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Instituto politécnico nacional

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD ZACATENCO

Análisis Sísmico POR DESEMPEÑO

TESIS

QUE PARA OBTENER EL Título DE:

INGENIERO Civil

PRESENTA:

MARIA REYES CASIMIRO

DIRIGIDA POR:

M. en C. ELIù ROSETE CARRANCO

México df., FEBRERO DEL 2014

Agradecimientos

Primero quiero agradecer a Dios quien me lleno de fuerzas para culminar una

meta tan importante en mi vida.

Agradezco a mi asesor el profesor Eliù Rosete Carranco quien confió en mí y

compartió sus conocimientos para concluir dicho trabajo.

Agradezco también a mi familia quienes me apoyaron en todas sus formas

posibles.

También de forma especial agradezco a mi amigo y compañero quien confió en mí

otorgándome así su tiempo para culminar esta etapa de mi vida con tal éxito

muchas gracias Ricardo Baltasar Flores Carranza.

Índice

I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión)

I.1.- Definición

I.2.- Curvas esfuerzo – deformación de aceros de refuerzo y concreto

I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo

I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto.

I.3.- Método de las franjas/dovelas

I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas

I.3.2.- Ejemplo de aplicación 1

I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic


I.4.- Desarrollo del programa de computadora que genera los valores de

Momento – curvatura para secciones de concreto reforzado.

II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura

II.1.-Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura

II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento – Curvatura

II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas

II.1.3.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento –

curvatura del ejemplo 1.



II.1.5.- Ductilidad local por curvatura.

II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura.

II.1.7.- Redistribución de Momentos.

II.1.8.- Inercias agrietadas.

II.1.9.- Índices de daño sísmico local.

II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura

II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000.

II.2.2.- Comportamiento esperado.

III.- Técnica del Pushover utilizando un modelo de plasticidad

III.1.- Desarrollo del método

III.1.1.- Ejemplo de aplicación a un marco articulado con las siguientes

características:

III.2.- Obtención de la curva de capacidad resistente

III.3.- Matriz de rigidez condensada.

III.3.1.- Condensación estática de la matriz de rigidez.

III.4.- Matriz de rigideces lateral.

III.4.1.- Vigas y columnas axialmente rígidas.

III.5.- Determinación de la curva de capacidad resistente.

III.5.1.- Ejemplo de aplicación obtención de la curva de capacidad

resistente

IV.- Aplicación del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa del

Sap2000

V.- Análisis de resultados

V.1.- Esperados

V.2.- Obtenidos

V.3.- Interpretación de resultados

Conclusiones

Recomendaciones

Bibliografía

Índices de figuras

Índice de tablas

Índice de ejemplos

Anexo

Introducción

En la actualidad las estructuras solo se diseñan para la zona elástica o al inicio de

la zona plástica pero no en la zona platica en este trabajo se estudian ambos en

secciones de concreto reforzado para encontrar el comportamiento de cualquier

sección en dicha zona.

Con ayuda de un programa se pretende obtener el modelo para conocer el

comportamiento de un edificio de concreto reforzado como un elemento aplicando

cargas laterales hasta llevarlo a la falla por medio de la técnica del pushover.

La importancia de la relación Momento – curvatura es conocer la capacidad por

elemento y la ductilidad de la estructura, ya conocida dicha capacidad se requiere

conocer las fuerzas que se aplicaran a la estructura para poder hacerlo; se deben

conocer las excitaciones que se le deberán aplicar a la estructura para ello la

importancia de conocer los diferentes sismos que se mencionan en este trabajo, así

como los diferentes niveles de desempeño que estos son ocasionados por dichos

sismos.

Este trabajo consta de cuatro capítulos el primero es la “Relación de Momento –

curvatura (flexión)”, en este capítulo se define lo que es un dicha relación y lo

que es un diagrama de momento – curvatura, se menciona como se obtienen las

graficas de esfuerzo deformación tanto para el concreto como para el acero de

refuerzo, así también del método de dovelas y el desarrollo de un programa de

computadora que genera los valores de momento – curvatura para cualquier sección

de concreto reforzado.

En el segundo capítulo denominado “Aplicaciones de la relación momento –

curvatura” en este capítulo se obtiene la capacidad de ductilidad por curvatura aquí

se elaboraron algunos ejemplos.

El tercer capítulo titulado “Técnica del Pushover utilizando un modelo de

elasticidad”. En este capitulo se describe el desarrollo de dicho método, así también se

elaboran ejemplos cambiando el tipo de apoyo, uno cuando los apoyos son articulados y

otro donde los apoyos se consideran empotrados; así también para poder resolver dichos

marcos se resuelven por medio de dos métodos uno el método de las rigideces, elaborado

en una hoja de Excel y el otro usando el programa Staad, ambas formas se comparan y se

encuentran que existe una proximidad entre ambos métodos.

El cuarto capítulo “Aplicación del método del Pushover a marcos de concreto reforzado

mediante el programa del Sap2000; en este capítulo se aplica el método del Pushover a dos

marcos de concreto reforzado, mostrando las gráficas que se obtienen de este programa.

1

I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión).

I.1.- Definición

La relación Momento – Curvatura de una sección transversal de un elemento, es la

capacidad del elemento entre la razón de la variación de la dirección de una curva entre dos

puntos; es el resultado de un análisis con respecto a las graficas esfuerzo – deformación

del concreto y del acero. En este trabajo se emplean modelos constitutivos para el

concreto (los de Park y Paulay) y para el acero se utilizaron las funciones que se

desarrollaron en el artículo de la Revista de Ingeniería sísmica N° 49, 39-50 (1995)

“Comportamiento sísmico de estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros

de refuerzos mexicanos”. Mario E. Rodríguez y Juan Carlos Botero P. Instituto de

Ingeniería, UNAM. Dicho artículo es una investigación de tipo experimental que se

realizó a un grupo de barras del mercado nacional para conocer su comportamiento, a

base de marcos diseñados como marca el reglamento del DF., y los resultados arrojados

de dicha investigación mostraron sobre resistencias que podrían llevar a modos de falla del

tipo frágil, por lo que deben ser consideradas.

El diagrama Momento – Curvatura, nos permite conocer cuál es la capacidad de

ductilidad por curvatura y la máxima capacidad a flexión del elemento Mu .

I.2.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo y concreto.

I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo

En el análisis de comportamiento sismo resistente y de deformación en estructuras de

concreto reforzado, el uso de la grafica esfuerzo – deformación es muy válida, por lo que

en este apartado se hace mención sobre el modelo elastoplastico. Este tipo de modelo se

puede apreciar en la figura (1), aquí se presentan tres zonas, la primera es la zona elástica

que se encuentra comprendida en el intervalo (0 ≤ es < ey) aquí se define el modulo de

elasticidad, la segunda zona es la de fluencia que se encuentra comprendida en el intervalo

(ey ≤ es < esh) y finalmente la zona de endurecimiento por deformación la cual está

comprendida en el intervalo (esh ≤ es ≤ esu).

Para determinar la zona de endurecimiento por deformación se utiliza la siguiente

expresión (Mander 1984):

ƒs = ƒsu + (ƒy - ƒsu) (esu - es/esu - esh)p

Donde:

ƒy = 4577 kg/cm2

esh = 0.0088

ƒsu = 7491 kg/cm2

2

εsu = 0.1171

p = 3.474

I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto.

Algunos modelos para la obtención de la curva esfuerzo – deformación del concreto

confinado por estribos rectangulares han sido propuestos por investigadores que intentan

representar el comportamiento de dicho material, por lo que se pueden mencionar algunos.

En la figura (2) se muestra una curva trilineal propuesta por Chan, los puntos OAB

representan la curva para el concreto no confinado y los puntos BC depende del esfuerzo

transversal. En la figura (3) Blume y otros investigadores adoptan también una curva

trilineal, en esta curva el concreto no confinado se encuentra comprendido en los puntos

OA hasta 0.85ƒ´c y ABC que a veces se puede reemplazar por una línea recta, pero

depende de la cuantía y del esfuerzo del confinamiento transversal. En la figura (4) se

muestra una parábola recomendada por Baker, donde dicha parábola llega hasta un

esfuerzo máximo, el cual va a depender del gradiente de deformación a través de la sección

y luego una rama horizontal hasta una deformación que depende del gradiente de

deformación de la cuantía de acero transversal

En la figura (5) Roy y Sozen sugirieron reemplazar la rama descendente con una línea

recta con una deformación en 0.5ƒ´c relacionada linealmente con la cuantía de

acero transversal. La curva de Soliman y Yu se presenta en la figura (6), consiste en

una parábola y dos líneas rectas con esfuerzos y deformaciones en los puntos

críticos relacionados con la cuantía de acero transversal , con el espaciamiento y con

el área confinada. Sargin y otros en la figura (7), han propuesto una ecuación general

que proporciona una curva continua esfuerzo – deformación relacionada con la

cuantía, el espaciamiento y resistencia de fluencia del acero transversal y además

con el gradiente de deformación a través de la sección y la resistencia del concreto.

Figura 1.- Modelo constitutivo del acero

3

Figura 2.- Curva Trilineal propuesta por Chan.

Figura 3.- Curva trilineal propuesta por Blume y otros investigadores

Figura 2

Figura 4.- Parábola recomendada por Baker.

Figura 5.-Curva propuesta por Roy y Sozen

4

Los investigadores Kent y Park proponen un modelo en donde se reúnen muchas de las

características que se propusieron en las curvas anteriores y realizando una serie de

pruebas, en la figura (7) podemos apreciar dicho modelo.

Región AB: εc ≤ 0.002

ƒc = ƒć{2εs/0.002 – (εc/0.002)2}

Esta parte ascendente de la curva está representada por una parábola de segundo

grado y supone que el acero de confinamiento no afecta el perfil de esta parte de

la curva o la deformación del esfuerzo máximo. También se supone que el esfuerzo

máximo que alcanza el concreto confinado es la resistencia ƒć del cilindro. Hay

evidencia de que los estribos rectangulares provocan un aumento en la resistencia:

por ejemplo, véanse las figura (3), figura (6) y la figura (7). Sin embargo, este aumento

puede ser pequeño, al grado de que en las pruebas de Roy y Sozen figura (5) no se

encontró aumento alguno en la resistencia. En la mayoría de los casos, el refuerzo

máximo supuesto ƒć es conservador.

Región BC: 0.002 ≤ εc ≤ ε20c

Figura 6.- Curva propuesta por Soliman y Yu

Figura 7.- Modelo constitutivo del concreto propuesto por Kent y Park

5

ƒc =ƒć[1 – Z(εc – 0.002)]

Donde:

Z = 0.5/ ε50u + ε50h – 0.002

ε50u = 3 + 0.002 ƒć/ ƒć – 1000

ε50h = ¾ ps√(b´´/ sh)

Donde:

ƒć = resistencia del cilindro de concreto en lb/plg2 = 0.00689 N/mm

2 = 0.070278 kg/cm

2

ps = relación del volumen de refuerzo transversal al volumen del núcleo de concreto

medido al exterior de los estribos.

b´´ = ancho del núcleo confinado medido al exterior de los estribos.

sh = espaciamiento de los estribos.

El parámetro Z define la pendiente de la rama descendente recta. La pendiente de la

rama descendente se especifica por la deformación presente cuando el esfuerzo ha

caído hasta 0.5 ƒć, y se obtiene figura (7) de evidencia experimental existente. La

ecuación para ε50u toma en cuenta el efecto de la resistencia del concreto en la

pendiente de la rama descendente del concreto no confinado, ya que el concreto de

alta resistencia es más frágil que el concreto de baja resistencia. La ecuación para

ε50h da la ductilidad adicional debida a los estribos rectangulares y se obtuvo de los

resultados experimentales de tres investigaciones, figura (2), figura (5) y figura (6). Un

estudio ver figura (5) dio resultados que incluían el efecto del gradiente de

deformación a través de la sección (especímenes cargados excéntricamente), pero

como el efecto no fue marcado, no aparece en las ecuaciones. Al analizar los

resultados de las tres investigaciones se supuso que el recubrimiento se había

desconchado ya cuando el esfuerzo había caído hasta la mitad del esfuerzo

máximo. Se supuso que el núcleo confinado llega hasta los ejes centrales de los

lados de los estribos, aunque es evidente que se tendrá solo un pequeño error si se

considera que el núcleo confinado llega hasta el borde exterior de los estribos. Esto

podría explicar la presencia de cierto recubrimiento a deformaciones altas:

Región CD: εc ≥ ε20c

ƒ c = 0.2 ƒć

6

Esta ecuación toma en cuenta la capacidad del concreto de soportar ciertos

esfuerzos a deformaciones muy altas.

I.3.- Método de las franjas/dovelas

Este método sirve para encontrar las fuerzas en el concreto por medio de las franjas, y de

esta manera encontrar un equilibrio de fuerzas de las fuerzas a compresión y a tensión.

Conocidos los modelos se puede desarrollar el siguiente método.

I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas

1.- Se propone la deformación del concreto.

2.-Se propone la profundidad del eje neutro, a un tercio del peralte.

3.- Se calculan las deformaciones sucesivas, dividiendo la deformación entre el número

de franjas del área que trabaja a compresión.

4.- Ya obtenidas las deformaciones para cada franja en el área a compresión, se obtiene

la deformación en el área que trabaja a tensión, por medio de triángulos semejantes.

5.-Para calcular esto ya podemos obtener los esfuerzos para cada deformación en cada

franja, tanto para compresión como para tensión, por medio de las graficas esfuerzo –

deformación, tanto para el concreto en el área a compresión como para el acero en el área a

tensión.

6.- Obtenidos los esfuerzos generados en el área a compresión, se obtienen las fuerzas y

para ello se calcula un promedio de los esfuerzos a compresión, se multiplica por el ancho

de la sección y por el ancho de la franja, hasta llegar al final de los esfuerzos que se

generan en el área a compresión.

7.- Para obtener la fuerza en el área a tensión, se multiplica el esfuerzo del acero por el

área de acero a tensión.

8.- Obtenidas las fuerzas tanto a compresión como a tensión se verifica si existe una

igualdad o aproximación, si es así la profundidad del eje neutro es el requerido y se

prosigue a calcular los momentos tanto en compresión como en tensión, de lo contrario se

reduce la profundidad del eje neutro hasta llegar a dicha igualdad o aproximadamente.

9.- Para obtener el momento provocado por la tensión se usa la siguiente expresión:

MT= (h/2 – r) * T

7

10.- Para obtener el momento provocado por la compresión se usa la siguiente ecuación:

Mcc= (h/2 – r´)*Cc

Para obtener el momento del acero en el área a compresión se usa la siguiente expresión:

MCa = (h/2- (0.85*c /2 )* Ca

Figura 8.- Sección y Fuerza del acero a tensión

Figura 9.- Sección y Fuerza del concreto a compresión

Figura 10.- Sección y Fuerza del acero a compresión

h/2 -r

r

h/2 -r

h/2

8

11.- Finalmente se hace la sumatoria de los momentos tanto a compresión como a tensión

para obtener el momento máximo.


Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas

Datos de la sección:

Peralte = 55 cm, base = 30 cm, As = 15 cm2, A’s = 5.8 cm

2, d’ = 5 cm, r = 5 cm,

f´c = 348 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm

2.

Solución:

La primera profundidad del eje neutro se propone de 24 cm para este ejemplo como se

muestran en la figura 11.

Para calcular las deformaciones en el área a compresión se obtienen seis franjas/ dovelas

para obtener cada una de estas deformaciones se realiza lo siguiente:

Se toma la deformación máxima que para este ejemplo es 0.003 y se resta 0.003/6 de esta

manera se obtienen las siguientes deformaciones:

0.003- (0.003/6) = 0.0025

0.005-(0.003/6) = 0.002

0.002-(0.003/6) = 0.0015

Figura 11.- Distribución supuesta de deformaciones

9

0.0015-(0.003/6) =0.001

0.001-(0.003/6) =0.0005

Para obtener la deformación del acero en el área a compresión se le resta a 24 cm los 5 cm

del recubrimiento obtenido este valor se hace una interpolación como se muestra a

continuación:

24 cm = 0.003

19 cm = x

X = (19 cm * 0.003)/24 cm = 0.00237

Para obtener la deformación del acero a tensión se calcula por medio de triángulos

semejantes como se muestra a continuación:

24 cm = 0.003

26 cm = x

X = (26 * 0.003)/24 cm = 0.00325

Para obtener los esfuerzos de las deformaciones del concreto se usa la grafica

Grafica 1.- Esfuerzo – Deformación del concreto tomada del libro de Concreto

Reforzado de González Cuevas.

Para la deformación

0.0025 corresponde un

esfuerzo de 344 kg/cm2

10

Para obtener las fuerzas en el área a compresión se realiza lo siguiente:

Se suman los esfuerzos de la deformación 0,003 y 0 .0025, se dividen entre dos y se

multiplica por el ancho de franja y por el ancho de la sección.

(316 kg/cm2 + 344 kg/cm

2)/2 * 4 cm * 30 cm = 39600 kg = 39.6 Ton

(344 kg/cm2 + 348 kg/cm

2)/2* 4 cm * 30 cm = 41520 kg =41.5 ton

(348 kg/cm2 + 316 kg/cm

2)/2* 4 cm * 30 cm = 39840 kg =39.84 ton

(316 kg/cm2 + 250 kg/cm

2)/2* 4 cm * 30 cm = 33960 kg =33.96 ton

(250 kg/cm2 + 156 kg/cm

2)/2* 4 cm * 30 cm = 24360 kg =24.36 ton

(156 kg/cm2 + 0)/2* 4 cm * 30 cm = 9360 kg =9.36 ton

Grafica 2.- Esfuerzo – Deformación del acero.

Figura 12.- Presentación de los esfuerzos en el concreto y acero

Para la deformación

0.00325 corresponde un

esfuerzo de 2870 kg/cm2

11

Para obtener la fuerza en el acero a compresión, se multiplica el área de acero a

compresión por el esfuerzo correspondiente.

F = 5.8 cm2 * 4440 kg/cm

2 = 25752 kg = 25.7 ton

Para obtener la fuerza en el acero a tensión, se multiplica el área de acero a tensión por el

esfuerzo correspondiente.

F = 15 cm2 * 4870 kg/cm

2 = 73050 kg = 73.05 ton

Se suman las fuerzas correspondientes al área a compresión, como sigue:

39.6 + 41.5+39.84+33.96+24.36+9.36+25.7 = 214.3 ton

Ya obtenida la suma de las fuerzas a compresión como a tensión se comparan ambas

fuerzas.

214.3 ton > 73.05 ton

Se puede apreciar que las fuerzas son diferentes, por lo que se procede a bajar la

profundidad del eje neutro y se repite el procedimiento nuevamente, se detendrá el

procedimiento cuando las fuerzas sean iguales o aproximadas.

La profundidad del eje neutro a la que este ejemplo llega al equilibrio es de 6.7 cm

Figura 13.- Presentación de fuerzas en el concreto y acero.

12

De la misma manera se fija la deformación εcu = .0004

Figura 15.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la

deformación 0.0004.




deformación 0.003

13






deformación 0.002.

14







15

Calculo de momentos:

Deformación 0.0004

T = 7.14 ton – m

Cc = 6.45 ton – m

Ca = 0.67 ton – m

Mn = 14. 27 ton – m

Figura 23.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y

Fuerzas de la deformación 0.0036.


deformación 0.004.

Figura 25.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio

Para la deformación 0.0004.

16

Deformación 0.0008

T = 13.06 ton – m

Cc = 11.58 ton – m

Ca = 1.37 ton – m

Mn = 26.02 ton – m

Deformación 0.0012

T = 14.17 ton – m

Cc = 12.28 ton – m

Ca = 1.89 ton – m

Mn = 28.35 ton – m

Deformación 0.0016

T = 15.19 ton – m

Cc = 9.23 ton – m

Ca = 6.54 ton – m

Mn = 30.97 ton – m







17

Deformación 0.0020

T = 15.52 ton – m

Cc = 9.55 ton – m

Ca = 6.60 ton – m

Mn = 31.6 ton – m

Deformación 0.0024

T = 16.03 ton – m

Cc = 13.62 ton – m

Ca = 2.69 ton – m

Mn = 32.5 ton – m

Deformación 0.0028

T = 17.5 ton – m

Cc = 11.5 ton – m

Ca = 6.56 ton – m

Mn = 35.62 ton – m







18

Deformación 0.0032

T = 17.75 ton – m

Cc = 14.6 ton – m

Ca = 3.52 ton – m

Mn = 35.67 ton – m

Deformación 0.0036

T = 18.42 ton – m

Cc = 14.70 ton – m

Ca = 3.80 ton – m

Mn = 36.93 ton – m

Deformación 0.004

T = 19.58 ton – m

Cc = 13.45 ton – m

Ca = 6.84 ton – m

Mn = 39.89 ton – m







19

A continuación se presenta la grafica de Momento vs Deformación del ejemplo 1

Ya obtenida la gráfica Momento – Deformación, se obtiene la gráfica de Momento –

Curvatura, para obtener la curvatura se divide la deformación entre la profundidad del eje

neutro, haciendo esto se logra a la siguiente gráfica:

Grafica 3.- Momento vs Deformación del ejemplo 1

Grafica 4.- Momento vs Curvatura del ejemplo 1

20


Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas,

utilizando las graficas que se obtienen con el programa que se elaboro pero que se

explicara a detalle en más adelante en el Capítulo I.3.3.


Peralte = 80 cm, base = 40 cm, f´c = 250 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm

2, As = 25 cm

2,

A´s = 15 cm2.

En primer lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo – deformación

del acero, del modelo propuesto por Botero – Rodríguez.

En segundo lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo –

deformación del concreto, del modelo de Park – Kent.

Grafica 5.- Esfuerzo – Deformación del ejemplo de aplicación 2.

Grafica 6.- Esfuerzo – Deformación del ejemplo de aplicación 2.

21

Se propone una deformación de 0.001

Para obtener las deformaciones del concreto se realiza lo

siguiente:

0.001 - (0.001/6) =0.000833333

0.00083333 - (0.001/6)=0.00066667

0.00066667 – (.001/6)= 0.0005

0.0005 – (0.001/6)=0.0003333

0.0003333 – (0.001/6)=0.00016667

0.00016667 - (0.001/6)=0

Tabla 1.- Resumen de valores obtenidos para las

deformaciones del concreto.

Eje

neutro

26.6666667

cm

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas

Espesor de

la franja

0.001 187.5

4.44444444

0.00083333 160 30888.8889

0.00066667 136.0937 26319.44

0.0005 109.375 21819.44

0.00033333 69.37498 15888.8871

0.00016667 36.09374 9374.99733

0 0 3208.33244

Σ = 107499.986 kg

Los esfuerzos de cada una de estas deformaciones se obtienen de la siguiente tabla que son

los valores obtenidos del programa.

Deformación Esfuerzo

0 0

0.00005 12.34375

0.0001 24.37499

0.00015 36.09374

0.0002 47.49999

0.00025 58.59374

0.0003 69.37498

0.00035 79.84373

0.0004 89.99998

0.00045 99.84373

0.0005 109.375

0.00055 118.5937

0.0006 127.5

0.00065 136.0937

0.0007 144.375

0.00075 152.3437

22

0.0008 160

0.00085 167.3437

0.0009 174.375

0.00095 181.0937

0.001 187.5

Para obtener las fuerzas se realiza lo siguiente:

(187.5 + 160)/2 * 4.44444444*40 = 30888.889 kg

(160 + 136.0937)/2 * 4.44444444*40 = 26319.44 kg

(136.0937 + 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 21819.44 kg

(69.37498+ 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 15888.887 kg

(69.37498+ 36.09374)/2 * 4.44444444*40 = 9374.9973 kg

(36.09374)/2 * 4.44444444*40 =3208.3324 kg

Tabla 2.- Resumen del valor obtenido para la

deformación del acero a compresión.


A´s

compresión

0.00081 2100 31500 15

Σ = 138.999 ton

Esta grafica es la misma de la página 20.

La fuerza se obtiene al multiplicar el esfuerzo por el área de acero a compresión

Grafica 7.- Obtención del valor del acero a compresión marcado con una línea

de color negro.

23

2100 kg/cm2 * 15 cm

2 =31500 kg


deformación del acero a tensión.

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión

0.0018 3150 78750 25

Σ = 78.75 ton

Para obtener la deformación del acero se hace una interpolación para obtener el valor

requerido

0.001= 26.666667

x = 48.333333

Por lo tanto x = (0.001*48.3333333)/26.66666667 = 0.0018

Para obtener el esfuerzo se usa la grafica del acero

La grafica 8 es la misma de la página 20

Grafica 8.- Obtención del valor del acero a tensión marcado con una línea de

color negro.

24



Eje

neutro 20.5 cm


Espesor de la

franja

0.001 187.5

3.416666667

0.00083333 160 23745.8333

0.00066667 136.0937 20233.0695

0.0005 109.375 16773.6945

0.00033333 69.37498 12214.582

0.00016667 36.09374 7207.0292

0 0 2466.40557

Σ = 82640.6141 Kg




A´s

compresión

0.00081 2100 31500 15

Σ = 114.140614 Ton




0.0026 4577 114425 25

Σ = 114.425 ton

Obtención de momentos:

Momento en el área a tensión

MT = (80/2 – 5)* 114.425 ton = 4004.875 ton/cm = 40.048 Ton/m

Figura 35.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.001

25

Momento en el concreto

MCc = (80/2 – 5)* 82.64 ton = 2892.4 ton/cm = 28.924 Ton/m

Momento en el acero a compresión

MCa = (80/2 – 20.5*0.85/2)* 31500kg = 985556.25kg/cm = 9.85 Ton/m

Mn =78.81 T-m

Para la deformación de 0.001 el momento es:

Mn= 78.82 Ton - m

A continuación se propone la deformación de 0.002



Eje

neutro 26.6666667


Espesor de la

franja

0.002 250

4.444444444

0.00166667 242.3437 43763.8844

0.00133333 219.375 41041.6622

0.001 187.5 36166.6667

0.00066667 136.0937 28763.8844

0.00033333 69.37498 18263.8827

0 0 6166.66489

Σ = 174166.645

Figura 36.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.001

Figura 37.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.001

26




A´s

compresión

0.0016 3150 47250 15

Σ = 221.416645 Ton




0.0036 4577 114425 25

Σ = 114.425 Ton



Eje

neutro 11 cm


Espesor de la

franja

0.002 250

1.833333333

0.00166667 242.3437 18052.6023

0.00133333 219.375 16929.6857

0.001 187.5 14918.75

0.00066667 136.0937 11865.1023

0.00033333 69.37498 7533.8516

0 0 2543.74927

Σ = 71843.7412




A´s

compresión

0.0012 3150 47250 15

Σ = 119.093741 Ton




0.011 4777.527 119438.175 25

Σ = 119.438175 Ton

27



MT = (80/2 – 5)* 119.43 ton = 4180.05 ton/cm = 41.80 Ton/m




MCa = (80/2 – 11*0.85/2)* 47250 kg = 1669106 kg/cm = 16.69106 Ton/m

Para la deformación de 0.002 se obtiene el momento:

Mn =83.61 T-m




28

Ahora se propone la deformación de 0.003



Eje

neutro 26.6666667

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas Espesor de la franja

0.003 237.1391

4.444444444

0.0025 243.5696 42729.6622

0.002 250 43872.8533

0.0015 234.375 43055.5556

0.001 187.5 37500

0.0005 109.375 26388.8889

0 0 9722.22222

Σ = 203269.182

Tabla 14.- Resumen del valor obtenido para la deformación

del acero a compresión.

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión

0.002549 4577 68655 15

Σ = 271.924182 Ton

Tabla 15- Resumen del valor obtenido para la deformación

del acero a tensión.


0.0054 4577 114425 25

Σ = 114.425 Ton



Eje

neutro 9.8


Espesor de la

franja

0.003 237.1391

1.633333333

0.0025 243.5696 15703.1509

0.002 250 16123.2736

0.0015 234.375 15822.9167

0.001 187.5 13781.25

0.0005 109.375 9697.91667

0 0 3572.91667

Σ = 74701.4245

29



Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión

0.0017 4200 63000 15

Σ = 137.701424 Ton

Tabla 18- Resumen del valor obtenido para la



0.0199 5496.703 137417.575 25

Σ = 137.417575 Ton



MT = (80/2 – 5)* 137.41 ton = 4809.35 ton/cm = 48.09 Ton/m


MCc = (80/2 – 5)* 74.7 ton = 2614 ton/cm = 26.14 Ton/m


MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 63000 kg = 2257605 kg/cm = 22.57 Ton/m



30

Para la deformación de 0.003 se obtiene el momento:

Mn =96.8 T-m

Para la deformación de 0.004



Eje

neutro 26.6666667


Espesor de la

franja

0.004 224.2782

4.444444444

0.00333333 233.2809 40671.92

0.00266667 241.6404 42215.2267

0.002 250 43701.3689

0.00133333 219.375 41722.2222

0.00066667 136.0937 31597.2178

0 0 12097.2178

Σ = 212005.173




A´s

compresión

0.00255 4577 68655 15

Σ = 280.660173 Ton

Tabla 21- Resumen del valor obtenido para la



0.0054 4577 114425 25

Σ = 114.425 ton


31



Eje

neutro 9.8


Espesor de la

franja

0.004 224.2782

1.633333333

0.00333333 233.2809 14946.9306

0.00266667 241.6404 15514.0958

0.002 250 16060.2531

0.00133333 219.375 15332.9167

0.00066667 136.0937 11611.9775

0 0 4445.72753

Σ = 77911.9012




A´s

compresión

0.0023 4577 68655 15

Σ = 146.566901 Ton




0.026 5893.072 147326.8 25

Σ = 147.3268 ton



MT = (80/2 – 5)* 147.32 ton = 5156.2 ton/cm = 51.56 Ton/m


32




MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 68655 kg =2460251 kg/cm = 24.60 Ton/m

Para la deformación de 0.004 el momento es:

Mn =103.42 T-m



33

I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic

Programa que obtiene el diagrama Momento – Curvatura de secciones de concreto

reforzado con área de acero en dos lechos.

Grafica 9.- Momento vs Deformación del ejemplo 2

Grafica 10.- Momento vs Curvatura del ejemplo 2

34

Datos introducidos por el usuario:

Peralte de la sección.

Recubrimiento inferior.

Recubrimiento superior.

Ancho de la sección.

f´c del concreto.

Recubrimiento izquierdo.

Recubrimiento derecho.

Diámetro de estribos.

Separación de estribos.

Espaciamiento para las deformaciones del concreto.

Espaciamiento para las deformaciones del acero.

Acero a compresión.

Acero a tensión.

Número de franjas.

Procedimiento:

1.- El programa comienza pidiendo los datos de entrada que se mencionaron al inicio de

este apartado, lo primero que calcula son las graficas de los esfuerzos y deformaciones

para el concreto y el acero.

2.- Con estos valores ya disponibles el programa comienza a calcular las deformaciones en

el concreto, en este programa esta propuesta la profundidad del eje neutro a un tercio del

peralte y la deformación del concreto se propone para .004/40, el 40 es el numero de

valores que se desean conocer, considerando una deformación máxima de .004 como la

deformación máxima del concreto a compresión.

3.- Obtenidas las deformaciones del concreto obtiene los esfuerzos y calcula las fuerzas.

4.- Así también calcula las deformaciones del acero primero en el área a compresión, así

como su esfuerzo y fuerza, de la misma manera calcula la deformación del acero a tensión,

su esfuerzo y su fuerza.

5.- Obtenidos estos valores realiza la sumatoria de las fuerzas a tensión y a compresión y si

son iguales o aproximadas calcula los momentos, de lo contrario vuelve al inicio

disminuyendo la profundidad del eje neutro hasta que obtenga dicha igualdad o

aproximación, encontrada esta igualdad, calcula los momentos y vuelve al inicio a calcular

para otra deformación, esto lo ejecutara hasta llegar a la deformación máxima que es de

.004 deformación máxima del concreto a compresión.

6.- Los valores de las deformaciones, de los momentos y de las profundidades de eje

neutro se guardan en un archivo.

35

II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura

Una de las aplicaciones es la obtención de ductilidad por curvatura y la máxima

capacidad a flexión del elemento MU.

II.1.- Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura

Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar

una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo

ideal es que tenga un valor alto de μФ para que la edificación disipe la mayor cantidad

de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera

trabajen todos los elementos en una forma.

II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento - Curvatura

El punto A, se alcanza cuando el concreto llega a su máximo esfuerzo a la tensión; es el

comienzo del rango elástico.

El punto Y, se determina cuando el acero a tensión alcanza el punto de fluencia, definido

por un esfuerzo fy, y una deformación εy.

El punto S, se obtiene cuando el acero a tensión se encuentra al inicio de la zona de

endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia.

El punto U, se halla cuando el concreto llega a su máxima deformación útil a compresión

εu. No es la falla de la sección del elemento.

Fórmulas aproximadas.

Grafica 11.- Puntos principales del diagrama Momento - Curvatura

A

Y S

U

36

Para encontrar los puntos principales A, Y, U del diagrama momento curvatura, existen

fórmulas aproximadas que se pueden utilizar cuando no se dispone de un programa

II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas de

concreto reforzado.

Punto A

MA = I/C1(ƒct + P0/A)

A = bh

ФA = MA/Ec I

Donde:

C1: Es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más tensionada.

ƒct: Es el esfuerzo máximo a tensión del concreto.

I: Es el momento de inercia de la sección.

P0: Es la fuerza axial a compresión.

Ec: Modulo de elasticidad del concreto.

A: Área de la sección.

Punto Y

MY = 0.5ƒć bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1]

βc = d´/d

η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7

αy = εy / ε0

η0 = P0 / bdƒć

p1 = Asƒy / bdƒć

p´1= A´sƒy / bdƒć

εc = Фyd – εy ≤ εu

αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1

Фy = [ 1.05 + ( C2 – 1.05 ) η0 / 0.03 ] εy / (1- k)d

k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy

2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy

37

C2 = 1 + (0.45 / (0.84 + p1))

Las formulas indicadas fueron propuestas por Y. Park tienen un respaldo teórico y

experimental basado en el ensayo de 400 elementos.

Donde:

d´= Es el recubrimiento del armado a compresión.

ε0 = Es la deformación del concreto asociado a la máxima resistencia.

Punto U

MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My

Фu = μФ Фy

μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15

exp(0.654 pw + 0.38)

εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs

2

εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy

C1 = 1.05 Para p´1 ≠0

C1 = 1 + 1.9 p12.4

Para p´1 =0

C2 = 1 + 0.45 / (0.85 + 2 p´1 - p1 )

θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) u< 5 o L / d > 4

θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) [1 + 0.27(u-5)] u>5 y 2.5< L / d < 4

θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05)[1 + 0.185(u-5)/√pw-0.4] u> 5 y L / d<2.5

u = Tb / ƒ´c

Donde:

pw: Es la cuantía de confinamiento transversal en porcentaje. Si pw > 2% se considera pw

= 2. Por otra parte la ductilidad por curvatura μФ será igual a 1 si el valor que

resulta al aplicar la respectiva ecuación es menor a la 1.

θs: Es la rotación por corte.

Tb: Es el esfuerzo de adherencia.

38

L: Es la longitud del elemento.

II.1.3.- Ejemplo de aplicación para la obtención del diagrama Momento –


Ocupando los mismos ejemplos de las secciones antes resueltas, se calcularon los puntos

notables del diagrama Momento – Curvatura. Por medio del formulario y después con el

programa que se diseño.


H= 55 cm, b = 30 cm, As = 15 cm2, A´s = 5.8 cm

2, f´c = 348 kg/cm

2, d´= 5 cm.

Punto A

MA = I/C1(ƒct )

I = ((0.30 m * 0.553

m)/12) + (0.2252

m*0.00058 m2) + (0.225

2 m*0.0015 m

2)

I = 0.004264 m4

MA = 3480 T/m * 0.1*(0.004264 m4/0.275 m)

MA =5.39 T-m

ФA = 5.39 T-m/(2100000 * 0.004264 m4)

ФA = 0.000601 1/m

Punto Y

βc = d´/d

βc = 5.0 cm/55 cm

βc = 0.090

η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7

η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.001575/0.0021)0.7

η = 0.3140

αy = εy / ε0

αy = 0.002/0.0021

αy = 0.9523

39


p1 = (15 cm2 * 4577 kg/cm

2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm

2)

p1 = 0.1315


p´1= (5.8 cm2 * 4577 kg/cm

2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm

2)

p´1= 0.0508


εc = (0.0065 * 0.55 m) – 0.002

εc = 0.001575

αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1

Фy = εy / (1- k)d

Фy = 0.002/((1-0.4474)*0.55)

Фy = 0.0065 1/m

k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy

2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy

k= (√(0.18232/4*0.9523

2) + ((0.1315 + 0.090 + 0.0508)/0.9523) ) – (0.1823 / 2*0.9523)

k= 0.4474

αc = ((1 – 0.090 ) (0.001575/0.0020)) – 0.090

αc = 0.6266


MY = 0.5*3480 *0.30* 0.502*[((2-0.3140)*0.1315) + (0.3140 – (2*0.090)*0.6266*0.0508]

MY = 29.48 T-m

Punto U

C1 = 1.05

εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy

εb = (1.05 * 0.0062)

εb = 0.00651

εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs

2

40

εp = 0.5*0.00651 + 0.5 √ 0.006512 + 0.0001739

2 = 0.0065

θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05)

θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5)

θs = 0.0001739

MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My

MU = (1.24 – (0.15 *0.1315))

MU = 35.97 T-m

Фu = μФ Фy

Фu = 0.0065*

μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15

exp(0.645 pw + 0.38)

μФ = (0.0065 /0.0021 )0.218*3.5 – 2.15

exp(0.645 *3.5 + 0.38) =2.9

μФ = 2.9

Фu = 0.0065*2.9 = 0.0189 1/m

Con el programa se obtuvo la siguiente grafica donde se muestran los puntos

principales:

Grafica 12.- Grafica Momento – Curvatura generada en el programa elaborado para

el ejemplo 1

U

Y

A

41




H= 80 cm, b = 40 cm, As = 25 cm2, A´s = 15 cm

2, f´c = 250 kg/cm

2, d´= 4 cm.

Punto A

MA = I/C1(ƒct )

I = ((0.40 m * 0.803

m)/12) + (0.3552

m*0.0025 m2) + (0.355

2 m*0.0015 m

2)

I = 0.01757 m4

MA = 2500 T/m * 0.1*(0.01757 m4/0.40 m)

MA =10.98 T-m

ФA = 10.98 T-m/(2100000 * 0.01757 m4)

ФA = 0.000297 1/m

Punto Y

βc = d´/d

βc = 5.0 cm/80 cm

βc = 0.0625

Grafica 13.- Grafica comparativa de ambos métodos de los puntos principales

42

η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7

η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.00032/0.0021)0.7

η = 0.1029

αy = εy / ε0

αy = 0.002/0.0021

αy = 0.9523


p1 = (25 cm2 * 4577 kg/cm

2)/(40 cm * 75 cm * 250 kg/cm

2)

p1 = 0.1525


p´1= (15 cm2 * 4577 kg/cm

2)/(40 cm * 76 cm * 250 kg/cm

2)

p´1= 0.09033


εc = (0.0029 * 0.80 m) – 0.002

εc = 0.00032

Фy = εy / (1- k)d

Фy = 0.002/((1-0.4529)*0.80)

Фy = 0.0045 1/m

k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy

2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy

k= (√(0.242832/4*0.9523

2) + ((0.1525 + 0.0625 + 0.09033)/0.9523) ) – (0.24283 /

2*0.9523)

k= 0.4529

αc = ((1 – 0.0625 ) (0.00032/0.0020)) – 0.0625

αc = 0.0875


MY = 0.5*2500 *0.40* 0.752*[((2-0.1029)*0.1525) + (0.1029 –

(2*0.0625)*0.0875*0.09033]

MY = 81.39 T-m

43

Punto U

C1 = 1.05

εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy

εb = (1.05 * 0.0045)

εb = 0.004725

εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs

2

εp = 0.5*0.004725 + 0.5 √ 0.0047252 + 0.0001739

2 = 0.0045

θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.5)

θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5)

θs = 0.0001739

MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 ) My

MU = (1.24 – (0.15 *0.1525)) 81.39

MU = 99.06 T-m

Фu = μФ Фy

μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15

exp(0.645 pw + 0.38)

μФ = (0.0045 / 0.0021)0.218*1.2 – 2.15

exp(0.645*3.5 + 0.38) = 4.85

μФ = 4.85

Фu = 0.0045 * 1 = 0.0218

Con el programa se obtuvo lo siguiente grafica donde se muestran los puntos

principales:

Grafica 14.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo

2

U

Y

A

44

II.1.5.- Ductilidad local por curvatura

II.1.5.- Ductilidad local por curvatura

La ductilidad por curvatura μФ, es el cociente de la curvatura última Фu y la curvatura de

fluencia Фy, también llamada capacidad de ductilidad de una sección.

La curvatura última se determina considerando la deformación máxima del concreto a la

compresión, en este trabajo se consideró a 0.004.

La curvatura de fluencia se determina cuando el acero fluye se busca que deformación

tiene el concreto cuando este tiene una deformación de 0.0021.

μФ = Фu / Фy

Para las secciones resueltas en los ejemplos anteriores se calcula su capacidad de

ductilidad por curvatura obteniendo los siguientes valores:

Primer ejemplo

μФ = Фu / Фy

μФ =0.00033 /.00019

μФ = 1.73

μФ = 0.00045/0.00019

μФ = 2.36

Grafica 15.- Grafica Comparativa de ambos métodos de los puntos principales

45

Segundo ejemplo

μФ = Фu / Фy

μФ = 0.000264/0.000144

μФ = 1.83

μФ = 0.000358/0.000144

μФ = 2.48

II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura

En el siguiente apartado, se habla sobre los sismos de análisis con los cuales se debe

verificar el desempeño estructural de una edificación (el cual se puede definir como la

capacidad que tienen los elementos estructurales para soportar los sismos en relación al

tipo de especificaciones para la cual fueron diseñados). Ahora bien, ante los sismos

denominados raro y muy raro, por el Comité VISION 2000, en son muy severos la

estructura va ingresar al rango no lineal. Sea Md, el momento actuante debido a uno de

los dos sismos indicados, el cual es mayor que My, asociado a Md se tiene la curvatura

Фd. Se define la demanda de ductilidad por curvatura μd, con la siguiente ecuación:

μd = Фd / Фy

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura μ, como la

diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por

curvatura:

μr = (Фu / Ф) /(Фd / Фy)

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes

elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que

se espera en la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos,

se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban

parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.

(El cual es un comité, que fue creado por la SEAOC, Asociación de Ingenieros Estructurales de California. Su finalidad fue saber cuál es el desempeño que se espera de una

estructura ante un determinado evento sísmico, desempeño que es función del uso que tenga la edificación. El trabajo realizado por el Comité Vision 2000 fue publicado

en dos volúmenes. El Volumen I, Se definen los sismo de análisis, Niveles de desempeño expresados en términos cualitativos para la estructura, para elementos no

estructurales y para diferentes sistemas de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el diseño por desempeño. El Volumen II,

es un informe preliminar del sismo de Northirdge de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis sísmicos basados en el

desempeño)

46

II.1.7.- Redistribución de Momentos.

Para que se dé la redistribución de momentos (cuando a un elemento se le aplica una

carga se debe hacer una distribución en los extremos para que exista un equilibrio interno

provocado por las fuerzas externas y si se sigue incrementando esta distribución se seguirá

realizando) , es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad

por curvatura, en las secciones criticas que son los extremos de los elementos.

Un principio fundamental para la redistribución, es que la suma de momentos de las

vigas, antes de la redistribución, es igual a la suma de momentos de las vigas, después

de la redistribución. En consecuencia no se admite ninguna modificación a la sumatoria

de momentos. La redistribución, se puede realizar de la siguiente manera:

Redistribución de momentos a través de un nodo.

Aquí la redistribución se lleva cabo median de la siguiente forma, si el

momento negativo se reduce en un porcentaje en ese mismo porcentaje se

debe incrementar el momento positivo para que el nodo no se altere.

Redistribución de momentos en vigas que involucran redistribución de

acciones entre las columnas.

En este caso se realiza lo anterior para las vigas, ya obtenido eso busca el

equilibrio en el nodo en cual se modifica los momentos en las columnas lo

que nos lleva a encontrar nuevos cortantes sobre las columnas.

Para lograr el equilibrio ante cargas verticales la viga se considera como

simplemente apoyada.

Las secciones de las vigas, cuyos elementos se han reducido debido a las redistribución,

ingresan al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de

ductilidad por rotación, lo que permite que el concreto trabaje a grandes deformaciones

y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.

II.1.8.- Inercias agrietadas.

Una vez que se tiene la relación momento – curvatura de una sección, definida por un

modelo numérico, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes

condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento.

Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento

actuante es menor que el Momento de agrietamiento (MA), en este caso se tiene:

EI = MA/ФA = EIg

Donde Ig es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el

modulo de elasticidad del material.

Si en la grafica anterior, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a

flexión agrietada EIcr.

47

EIcr = My/Фy

Ante un sismo muy severo, la estructura va a sufrir daño. En consecuencia, el

análisis sísmico para estos eventos se realiza considerando la inercia agrietada Icr.

Los códigos establecen estos valores en función del nivel de desempeño estructural

esperado de la edificación.

Para los ejemplos resueltos anteriormente

EIcr = My/Фy

EIcr = 31.45/.0234

EIcr = 1344.01

EIcr = 83.98/.0171

EIcr = 4911.11

Código ecuatoriano de la construcción CEC – 2000

Icr = 0.5 Ig Para Vigas

Icr = 0.8 Ig Para Columnas

Icr = 0.2 Ig Para Muros estructurales

Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR – 98

Estado limite de Servicio.

o Icr = 0.5 Ig Para Vigas

o Icr = 1.0 Ig Para Columnas

o Icr = 1.0 Ig Para Muros no fisurados

o Icr = 0.5 Ig Para Muros fisurados

o Icr = 0.35 Ig Para Losas, en sistema losa – columna

Estado limite de Resistencia.

o Icr = 0.35 Ig Para Vigas

o Icr = 0.70 Ig Para Columnas

o Icr = 0.70 Ig Para Para Muros no fisurados

o Icr = 0.35 Ig Para Muros fisurados

o Icr = 0.25 Ig Para Losas, en sistemas losa – columna

En la norma NSR – 98 se puede apreciar que el valor de Icr depende del Estado de

Diseño, si se espera poco daño (Estado limite de servicio) los valores de Icr son

más altos en relación a cuando se espera más daño (Estado limite de Resistencia).

En el Reglamento de Construcción del Distrito Federal se menciona lo siguiente:

48

Icr = 0.5 Ig Para Vigas

Icr = 0.5 Ig Para Muros agrietados

Icr = 1 Ig Para Columnas

Icr = 1 Ig Para Muro no agrietados

II.1.9.- Índices de daño sísmico local.

La tendencia del diseño sísmico resistente es cuantificar el comportamiento no lineal

que se espera de una edificación y esto entre otras cosas significa, calcular el índice

de daño a nivel sección de los elementos, a nivel de piso y a nivel de la estructura.

En el presente aparatado se estudia la evaluación del índice de daño a nivel de sección,

también denominado índice de daño local y se desea presentar un modelo muy

sencillo basado únicamente en las relaciones momento curvatura.

Si el momento actuante Md, indicado anteriormente es igual al momento de fluencia

My, el índice de daño es igual a cero y si el momento actuante Md es igual a Mu, el

índice de daño es igual a uno. Por otra parte, si se considera una variación lineal del

índice de daño, hipótesis del modelo de daño, se tiene que:

ID = (Md - My) /(Mu - My)

En forma similar, se puede definir otro modelo de cálculo del índice de daño ID, en

función de la curvatura:

ID = (Фd - Фy) /(Фu - Фy)

Se necesita conocer las excitaciones que va a recibir la estructura, por conocer el índice de

daño, para ello es importante conocer los tipos de sismos que se pueden presentar por lo

que a continuación se presentan dichos sismos.

II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura

II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000.

Se definen los sismos de análisis, niveles de desempeño expresados en términos

cualitativos para la estructura, para elementos no estructurales y para diferentes sistemas

de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el

diseño por desempeño. El Volumen II, es un informe preliminar del sismo de Northirdge

de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis

sísmicos basados en el desempeño.

49

Las Normas que están vigentes en la mayoría de los códigos y normativas sísmicas,

tienen un objetivo principal, que la estructura tengan buen comportamiento inelástico

ante un sismo severo, el mismo que se define mediante estudios de peligrosidad

sísmica, considerando una vida útil de la estructura de 50 años con un 10% de

probabilidad de excedencia. Este sismo tiene un periodo de retorno que esta

alrededor de los 475 años. Para este evento, que tiene muy poca probabilidad de

registrarse durante la vida útil de la estructura, se desea que la edificación disipe la

mayor cantidad de energía y no colapse, de tal forma que el objetivo principal de

la mayor parte de los códigos es salvar vidas para el sismo severo.

El objetivo mencionado en el párrafo anterior se cumple en la práctica en estructuras bien

diseñadas, pero solo cuando se presentan sismos de menor magnitud con aceleraciones

menores a las esperadas, pero cuando se presentan sismos severos el daño estructural y no

estructural es demasiado grande; de tal manera que las pérdidas registradas han sido

cuantiosas. Por este motivo es fundamental una vez que se ha terminado de diseñar

los elementos estructurales verificar el desempeño que va a tener la edificación

ante sismos de menor intensidad y que de seguro se van a registrar durante la vida

útil de la estructural, hay que verificar el desempeño en términos estructurales y

económicos.

El comité Vision 2000, definió cuatro sismos de análisis, los mismos que se

presentan en la siguiente tabla.

Tabla 25.-Sismos de análisis con base a la clasificación de

VISION 2000

Sismo Vida útil

Probabilidad

de excedencia

Periodo de

retorno

Frecuente 30 años 50% 43 años

Ocasional 50 años 50% 72 años

Raro 50 años 10% 475 años

Muy raro 100 años 10% 970 años

Desde un punto de vista riguroso lo que se estableció son los parámetros para

definir los estudios de peligrosidad sísmica tendientes a obtener 4 eventos,

denominados sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro.

Al observar el periodo de retorno del sismo frecuente, se aprecia que este evento

si se va a registrar durante la vida útil de una edificación que por lo regular es de

50 años.

50

II.2.2.- Comportamiento esperado.

Las siguientes definiciones se presentan en el FEMA con la finalidad de conocer el nivel

de desempeño

Nivel de desempeño: Intención después del sismo, condición de un edificio. Es un punto

bien definido sobre una escala midiendo cuanta perdida es causada, por el daño del

sismo. Además de damnificados, la perdida puede ser en términos de propiedades y

capacidad operacional.

Rango de desempeño: Rango o banda de Desempeño, es decir, un nivel esperado.

Designación de rangos y niveles de desempeño. El Desempeño está separado en

descripciones de daño de sistemas Estructurales y No – Estructurales.

Designaciones estructurales de S-1 al S-5

S-1: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional.

S-2: Rango de Desempeño Control de daño (entre los niveles de Seguridad de Vida y

el Inmediatamente Ocupacional).

S-3: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.

S-4: Rango de Desempeño Seguridad Limitada (entre los niveles de Seguridad de

Vida y Prevención de Colapso).

S-5: Nivel de desempeño Prevención de Colapso.

S-6: Desempeño estructural No considerado.

Designación No estructural de N-A asta N-D:

N-A: Nivel de Desempeño Operacional.

N-B: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional,

N-C: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.

N-D: Nivel de Desempeño Peligro Reducido.

N-E: Desempeño No considerado.

Nivel de Desempeño de un edificio.

La combinación de un nivel de Desempeño Estructural y un nivel de Desempeño

No Estructural para una completa descripción de un nivel de daño general.

51

Nivel Operacional

Reserva de utilidad de servicios

mantiene funciones: daño muy pequeño

(S1 + NA)

Nivel Inmediatamente Ocupacional

El edificio recibe una "Etiqueta verde"

Seguro

para ocupar, indice de inspeccion;

alguna

reparación menor.

(S1 + NB)

Nivel Seguridad de Vida

La estructura permanece estable

y tiene significante reserva de capacidad

el daño No estructural peligroso es

controlado.

(S3 + NC)

Nivel Prevención de Colapso

El edificio permanece vertical pero

solo escasamente: algún otro daño

o perdida es aceptable.

(S5 + NE)

Desempeño mas alto,

perdidas menores

Desempeño mas bajo

En la siguiente tabla se indica una descripción de acuerdo a la FEMA (Federal

Emergency Management Agency) sobre los diferentes niveles de desempeño,

expresado en términos de los efectos que un sismo puede dejar en las edificaciones.

Cuadro 1.- Niveles de desempeño

52

Tabla 26.- NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings

Nivel de desempeño Descripción

Inmediatamente Ocupacional (S-1)

Estado de daño después del sismo en el cual el daño estructural muy limitado ha ocurrido. Las columnas y sistemas resisten la fuerza lateral del edificio todos conservan su rigidez y resistencia muy cercana antes del sismo. El riesgo de amenaza de vida es muy bajo, aunque pueden ser apropiadas algunas reparaciones menores, esto generalmente no es importante para ser ocupada.

Seguridad de vida (S-3)

Estado de daño antes del sismo, en el cual ha ocurrido un daño estructural significante, pero existe un margen contra cualquiera de los dos colapsos estructurales parcial o total permanece. Algunos elementos y componentes estructurales son severamente dañados, pero esto no ha resultado en grandes fallas ni escombros peligrosos dentro o fuera del edificio. Los daños pueden ocurrir durante el sismo, de cualquier modo eso es esperado para el riesgo general de amenaza de vida, así tal un resultado de daño estructural muy bajo eso deberá ser posible para reparar la estructura. De cualquier modo por razones económicas esto no puede ser práctico, mientras el daño de la estructura no tiene un riesgo de colapso inminente. Es prudente implementar reparaciones estructurales o instalar apuntalamiento temporal preferentemente para reocuparlo.

Prevención de Colapso (S-5)

Significa que el edificio está sobre el borde experimentando el colapso parcial o total. El daño inicial de la estructura ha ocurrido. Incluyendo potencialmente una degradación significante en la rigidez y la resistencia en el sistema resistiendo la fuerza lateral. Una gran deformación permanente lateral de la estructura para un grado más limitado de degradación en la capacidad cargando la carga vertical. De cualquier modo todos los componentes significantes del sistema deberán continuar para cargar demandas de cargas de gravedad. Riesgo significante de lesiones debido a los riegos de caídas de escombros estructurales pueden existir. La estructura no puede ser técnicamente practica para reparar y no es segura para re ocupar, así tal como la actividad de réplica puede inducir al colapso.

53

Control de daño (S-2)

Significa que el rango continuo que implica menos daño que el definido para el nivel de seguridad de vida, pero más que el definido para el nivel inmediatamente ocupacional. El diseño para desempeño de Control de daño puede ser deseable para minimizar el tiempo de reparación y la interrupción de operación. Así tal como un significado parcial para protección de equipo valioso y contenidos o para preservar características históricas importantes cuando el costo de diseño de ocupación inmediata es excesivo. El criterio de aceptación para este rango puede ser obtenido por interpolación entre los valores provistos para el nivel inmediatamente ocupacional (S-1) y el nivel de seguridad de vida (S-3).

Seguridad limitada (S-4)

Rango continuo del estado de daño entre el nivel de Seguridad de vida y Prevención de colapso. El diseño de los parámetros para este rango pueden ser obtenidos por interpolación entre el valor de valores provistos para los niveles de Seguridad de vida (S-3) y Prevención de Colapso (S-5).

No considerado (S-6)

Algunos propietarios pueden desear la dirección exacta de vulnerabilidades no estructurales en un programa de rehabilitación, por ejemplo parapetos vigorizantes o anclaje de contenedores de almacenamiento de materiales peligrosos, sin direccionamiento del desempeño de la propia estructura. Semejantes programas de rehabilitación son a veces atractivos porque pueden permitir una reducción significante en el riesgo sísmico para un costo relativamente bajo. El desempeño actual de la estructura con respecto a los requisitos de las guías no es conocido y puede variar desde un colapso potencial de peligro para una estructura capaz de alcanzar el nivel de desempeño inmediatamente ocupacional.

De acuerdo al uso que va a tener una estructura, el Comité Vision 2000, ha

presentado un nivel mínimo de desempeño, el mismo en la tabla siguiente, para tres

tipos de edificaciones: básica, esencial y de seguridad critica.

La visión a futuro del diseño sísmico de estructuras, consiste en verificar el

desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener la edificación

para cada uno de los sismos indicados en la siguiente tabla, de acuerdo al uso de la

misma. Esta verificación se realiza sobre la base de las distorsiones máximas

permitidas, en base al grado de daño local y global de la estructura y en base al

índice de desempeño. El costo de construcción es una variable importante que no se

debe descuidar en las decisiones que se adopten, es muy probable que inicialmente

se tenga una estructura con un bajo costo pero que va a sufrir demasiado daño en

elementos no estructurales ante un sismo frecuente y el costo de reparación sea

tan grande a más de las molestias que esto conlleva que quizás se decida en hacer

una estructura más resistente.

54

Tabla 27.- Tipos de sismos de análisis y su desempeño

Sismo de

análisis Operacional

Inmediatamente

operacional

Seguridad de

vida

Prevención

de colapso

Frecuente ♦

Ocasional ● ♦

Raro ♣ ● ♦

Muy raro ♣ ● ♦

♦ Edificaciones básicas, como residencias y oficinas

● Edificaciones esenciales, como hospitales, cuarteles, estaciones de bomberos, etc.

♣ Edificaciones de seguridad critica

En la nueva filosofía de diseño sísmico, el análisis estático no lineal, es el soporte

de varias metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de

una edificación y dentro de este análisis la determinación de la capacidad resistente,

es la base del análisis.

55

Capitulo III.- Técnica del Pushover utilizando un modelo de plasticidad

El análisis estático no lineal es una alternativa muy práctica para encontrar la respuesta

sísmica de una estructura, en lugar que un análisis no lineal dinámico que sería lo

más adecuado pero a la vez es bastante complejo. El análisis estático no lineal es

realmente un gran avance.

El análisis estático no lineal, en comparación con la forma de análisis actual en que

se utiliza teoría lineal y se espera daño en las estructuras

Para realizar el análisis no lineal estático, lo que más se utiliza es la técnica del

Pushover para encontrar la curva de capacidad resistente de las estructuras ante

acciones sísmicas, curva que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento

lateral máximo en azotea Dl.

III.1.- Desarrollo del método

1.- Se obtienen los puntos principales del diagrama momento – curvatura de los

elementos estructurales.

2.- Se obtienen las rigideces de los elementos y de la estructura.

3.- Se obtiene el desplazamiento lateral.

4.- Se obtienen las deformaciones para cada elemento

p = A*q

5.- Se obtienen los momentos en la parte superior de las columnas.

6.- Se comparan los momentos el de agrietamiento y el de los elementos estructurales

obtenidos. Si estos momentos superan el momento MA (Momento de agrietamiento), se

realiza una interpolación para obtener la carga que se debe aplicar para llegar a este

momento, Obtenida esta nueva fuerza lateral se vuelve a realizar el cálculo para esta

fuerza.

7.- Se obtiene la carga axial del equilibrio de momentos en las columnas.

Con esta fuerza axial se obtiene la nueva relación momento – curvatura y por consiguiente

la nueva matriz de rigidez de cada uno de los elementos y de la estructura.

56

III.1.1.- Ejemplo de aplicación a un marco articulado con las siguientes

características:

Nota: Para este ejemplo de marco solo se considera la aportación de las columnas en la

matriz de rigideces, ya que la viga se supone totalmente rígida y no contribuye a dicha

matriz.

Obtenidos los armados y la geometría de los elementos se prosigue a lo siguiente:

En primer lugar se determina la relación momento - curvatura en columnas.

La relación momento – curvatura en columnas depende de la carga axial para iniciar el

cálculo se considera una carga axial nula.

Los puntos principales del diagrama momento – curvatura que se obtienen al utilizar

el programa que se elaboró y los resultados se muestran en la siguiente tabla 28.

Tabla 28.- Puntos principales del diagrama para el marco articulado

MA (Tm)

My (Tm)

Mu (Tm)

ФA (1/m)

Фy (1/m)

Фu (1/m)

0.94130036 7.9167432 10.7362423 1.27E-03 1.10E-02 1.00E-01

Figura 46.- Marco articulado

Figura 47.- Marco articulado características geométricas

Figura 48.- Momentos y curvaturas del marco articulado

57

Para iniciar el cálculo se tiene que la rigidez al inicio (EI)a es igual a la rigidez en

el centro (EI)0 y al final (EI)b su cálculo se muestra a continuación:

(EI)0 = MA / ФA

(EI)0 =94130036/.00127

(EI)0 =743.62

Se denomina columna uno a la de la izquierda de la figura 48 y dos a la de la derecha.

Basándose en el reglamento del D.F. se obtiene la fuerza lateral que se aplicara a nuestro

ejemplo considerándose de 1740 kg.

Las matrices de rigidez de cada una de ellas al inicio del Pushover son las siguientes:

K1=

k2 = k1 = 555.11

Por otro lado la matriz de rigidez de la estructura, resulta:

A continuación aplicando las fórmulas para el ejemplo se obtiene lo siguiente:

Figura 3.1.3

Figura 49.- Nombramiento de columnas

58

K= 123.35

Esta matriz de rigidez es válida siempre y cuando el momento actuante en la parte

superior de las columnas no superen el momento MA indicado en la tabla 28.

Para iniciar el cálculo se aplica una carga de 1.74 toneladas, en el primer piso como se

ilustra en la figura 49.

Por ser un sistema de un grado de libertad el desplazamiento lateral “q” se obtiene

dividiendo el vector de cargas Q= 1740 kg para la rigidez de la estructura.

Desarrollo del cálculo:

Obtención de deformaciones de la estructura para cada columna:

p(1)

=A(1)

q

p(1)

=

p(2)

=A(2)

q

p(1)

=

Finalmente los momentos en las columnas valen:

M(1)

= P(1)

= k(1)

p(1)

Figura 50.- Primer fuerza lateral tentativa para la determinación de la curva de capacidad

59

M(1)

=2.61 Ton/m

M(2)

= P(2)

= k(2)

p(2)

M(2)

=2.61 Ton/m

Los momentos encontrados superan el momento de agrietamiento MA en consecuencia se

debe determinar la carga lateral que se debe aplicar para llegar exactamente al momento

MA.

Esto se obtiene mediante una interpolación como se muestra a continuación:

1.74 Ton = 2.61 Ton/m

X = 0.79302622 Ton/m

X =0 .5286 Ton

La fuerza lateral que se debe aplicar es de 0.5286 Ton. Entonces se debe repetir el cálculo para

esta fuerza lateral.

En la figura 50, se indica el nuevo estado de carga que en realidad es el estado de carga inicial,

se indica además las fuerzas axiales N que actúan en las columnas. Nótese que la columna

izquierda está trabajando a tensión y la columna derecha a compresión.

Del equilibrio de momentos, se obtiene la fuerza axial N en las columnas, esta resulta de:

317.21 kg

Con esta carga axial se determina la nueva relación momento – curvatura y por

consiguiente la nueva matriz de rigidez de cada uno de los elementos de la estructura. En

la tabla 29 y la tabla 30, se indican los valores de momento y curvatura para la columna

izquierda y derecha, y en la última columna la rigidez del elemento.

Figura 51.- Fuerza lateral inicial para determinar la curva de capacidad resistente

60

Tabla 29.- Valores de momento y curvatura de la columna 1

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t)

MA (Tm)

My (Tm)

Mu (Tm)

ФA (1/m)

Фy (1/m)

Фu (1/m)

(EI)b1 (Tm2 )

k de miembro

734 -0.495 0.9837 7.084 8.072 0.0017 0.013 0.069 570.68 562.69

Tabla 30.- Valores de momento y curvatura de la columna 2

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t)

MA (Tm)

My (Tm)

Mu (Tm)

ФA (1/m)

Фy (1/m)

Фu (1/m)

(EI)b1 (Tm2 )

k de miembro

734 0.495 1.0029 6.90 8.072 0.0018 0.013 0.069 534.90 544.77

Tabla 31.- Resumen del análisis estático para el primer incremento de carga lateral

Lateral (T)

K (T/m)

q (m)

M(1) (T*m)

M(2) (T*m)

0.734 123.05 0.0053 1.0071 0.975

Desde un punto de vista riguroso, la columna izquierda supero el momento MA, se debería

volver a repetir el análisis con una menor carga lateral hasta llegar exactamente al

momento MA. Po otra parte la columna derecha todavía no supera al momento MA. Por

consiguiente para el próximo ciclo de carga, si se trabajara con cargas laterales muy

pequeñas las rigideces a flexión serian:

De igual forma se realizaran los incrementos sucesivos hasta llegar al punto My, y de la

misma forma cuando pasen ese punto cada una de las columnas se trabajara con la nueva

rigidez que para la último punto será:

Resumen del cálculo de inercias y rigidez del elemento

En la tabla 32 y 33 se muestran el resumen de los cálculos efectuados para encontrar la

rigidez a flexión de las columnas uno (izquierda) y dos (derecha), de acuerdo a la relación

momento – curvatura en la que se encuentran:

61

Tabla 32.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la Columna 1 (izquierda)

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t)

MA (Tm)

My (Tm)

Mu (Tm)

ФA (1/m)

Фy (1/m)

Фu (1/m)

(EI)b1 (Tm2 )

k de miembro

1.740 0 9.91E-01 7.08 8.07 1.79E-03 1.38E-02 6.93E-02 555.5 555

0.660 -0.396 9.84E-01 7.08 8.07 1.72E-03 1.38E-02 6.93E-02 571 563

1.740 -1.440 9.68E-01 7.12 8.22 1.56E-03 1.35E-02 6.81E-02 516 535

0.665 -0.780 9.78E-01 7.10 8.22 1.67E-03 1.36E-02 6.81E-02 512 532

1.740 -1.839 9.65E-01 7.14 8.22 1.52E-03 1.33E-02 6.81E-02 522 545

1.740 -2.883 9.65E-01 7.33 8.37 1.52E-03 1.37E-02 6.69E-02 521 533

1.740 -3.927 9.65E-01 7.37 8.51 1.52E-03 1.34E-02 6.58E-02 537 546

1.258 -3.638 9.65E-01 7.35 8.51 1.52E-03 1.36E-02 6.58E-02 529 536

1.740 -4.682 9.65E-01 7.39 8.64 1.52E-03 1.33E-02 6.48E-02 244 417

1.216 -4.368 9.65E-01 7.37 8.51 1.52E-03 1.34E-02 6.58E-02 217 418

Tabla 33.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la Columna 2 (derecha)

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t)

MA (Tm)

My (Tm)

Mu (Tm)

ФA (1/m)

Фy (1/m)

Фu (1/m)

(EI)b1 (Tm2 )

k de miembro

1.740 0 0.99 7.08 8.07 1.79E-03 1.38E-02 6.93E-02 555.02 555.02

0.660 0.396 1.00 6.90 8.07 1.88E-03 1.32E-02 6.93E-02 534.90 544.78

1.740 1.440 1.03 6.87 7.92 2.05E-03 1.35E-02 7.05E-02 501.42 526.86

0.665 0.780 1.01 6.89 8.07 1.92E-03 1.34E-02 6.93E-02 525.11 539.65

1.740 1.839 1.05 6.51 7.92 2.14E-03 1.24E-02 7.05E-02 534.90 544.78

1.740 2.883 1.09 6.66 7.76 2.59E-03 1.33E-02 7.18E-02 512.18 532.74

1.740 3.927 1.13 6.46 7.60 2.59E-03 1.28E-02 7.31E-02 521.53 537.76

1.258 3.638 1.11 6.46 7.60 2.59E-03 1.28E-02 7.31E-02 518.88 536.34

1.740 4.682 1.11 6.28 7.60 2.68E-03 1.22E-02 7.31E-02 21.68 41.73

1.216 4.368 1.13 6.28 7.60 2.59E-03 1.22E-02 7.31E-02 21.68 41.73

Calculo de la Estructura

Al ser un análisis incremental se van sumando las acciones que se produzcan en la

estructura como son las fuerzas axiales y los momentos, los momentos se comparan para

ajustarse con la relación momento – curvatura, como se ha indicado cuando se pasa uno

de los puntos que definen esa relación se debe hacer una regla de tres para determinar el

valor de la fuerza lateral con la cual se llegara al punto principal del diagrama momento -

curvatura.

62

En la tabla 34 se muestra un resumen de la carga lateral aplicada, la matriz de rigidez de la

estructura, el desplazamiento lateral que se obtiene para la fuerza lateral indicada, los

momentos en el nudo superior de las columnas y el momento acumulado.

En las dos últimas columnas de la tabla 34 se indican los momentos acumulados que son

los que realmente se comparan con los momentos MA, My y Mu del respectivo diagrama

momento – curvatura,

Tabla 34.- Resultados del análisis estructural ante las cargas laterales

Fuerza lateral

(t) k Q M(1) (T*m)

M(2) (T*m)

M(1)

acumulado (T*m)

M(2)

acumulado (T*m)

1740 123.34 0.01411 2.61 2.61

660 123.05 0.00537 1.0071 0.975077 1.007146146 0.975077455

1740 117.96 0.02543 4.5336 4.466409

665 119.12 0.00559 0.9918 1.005286 1.998991024 1.980363907

1740 120.32 0.01446 2.594 2.62605 4.592941364 4.606413567

1740 118.92 0.01463 2.6217 2.598331 7.214610494 7.204744437

1740 120.41 0.01445 2.6296 2.590417

1258 119.78 0.01051 1.897 1.878208 9.1116531 9.082952356

1740 9.8288 0.17703 2.7578 2.462231

1216 9.2768 0.13114 1.8258 1.824006 10.93742775 10.90695877

III.2.- Obtención de la curva de capacidad resistente

En base a los resultados indicados en la tabla 34 se obtiene la curva de capacidad

resistente que relaciona el cortante basal V y el desplazamiento lateral Dl, pero estos

valores son determinados de manera acumulada.

En la tabla 35 se presenta la fuerza lateral aplicada, el desplazamiento lateral debido al

incremento de carga y en las dos últimas columnas V y Dl.

Tabla 36.- Resumen del cálculo de capacidad resistente

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t) Q

V ton

D (cm)

0 0 0 0 0

660 396 0.536356 0.66 0.53635619

665 780 0.558254 1.325 1.0946098

1740 1839 1.446125 3.065 2.54073453

1740 2883 1.463192 4.805 4.00392698

1258 3638 1.050217 6.063 5.05414401

1216 4368 13.10798 7.279 18.1621237

63

III.5.- Determinación de la curva de capacidad resistente

Esta se determina de la siguiente manera:

Una vez desarrollado el método del Pushover de la estructura, obtenidos los valores

correspondientes para cada una de las columnas como se muestra a continuación:

Tabla 36.- Resumen del cálculo de capacidad resistente

Fuerza lateral

(t)

Fuerza axial (t) Q

V ton

D (cm)

0 0 0 0 0

660 396 0.536356 0.66 0.53635619

665 780 0.558254 1.325 1.0946098

1740 1839 1.446125 3.065 2.54073453

1740 2883 1.463192 4.805 4.00392698

1258 3638 1.050217 6.063 5.05414401

1216 4368 13.10798 7.279 18.1621237

En esta tabla se muestran la fuerza lateral, esta fuerza se obtuvo mediante el método del

Pushover, el desplazamiento “q” se obtuvo al dividir la carga lateral entre la rigidez

correspondiente a esta carga lateral.

El cortante basal es la fuerza lateral acumulada en la estructura, así como el

desplazamiento lateral “D”, este se obtienen mediante la acumulación de los

desplazamientos

Grafica 16.- Cortante Vs Desplazamiento

64

III.5.1.- Ejemplo de aplicación obtención de la curva de capacidad resistente

El armado para las columnas y las trabes son las siguientes:

En la tabla 37 y tabla 38 se muestran los resultados de los puntos principales del diagrama

momento – curvatura, obtenido con el programa.

Tabla 37.- Puntos principales de las columnas

MA ФA MY ФY MU ФU

0.725 0.0009 7.614 0.0122 9.11 0.0816

Tabla 38.- Puntos principales de la trabe en los extremos


0.57814 0.00145 4.33 0.011 5.613 0.0952

En el centro

0.553 0.00141 4.15 0.0107 5.55 0.093

Figura 52.- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura

Figura 53.- Armado de columna y trabe

65

La carga gravitacional para este ejemplo se propuso de 1.1 Ton /m y los incrementos de

carga lateral que se aplican a dicho marco son de 0.5 Ton como se muestra en la siguiente

figura 56.

El marco se resuelve por dos métodos el primero por el método de rigideces y se obtienen

los siguientes resultados en la siguiente figura 55.

Obtenidos los momentos en cada elemento del marco se comparan los momentos de estos

elementos con el primer momento del diagrama Momento – Curvatura que corresponde al

momento de agrietamiento MA, si este momento no es superado en el primer incremento de

carga en ninguno de los elementos, se realiza un incremento de carga lateral y se resuelve

el marco con las mismas características como se muestra a continuación:

Figura 55.- Resultados obtenidos a partir del método de rigideces

Tabla 39.- Resultados de Fuerzas y momentos obtenidos en el programa

Staad para el primer incremento de carga lateral.

Figura 54.- Cargas aplicadas al marco con apoyos articulados

66

La siguiente figura muestra el incremento de carga lateral.

Si alguno de los momentos que resultan del nuevo incremento de carga lateral supera el

momento de agrietamiento se disminuye la rigidez y para el siguiente incremento de carga

lateral se resuelve con la nueva rigidez.

Dicha rigidez se calcula de la siguiente manera:

Suponiendo que la rigidez se obtiene:

EI = MA/ФA

Se despeja el momento de inercia, quedando de la siguiente forma:

I = MA/ ФA /E

Para simular como la rigidez va disminuyendo se obtiene una nueva sección y

para ello se despeja del momento de inercia un lado de la sección ya que para este

ejemplo se considera una sección cuadrada quedando de la siguiente forma:

I = b*h3 /12

Si la sección es cuadrada se considera que b*h3 = a

Figura 56.- Incremento de carga lateral

Figura 57.- Resultados obtenidos por el método de rigideces y con el incremento de

carga lateral

67

I = a4/12

a=4√I*12

Obtenida la nueva sección se calcula nuevamente los momentos de cada elemento,

resolviendo el marco este proceso se sigue realizando para cada uno de los

siguientes puntos del diagrama de Momento – Curvatura.

A continuación se presentan los esquemas de las siguientes iteraciones así de las

nuevas secciones que simularan como va disminuyendo la rigidez en los

elementos y que servirán para ir obteniendo los nuevos diagramas de Momento –

curvatura para los siguientes puntos.

Para el incremento de 1.5 Ton el esquema de la figura 58 muestra los resultados de

la solución del marco.

Para el incremento de 2 Ton el esquema de la figura 59 muestra los resultados de




Figura 58.- Resultados del marco con una incremento de carga de 1.5 Ton

Figura 59.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2 Ton

68










69










70










71





Los datos que permiten graficar los diagramas Momento – Curvatura de las

secciones, se presentan en las siguientes tablas:


Figura 70.- Resultados del marco con una incremento de carga de 7.5Ton


72

Tabla 40.-Momentos y curvaturas obtenidas cambiando sección y disminuyendo la rigidez


0.60604515 9.01E-04 6.9428045 1.36E-02 8.45072091 7.69E-02

Columna negativa


0.50099025 9.71E-04 6.5099733 1.61E-02 7.60741708 7.41E-02

Tabla 41.-Trabe extremos y centro


0.4075481 1.05E-03 5.68254898 1.76E-02 6.65984805 7.27E-02

Figura 72.- Puntos principales del diagrama Momento – curvatura de las vigas

Figura 73.- Puntos principales del diagrama Momento – Curvatura para las columnas

73

III.3.- Matriz de rigidez condensada

Hay dos formas de realizar el análisis la primera trabajando con la matriz de rigidez

del elemento como se indica en la siguiente ecuación:

(3.1)

k =

6(EI)0 (1 + Sa ) 1

1 (1 + Sb) L(1 + Sa ) (1 + Sb)

Que es una matriz dos por dos y la otra forma es con una matriz condensada

únicamente al giro izquierdo del elemento, para el efecto se debe encontrar primero

la matriz de rigidez condensada:

(3.2) k*= kAA - kAB kBB

-1 kBA

Al aplicar la condensación estática en la matriz definida en la ecuación (3.1) se tiene:

(3.3)

Al reemplazar las submatrices indicadas en la ecuación (3.3), se tiene la matriz de

rigidez del elemento consensada al giro izquierdo, esta resulta:

KAA = 6(EI)0 (1 + Sb)

L[(1 + Sa ) (1 + Sb ) - 1] KAB = 6(EI)0

L[(1 + Sa) (1 + Sb) - 1]

KBA = 6(EI)0

L[(1 + Sa) (1 + Sb) - 1] KBB =

6(EI)0 (1 + Sa)

L[(1 + Sa ) (1 + Sb) - 1]

Grafica 17.- Cortante vs Desplazamiento del marco empotrado

74

(3.4)

En forma similar se puede encontrar la matriz de rigidez del elemento condensada

al nudo derecho o nudo final. Esta resulta:

(3.5)

III.3.1.- Condensación estática de la matriz de rigidez.

En la figura (3.3.1), se presenta una estructura cuyos grados de libertad se indican

en la figura (3.3.2). Ahora, primero se enumeran los grados de libertad con los cuales

se desea realizar el análisis sísmico y luego se enumeran los demás grados de

libertad. Lo importante es destacar que se separan los grados de libertad.

Figuras (74 y 75 (coordenadas “a“y “b”, de estructura )

(3.6)

En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de

coordenadas a las que se denomina “coordenadas a”, de la estructura figura 74 es la

uno y las restantes, a las que se denomina “coordenadas b”. Al hacer esto, tanto el vector

de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q, están

particionados de la siguiente forma:

(3.7)

k = 6(EI)0

L(1 + Sa)

k = 6(EI)0

L(1 + Sb)

Qa = K aa kab

qa

Qb Kba kbb

qb

Q = Qa

Qb

Figura 74.- Coordenadas generalizadas “a” Figura 75.- Coordenada lateral “b”

75

(3.8)

Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas

generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz

de rigidez de la estructura K, viene definida por la ecuación:

Q = kq (3.9)

Al reemplazar en las ecuaciones (3.7) y (3.8) en la ecuación (3.9) y al trabajar con

submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada de la

siguiente forma:

(3.10)

La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros,

los dos casos se muestran a continuación:

Condensación a las coordenadas “a”

Este caso se presenta cuando el vector Qb = 0

De donde:

Qa = Kaa qa + kab qb

0 = Kba qa + kbb qb

Luego:

qb = -Kbb-1 kba qa (3.11)

q = qa

qb

Qa = K aa kab

qa

0 Kba kbb

qb

76

Qa = (Kaa -kab kbb-1 kba)qa (3.12)

Sea k* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “a”.

k* = kaa - kab kbb

.1 kba (3.13)

Condensación a las coordenadas “b”

Se presenta cuando el vector de cargas Qa = 0. Procediendo de forma

similar se obtiene:

qa = -Kaa-1 kab qb (3.14)

Qb = (Kbb -kba kaa-1 kab)qb ( 3.15)

Sea k+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “b”.

k+ = kbb - kba kaa

.1 kab (3.16)

III.4.- Matriz de rigideces lateral

Se define matriz de rigidez lateral, kL… a la matriz de rigidez asociada a las

coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de marcos planos se

considera un solo grado de libertad por piso, a este modelo se le denomina piso

rígido y sirve únicamente para el análisis ante la componente horizontal de

movimiento del suelo.

Existen dos formas de modelar los elementos de un marco plano, ante la acción

sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son

axialmente rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda

forma se considera que todos los elementos son axialmente rígidos.

III.4.1.- Vigas y columnas axialmente rígidas.

Cuando todos los elementos de un marco plano, conformado por vigas y columnas, se

consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de

libertad y el cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las

matrices de rigidez, son:

Elemento viga

k = k a

a k'

77

Elemento columna

k =

t – b – t – b'

– b K b a

– t B t b'

– b' A b´ k´

Ejemplo de aplicación: Encontrar la matriz de rigidez lateral para una estructura con dos

claros y dos niveles, considerando que todos los elementos son axialmente rigidos:

Estructura.

Numeración de los elementos

Figura 76.- Propiedades geométricas de la estructura

Figura 77.- Numeración de los elementos

78

Solución:

La estructura se condensa a ocho grados de libertad

La matriz de rigidez de cada uno de los elementos son las siguientes:

Para el elemento viga es:

k = 1304.2239 652.11195

652.11195 1304.2239

Para el elemento columna es:

k =

2671.05 -3338.81 -2671.05 -3338.81

-3338.81 5564.69 3338.81 2782.34

-2671.05 3338.81 2671.05 3338.81

-3338.81 2782.34 3338.81 5564.69

Figura 80.- Condensación de la estructura

Figura 78.- Numeración de grados de

libertad Figura 79.- Desplazamientos laterales

79

Los vectores de colocación de las vigas son:

Vc7 = [3 4]

Vc8 = [4 5]

Vc9 = [6 7]

Vc10

= [7 8]

Los vectores de colocación de las columnas son:

Vc1 = [0 0 1 3]

Vc2 = [0 0 1 4]

Vc3 = [0 0 1 5]

Vc4 = [1 3 2 6]

Vc5 = [1 4 2 7]

Vc6 = [1 5 2 8]

Utilizando estos vectores de colocación la matriz de la estructura queda de la siguiente

manera:

-8013.15 0.00 0.00 0.00 -3338.81 -3338.81 -3338.81

8013.15 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81

3338.81 12433.60 652.11 0 2782.34 0 0

3338.81 652.11 13737.83 652.11195 0 2782.34 0

3338.81 0 652.11195 12433.60 0.00 0 2782.34

3338.81 2782.34 0 0.00 6868.91 652.11195 0

3338.81 0 2782.34 0 652.11195 8173.14 652.11

3338.81 0 0 2782.34 0 652.11 6868.91

Cada una de las submatrices se muestra a continuación:

K=

16026.30 -8013.15

-8013.15 8013.15

Kab=

5.00 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00

5564.69 0.00 0.00 2782.34 0.00 0.00

Kbb=

12433.6012 652.11195 0 2782.34432 0 0

652.11195 13737.8251 652.11195 0 2782.34432 0

0 652.11195 12433.6012 0 0 2782.34432

2782.34432 0 0 6868.91254 652.11195 0

80

0 2782.34432 0 652.11195 8173.13644 652.11195

0 0 2782.34432 0 652.11195 6868.91254

Kba=

0 3338.81318

0 3338.81318

0 3338.81318

-3338.813184 3338.81318

-3338.813184 3338.81318

-3338.813184 3338.81318

Ahora solo resolvemos las operaciones matricialmente

Kaa –kab *kbb-1

*kba

Resolviendo la multiplicación de matrices se llega a:

4484.251555 -3561.047927

-3561.047927 5275.688599

-

Por lo que la matriz de rigidez lateral es:

11542.05 -4452.10

-4452.10 2737.46

16026.30 -8013.15

-8013.15 8013.15

4484.251555 -3561.047927

-3561.047927 5275.688599

81

IV.- Aplicación del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa

del Sap2000

En este capítulo se lleva a cabo el método del Pushover a dos marcos de concreto reforzado

con distintas características y propiedades geométricas.

IV.1.- Marco de concreto reforzado con apoyos articulados

Marco calculado en la página 63

Grafica 16.- Cortante Vs Desplazamiento

Figura 47.- Marco articulado características geométricas

82

Grafica Cortante vs desplazamiento

V.2.- Marco de concreto reforzado con apoyos empotrados

Marco calculado en la página 64

Grafica 18.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco articulado obtenido del programa de

Sap2000

Figura 52.- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura

83

Grafica 19.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco empotrado obtenido del

programa de Sap2000

Grafica 17.- Cortante vs Desplazamiento del marco empotrado

84

Conclusiones

El análisis sísmico por desempeño estudia el comportamiento de los elementos que

conforman una estructura en el rango no lineal. Se observa como la rigidez disminuye en

cada etapa. Además, es posible fijar el desplazamiento lateral de la estructura.

Una alternativa en el análisis sísmico por desempeño es el método del Pushover, que

permite aplicar una fuerza lateral hasta llegar a la falla de la estructura.

Adicionalmente, el método del Pushover proporciona graficas cortante contra

desplazamiento, referidas al último nivel de la estructura, que permiten conocer el

comportamiento ante el incremento de carga.

El análisis sísmico por desempeño a comparación del análisis estático lineal, permite

establecer un desplazamiento en las estructuras, para alcanzar un nivel de desempeño que

puede ser: Ocupacional, Inmediatamente ocupacional o que falle completamente ante un

evento sísmico.

85

Bibliografía

Concreto reforzado – Oscar M. González Cuevas

Concreto Reforzado Park and Paulay

Análisis sísmico por desempeño - Roberto Aguiar Falconi

Revista de Ingeniería sísmica N° 49, 39-50 (1995) “Comportamiento sísmico de

estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros de refuerzos mexicanos”.

Mario E. Rodríguez y Juan Carlos Botero P. Instituto de Ingeniería, UNAM.

Earthquake Engineering from Engineering Seismology to Performance Based Engineering

Yousef Bozorgnia Vitelmo V. Bertero 2004 by CRC Press LLC

INDICE DE FIGURAS pág.

Figura 1.- Curva de tipo elastoplastico-------------------------------------------------------- 2

Figura 2.- Curva trilineal de Chan ------------------------------------------------------------ 3

Figura 3.- Curva trilineal de Blume y otros 3 ----------------------------------------------- 3

Figura 4.- Parábola recomendada por Baker ------------------------------------------------ 3

Figura 5.- Curva propuesta por Roy y Sozen ---------------------------------------------- 3

Figura 6.- Curva de Soliman y Yu ----------------------------------------------------------- 4

Figura 7.- Curva por Sargin y otros ----------------------------------------------------------- 4

Figura 8.- Sección y Fuerza del acero a tensión --------------------------------------------- 7

Figura 9.- Sección y Fuerza del concreto a compresión------------------------------------- 7

Figura 10.-Sección y Fuerza del acero a compresión ---------------------------------------- 8

Figura 11.- Distribución supuesta de deformaciones ------------------------------------------ 8

Figura 12.- Presentación de los esfuerzos en el concreto y acero ---------------------------10

Figura 13.- Presentación de fuerzas en el concreto y acero ---------------------------------11

Figura 14.-Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la

deformación 0.003 ----------------------------------------------------------------------------------12

Figura 15.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la

deformación 0.0004 ---------------------------------------------------------------------------------12


deformación 0.0008 ---------------------------------------------------------------------------------12


deformación 0.0012 ---------------------------------------------------------------------------------13


deformación 0.0016 ---------------------------------------------------------------------------------13


deformación 0.002 ----------------------------------------------------------------------------------13


deformación 0.0024 --------------------------------------------------------------------------------14


deformación 0.0028 --------------------------------------------------------------------------------14


deformación 0.0032 -------------------------------------------------------------------------------14


deformación 0.0036 -------------------------------------------------------------------------------15


deformación 0.004 ---------------------------------------------------------------------------------15

Figura 25.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la

deformación 0.0004 ------------------------------------------------------------------------------15


deformación 0.0008 ------------------------------------------------------------------------------16


deformación 0.0012 ------------------------------------------------------------------------------16


deformación 0.0016 ------------------------------------------------------------------------------16


deformación 0.002--------------------------------------------------------------------------------16


deformación 0.0024 ------------------------------------------------------------------------------17


deformación 0.0028 ------------------------------------------------------------------------------17


deformación 0.0032 ------------------------------------------------------------------------------18


deformación 0.0036 ------------------------------------------------------------------------------18


deformación 0.004 --------------------------------------------------------------------------------18

Figura 35.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.001 ---------------------------24

Figura 36.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.001 ------------------25

Figura 37.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.001 ----------------------25




Figura 41.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.003 --------------------------29

Figura 42.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.003 -----------------29

Figura 43.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.003----------------------30




Figura 47.- Marco articulado --------------------------------------------------------------------56

Figura 48.-Marco articulado características geométricas-----------------------------------56

Figura 49.-Nombramiento de columnas--------------------------------------------------------58

Figura 50.- Primer fuerza lateral tentativa para la determinación de la

curva de capacidad--------------------------------------------------------------------------------58

Figura 51.- Fuerza lateral inicial para determinar la curva de capacidad resistente------60

Figura 52- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura --------65

Figura 53.- Armado de columna y trabe ---------------------------------------------------------65

Figura 54.- Cargas aplicadas al marco con apoyos articulados-------------------------------66

Figura 55.- Resultados obtenidos a partir del método de rigideces--------------------------66

Figura 56.- Incremento de carga lateral ---------------------------------------------------------67

Figura 57.- Resultados obtenidos por el método de rigideces y con el incremento de

carga lateral -----------------------------------------------------------------------------------------68

Figura 58.- Resultados del marco con una incremento de carga de 1.5 Ton ---------------65

Figura 59.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2 Ton -----------------66

Figura 60.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2.5 Ton --------------66

Figura 61.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3 Ton-----------------66

Figura 62.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3.5 Ton--------------67

Figura 63.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4 Ton ----------------67

Figura 64.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4.5 Ton--------------67

Figura 65.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5 Ton----------------68

Figura 66.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5.5 Ton----------------68

Figura 67.- Resultados del marco con una incremento de carga de 6 Ton ------------------68


Figura 69- Resultados del marco con una incremento de carga de 7 Ton ------------------69


Figura 71.- Resultados del marco con una incremento de carga de 8 Ton------------------70

Figura 72.- Coordenadas generalizadas “a” ----------------------------------------------------71

Figura 73.- Coordenada lateral “b” ---------------------------------------------------------------71

Figura 74.- Propiedades geométricas de la estructura ------------------------------------------74

Figura 75.- Numeración de los elementos -------------------------------------------------------75

Figura 76.- Numeración de grados de libertad de la estructura.-------------------------------75

Figura 77.- Desplazamientos laterales ------------------------------------------------------------75

Figura 78.- Condensación de la estructura ------------------------------------------------------75

INDICE DE GRAFICAS pag.

Grafica 1.- Grafica esfuerzo – deformación del concreto --------------------------------------9

Grafica 2.- Grafica esfuerzo – deformación del acero ------------------------------------------10

Grafica 3.- Grafica esfuerzo – deformación del concreto del ejemplo de

aplicación 2 -------------------------------------------------------------------------------------------20

Grafica 4.- Grafica esfuerzo – deformación del acero ejemplo de aplicación 2 -------------20

Grafica 5.- Obtención del valor del acero a compresión marcado con una línea de

Color negro -------------------------------------------------------------------------------------------22

Grafica 6.- Obtención del valor del acero a tensión marcado con una línea de

Color negro -------------------------------------------------------------------------------------------23

Grafica 7.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo 1---------37


del ejemplo 1 ----------------------------------------------------------------------------------------37

Grafica 9.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo 2-------40


Del ejemplo 2 --------------------------------------------------------------------------------------40

Grafica 11.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco articulado obtenido del programa

de Sap2000 ------------------------------------------------------------------------------------------82

Grafica 12.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco empotrado obtenido del programa

de Sap2000 -------------------------------------------------------------------------------------------83

INDICE DE TABLAS pag.

Tabla 1.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto -------------21

Tabla 2.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-----22

Tabla 3.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –----------22

Tabla 4.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ------------23

Tabla 5.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –----23

Tabla 6.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –---------24

Tabla 7.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto -----------25

Tabla 8.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –---25

Tabla 9.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –--------25

Tabla 10.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ---------25

Tabla 11.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-26

Tabla 12.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –------26







Tabla 19.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ----------29

Tabla 20.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –--29

Tabla 21.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –-------29

Tabla 22.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ----------30

Tabla 23.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –--30

Tabla 24.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –-------30

Tabla 25.- Sismos de análisis -------------------------------------------------------------------46

Tabla 26.-NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings --------------48

Tabla 27.-Tipos de sismos de análisis y su desempeño --------------------------------------50

Tabla 28.-Puntos principales del diagrama para el marco articulado-----------------------53

Tabla 29.- Valores de momento y curvatura de la columna 1 -------------------------------56

Tabla 30.- Valores de momento y curvatura de la columna 2 ------------------------------- 56

Tabla 31.-Resumen del análisis estático para el primer incremento de carga lateral-----57

Tabla 32.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la

Columna 1 (izquierda) ----------------------------------------------------------------------------57

Tabla 33.- Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la

Columna 2 (derecha) ----------------------------------------------------------------------------58

Tabla 34.-Resultados del análisis estructural ante las cargas laterales --------------------58

Tabla 35.-Resumen del cálculo de la curva de capacidad resistente -----------------------59

Tabla 36.- Resumen del cálculo de la curva de capacidad resistente ----------------------63

Tabla 37.- Puntos principales de las columnas -----------------------------------------------64

Tabla 38.- Puntos principales de la trabe en los extremos ----------------------------------64

Tabla 39.- Resultados de Fuerzas y momentos obtenidos en el programa Staad para el

primer incremento de carga lateral. --------------------------------------------------------------------------64

instituto politécnico nacional - tesis.ipn.mxtesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/15322/1/trabajo...

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