instituto tecnológico de buenos aires física iii

Instituto Tecnológico de Buenos Aires Física III

1

GUÍA DE ACTIVIDADES Nº 6

1.- Exámenes rápidos: Capítulo 9: 9.1 – 9.2 – 9.3 – 9.4 – 9.5. Capítulo 10: 10.1 – 10.2 – 10.3 – 10.4 – 10.5 Nota: Las respuestas de los denominados exámenes rápidos se encuentran en uno de los apéndices. 2.- Preguntas: Capítulo 9: Objetivas: 1 – 6 – 7 – 10. ; Conceptuales: 8 – 10. Capítulo 10: Objetivas: 1 – 4 – 7. ; Conceptuales: 4 – 8 – 9. 3.- Ejemplos resueltos: Capítulo 9: 9.1 – 9.2 – 9.3 – 9.4 – 9.5 – 9.6 – 9.7 – 9.8 – 9.9. Capítulo 10: 10.1 – 10.2 – 10.3 – 10.4 – 10.5 – 10.6. 4.- Problemas: 4.1.- Un tubo de cartón está rodeado por dos arrollamientos de cable aislado, como muestra la figura. Los terminales a y b del arrollamiento A pueden conectarse a una batería a través de una llave inversora. Establezca cuándo la corriente inducida en una resistencia R es de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en las siguientes circunstancias: a) La corriente en el arrollamiento A es de izquierda a derecha y está aumentando. b) La corriente es de b a a y está disminuyendo. c) La corriente es de b a a y está aumentando. Rta: a) De derecha a izquierda b) De derecha a izquierda c) De izquierda a derecha. 4.2.- Para el par de bobinas acopladas magnéticamente que muestra la figura, determinar el sentido de la intensidad de corriente eléctrica que atravesará el galvanómetro: Horario/Antihorario. En cada caso partir de la situación en la que K2 está inicialmente cerrada. a) La bobina 1 se acerca a la 2. b) La bobina 2 se hace girar 90°. c) Se cierra la llave K1. d) Se abre la llave K2.

CASO a b c d


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Rta: 1- Bobinas coplanares H A H A 2- Bobinas coaxiales H A H A

4.3.- Una espira conductora circular que se encuentra en el plano xy y tiene por centro el origen de coordenadas, tiene un radio de 0,10(m) y una resistencia de 5(Ω). Si se sabe que existe un campo de inducción magnética dado por:

r (B t T k= 0 20 103, sen , calcular la intensidad de corriente eléctrica

inducida en la espira. Solución: Para cualquier instante t el flujo de inducción magnética es en esta situación:

ABB =Φ

donde: A = π r2 = π ( 0,10 m )2 = π 10-2 (m2)

)Wb(t10sen102m10)T(t10sen2,0 33223B

−− ×π=×π×=Φ

)V(t10cos2dt

d 3B π−=Φ

−=ε .

Para el cálculo de la intensidad de corriente eléctrica inducida no interesa la polaridad de la fem inducida (la polaridad de la fem cambia con el tiempo), por lo tanto, tomando en cuenta la ley de Ohm:

Ω

π==

5)V(t10cos2

Rei

3

)A(t10cos4,0i 3π=

4.4.- Un cuadro rectangular cuyos lados miden h = 40 (cm) y a = 10 (cm) se traslada en el plano del dibujo con velocidad constante de 20 (m/s) dirigiéndose hacia una región donde el campo de inducción magnética B es uniforme, normal a dicho plano, y de 1, 25 (T). La resistencia del cuadro entre los puntos X e Y es de 5(Ω). Calcular la energía total disipada en todo el viaje. Rta: E = 200 (mJ)


3

4.5.- La espira rectangular de la figura se encuentra en el instante inicial en la posición x = 0. La espira se mueve a una velocidad constante de 10 (m/s) respecto de un conductor recto e infinitamente largo. Calcular la fem inducida en la espira cuando se halla a 10 (cm) del conductor recto. Solución: En primer lugar hay que calcular el flujo a través de la espira; para lo cual hay que tener presente que:

Bix

=µ

π0

2 y dS = 0,5 dx

Φ = =+

+∫ µ

π

µ

π0

0 30

20 5

0 52

0 3ix

dxi v t

v tv t

v t

,,

ln,,

Por la ley de Faraday:

( ) ( )[ ]tvln3,0tvlntd

d2

5,0idtd 0 −+

π

µ−=

Φ−=ε

−

+π

µ−=ε

tvv

3,0tvv

25,0i0

Cuando la espira se encuentra a 10 (cm) del conductor recto e infinitamente largo a transcurrido un tiempo t:

)s(01,0)s/m(10

)m(1,0vxt ===

Por lo tanto, la fem inducida resulta ser:

( )V100252

5,0iV01,010

103,001,010

102

5,0i 00 −π

µ−=

×

−+×π

µ−=ε V375µ=ε⇒

Si la espira se moviera según lo muestra la figura se tiene:

Bix

=µ

π0

2 y dS = 0,5 dx

y el flujo a través de la espira resulta ser:

)4(ln4

ixd5,0x2i 04,0

1,00

π

µ=

π

µ=Φ ∫


4

Como se observa Φ= cte y por lo tanto no hay fem inducida. Es decir: 0=ε 4.6.- Dos conductores rectilíneos paralelos y separados por una distancia L = 20 (cm) se han unido en dos de sus extremos mediante una resistencia R de 100 (Ω). Una barra conductora en contacto con ambos conductores y normal a ellos se desplaza con una velocidad constante v = 4 (m/s). En dirección normal al plano determinado por los conductores, existe un campo de inducción magnética uniforme T8,0B = . a) Calcular la potencia eléctrica en la resistencia R. b) Si el campo de inducción magnética tuviera la misma dirección y sentido pero su módulo fuera B = kt2 donde k es una constante positiva, calcular la fem inducida como una función del tiempo. Considerar que en t = 0 la barra conductora está próxima a la resistencia R. Rta: a) 4,1 (mW) ; b) 3 k Lv t2 (módulo de la fem inducida). 4.7.- Un disco metálico de área A gira alrededor de su eje con una frecuencia f. Perpendicular al disco existe un campo de inducción magnética uniforme

rB. Calcular la diferencia de potencial (en

valor absoluto) entre el borde del disco y su eje. Rta: BAf 4.8.- Una barra de 25 (cm) de longitud se traslada en el vacío, en un campo de inducción magnética uniforme de 0,4 (T), moviéndose en el plano del dibujo, como se muestra en cada caso, con una velocidad de 30 (m/s). Hallar la diferencia de potencial que se establece entre sus extremos, e indicar su polaridad. Rta: a) Caso 1: 3V. Polaridad positiva arriba. b) Caso 2: -2,6 V. Polaridad positiva abajo.

c) Caso 3: 0 V. 4.9.- Una varilla metálica JK de 1,2 (m) de longitud se hace girar alrededor de un eje normal a la misma, que la corta a 30 (cm) de su extremo J. Paralelo al eje de rotación, hay un campo uniforme de inducción magnética, de modo que cuando gira a 500 (rpm) se registra una diferencia de potencial Vj - Vk = 500 (µV). Determinar la intensidad del campo, indicando su sentido en un esquema. Rta: B = 2,65 x 10-5 (T) ;

vB tiene sentido opuesto a vω .

4.10.- Problema 60 del Capítulo 9 – Ley de Faraday. 4.11.- Problema 71 del Capítulo 10 – Inductancia.

v 0,2 m100 Ω

B = 0,8 T


5

4.12.- En el circuito de la figura, el inductor tiene una inductancia de 6 (mH) y una resistencia de 3(Ω); la batería de 12 (V) tiene resistencia interna despreciable y la resistencia R es de 20 (kΩ). Se cierra la llave (inicialmente abierta) y 20 milisegundos después se la abre. Determinar: a) La intensidad de corriente eléctrica y la energía almacenada en el inductor, un instante antes de abrir la llave. b) La diferencia de potencial entre los bornes del inductor, un instante antes y un instante después de abrir la llave. Rta: a) iL = 4 (A) ; UL = 48 (mJ). b) VLant = 12 (V) ; VLdesp = -80 (KV). 4.13.- El circuito de la figura ha estado funcionando durante un tiempo muy largo con la llave abierta. En t = 0 se cierra la llave. Calcule y grafique la corriente que pasa por la fuente para todo instante posterior.

Rta: iVR

RR R

eR t

L= −+

−

1

2

1 21

1

4.14.- En un circuito RL serie con R = 6 (Ω) y L = 3 (H) se aplica una tensión constante V = 12 (V) en el instante t = 0, en que se cierra el interruptor. Calcular la potencia que absorbe la inductancia en función del tiempo. Rta: 24 2 4( ) ( )e e Wt t− −− 4.15.- Una bobina cuya inductancia es 200 (mH) y su resistencia es 40 (Ω), se conecta en el instante t = 0 a una batería de 24 (V) y resistencia interna despreciable. Determinar: a) Con qué ritmo crecerá la corriente: en t = 0 y en el instante en que la corriente es la mitad del máximo. b) En qué instante la corriente llegará al 99% de su valor máximo. Solución: a) Para un circuito serie RL se cumple:

V iR Ldidt

= +

ecuación diferencial que tiene como solución:

( )τ−−= /t0 e1ii

donde i0 = V / R y τ = L / R es la constante de tiempo. El ritmo de crecimiento de la intensidad de corriente eléctrica está dado por:

τ−= /teLV

tdid

En t = 0 se tiene:


6

)mH(200V24

LV

tdid

==

)sA(120

tdid=

El máximo valor de la intensidad de corriente eléctrica (que se alcanza cuando t →∞) es:

)A(6,040

V24RVi0 =

Ω==

y la constante de tiempo del circuito es:

s10540

mH200RL 3−×=

Ω==τ

El tiempo en que la corriente eléctrica alcanza el valor 0,3 A se obtiene a partir de:

( )3105/te16,03,0−×−−= ⇒ t s s= × −

= ×− −5 10 1

0 30 6

3 46 103 3ln,,

,

De esta manera el ritmo de crecimiento de la intensidad de corriente eléctrica en ese instante es:

)sA(e

1020024

tdid 33 105/1046,3

3−− ××−

−×=

)sA(60

tdid=

b) El tiempo en que la intensidad de corriente eléctrica es el 99% de la intensidad máxima se obtiene a partir de:

( )99100

10 05 10 3

i i e t= − − × −/ ⇒ t s= × −

−5 10 1

99100

3 ln ⇒ s023,0t=

4.16.- Problema 30 del Capítulo 10. 4.17.- Se devanan uniformemente 500 espiras de alambre sobre un objeto toroidal no magnético, de sección rectangular, cuyo radio interior es 2 cm, el exterior es 6 cm, y su altura es 5 cm. El eje del toroide coincide con un conductor rectilíneo indefinido. Hallar: a) el coeficiente de inductancia mutua entre ambos conductores. b) la fem que aparece entre los extremos del bobinado si la corriente que circula por el conductor rectilíneo es: i(t) = 50 sen(314 t) (A). Rta: a) M = 5,5 (µH) b) e = -86,35 cos (314 t) (mV). 4.18.- Una bobina de longitud 1 m, sección 10 (cm2) y 1000 vueltas lleva devanada en su centro una bobina corta pero de igual sección, de 20 vueltas. Calcular la inducción mutua M.


7

Rta: 25,1 (µH) 4.19.- Se tienen dos solenoides coaxiales (“de espiras apretadas”) de igual longitud pero distinta sección. La longitud de los solenoides es l = 30 (cm). El solenoide interior tiene un radio r1 = 1,5 (cm) y n1 = 700 vueltas/m. Las especificaciones correspondientes para el solenoide exterior son r2 = 3 (cm) y n2 = 500 vueltas/m. Hallar la inducción mutua M. (Considerar que los solenoides son rígidos y estacionarios y que en el interior de ellos el vector inducción magnética es uniforme). Solución: Primero calculamos la inducción mutua M12, suponiendo que por el solenoide interior circula una corriente eléctrica variable en el tiempo i1, que determina un flujo enlazante en el solenoide exterior, que es función del tiempo. La fem inducida en el solenoide exterior cumple con la relación:

dtdi-M=

dtd-N= 1

1212

22Φ

ε

donde el coeficiente de inducción mutua se puede obtener con la relación:

1

12212 i

N=M Φ

El módulo del vector inducción magnética en el solenoide interior es:

B n i1 0 1 1=µ ya que se considera que el campo de inducción magnética es uniforme. Como fuera del solenoide interior el campo de inducción magnética es cero, el flujo que atraviesa el solenoide exterior es, por cada vuelta:

211101112 rinAB πµ==Φ

El coeficiente de inducción mutua es:

1

211102

1

12212 i

rinlni

N=M πµ=

Φ

2

121012 rlnnM πµ= Para calcular M21, hay que determinar el flujo magnético enlazado por el solenoide interior, debido a una corriente eléctrica variable i2 en el solenoide exterior. El módulo del vector inducción magnética en el interior del solenoide exterior cuando por él circula una corriente i2 resulta ser:

B n i2 0 2 2=µ


8

Debido a que el solenoide interior es de sección menor, sólo es enlazado una parte del total del flujo generado por el solenoide exterior. Si se tiene en cuenta que el vector inducción magnética es uniforme, el flujo enlazado por cada vuelta es:

212201221 rinAB πµ==Φ

El coeficiente de inducción mutua es ahora:

2

212201

2

21121 i

rinlni

N=M πµ=

Φ

2

121021 rlnnM πµ=

Como era de esperar M12 = M21 = M y, por lo tanto, el coeficiente de inducción mutua depende de factores geométricos y del material utilizado como núcleo de los solenoides, que en este caso es el vacío. Finalmente:

M H H= × × × × × × = ×− −4 10 700 500 0 3 0 015 9 32 107 2 5π π, , , 4.20.- Un cable coaxial se compone de dos cilindros conductores de paredes muy delgadas cuyos radios son r1 y r2. a) Hallar la energía magnética total en el volumen de longitud l comprendido entre los cilindros. b) Utilizar el resultado de la parte a) para encontrar la inductancia del cable coaxial.

Rta: a) Ui l r

rm =µ

π0

22

14ln

4.21.- a) Encontrar una expresión para la densidad de energía magnética en función del radio para un toroide de sección rectangular. b) Si r1 = 5 (cm), r2 =10 (cm), a = 1(cm) y N = 1000 vueltas, encontrar la energía magnética total almacenada en el toroide. Suponer i = 0,5(A). c) Utilizar el resultado de la parte b para encontrar la inductancia del toroide. Solución: a) La inductancia de un toroide es:

L = 1

22

0rrln

2aN

π

µ y como mU = 2Li21 ⇒ mU =

1

222

0rrln

4aiNπ

µ

Para un radio genérico r:

mU = 1

220

rrln

4aiNπ

µ

Si se deriva respecto de r resulta:


9

drdUm =

r4aiN 22

0π

µ ⇒ d mU = drr4aiN 22

0π

µ pero mdU = mu ωd

donde ωd = radr2π . Si se reemplaza e iguala resulta:

mu = 22

220

r8iN

π

µ

b) r1 = 5 (cm) ; r2 = 10 (cm) ; a = 1 (cm) ; N = 1.000 ; i = 0,5 (A)

mU = 1

222

0rrln

4aiNπ

µ

Haciendo los cálculos es:

mU =1,73 x 10-4 (J)

c) mU = 2Li21 ⇒ L = 2

m

iU2 , si se reemplaza por los datos resulta:

L = 1,36 (mH)

4.22.- Se tiene un circuito oscilante: L = 10 (mH) y C = 1 (µF). a) ¿Qué carga, expresada en función de la carga máxima, existe en el capacitor cuando la energía está distribuida igualmente entre el campo eléctrico y el campo magnético? b) ¿Cuánto tiempo se requiere para que ocurra esta condición, suponiendo que el capacitor estaba totalmente cargado en t = 0?

Rta: a) q = qmax

2 b) 7,9 x 10-5 (s).

4.23.- En el circuito de la figura se cierra la llave cuando el condensador C1 posee una carga Q0 y el condensador C2 está descargado. Determine la corriente que circula y la carga de cada condensador como funciones del tiempo. Grafique los resultados obtenidos.

Rta: i = A sen ω t donde AQLC

CC C

=+

0

1

2

1 2

Q CQC

Ld id t

Q QCC

C Ld id t1

0

22 0

21= +

= −

−; , donde

1 1 1

1 2C C C= +

4.24.- Se tiene un circuito RLC serie. Obtener la corriente transitoria i = i (t) y representarla en un gráfico: R = 200 Ω ; L = 0,1 H ; C = 10 µF y Vc = 200 V a t = 0. Rta: i(t) = -2000 t e-1000 t (A)


10

4.25.- Se tiene un circuito RLC serie con el condensador inicialmente cargado, donde L = 10 (mH), C = 1 (µF) y R = 0,1 (Ω). Calcular el tiempo en el que las oscilaciones se reducen a la mitad de la amplitud. Rta: t = 0,14 (s) 4.26.- Un circuito RLC en serie, con R = 3 (kΩ), L = 10 (H) y C = 200 (µF), con una fuente de tensión constante V = 50 (V) aplicada en t = 0. a) Obtener la corriente transitoria, si el capacitor está inicialmente descargado. b) Encontrar el tiempo en que la corriente transitoria se hace máxima. Rta: a) i (t) = 16,9 (e-1,7t - e-298,3t) (mA) b) 17,4 (ms). 4.27.- Una fuente de 10 V se conecta en t = 0 a un circuito RLC serie, con R = 5 (Ω), L = 0,1 (H) y C = 500 (µF). Encontrar la diferencia de potencial en función del tiempo a través de la resistencia. Rta: V(t) = 3,6 e-25t sen 139t(V).

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