 -0,0705

-0,0378 -0,0101 -0,0760 0,0014 0,0001 0,0058 0,0004 0,0029 0,0008

-0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144

-0,0378 -0,0101 -0,1582 0,0014 0,0001 0,0250 0,0004 0,0060 0,0016

-0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144

-0,0378 0,0910 -0,1582 0,0014 0,0083 0,0250 -0,0034 0,0060 -0,0144

0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144

0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144

0,1134 0,0910 0,0062 0,0129 0,0083 0,0000 0,0103 0,0007 0,0006

0,1134 -0,0101 0,0062 0,0129 0,0001 0,0000 -0,0011 0,0007 -0,0001

0,1134 -0,1112 0,1294 0,0129 0,0124 0,0167 -0,0126 0,0147 -0,0144

0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711

0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711

0,2646 -0,4146 0,2937 0,0700 0,1719 0,0863 -0,1097 0,0777 -0,1218

0,2646 -0,4146 0,2937 0,0700 0,1719 0,0863 -0,1097 0,0777 -0,1218

0,2646 -0,2123 0,3348 0,0700 0,0451 0,1121 -0,0562 0,0886 -0,0711

suma 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 -0,9249 0,9301 -0,9085

promedio 0,0000 0,0000 0,0000 0,0500 0,0500 0,0500 -0,0462 0,0465 -0,0454

Tabla 4.9 Paso 2 del Procedimiento para Escalar la Matriz W Cuadrática

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)

2

0,1157 0,0860 0,0792 0,0134 0,0074 0,0063 0,0100 0,0092 0,0068 0,1157 0,0369 0,0792 0,0134 0,0014 0,0063 0,0043 0,0092 0,0029

0,1157 0,0860 0,0792 0,0134 0,0074 0,0063 0,0100 0,0092 0,0068

0,1157 0,1555 0,0397 0,0134 0,0242 0,0016 0,0180 0,0046 0,0062

0,1157 0,0860 0,0578 0,0134 0,0074 0,0033 0,0100 0,0067 0,0050

0,0014 0,0001 0,0058 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0014 0,0083 0,0250 0,0000 0,0001 0,0006 0,0000 0,0000 0,0002

0,0014 0,0001 0,0250 0,0000 0,0000 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

0,0014 0,0083 0,0250 0,0000 0,0001 0,0006 0,0000 0,0000 0,0002

0,0014 0,0083 0,0250 0,0000 0,0001 0,0006 0,0000 0,0000 0,0002

0,0129 0,0124 0,0167 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002

0,0129 0,0124 0,0167 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002

0,0129 0,0083 0,0000 0,0002 0,0001 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000

0,0129 0,0001 0,0000 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0129 0,0124 0,0167 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002

0,0700 0,0451 0,1121 0,0049 0,0020 0,0126 0,0032 0,0078 0,0051

0,0700 0,0451 0,1121 0,0049 0,0020 0,0126 0,0032 0,0078 0,0051

0,0700 0,1719 0,0863 0,0049 0,0295 0,0074 0,0120 0,0060 0,0148

0,0700 0,1719 0,0863 0,0049 0,0295 0,0074 0,0120 0,0060 0,0148

0,0700 0,0451 0,1121 0,0049 0,0020 0,0126 0,0032 0,0078 0,0051

suma 1,0000 1,0000 1,0000 0,0923 0,1137 0,0797 0,0863 0,0752 0,0738

Sjj 1,0000 1,0000 1,0000 0,0423 0,0637 0,0297 0,0435 0,0319 0,0325

raiz Sjj 1,0000 1,0000 1,0000 0,2056 0,2523 0,1723 0,2086 0,1787 0,1802

164



Tablas 4.10 y 4.11.

Tabla 4.10 Primera Comprobación del Escalamiento de la W Cuadrática Escalada

W

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,3402 0,2932 -0,2814 0,3196 0,1427 0,1694 -0,2565 0,2754 -0,2058 -0,0091 -0,3402 0,1921 -0,2814 0,3196 -0,0519 0,1694 -0,0916 0,2754 -0,0479 0,2294 -0,3402 0,2932 -0,2814 0,3196 0,1427 0,1694 -0,2565 0,2754 -0,2058 -0,3540 -0,3402 0,3944 -0,1992 0,3196 0,4182 -0,0598 -0,4215 0,1190 -0,1839 0,0841 -0,3402 0,2932 -0,2403 0,3196 0,1427 0,0450 -0,2565 0,1972 -0,1390 -0,1136 -0,0378 -0,0101 -0,0760 -0,2362 -0,1978 -0,2567 0,2236 -0,2442 0,2563 -0,0140 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,4175 -0,0378 -0,0101 -0,1582 -0,2362 -0,1978 -0,1450 0,2236 -0,2268 0,2609 0,3503 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,0938 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,1141 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 -0,0338 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 0,2918 0,1134 0,0910 0,0062 -0,1806 -0,1654 -0,2900 0,2712 -0,2563 0,2551 -0,1134 0,1134 -0,0101 0,0062 -0,1806 -0,1978 -0,2900 0,2162 -0,2563 0,2517 0,3503 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 0,2700 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 -0,1134 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 -0,1130 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0973 0,4831 0,2105 -0,3042 0,1747 -0,4236 0,1345 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0973 0,4831 0,2105 -0,3042 0,1747 -0,4236 -0,3555 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 0,1345

Suma 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabla 4.11 Segunda Comprobación del Escalamiento de la W Cuadrática Escalada

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)2 y2

0,1157 0,0860 0,0792 0,1021 0,0204 0,0287 0,0658 0,0759 0,0424 0,0001 0,1157 0,0369 0,0792 0,1021 0,0027 0,0287 0,0084 0,0759 0,0023 0,0526 0,1157 0,0860 0,0792 0,1021 0,0204 0,0287 0,0658 0,0759 0,0424 0,1253 0,1157 0,1555 0,0397 0,1021 0,1749 0,0036 0,1776 0,0142 0,0338 0,0071 0,1157 0,0860 0,0578 0,1021 0,0204 0,0020 0,0658 0,0389 0,0193 0,0129 0,0014 0,0001 0,0058 0,0558 0,0391 0,0659 0,0500 0,0596 0,0657 0,0002 0,0014 0,0083 0,0250 0,0558 0,0273 0,0210 0,0421 0,0514 0,0296 0,1743 0,0014 0,0001 0,0250 0,0558 0,0391 0,0210 0,0500 0,0514 0,0681 0,1227 0,0014 0,0083 0,0250 0,0558 0,0273 0,0210 0,0421 0,0514 0,0296 0,0088 0,0014 0,0083 0,0250 0,0558 0,0273 0,0210 0,0421 0,0514 0,0296 0,0130 0,0129 0,0124 0,0167 0,0326 0,0222 0,0373 0,0260 0,0317 0,0296 0,0011 0,0129 0,0124 0,0167 0,0326 0,0222 0,0373 0,0260 0,0317 0,0296 0,0852 0,0129 0,0083 0,0000 0,0326 0,0273 0,0841 0,0736 0,0657 0,0651 0,0129 0,0129 0,0001 0,0000 0,0326 0,0391 0,0841 0,0468 0,0657 0,0633 0,1227 0,0129 0,0124 0,0167 0,0326 0,0222 0,0373 0,0260 0,0317 0,0296 0,0729 0,0700 0,0451 0,1121 0,0095 0,0004 0,1299 0,0023 0,0554 0,0203 0,0129 0,0700 0,0451 0,1121 0,0095 0,0004 0,1299 0,0023 0,0554 0,0203 0,0128 0,0700 0,1719 0,0863 0,0095 0,2334 0,0443 0,0925 0,0305 0,1795 0,0181 0,0700 0,1719 0,0863 0,0095 0,2334 0,0443 0,0925 0,0305 0,1795 0,1264 0,0700 0,0451 0,1121 0,0095 0,0004 0,1299 0,0023 0,0554 0,0203 0,0181

Suma 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

165

Entonces la Tabla 4.10 que es la matriz W cuadrática escalada, la

nombramos matriz X y la representamos en la Tabla 4.12.

Tabla 4.12 Matriz X

X

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,3402 0,2932 -0,2814 0,3196 0,1427 0,1694 -0,2565 0,2754 -0,2058 -0,0091 -0,3402 0,1921 -0,2814 0,3196 -0,0519 0,1694 -0,0916 0,2754 -0,0479 0,2294 -0,3402 0,2932 -0,2814 0,3196 0,1427 0,1694 -0,2565 0,2754 -0,2058 -0,3540 -0,3402 0,3944 -0,1992 0,3196 0,4182 -0,0598 -0,4215 0,1190 -0,1839 0,0841 -0,3402 0,2932 -0,2403 0,3196 0,1427 0,0450 -0,2565 0,1972 -0,1390 -0,1136 -0,0378 -0,0101 -0,0760 -0,2362 -0,1978 -0,2567 0,2236 -0,2442 0,2563 -0,0140 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,4175 -0,0378 -0,0101 -0,1582 -0,2362 -0,1978 -0,1450 0,2236 -0,2268 0,2609 0,3503 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,0938 -0,0378 0,0910 -0,1582 -0,2362 -0,1654 -0,1450 0,2052 -0,2268 0,1722 -0,1141 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 -0,0338 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 0,2918 0,1134 0,0910 0,0062 -0,1806 -0,1654 -0,2900 0,2712 -0,2563 0,2551 -0,1134 0,1134 -0,0101 0,0062 -0,1806 -0,1978 -0,2900 0,2162 -0,2563 0,2517 0,3503 0,1134 -0,1112 0,1294 -0,1806 -0,1491 -0,1930 0,1613 -0,1781 0,1722 0,2700 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 -0,1134 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 -0,1130 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0973 0,4831 0,2105 -0,3042 0,1747 -0,4236 0,1345 0,2646 -0,4146 0,2937 0,0973 0,4831 0,2105 -0,3042 0,1747 -0,4236 -0,3555 0,2646 -0,2123 0,3348 0,0973 -0,0195 0,3604 -0,0476 0,2355 -0,1424 0,1345

Con la matriz X representada en la Tabla 4.12 obtenemos la matriz X`X

que se representa en la Tabla 4.13.

Tabla 4.13 Matriz X´X

X`X

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

1,0000 -0,9249 0,9301 -0,4726 -0,0882 0,1298 0,3075 -0,1846 0,0059 -0,9249 1,0000 -0,9085 0,3119 -0,1121 -0,2772 -0,1067 0,0060 0,2038 0,9301 -0,9085 1,0000 -0,1604 0,1456 0,3765 0,0051 0,1252 -0,2650 -0,4726 0,3119 -0,1604 1,0000 0,6991 0,7108 -0,9095 0,9289 -0,8030 -0,0882 -0,1121 0,1456 0,6991 1,0000 0,5464 -0,9224 0,6757 -0,9107 0,1298 -0,2772 0,3765 0,7108 0,5464 1,0000 -0,6822 0,9159 -0,8307 0,3075 -0,1067 0,0051 -0,9095 -0,9224 -0,6822 1,0000 -0,8633 0,9298 -0,1846 0,0060 0,1252 0,9289 0,6757 0,9159 -0,8633 1,0000 -0,8853 0,0059 0,2038 -0,2650 -0,8030 -0,9107 -0,8307 0,9298 -0,8853 1,0000

166

En el software de mathcad se obtienen los eigenvalores representados

con el símbolo de Λ, el resultado se muestra en la Tabla 4.14.

Tabla 4.14 Matriz Λ, Eigenvalores

Λ

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

5,1318 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3,0229 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6199 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1066 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1066 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0083 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0146 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0027 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0032

De igual modo en el software de Mathcad se obtienen los eigenvectores

representados con el símbolo de T, y el resultado se muestra en la Tabla 4.15.

Tabla 4.15 Matriz T, Eigenvectores

T X1 X1 X1 X1 X1 X1 X1 X1 X1

0,0977 0,5661 -0,1845 0,3563 0,3563 0,1863 0,6505 -0,3958 -0,3537 -0,0499 -0,5322 -0,4056 0,7505 0,7505 0,6327 0,2146 0,0507 -0,0337 -0,0372 0,5615 -0,2400 0,3376 0,3376 0,2234 -0,3787 0,3049 0,2189 -0,4117 -0,1841 -0,1064 -0,2465 0,2465 -0,4593 0,4287 -0,1355 -0,1374 -0,3779 0,0355 0,5448 0,1012 0,1012 0,1390 0,1927 0,4702 0,5187 -0,3669 0,1713 -0,5091 0,1738 -0,1738 -0,0998 -0,0279 0,0045 0,0152 0,4274 0,0798 -0,2475 0,0827 -0,0827 0,2312 0,3943 0,6296 0,5470 -0,4213 -0,0037 -0,3189 -0,0819 -0,0819 0,3893 -0,0656 0,3208 0,3965 0,4236 -0,1004 -0,1162 -0,1598 0,1598 -0,2641 -0,0774 0,0949 0,2850

Ahora tenemos hay que obtener la matriz XT que se representa en la

Tabla 4.16, la cual proviene de multiplicar la matriz X representada en la Tabla

4.12 y la matriz T, representada en la Tabla 4.15.

167

Tabla 4.16 Matriz XT

XT

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

0,5979 -0,5322 -0,0316 -0,0419 0,0334 0,0177 0,0047 -0,0044 -0,0083 -0,3820 -0,4880 -0,1557 -0,1491 -0,0506 -0,0769 -0,0017 0,0178 0,0294 -0,5979 -0,5322 -0,0316 -0,0419 0,0334 0,0177 0,0047 -0,0044 -0,0083 -0,6214 -0,5842 0,2627 0,0454 0,2347 0,0564 -0,0017 0,0023 -0,0002 -0,4925 -0,5369 0,0390 -0,0539 0,0860 -0,0088 -0,0074 -0,0112 -0,0131 0,5728 -0,0732 0,0701 -0,0556 -0,0379 -0,0349 -0,0459 0,0159 0,0216 0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084 0,5295 -0,1007 0,0269 -0,0661 -0,0857 -0,0588 -0,0194 -0,0027 0,0135 0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084 0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084 0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031 0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031 0,5815 -0,0061 0,0024 0,0908 0,1393 0,0645 0,0938 0,0198 0,0122 0,5739 0,0425 0,0398 0,0077 0,0641 -0,0158 0,0444 -0,0355 -0,0322 0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031 -0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044 -0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044 -0,6473 0,5883 0,2633 -0,0280 -0,1383 -0,0364 0,0022 0,0030 0,0072 -0,6473 0,5883 0,2633 -0,0280 -0,1383 -0,0364 0,0022 0,0030 0,0072 -0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044

Al igual que con la matriz de estudio de la Tabla 4.1, la matriz XT

mostrada en la Tabla 4.16, también se tiene que escalar, y en los pasos uno y

dos del procedimiento se muestran en las Tablas 4.17 y 4.18 respectivamente.

168

Tabla 4.17 Paso 1 del Procedimiento de Escalamiento para la Matriz XT.

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3

XT -0,5979 -0,5322 -0,0316 -0,0419 0,0334 0,0177 0,0047 -0,0044 -0,0083 -0,3820 -0,4880 -0,1557 -0,1491 -0,0506 -0,0769 -0,0017 0,0178 0,0294

-0,5979 -0,5322 -0,0316 -0,0419 0,0334 0,0177 0,0047 -0,0044 -0,0083

-0,6214 -0,5842 0,2627 0,0454 0,2347 0,0564 -0,0017 0,0023 -0,0002

-0,4925 -0,5369 0,0390 -0,0539 0,0860 -0,0088 -0,0074 -0,0112 -0,0131

0,5728 -0,0732 0,0701 -0,0556 -0,0379 -0,0349 -0,0459 0,0159 0,0216

0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084

0,5295 -0,1007 0,0269 -0,0661 -0,0857 -0,0588 -0,0194 -0,0027 0,0135

0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084

0,4668 -0,1459 0,0184 0,0258 -0,0192 0,0289 0,0082 -0,0022 -0,0084

0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031

0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031

0,5815 -0,0061 0,0024 0,0908 0,1393 0,0645 0,0938 0,0198 0,0122

0,5739 0,0425 0,0398 0,0077 0,0641 -0,0158 0,0444 -0,0355 -0,0322

0,4303 0,1872 0,0263 -0,0031 0,0033 -0,0164 -0,0380 0,0031 0,0031

-0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044

-0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044

-0,6473 0,5883 0,2633 -0,0280 -0,1383 -0,0364 0,0022 0,0030 0,0072

-0,6473 0,5883 0,2633 -0,0280 -0,1383 -0,0364 0,0022 0,0030 0,0072

-0,3208 0,5036 -0,2942 0,0842 -0,0308 0,0247 0,0044 -0,0021 -0,0044

suma 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

promedio 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabla 4.18 Paso 2 del Procedimiento de Escalamiento para la Matriz XT.

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)2

XT 0,3575 0,2833 0,0010 0,0018 0,0011 0,0003 0,0000 0,0000 0,0001 0,1459 0,2381 0,0243 0,0222 0,0026 0,0059 0,0000 0,0003 0,0009

0,3575 0,2833 0,0010 0,0018 0,0011 0,0003 0,0000 0,0000 0,0001

0,3861 0,3412 0,0690 0,0021 0,0551 0,0032 0,0000 0,0000 0,0000

0,2426 0,2882 0,0015 0,0029 0,0074 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002

0,3281 0,0054 0,0049 0,0031 0,0014 0,0012 0,0021 0,0003 0,0005

0,2179 0,0213 0,0003 0,0007 0,0004 0,0008 0,0001 0,0000 0,0001

0,2804 0,0101 0,0007 0,0044 0,0073 0,0035 0,0004 0,0000 0,0002

0,2179 0,0213 0,0003 0,0007 0,0004 0,0008 0,0001 0,0000 0,0001

0,2179 0,0213 0,0003 0,0007 0,0004 0,0008 0,0001 0,0000 0,0001

0,1851 0,0350 0,0007 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0000 0,0000

0,1851 0,0350 0,0007 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0000 0,0000

0,3382 0,0000 0,0000 0,0082 0,0194 0,0042 0,0088 0,0004 0,0002

0,3293 0,0018 0,0016 0,0001 0,0041 0,0002 0,0020 0,0013 0,0010

0,1851 0,0350 0,0007 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0000 0,0000

0,1029 0,2536 0,0866 0,0071 0,0009 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

0,1029 0,2536 0,0866 0,0071 0,0009 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

0,4190 0,3461 0,0693 0,0008 0,0191 0,0013 0,0000 0,0000 0,0001

0,4190 0,3461 0,0693 0,0008 0,0191 0,0013 0,0000 0,0000 0,0001

0,1029 0,2536 0,0866 0,0071 0,0009 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

suma 5,1214 3,0733 0,5054 0,0713 0,1418 0,0267 0,0179 0,0025 0,0034

Sjj 5,1214 3,0733 0,5054 0,0713 0,1418 0,0267 0,0179 0,0025 0,0034

raiz Sj 2,2630 1,7531 0,7109 0,2670 0,3765 0,1633 0,1339 0,0498 0,0584

169



Tablas 4.19 y 4.20.

Tabla 4.19 Primera Comprobación del Escalamiento para XT.

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,0091 -0,1688 -0,2784 -0,2190 -0,5582 -0,1343 -0,4707 -0,0126 0,3572 0,5037 0,2294

-0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,3540

-0,2746 -0,3332 0,3694 0,1702 0,6233 0,3456 -0,0126 0,0472 -0,0038 0,0841

-0,2176 -0,3062 0,0549 -0,2020 0,2284 -0,0538 -0,0556 -0,2255 -0,2247 -0,1136

0,2531 -0,0417 0,0986 -0,2082 -0,1006 -0,2135 -0,3424 0,3191 0,3689 -0,0140

0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,4175

0,2340 -0,0575 0,0379 -0,2474 -0,2276 -0,3602 -0,1445 -0,0534 0,2306 0,3503

0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,0938

0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,1141

0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 -0,0338

0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2918

0,2570 -0,0035 0,0034 0,3401 0,3698 0,3952 0,7000 0,3972 0,2096 -0,1134

0,2536 0,0243 0,0560 0,0287 0,1702 -0,0965 0,3315 -0,7142 -0,5513 0,3503

0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2700

-0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1134

-0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1130

-0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 0,1345

-0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 -0,3555

-0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 0,1345

suma 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabla 4.20 Segunda Comprobación del Escalamiento para XT.

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)2 y2

0,0698 0,0922 0,0020 0,0246 0,0079 0,0118 0,0012 0,0080 0,0200 0,0001 0,0285 0,0775 0,0480 0,3116 0,0180 0,2216 0,0002 0,1276 0,2537 0,0526

0,0698 0,0922 0,0020 0,0246 0,0079 0,0118 0,0012 0,0080 0,0200 0,1253

0,0754 0,1110 0,1365 0,0290 0,3885 0,1194 0,0002 0,0022 0,0000 0,0071

0,0474 0,0938 0,0030 0,0408 0,0521 0,0029 0,0031 0,0509 0,0505 0,0129

0,0641 0,0017 0,0097 0,0433 0,0101 0,0456 0,1172 0,1018 0,1361 0,0002

0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,1743

0,0547 0,0033 0,0014 0,0612 0,0518 0,1297 0,0209 0,0028 0,0532 0,1227

0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,0088

0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,0130

0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0011

0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0852

0,0660 0,0000 0,0000 0,1157 0,1368 0,1562 0,4900 0,1578 0,0439 0,0129

0,0643 0,0006 0,0031 0,0008 0,0290 0,0093 0,1099 0,5101 0,3039 0,1227

0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0729

0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0129

0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0128

0,0818 0,1126 0,1372 0,0110 0,1349 0,0497 0,0003 0,0037 0,0153 0,0181

0,0818 0,1126 0,1372 0,0110 0,1349 0,0497 0,0003 0,0037 0,0153 0,1264

0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0181

suma 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

170

Una vez escalada la matriz XT la llamaremos matriz Z y la

representamos en la Tabla 4.21.

Tabla 4.21 Matriz Z

Z

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,0091 -0,1688 -0,2784 -0,2190 -0,5582 -0,1343 -0,4707 -0,0126 0,3572 0,5037 0,2294 -0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,3540 -0,2746 -0,3332 0,3694 0,1702 0,6233 0,3456 -0,0126 0,0472 -0,0038 0,0841 -0,2176 -0,3062 0,0549 -0,2020 0,2284 -0,0538 -0,0556 -0,2255 -0,2247 -0,1136 0,2531 -0,0417 0,0986 -0,2082 -0,1006 -0,2135 -0,3424 0,3191 0,3689 -0,0140 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,4175 0,2340 -0,0575 0,0379 -0,2474 -0,2276 -0,3602 -0,1445 -0,0534 0,2306 0,3503 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,0938 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,1141 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 -0,0338 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2918 0,2570 -0,0035 0,0034 0,3401 0,3698 0,3952 0,7000 0,3972 0,2096 -0,1134 0,2536 0,0243 0,0560 0,0287 0,1702 -0,0965 0,3315 -0,7142 -0,5513 0,3503 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2700 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1134 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1130 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 0,1345 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 -0,3555 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 0,1345

4.4. Análisis de Datos de Mínimos Cuadrados

Correr la regresión con la Matriz Z mostrada en la Tabla 4.21 en el

software de Minitab y obtendremos de ahí el análisis de regresión de mínimos

cuadrados, donde usaremos los valores de que es el cuadrado medio del

error y las .

Tabla 4.22 Ecuación de Regresión de Mínimos Cuadrados

y = - 0,0000 + 0,215 X1 + 0,43 X2 - 0,168 X3 - 0,12 X1

2 + 0,745 X22 - 0,20 X3

2 - 0,095 X1X2 - 1,30 X1X3 + 1,36 X2X3

171

Predictor Coef SE Coef T P Constant -0,00003 0,04498 -0,00 1,000 X1 0,2146 0,3606 0,60 0,565 X2 0,432 1,663 0,26 0,800 X3 -0,1677 0,3065 -0,55 0,596 X1X1 -0,117 2,666 -0,04 0,966 X2X2 0,7451 0,5744 1,30 0,224 X3X3 -0,200 2,717 -0,07 0,943 X1X2 -0,0954 0,2687 -0,35 0,730 X1X3 -1,302 1,714 -0,76 0,465 X2X3 1,362 1,799 0,76 0,467 S = 0,2011 R-Sq = 59,5% R-Sq(adj) = 23,1% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 9 0,59542 0,06616 1,64 0,227 Residual Error 10 0,40456 0,04046 Total 19 0,99998 Source DF Seq SS X1 1 0,05980 X2 1 0,00161 X3 1 0,00014 X1X1 1 0,10215 X2X2 1 0,24992 X3X3 1 0,15842 X1X2 1 0,00001 X1X3 1 0,00019 X2X3 1 0,02318

Tabla 4.23 Cuadrado Medio del Error y Alpha Estimada de Mínimos Cuadrados

de MC

X1 0.4377 CME X2 -0.0330

0,04046 X3 0.7462

X12 0.7079

X22 0.1891

X32 0.4915

X1X2 -0.1223

X1X3 0.1437

X2X3 0.2866

172

4.5 Procedimiento para Obtener el Valor de K

Una vez obtenida esta información tenemos que obtener el valor de K,

donde:

p = 9 columnas

n = 20 corridas

1.- (Λ) hacemos la multiplicación de la matriz de los eigenvalores

mostrada en la tabla 4.14 y de los valores de alpha estimada mostrada en la

tabla 4.23 y obtenemos la tabla 4.24 que muestra el resultado de la

multiplicación.

Tabla 4.24 Matriz de la Multiplicación de (Λ)

5.1318

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.0229

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.6199

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.1066

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.1066

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0083−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0146

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0027

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0032

0.4377

0.0330−

0.7462

0.7079

0.1891

0.4915

0.1223−

0.1437

0.2866

⋅

2.2462

0.0998−

0.4626

0.0755

0.0202

0.0041−

0.0018−

0.0004

0.0009

=

173

El resultado de la Tabla 4.24 se multiplica por alpha estimada

mostrada en la Tabla 4.23 y el procedimiento y resultado se muestra en la

Tabla 4.25

Tabla 4.25 Matriz de la Multiplicación de (Λ) mostrada en la tabla 4.24 y mostrada en la tabla 4.23.

2.2462

0.0998−

0.4626

0.0755

0.0202

0.0041−

0.0018−

0.0004

0.0009

0.4377

0.0330−

0.7462

0.7079

0.1891

0.4915

0.1223−

0.1437

0.2866

⋅ 1.3874=

Ahora vamos a obtener el valor de p * donde p = 9 porque son 9

columnas en la matriz y se muestra en la Tabla 4.23.

p = 9 (9)*(0.04046) = 0.36414

= 0.04046

Obtotenidos todos lo resultamos hacemos la operación fina y

obtenermos el valor de K el cual se obtiene de la formula:

0.3641

1.38740.2624=

0.2624 0.5122=

174

4.6 Procedimiento para Obtener la Matriz Z+K

Una vez obtenida se agrega a la matriz Z y a la y se agrega la media,

esta información se muestra en la Tabla 4.26.

Tabla 4.26 Matriz Z+K

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,0091 -0,1688 -0,2784 -0,2190 -0,5582 -0,1343 -0,4707 -0,0126 0,3572 0,5037 0,2294 -0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,3540 -0,2746 -0,3332 0,3694 0,1702 0,6233 0,3456 -0,0126 0,0472 -0,0038 0,0841 -0,2176 -0,3062 0,0549 -0,2020 0,2284 -0,0538 -0,0556 -0,2255 -0,2247 -0,1136 0,2531 -0,0417 0,0986 -0,2082 -0,1006 -0,2135 -0,3424 0,3191 0,3689 -0,0140 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,4175 0,2340 -0,0575 0,0379 -0,2474 -0,2276 -0,3602 -0,1445 -0,0534 0,2306 0,3503 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,0938 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,1141 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 -0,0338 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2918 0,2570 -0,0035 0,0034 0,3401 0,3698 0,3952 0,7000 0,3972 0,2096 -0,1134 0,2536 0,0243 0,0560 0,0287 0,1702 -0,0965 0,3315 -0,7142 -0,5513 0,3503 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2700 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1134 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1130 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 0,1345 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 -0,3555 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 0,1345 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

175

Y como es los procedimientos anteriores tenemos que escalar la matriz

Z+K donde los procedimientos se encuentran en las Tablas 4.27 y 4.28

respectivamente.

Tabla 4.27 Paso 1 del Procedimiento de Escalamiento de la Matriz Z+K X1 X2 X3 X1

2 X22 X3

2 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,0091 -0,1688 -0,2784 -0,2190 -0,5582 -0,1343 -0,4707 -0,0126 0,3572 0,5037 0,2294 -0,2642 -0,3036 -0,0444 -0,1569 0,0887 0,1085 0,0350 -0,0893 -0,1416 -0,3540 -0,2746 -0,3332 0,3694 0,1702 0,6233 0,3456 -0,0126 0,0472 -0,0038 0,0841 -0,2176 -0,3062 0,0549 -0,2020 0,2284 -0,0538 -0,0556 -0,2255 -0,2247 -0,1136 0,2531 -0,0417 0,0986 -0,2082 -0,1006 -0,2135 -0,3424 0,3191 0,3689 -0,0140 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,4175 0,2340 -0,0575 0,0379 -0,2474 -0,2276 -0,3602 -0,1445 -0,0534 0,2306 0,3503 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,0938 0,2063 -0,0832 0,0259 0,0965 -0,0510 0,1768 0,0615 -0,0451 -0,1442 -0,1141 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 -0,0338 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2918 0,2570 -0,0035 0,0034 0,3401 0,3698 0,3952 0,7000 0,3972 0,2096 -0,1134 0,2536 0,0243 0,0560 0,0287 0,1702 -0,0965 0,3315 -0,7142 -0,5513 0,3503 0,1901 0,1068 0,0369 -0,0116 0,0088 -0,1003 -0,2834 0,0631 0,0538 0,2700 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1134 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 -0,1130 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 0,1345 -0,2860 0,3356 0,3704 -0,1048 -0,3673 -0,2229 0,0164 0,0612 0,1237 -0,3555 -0,1418 0,2872 -0,4138 0,3152 -0,0818 0,1510 0,0331 -0,0418 -0,0753 0,1345 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

suma 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,5122 0,0000 promedio 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0000

176

Tabla 4.28 Paso 2 del Procedimiento de Escalamiento de la Matriz Z+K

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)2 y2

0,0698 0,0922 0,0020 0,0246 0,0079 0,0118 0,0012 0,0080 0,0200 0,0001 0,0285 0,0775 0,0480 0,3116 0,0180 0,2216 0,0002 0,1276 0,2537 0,0526 0,0698 0,0922 0,0020 0,0246 0,0079 0,0118 0,0012 0,0080 0,0200 0,1253 0,0754 0,1110 0,1365 0,0290 0,3885 0,1194 0,0002 0,0022 0,0000 0,0071 0,0474 0,0938 0,0030 0,0408 0,0521 0,0029 0,0031 0,0509 0,0505 0,0129 0,0641 0,0017 0,0097 0,0433 0,0101 0,0456 0,1172 0,1018 0,1361 0,0002 0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,1743 0,0547 0,0033 0,0014 0,0612 0,0518 0,1297 0,0209 0,0028 0,0532 0,1227 0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,0088 0,0425 0,0069 0,0007 0,0093 0,0026 0,0313 0,0038 0,0020 0,0208 0,0130 0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0011 0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0852 0,0660 0,0000 0,0000 0,1157 0,1368 0,1562 0,4900 0,1578 0,0439 0,0129 0,0643 0,0006 0,0031 0,0008 0,0290 0,0093 0,1099 0,5101 0,3039 0,1227 0,0361 0,0114 0,0014 0,0001 0,0001 0,0101 0,0803 0,0040 0,0029 0,0729 0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0129 0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0128 0,0818 0,1126 0,1372 0,0110 0,1349 0,0497 0,0003 0,0037 0,0153 0,0181 0,0818 0,1126 0,1372 0,0110 0,1349 0,0497 0,0003 0,0037 0,0153 0,1264 0,0201 0,0825 0,1713 0,0993 0,0067 0,0228 0,0011 0,0017 0,0057 0,0181 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

suma 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,2623 1,0000 Sjj 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,2536 1,0000

raizSjj 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,1196 1,0000

De igual manera tenemos que asegurar que la matriz este

completamente escalada, y la comprobación se muestra en las Tablas 4.29 y

4.30 respectivamente.

177

Tabla 4.29 Primera Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Z+K.

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2512 -0,2864 -0,0549 -0,1554 0,0640 0,0817 0,0160 -0,0950 -0,1417 -0,0091 -0,1660 -0,2639 -0,2109 -0,5138 -0,1352 -0,4357 -0,0265 0,3038 0,4346 0,2294 -0,2512 -0,2864 -0,0549 -0,1554 0,0640 0,0817 0,0160 -0,0950 -0,1417 -0,3540 -0,2605 -0,3129 0,3147 0,1368 0,5415 0,2934 -0,0265 0,0269 -0,0186 0,0841 -0,2096 -0,2888 0,0338 -0,1956 0,1887 -0,0633 -0,0649 -0,2167 -0,2159 -0,1136 0,2108 -0,0525 0,0729 -0,2012 -0,1051 -0,2059 -0,3210 0,2697 0,3142 -0,0140 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,4175 0,1937 -0,0666 0,0186 -0,2363 -0,2185 -0,3369 -0,1443 -0,0629 0,1907 0,3503 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,0938 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,1141 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 -0,0338 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 0,2918 0,2143 -0,0184 -0,0122 0,2885 0,3151 0,3377 0,6099 0,3395 0,1719 -0,1134 0,2112 0,0064 0,0347 0,0104 0,1368 -0,1014 0,2808 -0,6532 -0,5076 0,3503 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 0,2700 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 -0,1134 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 -0,1130 -0,2707 0,2845 0,3155 -0,1088 -0,3433 -0,2143 -0,0006 0,0394 0,0952 0,1345 -0,2707 0,2845 0,3155 -0,1088 -0,3433 -0,2143 -0,0006 0,0394 0,0952 -0,3555 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 0,1345 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000

suma 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Tabla 4.30 Segunda Comprobación del Escalamiento de la Matriz de Z+K.

X12 X2

2 X32 X1

4 X24 X3

4 (X1X2)2 (X1X3)

2 (X2X3)2 y2

0,0631 0,0820 0,0030 0,0242 0,0041 0,0067 0,0003 0,0090 0,0201 0,0001 0,0276 0,0696 0,0445 0,2640 0,0183 0,1898 0,0007 0,0923 0,1889 0,0526 0,0631 0,0820 0,0030 0,0242 0,0041 0,0067 0,0003 0,0090 0,0201 0,1253 0,0679 0,0979 0,0990 0,0187 0,2932 0,0861 0,0007 0,0007 0,0003 0,0071 0,0439 0,0834 0,0011 0,0383 0,0356 0,0040 0,0042 0,0470 0,0466 0,0129 0,0444 0,0028 0,0053 0,0405 0,0110 0,0424 0,1031 0,0728 0,0987 0,0002 0,0286 0,0080 0,0001 0,0050 0,0037 0,0204 0,0016 0,0031 0,0207 0,1743 0,0375 0,0044 0,0003 0,0558 0,0478 0,1135 0,0208 0,0040 0,0364 0,1227 0,0286 0,0080 0,0001 0,0050 0,0037 0,0204 0,0016 0,0031 0,0207 0,0088 0,0286 0,0080 0,0001 0,0050 0,0037 0,0204 0,0016 0,0031 0,0207 0,0130 0,0239 0,0064 0,0003 0,0007 0,0001 0,0110 0,0720 0,0017 0,0011 0,0011 0,0239 0,0064 0,0003 0,0007 0,0001 0,0110 0,0720 0,0017 0,0011 0,0852 0,0459 0,0003 0,0001 0,0832 0,0993 0,1140 0,3720 0,1153 0,0296 0,0129 0,0446 0,0000 0,0012 0,0001 0,0187 0,0103 0,0789 0,4266 0,2577 0,1227 0,0239 0,0064 0,0003 0,0007 0,0001 0,0110 0,0720 0,0017 0,0011 0,0729 0,0201 0,0582 0,1481 0,0709 0,0078 0,0143 0,0002 0,0028 0,0068 0,0129 0,0201 0,0582 0,1481 0,0709 0,0078 0,0143 0,0002 0,0028 0,0068 0,0128 0,0733 0,0809 0,0996 0,0118 0,1178 0,0459 0,0000 0,0016 0,0091 0,0181 0,0733 0,0809 0,0996 0,0118 0,1178 0,0459 0,0000 0,0016 0,0091 0,1264 0,0201 0,0582 0,1481 0,0709 0,0078 0,0143 0,0002 0,0028 0,0068 0,0181 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0002 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,1956 0,0000 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0000

suma 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

178

Tabla 4.31 Matriz Z+K Escalada

X1 X2 X3 X12 X2

2 X32 X1X2 X1X3 X2X3 y

-0,2512 -0,2864 -0,0549 -0,1554 0,0640 0,0817 0,0160 -0,0950 -0,1417 -0,0091 -0,1660 -0,2639 -0,2109 -0,5138 -0,1352 -0,4357 -0,0265 0,3038 0,4346 0,2294 -0,2512 -0,2864 -0,0549 -0,1554 0,0640 0,0817 0,0160 -0,0950 -0,1417 -0,3540 -0,2605 -0,3129 0,3147 0,1368 0,5415 0,2934 -0,0265 0,0269 -0,0186 0,0841 -0,2096 -0,2888 0,0338 -0,1956 0,1887 -0,0633 -0,0649 -0,2167 -0,2159 -0,1136 0,2108 -0,0525 0,0729 -0,2012 -0,1051 -0,2059 -0,3210 0,2697 0,3142 -0,0140 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,4175 0,1937 -0,0666 0,0186 -0,2363 -0,2185 -0,3369 -0,1443 -0,0629 0,1907 0,3503 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,0938 0,1690 -0,0896 0,0079 0,0709 -0,0608 0,1427 0,0397 -0,0555 -0,1440 -0,1141 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 -0,0338 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 0,2918 0,2143 -0,0184 -0,0122 0,2885 0,3151 0,3377 0,6099 0,3395 0,1719 -0,1134 0,2112 0,0064 0,0347 0,0104 0,1368 -0,1014 0,2808 -0,6532 -0,5076 0,3503 0,1546 0,0801 0,0177 -0,0256 -0,0074 -0,1049 -0,2684 0,0411 0,0328 0,2700 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 -0,1134 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 -0,1130 -0,2707 0,2845 0,3155 -0,1088 -0,3433 -0,2143 -0,0006 0,0394 0,0952 0,1345 -0,2707 0,2845 0,3155 -0,1088 -0,3433 -0,2143 -0,0006 0,0394 0,0952 -0,3555 -0,1419 0,2413 -0,3849 0,2663 -0,0883 0,1196 0,0143 -0,0526 -0,0825 0,1345 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 -0,0152 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,4422 0,0000 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 -0,0152 0,0000

4.7 Análisis de Datos de Regresión Ridge Generaliza da

Con la matriz de Z+K se corre la regresión de ridge generalizado en el

software de minitab y obtenemos la siguiente información.

Tabla 4.32 Ecuación de Regresión de Ridge Generalizada

y = - 0,0000 + 0,201 X1 + 0,161 X2 - 0,102 X3 - 0,016 X1

2 + 0,384 X22 - 0,474 X3

3 - 0,076 X1X2 - 0,264 X1X3 + 0,215 X2X3

179

Predictor Coef SE Coef T P Constant -0,00002 0,03355 -0,00 1,000 X1 0,2005 0,1862 1,08 0,294 X2 0,1609 0,2535 0,63 0,533 X3 -0,1024 0,1914 -0,54 0,598 X1X1 -0,0164 0,2996 -0,05 0,957 X2X2 0,3838 0,2480 1,55 0,137 X3X3 -0,4737 0,2910 -1,63 0,119 X1X2 -0,0756 0,2029 -0,37 0,713 X1X3 -0,2643 0,2726 -0,97 0,344 X2X3 0,2151 0,2958 0,73 0,476 S = 0,1838 R-Sq = 32,5% R-Sq(adj) = 2,1% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 9 0,32470 0,03608 1,07 0,426 Residual Error 20 0,67528 0,03376 Total 29 0,99998 Source DF Seq SS X1 1 0,04771 X2 1 0,00153 X3 1 0,00009 X1X1 1 0,06580 X2X2 1 0,03789 X3X3 1 0,13590 X1X2 1 0,00400 X1X3 1 0,01391 X2X3 1 0,01786

Tabla 4.33 Cuadrado Medio del Error de Ridge Generalizada

CME

0,03376

180

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

El Teorema de Gauss Markov nos dice que el estimador calculado por

mínimos cuadrados es el estimador más eficiente es varianza mínima, pero no

hay garantía de que ese varianza sea pequeña, entonces si el estimador de

mínimos cuadrados tienen la varianza mínima de estimadores sesgados,

tendremos que utilizar estimadores sesgados para reducir más esa varianza.

Supóngase que 1 y 2 son estimadores insesgados de θ. Esto indica

que la distribución de cada estimador está centrada en el verdadero valor de θ.

Sin embargo, las varianzas de estas distribuciones pueden ser diferentes,

puesto que 1 tiene una varianza más pequeña que 2, entonces es más

probable que el estimador 1 produzca un estimado más cercano al verdadero

valor de θ. Cuando se elige uno de entre varios estimadores, un principio lógico

de estimación es seleccionar el estimador que tenga la menor varianza.

Si se consideran todos los estimadores insesgados de θ, el que tiene la

menor varianza recibe el nombre de estimador insesgado de varianza mínima

(EIVM).

A veces es necesario utilizar un estimador sesgado. En tales casos,

puede ser importante el cuadrado medio del error (CME) del estimador. El CME

de un estimador es el cuadrado esperado de la diferencia entre y θ.

El cuadrado medio del error (CME) de un estimador del parámetro θ

esta definido como:

CME ( ) = E( – θ)2

181

El cuadrado medio del error puede rescribirse de la siguiente manera:

CME ( ) = E [ – E( )]2 + [ – E( )]2

= V( ) + (sesgo)2

Esto es, el error cuadrático medio de es igual a la varianza del

estimador más el cuadrado del sesgo. Si es un estimador insesgado de θ, el

error cuadrático medio de es igual a la varianza de .

A veces se encuentra que es preferible utilizar estimadores sesgados

que estimadores insesgados, ya que tienen un error cuadrático menor. Es decir,

es posible reducir de manera considerable la varianza del estimador mediante

la introducción de un sesgo relativamente pequeño. Ya que la reducción en la

varianza es mayor que el cuadrado del sesgo, se obtiene un estimador

mejorando desde el punto de vista del error cuadrático medio. Por ejemplo, la

Figura 1 se presenta la distribución de probabilidad de un estimador sesgado

1 que tiene una varianza más pequeña que el estimador insesgado 2. Un

estimado que se basa en 1 puede estar más cerca del valor real de θ que el

basado en 2.

Figura 5.1 Estimador Sesgado 1 Tiene una Varianza Mas Pequeña que el

Estimador Insesgado 2

Distribución de 1

182

Un estimador que tiene un error cuadrático medio menor o igual que el

error cuadrático medio de cualquier otro estimador, para todos los valores del

parámetro θ, recibe el nombre de estimador optimo de θ. La existencia de este

tipo de estimadores es rara.

5.1 Estimadores

La comparación de estimadores se va a realizar a través del cuadrado

medio del error obtenido por el método de regresión de mínimos cuadrados y el

método de regresión ridge generalizado.

5.1.2 Ecuación de Regresión y Cuadrado Medio del Er ror del Método de

Regresión de Mínimos Cuadrados

Tenemos la ecuación de la regresión de mínimos cuadrados mostrada

en la Tabla 4.22 que es: y = - 0,0000 + 0,215 X1 + 0,43 X2 - 0,168 X3 - 0,12 X12

+ 0,745 X22 - 0,20 X3

2 - 0,095 X1X2 - 1,30 X1X3 + 1,36 X2X3. El cuadrado medio

del error obtenido de mínimos cuadrados mostrado en la Tabla 4.23 es,

0.04046, por lo que:

1 = 0.04046

5.1.3 Ecuación de Regresión y Cuadro Medio del Erro r del Método de

Regresión Ridge Generalizado

Una vez obtenida la información con el método de regresión de mínimos

cuadrados se citan los resultados de del método de regresión de ridge

generalizado y tenemos la ecuación de regresión mostrada en la Tabla 4.31

que es: y = - 0,0000 + 0,201 X1 + 0,161 X2 - 0,102 X3 - 0,016 X12 + 0,384 X2

2 -

0,474 X33 - 0,076 X1X2 - 0,264 X1X3 + 0,215 X2X3. El cuadrado medio del error

183

de la regresión de ridge generalizado mostrado en la tabla 4.32 es: 0.03376,

por lo que:

2 = 0.03376

5.2 Obtención de la Eficiencia Relativa a través

del Cuadrado Medio del Error

El cuadrado medio del error es un criterio importante para comparar dos

estimadores. Sean 1 y 2 dos estimadores del parámetro θ, y CME( 1) y

CME( 2) los cuadrados medios del error de 1 y 2. Entonces, la eficiencia

relativa de 2, con respecto a 1 se define como:

ER = ECM( 1)

ECM( 2)

Ahora tenemos que tenemos los valores de los dos cuadrados medios

del error CME de MC = 0.04046 y CME de RG = 0.03376, podemos obtener la

eficiencia relativa haciendo la siguiente comparación.

ER = CME de MC = θ1 = CME de RG θ2

ER = 1.198

Si la eficiencia relativa es menor que uno, entonces puede concluirse

que 1 es un estimador más eficiente de θ que 2, en el sentido de que tiene

un error cuadrático medio más pequeño.

ER < 1 � 1 es un estimador más eficiente

ER = 1.198 > 1 � 2 es un estimador más eficiente.

0.04046

0.033761.198=

184

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Dado que la modelación de un sistema a través de un polinomio, se

utiliza para determinar el comportamiento de una variable de respuesta sujeta a

las variables regresoras, con la finalidad de determinar los efectos que cada


conjunto de coeficientes que optimizan la respuesta. Los cuales se obtienen a

través de la minimización de la varianza en la estimación representada por el

cuadrado medio del error del estimador con que fueron estimados.


estimación es seleccionar el estimador que tenga la menor varianza. A través







un estimador sesgado de coeficientes de regresión, para esto se han


generalizada, propuesto por Hoerl y Kennard (1970), que es una extensión el

procedimiento de regresión ridge, y se aplica la regresión del método de

mínimos cuadrados y la regresión del método de regresión ridge generalizado a

un proceso de moldeo de plástico con la finalidad de ejemplificar su diferencia.





185

Dado que el método de mínimos cuadrados no tiene dentro de su

estructura un método de optimización para determinar el efecto que la

multicolinealidad tiene sobre los coeficientes estimados, y permite la regresión

ridge generalizada tomar importancia en resolver este problema.

A medida que la multicolinealidad crece entre las variables regresoras

que determinan el comportamiento de una variable de respuesta, los

coeficientes estimados por mininos cuadrados del modelo polinomial que

modela el comportamiento, se vuelven erráticos e impredecibles, debido a

efectos desastrosos que la multicolinealidad tienen sobre su varianza,

afortunadamente la regresión ridge generalizada minimiza este problema al

contraer los coeficientes de MC, logrando coeficientes ajustados con menor

varianza, dando estabilidad, así a la producción del modelo.

Una vez obtenida la eficiencia relativa ER a través del cuadrado medio

del error de la regresión por mínimos cuadrados y de la regresión ridge

generalizada podemos concluir que la regresión ridge generalizada es mas

eficiente que la regresión de mínimos cuadros para ajustar un polinomio de un

proceso de moldeo de plástico. Como la regresión de ridge generalizada

determina coeficientes con sesgo presentan mayor estabilidad que los

estimados por mínimos cuadrados cuando está presente el problema de

multicolinealidad.

186

7. BIBLIOGRAFÍA

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