instituto superior de formación técnica nº 177 · permitirán adecuar el trabajo a las...

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Instituto Superior de Formación Técnica Nº 177

Ciudad de Libertad (Merlo)

Curso de Ingreso

Matemática

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Los números naturales

también sirven para ordenar.

Así, decimos que la Tierra es el

tercer planeta a partir del Sol,.

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. NÚMEROS A lo largo de esta primer etapa recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Estos temas son en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debemos brindarle mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y sirva de apoyo para futuras unidades. A lo largo del módulo encontrarán una abundante y variada presentación de actividades, las cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias. Ahora bien, es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática. 1.1. Números Naturales A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números. N = {

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }. Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número

natural. En símbolos, si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N. Observemos que.. 1 - 1 = 0 ∉ N

1 - 2 = -1 ∉ N 3 – 1 = 2 ∈ N

Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número natural. Así, si a y b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N. Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con: 1.2. Números Enteros Definimos al conjunto de los números enteros como

Z = N0

+ ( el conjunto de los números negativos)

N0 = N ∪ {0}. ( la U significa unión , mas, agregando.... etc.. el 0)

I S F T Nº 177 Prof Mónica Tamoni

Curso de Ingreso MATEMÄTICA

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Para pensar…. ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?. ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Efectuar las siguientes operaciones: a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5= b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1)= c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3)= “Recuerden que primero deben separar en término, y los signos operadores + y – son quienes mandan primero” Vamos con el primer ejercicio!!! a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5= El primer término es 5 no tengo nada para resolver El segundo termino es - (-2) aquí hay que recordar las reglas de los signos.. En el tercer témino tenemos primero que realizar la operación de división, 8 dividido 4, teniendo en cuenta para el resultado también la regla de los signos... - 8 - 4 = 2 Y en el cuarto término no debemos resolver nada... Ahora bien, nuestro cálculo quedó así: 5 + 2 + 2 – 5= Ahora solo resta sumar los de igual signo .... 5 + 2 + 2 =9 Nuestra operación se resumió a: 9 – 5= 4 Y terminamos... No es necesario realizar todos estos pasos!!!

Ahora les quedan para resolver los ejercicios b) y el c)

Signos distintos resultado “-” ( mas por menos o menos por mas →menos )

Signos iguales resultado “+” ( mas por mas o menos por menos → mas)



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Máximo común divisor: Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente. Se escribe mcd (a , b). Si a = 72 y b = 84 resulta

72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 72= 2. 2. 2 . 3 . 3 . 1 84 = 2 . 2 . 3 .1 23 32 22 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12,

o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

Mínimo común multiplo: Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

Se escribe mcm (a , b)

Tomando los números del ejemplo anterior resulta mcm (72 , 84) = 23 . 32

. 7 = 504 entonces 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84. Recordando algunos signos

Recordemos que.. para realizar la

descomposición de un número en factores

primos comenzamos dividiendo, de ser posible, por los

números primos 2, 3, 5, 7, 11, … hasta

obtener el número 1. La segunda columna obtenida presenta la descomposición del número en factores

primos.



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Por ejemplo si en lenguaje matematico quiero expresar que 3 es menor que 5 la forma de escritura es la siguiente:

Actividades de Aprendizaje 1. El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .

a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ? b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?

2. a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14. b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.

3. En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son

cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.

1.3 Números Racionales Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción

donde n y m son enteros y n ≠ 0. (distinto de cero, no puede ser cero) Con Q denotamos la totalidad de los números racionales. Para pensar…. ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

Hallar un número racional entre

Hallar un número racional entre

Ejemplo:

El número racional tres cuartos puede expresarse como:

forma fraccionaria forma decimal Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

Numerador

denominador



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Ejemplos:

Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:

Parte Parte Entera decimal

Parte periódica

Parte no periódica A continuación les indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria

FORMA DECIMAL

EJEMPLO OBSERVACIÓN

Exactas

En el numerador aparece en la parte decimal, y en el denominador tenemos el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tengo.

Perí

odic

as

Pura

s

En el numerador aparece la parte periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período.

Mix

tas

En el numerador aparece la diferencia entre la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica .



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Más ejemplos Forma decimal exacta

Forma decimal periódica pura

Forma decimal periódica mixta

Actividades de Aprendizaje

1. Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos

Operaciones con fracciones Suma o Resta Igual denominador

Distinto denominador Para efectuar la adición o la resta de fracciones de distinto denominador, se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, luego se divide por el denominador de la primera fracción y a este resultado se lo multiplica por el numerador de la fracción , se repite el porcedimiento para todas las fracciones que debo sumar.

buscamos el mcm ( 5,3,15)= 5.3=15



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6 = 3.2.1 8 = 23.1 2 = 2. 1

3. 23 = 24

Multiplicación y división

Para realizar la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Para realizar la división de fracciones se realizan los siguientes pasos:

1) Se cambia el signo de división por el de multiplicación

2) Se invierta la segunda fracción

Ejemplos:

1 : 5 = 1 × 4 = 4 : 2 = 2

2 4 2 5 10 : 2 5 3 : 8 = 3 × 7 =

5

21

7 5 8 40

Se cambia la división por multiplicación y se invierte la segunda fracción.

Simplificar Simplificar una fracción significa dividir por un mismo número tanto el numerador como el denominador, para que la fracción (mostrada ahora con números distintos pero menores) mantenga su proporcionalidad (que su valor se mantenga).



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Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el numerador y denominador sean divisibles por un número común. Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella fracción que no se puede simplificar más (achicar más).

Ejemplos:


1. Una aleación está compuesta por de cobre, de estaño y de cinc. ¿Cuántos kilogramos de

cada metal habrá en 348 kg. de aleación?. 2. Juan toma la mitad de una cuerda; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda,

María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la

longitud de la cuerda? 3. Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los de la edad de su padre y Carlos los .

¿Cuál es el mayor?. 4. 5.



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1.4 Números Reales A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, un número irracional expresado en forma decimal no es exacto ni periódico Ejemplos: a) 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. b) π ≅ 3,141592654 El símbolo ≅ indica que se esto representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc. c) e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3y5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e ≅ 2,71828. La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales


1. Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.

a) b) 0,494949... c) 3,75 d) 0,141144111444

e) 3,2222... f) 0,437537537... g) 0,101001000100001... h) 7 2. Escribir:

a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2 b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2 c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2

Curiosidades!! El número π aparece al calcular la

longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población animal o

vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva. Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los cables

entre un poste y otro determinan una curva en cuya ecuación también está

presente el número e. Otro número irracional muy famoso,

llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4 que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo cálculo con los lados de una tarjeta de crédito. ¿No te parece curioso?

Observemos que... No existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los demás. Además, entre dos números reales dados cualesquiera existen infinitos números racionales, e infinitos números irracionales.



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3. Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a) 3,2222........ b) 0,101001000100001......... c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........

4. Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional

Potenciación y Radicación en R

Recordemos que... n veces donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que llamaremos exponente. Ejemplo:

Por convención se tiene, para a ≠ 0 que Ejemplo:



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No tiene sentido considerar en el conjunto R,

dado que no existe un

número real tal

Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:

Producto de potencias con la

misma base se suman el exponente .

Cociente de potencias con la

misma base se restan los exponentes.

Potencia de una potencia se

multiplica

Potencia de un producto se

distribuye el exponente

Potencia de un cociente se

distribuye

Definimos

= b si = a donde: n es un número natural. se lee raíz n-ésima de a Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.

Observemos que ... para que la definición tenga sentido,

• si n es impar, a puede ser cualquier número real • si n es par, a debe ser un número real positivo



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3

La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia

=

=


1. Calcular las siguientes potencias

2.

3.

4.

5.

6.

7.



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4

8.

9.

10.

11.



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5

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

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