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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

“Estimación del ancho de banda para comunicaciones satelitales

utilizando la teoría de propagación en medios con dispersión”

TESIS

Que para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

PRESENTAN:

Ing. Rabindranath Reséndiz Vázquez

Director de Tesis: Dr. Vladislav Kravchenko Cherkasski.

México D.F. 2004

iii

Índice

Relación de figuras y tablas

v

Resumen vii

Abstract viii

Objetivo y justificación

ix

Introducción

1

Capítulo 1 Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio 4

1.1 La ionósfera

4

1.2 Ionización

1.2.1 Actividad solar

1.2.1.1 Manchas solares

1.2.1.2 Flujos solares

1.2.1.3 Brillos solares

8

9

10

11

11

1.3 Densidad electrónica y frecuencia de colisiones en la ionósfera

12

1.4 Capas de la ionósfera

1.4.1 La capa D

1.4.2 La capa E

1.4.3 La capa F

15

15

16

17

1.5 Permitividad y conductividad de la ionósfera

18

1.6 Reflexión de las ondas de radio en la ionósfera

20

iv

Capítulo 2 Propagación de ondas en medios con dispersión

24

2.1 Velocidad de propagación de una onda electromagnética y el índice

de refracción

24

2.2 Índice de refracción en la ionósfera Medios con dispersión

26

2.3 Medios con dispersión 27

2.4 Propagación de ondas en medios con dispersión

2.4.1 Dispersión de primer orden

2.4.2 Dispersión de segundo orden

29

33

36

2.5 Relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase

39

2.6 Ondas en medios con absorción

40

Capítulo 3 Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y

análisis de resultados

43

3.1 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de fase 45

3.2 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de grupo

3.2.1 Procedimiento para el cálculo del ancho de banda

49

54

3.3 Presentación y comparación de resultados 57

Conclusiones

74

v

Bibliografía 75

Apéndice A Asignación de frecuencias para comunicaciones satelitales.

Apéndice B Programa para el cálculo del ancho de banda en el día para

Comunicaciones satelitales.

Apéndice C Programa para el cálculo del ancho de banda en la noche para

Comunicaciones satelitales.

78

82

87

Relación de figuras y tablas

Figura

Descripción Página

1.1 Capas de la ionósfera 5

1.2 Reflexión de ondas en la ionósfera 7

1.3 La ionósfera de noche y día 9

1.4 Concentración electrónica en la ionósfera 13

1.5 Frecuencia de colisiones en la ionósfera 13

1.6 Frecuencias por encima de 30 MHz ya no se reflejan 18

1.7 Refracción en la ionósfera y escape de la onda 21

3.1 Trayectoria de la señal hacia el satélite 44

3.2 Trayectoria de la señal y distancia en la ionósfera 48

3.3 Distancia recorrida por la señal en la ionósfera de acuerdo al

ángulo de elevación del satélite

55

3.4 Anchos de banda en el día para frecuencias de 10 a 200 GHz 65




vi

Figura Descripción Página





3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de 10 a 200 GHz 73

Tabla

Descripción Página

3.1 Valores de N y ν de acuerdo con la altura 52

3.2 Frecuencias de la banda C, enlace de subida. Día. 58

3.3 Frecuencias de la banda C, enlace de bajada. Día. 58

3.4 Frecuencia de la banda X, enlace de bajada. Día. 58

3.5 Frecuencias de la banda Ku, enlace de subida. Día. 59

3.6 Frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada. Día. 59

3.7 Frecuencias de la banda Ka, enlace de subida. Día. 60

3.8 Frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada. Día. 60

3.9 Frecuencia de la banda L, enlace de subida. Día. 61

3.10 Frecuencia de la banda L, enlace de bajada. Día. 61

3.11 Frecuencias de la banda C, enlace de subida. Noche. 61

3.12 Frecuencias de la banda C, enlace de bajada. Noche. 62

3.13 Frecuencia de la banda X, enlace de bajada. Noche. 62

3.14 Frecuencias de la banda Ku, enlace de subida. Noche. 62

3.15 Frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada. Noche. 63

3.16 Frecuencias de la banda Ka, enlace de subida. Noche. 63

3.17 Frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada. Noche. 64

3.18 Frecuencia de la banda L, enlace de subida. Noche. 64

3.19 Frecuencia de la banda L, enlace de bajada. Noche. 64

A.1 Bandas de frecuencia para comunicaciones satelitales 71

vii

Resumen

En este trabajo hemos hecho una estimación más precisa del ancho de banda para

frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales, por medio de considerar la teoría de

propagación en medios con dispersión.

Al inicio, tenemos una introducción general sobre la ionósfera, en ésta, tienen lugar algunos

fenómenos físicos principalmente provocados por la actividad solar, de los cuales, la

ionización o separación de los electrones de las moléculas es de nuestro interés por los

efectos que tiene en la propagación de ondas electromagnéticas. Los principales factores

que intervienen en nuestro trabajo son la concentración electrónica y la frecuencia

promedio de colisiones, las cuales varían dependiendo de la altura.

A continuación, introducimos el concepto de velocidad de grupo, que describe la velocidad

del movimiento del grupo de ondas que componen a la señal de información. En los medios

con dispersión, como la ionósfera, el espectro de las señales sufre una deformación, debida

a que en tales medios, diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades. Para calcular

el ancho de banda máximo que se permite, debemos tomar en cuenta tal deformación.

Mediante considerar la velocidad de grupo promedio de la señal en la ionósfera, estimamos

el retardo de las componentes extremas de la señal y hacemos el cálculo del ancho de banda

con el que se tiene una diferencia de fase mucho menor que 2π, este es el ancho de banda

máximo permisible. También investigamos el cambio provocado en el ancho de banda por

el ángulo de elevación del satélite y la variación de los parámetros de la ionósfera durante

el día y la noche.

Este procedimiento para el cálculo del ancho de banda, con la teoría utilizada y los

parámetros considerados, permite obtener una estimación más precisa, la cual, en la parte

final del trabajo, comparamos con los resultados obtenidos mediante otros dos métodos.

viii

Abstract

In this work we have made a more precise estimation of the bandwith for frequencies used

in sattelite communications by means of taking in account the dispersive media propagation

theory.

First, we give a general introduction to the ionosphere, on which, some physical

phenomena take place, mainly caused by Sun´s activity, among these phenomena,

ionization or removal of the electrons from the molecules is of our concern because of its

effects on the propagation of electromagnetic waves. Two parameters mainly matter in our

work, the electronic concentration and the average collision frequency, which vary

depending on the altitude.

Next, we introduce the notion of the group velocity that describes the velocity of a wave

packet that constitutes the information signal. In dispersive media, the spectrum of the

signal suffers deformation, due to the fact that, in such media, different frecuencies travel at

different velocities. In the calculation of the maximum bandwith such deformation should

be taken in account.

Considering the average group velocity of the signal in the ionosphere, we estimate the

delay of the extreme components of the signal and calculate the maximum bandwith which

produces a phase difference much less than 2π. We also investigated the change on the

bandwith caused by the elevation angle of the sattelite and the variation of the ionosphere

parameters during the day and the night.

This procedure for the calculation of the bandwith, because of the theory and the

parameters considered, allows us to obtain a more precise estimate which in the final part of

the work we compare with the results obtained by the aid of other two methods.

ix

Objetivo Obtener una estimación más precisa del ancho de banda para comunicaciones satelitales,

utilizando la teoría de propagación de ondas electromagnéticas en medios con dispersión.

Justificación Uno de los principales factores a considerar para el establecimiento de un sistema de

comunicaciones satelitales es el cálculo del ancho de banda que se puede utilizar, dado que

el espectro de frecuencias es un recurso finito y tiene diferentes asignaciones ya

establecidas. Es importante administrarlo ya que este es un recurso estratégico, escaso e

imprescindible, dado que las compañías de telecomunicaciones cada vez ofrecen más

servicios, tanto fijos como móviles y requieren de ofrecerlos con la mejor calidad posible.

Además, cada vez se tiene menos espectro disponible y su costo ha ido creciendo, de aquí

que se tiene la necesidad de optimizar el ancho de banda y su utilización.

En líneas de comunicación cósmicas, normalmente se requiere un ancho de banda bastante

amplio, en la transmisión de información, uno de los factores que limita el ancho de banda

es el defasamiento de las componentes espectrales de la señal por la dispersión en la

ionósfera, es necesario estimar la deformación de la señal por este efecto, tomando en

cuenta las propiedades no homogéneas de la ionósfera.

Introducción

1

Introducción

Los satélites de comunicación hoy en día, forman una parte muy importante de las

redes de telecomunicaciones y también de la vida del ser humano, dados los servicios que

se pueden brindar, tales como acceso a Internet, videoconferencia, telefonía,

comunicaciones móviles, transmisión de televisión y aplicaciones como telemedicina,

educación a distancia, meteorología, etc.

A través de los sistemas de comunicaciones satelitales es posible transmitir información

desde un punto a otro que puede estar muy alejado geográficamente o tener acceso en áreas

donde la comunicación con otro tipo de medio sería muy complicada por las diversas

condiciones de propagación. Con un sistema satelital, es posible establecer comunicación

entre usuarios que pueden estar fijos o móviles, ya sea en tierra, mar o aire.

Un sistema de comunicación satelital, en principio consta de uno o más satélites en el

espacio, enlazando básicamente dos estaciones en la superficie de la Tierra, la transmisora

y la receptora. La señal de banda base producida por el usuario se procesa y se transmite

sobre una portadora de radiofrecuencia hacia el satélite. El satélite recibe la señal

transmitida a una cierta frecuencia (enlace de subida), la amplifica y la manda de regreso a

la Tierra a una frecuencia diferente (enlace de bajada).

La señal de información, por lo tanto, en su viaje hacia el satélite, pasa a través de las

diferentes capas de la atmósfera de la Tierra. A partir de la altura alrededor de 50 Km, se

encuentra la ionósfera, esta capa por sus características de ionización afecta de diferentes

maneras la propagación de ondas electromagnéticas. Frecuencias entre 3 y 30 MHz,

aproximadamente, se reflejan en la ionósfera haciendo posible la comunicación a grandes

distancias, frecuencias superiores ya no se reflejan y pueden escapar de la atmósfera

terrestre, estas frecuencias son las utilizadas para comunicaciones satelitales. Sin embargo,

al ser la ionósfera un medio dispersivo, el espectro de las señales sufre una deformación

debida a que en tales medios, diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades, es

decir, tienen diferentes tiempos de propagación.

Introducción

2

Para el cálculo del ancho de banda en comunicaciones satelitales, se utilizan algunas

fórmulas conocidas, como la fórmula de Carson [19], pero estas fórmulas no toman en

cuenta las propiedades no homogéneas de la ionósfera. También se emplea una fórmula

para el cálculo de ancho de banda obtenida a partir de calcular el retardo en tiempos de

propagación de las componentes extremas del espectro de la señal [8], pero en la obtención

de esta fórmula se toma en cuenta la velocidad de fase, no la velocidad de grupo.

En este trabajo se ha hecho una estimación del ancho de banda para comunicaciones

satélites, tomando en cuenta la teoría de propagación en medios con dispersión.

Las señales que transmiten información están compuestas de un grupo de ondas, entonces

es necesario introducir el concepto de velocidad de grupo. El trabajo que se ha hecho es

calcular el ancho de banda máximo permisible para una determinada frecuencia central por

medio de obtener el retardo de propagación en la ionósfera de las componentes extremas de

la señal, considerando la velocidad de grupo promedio.

Se han elaborado programas en lenguaje C para obtener los cálculos de ancho de banda

para cualquier frecuencia deseada y se comparan los resultados con los obtenidos mediante

dos fórmulas que se presentan en el Capítulo 3. También se ha estimado la variación del

ancho de banda de acuerdo al ángulo de elevación del satélite. Además, la ionósfera tiene

variaciones dependiendo de la hora del día, entonces hacemos una estimación

correspondiente al día y otra a la noche.

En el Capítulo 1, tenemos una presentación general de la ionósfera, los estratos que la

componen, las alturas aproximadas a las que se encuentran y las causas principales de

ionización. La ionósfera juega un papel importante en las comunicaciones de radio a gran

distancia, se aprovecha que algunas frecuencias se reflejan y regresan a la Tierra, en este

capítulo mencionamos las frecuencias aproximadas que se reflejan en las diferentes capas.

Dado que la ionósfera es un medio no homogéneo, introducimos los principales factores

que intervienen en nuestro cálculo, la densidad electrónica, frecuencia de colisiones de

Introducción

3

partículas pesadas, permitividad y conductividad de la ionósfera. En la última parte de este

capítulo, tenemos una consideración más detallada de la reflexión de ondas en la ionósfera.

En el Capítulo 2, establecemos la teoría de propagación en medios con dispersión a partir

de la cual se obtiene la velocidad de grupo, que vamos a utilizar para nuestro cálculo del

ancho de banda. Primero tenemos la velocidad de propagación de una onda monocromática,

la velocidad de fase, esta velocidad es utilizada en un método de cálculo del ancho de

banda contra el cual vamos a comparar nuestros resultados. Introducimos las dispersiones

de primer y segundo orden. En la última parte de este capítulo presentamos brevemente la

propagación de ondas en medios con absorción, donde tenemos la expresión para el número

de onda k que interviene en el cálculo de la velocidad de grupo .

En el capítulo 3, tenemos tres métodos para calcular el ancho de banda, el primero con una

fórmula establecida en [8], para el segundo método, se toma en cuenta la obtención de

dicha fórmula pero sustituyendo nuestro cálculo de la integral de la concentración

electrónica hecho con los valores que se tienen disponibles de N y ν. El tercer método es el

establecido en este trabajo en base a la teoría presentada en los capítulos anteriores. En la

parte final de este capítulo, tenemos la presentación de resultados y la comparación de los

anchos de banda obtenidos con los diferentes métodos.

En el apéndice A, se muestran las bandas de frecuencia utilizadas para comunicaciones

satelitales, de las cuales se van a tomar algunas para hacer los cálculos. Los programas para

el día y para la noche se anexan en los apéndices B y C.

De acuerdo con la teoría que se presenta, la estimación del ancho de banda que se hace en

el presente trabajo es más precisa, por lo que el método planteado puede consultarse para el

cálculo de ancho de banda en comunicaciones satelitales.

Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio

4

EFECTOS DE LA IONÓSFERA EN LA

PROPAGACIÓN DE ONDAS DE RADIO

1.1 La ionósfera

A partir de la altura alrededor de 50-60 km, se manifiesta considerablemente la

ionización del medio atmosférico. Es la frontera inferior de la ionósfera, es un nombre

acumulativo aplicado a las partes de la atmósfera superior de la Tierra que contiene iones

libres en una cantidad adecuada para afectar la propagación de ondas electromagnéticas. El

grado de ionización se caracteriza por el número de electrones libres por unidad de

volumen, denotado por N. La magnitud N alcanza su máximo, dependiendo de una serie de

condiciones, en la altura desde 250 km hasta 400 km. La ionósfera debajo de este nivel se

llama interior y arriba exterior. La última incluso hasta la altura del orden del radio de la

esfera terrestre influye notablemente sobre la propagación de las ondas de radio.

La causa principal de la ionización de la atmósfera es la radiación ultravioleta y los rayos X

del Sol (en la banda de ondas menores de 0.1 mkm). Se sabe que solo una pequeña parte de

la energía de radiación del Sol ocupa este intervalo de espectro. La radiación con longitud

de onda más grande (con la menor energía de cuantos) no es capaz de producir el trabajo

requerido para la ionización.

El segundo factor de la ionización (según su importancia) son los flujos corpusculares,

también en mayor parte de origen solar. Conforme el flujo ionizante penetra en la

atmósfera, la densidad de energía del flujo que llega a la tierra decrece como resultado de la

absorción. Pero la densidad del gas al contrario decrece con el aumento de la distancia con

respecto a la tierra. Precisamente por eso, la cantidad de electrones libres por unidad de


5

volumen N como función de la altura tiene un máximo, en una cierta altura la ionización es

más intensa.

Debido a la variedad y complejidad de los procesos físicos en el espacio circunsterrestre, la

estructura real de la ionósfera no se agota con esta descripción muy simplificada. En la

ionósfera se distinguen tres importantes dominios, llamados estratos, D, E y F. El estrato F

a menudo se divide en dos partes F1 y F2. En la figura 1.1 tenemos una representación de

la ionósfera.

Figura 1.1 Capas de la ionósfera.

En el dia la ionización es mucho más alta, en la noche los estratos F1 y F2 no tienen una

frontera bien marcada y la frontera inferior de la ionósfera sube hasta la altura de 100 km,

el dominio D desaparece.


6

Dependiendo de la actividad solar (ciclo de 11 años), estación del año y hora, la

distribución de la concentración electrónica varía.

El subestrato E1, según datos existentes, en las horas del dia se tiene durante todas las

estaciones del año sobre toda la esfera terrestre. El subestrato E2 se tiene solamente en

algunos lugares. Los llamados subestratos esporádicos Es consisten de formaciones de

pequeña longitud horizontal (unas decenas de kilómetros). En el dominio F a menudo se

puede distinguir precisamente los subestratos F1 y F2. En general el subestrato F2 es el más

irregular y está bajo la influencia del campo magnético de la tierra. Algunos investigadores

creen que es necesario distinguir el así llamado subestrato F11/2. Cabe mencionar también

que la ionósfera posee una “estructura fina” irregular que son variaciones locales

(condensaciones y rarefacciones) de la concentración electrónica de carácter casual.

Para la completa caracterización de la ionósfera los fenómenos irregulares de gran escala

son muy importantes. Con las tormentas magnéticas provocadas por la invasión a la

ionósfera de los flujos corpusculares como resultado de las explosiones en el Sol, cambia

considerablemente el régimen del dominio F. Por lo menos se puede hablar de una

disminución de la concentración electrónica y del aumento de la altura del máximo.

Las explosiones de otro tipo (cromosféricas) se caracterizan por la intensificación de la

radiación ultravioleta y de rayos X. Como resultado de la penetración profunda de esta

radiación sucede una subida brusca de la ionización del dominio D.

El estudio de la ionósfera está basado en el estudio de sus efectos en las ondas

electromagnéticas, las cuales pueden o no ser reflejadas por esta, dependiendo de la

frecuencia de radiación. Muchos experimentos hechos encontraron que a ciertas frecuencias

de transmisión, las ondas reflejadas en el dia eran muy débiles, inadecuadas para manejar el

ruido en el receptor; en la noche sin embargo, la intensidad de la onda reflejada se

incrementa a niveles aceptables para comunicaciones. A frecuencias más altas, entre

aproximadamente 5 y 30 MHz, incluso las señales en el dia alcanzan niveles que permiten


7

la comunicación sobre varios miles de kilómetros. En la figura 1.2 tenemos una

representación de la reflexión de ondas en la correspondiente capa de la ionósfera.

Las ondas de altas frecuencias y superiores pasan a través de la ionósfera y no son

utilizables para comunicaciones terrestres de larga distancia, se utilizan para

comunicaciones satelitales.

Figura 1.2 Reflexión de ondas en la ionósfera.

Generalmente las ondas espaciales son menos estables que las ondas de tierra y presentan

varios fenómenos que no se encuentran con las ondas de tierra. Son afectadas por el estado

de la ionósfera, el cual puede variar de estación a estación, dia a dia, incluso de hora en

hora. Son afectadas por fenómenos tales como manchas solares, tormentas magnéticas e

incluso por repentinas precipitaciones pluviales. Muchas de las variaciones sin embargo,

son más o menos regulares y el comportamiento de la ionósfera puede ser estimado con

buena exactitud. Observatorios ionosféricos operan en varias ubicaciones de la Tierra y

publican datos que pueden ser utilizados para seleccionar frecuencias apropiadas para

comunicaciones sobre la trayectoria requerida.

La propagación de señales de radio a grandes distancias está generalmente restringida a la

banda de HF (3-30 MHz), aunque propagación significativa puede tener lugar a otras

frecuencias en circunstancias inusuales.


8

Las señales de HF son refractadas en regiones de ionización que existen en la atmósfera de

la Tierra. Estas regiones forman la ionósfera y consiste de capas de moléculas de gas

ionizadas y electrones libres. Este es el plasma electrón gas que puede refractar las ondas

electromagnéticas e impedir que escapen al espacio.

La frecuencia exacta de radio que puede ser refractada depende de la densidad electrónica

(que se incrementa con la altura desde la tierra ) y el ángulo de incidencia de las ondas en la

ionósfera.

1.2 Ionización

La ionización o la separación de un electrón de una molécula o átomo de gas atmosférico es

causada principalmente por fenómenos naturales, tales como la radiación ultravioleta del

Sol, rayos cósmicos, meteoros, radiación corpuscular o efectos causados por el hombre

como explosiones nucleares. Todos estos, deben alcanzar la atmósfera con una energía

adecuada para separar los electrones de los átomos o las moléculas. Los átomos sin los

electrones son iones y un medio ionizado es un plasma.

El estudio teórico de la ionización por rayos ultravioleta está basado en el trabajo de

Sydney Chapman en 1931, que simplificó el proceso por medio de asumir solo un tipo de

gas en una atmósfera planamente estratificada y a la misma temperatura y una radiación

monocromática de rayos solares paralelos.

En la realidad, el proceso de ionización es mucho más complicado, dado que las

suposiciones hechas nunca se satisfacen, sin embargo, es una buena aproximación. La Ley

de Chapman establece que la concentración electrónica N varía con la altura. En este

trabajo no se presenta el desarrollo de Chapman, para conocer esta ley, se pueden consultar

algunas referencias [14].


9

La cantidad de ionización (y por consiguiente la densidad electrónica en el plasma)

dependen del flujo de radiación proveniente del Sol. Este separa los electrones de las

moléculas de gas para crear el plasma y los iones. El nivel de radiación del Sol depende de

la hora del dia, estación del año y el ciclo solar de 11 años. Una buena estimación del nivel

de actividad solar puede ser obtenido por medio de contar el número de manchas solares

que se ven en la superficie del Sol.

Figura 1.3 La ionósfera de noche y dia.

La figura 1.3 muestra (en forma exagerada) cómo la altura de la ionósfera varía con la hora

del día. Durante el día, el flujo solar se incrementa cuando el Sol se puede ver y la densidad

electrónica en la ionósfera se incrementa. En la noche, cuando el flujo solar es bajo, la

energía de las ondas de radio es absorbida en menor cantidad.

1.2.1 Actividad solar

El Sol emite radiación electromagnética y partículas de energía. Algunas vienen de la

superficie del Sol y otras de su corona. Diferentes emisiones del Sol están a las longitudes


10

de onda que afectan la ionósfera, Ultravioleta (UV) y rayos X. Necesitamos conocer tres

fenómenos físicos para entender la radiación de la superficie del Sol, manchas solares,

flujos solares y brillos solares, estos fenómenos se describen brevemente en la siguiente

sección, para conocer más, consultar [15], [21].

Aproximadamente 50% de la radiación del Sol está en la forma de infrarrojo, 40% luz

visible y aproximadamente 10% ultravioleta, esta última es de interés porque UV afecta la

propagación de ondas de radio dado que ioniza la capa F de la ionósfera. La mayor parte de

la radiación UV proviene de las manchas solares [21].

1.2.1.1 Manchas solares

Son regiones oscuras en la superficie del Sol (fotósfera), o grandes concentraciones de

fuerte flujo magnético de varias veces el tamaño de la Tierra. Estos, usualmente ocurren en

pares que normalmente duran varios dias y liberan de sus bordes radiación ultravioleta.

La radiación UV viaja a la Tierra por medio de fotones energetizados a longitudes de onda

de UV, como partículas y como ondas, dependiendo de cómo se miden. Más manchas

solares significan mayor radiación UV, incrementando la ionización de la capa F y creando

la capa F2 en el dia.

Las manchas solares, generalmente siguen un ciclo de 11 años y son medidas en una escala

de 0-200. Estos números son mediciones visuales reportadas ya sea bajo el “Número de

Manchas Solares de Canto” o el “Número Internacional de Manchas Solares”. El Número

de Manchas Solares Suavizado es un valor promedio usado para registrar los ciclos de las

manchas solares.


11

1.2.1.2 Flujos Solares.

La medida de emisiones de radio totales del Sol a 10.7 cm. (2800 MHz), en una escala de

60 a 300, generalmente correspondientes al nivel de manchas solares, pero son muy bajos

en energía para causar ionización, no relacionados con el nivel de ionización de la

ionósfera. Flujos solares mayores, generalmente sugieren mejor propagación en las bandas

de 10,12,15,17 y 20 metros; los flujos solares raramente afectan las bandas de 30,40,60,80

y 160 metros.

1.2.1.3 Brillos solares.

Explosiones usualmente cercanas a las manchas solares que expulsan partículas y energía

electromagnética (rayos X, Gamma e incrementan UV) y partículas energéticas. Los brillos

son medidos por satélites y son difíciles de predecir porque la evidencia visual llega

simultáneamente con la demás radiación electromagnética. Las partículas energéticas llegan

después. Los brillos son clasificados de acuerdo a su luminosidad de rayos X (en la banda

de 1-8 angstroms) en cuatro categorías, clase B, clase C (C1-C9) (Pequeños), clase M (M1-

M9) (Medios) y clase X (X1-X9) (Grandes). Los brillos de clase X emitidos en la banda de

1-8 angstroms pueden incrementar repentinamente la ionización de las capas D y E,

causando que absorban frecuencias más altas, incrementando la LUF (Frecuencia Mínima

Utilizable). Los brillos pueden alterar la capa F causando que absorba HF y disminuir la

MUF (Frecuencia Máxima Utilizable).

La radiación electromagnética y partículas de energía provenientes del Sol afectan las

diferentes capas de la ionósfera. Por supuesto, la propagación ionosférica ocurre cuando las

ondas de radio de HF son refractadas por las diferentes capas de la ionósfera y regresan a la

Tierra.


12

1.3 Densidad electrónica y frecuencia de colisiones en la ionósfera

Antes de estudiar las propiedades de reflexión de la ionósfera, debemos conocer cómo

varían la concentración electrónica N y la frecuencia promedio de colisiones ν con la altura,

en esta sección, presentamos unos registros que se tienen disponibles [4], también se

pueden consultar [1], [2], [14], [15].

La densidad electrónica neta N a cualquier nivel es la resultante de los procesos de

producción y pérdida, sin tomar en cuenta los movimientos de los electrones. Los diferentes

procesos por los cuales los electrones son perdidos en la ionósfera varían de una región a

otra y son relativamente complicados. N es la cantidad de electrones libres por unidad de

volumen.

La distribución real de la densidad electrónica es muy complicada y no puede ser, en

general, expresada en términos de simples expresiones matemáticas, en muchos casos es

preferible utilizar modelos matemáticos para aproximar los cálculos [2]. Los valores de N

en las diferentes alturas que vamos a utilizar, se obtienen a partir de mediciones hechas por

ionosondas, los registros que se tienen, se muestran en la figura 1.4 [4].

El número promedio de colisiones ν que un electrón hace por unidad de tiempo con las

moléculas de aire depende del número de densidad de moléculas, y entonces de la densidad

y composición del aire. También depende de la velocidad del electrón, pero para muchos

efectos es permisible omitir este efecto.

Los cambios en el valor de ν afectan a la propagación de ondas de radio mucho menos que

los cambios en N. Para muchos propósitos es permisible tratar a ν como una constante

sobre un rango pequeño de alturas. Esto es especialmente cierto a altas frecuencias

(mayores que 1 MHz aproximadamente) cuando la longitud de onda es pequeña comparada

con la escala de altura, que es aproximadamente de 10 km, que es precisamente nuestro

caso.


13

En las figuras 1.4 y 1.5 se muestran los registros de N y ν, donde podemos observar su

variación con la altura, estos valores serán utilizados para nuestro cálculo de la velocidad

de grupo, recordando que estos valores dependen de varios factores y pueden cambiar de

región en región [4].

Figura 1.4 Concentración electrónica

Figura 1.5 Frecuencia de colisiones


14

El equipo convencional para medir la distribución de la densidad electrónica en la ionósfera

es la llamada ionosonda, que es un dispositivo radar de barrido de frecuencias que

normalmente cubre un rango de frecuencias aproximadamente de 1 MHz a 20 MHz con un

tiempo de barrido que varía desde unos pocos segundos a unos cuantos minutos. Un pulso

de radiofrecuencias es mandado desde el transmisor, y al mismo tiempo, es iniciada la base

de tiempo de un tubo de rayos catódicos. Se mide el tiempo que tarda la señal en viajar a la

ionósfera, ser reflejada y regresar [2]. Sobre la medición de N, también se puede consultar

[14], [15].

Cuando la frecuencia es lentamente incrementada, la onda penetra más en la capa de la

ionósfera y en general, el retardo se incrementa. En algún momento la frecuencia será tan

grande para ser reflejada y la onda penetrará. La frecuencia más alta reflejada en una capa

de la ionósfera o la frecuencia más baja que penetra la capa es llamada la frecuencia de

penetración o frecuencia crítica fc. Esta es una medida directa del máximo de la

concentración electrónica Nmáx de la capa. En la sección 1.6, se abunda un poco más en la

medición de N.

El tiempo de retardo medido a cualquier frecuencia menor a la frecuencia crítica puede ser

convertido en una altura equivalente o virtual h′ asumiendo que la onda viaja a la velocidad

de la luz en su viaje a la ionósfera y de regreso a la tierra. Entonces h′ = ct/2.

De hecho la señal disminuye su velocidad en la ionósfera y se detiene en el nivel de

reflexión. La altura virtual es entonces, siempre mayor que la altura real de reflexión. Una

gráfica de la altura virtual contra la frecuencia es llamada ionograma [1], [2].

Actualmente hay más de cien estaciones ionosféricas localizadas alrededor del mundo. En

estas estaciones los ionogramas son tomados cada hora e incluso algunas veces cada 15

minutos.


15

1.4 Capas de la ionósfera

Como ya se ha mencionado, la ionósfera consiste de un número de regiones que afectan la

propagación de ondas electromagnéticas a varias frecuencias de diferentes maneras, esta

sección está dedicada a la descripción del comportamiento de estas regiones o capas de la

ionósfera [1], [2], [21].

1.4.1 La capa D.

La capa D es la más cercana a la superficie de la Tierra aproximadamente de 60 a 100 Km.

Se ioniza mayormente al mediodía por medio de fuertes rayos X del Sol de 1-10 angstroms.

Presenta muy fuerte absorción de radiación electromagnética a frecuencias alrededor de 1

MHz. Debido a su baja concentración electrónica de aproximadamente 1×108 / m3 y su baja

frecuencia crítica de entre 100 y 700 kHz, esta no refleja radiaciones de Alta Frecuencia, de

más de 5MHz, que son generalmente usadas para sondeos ionosféricos, pero esta capa

refleja muy eficientemente ondas de frecuencias bajas y muy bajas, por esto, es útil para

propagación a grandes distancias. Absorbe bajas frecuencias (aprox. 10 MHz y menores) ,

pero permite a las frecuencias mayores pasar a las capas superiores. La capa D se desioniza

rápidamente en la noche y las ondas incluyendo medias y largas ya no son atenuadas y se

pueden propagar a grandes distancias.

Observaciones que se han hecho, muestran que la reflexión de las ondas de Muy Baja

Frecuencia ocurre a alturas aproximadamente de 76 km durante el dia y 90 km en el ocaso.

La capa D que se presenta durante el dia aparece como un máximo de ionización

débilmente definido a la altura de entre 75 y 90 km. Seguido de un decremento de

ionización por encima de 90 km. Donde empieza la capa E. Durante periodos de mínimas

manchas solares, puede ocurrir un máximo de ionización a alturas de 65 a 70 km, a

latitudes medias en las horas de la mañana, esto es lo que se ha llamado la capa C.


16

Se ha encontrado que la ionización en la capa D varía con las estaciones y latitudes

geográficas. En invierno, cuando la atmósfera circula mejor y las partículas moleculares

complejas pueden ser transferidas de la atmósfera baja a la capa D, una mayor variación de

la densidad electrónica ocurre a alturas fijas. Esto causa un incremento en la variación de la

absorción ionosférica.

1.4.2 La capa E.

Aproximadamente de 100 a 125 km, se ioniza por medio de los rayos X suaves del Sol de

10-100 angstroms, también sólo durante el dia. Fuertes brillos solares pueden causar

incrementos repentinos en la absorción de la capa E. Esta capa se ioniza y desioniza más

lentamente que la capa D, pero puede refractar las frecuencias más altas HF y VHF que

penetran la capa D. En el verano y algunas veces en el invierno, densas nubes de ionización

se pueden formar por cortos periodos de tiempo. Estas partes de capa E esporádicas pueden

refractar señales de radio dentro de VHF. La capa E esporádica es la responsable de

recepción de larga distancia de VHF y es usualmente usada por radioaficionados para

grandes distancias (se han alcanzado distancias de hasta 10,000 km).

La máxima concentración electrónica durante el día a latitudes geográficas medias

generalmente es del orden de 1×1011 electrones/m3 y aunque esta capa persiste durante la

noche, la concentración se reduce grandemente. Esta concentración corresponde a una

frecuencia crítica de aproximadamente 4 MHz. La frecuencia crítica durante la noche

decrece a aproximadamente 250 kHz, durante periodos de manchas solares mínimas y 500

kHz en los máximos. Estas corresponden a una concentración electrónica del orden de 109

electrones/m3.

Debido a que la frecuencia de colisiones es mas o menos grande, con valores de entre

5×103 y 2×104 /s, la absorción es correspondientemente alta.


17

La capa E persiste durante la noche, sin embargo, con una densidad de iones grandemente

reducida. Similarmente, las densidades en el invierno también son bajas debido a que el

efecto de ionización del Sol es oblicuo durante esta estación.

1.4.3 La capa F.

Aproximadamente por encima de 150 km, se ioniza por medio de la radiación ultravioleta

de 100-1000 angstroms. Esta capa se puede dividir en dos, F1 y F2. El pico de la ionización

de la región más baja, la capa F1 está alrededor de la altura de 160 km, mientras que la de

la capa más alta F2 alrededor de 250 km. La capa F2 es el mayor factor en la propagación

de HF.

La altura de las capas F es tan alta que es iluminada por el Sol por largos periodos de

tiempo y puede retener mucha de su ionización durante la noche. En la noche las dos capas

F1 y F2 se combinan dentro de la capa F, y siguen refractando las frecuencias menores de

HF (10-15 MHz) las cuales en la noche no son absorbidas por las capas D y E. La

frecuencia más alta refractada por la capa F es la MUF (Máxima Frecuencia Utilizable).

Esta capa está a su mínimo justo antes del amanecer y alcanza su pico al mediodía.

Las frecuencias mayores a 30 MHz (la frontera entre las ondas cortas y ultracortas) que es

aproximadamente la mayor frecuencia utilizable en las condiciones de un sistema de

transmisión que utiliza las ondas ionosféricas ya no se reflejarán en la ionósfera, pasarán a

través de ella y son las utilizadas para las comunicaciones satelitales, por lo tanto son las

frecuencias que son de nuestro interés en el presente trabajo. En la figura 1.6 tenemos una

representación de la reflexión de las ondas que se reflejan en las correspondientes capas de

la ionósfera y las ondas que la atraviesan. La propagación de ondas en la ionósfera será

estudiada con más detalle en la sección 1.6.


18

Figura 1.6 Frecuencias por encima de 30 MHz ya no se reflejan.

1.5 Permitividad y conductividad de la ionósfera

La ionósfera debido a su contenido de iones y electrones, tiene una constante dieléctrica y

conductividad que difieren de las del espacio libre. Una onda electromagnética que pasa,

fuerza a las portadoras de carga a oscilar. Un electrón en movimiento representa una

corriente, cada electrón que oscila actúa como una antena parásito que absorbe energía de

la onda que pasa y la vuelve a radiar con una fase diferente. Para el estudio de la ionósfera,

la podemos considerar como un dieléctrico con pérdidas libre de cargas, que tiene una

constante dieléctrica efectiva ε´ y una conductividad efectiva σ. Estos valores efectivos

pueden ser obtenidos para una frecuencia dada, con la densidad de iones y la frecuencia de

colisiones en la región ionizada.

Debido a que los electrones están rodeados por un gran número de moléculas de gas neutro

en continuo movimiento térmico, los electrones y las moléculas se colisionan y, asumiendo

que la energía impartida por los electrones sobre las moléculas es mυ, donde υ es la

velocidad de los electrones y m su masa, la energía total transmitida en un segundo es mυν,

con ν igual a la frecuencia promedio de colisiones por segundo.


19

La fuerza que actúa sobre un electrón en el espacio libre es el producto de la magnitud del

campo eléctrico y la carga electrónica.

La constante dieléctrica relativa y la conductividad de la región ionizada son [1]:

)(1 22

0

2

ωνεε

+−=′

mNe

y (1.1)

mmho

mNe

)( 22

2

ωννσ+

=

Estas expresiones muestran que ambas, la constante dieléctrica relativa y la conductividad

de la región ionizada están afectadas por la presencia de iones y electrones. Ambas,

dependen de la densidad de la portadora de carga N y la frecuencia de colisiones ν. La

constante dieléctrica es reducida bajo el valor de uno, del espacio libre, mientras que la

conductividad a la ubicación considerada es máxima cuando ν = ω. La dependencia de la

altura de estas dos cantidades está implícita en la frecuencia de colisiones, la cual es una

función de la temperatura y presión del gas, ambas dependientes de la altura. La frecuencia

de colisiones varía entre aproximadamente 1012 /s en la superficie de la tierra, donde la

densidad molecular a la temperatura de 0o C es 2.7 X 1019 por cm3 , a 1/s a la altura de 800

km con una densidad molecular de 2.7 X 106/cm3 , [1].


20

1.6 Reflexión de las ondas de radio en la ionósfera

Como se ha estado mencionando en las secciones anteriores, la ionósfera tiene una

importante influencia en la propagación de ondas electromagnéticas, la refracción de ondas

incluso hasta la banda de ondas ultracortas. Este proceso es mucho más complicado que

simplemente la reflexión de las ondas en la frontera entre dos diferentes medios

homogéneos. Podemos abordar este fenómeno tomando como referencia [4]. La idea

principal de cómo se refleja la onda por la ionósfera es más clara si consideramos la

siguiente fórmula que es uno de los resultados básicos de la óptica:

00 θθ sennnsen = (1.2)

El significado de esta igualdad es que si el ángulo de entrada del rayo en un medio es θ0 y

el coeficiente inicial de refracción es n0 entonces para cualquier ángulo instantáneo de la

dirección del rayo (ángulo θ) en un punto donde el coeficiente de refracción es igual a n se

tiene la igualdad (1.2). En otras palabras, n sen θ = const.

Partiremos del modelo más simple del plasma ionosférico olvidando la absorción y la

influencia del campo magnético de la tierra. En esta aproximación el coeficiente de

refracción es [4]:

22

/6.8011 fNn p −=

−=

ωω

(1.3)

Donde ω es la frecuencia de la onda y ωp se conoce como la frecuencia de plasma. La

frecuencia de proceso f está dada en Hertz y la concentración N es la cantidad de electrones

libres en 1 m3. Esta expresión de n es válida para cualquier plasma, la dependencia del

índice de refracción de la frecuencia se llama dispersión.


21

Como se desprende de la ecuación (1.3), la densidad óptica de la ionósfera decrece con la

altura debido al crecimiento de N, por lo tanto, el rayo que entra en la ionósfera se inclina

hacia la tierra como se muestra en la figura 1.7. Para cada punto de la trayectoria, la

magnitud θ se calcula según la fórmula (1.2). El carácter de la curva depende de la rapidez

del decremento de n con la altura, lo cual se determina por la frecuencia de proceso f, dada

la distribución de la concentración electrónica.

Figura 1.7 Refracción en la ionósfera y escape de la onda.

Si la rapidez con que n disminuye es bastante pequeña entonces en la ionósfera interior

habrá un nivel con tal concentración N = N* (le corresponde n = n*) que el rayo tendrá un

punto de tangencia con la línea horizontal del nivel con n = n* (figura b). Este es

precisamente el punto de vuelta de la trayectoria hacia la tierra, la parte descendente de la

trayectoria es simétrica a la ascendente. Pero la frecuencia del proceso puede ser tan alta

que al alcanzar la frontera de la ionósfera interior (el punto M′ en la figura c) el rayo puede

tener la tangente inclinada, entonces no sucederá la vuelta del rayo a la Tierra ya que en la

ionósfera exterior el coeficiente de refracción no decrece sino que crece con la altura,

tendiendo al valor n = 1 y por lo tanto el rayo se aparta de la Tierra.

θ0

θ

Tierra

Frontera de la ionósfera

900

N = Nmáx

N = N*

M′

a) b) c)


22

Podemos entonces encontrar la condición de vuelta del rayo. Sustituyendo en (1.2) n0 = 1 y

θ = 900 (figura b) obtenemos el valor requerido del coeficiente de refracción n = n* el cual

corresponde al ángulo dado de incidencia θ0 a la frontera inferior de la ionósfera:

0* θsenn = (1.4)

Con ayuda de (1.3), poniendo ωp = ωp* y N = N*, obtenemos:

fN

p

**

0 9/cos ≈= ωωθ (1.5)

De esta ecuación (1.5) podemos observar que si cos θ0 = 1 (incidencia vertical):

*9 Nf ≈ (1.6)

De aquí que, si se envía una señal de frecuencia f a la ionósfera con incidencia vertical, se

puede medir τ, que es el retardo de la señal que se recibe después de haberse reflejado en la

ionósfera, con τ/2 podemos calcular la altura de la ionósfera para esa frecuencia y esa N*.

Si para un cierto ángulo θ0 con una frecuencia de trabajo f resulta que la concentración

requerida N* es mayor que el valor máximo Nmáx (el nivel correspondiente está en la capa F)

entonces el rayo no volverá a la Tierra, es decir, la ionósfera no lo reflejará. De (1.6)

obtenemos la frecuencia máxima (que corresponde al ángulo dado θ0) para la cual todavía

habrá reflexión:

00 cos

9)(θ

θ máxmáx

Nf ≈ (1.7)


23

En el caso de incidencia vertical (θ0 = 0) esta frecuencia se llama crítica. Tenemos que:

máxcr Nf 9≈ (1.8)

En el caso de un transmisor colocado en la superficie terrestre el ángulo θ0 no puede ser

mayor que el valor θ0 = θ0,lim determinado por la siguiente fórmula:

hRR

arcsen+

=0

0lim,0θ (1.9)

Sustituyendo esta magnitud en (1.7) obtenemos:

hhRhRNf máxmáx )2(

90

0lim, +

+≈ (1.10)

Que es el valor límite (máximo) de la frecuencia máxima fmáx. Donde h es la altura de la

frontera inferior de la ionósfera.

Obtuvimos la expresión de la mayor frecuencia posible en las condiciones de una línea de

transmisión terrestre que utiliza las ondas ionosféricas. Esta frecuencia está alrededor de la

frontera entre las bandas de las ondas cortas y ultracortas. La longitud de onda

correspondiente es 10 m aproximadamente (durante los años de máxima actividad solar se

disminuye en unos metros).

Notemos que este estudio de propagación de ondas en la ionósfera es en gran medida

idealizado, la ionósfera se considera como un medio compuesto por estratos horizontales,

este modelo es aceptable en la mayoría de los casos. Existe otro factor, la influencia del

campo magnético de la Tierra sobre las propiedades del plasma. Resulta que en realidad la

ionósfera es un medio anisotrópico [4].

Propagación de ondas en medios con dispersión

24

PROPAGACIÓN DE ONDAS

EN MEDIOS CON DISPERSIÓN.

2.1 Velocidad de propagación de una onda electromagnética y el índice de refracción.

En esta sección vamos a introducir el concepto de velocidad de fase que será

utilizado posteriormente en el capítulo 3 para el cálculo del ancho de banda y su relación

con el índice de refracción [5].

La magnitud n = εµ , donde ε es la permitividad del medio y µ es la permeabilidad, se

conoce como índice de refracción. En la teoría clásica del electromagnetismo el índice de

refracción se considera constante y se define totalmente por los valores ε y µ para el medio

bajo consideración.

Analicemos el concepto de la velocidad de propagación εµ/cu = de la onda

electromagnética, la cual aparece como uno de los parámetros de la expresión de una onda

plana:

)]/(exp[Re 0 uztiEE −= ω (2.1)

Donde u caracteriza la velocidad de propagación de la fase de la onda y se conoce como

“velocidad de fase”.


25

El valor de u se obtiene fácilmente de la condición de que la fase sea constante:

.)/( constuzt =−ω (2.2)

Entonces diferenciando esta expresión con respecto a t tenemos:

dtdzu = (2.3)

Es decir la velocidad de propagación de la onda a lo largo del eje z. Utilizando el número

de onda k, la condición (2.2) se expresa de la siguiente manera:

( ) .constkzt =−ω cnk ω= ,

ncu =

Entonces, para la velocidad de fase de la onda monocromática obtenemos:

kdtdzu ω== (2.4)

Si se trata solamente de radiación monocromática, entonces esta es la velocidad, el

concepto de velocidad de fase es suficiente para la descripción de todos los fenómenos

relacionados con la propagación de ondas electromagnéticas.

En realidad, la radiación se propaga en forma de impulsos que representan un conjunto o

paquete de diferentes ondas monocromáticas. Propagándose en medios reales el impulso se

deforma y es imposible caracterizar con un solo valor u = ω/k todos los procesos

complicados que están relacionados con la propagación [5]. Es necesario introducir nuevos

conceptos, lo que haremos en las siguientes secciones de este capítulo.


26

2.2 Índice de refracción en la ionósfera.

La relación entre la velocidad de fase υ y el índice de refracción εµ=n está dada por la

igualdad:

εµυ c= (2.5)

Es decir, nc=υ . Cuando ε = µ = 1, la velocidad de fase u es igual a la velocidad de la luz.

Para la ionósfera:

22

/6.8011 fNn p −=

−=

ωω (2.6)

Dónde:

ωp es la frecuencia de plasma, ω es la frecuencia de la onda, N es la cantidad de electrones

libres en un m3, f es la frecuencia de proceso en Hz.

Como se desprende de (2.6), para el caso de la ionósfera, el índice de refracción depende de

la frecuencia, también, tenemos que n es un valor menor que 1, entonces la velocidad de la

onda es mayor que la velocidad de la luz, lo cual es una contradicción con la teoría de la

relatividad. En este caso además de la velocidad de fase es necesario introducir la llamada

velocidad de grupo, que caracteriza la velocidad de propagación de todo el grupo de ondas,

esto corresponde a las secciones siguientes de este capítulo.


27

2.3 Medios con dispersión.

Una sola sinusoide, que oscila con amplitud, frecuencia y fase fijas no puede transportar

información, no lleva más mensaje que su propia existencia y la duración de su periodo.

Una señal de información está compuesta de un espectro de frecuencias. La manera de

cómo el espectro es afectado cuando la señal es transportada desde el transmisor al receptor

es materia de estudio para la ingeniería.

En el vacío la exponencial ejωt que tiene una sola frecuencia es transmitida como ej(ωt-kz) y

el número de onda k es proporcional a la frecuencia ω : k = k(ω) = ω/c, entonces la

velocidad de fase ω/k = c es la misma para todas las componentes de frecuencia. Todas las

frecuencias del espectro son transmitidas a la misma velocidad y la señal completa llega sin

distorsiones.

Para un medio en el cual, los parámetros constitutivos µ y ε son dependientes de la

frecuencia, el número de onda es una función más complicada de la frecuencia, entonces la

velocidad de fase, ya no es la misma para todas las frecuencias. Diferentes frecuencias en el

espectro de la señal son transmitidas a diferentes velocidades y llegan a su destino en

diferentes tiempos. La señal reconstruida en el receptor aparece entonces distorsionada.

Cuando la velocidad de fase depende de la frecuencia, decimos que el medio es un medio

dispersivo.

La ionósfera, dadas sus características, mencionadas en el capítulo anterior, es un medio

dispersivo, esto quiere decir que una señal que atraviesa la ionósfera va a sufrir una

distorsión debida a la diferencia de velocidades de las componentes de frecuencia de la

señal.

El objetivo de este trabajo es hacer una estimación del ancho de banda para comunicaciones

satelitales, es decir, la señal va a pasar a través de la ionósfera. Vamos a calcular el tiempo

de retardo que van a tener las componentes extremas de la señal, esto por medio de


28

considerar la teoría de propagación en medios con dispersión que se presenta en este

capítulo.

Para una clase importante de señales de información, la distorsión resulta benigna. La señal

completa se distorsiona en el medio con dispersión, pero la información de la señal puede

permanecer sin distorsión, siendo meramente transmitida a una velocidad diferente de

cualquiera de las componentes de frecuencia. Dentro de estas señales están las señales de

banda estrecha, en las cuales, el espectro está confinado a un rango de frecuencias

relativamente estrecho. Esto lo vamos a tomar en cuanta en la sección 2.4 para la obtención

de la velocidad de grupo.


29

2.4 Propagación de ondas en medios con dispersión

En esta sección, vamos a investigar cual es la velocidad de grupo que describa el

movimiento de todo el grupo de ondas, utilizando la teoría de propagación en medios con

dispersión [7]. Con esta velocidad vamos a buscar en el capítulo 3, una estimación más

precisa del ancho de banda para señales utilizadas en comunicaciones satelitales.

Recordemos que en los medios con dispersión, el número de onda k es una función de la

frecuencia:

)(ωkk = (2.7)

Además, recordemos que vamos a considerar una señal de banda estrecha:

0ωω <<∆ (2.8)

Y un sistema con entrada y salida.

El impulso de entrada está dado por:

titi eteetetE 00 )(21)(

21)( 000

ωω εε −+= !!! (2.9)

El impulso de salida está dado por:

titi eteetetE 00 )(21)(

21)( ωω εε −+= !!!

(2.10)


30

Las funciones ε0(t) y ε(t) las vamos a tomar como imágenes de la Transformada de Fourier

de otras funciones:

∫∞

∞−

= ωωεπ

ε ω det ti)(21)( 00 (2.11)

y

∫∞

∞−

= ωωεπ

ε ω det ti)(21)( (2.12)

Entonces, el proceso de propagación de la señal se puede describir con:

zike )(

0 )()( ωωεωε −= (2.13)

La amplitud espectral ε0(ω) se expresa a través de la amplitud compleja de la señal de

entrada ε0(t) por medio de la Transformada inversa de Fourier:

∫∞

∞−

−= dtet tiωεωε )()( 00 (2.14)

En (2.13), zike )(ω− es el coeficiente de transferencia del medio con dispersión y lo vamos

a denotar como χ(ω).


31

Tenemos que:

)()()( 0 ωχωεωε = (2.15)

Vamos a sustituir (2.15) en la expresión (2.12):

∫∞

∞−

= ωωχωεπ

ε ω det ti)()(21)( 0 (2.16)

De la ecuación (2.14) y de la ecuación (2.15) tenemos que:

∫∞

∞−

−= dtet tiωεωχωε )()()( 0 (2.17)

Hacemos un cambio de variable:

∫∞

∞−

−= θθεωχωε ωθde i)()()( 0 (2.18)

Sustituimos (2.18) en (2.12):

ωθθεωχπ

ε ωωθ dedet tii−∞

∞−

∞

∞−∫∫= )()(

21)( 0 (2.19)

Esto lo rescribimos en la siguiente forma:

∫∞

∞−

−= θθθεε dtht )()()( 0 Integral de Duamel. (2.20)


32

donde:

∫∞

∞−

= ωωχπ

ω deth ti)(21)( (2.21)

La ecuación (2.21) se conoce como Función de Green de este sistema. La relación entre

h(t) y χ(ω) es simplemente la Transformada de Fourier.

Recordemos, que estamos considerando un ancho de banda estrecho, en ese caso, podemos

representar k(ω) como una serie de Taylor:

"+″−+′−+= 02

0000 )(21)()( kkkk ωωωωω (2.22)

Donde:

",

)(

0

0

00

ωωω

ω

=∂∂=′

=

kk

kk

En principio, podemos considerar lo que se conoce como dispersión de primer y segundo

orden.


33

2.4.1 Dispersión de primer orden

Primero, para analizar la dispersión de primer orden, se toman los dos primeros términos de

la serie de Taylor en (2.22), se puede conocer más sobre este análisis en [7]:

′−+= 000 )()( kkk ωωω (2.23)

Sustituimos la expresión (2.23) en la expresión de χ(ω):

zkkie ])([ 000)( ′−+−= ωωωχ (2.24)

Ahora sustituimos χ(ω) en h(t):

∫

∫

∫ ∫

∞

∞−

′−′−

∞

∞−

′′−−

∞

∞−

∞

∞−

′−+−

=

=

==

ωπ

ωπ

ωπ

ωωχπ

ωω

ωωω

ωωωω

deee

deeee

deedeth

zktizkizik

tizkizkizik

tizkkiti

)(

])([

0000

0000

000

2

21

21)(

21)(

(2.25)

Tenemos la representación de Fourier de la función delta de Dirac:

∫∞

∞−

−=− dkexx xxik )(0

0

21)(π

δ


34

De donde:

zkkiezktth )(

0000)()( ′−−′−= ωδ (2.26)

zkkiezktth )(

0000)()( ′−−−′−=− ωθδθ (2.27)

(2.27) se sustituye en la expresión (2.20):

zkki

zkki

ezkt

dezktdtht

)(00

)(000

000

000

)(

)()()()()(

′−−

∞

∞−

′−−∞

∞−

′−=

−′−=−= ∫∫

ω

ω

ε

θθδθεθθθεε

(2.28)

Se obtiene que en este caso:

zkki

zkki

ezktt

ezktth

)(00

)(0

000

000

)()(

)()(

′−−

′−−

′−=

′−=

ω

ω

εε

δ

Entonces, )(tE va a tener la siguiente forma:

)(00

)(00

00000000 )(21)(

21)( zkzktizkzkti ezkteezktetE ′−+−′+− ′−+′−= ωωωω εε !!!

(2.29)

Esta es la señal de salida para un medio con dispersión de primer orden.


35

Podemos observar en principio que la forma de la señal no ha cambiado. La velocidad de

propagación es diferente:

gkkkk

U υω =∂∂=

′=

= 00

1 (2.30)

En esta última ecuación, tenemos la expresión para la velocidad de grupo, la cual vamos a

utilizar como uno sobre la derivada del número de onda en ω = ω0, para el cálculo del

ancho de banda en el capítulo 3, podemos observar la diferencia con la velocidad de fase:

0

0

kω

υ = (2.31)

Matemáticamente, la distinción es que la velocidad de fase es la relación de la frecuencia ω

con el número de onda k, mientras que la velocidad de grupo, es la derivada de la

frecuencia con respecto al número de onda, dado que k es función de ω, ω es también una

función de k y su derivada dω/dk puede ser obtenida ya sea por medio de ω = ω(k) o la

relación inversa k = k(ω).

Físicamente, la distinción es que la oscilación portadora se propaga como una onda a la

velocidad de fase, mientras la envolvente con información o moduladora se propaga como

una onda a otra velocidad, la velocidad de grupo. Cada factor de la señal completa, la

portadora y la envolvente, llegan sin distorsión, pero cada una con su propio retardo.

La señal completa entonces, no es precisamente idéntica en forma a la señal emitida, pero sí

preserva la información que fue impuesta a la portadora con la modulación. Entonces, para

una señal de banda estrecha, la distorsión causada por la dispersión no afecta la

información o el mensaje contenido en la envolvente o señal modulante y en este sentido, la

distorsión es benigna [10].


36

El término velocidad de grupo se refiere al grupo de frecuencias en la vecindad de la

frecuencia portadora, que componen a la señal de banda estrecha.

La velocidad de grupo para un experimento, se introduce como la velocidad del

desplazamiento del máximo de la energía del grupo de ondas bajo consideración y como

hemos visto, esta velocidad υg puede ser distinta de la velocidad de fase υ.

2.4.2 Dispersión de segundo orden

En el caso de la dispersión de segundo orden, se consideran ahora los tres primeros

miembros de la serie de Taylor en (2.22):

02

0000 )(21)()( kkkk ′′−+′−+= ωωωωω (2.32)

La particularidad de los medios con dispersión de segundo orden consiste en que en tales

medios la velocidad de grupo depende de la frecuencia o como se dice, tiene lugar la

dispersión de las velocidades de grupo.

0kkgr k =∂

∂= ωυ (2.33)

ωωυ 00

1 kkk

gr

′′+′=∂∂= (2.34)

La dispersión de las velocidades de grupo implica algunos fenómenos físicos particulares

como por ejemplo, el ensanchamiento de los impulsos, la formación de impulsos con una

forma estable de sus envolventes, las cuales repiten su espectro de frecuencias (espectrón),

el mismo efecto permite crear en base a las fibras ópticas los dispositivos para el control de


37

la duración de impulsos ópticos, en particular de los generadores de impulsos ópticos

extremadamente cortos.

En este caso tenemos :

zkkkie

)21( 0

200)(

′′+′+−=

ωωωχ (2.35)

Sustituyendo (2.35) en h(t):

∫

∫

∫

∞

∞−

′′−′−−

∞

∞−

′′−′−−

∞

∞−

′′+′+−

=

=

=

ωπ

ωπ

ωπ

ωω

ωωω

ωωω

deee

deeee

deeth

zkizktizik

tizkizkizik

tizkkki

02

00

02

00

02

00

21

)(

21

)21(

2

21

21)(

(2.36)

Denotamos: zkyzkt 000 ′′=′−= τθ , entonces:

∫∞

∞−

−−

= ωπ

τωωθdeeth

iizik 20

2021

2)( (2.37)


38

Utilizamos la siguiente integral:

ab

ba ea

de2

2 2 πωωω =∫∞

∞−

+−

Con 22

20

θτ ibyia == , tenemos:

20

202

0

20

2

20

42

20

22

22

)( τθ

τθ

τπ

πτ

ππ

iziki

zik

ei

eei

eth−−−

==

Simplificando esta ecuación obtenemos:

20

2

2)(

20

2

0

τπ

τθ

ieeth

i

zik

−= (2.38)

Esta expresión la sustituimos en (2.12):

∫∞

∞−

−

−= τετπ

ε τθτ

τττ

θ

deti

eetii

i

zik 20

20

220

2

0 202

0

2

)(2

)( (2.39)

Esta última ecuación es la función ε(t) en términos de ε0(t), la podemos sustituir en (2.10)

para conocer la forma del impulso de salida, notamos que en este caso la forma sí ha

cambiado. Para conocer más sobre este análisis, se puede consultar [7].


39

2.5 Relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase

Para encontrar la relación entre ellas consideremos la siguiente cadena de igualdades [5]:

dkdk

dkkd

dkdU υυυω +=== )( (2.40)

Tomando en cuenta que λλπ

λπ ddkyk 2

22 −== obtenemos la expresión:

λυλυ

ddU −= (2.41)

La cual se conoce como fórmula de Rayleigh.

Vamos a analizar más detalladamente la relación entre la velocidad de fase y la velocidad

de grupo:

1. Si 0=λυ

dd , es decir, n = constante, no hay dispersión. En este caso, U = υ , la

velocidad de fase coincide con la velocidad de grupo. Esto es valido para algunos

medios materiales, incluso considerando la propagación de ondas luminosas en el

aire y en el agua se puede menospreciar la dispersión ya que es demasiado pequeña.

2. Si 0>λυ

dd , entonces U < υ, en este caso, como regla tiene lugar cuando la luz se

propaga a través de diferentes cristales y otros medios transparentes. Notemos que

si 0>λυ

dd , es decir, 0>

nc

ddλ

, entonces 0<λd

dn , ya que λλ

υddn

nc

dd

2−= . Por lo

tanto, el índice de refracción n disminuye con el aumento de la longitud de onda.

Este frecuente tipo de dependencia de n con la longitud de onda λ se conoce como

dispersión normal.


40

3. Si 0<λυ

dd , entonces U > υ. En tal caso 0>

λddn , es decir, el índice de refracción

crece con el aumento de la longitud de onda λ. Tal dependencia de n con λ puede

tener lugar en las regiones del espectro donde se observa una intensa absorción de la

luz, esta dependencia se llama dispersión anómala.

2.6 Ondas en medios con absorción

En la ecuación (2.30) tenemos la expresión de la velocidad de grupo, de acuerdo con esta,

necesitamos conocer la forma para el número de onda k, para esto, vamos a tomar en cuenta

la propagación de ondas en medios con absorción.

Tenemos las definiciones de los ángulos de las pérdidas eléctricas y magnéticas [4]:

µµεε ′′′=∆′′′=∆ /tan/tan M (2.42)

La magnitud ∆ se conoce como ángulo de las pérdidas eléctricas y ∆M como ángulo de las

pérdidas magnéticas. ε ′ y ε ′′ son la parte real e imaginaria de la permitividad

respectivamente, µ′ y µ ′′ son la parte real e imaginaria de la permeabilidad.

En el caso de medios con absorción, el número de onda es una magnitud compleja debido a

la complejidad de la permitividad ε y permeabilidad µ:

( ) 2/Miekkikk ∆+∆−±=′′−′= (2.43)

Donde µεω )/( ck = .


41

Tenemos que las partes real e imaginaria del número de onda k tienen la siguiente forma:

)tan11(21Re 2 ∆++′′= µεω

ck (2.44)

)tan11(21Im 2 ∆++−′′= µεω

ck (2.45)

Donde ε′ y µ′ son las partes reales de la permitividad y permeabilidad respectivamente, ∆

es el ángulo de las pérdidas eléctricas, c es la velocidad de la luz.

Ahora utilizamos las siguientes igualdades que representan el comportamiento de una

partícula en el plasma [4]:

)(tan1 222

2

22

2

p

pp yωνωω

νωνω

ωε

−+=∆

+−=′ (2.46)

Donde ωp es la frecuencia de plasma y 2pω = Ne2/ε0m, e es la carga eléctrica del electrón,

m su masa y ν es el término medio de la cantidad de colisiones de electrones con las

partículas pesadas del medio por unidad de tiempo. Entonces las ecuaciones (2.44) y (2.45)

que representan las partes real e imaginaria del número de onda complejo k se convierten

en:

))(

11()1(Re 22222

42

22

2

21

p

pp

ck

ωνωωων

νωωω

−+++

+−= (2.47)

y

))(

11()1(Im 22222

42

22

2

21

p

pp

ck

ωνωωων

νωωω

−+++−

+−= (2.48)


42

La parte real del número de onda k será utilizada posteriormente para el cálculo de la

velocidad de grupo. La parte imaginaria es el coeficiente de amortiguamiento de la onda.

Hasta aquí, hemos establecido el marco teórico necesario para conocer la propagación de

ondas en la ionósfera y estudiar el fenómeno de la dispersión. En el capítulo 3, entonces,

vamos a establecer el procedimiento para hacer la estimación del ancho de banda necesario

para comunicaciones satelitales, tomando en cuenta la teoría de propagación en medios con

dispersión.

Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados

43

CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA PARA

DIFERENTES FRECUENCIAS Y COMPARACIÓN

DE RESULTADOS.

En los sistemas de comunicaciones en general, uno de los factores más importantes

que se debe tener en cuenta es el ancho de banda necesario para transmitir todas las

componentes de frecuencia de la señal sin distorsión, por otro lado, también se tienen

limitantes dado que el espectro de frecuencias de radio es un recurso finito, cada vez se

tiene menor espacio disponible y cada vez se requiere de mayor ancho de banda para los

servicios de telecomunicaciones.

En los Sistemas de Comunicaciones Satelitales, la señal de información viaja desde la

estación terrena hasta el satélite y de regreso, por lo tanto, la señal tiene que atravesar la

ionósfera, figura 3.1. Como ya se mencionó en el capítulo 2, la ionósfera es un medio

dispersivo, es decir, el número de onda depende de la frecuencia. Dicho de otra manera,

diferentes frecuencias, viajan a diferentes velocidades, entonces la señal sufre una

deformación, debida al retardo de las frecuencias dentro de la ionósfera.

El objetivo de este trabajo es hacer una estimación de esa deformación que sufre la señal,

tomando en cuenta la propagación en medios con dispersión que ya se estudió en el

capitulo anterior.

Primero, en la sección 3.1 mostramos un método que está establecido para el cálculo del

ancho de banda, este método considera la velocidad de fase de las componentes extremas

de la señal y obtiene una fórmula. En la obtención de dicha fórmula, se considera un valor

para la integral de la concentración electrónica, nosotros, de acuerdo con nuestros datos de


44

la concentración electrónica, hacemos un cálculo de la integral y obtenemos un segundo

valor para el ancho de banda. Posteriormente, en la sección 3.2 se presenta el

procedimiento que seguimos en este trabajo para la obtención del ancho de banda máximo

permitido, pero tomando en cuenta la velocidad de grupo (2.30) en cada una de las

componentes extremas de la señal.

En la sección 3.3 presentamos los resultados obtenidos y la comparación con los valores de

anchos de banda calculados utilizando los dos primeros métodos.

Figura 3.1 Trayectoria de la señal hacia el satélite

Enlace de subida Enlace de bajada


45

3.1 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de fase

Para calcular el ancho de banda máximo permitido de frecuencias utilizadas en

comunicaciones satelitales, es posible utilizar directamente una fórmula, sustituyendo la

frecuencia central. En esta sección presentamos dicha fórmula y el procedimiento que se

sigue para su obtención [8].

En líneas de comunicación cósmicas, normalmente se requiere un ancho de banda bastante

amplio, en la transmisión de información analógica, uno de los factores que limita el ancho

de banda es el defasamiento de las componentes espectrales de la señal por la dispersión en

la ionósfera.

La estimación cuantitativa de tales perturbaciones se reduce a la determinación de la

diferencia en tiempos de propagación de las componentes extremas del espectro de la señal,

la energía de la cual, está concentrada en el intervalo de frecuencias entre:

22 00máxmáx ffyff ∆

−∆

+ (3.1)

El cálculo del tiempo de propagación de una onda en la ionósfera tiene que tomar en cuenta

sus propiedades no homogéneas, supongamos que el índice de refracción n(ω,r) es

constante en un intervalo elemental del trayecto ∆r, entonces el cambio en la fase a lo largo

de ∆r es:

rrnc

rrk ∆⋅=∆⋅= ),(),( ωωωϕ (3.2)

Donde k es el coeficiente de fase (número de onda), c es la velocidad de la luz en el vacío, r

es la distancia y ω es la frecuencia angular de la señal.


46

Para toda la ionósfera se obtiene que:

∫ ′′=r

rdrnc 0

),(ωωϕ (3.3)

Para las frecuencias que se utilizan en las líneas cósmicas, el índice de refracción en la

ionósfera está dado como:

22 /)(4.401/)(8.801),( frNfrNrn −≈−=ω (3.4)

Sustituyendo (3.4) en (3.3):

( )∫ ′′−=r

rdfrNc 0

2/)(4.401ωϕ (3.5)

Entonces el tiempo de propagación de esa onda para la frecuencia f es:

∫ ′′−==r

rdrNcfc

rddrt

02 )(4.40),(ωϕω (3.6)


47

La diferencia en los tiempos de propagación de las componentes extremas:

∫ ′′∆=∆∆r

máxmáxmáx rdrNfcf

rft0

23 )(8.80),( (3.7)

La diferencia de fase:

máxmáxmáx tf ∆⋅∆=∆ πϕ 2 (3.8)

Se supone que ∆ϕmáx << 2π, y normalmente se toma que:

∆fmáx ⋅ ∆tmáx < 0.1 (3.9)

Esta desigualdad se cumple cuando (3.7) < 0.1.

De aquí se observa que el ancho de banda permisible ∆fmáx depende de la concentración

electrónica integrada a lo largo del trayecto de propagación, una aproximación de ∆fmáx se

puede lograr considerando el trayecto de propagación casi recto, lo cual es cierto para la

banda de frecuencia considerada y con los ángulos de elevación mayores que 100, en esta

aproximación:

∆′

=′sen

hdrd (3.10)

Donde ∆ es el ángulo de elevación, ver figura 3.2.


48

Entonces, tenemos que:

∫ ′′

∆⋅⋅⋅<∆ hmáx

hdhN

senfcf

0

302

)(8.80

1.0 (3.11)

De donde ∆fmáx:

∫ ′′

∆⋅⋅⋅<∆ hmáx

hdhN

senfcf

0

30

)(8.80

1.0 (3.12)

Donde h es la altura en la ionósfera, ver figura 3.2.

Figura 3.2 Trayectoria de la señal y distancia en la ionósfera.

Tierra

D

F

E

60 Km

100 Km

600 Km

900 ∆

IONÓSFERA dh′ dr′

h r


49

Para las condiciones promedio, la concentración electrónica integrada equivale a 3 × 1017

m-2 y entonces el ancho de banda se obtiene como:

∆×<∆ − senffmáx3

06101.1 (3.13)

Donde ∆fmáx y f0 están dados en Hz.

Esta ecuación (3.13) es comúnmente utilizada para el cálculo del ancho de banda en

comunicaciones satelitales, simplemente sustituyendo la frecuencia central de la señal y el

ángulo de elevación del satélite. Notemos que se están considerando las velocidades de fase

de las componentes extremas, a partir de estas se calcula la diferencia en tiempos de

propagación, pero no se considera la velocidad de grupo.

Posteriormente, vamos a comparar el resultado obtenido con esta fórmula (3.13), que

vamos a llamar método 1 y el resultado de tomar en cuenta la velocidad de grupo.

3.2 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de grupo Hemos obtenido en la sección 2.4 que la velocidad de grupo:

0

1

0kk kk

g ′=

∂∂=

=

ωυ

Donde:

0

000 ,)(ωωω

ω=∂

∂=′= kkkk


50

Tenemos de la ecuación (2.47) que:

))(

11()1( 22222

42

22

2

21

p

ppr c

kωνωω

ωννω

ωω−+

+++

−=

En esta ecuación, kr representa la parte real del número de onda complejo k.

De acuerdo con (2.30), para obtener la velocidad de grupo de la frecuencia ω0, necesitamos

la derivada de k con respecto a ω en ω = ω0, entonces calculamos la derivada de kr con

respecto a ω:

++−++

+−

+

++−++

+

++−+

++−−

++−−

+−

+

+

++−++

+−

=′

22222

24

22

2

222

22222

242

22222

24

22223

24

3222

24

22

2

22222

24

22

2

)(11122

)(

)(112

)(12

)(2

)(4

1

2

)(111

ωνωωνω

ωνω

ων

ωνωωνω

ωω

ωνωωνω

ωνωωνω

ωνωωνω

ωνω

ω

ωνωωνω

ωνω

p

pp

p

pp

p

p

p

p

p

pp

p

pp

r

c

ck

(3.14).


51

Sustituyendo las ecuaciones (2.46) de ε y tan ∆ , con ω = ω0 , tenemos la siguiente forma:

( ) ( )

)tan11()(22

)(tan112

tan12

tan2)(

tan4

2)tan11()(

2

220

2

20

2

2

0

2

2220

20

0

2

0∆++′

+∆++

+∆+

∆−−+∆

−′

+∆++′

=′ε

ωνωωωωνω

ωεω

ε

cck

pp

(3.15)

Recordamos que la frecuencia de plasma al cuadrado:

mNe

p0

22

εω =

Donde, ε0 es la permitividad del vacío, e la carga del electrón y m su masa:

ε0 = 8.854 × 10-12 C2/N⋅m2

e = 1.602 × 10-19 C

m = 9.11 × 10-31 kg.

Entonces sustituyendo estos valores en (2.46) y (3.15), podemos calcular la velocidad de

grupo (2.30) para esa frecuencia en cada altura, dado que depende de la concentración

electrónica N y la frecuencia promedio de colisiones ν que varían con la altitud. En la tabla

3.1 se presentan los valores de N y ν que se tienen para el cálculo de la velocidad de grupo,

tomados de las gráficas en las figuras 1.4 y 1.5.


52

Altura

en

Km

Concentración

electrónica, N

en m-3 para el día

Concentración

electrónica, N

en m-3 para la noche

Frecuencia de

colisiones, νννν

en s-1

60 1×108 - 3×107

70 8×108 - 8×106

80 1×109 - 1×106

90 6×1010 - 6×105

100 1×1011 1×108 1×105

130 9×1010 2×1010 2×104

140 9×1010 3×1010 1×104

150 2×1011 3×1010 6×103

170 3×1011 3×1010 3×103

190 3×1011 4×1010 1×103

200 4×1011 4×1010 8×102

210 5×1011 5×1010 6×102

220 6×1011 6×1010 6×102

230 6×1011 6×1010 6×102

240 7×1011 9×1010 5×102

250 9×1011 9×1010 5×102

270 9×1011 2×1011 5×102

280 1×1012 2×1011 5×102

370 1×1012 3×1011 5×102

380 8×1011 3×1011 5×102

440 8×1011 2×1011 5×102

450 5×1011 2×1011 5×102

550 5×1011 9×1010 5×102

560 4×1011 9×1010 5×102

600 4×1011 7×1010 5×102

Tabla 3.1 Valores de N y ν de acuerdo con la altura.


53

Debemos mencionar que estos valores que se tienen disponibles fueron obtenidos en

latitudes altas. Para el caso de México, estos valores pueden tener variaciones por el cambio

de latitud, pero simplemente debemos hacer la sustitución de valores en el método que es el

mismo.

También, recordemos que para la obtención de (3.13) se sustituyó el valor de la integral de

la concentración electrónica como 3×1017 m-2. Dado que nosotros tenemos nuestros valores

de la tabla 3.1, vamos a sustituir en (3.12) nuestro valor de la integral de N calculado como:

∑∫=

⋅=′′55

10

00010)()(i

i

h

mhNhdhNe (3.16)

Para el día, i varía desde 1 hasta 55 que es el número de alturas tomadas de 10 en 10 desde

60 hasta 600 km, y con i desde 1 hasta 50 para la noche, de 100 a 600 km. Al cálculo del

ancho de banda con la sustitución de (3.16) en (3.12) lo vamos a llamar método 2 y

también lo vamos a comparar.


54

3.2.1 Procedimiento para el cálculo del ancho de banda

Tenemos una frecuencia portadora f0, tomando en cuenta la dispersión que sufre la señal en

la ionósfera, vamos a investigar qué tan alejado puede estar el ancho de banda ∆f de esa

frecuencia f0.

Para nuestro método, sustituyendo los valores de la tabla 3.1, vamos a calcular la velocidad

de las componentes extremas de la señal dadas en (3.1), a cada 10 km, desde 60 hasta 600

km que es el intervalo que estamos considerando de la ionósfera en el día y de 100 a 600

km para la noche, la velocidad es calculada en cada altura con (3.15).

Una vez teniendo las velocidades de las frecuencias extremas en cada altura, calculamos la

velocidad promedio como la suma de todas las velocidades entre 55, que es el número de

alturas tomadas para el día y 50 para la noche.

La velocidad promedio la utilizamos para calcular el tiempo de retardo de cada frecuencia

desde la frontera inferior de la ionósfera hasta la frontera superior:

promveldt = (3.17)

La distancia d recorrida en la ionósfera en el día para el caso de incidencia vertical de la

onda es de 540 km, recordando que para las frecuencias utilizadas podemos considerar una

trayectoria recta de la señal, ver figura 3.3. Esta distancia varía de acuerdo al ángulo de

elevación del satélite como:

θsenkmd 540= (3.18)

Donde θ es el ángulo de elevación del satélite.


55

En la noche, la distancia d recorrida en la ionósfera para el caso de incidencia vertical de la

onda es de 500 km, ver figura 3.3. Esta distancia varía de acuerdo al ángulo de elevación

del satélite como:

θsenkmd 500= (3.19)

Dado que a diferentes ángulos de elevación del satélite, la señal recorre diferentes

distancias en la ionósfera, el ancho de banda varía con el ángulo de elevación, ver figura

3.3.

Figura 3.3 Distancia recorrida por la señal en la ionósfera de acuerdo

al ángulo de elevación del satélite.

La menor distancia recorrida dentro de la ionósfera se tiene cuando el ángulo θ es de 900,

por lo tanto se tiene un ancho de banda mayor. Cuando θ = 100, la distancia que recorre la

señal en la ionósfera es más grande, se tiene un mayor retardo de la señal y por lo tanto el

ancho de banda permisible se reduce considerablemente. La comparación de los resultados

con diferentes ángulos de elevación también se va a presentar posteriormente.

Tierra

D

F

E

60 Km

100 Km

600 Km

900 θ

IONÓSFERA d1 d2


56

Una vez que se tiene la distancia recorrida correspondiente al ángulo de elevación,

calculamos el retardo máximo ∆τmáx como la diferencia de los tiempos de retardo de las

componentes extremas de la señal:

21 ttmáx −=∆τ (3.20)

Donde t2 es el tiempo de retardo de la frecuencia 20máxff ∆

+ y t1 es el tiempo de retardo

de la frecuencia 20máxff ∆

− , calculados con (3.17).

El retardo máximo debe satisfacer la condición:

1.0<∆⋅∆ máxmáxf τ (3.21)

Donde ∆fmáx es el ancho de banda máximo permisible para esa determinada frecuencia f0.

Todos los cálculos se obtuvieron mediante un programa de computadora, el cual va

aumentando ∆fmáx desde un valor pequeño, obtiene la velocidad de las componentes

extremas correspondientes y va calculando el retardo máximo (3.20), en cada cálculo se

verifica la condición (3.21), en el momento en que ya no se satisface la condición, se

detienen los cálculos, mostrando el ancho de banda máximo que satisface la desigualdad.

Este es el ancho de banda máximo permitido para esa frecuencia.

Los listados de los programas utilizados para el día y para la noche se tienen en los

apéndices A y B respectivamente. Los resultados obtenidos con los diferentes métodos se

muestran en la siguiente sección.


57

3.3 Presentación y comparación de resultados

Para mostrar los resultados obtenidos de cálculos de anchos de banda, tomamos diferentes

frecuencias portadoras en las bandas C, Ka, Ku y L, de acuerdo al apéndice C. Los

resultados comparativos se muestran en las siguientes tablas.

Tenemos en cada tabla, la frecuencia central f0, el ángulo de elevación del satélite y los

anchos de banda calculados con los diferentes métodos, el método 1 es el ancho de banda

calculado con (3.13), el método 2 es el ancho de banda considerando (3.16) y finalmente, la

estimación hecha en este trabajo.

Para el día, el valor calculado de la integral de la concentración electrónica (3.16), es:

3.0451899 × 1017 m-2.

Podemos observar que en este caso, el resultado es bastante aproximado al que se considera

para la obtención de (3.13), como consecuencia, los anchos de banda calculados son muy

parecidos, tablas 3.2 – 3.10.

Para la noche, el valor calculado de la integral de la concentración electrónica (3.16), es:

0.72909997491 × 1017 m-2.

En este caso, el resultado es diferente al que se considera para la obtención de (3.13), por lo

que los anchos de banda tienen cambios más grandes de acuerdo al método, tablas 3.11 -

3.19.

En las tablas, se presentan los anchos de banda calculados para frecuencias que están

asignadas en las bandas C, X, Ku, Ka para el Servicio Fijo por Satélite y en la banda L para

el Servicio Móvil por Satélite, frecuencias asignadas para el enlace de subida y enlace de

bajada [20]. Las tablas 3.2 – 3.10 son para el día y las tablas 3.11- 3.19 para la noche.


58

fo

GHz

Ángulo de elevación en

grados

Método 1 Ancho de Banda

en Hz


en Hz

Ancho de Banda con velocidad de

grupo en Hz. 5.787 90 4.842536 × 108 4.861026 × 108 4.903640 × 108 5.787 45 4.072071 × 108 4.087619 × 108 4.125620 × 108 5.787 10 2.017938 × 108 2.025643 × 108 2.046440 × 108

6.475 90 5.731289 × 108 5.753172 × 108 5.802360 × 108 6.475 45 4.819420 × 108 4.837822 × 108 4.882050 × 108 6.475 10 2.388292 × 108 2.397411 × 108 2.421930 × 108

Tabla 3.2 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda C, enlace de subida.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 3.45 90 2.229057 × 108 2.237568 × 108 2.258820 × 108 3.45 45 1.874406 × 108 1.881563 × 108 1.900030 × 108 3.45 20 1.303608 × 108 1.308585 × 108 1.321950 × 108

4.65 90 3.487964 × 108 3.501282 × 108 3.533220 × 108 4.65 50 3.052805 × 108 3.064461 × 108 3.093460 × 108 4.65 20 2.039848 × 108 2.047637 × 108 2.068290 × 108

Tabla 3.3 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda C, enlace de bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 7.65 90 7.360119 × 108 7.388221 × 108 7.448680 × 108 7.65 60 6.849362 × 108 6.875514 × 108 6.933980 × 108 7.65 40 5.900904 × 108 5.923435 × 108 5.976970 × 108

Tabla 3.4 Anchos de banda en el día para una frecuencia de la banda X, enlace de bajada.


59

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 12.75 90 1.583645 × 109 1.589692 × 109 1.600182 × 109 12.75 50 1.386069 × 109 1.391361 × 109 1.401830 × 109 12.75 20 9.261552 × 108 9.296915 × 108 9.382550 × 108

14.25 90 1.871177 × 109 1.878322 × 109 1.889844 × 109 14.25 55 1.693547 × 109 1.700013 × 109 1.711799 × 109 14.25 25 1.216435 × 109 1.221080 × 109 1.231692 × 109

Tabla 3.5 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ku, enlace de subida.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 11.95 90 1.436959 × 109 1.442446 × 109 1.452322 × 109 11.95 65 1.367988 × 109 1.373211 × 109 1.383091 × 109 11.95 15 7.310425 × 108 7.338338 × 108 7.408850 × 108

12.625 90 1.560413 × 109 1.566371 × 109 1.576768 × 109 12.625 42 1.276424 × 109 1.281298 × 109 1.291465 × 109 12.625 28 1.069164 × 109 1.073246 × 109 1.082606 × 109

Tabla 3.6 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada.


60

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 27.5 90 5.016394 × 109 5.035548 × 109 5.045980 × 109 27.5 60 4.668281 × 109 4.686105 × 109 4.701090 × 109 27.5 50 4.390547 × 109 4.407311 × 109 4.425110 × 109

30.5 90 5.859255 × 109 5.881627 × 109 5.888470 × 109 30.5 40 4.697601 × 109 4.715537 × 109 4.736700 × 109 30.5 20 3.426638 × 109 3.439722 × 109 3.464910 × 109

92.1 90 3.074554 × 1010 3.086293 × 1010 3.034305 × 1010 92.1 45 2.585381 × 1010 2.595253 × 1010 2.571587 × 1010 92.1 20 1.798075 × 1010 1.804941 × 1010 1.806491 × 1010

209.5 90 1.054796 × 1011 1.058824 × 1011 1.008086 × 1011 209.5 45 8.869746 × 1010 8.903612 × 1010 8.617220 × 1010 209.5 20 6.168712 × 1010 6.192266 × 1010 6.124093 × 1010

Tabla 3.7 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ka, enlace de subida.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 20.7 90 3.276032 × 109 3.288541 × 109 3.302200 × 109 20.7 45 2.754804 × 109 2.765322 × 109 2.781970 × 109 20.7 10 1.365159 × 109 1.370371 × 109 1.383330 × 109

40.2 90 8.866081 × 109 8.899935 × 109 8.884270 × 109 40.2 45 7.455456 × 109 7.483923 × 109 7.497330 × 109 40.2 10 3.694595 × 109 3.708702 × 109 3.739840 × 109

82.5 90 2.606595 × 1010 2.616547 × 1010 2.579596 × 1010 82.5 50 2.281395 × 1010 2.290106 × 1010 2.270509 × 1010 82.5 20 1.524401 × 1010 1.530222 × 1010 1.533060 × 1010

157.5 90 6.875646 × 1010 6.901898 × 1010 6.662844 × 1010 157.5 50 6.017838 × 1010 6.040815 × 1010 5.891188 × 1010 157.5 20 4.021048 × 1010 4.036402 × 1010 4.012894 × 1010

Tabla 3.8 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada.


61

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 1.633 90 7.258918 × 107 7.286635 × 107 7.360000 × 107 1.633 45 6.103998 × 107 6.127305 × 107 6.190000 × 107 1.633 10 3.024872 × 107 3.036422 × 107 3.068400 × 107

Tabla 3.9 Anchos de banda en el día para frecuencia de la banda L, enlace de subida.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 1.534 90 6.608923 × 107 6.634157 × 107 6.701200 × 107 1.534 45 5.557420 × 107 5.578639 × 107 5.635800 × 107 1.534 10 2.754012 × 107 2.764527 × 107 2.793600 × 107

Tabla 3.10 Anchos de banda en el día para frecuencia de la banda L, enlace de bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 5.787 90 4.842536 × 108 9.800884 × 108 9.744540 × 108 5.787 45 4.072071 × 108 8.241528 × 108 8.211120 × 108 5.787 10 2.017938 × 108 4.084137 × 108 4.084560 × 108

6.475 90 5.731289 × 108 1.159964 × 109 1.152333 × 109 6.475 45 4.819420 × 108 9.754099 × 108 9.712320 × 108 6.475 10 2.388292 × 108 4.833701 × 108 4.833490 × 108

Tabla 3.11 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda C, enlace de subida.


62

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 3.45 90 2.229057 × 108 4.511424 × 108 4.498320 × 108 3.45 45 1.874406 × 108 3.793640 × 108 3.787320 × 108 3.45 20 1.303608 × 108 2.638393 × 108 2.638100 × 108

4.65 90 3.487964 × 108 7.059345 × 108 7.028500 × 108 4.65 50 3.052805 × 108 6.178619 × 108 6.159820 × 108 4.65 20 2.039848 × 108 4.128481 × 108 4.125920 × 108

Tabla 3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda C, enlace de bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 7.65 90 7.360119 × 108 1.489625 × 109 1.477721 × 109 7.65 60 6.849362 × 108 1.386253 × 109 1.376882 × 109 7.65 40 5.900904 × 108 1.194293 × 109 1.188686 × 109

Tabla 3.13 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda X, enlace de

bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 12.75 90 1.583645 × 109 3.205164 × 109 3.160210 × 109 12.75 50 1.386069 × 109 2.805287 × 109 2.775800 × 109 12.75 20 9.261552 × 108 1.874460 × 109 1.866940 × 109

14.25 90 1.871177 × 109 3.787105 × 109 3.727360 × 109 14.25 55 1.693547 × 109 3.427596 × 109 3.383850 × 109 14.25 25 1.216435 × 109 2.461962 × 109 2.447120 × 109

Tabla 3.14 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ku, enlace de

subida.


63

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 11.95 90 1.436959 × 109 2.908284 × 109 2.870220 × 109 11.95 65 1.367988 × 109 2.768692 × 109 2.736100 × 109 11.95 15 7.310425 × 108 1.479568 × 109 1.475930 × 109

12.625 90 1.560413 × 109 3.158145 × 109 3.114310 × 109 12.625 42 1.276424 × 109 2.583375 × 109 2.560280 × 109 12.625 28 1.069164 × 109 2.163898 × 109 2.151100 × 109

Tabla 3.15 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ku, enlace de

bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 27.5 90 5.016394 × 109 1.015275 × 1010 9.840990 × 109 27.5 60 4.668281 × 109 9.448207 × 109 9.196450 × 109 27.5 50 4.390547 × 109 8.886096 × 109 8.676640 × 109

30.5 90 5.859255 × 109 1.185863 × 1010 1.145583 × 1010 30.5 40 4.697601 × 109 9.507549 × 109 9.299130 × 109 30.5 20 3.426638 × 109 6.935226 × 109 6.856840 × 109

92.1 90 3.074554 × 1010 6.222637 × 1010 5.645682 × 1010 92.1 45 2.585381 × 1010 5.232593 × 1010 4.872953 × 1010 92.1 20 1.798075 × 1010 3.639153 × 1010 3.511619 × 1010

209.5 90 1.054796 × 1011 2.134819 × 1011 1.760363 × 1011 209.5 45 8.869746 × 1010 1.795161 × 1011 1.551207 × 1011 209.5 20 6.168712 × 1010 1.248495 × 1011 1.155152 × 1011

Tabla 3.16 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ka, enlace de subida.


64

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 20.7 90 3.276032 × 109 6.630412 × 109 6.476870 × 109 20.7 45 2.754804 × 109 5.575490 × 109 5.485020 × 109 20.7 10 1.365159 × 109 2.762967 × 109 2.754460 × 109

40.2 90 8.866081 × 109 1.794420 × 1010 1.715076 × 1010 40.2 45 7.455456 × 109 1.508921 × 1010 1.461060 × 1010 40.2 10 3.694595 × 109 7.477548 × 109 7.423810 × 109

82.5 90 2.606595 × 1010 5.275528 × 1010 4.829981 × 1010 82.5 50 2.281395 × 1010 4.617352 × 1010 4.308346 × 1010 82.5 20 1.524401 × 1010 3.085260 × 1010 2.988099 × 1010

157.5 90 6.875646 × 1010 1.391572 × 1011 1.193432 × 1011 157.5 50 6.017838 × 1010 1.217959 × 1011 1.077025 × 1011 157.5 20 4.021048 × 1010 8.138262 × 1010 7.666526 × 1010

Tabla 3.17 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 1.633 90 7.258918 × 107 1.469143 × 108 1.468160 × 108 1.633 45 6.103998 × 107 1.235397 × 108 1.235300 × 108 1.633 10 3.024872 × 107 6.122086 × 107 6.128300 × 107

Tabla 3.18 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda L, enlace de

subida.

fo

GHz


grados


en Hz


en Hz


grupo en Hz. 1.534 90 6.608923 × 107 1.337590 × 108 1.336860 × 108 1.534 45 5.557420 × 107 1.124774 × 108 1.124790 × 108 1.534 10 2.754012 × 107 5.573887 × 107 5.579700 × 107

Tabla 3.19 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda L, enlace de

bajada.


65

Figura 3.4 Anchos de banda en el día para frecuencias de 10 a 200 GHz.

Ancho de banda en el día

1.00E+07

1.00E+10

2.00E+10

3.00E+10

4.00E+10

5.00E+10

6.00E+10

7.00E+10

8.00E+10

9.00E+10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Frecuencia GHz

Anc

ho d

e B

anda

en

Hz

Método1Método2Método3


66


Ancho de Banda en el día

8.50E+09

9.00E+09

9.50E+09

1.00E+10

1.05E+10

1.10E+10

1.15E+10

1.20E+10

1.25E+10

45 50 55

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

z



67



1.15E+10

1.20E+10

1.25E+10

1.30E+10

1.35E+10

1.40E+10

55 60

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

z



68



1.35E+10

1.37E+10

1.39E+10

1.41E+10

1.43E+10

1.45E+10

1.47E+10

1.49E+10

1.51E+10

1.53E+10

1.55E+10

60 65

Frecuencia en GHz

AN

cho

de b

anda

en

Hz



69



1.50E+10

1.55E+10

1.60E+10

1.65E+10

1.70E+10

1.75E+10

65 70

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

z



70



1.70E+10

1.75E+10

1.80E+10

1.85E+10

1.90E+10

1.95E+10

2.00E+10

2.05E+10

2.10E+10

2.15E+10

70 75 80

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

z



71



3.00E+10

4.00E+10

5.00E+10

6.00E+10

7.00E+10

8.00E+10

9.00E+10

110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

Z



72



5.00E+10

5.50E+10

6.00E+10

6.50E+10

7.00E+10

7.50E+10

8.00E+10

8.50E+10

150 160 170 180 190 200

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e ba

nda

en H

z



73

Figura 3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de 10 a 200 GHz.

Ancho de Banda en la noche

0.00E+00

2.00E+10

4.00E+10

6.00E+10

8.00E+10

1.00E+11

1.20E+11

1.40E+11

1.60E+11

1.80E+11

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Frecuencia en GHz

Anc

ho d

e B

anda


Conclusiones

74

Conclusiones

Hemos hecho los cálculos de anchos de banda con los tres métodos para varias frecuencias

en las diferentes bandas, para el día y para la noche, con tres ángulos de elevación en cada

una, para investigar los cambios que se producen.

De los resultados obtenidos podemos observar que en el día, los anchos de banda con los

tres métodos no son muy diferentes, pero, el cálculo con el método 1, siempre es menor.

Aproximadamente a frecuencias menores que 50 GHz, el ancho de banda calculado con

nuestro método es el mayor, muy parecido al método 2. Con frecuencias mayores a 50

GHz, aproximadamente, el ancho de banda de nuestro método empieza a ser menor que el

del método 2 y la diferencia crece con el aumento de la frecuencia.

En la noche, el ancho de banda tiene un aumento considerable, debido a la disminución de

la ionización. En nuestra estimación y el método 2, se ha considerado este cambio, teniendo

que el ancho de banda siempre es mayor con el método 2, con valores muy parecidos a los

de nuestro método, aunque la diferencia crece con la frecuencia. En la obtención del

método 1, no se consideran los cambios en los parámetros de la ionósfera, debido a esto el

ancho de banda con este método está más alejado.

Como se estableció en la sección 3.2.1, la distancia recorrida por la señal varía dependiendo

del ángulo de elevación del satélite, en los resultados, vemos que efectivamente, el ancho

de banda se reduce considerablemente con la disminución del ángulo de elevación. El

ancho de banda mayor se tiene con θ = 900 y el menor con θ =100.

La similitud entre el método 2 y nuestro método es debida a que hemos sustituido nuestro

valor de la integral de la concentración electrónica en 3.12 en cada caso.

Sin embargo, por la teoría y la variación en los parámetros que se han considerado, nuestro

método debe utilizarse en el cálculo de ancho de banda para comunicaciones satelitales en

lugar de otros métodos menos precisos.

Bibliografía

75

Bibliografía

[1] Paul Rohan, “Introduction to electromagnetic wave propagation”, Artech House,

Boston London, 1991, pp. 129-200.

[2] Kenneth Davies, “Ionospheric Radio Waves”, Blaisdell Publishing Company,

Massachusetts, 1969, pp. 39-142.

[3] Walter Greiner, “Classical Electrodynamics”, Springer, New York, 1998, pp. 379-

408.

[4] Vladislav V. Kravchenko, “Propagación de ondas electromagnéticas”,

Departamento de Telecomunicaciones, Sección de Estudios de Postgrado e

Investigación, ESIME, IPN, México D.F.

[5] Vladislav V. Kravchenko, “Tópicos Selectos de Sistemas de Comunicaciones por

Fibras Ópticas”, Departamento de Telecomunicaciones, Sección de Estudios de

Postgrado e Investigación, ESIME, IPN, México D.F.

[6] John R. Reitz, “Foundations of electromagnetics theory”, Addison-Wesley, New

York, cuarta edición, 1993, pp. 484-523.

[7] S. A. Akhmanov, S. Yu. Nikitin, “Óptica física”, Editorial de la Universidad de

Moscú, 1998.

[8] G. Yerokhin, O. Chernishev, N. Kozirev, V. Kocherzhevski, “Dispositivos Antenno-

feeders y propagación de ondas de radio”, Radio y Sviaz, Moscú, 1996, pp. 327-

329.

[9] Alan Rolf Mickelson, “Physical Optics”, Van Nostrand Rinhold, New York, 1992,

pp. 116-123.

Bibliografía

76

[10] Paul Diament, “Wave transmission and fiber optics”, Macmillan, New York, 1990,

pp. 69-89.

[11] Leon Brillouin, “Wave propagation and group velocity”, Academic Press, New

York, 1960, pp. 1-83.

[12] Stephen G. Lipson, “Optical Physics”, Cambridge University Press, 3 ra edición,

1995, pp. 31-33.

[13] Pochi Yeh, “Optical waves in layered media”, Wiley, New York, 1988, pp. 19-29.

[14] K. G. Budden, “Radio waves in the ionosphere”, Cambridge University Press,

1961, pp. 1-23.

[15] John Ashworth Ratcliffe, “An introduction to the ionosphere and magnetosphere”,

Cambridge University Press, 1972, pp. 3-220.

[16] John D. Kraus, “Electromagnetics”, Mc. Graw Hill, New York, 4a. Edición, 1992,

pp. 132-134, 310-311.

[17] N. M. Queen, G. Violini, “Dispersion theory in high-energy physics”, Macmillan,

London, 1974, pp. 19-29.

[18] Eugene Hecht, “Optics”, Addison Wesley, USA, 2da. Edición, 1987, pp. 12-23

[19] G. Maral, “Satellite Communications Systems”, John Wiley & Sons, New York, 3

era. Edición, 1998, pp. 64-66.

[20] Walter L. Morgan, “Communications Satellite Handbook”, John Wiley & Sons,

New York, 1989, pp. 124-163.

Bibliografía

77

[21] www.pgh-net.com/oes/prop-main.html

[22] www.sct.gob.mx

[23] www.satmex.com.mx

[24] www.cft.gob.mx

Apéndice A

78

Frecuencias en los Sistemas de Comunicación Satelital

Uno de los recursos básicos para los satélites de comunicaciones es el espectro de

radiofrecuencias y la organización encargada de la administración del espectro es la ITU

(Unión Internacional de Telecomunicaciones) y su Comité Consultivo Internacional de

Radio, el CCIR. Sin embargo, muchas administraciones nacionales deciden qué usos se

pueden hacer del espectro asignado por la ITU dentro de sus territorios.

El concepto de servicio de radiocomunicación es aplicado a la asignación de bandas de

frecuencia y el análisis de las condiciones para compartir una determinada banda entre

servicios compatibles. Para este fin, la ITU ha dividido el mundo en tres regiones:

Región 1: Europa, África, el Medio Este y los países de la ex Unión Soviética.

Región 2: América.

Región 3: Asia, excepto el Medio Este y los países de la ex Unión Soviética, Oceanía.

Las asignaciones de frecuencia para un determinado servicio pueden depender de la región.

De acuerdo a la región, las bandas asignadas pueden se exclusivas (bandas asignadas

únicamente al servicio) o compartidas (bandas compartidas entre varios servicios).

Los Servicios Fijos por Satélite usan las siguientes bandas:

a) Cerca de 6 GHz para el enlace de subida y cerca de 4 GHz para el enlace de bajada,

son los sistemas descritos como de 6/4 GHz o de banda C. Estas bandas están

ocupadas por los sistemas más viejos, como INTELSAT, Sistemas Domésticos

Americanos, etc. Tienden a estar saturados.

Apéndice A

79

b) Cerca de 8 GHz para el enlace de subida y alrededor de 7 GHz para el enlace de

bajada, sistemas descritos como de 8/7 GHz o de banda X. Estas bandas están

reservadas por acuerdo entre administraciones para uso de gobierno.

c) Cerca de 14 GHZ para el enlace de subida y cerca de 12 GHz para el enlace de

bajada, sistemas descritos como de 14/12 GHz o de la banda Ku. Sistemas como

EUTELSAT.

d) Cerca de 30 GHz para el enlace de subida y cerca de 20 GHz para el enlace de

bajada. Sistemas descritos como de 30/20 GHz o de la banda Ka. Estas bandas están

siendo de mayor interés dado el gran ancho de banda disponible y la poca

interferencia, dado el menor uso que tiene.

Las bandas por arriba de 30 GHz serán utilizadas de acuerdo con la tecnología y el

desarrollo de los requerimientos.

La mayoría de los Servicios Móviles por Satélite actualmente usan las bandas alrededor de

1.6 GHz para el enlace de subida y 1.5 GHz para el enlace de bajada (banda L).

El Servicio de Broadcast por Satélite contiene solo enlaces de bajada que usan bandas

alrededor de 12 GHz. El enlace de subida pertenece al Servicio Fijo por Satélite y se

conoce como enlace alimentador. La tabla A.1 Resume lo anterior [19].

Apéndice A

80

Servicio de radiocomunicación Bandas de frecuencia típicas

para subida/bajada

Término usado

Servicio Fijo por Satélite

(FSS)

6/4 GHz

8/7 GHz

14/12-11 GHz

30/20 GHz

Banda C

Banda X

Banda Ku

Banda Ka

Servicio Móvil por Satélite

(MSS)

1.6/1.5 GHz

30/20 GHz

Banda L

Banda Ka

Servicio de Broadcast Satelital

(BSS)

12 GHz Banda Ku

Tabla A.1 Bandas de frecuencia para comunicaciones satelitales.

Sistema de Satélites Mexicanos [23].

El Sistema de Satélites Mexicanos (SSM) está formado por los satélites Morelos II,

Solidaidad II, Satmex V y Satmex VI, cuyo estado operativo dentro de los parámetros

orbitales es responsabilidad del Centro de Control Primario Satelital ubicado en Iztapalapa,

el cual tiene un Centro de Control Alterno como respaldo ubicado en Hermosillo, Sonora.

El Morelos II forma parte de la primera generación de satélites mexicanos cuya

construcción se inició en 1983. Fabricado por Hughes, el Morelos II fue lanzado al espacio

el 27 de noviembre de 1985 en el transbordador espacial Atlantis (OV-104).

Solidaridad II pertenece a la segunda generación de comunicaciones espaciales para

México y cuenta con 18 transpondedores en banda C y 16 en banda Ku, equivalentes a 24

transpondedores de 36 MHz en cada banda. Se encuentra ubicado en la órbita 113° W.

La cobertura de Solidaridad II en banda C incluye México, el sur de los Estados Unidos, El

Caribe, Centro y Sudamérica. Por otro lado, la cobertura en banda Ku incluye México, la

Apéndice A

81

Costa Este de los Estados Unidos y las ciudades de San Francisco y Los Ángeles. Este

satélite ofrece, cobertura de alta potencia sobre México, conectividad entre los Estados

Unidos y Latinoamérica, ángulos de elevación excelentes en Norteamérica y la mayor parte

de Latinoamérica.

El Satmex V tiene cobertura continental en las bandas C y Ku. Es un satélite

geoestacionario que proporciona servicios de comunicaciones comerciales como Internet,

telefonía internacional, televisión analógica y digital, transmisión de datos y distribución de

contenido multimedia. Se encuentra ubicado en la órbita 116.8° W.

Satmex 6 es un satélite con un total de 60 transpondedores; 36 en banda C para tres

coberturas: Estados Unidos, Sudamérica y Continental; y 24 en banda Ku con dos

coberturas: Estados Unidos-México y Continental, con un haz de alta potencia sobre las

principales ciudades en Sudamérica. Ofrece, reducción del tamaño de antenas, linealizador

en cada canal, coberturas configurables, alta potencia en Sudamérica y el Caribe, y un solo

satélite con servicio para las Américas en bandas C y Ku.

Los satélites mexicanos operan básicamente en las bandas C, Ku y L para el Servicio

Móvil, sin embargo, para el cálculo de los anchos de banda, tomamos frecuencias

portadoras dentro de cada una de las bandas mencionadas en la tabla que son las bandas

utilizadas en los Sistemas de Comunicación Satelitales.

Apéndice B

82

/* Programa que calcula el ancho de banda en el día para frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales */ #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int R; void main() { do{ clrscr(); int i,j,inc,A; float dfm,f0,f01,f02,N,v,h,n,fdfm,D,cdfm; double SUM2[100],SUM[100]; double wp2,wp4,T,v2,s,S2,s3; double sum,sum2,prom,prom2,t,t2,fase,ret,vg,df; double k0,k1,k2,k3,k4,k5,w0,w02; double E,Tan,in; const double PI=3.14159265359; const int C0=3e8; printf("\n CALCULO DE ANCHO DE BANDA EN EL DIA\n"); printf("\n PARA FRECUENCIAS UTILIZADAS EN COMUNICACIONES SATELITALES\n"); printf("\n\n Introduce f0 en Hz: "); scanf("%f",&f0); printf("\n Introduce el ángulo de elevación en grados: "); scanf("%d",&A); /*Fórmula 1 para ancho de banda*/ fdfm=((1.1e-6)*(sqrt((pow(f0,3))*sin((PI/180)*A)))); D=(540000/(sin((PI/180)*A))); /*Distancia recorrida*/

Apéndice B

83

if(f0<1e6) {df=1; inc=1;} /*Iniciación e incremento*/ if((f0>=1e6) && (f0<1e9)) {df=10; inc=10;} /*del ancho de banda*/ if((f0>=1e9) && (f0<100e9)) {df=1000; inc=1000;} if(f0>=100e9) {df=10000; inc=10000;} do { dfm=df/2; f01=f0-dfm; /*Componentes extremas de la señal*/ f02=f0+dfm; h=50; sum=0; in=0; for (i=1; i<=55; i++) { /*55 alturas de 60 hasta 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 60) {N=1e8; v=1e7;} /*Valores de N y v para alturas*/ if (h == 70) { N=8e8; v=5e6;} if (h == 80) { N=1e9; v=5e6;} if (h == 90) { N=6e10; v=1e6;} if ((h > 90) && (h<=130)) { N=1e11; v=1e5;} if (h == 140) { N=9e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=2e11; v=6e3;} if ((h > 160) && (h<=190)) { N=3e11; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e11; v=1e3;} if (h == 210) { N=5e11; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e11; v=5e2;} if (h == 240) { N=7e11; v=5e2;} if ((h > 240) && (h<=270)) { N=9e11; v=5e2;} if ((h > 270) && (h<=370)) { N=1e12; v=5e2;} if ((h > 370) && (h<=440)) { N=8e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=550)) { N=5e11; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=4e11; v=5e2;} in=in+(N*10000); /*Cálculo de integral de N*/ w0=(f01*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para primer frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2);

Apéndice B

84

E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM[i]=vg; sum=sum+SUM[i]; } prom=(sum/55); /*Velocidad promedio*/ t=(D/prom); /*Tiempo de retardo*/ /*Fórmula 2 con integral de N*/ cdfm=sqrt(((0.1)*C0*(pow(f0,3))*(sin((PI/180)*A)))/(80.8*in)); h=50; sum2=0; for (i=1; i<=55; i++) { /*55 alturas de 60 hasta 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 60) {N=1e8; v=1e7;} /*Valores de N y v para alturas*/ if (h == 70) { N=8e8; v=5e6;} if (h == 80) { N=1e9; v=5e6;} if (h == 90) { N=6e10; v=1e6;} if ((h > 90) && (h<=130)) { N=1e11; v=1e5;} if (h == 140) { N=9e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=2e11; v=6e3;} if ((h > 160) && (h<=190)) { N=3e11; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e11; v=1e3;} if (h == 210) { N=5e11; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e11; v=5e2;} if (h == 240) { N=7e11; v=5e2;} if ((h > 240) && (h<=270)) { N=9e11; v=5e2;} if ((h > 270) && (h<=370)) { N=1e12; v=5e2;}

Apéndice B

85

if ((h > 370) && (h<=440)) { N=8e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=550)) { N=5e11; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=4e11; v=5e2;} w0=(f02*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para segunda frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM2[i]=vg; sum2=sum2+SUM2[i]; } prom2=(sum2/55); /*Velocidad promedio*/ t2=(D/prom2); /*Tiempo de retardo*/ ret=t-t2; /*Cálculo del retardo máximo*/ fase=df*ret; /*Ancho de Banda por retardo máximo*/ df=df+inc; /*Ancho de banda más incremento*/ } while (fase<0.1); /*Condición*/

Apéndice B

86

printf("\n\n\n Para f0-Df/2 = %e \n\n",f01); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum); printf("\n Velocidad promedio = %.10e m/s",prom); printf("\n Tiempo de retardo t1 = %.10e s \n\n",t); printf("\n\n Para f0+Df/2 = %e \n\n",f02); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum2); printf("\n Velocidad promedio = %.10e m/s",prom2); printf("\n Tiempo de retardo t2 = %.10e s",t2); printf("\n\n Distancia recorrida en la ionósfera = %f mts.",D); printf("\n\n\n\n\n Retardo máximo t1-t2 = %e s",ret); printf("\n\n Ancho de Banda X Retardo Máximo = %f",fase); printf("\n\n\n Para f0 = %.4e el ancho de banda= %f = %e Hz",f0,df,df); printf("\n\n\n Valor calculado de la integral de N = %.10e m-2",in); printf("\n\n Delta fmax por fórmula1 para f0 = %.4e = %.7e Hz",f0,fdfm); printf("\n Delta fmax por fórmula2 para f0 = %.4e = %.7e Hz",f0,cdfm); printf("\n\n\n Para hacer otro cálculo presiona 1 [enter],salir 0 [enter]:"); scanf("%d",&R);} while(R==1); }

Apéndice C

87

/* Programa que calcula el ancho de banda para la noche*/ /* de frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales */ #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int R; void main() { do{ clrscr(); int i,inc; float dfm,f0,f01,f02,N,v,h,n,fdfm,D,cdfm,A; double wp2,wp4,T,v2,s,S2,s3,df; double SUM2[100],SUM[100]; double sum,sum2,prom,prom2,t,t2,fase,ret; double Tan,k0,k1,k2,k3,k4,k5,vg,w0,w02; double E,in; const double PI=3.14159265359; const float C0=3e8; printf("\n CALCULO DE ANCHO DE BANDA NOCTURNO"); printf("\n\n PARA FRECUENCIAS UTILIZADAS EN COMUNICACIONES SATELITALES"); printf("\n\n\n Introduce f0 en Hz: "); scanf("%f",&f0); printf("\n Introduce el ángulo de elevación en grados: "); scanf("%f",&A); /*Fórmula 1 para ancho de banda*/ fdfm=((1.1e-6)*(sqrt((pow(f0,3))*sin((PI/180)*A)))); D=(500000/(sin((PI/180)*A))); /*Distancia recorrida*/

Apéndice C

88

if (f0<1e6) {df=1; inc=1;} /*Iniciación e incremento*/ if ((f0>=1e6) && (f0<1e9)) {df=10; inc=10;} /*del ancho de banda*/ if ((f0>=1e9) && (f0<100e9)) {df=1000; inc=1000;} if (f0>=100e9) {df=10000; inc=10000;} do { dfm=df/2; f01=f0-dfm; /*Frecuencias extremas*/ f02=f0+dfm; h=90; sum=0; in=0; for (i=1; i<=50; i++) { /*50 alturas de 100 a 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 100) { N=1e9; v=1e5;} /*Valores para N y v*/ if (h == 110) { N=1e10; v=5e4;} if (h == 120) { N=1e10; v=5e4;} if ((h > 120) && (h<=130)) { N=2e10; v=2e4;} if ((h > 130) && (h<=140)) { N=3e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=3e10; v=6e3;} if (h == 170) { N=3e10; v=3e3;} if ((h > 170) && (h<=190)) { N=4e10; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e10; v=8e2;} if (h == 210) { N=5e10; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e10; v=6e2;} if ((h > 230) && (h<=250)) { N=9e10; v=5e2;} if (h == 260) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 260) && (h<=280)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 280) && (h<=440)) { N=3e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=460)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 460) && (h<=530)) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 530) && (h<=550)) { N=9e10; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=7e10; v=5e2;} in=in+(N*10000); /*Integral de N*/

Apéndice C

89

w0=(f01*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para primer frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM[i]=vg; sum=sum+SUM[i]; } prom=(sum/50); /*Velocidad promedio*/ t=(D/prom); /*Tiempo de retardo t1*/ /*Fórmula 2 con integral de N*/ cdfm=sqrt(((0.1)*C0*(pow(f0,3))*(sin((PI/180)*A)))/(80.8*in)); h=90; sum2=0; for (i=1; i<=50; i++) { /*50 alturas de 100 a 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 100) { N=1e9; v=1e5;} /*Valores para N y v*/ if (h == 110) { N=1e10; v=5e4;} if (h == 120) { N=1e10; v=5e4;} if ((h > 120) && (h<=130)) { N=2e10; v=2e4;} if ((h > 130) && (h<=140)) { N=3e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=3e10; v=6e3;} if (h == 170) { N=3e10; v=3e3;} if ((h > 170) && (h<=190)) { N=4e10; v=1e3;}

Apéndice C

90

if (h == 200) { N=4e10; v=8e2;} if (h == 210) { N=5e10; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e10; v=6e2;} if ((h > 230) && (h<=250)) { N=9e10; v=5e2;} if (h == 260) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 260) && (h<=280)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 280) && (h<=440)) { N=3e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=460)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 460) && (h<=530)) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 530) && (h<=550)) { N=9e10; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=7e10; v=5e2;} w0=(f02*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para segunda frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM2[i]=vg; sum2=sum2+SUM2[i]; } prom2=(sum2/50); /*Velocidad promedio*/ t2=(D/prom2); /*Tiempo de retardo t2*/

Apéndice C

91

ret=t-t2; /*Retardo máximo t1-t2*/ fase=df*ret; /*Ancho de banda por el retardo*/ df=df+inc; /*Ancho de banda más incremento*/ } while (fase<0.1); /*Condición*/ printf("\n\n\n Para f0-Df/2 = %e \n\n",f01); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum); printf("\n Velocidad de grupo promedio = %.12e m/s",prom); printf("\n Tiempo de retardo t1 = %.10e s \n\n",t); printf("\n\n Para f0+Df/2 = %e \n\n",f02); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum2); printf("\n Velocidad d grupo promedio = %.12e m/s",prom2); printf("\n tiempo de retardo t2 = %.10e s",t2); printf("\n\n\n Distancia recorrida en la ionósfera = %f mts.",D); printf("\n\n\n\n\n Retardo máximo t1-t2 = %e s",ret); printf("\n\n Ancho de banda x Retardo Máximo = %f",fase); printf("\n\n Para f0 = %.4e el ancho de banda = %f = %e Hz",f0,df,df); printf("\n\n\n Valor calculado de la integral de N = %.10e m-2",in); printf("\n\n Delta fmax por fórmula1 para f0 =%.4e = %.7e Hz",f0,fdfm); printf("\n Delta fmax por fórmula2 para f0 =%.4e = %.7e Hz",f0,cdfm); printf("\n\n\n Para hacer otro cálculo presiona 1 [enter],salir 0 [enter]:"); scanf("%d",&R);} while(R==1); }

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