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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO.

“DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN PROTOTIPO DE TURBINA PARA

GENERACION DE ENERGIA

ING. GONZALO OROZCO ACEVES.

DR. SAMUEL ALCANTARA MONTES

M. EN C. CANDIDO PALACIOS MONTUFAR

México, D.F.





DE ENERGIA ELECTRICA EN UNA MICROPLANTA”.

TESIS QUE

PARA OBTENER EL GRADO

DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN

INGENIERIA MECANICA

PRESENTA

ING. GONZALO OROZCO ACEVES.

DIRECTORES DE TESIS:







ELECTRICA EN UNA MICROPLANTA”.



2011.

DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS.

A Dios.

A mis padres, que me apoyaron y nunca faltaron a dar un buen consejo. Gracias.

A mis hermanas, Martha y Rebeca.

A mi novia. Gracias por tu amor y apoyo.

A mis familiares y amigos, les agradezco mucho.

A mi escuela, la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica y al Instituto Politécnico Nacional.

A mis asesores: Dr. Samuel Alcántara y el M. en C. Cándido Palacios Montúfar. Gracias.

A todos mis compañeros de maestría y a los profesores.

Al comité de Evaluación:

Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón

Dr. Luis Héctor Hernández Gómez.

Dr. José Angel Ortega Herrera.

Dr. José Trinidad Martínez.

Y a todas aquellas personas que estuvieron involucradas en el proyecto y personas que de una u otra forma me apoyaron, les extiendo mi sincera gratitud y mis respetos.

CONTENIDO

RESUMEN. i ABSTRACT. ii JUSTIFICACION. iii OBJETIVO. iv DEFINICION DEL PROBLEMA. iv INDICE DE FIGURAS. v INDICE DE FOTOGRAFIAS. vi INTRODUCCION. vii

CAPITULO I. ESTADO DEL ARTE.

1.1. Primeros antecedentes del uso de la energía hidráulica. 5 1.2. Primeros diseños de turbinas hidráulicas. 5 1.3. Uso de agua residual para la producción de energía. 7 1.4. Turbinas diseñadas para caudal de ríos. 9 1.5. Tópicos relacionados con el diseño de la turbina. 11

CAPITULO II. MARCO TEORICO.

2.1. Introducción. 12 2.2. Ecuación de continuidad. 12 2.3. Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles. 13 2.3.1. Energía potencial gravitacional. 13 2.3.2. Trabajo. 13 2.3.3. Energía cinética. 14 2.3.4. Pérdidas de energía. 14 2.3.4.1. Pérdidas primarias. 14 2.3.4.1.1. Número de Reynolds. 14 2.3.4.1.2. Rugosidad relativa en la tubería. 15 2.3.4.1.3. Ecuación de Darcy-Weisbach 15 2.3.4.2. Pérdidas secundarias. 16 2.3.5. Energía absorbida por el equipo. 17 2.4. Principio de impulso y cantidad de movimiento. 17 2.5. Ecuación de las turbomáquinas de Euler. 18 2.5.1. Introducción. 18 2.5.2. Triángulo de velocidades. 19 2.5.3. Deducción de la ecuación de Euler de las turbomáquinas. 20 2.6. Deducción de ecuaciones aplicadas al diseño de turbinas 22

2.6.1. Introducción. 22 2.6.2. Potencias y rendimientos. 22 2.6.2.1. Potencia hidráulica o potencia de entrada. 22 2.6.2.2. Potencia mecánica o potencia de salida. 23 2.6.2.3. Potencia interna. 23 2.6.2.4. Rendimiento hidráulico. 23 2.6.2.5. Rendimiento volumétrico. 24 2.6.2.6. Rendimiento mecánico. 24 2.6.2.7. Rendimiento total. 24 2.6.3. Número específico de revoluciones. 24 2.6.3.1. Introducción. 24 2.6.3.2. Leyes de semejanza aplicadas a turbinas. 25 2.6.3.3. Obtención de la ecuación del número específico de revoluciones. 26 2.6.4. Velocidades dentro de la turbina. 27 2.6.4.1. Introducción. 27 2.6.4.2. Velocidad absoluta del fluido. 27 2.6.4.3. Velocidad absoluta del rodete. 28 2.6.5. Consideraciones para el diseño de turbinas. 28 2.6.5.1. Factor de velocidad. 28 2.6.5.2. Consideraciones para el diseño de turbinas de hélice. 29 2.6.5.2.1. Caudal. 29 2.6.5.2.2. Angulo de entrada del fluido. 29 2.6.5.2.3. Altura teórica. 29 2.6.5.2.4. Componente periférica de la velocidad absoluta del fluido. 30 2.6.5.2.5. Valores en función del número específico de revoluciones. 30 2.6.5.2.6. Momento en los álabes. 30 2.6.5.2.7. Tubo de aspiración. 31 2.6.5.2.8. Cálculo del distribuidor. 31 2.6.5.3. Consideraciones para el diseño de turbinas Pelton. 32 2.6.5.3.1. Diámetro del chorro. 32 2.6.5.3.2. Dimensiones del cangilón o cuchara. 33 2.6.5.3.3. Dimensiones del inyector. 33 2.6.5.3.4. Número de álabes y paso entre estos. 34 2.6.5.3.5. Fuerzas y momentos en los álabes 36 2.6.6. Selección de materiales. 36 2.6.6.1. Detección y clasificación. 36 2.6.6.2. Función, objetivo y restricción. 37 2.6.6.3. Indices del material y cartas de selección. 37 2.6.7. Cálculo de la turbina de acuerdo a las cargas a las qué está sometida y elementos para la transmisión de potencia. 39 2.6.7.1. Factor de seguridad. 39 2.6.7.2. Ecuaciones de diseño. 40 2.6.7.3. Cargas variables. 43

2.6.7.3.1. Concentración de esfuerzos y sensibilidad a la entalla. 43 2.6.7.3.2. Resistencia a la fatiga. 44 2.6.7.3.3. Teoría de falla. 45 2.6.8. Cálculo y selección de los componentes para la transmisión de potencia. 46 2.6.8.1. Cálculo del eje de transmisión por resistencia. 46 2.6.8.2. Deflexión en ejes. 46 2.6.8.3. Velocidad crítica. 47 2.6.8.4. Selección de rodamientos. 47 2.6.8.5. Cálculo de la cuña y chaveta. 48 2.6.8.6. Elemento de transmisión de potencia. 48 2.7. Generación eléctrica. 49

CAPITULO III. MEMORIA DE CALCULO.

3.1. Introducción 51 3.2. Cálculos para la primera opción 51 3.2.1. Cálculos para la turbina Hélice. 51 3.2.1.1. Número específico de revoluciones. 51 3.2.1.2. Diámetro de la turbina. 52 3.2.1.3. Angulos de los alabes. 52 3.2.1.4. Cálculo del momento. 53 3.2.1.5. Tubo de aspiración. 53 3.2.1.6. Diseño del distribuidor. 55 3.2.2. Cálculo de la turbina Pelton. 55 3.2.2.1. Introducción. 55 3.2.2.2. Cálculo de la velocidad angular. 56 3.2.2.3. Diseño de la rueda Pelton. 56 3.2.3. Selección del material. 58 3.2.4. Elección del factor de seguridad. 59 3.2.5. Cálculo del espesor de los álabes de la turbina Hélice. 60 3.2.6. Selección del elemento de transmisión de potencia y acoplamiento. 61 3.2.7. Diseño del eje. 61 3.2.7.1. Diseño por resistencia. 61 3.2.7.2. Deflexión torsional 62 3.2.7.3. Velocidad crítica. 63 3.2.8. Selección de cojinetes. 64 3.2.9. Cálculo de la cuña y chaveta. 65 3.3. Cálculos para la opción con almacenamiento de energía. 66 3.3.1. Introducción. 66 3.3.2. Selección de baterías. 66 3.3.3. Potencia de salida. 66

3.3.4. Cálculo del caudal. 67 3.3.5. Cálculo para la turbina Hélice. 67 3.3.5.1. Número específico de revoluciones. 67 3.3.5.2. Diámetro de la turbina. 67 3.3.5.3. Angulo de los álabes. 68 3.3.5.4. Cálculo del momento. 69 3.3.5.5. Cálculo del tubo de aspiración. 69 3.3.5.6. Diseño del distribuidor. 71 3.3.6. Cálculo de la turbina Pelton. 71 3.3.6.1. Introducción. 71 3.3.6.2. Cálculo de la velocidad angular. 71 3.3.6.3. Diseño de la rueda Pelton. 72 3.3.7. Cálculo del espesor de los álabes de la turbina Hélice. 74 3.3.8. Selección del elemento de transmisión de potencia y acoplamiento. 75 3.3.9. Diseño del eje. 75 3.3.9.1. Diseño por resistencia. 75 3.3.9.2. Deflexión torsional. 76 3.3.9.3. Velocidad crítica. 76 3.3.10. Selección de los cojinetes. 77 3.3.11. Cálculo de la cuña y chaveta. 79

CAPITULO IV. PRUEBAS POR MEDIO DE PROTOTIPO.

4.1. Introducción. 80 4.2. Obtención del factor de escala. 80 4.3. Medidas de los prototipos Pelton y Hélice. 81 4.4. Valores modificados de variables en los prototipos. 81 4.4.1. Valores modificados para la turbina Hélice 82 4.4.2. Valores modificados para la turbina Pelton. 82 4.5. Construcción del prototipo para la turbina Pelton. 82 4.5.1. Construcción de la rueda. 82 4.5.2. Construcción de las cucharas. 83 4.5.3. Fabricación del eje, el acoplamiento y selección de cojinetes. 84 4.5.4. Ensamblado del prototipo. 84 4.6. Pruebas de campo.

85

CONCLUSIONES 87 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS. 89

REFERENCIAS 90 ANEXOS 92 CARTA DE SELECCIÓN DE MATERIAL DENSIDAD – RESISTENCIA.

CARTA DE SELECCIÓN DE MATERIAL COSTO – RESISTENCIA.

PROPIEDADES DEL ACERO. FIGURA DE SELECCIÓN DE COJINETES PARA LA PRIMERA OPCION.

FIGURA DE SELECCIÓN DE COJINETES PARA LA SEGUNDA OPCION.

TABLA DE ESPESOR DE LAMINA DE ACERO DIBUJOS DE LA TURBINA PELTON. DIAMETROS COMERCIALES PARA BARRAS DE ACERO DE SECCION REDONDA. COEFICIENTE DE CORRECCION POR RUGOSIDAD Y SOLDADURA. TABLA DE VALORES DE COEFICIENTES PARA LA SELECCIÓN DE RODAMIENTOS.

RESUMEN El presente trabajo propone la generación de energía eléctrica a través del uso de un arroyo en donde se vierten desechos del tipo industrial y doméstico. La propuesta consiste en el diseño de una turbina Pelton y una turbina Hélice a elegir una de las dos opciones. Se calcularon y diseñaron estas dos variantes mediante valores obtenidos en manuales de turbinas para la generación de energía en plantas de gran tamaño pero con la adaptación a una producción local, es decir, en una microplanta. Además, se hizo el cálculo para el eje de transmisión, el acoplamiento y los elementos necesarios para conectar el dispositivo al generador, así como el diseño por resistencia de los álabes por medio de la teoría de fatiga para la obtención de un espesor adecuado que soporte el trabajo continuo a través de períodos de trabajo largos. Se hacen dos propuestas, la primera es el diseño de la turbina para generar energía que satisfaga la demanda total instantánea y la otra es el almacenamiento de energía. Por último, se construyó un modelo a escala con medidas y valores obtenidos por medio de las leyes de semejanza para observar su funcionamiento y ampliar el criterio obtenido con el fin de hacer un diseño altamente eficiente. i

ABSTRACT. The aim of this present work is the generation of electric power through the use of a stream in which industrial and domestic waste water is poured. The proposal consists in a Pelton and Helix turbine design to choose one of these two options. Calculations and design have been made for these types through values obtained in handbooks and manuals for large power plants turbines adapted to a local production, that is to say, to a microplant. In addition, calculation and design have also been made for the shaft, coupling and components needed to connect the device to the generator, as well the design by strength of materials of the turbine blades using the fatigue theory in order to get an adequate thickness that can stand continuous work for large periods. Moreover, two options are proposed, the first one is the design for satisfying the complete installed demand of energy and the second is the energy generation with storing through batteries. Finally, a scale model will be manufactured with size obtained by means of the similarity laws to observe its function and thus broaden the criteria with the objective of a high performance design. ii

JUSTIFICACION Los precios cada vez más altos y la escasez paulatina de los combustibles fósiles, el calentamiento global y la contaminación, ha suscitado un gran interés en la investigación y uso de nuevos métodos de generación de energía. En la actualidad se está buscando que la generación de ésta sea rentable, redituable, limpia y amigable con el medio ambiente. Se hace uso cada vez más frecuente de biocombustibles, generación eólica, solar, hidráulica, etc., además de que las naciones buscan aprovechar al máximo sus recursos naturales así como sus desechos. La finalidad de este trabajo es la propuesta de un dispositivo que aproveche la energía proveniente de un río en el cual se vierten desechos industriales para la generación de corriente eléctrica. Se propone como una alternativa a la generación por plantas termoeléctricas para: ahorrar recursos que se consumen a manera de combustibles en estas, reducir las emisiones contaminantes a la atmósfera que contribuyan a la reducción del calentamiento global, utilizar recursos que no tengan impacto en la naturaleza a tomar en cuenta como una potencial fuente de energía y evitar así el desperdicio. Se habla de una potencial fuente en la cual resultaría una inversión relativamente costosa al principio pero que se amortiza con el paso del tiempo por la no utilización de energéticos adicionales. Es decir, la única inversión a realizar es la instalación de la planta y su mantenimiento, que en el largo plazo, se convierte en una manera de producción de corriente eléctrica muy económica. La propuesta es entonces, a manera de prototipo experimental, implementar una microplanta para la generación de corriente eléctrica de manera local o doméstica, que logre hacer crecer el proyecto para implementarse en una localidad usando este mismo tipo de recursos.

iii

OBJETIVO. Diseñar una turbina tipo hélice para la generación de corriente eléctrica en una microplanta, empleando aguas residuales. DEFINICION DEL PROBLEMA. El aumento de población, el incremento de los combustibles, la contaminación y el calentamiento global han hecho urgente la búsqueda de técnicas cada vez más baratas, limpias y eficientes de producir energía. Es de considerar, que los países más desarrollados invierten gran cantidad de recursos en el desarrollo de energías renovables, cómo son: la energía eólica, solar, hidráulica, los biocombustibles, el biogás, etc. iv

INDICE DE FIGURAS. Fig. 1.1. Turbina Furneyron. 5 Fig. 1.2. Turbina Kaplan. 6 Fig.1.3. Diseño conceptual de turbina impulsada por aguas residuales propuesto por alumnos de la Universidad de Lancaster, Reino Unido. 7 Fig. 1.4. Gráfico de instalación de microplanta de generación. 8 Fig. 1.5. Esquema del la turbina para bajas caídas de Energy Systems & Design. 9 Fig. 1.6. Esquema típico de la instalación de una turbina impulsada por el agua de río utilizada en el pasado adaptada para el uso actual. 10 Fig. 1.7. Esquema de instalación de una Micro planta tomando un ramal del caudal principal. 11 Fig. 2.1. Cambio de sección en una tubería. 12 Fig. 2.2. Triángulo de velocidades a la entrada del álabe. 19 Fig. 2.3. Triángulo de velocidades a la salida del álabe. 20 Fig. 2.4. Representación de velocidades dentro de un álabe. 20 Fig. 2.5. Alabe Kaplan. 22 Fig. 2.6. Dimensiones de cuchara Pelton. 33 Fig. 2.7. Inyector Pelton. 33 Fig. 2.8. Diagrama para el cálculo del número de álabes. 35 Fig. 2.9. Ejemplo de diagrama de selección de material. 38 Fig. 2.10. Gráfica esfuerzo - número de ciclos 43 Fig. 2.11. Diagrama Esfuerzo medio – Esfuerzo variable. 46 v

INDICE DE FOTOGRAFIAS. 4.1. Rueda del prototipo de la turbina Pelton. 82 4.2. Vista trasera de la cuchara 83 4.3. Vista delantera de la cuchara. 83 4.4. Prototipo ensamblado y listo para pruebas. 84 vi

INTRODUCCION. La creciente demanda de energía renovable, barata y ecológica; el agotamiento de los hidrocarburos y por ende, su elevación en el costo, la contaminación y el calentamiento global han puesto a los investigadores a hacer un esfuerzo mayor en encontrar fuentes alternativas que cumplan cabalmente con estas características. Es ya una costumbre la instalación y la implementación de aerogeneradores de palas para producir electricidad, el uso de biocombustibles, de paneles solares y turbinas colocadas en lugares que antes no se tenía contemplado ni por casualidad. El planeta se encuentra en una etapa de cambios constantes, las comunicaciones ahora son muy rápidas y muy eficientes es por ello que el mundo demanda gran cantidad de energía. El uso de energía hidráulica en el siglo pasado se limitaba a ciertas características de altura y caudal. Ello ha ido evolucionando hasta utilizar cualquier río, riachuelo o canal, incluso se busca aprovechar agua residual proveniente de las ciudades. El diseño de maquinaria utilizada para el aprovechamiento de energía proveniente de un canal, río o riachuelo va encaminado a: reducir las emisiones producidas por las plantas termoeléctricas o por lo tanto la contaminación, con referencia al punto anterior reducir el calentamiento global y contribuir al desarrollo de un país mediante la creación de tecnología que genere industria y además reduzca el costo de la cuota por Watt-hora. Es importante señalar que el diseño de este tipo de maquinaria está sujeto a las características de los recursos naturales disponibles. Es por ello de la necesidad de los estudios de factibilidad que determinen la viabilidad de un proyecto tal. Se proponen dos tipos de turbina: turbina Pelton y turbina Hélice a elegir cuál es la opción que cumpla todos los requerimientos de espacio, peso y potencia generada para la producción de corriente eléctrica en una microplanta a nivel doméstico. Se supone que uno de estos dos tipos es el idóneo para las características de que se disponen. Se realiza el diseño de todo el equipo hasta los elementos de transmisión de potencia a conectarse con el generador dispuesto y recomendado por gente que ha tenido experiencias similares y que aporta mucha de su experiencia para la difusión de trabajos científicos. Los elementos se calculan mediante cargas variables para asegurar un período largo de trabajo y vida útil. Es importante hacer un esfuerzo mayor para lograr desarrollar un país que necesita de fuentes de empleo y que sufre mucho las inclemencias del cambio climático mediante el desarrollo de tecnologías propias y que sientan precedente en la creación de industrias propias creadas dentro del territorio nacional, para lograr un futuro mejor y más limpio respecto al presente que se vive.

vii

1.- ESTADO DEL ARTE. Desde el inicio el hombre ha buscado la forma de simplificar el trabajo mediante el uso de herramientas, dispositivos y máquinas. El uso de máquinas que convierten un tipo de energía a otro tipo ha permitido que el hombre realice actividades que incluso rebasen su capacidad física. Las máquinas surgen como necesidad de aprovechar la fuerza de la naturaleza con un propósito definido. Una de estas máquinas se conoce como “turbina hidráulica”, la cual, transforma la energía potencial o cinética de una caída de agua en energía mecánica.

1.1. Primeros antecedentes del uso de la energía hidráulica. El primer antecedente de turbina hidráulica [13] se encuentra en las ruedas de agua usadas por los persas y luego por los romanos para moler maíz. El funcionamiento de estas ruedas consistía en que su parte más baja se encontraba sumergida en los ríos que tenían cuerpos de agua en movimiento, provocando su giro. La energía producida se trasmitía mediante otro dispositivo mecánico para lograr el propósito. El diseño de este tipo de turbina o rueda de agua prevaleció hasta la Edad Media hasta que fue sustituido por la impulsión en la parte más alta de la rueda. En Alemania, alrededor del siglo XII, aparece esta propuesta, que buscaba aprovechar la energía potencial del agua más que la energía cinética, principio en que se basan las actuales turbinas hidráulicas de reacción. En el renacimiento, los científicos y matemáticos proponen que el funcionamiento de esta rueda de agua con impulso en la parte superior funcionaría mejor si se encontrara encerrada en una carcaza. Sin embargo, sus investigaciones se vieron obstaculizadas por la falta de precisión en la construcción de los dispositivos. El problema fue resuelto por el matemático alemán Johann Andres Von Segner (1704-1777). En su sistema el agua entra a un cilindro en donde se encuentra el rotor junto con el eje y el agua es dirigida hacia las aspas.

1.2. Primeros diseños de turbinas hidráulicas. En Francia en el siglo XIX se ofrece un premio para la fabricación de una turbina realmente eficiente. El concurso fue ganado por Claude Burdin (1778-1873), quién en 1828 publica sus resultados. Un alumno de Claude Burdin, Benoit Fourneyron (1801-1867) desarrolla y mejora el trabajo de su mentor.

Fig.1.1. Turbina Fourneyron

5

Se le considera el inventor de la turbina hidráulica moderna. Su principal aportación fue la adición de un distribuidor que dirigiera el fluido hacia las aspas de la turbina. En Europa antes de 1900 [1], los modelos más usados de turbina fueron: la turbinaa Fourneyron, la turbina Jonval y la Turbina Fontaine. A comienzos del siglo XX, las turbinas más usadas fueron la turbina Girard y la centrípeta de acción. En la actualidad, estos modelos se han reemplazado por los modelos Pelton, Francis, Deriaz y Kaplan. L.A. Pelton [2] diseña un prototipo de turbina en 1880, en donde un chorro de agua incide en cucharas o cangilones colocadas en la periferia de una rueda, provocando mediante la fuerza del chorro, el giro de la rueda a determinadas revoluciones. Para lograr este propósito, es necesario tener alturas grandes de caída de agua, con el propósito de obtener presión alta en la salida del chorro. James B. Francis [20] en 1848, se propone diseñar una turbina sumamente eficiente y crea una de flujo combinado, esto es, el flujo incide de manera radial, pero tiene una salida normal. En 1903, el ingeniero A.G.M. Michell diseña una turbina de flujo transversal [24], basada en los trabajos del ingeniero francés Poncelet (1788-1867). Entre 1912 y 1918, el ingeniero húngaro Donat Banki hace un extenso trabajo sobre esta turbina, la cual lleva el nombre de Turbina Michel-Banki. En 1906 A.G.M. Michell y Fritz Ossberger [23] patentan una turbina de chorro libre de impulso radial, la cual se fabrica para pequeñas potencias (hasta 700 kW) destinada a pequeños consumidores de energía tales como granjas, molinos, etc. Victor Kaplan en 1913, diseña una turbina de flujo axial, la cual trabaja bajo pequeños saltos de agua y grandes flujos. Cabe señalar que esta turbina funciona con aspas móviles que cambian de acuerdo a la carga aplicada, con el fin de obtener la mayor eficiencia posible.

Fig. 1.2. Turbina Kaplan

6

1.3. Uso de agua residual para la producción de energía. Jeffrey L. Cribs [15], en Agosto del 2005, patenta un sistema de generación de energía eléctrica, con el título: “Sistema de generación de energía eléctrica a base de aguas residuales”. El cual consiste en colocar un ramal en la tubería principal de drenaje, que desvíe una parte del caudal principal para impulsar una turbina y después de logrado este propósito, el ramal sigue su camino hasta unirse a la tubería principal. Leonard L. Stewart[17], en Agosto del 2005, patenta un sistema que propone la inyección de aguas residuales a Geysers para su evaporación, transportar el vapor producido para el impulso de turbinas y el condensado que resulta del vapor usado en las turbinas utilizarlo para el movimiento de turbinas hidraúlicas. Alumnos de la Universidad de Lancaster en el Reino Unido [16] en el 2007 propusieron el diseño de una turbina de eje vertical impulsada por aguas residuales, a ser instalada en una planta de tratamiento en Yorkshire, Inglaterra. El proyecto consiste en un diseño que se encuentre completamente sumergido dentro del canal sobresaliendo el eje de transmisión en donde se acoplará el generador. Se usará un motor de arranque y un generador en corriente directa, la corriente se rectificará después mediante un inversor para convertirla en corriente alterna.

Fig. 1.3. Diseño conceptual de turbina impulsada por aguas residuales propuesto por alumnos de la Universidad de Lancaster, Reino Unido.

La empresa 3HC ubicada en Perú [22], realiza proyectos de instalación de pequeñas centrales hidroeléctricas de baja potencia, utilizando turbinas Michell-Banki. La empresa Ossberger[23], en Alemania, fabrica turbinas hidráulicas de baja capacidad, de cualquier modelo (Pelton, Kaplan, Michell-Banki) para pequeños consumidores de energía, como granjas, pequeñas fábricas,etc. La revista GMSARN International Journal, en su edición No. 1, volumen 1, año 2007 [7], publica un artículo, escrito por Baset y Anand Kumar, de la Universidad Hindú de Banaras

7

y por Bansal, de la Universidad del Pacífico Sur de Suva, con el título: “Evaluación de la confiabilidad de Generación de Potencia micro-hidráulica híbrida y fotovoltaica usando aguas residuales de la red municipal.” En este artículo, se propone el uso de aguas residuales para impulsar una turbina hidráulica que transmita potencia a un generador eléctrico para producir energía, combinando con otro tipo de energías como la fotovoltaica, que proporcione energía a una bomba para mantener a un mismo nivel el tanque que abastece de agua a la turbina. Además, evalúa la confiabilidad de la micro-planta de acuerdo a las variaciones que pudiera tener el caudal de agua, mediante la distribución de Gauss. Propone la selección de un generador de inducción 4 polos, que requiera girar a una velocidad de 1500 rpm, por la razón que la frecuencia de la corriente utilizada en India es de 50 Hz. Respecto a la frecuencia que se tiene de la corriente en nuestro país de 60 Hz se requieren 3600 rpm. velocidad que necesita un generador de 2 polos y generadores de más pares de polos resultan costosos y difíciles de operar de acuerdo a la velocidad esperada en la turbina. Es por ello, la recomendación que hacen de un generador de 4 polos, a girar de acuerdo a la frecuencia de la corriente del país a 1800 rpm. La transmisión se puede realizar mediante banda y poleas. Para el transporte del agua residual, recomiendan el uso de PVC sin plastificar, por tener menor fricción entre la pared del material y el agua, menor peso, resistencia mayor a la corrosión y bajo costo, en comparación con tuberías de acero o de poliestireno de alta densidad. En la figura se muestra un esquema de la instalación de la micro-planta.

Fig. 1.4. Gráfico de instalación de microplanta de generación.

8

Típica planta hibrida de energía que

usa agua residual proveniente de la

planta de tratamiento.

Agua

residual

de la

planta de

tratamien

to.

1.4. Turbinas diseñadas para caudal de ríos. La compañía Energy Systems & Design, LTD., [25] fabrica turbinas para generación eléctrica para el uso en riachuelos y baja caída de agua. Su modelo LH1000 funciona bajo alturas que varían de 0.5 a 3 metros, con una potencia máxima de salida de 1 kW. El diseño de esta turbina es de flujo axial, usa materiales no corrosivos y provoca un vacío en el tubo de desagüe para obtener una mayor caída del líquido. El generador que usa es un alternador de imán permanente sin ecobillas. La energía es almacenada en baterías si la carga excede la potencia de salida. Los voltajes que se obtienen son de magnitud de 12, 48 y 120 v.

Fig. 1.5. Esquema del la turbina para bajas caídas de Energy Systems & Design.

El artículo escrito por Jahangir Kahn, de Powertec Laboratories, con el título “Estado de la tecnología en energía por ríos” de British Columbia, Canadá, del año 2006 [18], da una reseña de la evolución de las turbinas impulsadas por ríos. El primer antecedente viene del diseño hecho por Peter Garman, por una iniciativa del Intermediate Technology Development Group (ITDG), en 1978. Tenía como función el bombeo de agua e irrigación. Luego en Juba, Sudan, surgieron diseños para la generación de energía, usando el agua del Nilo Blanco. Posteriormente, además de la turbina Garman, surgió la turbina Tyson (Australia), la turbina Rutten (Bélgica) y la propuesta por Marlec Co., Engineering (Reino Unido). Estos diseños se basan en la colocación del prototipo en una balsa y el rotor sumergido en el agua. Mediante el caudal del río se impulsa a este último generando energía mecánica. Los demás rotores que se han diseñado para este propósito son: Darrieus, Savonius y Gorlov, con un principio de funcionamiento muy parecido a los descritos anteriormente. El artículo discute propuestas acerca de la instalación y el ángulo del eje respecto de la turbina. Existen algunas instalaciones con determinada inclinación respecto a la horizontal de la superficie libre del río, en otras se coloca el rotor de manera perpendicular a el flujo de agua con transmisión por cadena y catarina.

9

Generador

Altura

Alabes directores

Tubo de aspiración.

La cadena sobresale del agua en que se encuentra sumergida la turbina para acoplarse a una catarina que transmite movimiento al generador eléctrico. Un artículo publicado por el ministerio de Agricultura, silvicultura y manejo del agua, de la república de Serbia, cuya autoría pertenece a Merita Borota[5], indica el uso de agua para la generación de energía proveniente de ríos, como una alternativa sustentable y económicamente viable para el desarrollo de este país, además de ser una manera de generar energía renovable y ecológica sin ningún riesgo de desechos perjudiciales como son el uso de combustibles fósiles. Clasifica el tipo de instalación en: convencional, está se subdivide en: 1.- uso del flujo de los ríos, en donde se toma una porción del río, sin represa, por medio de tubería para impulsar a la turbina y esta se regresa a su cauce y, 2.- plantas de almacenaje, en donde se construyen represas para almacenar una cantidad de agua previniendo escasez o sequía para mantener constante la energía de salida. Este artículo clasifica el tipo de planta hidroeléctrica en: 1.- Grandes plantas de potencia: cuando se genera más de 30 megawatts., 2.- Plantas pequeñas: cuando la potencia generada fluctúa entre 100 kilowatts a 30 megawatts, 3.- Micro plantas: cuando la potencia generada no sobrepasa los 100 kilowatts.

Fig. 1.6. Esquema típico de la instalación de una turbina impulsada por el agua de río

utilizada en tiempos pasados adaptada para el uso actual.

Como beneficios, se explica que la energía producida es totalmente limpia, renovable y el agua puede reusarse para riego u otras funciones. Las desventajas que tiene es el impacto que pudiera tener en la vida animal o vegetal de la región donde se construya la represa. Para ello, se han ideado presas con un flujo quieto de agua y caminos o escaleras para peces que permitan el libre tránsito de estas especies que no perjudique su camino a los santuarios.

10

25° min. de pendiente

Como instalar un hidro alternador

Polea de 20

a 24 pulg.

Hidroalternador de 15ER

30 amp. Con kw/hr.

Proporcionales.

Energía a

gabinete. Canal

Arroyo Baterías de

alto ciclaje

Caída de agua de 40 a 60 pulg.

Fig. 1.7. Esquema de instalación de una Micro planta tomando un ramal del caudal principal.

1.5. Tópicos relacionados con el diseño de la turbina.

Grant Ingram, de la Universidad de Durham, en enero del 2007 [6], propone una metodología muy simple para el diseño de la turbina Kaplan, la cual consiste en establecer los ángulos de entrada y salida del agua, para luego ir acomodando mediante iteraciones hasta llegar a valores razonables de potencia y caudal. También propone la elección de medidas de la turbina como son radio medio y altura, para luego hacer una revisión de los valores de salida e iterar hasta encontrar la potencia de salida necesaria. V.I.Grigorev [8], en el Vol. 31, No. 2, 1997, de la revista Hydrotechnical Construction, publica un artículo con el título: “Mecanismos de formación de cargas dinámicas actuando en los principales componentes de unidades Turbina – generador”, en donde expone de manera puntual la aparición de fuerzas no balanceadas dentro de los componentes de una turbina, principalmente las aspas, que disminuyen notablemente su vida útil. Establece que las fallas pueden aparecer incluso si se realizó un buen diseño del prototipo, las cargas aparecen por una admisión deficiente de agua, lo que provoca una vibración excesiva adicional a la vibración ya producida por el giro del rotor. La manera en que aparecen estos vectores, que cabe mencionar, cambian de posición y ángulo a la par de la velocidad angular, es función de un movimiento armónico, en dónde el ángulo son las revoluciones a las que gira el rotor multiplicada por el tiempo. También intervienen el número de aspas y el ángulo de estas respecto al eje de giroTambién la aparición de fuerzas no equilibradas es función de la no-uniformidad del flujo de agua, lo que recomienda el autor es tratar de hacer el flujo del líquido lo más uniforme posible y evitar vibraciones excesivas que excedan los valores recomendados.

11

Turbina

Tubo de aspiración

Compuertas de entrada

Canal

Generador

Panel de

control.

2.- MARCO TEORICO.

2.1. Introducción El diseño de una turbina hidráulica impulsada por aguas residuales requiere del entendimiento de varios conceptos de la mecánica de fluidos así como de diseño mecánico. Como fundamentos del funcionamiento de esta máquina, se encuentran:

- Ecuación de continuidad - La ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles - La teoría del impulso y cantidad de movimiento. - La ecuación de las turbomáquinas de Euler.

En cuanto a los conceptos de diseño mecánico, se encuentran los siguientes tópicos: cargas variables, propiedades mecánicas de los materiales y factores de seguridad. Se pretende en este trabajo realizar el diseño de una turbina desde el aspecto de durabilidad, es decir, que resista el castigo de las cargas por un período largo de tiempo y que resista el ambiente corrosivo a la cual estará sometida. En esta parte se definirán las ecuaciones, factores y variables usadas en el cálculo. Se definirán conceptos prácticos recomendados obtenidos en manuales por personas con vasta experiencia en el campo del diseño para plantas que generan grandes cantidades de energía con el propósito de lograr la mayor eficiencia. 2.2. Ecuación de continuidad. Considérese un tramo de tubería de dos secciones diferentes, que dentro de este fluye un fluido, como se muestra en la fig 2.1.

Fig. 2.1. Cambio de sección en una tubería.

La ecuación de continuidad indica que el flujo dentro del tramo de tubería de diferente sección será el mismo. Se denota en forma de ecuación de la siguiente manera: �� . �� . �� = � . �� . � En el caso del fluido incompresible, la densidad permanece invariable: ρ1 = ρ2 = cte. , por lo que se cancela, resultando en la ecuación: �� . �� = �� . � = � (1) En donde “Q” es el caudal o flujo volúmetrico en m3/s.

��

12

2.3. Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles. Se entiende como fluido incompresible a todo aquel fluido que tiene una casi nula variación de densidad, como son los líquidos. Se aplica la ecuación de Bernoulli, que es un balance de energías desde un punto definido a otro. La ecuación de Bernoulli generalizada para un fluido real e incompresible se puede escribir de la siguiente manera: �� + ��. � + ��2 = �� + �. � + �2

En dónde 1 y 2 son puntos elegidos para la aplicación de esta ecuación. La ecuación se compone de energías por unidad de masa, en términos de altura. 2.3.1. Energía potencial gravitacional. La energía potencial gravitacional es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad y por la altura: �� = � . �. � . � ( �� , �� !" " #�� $%) Si se trata de energía específica:

�� = � . �. � . � � . � = � . � (�� &� , �� !" " #�� $%)

2.3.2. Trabajo.

Es el producto de una fuerza por un desplazamiento. Si consideramos la fuerza como el producto de la fuerza por el área donde ésta es aplicada: ' = ( . � . ) = ( . � Un volumen de líquido de acuerdo a la siguiente ecuación tendrá la forma: ' = ( . � = ( . � . �� = ( . &� (�� , �� !" " #�� $%)

El trabajo por unidad de masa o trabajo específico será: �* = *+ (�� ,-.- , #� "/��!#� "� $%)

13

2.3.3. Energía cinética. La energía cinética del fluido de “m” kgs. será:

�0 = & . �2 , (�� , ��#"# #�� $%)

La energía específica será:

�0 = �2 (�� &� , ��#"#�� #�� $%) 2.3.4. Pérdidas de energía. Las pérdidas de energía se tienen clasificadas en dos tipos: primarias, que son las pérdidas por fricción en la superficie y secundarias, que son las pérdidas por cambio en la forma. 2.3.4.1. Pérdidas primarias. Son las pérdidas que existen por el rozamiento entre la pared de la tubería y el fluido. Dependen de la rugosidad de la pared y del régimen al que se encuentre el fluido. Para identificar el régimen, existe un número adimensional conocido como “número de Reynolds (Re)”. 2.3.4.1.1. Número de Reynolds. Es una cantidad adimensional que relaciona las fuerzas de viscosidad en el fluido. Identifica el tipo de régimen, sea laminar o turbulento. El régimen laminar es aquel en que el fluido se mueve de manera ordenada con el deslizamiento entre capa y capa. En este régimen, las pérdidas solo son función del número de Reynolds. El régimen turbulento es aquel en que el fluido se mueve de manera desordenada, generando remolinos, corrientes, etc. En este caso, las pérdidas son función de la rugosidad de la tubería más que del número de Reynolds. Para el cálculo de este número, se tiene la siguiente relación matemática: 1� = � . 23

en dónde: Re = número de Reynolds V = velocidad del fluido D = diámetro de la tubería υ = viscosidad cinemática �� 1� < 2000, �� 6��7� �� "&��"! �� 1� > 2000, �� 6��7� �� !9��

14

2.3.4.1.2. Rugosidad relativa en la tubería La superficie de la tubería que conduce el fluido no es totalmente lisa, sino tiene discontinuidades que aumentan la fricción entre este y la pared. Los manuales nos indican un valor en unidades de longitud de la rugosidad. Como las pérdidas de energía están en función de la rugosidad relativa, esta se calcula de la siguiente manera: � = :2

En donde: e = rugosidad relativa (adimensional) k = rugosidad relativa (en unidades de longitud) D = diámetro de la tubería. 2.3.4.1.3. Ecuación de Darcy-Weisbach. Para el cálculo de las pérdidas primarias dentro de una tubería, se ocupa la ecuación de Darcy-Weisbach:

;<= = > . ?2 . �2�

�� #��#�: ;! − (é!#�#"� #� ��!�í" �� #"#�� #� �� # > − /��6�/�� #� 6!�//�ó� ("#�&��"�) ? − �� # #� �" �9�!í" 2 − #�á&� !� � − ��/�#"# � − /�� "� � #� �" �!"��#"# El coeficiente de fricción ">" es función del número de Reynolds, cuando se tiene régimen laminar y función tanto del número de Reynolds y de la rugosidad relativa cuando se tiene régimen turbulento. Por su naturaleza, no existe una manera absoluta de calcular este coeficiente, pero se han desarrollado y propuesto diferentes ecuaciones de manera empírica, además de tablas, nomogramas y gráficos que se han implementado en los manuales de los fabricantes de equipo. Entre las ecuaciones que se han propuesto, se encuentran las siguientes: Ecuación de Pouiseuille: > = 641� ; [("!" !é��&�� "&��"!, �9�!í"� ��"� K !��"�] Ecuación de Blasius: > = M.N�OPQR/T ; [6��7� �!9�� , �9�!í"� ��"�, 1� < 100000]

15

Primera ecuación de Kárman – Prandtl: 1√> = [2 log�M(1�. √>)] − 0.8 [6��7� �!9�� , �9�!í"� ��"�, 1� > 100000] Ecuación de Colebrook-White: 1√> = −2 log�M Z:/23.7 + 2.511�√>^

_��" #� !"��/�ó�, > = 6(1�, :2)

Segunda ecuación de Kárman – Prandtl: 1√> = 2 log�M 22: + 1.74

`6��7� #�/�"!"#"&�� !9�� , �9�!í"� !��"�, ("!" 1� /!�/�� "� "�&�� "! :2a Dentro de los nomogramas para la obtención del valor numérico del coeficiente de fricción, se tiene el “diagrama de Moody”. Es una representación gráfica en papel doblemente logarítmico de la ecuación de Pouiseuille y la ecuación de Colebrook-White qué permite calcular cualquier valor de este coeficiente. En el lado de las abscisas se encuentran los valores del número de Reynolds, en el lado de las ordenadas se encuentran los valores del coeficiente y las curvas dan los valores de rugosidad, colocados en el lado derecho de las ordenadas de este diagrama. 2.3.4.2. Pérdidas secundarias. Son las pérdidas producto del cambio de forma en el conducto en el que el fluido se esté moviendo. En general, son las pérdidas asociadas a válvulas, contracciones, codos, tee´s y cualquier otro accesorio que se coloque en la tubería. Cabe mencionar que si la conducción es muy larga, las pérdidas secundarias se desprecian con un error no apreciable. La ecuación que rige a las pérdidas secundarias es la siguiente:

;<. = b �2�

16

En donde: ;<. − (é!#�#"� ��/��#"!�"� #� ��!�í" �� #"#�� #� �� # b − /��6�/�� #� 6!�//�ó� � – ��/�#"# � − /�� "� � �!"�� "/��"� El coeficiente de fricción en este caso, se obtiene por medio de tablas y gráficas de acuerdo al accesorio en cuestión, su tamaño y su forma. 2.3.5. Energía absorbida por el equipo. Es la energía que absorberá el equipo. Es decir, la energía necesaria para generar el movimiento de la turbina que conduzca a la producción de electricidad. En la ecuación de Bernoulli se escribe con signo negativo por la razón de que se tomará energía en vez de aportarla al fluido. En la ecuación se identifica como: ;d La ecuación de Bernoulli generalida, agregándole pérdidas e incrementos de energía y escribiéndola en unidades de altura, es: �� + ��. � + ��2 – e;<* + ;<.f . � − ;d . � = �� + �. � + �2

2.4. Principio de impulso y cantidad de movimiento. El principio de impulso y cantidad de movimiento aplicado en los fluidos, se deriva de la segunda ley de Newton. De la ecuación que expresa esta ley:

g� = & . "� = & . #��#

Entonces, si se multiplica toda la ecuación por el término “dt”, y se integra: h g�# = h & . #��i-

iR

se obtiene: & . �� + h g�# = & . ��

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Esto es: Cantidad de movimiento inicial ± Impulso = Cantidad de movimiento final. Si se aplica a una partícula de fluido y se denota por un elemento diferencial, se obtiene: g�. # = #& . #�� Si se aplica esta expresión a un volumen de control, entre las regiones 1 y 2, el elemento diferencial de masa se sustituye por la ecuación: #& = � #� De donde: � − #��#"# #�� 6��#� (/�� "� �) #� − ��&�� Sustituyendo en la ecuación y dividiéndola por el término “dt”: g� = � . #�# . #��

Pero el término: jkj= = �:

g� = � . � . h #��i-iR

Y se obtiene:

Teorema del impulso y cantidad de movimiento: g� = � . � . (�� − ��) Esta expresión es vectorial, por lo que sus componentes son: gl = � . � . (�l − ��l) gm = � . � . (�m − ��m) g� = � . � . (�� − ��) 2.5. Ecuación de las turbomáquinas de Euler. 2.5.1. Introducción. Dentro de la extensa clasificación de las máquinas, existe un apartado para clasificar a este tipo con el título de “máquinas de fluído”. Este a su vez se divide en dos ramas: máquinas hidráulicas y máquinas térmicas. Las máquinas hidráulicas son aquellas en las cuales no hay variación de la densidad o su valor es tan pequeño que se desprecia sin error aparente.

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Como ejemplo de estas máquinas se encuentran: las bombas, turbinas, ventiladores, etc. Las máquinas térmicas son aquellas en las que existe variación de la densidad del fluido o su variación es de considerarse. A su vez, las máquinas hidráulicas se dividen en dos tipos por su principio de funcionamiento: máquinas de desplazamiento positivo y turbomáquinas. Las máquinas de desplazamiento positivo funcionan con el principio de la transmisión de energía por la reducción de volumen. El principio mediante el cual se rigen las turbomáquinas es la ecuación de Euler. En el caso presente, este tipo de máquina cae en la clasificación de turbomáquina hidráulica. 2.5.2. Triángulo de velocidades. Para deducir la ecuación de Euler, se debe hacer mención del triángulo de velocidades. El triángulo de velocidades es la representación gráfica de las componentes de velocidades que se presentan dentro de una turbomáquina. W1 C1 C1M β1 α1

C1U

U1 Fig. 2.2. Triángulo de velocidades a la entrada del álabe Por notación internacional, se presentan el sistema más usado de representación de velocidades, de los cuáles se enlistan los siguientes: U1 – velocidad absoluta del rotor. C1 – velocidad absoluta del fluido. W1 – velocidad relativa de fluido respecto a la velocidad del rotor. C1U – componente periférica de la velocidad absoluta de fluido. C1M – componente meridional de la velocidad absoluta del fluido. β1 - ángulo que forma la velocidad absoluta del rotor con el vector de la velocidad relativa. α1 - ángulo de entrada del fluido. Para la representación del triángulo de velocidades a la salida del rotor, se usará la misma notación, con la diferencia que en las componentes el subíndice “1” cambia a “2”. W2 C2 C2M β2 α2

C2U

U2 Fig. 2.3. Triángulo de velocidades a la salida del álabe.

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Si se hace un corte del rotor, las velocidades se pueden representar de la siguiente manera:

Fig. 2.4. Representación de las velocidades dentro de un álabe. 2.5.3. Deducción de la ecuación de Euler de las turbomáquinas. Para deducir la ecuación de Euler, se parte de la ecuación del impulso y cantidad de movimiento, que en su forma diferencial se tiene: #g = � . #�. �/n A /�n � De la fig. 2.4, si se toman momentos respecto al eje del rotor, de la componente periférica de la velocidad absoluta del fluido, se tiene: #o � . #� . �!. / cos r A !�. /� cos r�� Integrando, o � . � . �!. / cos r A !�. /� cos r�� En donde “M” es el momento cinético que comunica el fluido al rodete. Para el cálculo de la potencia, se debe de multiplicar por la velocidad angular: � � . � . s . �!. / cos r A !�. /� cos r�� La potencia a su vez, es igual a la energía multiplicada por el caudal másico:

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� t . uv � . � . � . ;v Por lo tanto: uv ;v . � �"� Igualando las dos expresiones, se tiene: � . � . uv � . � . s . �!. / cos r A !�. /� cos r�� Pero: !�. s �� ; !. s �; / cos r /v; /� cos r� /�v Sustituyendo valores, se tiene la “Primera forma de la ecuación de Euler”: uv w�� . /�v A � . /v � En dónde: “signo +” – máquinas motoras (turbinas) “signo –“ – máquinas generadoras (bombas, ventiladores, compresores) Para tener la expresión en alturas, de la ecuación “(a)”: ;v . � w�� . /�v A � . /v � Por lo tanto, se tiene la “Segunda forma de la ecuación de Euler”: ;v �� . /�v A � . /v �

La forma actual, es para la aplicación de turbinas, que es el caso actual.

Fig. 2.5. Alabe Kaplan

21

Para tener la máxima eficiencia, la componente periférica a la salida debe ser cero. Esto se demuestra en la ecuación de Euler: ;v �� . /�v − � . /v�

Si C2u = 0: ;v = �� . /�v�

2.6. Deducción de ecuaciones aplicadas al diseño de turbinas. 2.6.1. Introducción. En este apartado, se expresarán todas las ecuaciones necesarias para el diseño de la turbina, así como los coeficientes y reglas de diseño recomendadas por gente con experiencia en el campo. Algunas de las ecuaciones y coeficientes serán deducidos, otras serán extraídas de manuales o libros. Algunas serán comunes para ambos tipos de turbina, otras serán casos particulares. 2.6.2. Potencias y rendimientos. La potencia es el parámetro a medir como producto final del proceso de conversión de energía dentro del dispositivo. Es decir, de acuerdo a la energía por unidad de tiempo consumida por el usuario es la energía que se deberá producir. El rendimiento es la magnitud que indica la eficiencia con que se está produciendo la energía. Se tienen varios tipos de potencia así como diferentes tipos de rendimiento. 2.6.2.1. Potencia hidraúlica o potencia de entrada. Es la energía de suministro al dispositivo. Si se parte del concepto que la potencia es el producto de la fuerza por la velocidad, se tiene: �� . = g ��. �� Si se multiplica y divide a esta ecuación por el área, se tiene:

�� . = �� . g� . �� = g�� . � . �� = ( . �

En donde “Q” es el caudal y “p” es la presión. La presión aplicada al fluido incompresible viene dada por:

22

( x . ; En donde, “H” es la altura, definida en la ecuación de Bernoulli y “γ” es el peso específico del fluido. Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de potencia: �� .Q = x . � . ;. (2) 2.6.2.2. Potencia mecánica o potencia de salida. De igual manera, si se toma el producto de la velocidad por la fuerza para el cálculo de la potencia y si se divide y multiplica entre el radio del brazo de palanca, se tiene: �� . = !! . g� . �� Pero: o = g . ! − (&�&�� #� �!��ó� �� y − &) s = �! − (��/�#"# "��"! �� !"#� ) Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de potencia: �� .. = o . s (3) 2.6.2.3. Potencia interna Es la potencia suministrada por la turbina, descontando las pérdidas producto del rozamiento en elementos mecánicos. Esta se calcula sumando las pérdidas mecánicas a la potencia de salida, esto es: �� .z = �� .. + �� ..< (4) 2.6.2.4. Rendimiento hidráulico. Es el cociente de la energía aprovechada por el salto o caída de agua. La máxima energía o altura de caída de agua aprovechable es la deducida en la forma de la ecuación de Euler. Dentro de la tubería se tendrán pérdidas por fricción reduciendo así la energía aprovechable en la turbina. El rendimiento hidráulico viene dado de la siguiente manera: {| = ;v; = �� . /�v − � . /v�;

23

2.6.2.5. Rendimiento volumétrico. En la instalación de una turbina se tendrán fugas del fluido disminuyendo el caudal que entra a la turbina. Estas pérdidas se les llaman “pérdidas volumétricas”, para evitar al máximo se debe de tener un perfecto sellado en todo el curso del fluido desde su embalse hasta la entrada al dispositivo. El rendimiento volumétrico es la relación del caudal teórico de entrada y el caudal real, es decir, el porcentaje de caudal que entra descontando las fugas. Viene dado por la relación:

{i � − }Q − }z�

En donde: qe – pérdidas exteriores, producidas por la salpicadura. qi - pérdidas interiores, producidas por los intersticios en la carcasa. 2.6.2.6. Rendimiento mecánico. Es la relación de las pérdidas por fricción en las partes mecánicas como son: rodamientos, bandas, engranes, ejes de transmisión, etc. La ecuación que indica el porcentaje de energía aprovechable, es la siguiente: {, = �� ..�� .z 2.6.2.7. Rendimiento total. Es el porcentaje máximo de energía utilizable que considera las pérdidas de todo tipo. Este es el rendimiento a considerar y que se toma en cuenta para los cálculos. La ecuación usada para el cálculo del rendimiento total es: {=~=�� = {, . {i . {| = �� ..�� .Q 2.6.3. Número específico de revoluciones. 2.6.3.1. Introducción. En el diseño de turbinas hidraúlicas, existe un parámetro que indica la semejanza geométrica entre diferentes tamaños de turbina pero que puede variar las condiciones de operación en función de otras variables. Este parámetro es el número específico de revoluciones.

24

Con este se puede escalar el modelo simulando las condiciones a las que trabajara el prototipo. Se obtiene mediante las leyes de semejanza, explicadas a continuación. 2.6.3.2. Leyes de semejanza aplicadas a turbinas La experimentación dentro de la rama de mecánica de fluidos con frecuencia se encuentra con obstáculos como son el tamaño del modelo a probar que puede ser muy grande para el laboratorio, o reproducir fielmente la instalación hidráulica donde se colocará que resultaría casi imposible. Es por ello la necesidad de hacer prototipos a escala. Para saber calcular las condiciones de salida del prototipo respecto del modelo, se aplican las “Leyes de Semejanza”, que son los parámetros esperados de acuerdo a la relación de tamaño. Existen para todas las turbomáquinas (ventiladores, bombas) pero en este caso solo se describirán para las turbinas. Existen seis leyes de semejanza: Primera ley: los números de revoluciones son directamente proporcional a la raíz cuadrada de las alturas: �´

�" √;´√;" Segunda ley: los caudales son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las alturas: �´�" = √;´√;" Tercera ley: las potencias útiles o potencias en el eje son directamente proporcionales a las alturas elevadas a 3/2: ��" = �;´;"�N/

Cuarta ley: los números de revoluciones son inversamente proporcionales a los diámetros: �´�" = 2"2´ Quinta ley: los caudales son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros: �´�" = Z2´2"^

25

Sexta ley: las potencias útiles son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros: ��" Z2´2"^

Estas ecuaciones se pueden fundir dos a dos para formar tres ecuaciones: �´�" = �;´;" . Z2"2´^ (3)

�´�" = �;´;" . Z2´2"^ (4)

��" = Z;´;"^N/ . Z2´2"^ (5)

2.6.3.3. Obtención de la ecuación del número específico de revoluciones. Se despeja de la ecuación (3) la relación de diámetros, obteniéndose:

2´2" = �;´;"�´�"

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (5), se obtiene:

��" = Z;´;"^N/ ��;´;"�´�" �

�

= Z;´;"^N/ �;´;"�/��´�"� = �;´;"��/

��´�"�

Aplicando raíz cuadrada a la ecuación:

��"��/ = �;´;"��/��´�"

Acomodando en cada lado los respectivos términos:

26

�´ (��)�/(;´)�/� = �" (��")�/(;")�/�

Por lo que la ecuación queda: �. = � . (�)� . (;)�� (6) Las unidades que se manejan en esta ecuación son: n en rpm, P en caballos de vapor (CV) y H en metros. Para poner esta ecuación en función del caudal en vez de la potencia, de la ecuación (2), se tiene: �� .Q = x . � . ;. (�) = x . � . ;75 (�)

Sustituyendo en la ecuación (6):

�. = � . Zx . � . ;75 (�) ^� . (;)�� = � . �� x75 . � � . ��/ . ;�N/�

Como: � �� . � = 3.65, sustituyendo:

�. = 3.65 . � . �� . ;� N� (7) En donde: n – velocidad angular en rpm Q – caudal en m3/s H – altura en m. 2.6.4. Velocidades dentro de la turbina. 2.6.4.1. Introducción. De lo anteriormente visto respecto al triángulo de velocidades, se tienen dos tipos de velocidad absolutas: velocidad absoluta del fluido y velocidad del impulsor. En esta sección se describen los modelos matemáticos para el cálculo de estas. 2.6.4.2. Velocidad absoluta del fluido. Es la velocidad con que se mueve el fluido a la entrada y a la salida de la turbomáquina. Cuando se refiere a la velocidad de entrada, la ecuación que rige es la ecuación de Torricelli. Existen sin embargo, factores que afectan el valor numérico dependiendo del caso que se trate. La ecuación referida es la siguiente:

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� / . �2�; (8) En donde: v – velocidad absoluta del fluido en m/s. c – factor adimensional g – constante gravitacional (9,81 m/s2) H – altura piezométrica en m. El valor del factor “c” depende del tipo de turbina: c = 0.97 para Turbinas Pelton. c = 0.8 a 0.6 en Turbinas Kaplan o Francis dependiendo del número específico de revoluciones. 2.6.4.3. Velocidad absoluta del rodete. Es la velocidad producto del giro, es decir, es la velocidad periférica que viene en función del diámetro y la velocidad angular. Se denota como “u”. se calcula por medio de la ecuación siguiente: � = s . ! En donde: u – velocidad absoluta del impulsor en m/s. ω – velocidad angular en rad/s r – radio del impulsor en m. Si se sustituye la velocidad angular en su forma de rpm y considerando que una revolución es igual a 2πr: � = 2�!. �60

Sustituyendo el radio por la mitad del diámetro:

� = 2� �22� . �60 = � . 2 . �60 (9)

2.6.5. Consideraciones para el diseño de turbinas. 2.6.5.1. Factor de velocidad. Para asegurar la mayor eficiencia dentro de la turbina, se han dispuesto relaciones entre los parámetros que influyen en el desempeño de la misma. El factor de velocidad es la relación entre la velocidad de entrada del fluido y la velocidad absoluta del impulsor. Depende del tipo de turbina, el valor numérico de este factor, este viene dado por la siguiente ecuación:

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� ��2�;

Según Mataix [1], se tiene el siguiente valor: Para las turbinas Pelton: � ≅ 0.45 De acuerdo a Earl Jones Jr. [4], se tiene el siguiente valor: Para turbinas Hélice: � = 1.5 " 2.5 2.6.5.2. Consideraciones para el diseño de turbinas hélice. El diseño de la turbina hélice difiere en algunas cosas del diseño de la turbina Francis y es diferente totalmente del diseño de la turbina Pelton. A continuación se dan las ecuaciones que rigen este fenómeno. 2.6.5.2.1. Caudal. La ecuación de caudal, según lo expuesto por Earl Jones Jr. [4], viene denotada de la siguiente manera para la turbina Hélice:

� = � (2 − #) . /,�4

En donde: Q – caudal en m3/s Cm1 – componente periférica de la velocidad absoluta del fluido a la entrada D – diámetro mayor de la turbina. d - diámetro menor de la turbina. 2.6.5.2.2. Angulo de entrada del fluido. Para obtener la mayor eficiencia y de acuerdo a las ecuaciones de momento cinético, se observa que el momento máximo lo obtendremos con un ángulo de 0°. Esto en el sentido práctico no es posible. Es por ello, que se mantienen en un valor bajo. Lo que recomienda Earl Jones Jr [4], es el siguiente rango de valores: r� = 15 − 30 2.6.5.2.3. Altura teórica. De acuerdo a lo deducido al principio del capítulo, la ecuación de Euler lleva al cálculo de la máxima altura teórica en función de las velocidades de la turbina. Para alcanzar la altura máxima, se considera la componente radial de la velocidad absoluta del fluido a la salida igual a cero (c2u = 0). La ecuación de Euler queda entonces:

29

;v �� . /�v�

2.6.5.2.4. Componente periférica de la velocidad absoluta del fluido. Para fines de diseño, la componente de la velocidad absoluta del fluido se mantiene constante durante todo el proceso de intercambio de energía en la turbina, esto es: /,� = /, 2.6.5.2.5. Valores en función del número específico de revoluciones. Earl Jones Jr. [4] tabula en una tabla los valores del número de álabes y la relación de diámetro mayor y diámetro menor en función de la altura y el número específico de revoluciones. La tabla se presenta de la siguiente manera: Altura (m)

5 20 40 50 60 70 Número de aspas

3 4 5 6 8 10

d/D 0.3 0.4 0.5 0.55 0.6 0.7 ns 1000 800 600 400 350 300

2.6.5.2.6. Momento en los álabes. Respecto a las fuerzas que se generan dentro de los álabes en las turbinas, se deduce lo siguiente. Aplicando la condición de eficiencia máxima (C2u = 0) y usando la ecuación del momento cinético, resulta la siguiente expresión: o = � . � . (!�. /� cos r�) (10) El cual es el momento que produce el giro de la turbina o el par transmitido a través del eje de transmisión. En el caso de la aparición de fuerzas verticales que pudieran generar un momento flexionante en el álabe, en el caso particular de la turbina Kaplan, se tiene la misma componente vertical de la velocidad absoluta del líquido a la entrada que a la salida, por lo tanto, no existe una fuerza que se produzca por el cambio en la cantidad de movimiento.

30

2.6.5.2.7. Tubo de aspiración El tubo de aspiración es el elemento que dará salida al caudal de líquido que previamente haya transferido su energía cinética para producir una velocidad angular en la turbina, además de adicionar una cantidad de energía potencial al producir un vacío. Por lo tanto, al tenerse un vacío se busca que la presión no rebase el valor de la presión de saturación del líquido y comience la cavitación, que es muy perjudicial porque además de dañar elementos, reduce su eficiencia. El coeficiente de Thoma (σ) es el parámetro que indica el límite de las alturas para evitar la cavitación. La ecuación para el cálculo de las alturas es el siguiente:

� ℎ� − ℎ< − �ℎ (11)

En donde: σ – coeficiente de Thoma. ha – altura producto de la presión atmosférica hr – altura producto de la presión de saturación del vapor a la temperatura ambiental. z - altura medida de la salida de impulsor a la salida de la turbina. h – altura total de operación. Kothandaraman y Rudramoorthy [2], proponen estas ecuaciones para el cálculo del coeficiente de Thoma en función del número específico de revoluciones para la turbina Kaplan:

�Q = 0.1 + 0.3 �Z y.444.6^.�� (12)

�Q = 0.308 + 16.82 �Z y.380.78^� (13)

Ahora, para evitar la cavitación, es necesario que se cumpla la siguiente relación: � > �Q 2.6.5.2.8. Cálculo del distribuidor. Earl Jones Jr. [4] refiere que no hay una estimación o un cálculo para establecer el número de aspas en el distribuidor. Los fabricantes estiman que estas van en múltiplos de cuatro, en un rango de 12 a 28 siendo el mayor número para diámetros muy grandes. Para el cálculo de su altura, se propone la siguiente ecuación:

31

� �/� . � . � . 2 sen r� (14)

En donde: B – altura de las aspas Q – caudal c1 – velocidad del fluido C – coeficiente que se refiere al ancho de las aspas, normalmente con un valor de 0.95 D – diámetro mayor α1 – ángulo de entrada del fluido a la turbina. 2.6.5.3. Consideraciones para el diseño de turbinas Pelton. Las condiciones de diseño difieren en gran medida respecto a la turbina Hélice o Kaplan debido a que la salida del fluido en esta turbina es a la presión atmosférica. Se ocupa para grandes alturas y pequeños caudales. La entrada es tangencial ejerciéndose el momento cinético en la periferia de la rueda. Las medidas de la cuchara y el inyector son función del diámetro del chorro. 2.6.5.3.1. Diámetro del chorro. Para su cálculo, de la ecuación de continuidad (ecuación 1) se despeja el área: � = ��

En donde: Q - caudal en m3/s. v - velocidad en m/s. A – área en m2. La velocidad se calcula por medio de la ecuación (8). Ahora, si se considera una sección circular, para calcular el área se tiene:

� = �#4

En dónde: d – diámetro en metros. Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (1): �#4 = ��

32

Despejando el diámetro:

# �4�� ; �15�

Esta ecuación también es utilizada para el cálculo del diámetro de las tuberías. 2.6.5.3.2. Dimensiones del cangilón o cuchara. Las dimensiones son función del diámetro del chorro, como se mencionó anteriormente. Erasmo Cruz Jiménez [10] sugiere las siguientes dimensiones:

Fig. 2.6. Dimensiones de cuchara Pelton.

Dimensión Fórmula B (2.6 a 3) . d L (2.25 a 2.8) . d T (0.8 a 1) . d D (1.2 a 1.25) . d E (0.85) . d

2.6.5.3.3. Dimensiones del inyector. Refiriéndose a la figura 6, las dimensiones del inyector son función del diámetro del chorro, de acuerdo a lo propuesto por Earl Jones Jr. [4]:

Fig. 2.7. Inyector Pelton

33

Dimensión Función d2 (3 – 4) . d d3 (1.25 – 1.5) . d d1 (1.2 – 1.4) . d Β 40 – 60° Α 60 – 90° 2.6.5.3.4. Número de álabes y paso entre estos. Se considera que mientras el chorro golpea a uno de los álabes cuando este se encuentra de manera perpendicular, otro álabe ya está recibiendo una cantidad de fluido. Primero, se calcula el diámetro del rodete, el cual se calcula con la fórmula:

2 60 . �� . �

En dónde: D - diámetro del rodete en m. u – velocidad del rodete en m/s. n – velocidad angular en rpm. En seguida se calcula en diámetro de corte, que es el diámetro en donde empieza a actuar el chorro en un álabe anterior al que se encuentra perpendicular a este. Este se calcula con la siguiente ecuación, según Erasmo Cruz Jiménez [10]: 20 = 2 + (2.4 " 2.8)# En dónde: Dc - diámetro de corte en m . d – diámetro del chorro en m. De acuerdo a la figura 6, el tiempo que necesita recorrer el chorro del punto M al punto M1 es: oo�¢¢¢¢¢¢¢ = � . ∆ Y el tiempo necesario para recorrer del punto M al punto M´ es: oo´¢¢¢¢¢¢ = � . ∆ Despejando “∆t” y sustituyendo en oo�¢¢¢¢¢¢¢ : oo´oo� = ��

34

Fig. 2.8. Diagrama para cálculo de número de álabes. De la misma manera se calculan los otros puntos: �� ¤¤´

¤¤�

��´

��

Para obtener el punto CC´:

��´¢¢¢¢¢ �� . �

�

��¢¢¢¢¢ se obtiene mediante trigonometría. La distancia del centro a “C” es el radio de corte y la distancia al punto “��” se obtiene de la siguiente manera:

10� 1 � #

2

En dónde: Rc1 - la distancia del centro del rodete al punto C1. R - radio del rodete. d – diámetro del chorro. Obteniendo el ángulo con estas dos distancias, se multiplica por el radio de corte para obtener la magnitud del arco CB. Restándole a este arco el arco CC´ y multiplicándolo por dos, se obtiene el paso “ .” y de acuerdo a Erasmo Cruz Jiménez [10] el paso entre cangilones se calcula por medio de la siguiente expresión:

� �0.65 " 0.85� . . El número de álabes se calcula por medio de la ecuación:

� � . 20

�

35

En dónde: z – número de álabes. 20 - diámetro de corte. P – paso entre cangilones o álabes. 2.6.5.3.5. Fuerza y momentos en la turbina Pelton. En el caso de la turbina Pelton, la fuerza generada por el cambio de la cantidad de movimiento es el siguiente. Se remite al diagrama de los triángulos de velocidad:

g � . � . (¥�v − ¥v) La velocidad relativa del fluido respecto de la velocidad de giro, se calcula de la siguiente manera: ¥� = ¥�v = /� − � La componente radial de la velocidad relativa a la salida del álabe se obtiene mediante la descomposición de la hipotenusa de acuerdo al ángulo de salida, es decir: ¥v = ¥ cos r Si se considera que solo existe fuerza tangencial al giro de la rueda y el radio es del centro a la aplicación del chorro, el momento aplicado es: o = � . � . ! . (¥�v − ¥v) Cabe señalar que el ángulo de entrada esta es igual a cero. El ángulo de salida se supondría igual a 180°, pero en la realidad está en un valor aproximado de 165°, esto es, con el propósito de obtener la mayor eficiencia posible. 2.6.6. Selección de los materiales. Para la selección de los materiales de la turbina, los elementos para la transmisión de potencia, la carcaza, etc., se usará la metodología propuesta por Michael F. Ashby [9]. Se busca reducir al máximo gastos innecesarios que aumenten el costo del proyecto, pero que satisfagan todas las especificaciones de carga y cumplan con el objetivo. 2.6.6.1. Detección y clasificación. En este punto, quedan establecidas las condiciones del proyecto, es decir, la función que tiene que realizar, las cargas a las que estará sometido, el ambiente al que estará expuesto y el costo. Por lo tanto, de la larga lista de materiales que existen en el mercado se empiezan a descartar los que no puedan cumplir con el trabajo. Un ejemplo sería, para las condiciones que impone este proyecto los materiales cerámicos, que no soportan cargas dinámicas.

36

2.6.6.2. Función, objetivo y restricción. Una vez reducida la lista de materiales que no cumplan o que no puedan cumplir con la labor, se establecen la función, el objetivo y las restricciones. Para ello, se vale de una tabla de cuestionamientos que satisfagan el diseño:

Función, objetivo y restricciones. Función ¿Qué hará el componente o elemento? Objetivo ¿Qué hay que maximizar o minimizar? Restricciones ¿Qué condiciones no negociables debe de

cumplir? ¿Qué condiciones negociables debe de cumplir?

Respondidas estas preguntas, se establece los límites a los cuáles el material pueda trabajar. Un material que no soporte un ambiente con una temperatura arriba de 250 °C, por citar un ejemplo, debe ser descartado. De esta manera se reduce la lista a unos cuantos candidatos. 2.6.6.3. Indices del material y cartas de selección. El índice del material establece el hacer eficiente el material de acuerdo a los requerimientos del diseño. Para ello establecemos una función que contenga tres puntos: los requerimientos de funcionalidad, parámetros geométricos y propiedades del material, esto es:

( 6 (g, t, o) En dónde: F – requerimientos de funcionalidad G – parámetros geométricos M – propiedades del material Que son funciones separables multiplicadas juntas. La función “M” (propiedades del material) es el índice del material. Esta es la función que se usa para la elección del material. La función “p” es un indicador del rendimiento el cual se buscar maximizar. Los índices del material existen de acuerdo a la función a realizar, se presenta una tabla que muestra algunos de ellos:

Ejemplos de índices de materiales Tensor, peso mínimo, rigidez establecida o = ��

Viga, peso mínimo, rigidez establecida o = ��/�

Viga, peso mínimo, resistencia establecida o = �/N�

37

Ejemplos de índices de materiales (conti…). Viga, mínimo costo, rigidez establecida

o ��/

�, . �

Viga, mínimo costo, resistencia establecida o

�m/N

�, . �

En dónde: E – módulo de Young en GPa. σ – resistencia en GPa ρ – densidad en kg/m3 Cm – costo relativo en unidad monetaria/kg. Este autor ha desarrollado diagramas donde gráfica un parámetro contra otro en escala logarítmica. La pendiente es el índice del material antes mencionado. Por arriba de esta pendiente se encontrarán los materiales que tengan un mejor desempeño, por debajo de la pendiente quienes tengan uno peor.

Fig. 2.9. Ejemplo de diagrama de selección de material. En la fig. 2.8 se muestra la selección del material cuando funciona como viga. Si se toma la pendiente en dónde el índice del material es el especificado para esta función con un valor

38

Indice M

Mó

du

lo d

e Y

ou

ng

E (G

Pa)

Densidad

Maderas

Región de

búsqueda

Cerámicos

Líneas Guía

para diseño de

peso mínimo.

Polímeros usados

en ingeniería.

Módulo – Densidad

Módulo de Young.

de M = 2 (pendiente con línea gruesa) se observa que los materiales por arriba de esta tendrán un mejor desempeño para esta labor. Para finalizar, sustituyendo valores de la ya cortísima lista de materiales en la ecuación del índice del material se hace la elección. Para este trabajo, se usará más de un diagrama para la selección del material además de realizar esta metodología de acuerdo al elemento calculado. 2.6.7. Cálculo de la turbina de acuerdo a las cargas a las que está sometida y elementos para la transmisión de potencia. En esta sección se explica las ecuaciones a ocupar para el cálculo de la turbina de acuerdo a la o las cargas a la que esté sometida. La potencia a transmitir, el flujo de agua, el ambiente corrosivo y la velocidad a la que girará son cargas que deben de considerarse con el propósito de asegurar una larga vida útil. Se pretende que se haga una inspección de este equipo por lo menos una vez al año para verificar se correcto funcionamiento. 2.6.7.1. Factor de seguridad. Es una relación adimensional entre dos cantidades, como son: esfuerzo a la cedencia/esfuerzo al que está sometida la pieza, carga crítica/carga aplicada, velocidad crítica/velocidad aplicada, etc. Es decir, es una medida de la incertidumbre del diseño. Como ejemplo, cuando se tiene riesgo de la integridad de las personas se usan factores de seguridad altos. Este siempre será mayor a 1. Su elección depende de la experiencia del diseñador, de la certidumbre de los datos de los materiales, de que tan preciso se consideran los cálculos, el ambiente en que trabajará el dispositivo, etc. Robert L. Norton [11] presenta una tabla de Factores de Seguridad de acuerdo a situaciones que pudieran presentarse, el factor a elegir es el valor máximo. Este se denota con la letra”N”. La función se representa de la siguiente manera:

y max (6�, 6, 6N) Esta función aplica solo con materiales dúctiles. Cuando se trate el caso de materiales frágiles, se usa la función: y = 2 ∗ [max (6�, 6, 6N)]

39

A continuación se presenta la tabla propuesta por este autor para su elección:

Información Calidad de la información Factor 6�

Datos del material disponibles a pruebas

El material realmente utilizado fue probado.

1.3

Datos representativos del material disponibles a partir de pruebas.

2

Datos suficientemente representativos del material disponibles a partir de pruebas

3

Datos poco representativos del material disponibles a partir de pruebas

5

6

Condiciones del entorno en el cual se utilizará.

Idénticas a las condiciones de prueba del material

1.3

Esencialmente en un entorno de ambiente de habitación

2

Entorno moderadamente agresivo

3

Entorno extremadamente agresivo.

5

6N

Modelos analíticos para carga y esfuerzos.

Los modelos han sido probados contra experimentos.

1.3

Los modelos representan al sistema con precisión.

2

Los modelos representan al sistema aproximadamente.

3

Los modelos son una burda aproximación.

5

2.6.7.2. Ecuaciones de diseño. En esta sección se describirán las ecuaciones de diseño para el dimensionamiento de los componentes y la turbina. Por acción de las fuerzas se generan esfuerzos dentro de los componentes, de acuerdo al material elegido se calculan las medidas que puedan soportar estos esfuerzos.

40

Cuando el momento actúa de manera que tienda a doblar el componente, existe un momento flexionante. El esfuerzo que provoca este momento se calcula por la siguiente relación:

� o . /%

En dónde: σ – esfuerzo normal en Pa. M – momento flexionante en N-m. c – distancia de la fibra neutra a la fibra más alejada en metros. I – momento de inercia de área o segundo momento de área en m4. El momento de inercia es función de la sección transversal. Si se trata de una sección rectangular, este se calcula de la manera siguiente:

% = 9 . ℎN12

En dónde: I – momento de inercia en m4. b – base del rectángulo en metros. h – altura del rectángulo en metros. Si se refiere a una sección circular el momento de inercia se calcula:

% = �2�12

En dónde: I – momento de inercia de área o segundo momento de área en m4. D – diámetro de la sección circular en metros. Cuando exista en el componente una fuerza que tienda a torcerlo, existe un “momento torsionante” que genera un esfuerzo cortante. Este se calcula con el siguiente modelo: ª = o= . <�

En donde: τ – esfuerzo cortante en Pa. Mt - momento torsionante en N-m. r – distancia del eje neutro a la fibra más alejada en metros. J – momento polar de inercia en m4. El momento polar de inercia se calcula de la siguiente manera para secciones circulares:

� = �2�32

41

En dónde: J – momento polar de inercia en m4. D – diámetro de la sección en metros. Para secciones rectangulares:

� 9 . ℎN12 + 9N. ℎ12

En dónde: J – momento polar de inercia en m4. b – base del rectángulo en metros. h – altura del rectángulo en metros. Si se tiene una fuerza que actúa de manera perpendicular a la sección transversal, ya sea tensionándola o comprimiéndola, el esfuerzo se calcula: � = g�

En dónde: σ – esfuerzo normal en Pa. F – fuerza o carga en N. A – área de la sección transversal en m2. Si existe una fuerza o carga que actúe de manera paralela a la sección transversal, se tiene un esfuerzo cortante y se calcula con el siguiente modelo: ª = ��

En dónde: τ – esfuerzo cortante en Pa. V – fuerza o carga transversal en N. A – área de la sección transversal en m2. Pero, los cálculos se harán por medio de los esfuerzos principales, esto es, el esfuerzo normal máximo y el esfuerzo cortante máximo, los cuales se calculan: Esfuerzo normal máximo:

�«¬ = �l + �m2 ± ��l − �m2 � + ªlm

El signo de este dependerá si se encuentra a tensión o a compresión, tomándose el valor numérico más alto. Esfuerzo cortante máximo:

ª«¬ = ��®¯ � ®° � + ªlm

42

2.6.7.3. Cargas variables. El diseño de elementos que tienen movimiento implica la aplicación de cargas que varían con el tiempo. Esta variación provoca la fatiga, la cual, llevará a la falla o fractura al elemento en un determinado tiempo o después de cierto número de ciclos. Es por ello la necesidad de calcular tomando en cuenta estos factores para tener la mayor vida útil en la pieza. De acuerdo a la carga aplicada existen diagramas que nos indican la variación de la carga trazada contra los ciclos de trabajo. Hall, Hollowenko y Laughlin [12] presentan estás gráficas:

Fig. 2.10. Gráfica esfuerzo - número de ciclos. Para el diseño por fatiga en los elementos deben de calcularse ciertos tópicos que aseguren la vida útil, estos tópicos son:

- Concentración de esfuerzos. - Resistencia a la fatiga. - Teoría de fallas.

2.6.7.3.1. Concentración de esfuerzos y sensibilidad a la entalla.

Cuando existe un orificio dentro de un elemento de la máquina o un cambio en la geometría, tenemos una elevación mayor de esfuerzos del calculado respecto a la carga aplicada. Para el cálculo de la elevación de los esfuerzos se tiene la ecuación:

�,~j ±= . �²~, En dónde: �,~j - esfuerzo modificado a causa de la concentración de esfuerzos. ±= - factor de concentración de esfuerzos �²~, – esfuerzo nominal calculado de acuerdo a la carga. El factor ±= se calcula de la siguiente manera: por medio de la fotoelasticidad, por medio del modelaje computarizado se obtiene por medio de gráficas. Los materiales dúctiles son menos sensibles a las entallas o muescas que los materiales frágiles, pero de igual modo se ven afectado el factor de concentración de esfuerzos. Para calcular el factor real de concentración de esfuerzos, se tiene la siguiente ecuación:

43

±³ 1 � }�±= − 1)

En dónde: ±³- factor real de concentración de esfuerzos. q - coeficiente de sensibilidad a la entalla. ±= – factor de concentración de esfuerzos. El coeficiente de sensibilidad a la entalla se puede calcular de la siguiente manera: } = 11 + "1

En dónde q – coeficiente de sensibilidad a la entalla. a – factor que depende de la resistencia del material R – radio de la muesca o la entalla. 2.6.7.3.2. Resistencia a la fatiga. Las pruebas de laboratorio sobre probetas de materiales dúctiles sometidas a esfuerzos de flexión en inversión han mostrado una sustancial reducción de su resistencia conforme al número de ciclos. Esto muestra que de acuerdo al trabajo realizado por cualquier elemento mecánico al cabo del tiempo se verá reducida su capacidad de soportar cargas. Estos experimentos obtienen valores para el diseño de fatiga a utilizarse en los cálculos. La ecuación para determinar el valor de la resistencia a la fatiga para el diseño de los componentes es la siguiente:

1³ = 1³ . �i . �P . �. . �0 . �´|±³

De dónde: 1³ = !�� /�" " �" 6" ��" !�"�. 1³ = !�� /�" " �" 6" ��" �ó!�/"

Tabla de equivalencia entre 1³ y 1v para algunos materiales Aceros forjados o laminados 1³ = 0.5 1� Aceros o hierros fundidos 1³ = 0.4 1� Aleaciones de magnesio fundidas o forjadas, aluminios forjados y duraluminios

1³ = 0.38 1�

Aleaciones de aluminio fundidas en arena 1³ = 0.16 1� En dónde Ru – resistencia última del material. Cv – coeficiente de corrección por volumen o tamaño de las piezas. Con volumen o espesor hasta 7.62 mm a 50.8 mm = 1

44

Para piezas con volumen o espesor de 7.62 a 50.8 mm = 0.85 Para piezas con volumen mayor de 50.8 mm = 0.7 �P – coeficiente de corrección por rugosidad. Ver apéndice. �µ - coeficiente por corrección por soldadura. Ver apéndice. �0 - coeficiente por confiabilidad.

Valores de coeficiente por confiabilidad. Probabilidad de falla �0

0.5 1 0.9 0.897 0.95 0.888 0.99 0.819 0.999 0.753 0.9999 0.702 0.99999 0.654

�´| – coeficiente por corrección por choque 0.8 a 1 – choque ligero, para componentes como máquinas centrifugadoras, máquinas herramientas, elevadores de carga, etc. 0.67 a 0.8 – choque medio, para compresores, bombas reciprocantes, equipo neumático 0.57 – 0.67 – choque moderadamente fuerte. Para trituradoras, molinos de tambor, maquinaria para la construcción. 0.5 - 0.57 – choque fuerte. Molinos de piedra, trenes de laminación de servicio pesado. 2.6.7.3.3. Teoría de falla. El diseño de los componentes se realiza por medio de la teoría de falla a la fatiga. Se tiene la teoría de la línea de Soderberg, en el diagrama esfuerzo variable – esfuerzo medio. Soderberg utiliza el límite de cedencia y aplica el factor de seguridad, haciendo esta teoría la más conservadora y la más segura en el diseño.

Fig. 2.11. Diagrama Esfuerzo variable – esfuerzo medio.

45

De este gráfico se deducen las ecuaciones para el diseño de componentes en cargas variables, de acuerdo a Hall, Hollowenko y Laughlin[12]:

1

g. $. = �,10 + �i1³ − ("!" &" �!�"�� #ú/ �� !"//�ó� � /�&(!��ó�. 1g. $. = �,10 ±= + �i1³ ±³ − ("!" &" �!�"�� 6!á�� !"//�ó� � /�&(!��ó�. 1g. $. = �,0100 + �i01³ − ("!" &" �!�"�� #ú/ �� /�! �. 2.6.8. Cálculo y selección de los componentes para la transmisión de potencia. Para la transmisión de potencia se calcularán elementos como el eje, los rodamientos, los acoplamientos y el multiplicador de velocidad o polea. 2.6.8.1. Cálculo del eje de transmisión por resistencia. Para el cálculo del eje se ocuparán las ecuaciones de esfuerzos principales además de la teoría de falla por fatiga, con el propósito de lograr una larga vida útil con el mínimo mantenimiento al mayor número de ciclos de trabajo. En este caso, el eje será la conexión de la salida de la turbina al elemento que transmita la potencia hacia el generador. 2.6.8.2. Deflexión en ejes. Para el cálculo de la deflexión en el eje se considera como una viga, la ecuación para el cálculo es la siguiente: o�% = #K#)

En donde : M – momento flexionante E – módulo de Young del material I – momento de inercia El momento será función de la longitud del eje. La deflexión “y” será la doble integral de esta función. Para el cálculo de la deformación torsional si el eje tiene diferente sección a través de toda su longitud, será de la siguiente manera:

46

· 't Z�� + �� + … . ^

En dónde: · − #�6�!&"/�ó� �!��"� T – momento de torsión. G – límite de proporcionalidad al corte J – momento polar de inercia l – longitud. 2.6.8.3. Velocidad crítica. Cuando se encuentra un elemento sometido a una carga cíclica a una determinada velocidad, el elemento vibrará. Si la velocidad angular a la que gira rebasa su frecuencia natural, el elemento no puede amortiguar la vibración y entra en resonancia. Esto es un estado de esfuerzo constante que provocará una reducción sustancial de su vida útil. Es por ello de considerar el cálculo de la velocidad crítica que en la mayoría de los casos es la frecuencia natural del material. Para el cálculo de esta, Norton [11] propone el método de Raleigh:

s² = �� ∑ �z ºz²z»�∑ �z . ºz²z»�

En dónde: s² - frecuencia natural. g – constante gravitacional W – peso del elemento “i”. º - deflexión por flexión del elemento. Cuando se ha hecho el cálculo, la relación que se debe de tener para evitar la vibración, es la siguiente: s² > s Dónde "s" es la velocidad del sistema. 2.6.8.4. Selección de los rodamientos. Los rodamientos son elementos que están ya diseñados y existen en el mercado, por lo que la única tarea es seleccionarlos. Es deber el tener la medida del eje para seleccionarlos así como seguir las recomendaciones del fabricante para la actividad en que se van a ocupar. Teniendo el diámetro del eje, se busca en el catálogo. El renglón del diámetro seleccionado para el rodamiento indica dos incisos importantes: la carga dinámica y la carga estática. Estás sirven para saber la vida útil del rodamiento. Además de que el renglón marca la velocidad máxima a la que deben trabajar. Para el cálculo de la carga dinámica, Norton [11] propone:

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("!" !�#"&�� #� 9��": ? = Z��^N

("!" !�#"&�� #� !�#��: ? = Z��^�M/N

En dónde: L – vida útil en millones de revoluciones C – carga especificada por el fabricante P – carga obtenida por el cálculo. Para la carga estática, los cálculos se realizan por medio de la siguiente ecuación: � = ¼�g< + ug� En dónde P – carga obtenida g< - carga radial. g� - carga axial. X,V, Y – factores obtenidos en tablas. El mismo autor propone la siguiente metodología:

Dividir la carga axial entre la carga estática propuesta por el fabricante: ½¾¿

Con este valor, se entra a la tabla para obtener el parámetro “e”.

Formar la razón ½¾k.½À y compararla con el valor de “e”. si el anillo interior está girando, usar

V = 1. Con referencia a los valores anteriormente obtenidos, se entra a la tabla para encontrar los factores de la ecuación anteriormente expuesta. Se calcula la carga para sustituirla en la ecuación de la vida útil. 2.6.8.5. Cálculo del acoplamiento y la cuña. El acoplamiento será la unión entre el eje proveniente de la turbina y el eje proveniente de la transmisión al generador eléctrico. Existen en gran cantidad en el mercado y la única tarea, al igual que los rodamientos, es seleccionarlos. Se clasifican en dos grandes grupos: rígidos y elásticos. Los rígidos no permiten o permiten poca desalineación, mientras los elásticos permiten grandes desalineaciones. Las cuñas sirven para movimiento relativo entre piezas. Se diseñará de acuerdo al esfuerzo cortante con la ecuación para carga axial y para esfuerzo normal con la ecuación de carga axial. 2.6.8.6. Elemento de transmisión de potencia. Para la transmisión de potencia, se tienen dos opciones: por banda y poleas por multiplicador de velocidad. Dentro de la transmisión de bandas son necesarias dos poleas acopladas a cada eje y una banda dentro de estas.

48

La gran desventaja es el movimiento relativo que pudiera existir entre polea y banda. Para la selección cada fabricante ofrece su propia metodología. El multiplicador de velocidad es un tren de engranes que aumenta la velocidad mediante la relación de diámetros. Para su selección es necesario saber el par y la velocidad de entrada y de salida. 2.7. Generación eléctrica. La turbina se ocupará para la generación de energía eléctrica. Para ello, es necesaria la instalación de un generador eléctrico. Los generadores eléctricos funcionan por el principio de inducción eléctrica descubierta por Michael Faraday. Este principio establece que toda espira conductora que gire dentro de un campo magnético inducirá una fuerza eletromotriz dentro de ella. La ecuación que establece este principio es la siguiente:

Á − #�#

En dónde: Á - fuerza electromotriz inducida.

jÂj= – variación del flujo magnético respecto del tiempo.

Para nuestro caso en particular, ya existen en el mercado compañías que fabrican este tipo de equipos para seleccionarlos únicamente. Se tiene que seleccionar de acuerdo a la carga eléctrica necesaria. Saket y Anand Kumar [7] establecen que para la solución de nuestro problema se debe de seleccionar un generador de 4 polos a girar a 1800 rpm. Si existe almacenamiento por baterías, será deber de seleccionar este de acuerdo a la potencia y velocidad de carga que establezca el proyecto.

49

3.- MEMORIA DE CALCULO. Relación de terminología de variables y constantes usadas en el cálculo de este trabajo:

Término Símbolo Potencia Pot. Altura H Caudal Q Peso específico del agua γ Velocidad angular N Area Ac

Diámetro de la tubería dc

Diámetro mayor de la turbina Dt

Diámetro menor de la turbina dt Factor de velocidades Φ Factor de flujo Φ Eficiencia Η Constante gravitacional G Velocidad del líquido V Velocidad radial de la turbina U

Relación de valores numéricos y ecuaciones

Término Valor numérico o ecuación Numeración Potencia: �� . = x . � . ; . { (1) Caudal de la turbina: � = �4 (2= − #=) . �,� (2)

Velocidad radial: � = �#= �60 (3)

Factor de velocidades: � = �� (4)

Area de la tubería �0 = �� (5)

Diámetro de la tubería #0 = �4�0�

(6)

Velocidad del líquido � = / �2�; (7)

Factor de flujo Ã = /,��2�; (8)

Potencias en caballos de vapor (CV) �� = �� . �� " �735.75

(9)

Número específico de revoluciones. �. = � . (�� )�/;�/�

(10)

Peso específico del agua x = 9810 y/&N Constante gravitacional � = 9.81 &/� Factor de velocidades � = 2 Rendimiento { = 0.93 Factor de flujo Ã = 0.52 Factor de velocidad / = 0.8

50

3.1. Introducción. Se pretende en este trabajo realizar dos opciones de diseño de turbina, que el análisis experimental dará la conclusión para la selección final. Como primera opción, se hará el diseño de una turbina Hélice y una turbina Pelton, la segunda opción es el diseño de estos dos prototipos pero con almacenamiento de energía. Para el cálculo, se hacen las siguientes propuestas de condiciones de diseño: Potencia (Pot): 20000 Watts Altura (H): 1.5 metros Velocidad angular (n): 200 rpm La potencia requerida se obtuvo de la carga total del lugar en donde se instalará la turbina. La altura se hace como propuesta de acuerdo a los requerimientos de espacio para el mantenimiento. La velocidad angular se propone para tener una relación de velocidades de 6, a mover un generador a 1800 rpm (generador de 2 pares de polos) 3.2. Cálculos para la primera opción. 3.2.1. Cálculos para la turbina Hélice. Como se mencionó anteriormente, la primera opción es una turbina Hélice. Se elige como primera opción este tipo de turbina, por las siguientes razones:

- Es ideal cuando se tienen grandes caudales y alturas pequeñas como es nuestro caso. - El número específico de revoluciones nos indica que esta turbina es la ideal.

3.2.1.1 Número específico de revoluciones.

Para el cálculo del número específico de revoluciones, transformamos la potencia en CV, usando la ecuación (9) y sustituimos valores en la ecuación (10). De la ecuación (9)

�� . = 20000735.75 Pot = 27.183 CV.

De la ecuación (10) �. = 200 . (27.183)�((1.5)�/� �. = 628.16

51

De la tabla presentada por Earl Logan Jr. [4], se observan los valores para el diseño de la turbina en función del número específico de revoluciones: Altura (m)

5 20 40 50 60 70 Número de aspas

3 4 5 6 8 10

d/D 0.3 0.4 0.5 0.55 0.6 0.7 ns 1000 800 600 400 350 300

3.2.1.2 Diámetro de la turbina.

Para el cálculo del diámetro, de la tabla anterior, se escoge de acuerdo el valor de 0.5 en la relación de diámetros. Se empieza con el cálculo del caudal. Caudal, despejando de la ecuación (1) y sustituyendo términos

� 20000(9810)(1.5)(0.93) � = 1.461 &N/�

Para el diámetro mayor, de la ecuación (1), se tiene:

1.461 = �4 (2= − 0.252=)(2.372) 0.752= = 0.457 2= = 0.78 &

Para el diámetro menor, usando la relación d/D, de la tabla expuesta en el inciso anterior:

#2 = 0.5

# = 0.52 # = 0.39 &.

3.2.1.3. Angulos de los álabes.

Si se tienen la velocidad radial de la turbina (u) y la velocidad absoluta del fluido y sus componentes, se pueden obtener los ángulos de entrada y salida para esta condición. Para obtener buena eficiencia, la componente radial de velocidad absoluta del fluido a la salida (C2u), es cero. La componente periférica de la velocidad absoluta del fluido, se mantiene constante. Para la velocidad absoluta de la turbina a la salida, de la ecuación (3), sustituyendo el diámetro exterior (D):

� = �(0.78)(200)60 � = 8.168 &/�

Para la velocidad absoluta del fluido a la entrada, de la ecuación (7):

/� = 0.8�2(9.81)(1.5) /� = 4.339 &/�

Para la velocidad absoluta de la turbina a la entrada, de la ecuación (3), sustituyendo el valor del diámetro interior (d):

�� = �(0.39)(200)60 �� = 4.084 &/�

52

La componente periférica de la velocidad absoluta del fluido (cm1) es el valor usado en la ecuación del caudal. Como es constante, se tiene cm1 = cm2 = 2.372 m/s. Para el cálculo del ángulo de entrada el fluido, se tiene: Para el ángulo α1, se tiene:

r� = sen�� /,�/� r� = 33.093° Se calcula la componente radial de la velocidad del fluido:

/�v = /� cos r� /�v = 3.635 &/�

Para la componente radial de la velocidad relativa del fluido, se tiene

¥�v = �� − /�v ¥�v = 0.449 &/�

Para el ángulo de inclinación del álabe β1, se tiene:

Å� = tan�� /,�¥�v Å� = 79.279° Para los ángulos de salida, se propuso para tener un mayor rendimiento, que el valor de la componente radial de la velocidad absoluta del fluido, C2u es igual a cero. Por lo tanto, el ángulo α2 = 90°. Para la obtención del ángulo β2, se tiene: Ya se tiene calculado el valor de la velocidad absoluta de la turbina, u2, para el ángulo:

Å = tan�� /,� Å = 16.172° 3.2.1.4. Cálculo del momento. El momento es la única fuerza que se genera dentro de la turbina Hélice, remitiéndose a la ecuación deducida en el capítulo 2: De los valores de densidad y caudal:

o = (1000)(1.461)(0.195)(4.339 cos 33.093) M = 1035. 636 N-m.

3.2.1.5. Cálculo del tubo de aspiración. Una parte importantísima en el funcionamiento de la turbina hélice es el tubo de aspiración. El tubo de aspiración se coloca a la salida del fluido, el cual realiza dos funciones:

1) Dar salida a la atmósfera al fluido; 2) Causar un vacío que fuerce la salida del mismo.

Su diseño tiene que evitar de cualquier modo la aparición de la cavitación que, además de provocar un bajo rendimiento al existir evaporación en el fluido, puede causar daño a los álabes.

53

Para ello, se dispone de las alturas existentes: Altura total (h) = 4 mts. Altura de carga: 1.5 mts. Aplicando la ecuación recomendada por Kothandaraman y Rudramoorthy [2], para el cálculo del coeficiente de Thoma (σc) en función del número específico de revoluciones:

�0 0.1 + 0.3 `� �.444.6�.�a Sustituyendo valores, se obtienen: �0 = 0.1 + 0.3 �Z628.16444.6 ^.��

�0 = 0.811

La recomendación que hace Earl Jones Jr. [4] respecto al tubo de aspiración, es la siguiente: � > �0 La altura máxima que se puede tener en el tubo de aspiración, se calcula con la ecuación: � = �� − �i − �0 . ℎ �� #��#�: � − "� �!" &á)�&" �� − �!��ó� " &��6é!�/" �i − �!��ó� #� �" �!"/�ó� #�� "(�! Las condiciones ambientales para el lugar donde se tiene destinado hacer la instalación (Jiutepec, Morelos) son las siguientes: Altura: 1350 m.s.n.m. Temperatura máxima histórica registrada: 31.5°C La presión de saturación del vapor a esta temperatura, de las tablas publicadas por Raman S. Gorla y Khan [3] es: Pv = 4246 Pa = 0.432 m.c.a. La presión atmosférica es: Pa = 87265.707 Pa = 8.895 m.c.a. De la ecuación anterior se tiene: Sustituyendo valores: � = 8.895 − 0.432 − (0.811)(4) z = 5.219 m. Que es la altura máxima del tubo de aspiración a la salida del fluido.

54

Aplicando la ecuación de Bernoulli desarrollada en el capítulo anterior entre la salida de la turbina y la salida a la atmósfera se tiene:

�Q

x + �Q + �Q2� = ��x + �� + ��2�

�Qx = ��x + (�� − �Q) + �� − �Q2�

Para el desarrollo de esta ecuación, se supone que la velocidad a la salida del tubo de aspiración es cero, la presión de salida es la presión atmosférica y la diferencia de alturas es la altura del tubo de aspiración. Sustituyendo valores se tiene:

�Qx = 8.895 − 2 − 0.286 �Qx = 6.609 &. /. "

�Q = 64834.29 �" ≫ 4246 �". Se concluye que con la altura que se tiene, no habrá cavitación. 3.2.1.6. Diseño del distribuidor Para el diseño del distribuidor, su dimensión está en función del diámetro del rodete. Según especifica Earl Jones Jr. [4], no existe un cálculo que indique el número de cuchillas. El único parámetro es que se acostumbra que este va en múltiplos de cuatro siendo cuatro el menor número y 28 el máximo. Se escoge un distribuidor de 4 cuchillas por el diámetro obtenido. Para el cálculo de la altura, se usa la ecuación: � = �/� . � . � . 2 sen r�

En donde “C” es un factor que aparece por la reducción de área de los álabes y que normalmente es igual 0.98. Sustituyendo valores: � = 1.462(4.339)(�)(0.98) (0.78) sen 33.094

� = 0.257 &.

3.2.2. Cálculo de la turbina Pelton. 3.2.2.1. Introducción. Se toman los mismos datos de diseño con una única variante. En este caso para obtener la máxima eficiencia, se elige el número específico de revoluciones recomendado en el manual, para calcular la velocidad angular. Este dato se obtiene de tablas, las cuales proporcionan este dato en función de la altura así como el número de toberas.

55

De tabla [10], se elige el dato para la menor altura:

Velocidad específica Tipo de la turbina Altura del salto en metros 51 a 72 Pelton con cuatro toberas De 400 a 100.

Se elige el valor máximo. De ahí, nuestras condiciones de diseño son las siguientes:

Descripción Valor Número específico de revoluciones (�.) 72 Caudal (Q) 1.461 m3/s Altura (H) 1.5 m. 3.2.2.2. Cálculo de la velocidad angular. Remitiéndose a la ecuación (10), se despeja la velocidad angular: Despejando “n” de la ecuación y sustituyendo valores:

� 72 . (�27.175)(1.5)�/� n = 23 rpm.

3.2.2.3. Diseño de la rueda Pelton. Se elige, por tabla, una rueda con 4 toberas. Se calculan las velocidades absolutas a la entrada. Para la velocidad absoluta del fluído, se remite a la ecuación (7), con un factor “c” de 0.97, sustituyendo valores:

�� = 0.97 (�2(9.81)(1.5) �� = 5.262 &/�

Para la velocidad de la rueda, se remite a la ecuación (4) usando un factor de 0.47, sustituyendo valores:

�� = 0.47 (5.262) �� = 2.473 &/�

Para el cálculo del diámetro del chorro, se divide el caudal total entre el número de toberas, en este caso son cuatro:

} = 0.365 &N� (�"��! #� /"�#"� (�! �9�!")

56

Usando las ecuaciones (4) y (5): Estas ecuaciones hacen referencia al tamaño de la tubería, pero se usan también para este caso, de la ecuación (4):

�0È 0.3655.262 �0È = 0.0693 &. Sustituyendo en la ecuación (5): #0È = �4(0.0693)� #0È = 0.296 ≅ 30 /&. Para el cálculo del diámetro de la rueda (Dm), refiriéndose a la ecuación (3): Despejando “D” y sustituyendo valores: 2, = 60 (2.473)�(23) 2, = 2.053 & ≅ 2 &

Para las medidas de la cuchara Pelton, se tiene

Dimensión Valor B 78 cm L 68 cm. T 24 cm D 36 cm E 26 cm.

Para el inyector, se tienen las siguientes medidas:

Dimensión Función d2 120 cm. d3 38 cm. d1 36 cm. Β 40 ° Α 60 °

Para el número de álabes, se tiene de las ecuaciones: Diámetro de corte: 20 = 2 + 0.72 = 2.72 & �. 10� = 1 + 0.15 = 1.15 & �. Angulo entre el radio c1 y el radio de corte: r = cos�� .��.NO = 32.32°

57

Para la distancia CC1:

�� 1.36 sen 32.32° = 0.727 & �. Para la distancia CC´: ��´ = 0.727 . Z2.4735.262^ = 0.341 & �. Para el arco CB: �� = 1.36 Z32.32°180° . �^ = 0.767 & �. Para el paso ts: . = 2 . (0.767 − 0.341) = 0.852 & �. El paso de acuerdo a la ecuación: ( = (0.85)(0.852) = 0.724 & �. El número de álabes será entonces: � = � . 20( = 11.8 ≅ 11 á�"9��. 3.2.3. Selección del material. Para la selección del material, se aplicará la metodología explicada anteriormente para el material de la turbina y de sus componentes para la transmisión de potencia. Para ello se responden a las siguientes preguntas:

Selección del material para el álabe de la turbina. Función Álabe de turbina Objetivo Minimizar la masa. Bajar costo. Restricciones La longitud especificada.

Momento específicado. La función del material es la siguiente1:

& = � O- . ½É�- �/N . �N . � +®É-/Ê�

1 Tomado de la referencia [9]

58

En donde:

o �/N�

Es el índice del material, el cual, minimizará la masa. De la carta resistencia – densidad quedan los siguientes materiales:

Material Indice M Maderas 35 – 45 Aceros 11 – 7 CFRP 100 – 400 GFRP 200 – 400 Cerámicos 500 – 100 KFRP 200 – 400 De acuerdo a la relación resistencia – densidad, se tiene que los mejores materiales son los compuestos CFRP, GFRP, KFRP y los cerámicos. Las maderas se descartan ya que, se estarán exponiendo a constante contacto con el agua así como los cerámicos, por estar sometidos los álabes a movimiento y fuerzas dinámicas. Quedan entonces los aceros y los materiales compuestos. Para minimizar el costo, se hará el mismo procedimiento pero en el diagrama resistencia – costo del material. De acuerdo al diagrama, se tiene al acero con mejor índice. Los resultados indican que se debe de elegir acero para el diseño. 3.2.4. Elección del factor de seguridad. De la información expuesta, se tienen las siguientes condiciones:

Información Calidad de la información Factor Datos del material disponible a pruebas.

Datos representativos del material disponibles a partir de pruebas.

2

Condiciones del entorno en el cual se utilizará

Entorno moderadamente agresivo

3

Modelos analíticos para carga y esfuerzo.

Los modelos representan al sistema aproximadamente

3

La función que elige al factor de seguridad “N”, es la siguientes: y = 6(max(6� , 6, 6N) Por lo tanto, el factor de seguridad: N = 3.

59

3.2.5. Cálculo del espesor de los álabes para la turbina Hélice. Para el cálculo del espesor del álabe, se considera como una viga en dónde el momento cinético se tomará como el momento flexionante y la sección a considerar será donde está ubicado el diámetro menor por tener menor resistencia geométrica. Además se harán los cálculos por el criterio de fatiga del material. Para el factor de seguridad por diagrama, se tiene:

±= 1.4 Como no existen entallas: ±= = ±³ = 1.4. Para la resistencia a la fatiga de material, de la tabla del inciso 2.: 1³ = 0.5 1v La resistencia del material es: 1´³ = 430 MPa. De lo anterior, los factores son los siguientes: �i = 0.75 �Ë = 0.5 �µ = 1 �´ = 0.819 �´| = 0.67 La resistencia última será: 1³ = (0.75)(0.5)(1)(0.819(0.67)(430)1.4

1³ = 63.2 o�" El esfuerzo a la cedencia: 10 = 520 MPa El momento de inercia será:

% = 9(0.39)N12 = 4.943 ) 10�N9

El esfuerzo normal por flexión se calcula: � = o . /% = 1035.636 (0.195)4.943 ) 10�N9 = 40930.0819

60

Se tiene un esfuerzo variable, según las gráficas se identifica un esfuerzo repetido, por lo que:

�, �2 = 20465.049

�i = �2 = 20465.049

De la ecuación de esfuerzo variable a la tracción o compresión: 13 = 20465.04/9520 ) 10O + 20465.04/963.2 ) 10O

13 = 3.631 ) 10��9

9 = 3(3.631 ) 10��) = 1.089 ) 10�N & ≅ 1 &&. De acuerdo al distribuidor Acerán[27], la lámina es de calibre 19. 3.2.6. Selección del elemento de transmisión de potencia y acoplamiento. La empresa Mecánica Falk [26], ofrece diversos tipos de reductores de velocidad, que en este caso, se pueden ocupar como multiplicadores invirtiendo los ejes de entrada y salida. Se elige el modelo CB con ejes a un ángulo de 90° con los siguientes datos de selección: Relación de velocidad: 9:1. Potencia: 20000 watts. 3.2.7. Diseño del eje. 3.2.7.1. Diseño por resistencia. Para el diseño del eje, se tienen los datos del momento torsionante. No se considerará otra fuerza debido a que se tiene un eje de salida en el multiplicador. Se considera esfuerzo repetido y se elige la ecuación de esfuerzo cortante. Los datos de factor de seguridad y esfuerzo a la fatiga son los mismos. Se tiene: Momento polar de inercia:

� = �2�32

61

Sustituyendo ésta en la ecuación de diseño por cortante:

ª o . !� = o . �22��2�32 = 16o �2N

Sustituyendo valores: ª = 5274.452N

El esfuerzo medio y el esfuerzo variable serán: ª, = ª2 = 2637.2252N

ªi = ª2 = 2637.2252N Sustituyendo en la ecuación de Soderberg para esfuerzo cortante: 13 = 2637.2252N260 ) 10O + 2637.2252N63.2 ) 10O

13 = 1.0143 ) 10��2N + 4.172 ) 10�� 2N

13 = 5.187 ) 10��2N ; 2N = 1.5561 ) 10��

2 = �15561 ) 10��Ê

2 = 0.053 & ≅ 54 &&. 3.2.7.2. Deflexión torsional. De lo expuesto anteriormente, se establece una longitud de 1 m., con los mismos datos. Se tiene: · = 't Z�� + �� + … . ^

62

· 1035.636 (1)75 ) 10Ì ( 8.347 ) 10��) = 0.0165 !"#. · = 0.947° Se encuentran en valores aceptables. Se concluye que el diámetro del eje tiene que ser de 54 mm. 3.2.7.3. Velocidad crítica. Para la velocidad crítica se obtiene la frecuencia natural torsional. Se calcula en primer lugar la masa del eje, con la densidad del acero, se obtiene el volumen:

� = � 24 . ? = � (0.054)4 (1) = 2.29 ) 10�N &N

Con el dato de la densidad por tablas: � = 7920 :��/&N, se calcula la masa: & = � . � = 18.13 :��. Para el cálculo del momento polar de inercia:

� = � 2�32 = 8.347 ) 10�� &�

Para el momento de inercia de masa, se tiene:

%, = & . !2 = 6.608 ) 10�N :�� − &

Para la obtención de la constante de resorte torsional := se tiene: := = t . �� = 62602.5 y. &!"#

Para la frecuencia natural por vibración torsional:

s² = �:=%,

63

s² � 18847.51.99 ) 10�N ; s² = 3077.944 !"#�

Transformando la velocidad angular de rpm a rad/s, se tiene: s = 20.943 !"#/� Por lo que se concluye que la relación a satisfacer se cumple, siendo: s² ≫ s 3.2.8. Selección de los cojinetes. Como datos de selección se tiene el diámetro del eje. Se busca el cojinete que cumpla con las especificaciones de vida útil. Diámetro: 54 mm. Para la carga axial se considera el peso del equipo, el cual es: �� = 208 y − g� Para la carga radial se considera el momento cinético dividido entre el radio del eje: g< = 38356.88 y. Se elige NUP2311, que es el cojinete de cilindros de una sola fila, con los siguientes datos: Diámetro: 55 mm. C = 232000 N Co = 232000 N De la metodología para el cálculo de la vida útil: 1.- g��M = 0.00089. 2.- Se escoge el valor de “e” en tablas2. En este caso se selecciona el valor más bajo: � = 0.19

3.- Se compara este valor con el valor obtenido de la relación ½¾k . ½À = 0.0054:

2 Ver apéndice.

64

� > g�� . g<

4.- De tabla se escogen los valores: X = 1 , Y = 0 y V = 1. Sustituyendo en la ecuación: � = ¼�g< + ug� � = (1)(1)(38356.88) � = 38356.88 y 5.- Para la obtención de la vida útil:

? = Z��^N

? = Z 9650051781.8^N = 221.275 &�� #� !��/��. Dividiendo entre la velocidad angular para obtener la vida útil tiempo: ? = 2 "ñ�� K 37 #í"� "(!�). 3.2.9. Cálculo de la cuña y chaveta. Para el cálculo de la cuña y la chaveta se usarán las ecuaciones de cortante debido a carga transversal y normal por carga de aplastamiento, para después reunirlas en la ecuación del esfuerzo normal máximo. La norma AISI [11] recomienda el tamaño de la sección transversal de acuerdo al diámetro del eje, además que recomienda para este diámetro secciones transversales cuadradas. Joseph Shigley [] propone que el tamaño de la sección transversal sea de un cuarto de la medida del eje. La sección será cuadrada con una medida de: 13.5 x 13.5 mm. Para la fuerza se tendrá: o= = g= . !; g= = o=!

g= = 38356.88 y Por cortante: ª = g=� ; ª = 38356.880.0135 . ? = 2841250.37?

La resistencia al corte es: 100 = 0.5 10; 10 = 260 o�". Sustituyendo en la ecuación de equilibrio:

65

100

g. $ = g=�

260 ) 10O3 = 2841250.37?

L = 0.032 m ≈ 0.035 m = 35 mm. Por normal: � = g�

� = 38356.80.00675? = 5682488.889?

� = 10g. $ ; � = 520 ) 10O3

520 ) 10O3 = 5682488.88?

L = 0.032 m ≈ 0.035 m = 35 mm. 3.3. Cálculos para la opción con almacenamiento de energía. 3.3.1. Introducción. En este inciso se hará el cálculo de la turbina con almacenamiento de energía para reducir la potencia de salida. Para ello se requiere de seleccionar baterías y un inversor. Se propone conseguir el almacenamiento en 6 horas, es decir, que la turbina pueda almacenar la carga en 6 horas de trabajo. 3.3.2. Selección de las baterías. Se selecciona el modelo de batería Survette distribuidas en México por la compañía Mexsol [28] T12-250, con almacenaje de 250 Amperes a 12 Volts C.D. Con relación a la carga instalada es necesario instalar 5 baterías. 3.3.3. Potencia de salida. Para reducir la potencia de salida se establece que el almacenaje se debe de cumplir en 6 horas, entonces se tiene: �� . = �"!�" �� "�"#"6 ℎ�!"�

66

�� . 20000 ¥" �6 ℎ�!"� = 3333.333 ¥" �ℎ! . 3.3.4. Cálculo del caudal. Para el cálculo del caudal se presentan las nuevas condiciones de diseño: Potencia (Pot): 3333.333 Watts Altura (H): 1.5 metros Velocidad angular (n): 300 rpm De acuerdo a esto, se tiene: Caudal, despejando de la ecuación (1) y sustituyendo términos

� = 3333.333(9810)(1.5)(0.93) � = 0.243 &N/�

3.3.5. Cálculos para la turbina Hélice.

3.3.5.1. Número específico de revoluciones.

Para el cálculo del número específico de revoluciones de la De la ecuación (10) �. = 3.65(300) . (0.243)�/(1.5)N/�

�. = 397.594

De la tabla presentada por Earl Logan Jr. [4], se observan los valores para el diseño de la turbina en función del número específico de revoluciones: Número de aspas

3 4 5 6 8 10

d/D 0.3 0.4 0.5 0.55 0.6 0.7 ns 1000 800 600 400 350 300

3.3.5.2. Diámetro de la turbina.

Para el cálculo del diámetro, de la tabla anterior, se escoge de acuerdo el valor de 0.55 en la relación de diámetros. Se empieza con el cálculo del caudal. Para el diámetro mayor, de la ecuación (1), se tiene:

0.243 = �4 (2= − 0.302=)(2.372) 0.72= = 0.102 2= = 0.38 &

Para el diámetro menor, usando la relación d/D, de la tabla expuesta en el inciso anterior:

#2 = 0.55

# = 0.552

# = 0.21 &.

67

3.3.5.3. Angulos de los álabes. Si se tienen la velocidad radial de la turbina (u) y la velocidad absoluta del fluido y sus componentes, se pueden obtener los ángulos de entrada y salida para esta condición. Para obtener buena eficiencia, la componente radial de velocidad absoluta del fluido a la salida (C2u), es cero. La componente periférica de la velocidad absoluta del fluido, se mantiene constante. Para la velocidad absoluta de la turbina a la salida, de la ecuación (3), sustituyendo el diámetro exterior (D):

� �(0.38)(300)60 � = 5.969 &/�

Para la velocidad absoluta del fluido a la entrada, de la ecuación (7):

/� = 0.8�2(9.81)(1.5) /� = 4.339 &/�

Para la velocidad absoluta de la turbina a la entrada, de la ecuación (3), sustituyendo el valor del diámetro interior (d):

�� = �(0.21)(300)60 �� = 3.298 &/�

La componente periférica de la velocidad absoluta del fluido (cm1) es el valor usado en la ecuación del caudal. Como es constante, se tiene cm1 = cm2 = 2.372 m/s. Para el cálculo del ángulo de entrada el fluido, se tiene: Para el ángulo α1, se tiene: r� = sen�� /,�/� r� = 33.093° Se calcula la componente radial de la velocidad del fluido:

/�v = /� cos r� /�v = 3.635 &/�

Para la componente radial de la velocidad relativa del fluido, se tiene

¥�v = �� − /�v ¥�v = −0.337 &/�

Para el ángulo de inclinación del álabe β1, se tiene:

Å� = tan�� /,�¥�v Å� = 81.913° Para los ángulos de salida, se propuso para tener un mayor rendimiento, que el valor de la componente radial de la velocidad absoluta del fluido, C2u es igual a cero. Por lo tanto, el ángulo α2 = 90°. Para la obtención del ángulo β2, se tiene:

68

Ya se tiene calculado el valor de la velocidad absoluta de la turbina, u2, para el ángulo:

Å tan�� /,� Å = 21.653° 3.3.5.4. Cálculo del momento. El momento es la única fuerza que se genera dentro de la turbina Hélice, remitiéndose a la ecuación deducida en el capítulo 2: De los valores de densidad y caudal:

o = (1000)(0.243)(0.105)(4.339 cos 33.093) M = 92.75 N-m.

3.3.5.5. Cálculo del tubo de aspiración. Una parte importantísima en el funcionamiento de la turbina hélice es el tubo de aspiración. El tubo de aspiración se coloca a la salida del fluido, el cual realiza dos funciones:

3) Dar salida a la atmósfera al fluido; 4) Causar un vacío que fuerce la salida del mismo.

Su diseño tiene que evitar de cualquier modo la aparición de la cavitación que, además de provocar un bajo rendimiento al existir evaporación en el fluido, puede causar daño a los álabes. Para ello, se dispone de las alturas existentes: Altura total (h) = 4 mts. Altura de carga: 1.5 mts. Aplicando la ecuación recomendada por Kothandaraman y Rudramoorthy [2], para el cálculo del coeficiente de Thoma (σc) en función del número específico de revoluciones: �0 = 0.1 + 0.3 `� �.444.6�.�a Sustituyendo valores, se obtienen: �0 = 0.1 + 0.3 �Z397.594444.6 ^.��

�0 = 0.326

La recomendación que hace Earl Jones Jr. [4] respecto al tubo de aspiración, es la siguiente: � > �0 La altura máxima que se puede tener en el tubo de aspiración, se calcula con la ecuación:

69

� �� − �i − �0 . ℎ

�� #��#�: � − "� �!" &á)�&" �� − �!��ó� " &��6é!�/" �i − �!��ó� #� �" �!"/�ó� #�� "(�! Las condiciones ambientales para el lugar donde se tiene destinado hacer la instalación (Jiutepec, Morelos) son las siguientes: Altura: 1350 m.s.n.m. Temperatura máxima histórica registrada: 31.5°C La presión de saturación del vapor a esta temperatura, de las tablas publicadas por Raman S. Gorla y Khan [3] es: Pv = 4246 Pa = 0.432 m.c.a. La presión atmosférica es: Pa = 87265.707 Pa = 8.895 m.c.a. De la ecuación anterior se tiene: Sustituyendo valores: � = 8.895 − 0.432 − (0.326)(4) z = 7.158 m. Que es la altura máxima del tubo de aspiración a la salida del fluido. Aplicando la ecuación de Bernoulli desarrollada en el capítulo anterior entre la salida de la turbina y la salida a la atmósfera se tiene: �Qx + �Q + �Q2� = ��x + �� + ��2�

�Qx = ��x + (�� − �Q) + �� − �Q2�

Para el desarrollo de esta ecuación, se supone que la velocidad a la salida del tubo de aspiración es cero, la presión de salida es la presión atmosférica y la diferencia de alturas es la altura del tubo de aspiración. Sustituyendo valores se tiene:

�Qx = 8.895 − 2 − 0.286 �Qx = 6.609 &. /. "

�Q = 64834.29 �" ≫ 4246 �". Se concluye que con la altura que se tiene, no habrá cavitación.

70

3.3.5.6. Diseño del distribuidor Para el diseño del distribuidor, su dimensión está en función del diámetro del rodete. Según especifica Earl Jones Jr. [4], no existe un cálculo que indique el número de cuchillas. El único parámetro es que se acostumbra que este va en múltiplos de cuatro siendo cuatro el menor número y 28 el máximo. Se escoge un distribuidor de 4 cuchillas por el diámetro obtenido. Para el cálculo de la altura, se usa la ecuación:

� �/� . � . � . 2 sen r�

En donde “C” es un factor que aparece por la reducción de área de los álabes y que normalmente es igual 0.98. Sustituyendo valores: � = 0.243(4.339)(�)(0.98) (0.38) sen 33.094

� = 0.087 &.

3.3.6. Cálculo de la turbina Pelton. 3.3.6.1. Introducción. Se toman los mismos datos de diseño con una única variante. En este caso para obtener la máxima eficiencia, se elige el número específico de revoluciones recomendado en el manual, para calcular la velocidad angular. Este dato se obtiene de tablas, las cuales proporcionan este dato en función de la altura así como el número de toberas. De tabla [10], se elige el dato para la menor altura:

Velocidad específica Tipo de la turbina 51 a 72 Pelton con cuatro toberas

Se elige el valor máximo. De ahí, nuestras condiciones de diseño son las siguientes:

Descripción Valor Número específico de revoluciones (�.) 72 Caudal (Q) 0.243 m3/s Altura (H) 1.5 m. 3.3.6.2. Cálculo de la velocidad angular. Remitiéndose a la ecuación (10), se despeja la velocidad angular: Despejando “n” de la ecuación y sustituyendo valores:

� = 72 . (1.5)N/�3.65 (0.243)�/ n = 54.34 rpm.

71

3.3.6.3. Diseño de la rueda Pelton. Se elige, por tabla, una rueda con 4 toberas. Se calculan las velocidades absolutas a la entrada. Para la velocidad absoluta del fluído, se remite a la ecuación (7), con un factor “c” de 0.97, sustituyendo valores:

�� 0.97 (�2(9.81)(1.5) �� = 5.262 &/�

Para la velocidad de la rueda, se remite a la ecuación (4) usando un factor de 0.47, sustituyendo valores:

�� = 0.47 (5.262) �� = 2.473 &/�

Para el cálculo del diámetro del chorro, se divide el caudal total entre el número de toberas, en este caso son cuatro:

} = 0.06 &N� (�"��! #� /"�#"� (�! �9�!") Usando las ecuaciones (4) y (5): Estas ecuaciones hacen referencia al tamaño de la tubería, pero se usan también para este caso, de la ecuación (4):

�0È = 0.065.262 �0È = 0.011 &. Sustituyendo en la ecuación (5): #0È = �4(0.011)� #0È = 0.1208 ≅ 12 /&. Para el cálculo del diámetro de la rueda (Dm), refiriéndose a la ecuación (3): Despejando “D” y sustituyendo valores: 2, = 60 (2.473)�(54.34) 2, = 0.869 & ≅ 87 /&

Para las medidas de la cuchara Pelton, se tiene

Dimensión Valor B 32 cm L 27 cm. T 10 cm D 15 cm E 10 cm.

72

Para el inyector, se tienen las siguientes medidas:

Dimensión Función d2 48 cm. d3 15 cm. d1 15 cm. Β 40 ° Α 60 °

Para el número de álabes, se tiene de las ecuaciones: Diámetro de corte:

20 0.87 + 0.288 = 1.158 & �. 10� = 0.435 + 0.06 = 0.495 & �. Angulo entre el radio c1 y el radio de corte: r = cos�� 0.4950.579 = 31.25° Para la distancia CC1: �� = 0.579 sen 31.25° = 0.3 & �. Para la distancia CC´: ��´ = 0.3 . Z2.4735.262^ = 0.14 & �. Para el arco CB: �� = 0.579 Z31.25°180° . �^ = 0.315 & �. Para el paso ts: . = 2 . (0.315 − 0.14) = 0.351 & �. El paso de acuerdo a la ecuación: ( = (0.85)(0.351) = 0.298 & �. El número de álabes será entonces:

73

� � . 20( = 12.2 ≅ 12 á�"9��.

3.3.7. Cálculo del espesor de los álabes para la turbina Hélice. Al igual que en la opción anterior, se considera el mismo material, el mismo factor de seguridad. De acuerdo a los datos expuestos: g. $ = 3 Material: Acero laminado 1³ = 63.2 o�". 10 = 520 o�". 100 = 260 o�". El momento de inercia será:

% = 9(0.21)N12 = 7.717 ) 10��9

El esfuerzo normal por flexión de calcula: � = o . /% = 92.75 (0.105)7.717 ) 10��9 = 126198.6529

Se tiene un esfuerzo variable, según las gráficas se identifica un esfuerzo repetido, por lo que: �, = �2 = 63099.3269

�i = �2 = 63099.3269

De la ecuación de esfuerzo variable a la tracción o compresión: 13 = 63099.326/9520 ) 10O + 63099.326/963.2 ) 10O

13 = 1.119 ) 10�N9

9 = 3(1.119 ) 10�N) = 3.359 ) 10�N & ≅ 4 &&.

74

3.3.8. Selección del elemento de transmisión de potencia y acoplamiento. La empresa Mecánica Falk [26], ofrece diversos tipos de reductores de velocidad, que en este caso, se pueden ocupar como multiplicadores invirtiendo los ejes de entrada y salida. Se elige el modelo CB con ejes a un ángulo de 90° con los siguientes datos de selección: Relación de velocidad: 9:1. Potencia: 3333.333 watts. 3.3.9. Diseño del eje. 3.3.9.1. Diseño por resistencia. Para el diseño del eje, se tienen los datos del momento torsionante. No se considerará otra fuerza debido a que se tiene un eje de salida en el multiplicador. Se considera esfuerzo repetido y se elige la ecuación de esfuerzo cortante. Los datos de factor de seguridad y esfuerzo a la fatiga son los mismos. Se tiene: Momento polar de inercia:

� �2�32

Sustituyendo ésta en la ecuación de diseño por cortante:

ª = o . !� = o . �22��2�32 = 16o �2N

Sustituyendo valores: ª = 472.3712N

El esfuerzo medio y el esfuerzo variable serán: ª, = ª2 = 236.1852N

ªi = ª2 = 236.1852N

75

Sustituyendo en la ecuación de Soderberg para esfuerzo cortante:

1

3 236.1852N260 ) 10O + 236.1852N63.2 ) 10O

13 = 9.084 ) 10��2N + 3.737 ) 10�O 2N

13 = 4.645 ) 10�O2N ; 2N = 1.393 ) 10��

2 = �1.080 ) 10�OÊ

2 = 0.024 & ≅ 25 &&. 3.3.9.2. Deflexión torsional. De lo expuesto anteriormente, se establece una longitud de 1 m., con los mismos datos. Se tiene: · = 't Z�� + �� + … . ^

· = 92.75 (1)75 ) 10Ì ( 3.834 ) 10�Î) = 0.032 !"#. · = 1.833° Se encuentran en valores aceptables. Se concluye que el diámetro del eje tiene que ser de 25 mm. 3.3.9.3. Velocidad crítica. Para la velocidad crítica se obtiene la frecuencia natural torsional. Se calcula en primer lugar la masa del eje, con la densidad del acero, se obtiene el volumen:

� = � 24 . ? = � (0.025)4 (1) = 4.908 ) 10�� &N

Con el dato de la densidad por tablas: � = 7920 :��/&N, se calcula la masa:

76

& � . � = 3.887 :��.

Para el cálculo del momento polar de inercia:

� = � 2�32 = 3.83 ) 10�Î &�

Para el momento de inercia de masa, se tiene:

%, = & . !2 = 3.0367 ) 10�� :�� − &

Para la obtención de la constante de resorte torsional := se tiene: := = t . �� = 2872.5 y. &!"#

Para la frecuencia natural por vibración torsional:

s² = �:=%,

s² = � 2872.53.0367 ) 10�� ; s² = 3077.429 !"#�

Transformando la velocidad angular de rpm a rad/s, se tiene: s = 31.415 !"#/� Por lo que se concluye que la relación a satisfacer se cumple, siendo: s² ≫ s 3.3.10. Selección de los cojinetes. Como datos de selección se tiene el diámetro del eje. Se selecciona del catálogo del fabricante SKF[29], el modelo NUP2305ECP. Para el cálculo de la vida útil, se tienen los datos: Diámetro: 25 mm. Carga dinámica (C): 64 kN Carga estática (Co): 55 kN

77

Para la carga axial se considera el peso del equipo, el cual es:

�� 68.138 y − g� Para la carga radial se considera el momento cinético dividido entre el radio del eje: g< = 7420 y. De la metodología para el cálculo de la vida útil: 1.- g��M = 0.006. 2.- Se escoge el valor de “e” en tablas3. En este caso se selecciona el valor más bajo: � = 0.19

3.- Se compara este valor con valor obtenido de la relación ½¾k . ½À = 0.009:

� > g�� . g<

4.- De tabla se escogen los valores: X = 1, Y = 0 y V = 1. Sustituyendo en la ecuación: � = ¼�g< + ug� � = 1(1)(7420) + (0)(68.138) � = 7420 y 5.- Para la obtención de la vida útil:

? = Z��^N

? = Z640007420 ^N = 641.69 &�� #� !��/��. Dividiendo entre la velocidad angular para obtener la vida útil en unidades de tiempo: ? = 4.069 "ñ��.

3 Ver apéndice.

78

3.3.11. Cálculo de la cuña y chaveta. Se aplica la misma metodología de acuerdo a normas. Se tiene un eje de 25 mm. La sección será cuadrada con una medida de: 6.25 x 6.25 mm. Para la fuerza se tendrá:

o= g= . !; g= = o=!

g= = 7420 y Por cortante: ª = g=� ; ª = 7420.0.00625 ? = 1187200?

La resistencia al corte es: 100 = 0.5 10; 10 = 260 o�". Sustituyendo en la ecuación de equilibrio: 100g. $ = g=�

260 ) 10O3 = 1187200?

L = 0.0136 m ≈ 0.015 m = 15 mm. Por normal: � = g�

� = 74200.003125? = 2374400?

� = 10g. $ ; � = 520 ) 10O3

520 ) 10O3 = 2374400?

L = 0.0135 m ≈ 0.015 m = 15 mm.

4. PRUEBAS POR MEDIO DE PROTOTIPO. 4.1. Introducción. Para observar el desempeño y verificar que no existan problemas en el diseño, se realizan pruebas con un modelo a escala. La construcción del modelo para realizar pruebas resulta costosa e innecesaria. Las pruebas con un modelo a escala darán datos muy importantes para observar las condiciones de operación así como mejorar el diseño para un óptimo funcionamiento. El equipo con el que se dispone es una bomba de ¾ hp de potencia (559.5 watts). Con este dato se aplicará el factor de escala que se obtendrá de las leyes de semejanza expuestas en el capítulo 2. Las leyes de semejanza indican que la semejanza geométrica aplicada al prototipo será la misma del modelo independientemente del tamaño. 4.2. Obtención del factor de escala. De acuerdo a lo expuesto en el inciso 2.6.3.4, de la sexta ley de semejanza, se tiene la ecuación:

��" Z2´2"^

En donde se tomarán los valores de la siguiente manera: �� - potencia en el modelo ��" - potencia en el prototipo. 2´ - diámetro del modelo. 2" – diámetro del prototipo. La potencia en el modelo es igual a 3333.333 Watts., para la potencia del prototipo se tiene como referencia la potencia de salida de la bomba con que se harán las pruebas (559.5 Watts). Sustituyendo estos valores en la ecuación y despejando la relación de diámetros: 2´2" = ��" ; 2´2" = �3333.3559.5 2´2" = 2.44

Esta es la relación lineal que se ocupará para obtener las medidas del prototipo.

80

4.3. Medidas de los prototipos Pelton y Hélice. Usando el factor de escala se calculan las dimensiones de las dos turbinas. En primer lugar, se tabulan los valores de la turbina Pelton y en otra las dimensiones de la turbina Hélice. Dimensiones del Prototipo de la turbina Pelton.

Dimensión Valor. Diámetro (Dm) 36 cm.

Diámetro del chorro (d) 5 cm. Cucharas

B 13 cm. L 11 cm. T 4 cm. D 6 cm. E 4 cm.

Para la turbina Hélice:

Dimensión Valor Diámetro exterior 16 cm. Diámetro interior 9 cm. Altura del distribuidor (B) 3.5 cm. Altura del tubo de aspiración 293 cm.(altura máxima). 4.4. Valores modificados de variables en el prototipo. Usando el mismo factor de escala se procede a modificar las variables como altura y caudal en los prototipos de las dos turbinas. Se comenzará en primer lugar con la turbina hélice. Del inciso 2.6.3.2., de las leyes de semejanza para turbinas:

�´�" Z2´2"^

�´�" = 2"2´

81

4.4.1. Valores modificados para la turbina hélice. Usando estas tres ecuaciones además del factor de escala, se tiene: Variable Valor modificado

�" 0.04 &N/� �" 732 !(&.

4.4.2. Valores modificados para la turbina Pelton. Repitiendo el procedimiento del inciso anterior y usando las ecuaciones antes descritas:

Variable Valor modificado �" 0.04 &N/� �" 133 !(&.

4.5. Construcción del prototipo para la turbina Pelton. Para la construcción de este prototipo se usó madera para la rueda y las cucharas, una estructura de acero para la base y acero para el eje y el acoplamiento. Como generador se usó un motor de imanes permanentes a conectar en focos. La decisión de usar madera para la construcción del prototipo se tomó por la facilidad que tiene la madera de moldearse y el costo, se tomaron otros procesos de construcción pero resultaban muy costosos e incluso muy tardados. 4.5.1. Construcción de la rueda Se cortó un circulo de 35 cms., de madera de 9 mm. de espesor para después emparejarla por medio del torno y dar la forma del acoplamiento. Por medio de un taladro y una broca de 6.35 mm (1/4 pulg.) se hicieron barrenos para el montaje de las cucharas. El total de barrenos fue de 26, colocados a 28° uno respecto del otro para dar un total de 13 cucharas montadas, como se muestra en la figura. Se le aplicó dos capas de barniz para proteger el material del agua al que estaría exp uesto.

4.1. Rueda del prototipo de turbina Pelton.

82

4.5.2. Construcción de las cucharas. Se usaron cucharas de madera de 12 cm. de largo por 8 cms. de ancho. Estas se les cortó el mango para dejar cinco centímetros para el montaje. Por medio del torno se ranuró la entrada del chorro. La separación del corro o división en el centro de esta se hizo por medio de pedazos de madera tallados en la lija móvil. En el pedazo restante del mango se perforaron dos barrenos para la instalación en la rueda.

4.2. Vista trasera de la cuchara. Se les aplicó dos capas de barniz para resistir el efecto del agua a la que estarían expuestas en las pruebas.

4.3. Vista delantera de la cuchara.

83

4.5.3. Fabricación del eje, el acoplamiento y selección de los cojinetes. De una barra de sección circular de 2 cms de diámetro (3/4 pulg) se maquinó en el torno para darle el diámetro en los cojinetes y en el motor – generador. Los acoplamientos de igual se maquinaron de tubos de sección circular, con perforaciones y rosca interior para la instalación de tornillos prisioneros. El acoplamiento de la rueda al eje se fabricó de igual manera con perforaciones en su periferia en dónde se une con la turbina Pelton. Con referencia a los diámetros se seleccionaron cojinetes con carcaza (chumaceras) acopladas con tornillos a la estructura. 4.5.4. Ensamblado del prototipo. Como primer paso se montaron las cucharas a la rueda, después se acopló el eje. En seguida se colocaron los cojinetes a la estructura. Luego se colocó la rueda con el eje en los cojinetes y se les colocó los tornillos prisioneros. Se construyeron unas adaptaciones para acoplar el generador en la estructura. Sobre estas adaptaciones se colocó el motor generador, con movimiento axial para poder hacer ajustes en el acoplamiento. Se unió el eje del motor y el eje de la turbina al acoplamiento, se ajustó y se apretó usando los tornillos prisioneros. El prototipo totalmente ensamblado se muestra en la figura.

4.4. Prototipo ensamblado y listo para pruebas.

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4.6. Pruebas de campo. Las pruebas de esta turbina se hicieron en Cuernavaca, en el lugar dónde se tiene pensado la instalación. Para la prueba se requirieron los siguientes elementos:

- Bomba de ¾ hp (559.5 watts) – potencia de entrada (Pote) - Tacómetro óptico. - Foco para comprobar la generación de energía eléctrica. - Multímetro para medir los parámetros elétricos.

De la prueba realizada, se obtuvieron los siguientes resultados:

Parámetro Valor Velocidad angular 200 rpm

Caudal 1.11 lts/s Voltaje 11 volts.

Corriente 0.6 A. Para el cálculo de la eficiencia se hacen los siguientes cálculos: Para la velocidad angular:

s 2�(200)60 s = 20.943 !"#/�

Para la altura de presión: ; = 559.59810 (1.11 ) 10�N) ; = 51.381 &. Para la velocidad del fluido a la entrada: � = 0.97 �2(9.81)(51.381) v = 30.932 m/s.

Para la velocidad radial: � = 20.943 (0.175) � = 3.665 &/� Para la velocidad relativa a la entrada: ¥� = ¥�v = 30.922 − 3.665 ¥�v = 27.267 &/�

Para la velocidad relativa a la salida ¥ = 0.7 (27.267) ¥ = 19.086 &/�

Para la componente radial de la velocidad relativa a la salida:

¥v = 19.086 cos 165° ¥v = −18.435 &/�

Para el momento: o== Ï1000(1.11 ) 10�N)[27.267− (−18.435]Ð (0.175)

o= = 8.877 y − &. Para la potencia de salida: �� . = 8.877(20.943) �� . = 185.993 ¥" � La eficiencia se obtiene de la siguiente manera: { = 185.993559.5 (100) = 33.23%

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De los datos eléctricos obtenidos, se calcula la energía eléctrica generada:

�� Q�Q0=. = (0.6)(11) = 6.6 ¥" � Dividiendo la potencia eléctrica entre la potencia de salida para obtener la eficiencia en el generador, se obtiene: {�Q² = 6.6185.993 (100) = 3.54 %

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CONCLUSIONES De lo anteriormente visto, se concluye que la mejor opción de las dos presentadas para la generación de energía eléctrica en estas condiciones es la turbina hélice, por las siguientes razones:

- Por la poca altura que se tiene de caída en el arroyo. - Por el gran caudal que se maneja - Por tamaño, ya que, la turbina hélice tiene un menor tamaño y ocupa menos

espacio que la turbina Pelton. Se observó de los resultados arrojados de las pruebas que la turbina Pelton para estas condiciones es muy ineficiente, obteniéndose un rendimiento del 33% que es inadecuado para el aprovechamiento de energía que se desea hacer. De los datos obtenidos del motor de imanes permanentes adecuado a la generación de energía eléctrica se comprueba que la conversión resulta sumamente ineficiente, por lo que se debe de usar un generador para estos propósitos. De las dos opciones presentadas en la turbina hélice, generando la energía suficiente para el consumo local y generando la energía para almacenarla, puede ser mejor opción la segunda, por las ventajas que ofrece el almacenamiento de energía al calcularse un equipo con menor potencia y por lo tanto, una reducción sustancial en los parámetros a utilizar y el tamaño. Es también de considerarse que no se mantiene constante el consumo sino que, variará en el transcurso del día alcanzando su consumo pico en la noche cuando se tienen funcionando los focos, generando la energía a utilizar. Si se llegase a utilizar energía menor a la producida, esta simplemente se almacena. Además, cabe señalar que no es necesario mantener una velocidad constante en el eje de la turbina que conecta y mueve al generador, porque la frecuencia constante que se ocupa en el país se logra por medio del inversor, instalado a la salida de las baterías. La desventaja que ofrece es el costo que tienen las baterías en el mercado. El cálculo de la turbina se hizo por medio de la teoría de falla de Soderberg, que es la teoría más conservadora. Esto con el propósito de darle la mayor vida útil funcionando las 24 horas del día continuamente, además que los elementos mecánicos se seleccionaron pensando en darle revisión al equipo cada año. Además se consideró el impacto que pudiera tener el equipo por concepto de una deficiente filtración y se cuelen piedras u otros objetos. La selección de materiales se hizo pensando en la reducción de peso, tamaño y costo; pero maximizando la resistencia. El material obtenido, acero, es la mejor opción en este caso y entre las propiedades que tiene el acero es la buena resistencia a medios corrosivos. Si el fluido tiene químicos que ataquen al material, puede ser buena opción aplicarle un recubrimiento con pintura electrostática que proteja al equipo contra una excesiva corrosión. Para el caso se selecciona un generador o un equipo que haya sido diseñado para la generación de energía eléctrica, para obtener una alta eficiencia en la conversión de energía.

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La velocidad, como se mencionó anteriormente, no es de suma importancia por el almacenamiento en baterías pero si es importante la selección del generador más eficiente para satisfacer las necesidades de consumo de energía locales. La obra civil tiene que estar encaminada a no producir algún desastre, pero como se observó en el estado del arte, solo se tiene pensado extraer una pequeña parte del caudal total del arroyo mediante una represa sin bloquear el paso del arroyo, que sería perjudicial para los vecinos de esta región

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RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS. Se recomienda hacer un análisis del control del equipo para implementar dispositivos que contribuyan a elevar el rendimiento, controles que manipulen el caudal y el ángulo de entrada y salida de los álabes de acuerdo a la condición de carga. Cabe mencionar que este tipo de trabajos se pueden implementar para la generación de energía eléctrica por medio de los canales de aguas residuales y drenaje que no están siendo aprovechados y pueden ser una potencial fuente de energía, ecológica, que no afecta a la flora ni a la fauna y se puede contribuir a reducir la contaminación. Es decir, por medio de las aguas residuales generar energía eléctrica para un municipio o comunidad, de la misma planta lograr la limpieza del agua. Esto reduciría la contaminación del agua, porque se tendría una planta de tratamiento en la planta de generación eléctrica y la reducción de emisión de gases contaminantes y así, contribuir al mejoramiento del medio ambiente y de la calidad de vida.

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REFERENCIAS

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90

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[27] http://www.aceran.com.mx/productos.php

[28] http://www.mexsol.com.mx/baterias.html

[29] http://www.skf.com/portal/skf/home

91

ANEXOS.

Res

iste

nci

a

Resistencia – Densidad Metal y polímeros: resistencia a la cedencia.

Cerámicos y sílicas: resistencia a la compresión.

Elastómeros: Resistenica tensil a la rasgadura.

Compuestos: Falla tensil.

Densidad

Líneas Guía

para diseño

de peso

mínimo

Espumas de

polímero

Elástomeros

Polímeros

Cerámicos

porosos

Compuestos

Metales y

aleacione

s.

Cerámicos

Aleaciones

ingenieriles

Re

sist

en

cia

Costo relativo/volumen unitario

Resistencia – Costo relativo Metales y polímeros: esfuerzo a la cedencia. Cerámicos y vidrios: esfuerzo a la Compresión. Elastómeros: Resistencia a la rasgadura tensil. Compuestos: falla a la tensión

Líneas Guía para

diseño de costo

mínimo

Espuma de

polímero

Elastómeros

Polímeros en

ingeniería

Compuestos

ingenieriles

Cerámicos

Metales y

aleaciones

Cerámicos

porosos

Maderas

PROPIEDADES MECANICAS DEL ACERO4.

Acero. Densidad :��/&N

Resistencia última MPa.

Fluencia MPa.

Módulo de Elasticidad GPa.

Módulo de rigidez. GPa.

Ductilidad, porcentaje de elongación en 50 mm.

Tensión Cortante Tensión Cortante

Estructural (ASTM-

A36) 7860 400 250 145 200 77 23

ASTM – A242

7860 480 345 205 200 77 22

ASTM – A441

7860 460 320 200 77 21

ASTM – A572

7860 415 290 200 77 24

ASTM – A514

7860 760 690 380 200 77 18

AISI 302 Laminado

en frío 7920 860 520 190 75 12

Recocido 7920 655 260 150 190 75 50 Acero de refuerzo

Resistencia Media.

7860 480 275 200 77

Alta Resistencia.

7860 620 415 200 77

4 Tabla tomada de: Beer, Ferdinand y Johnston, E. Russell. “Mecánica de materiales”. Segunda edición.

Mcgraw hill, 1999.

Unidades: mm.

Factores de corrección por rugosidad.

Factor de corrección por soldadura

�. 0.833

�. = 0.667

�. = 0.5

�. = 0.37

:��/&&

Resistencia Última

Acabados superficiales. Pulido √¿.¿-Ò

√¿.¿Ò √¿.R

√¿.-

Rectificada con piedra o lapeado √¿.T

√¿.Ó

Maquinado fino. √R.Ô √Ê.-

Maquinado grueso o desbaste o laminado en caliente. √Ô.T

√R-.Õ

Superficies en bruto. Fundiciones o forjas.

42 1 0.9 0.89 0.7 0.54

56 “ “ 0.77 0.6 0.46

70 “ “ 0.73 0.55 0.4

84 “ “ 0.71 0.5 0.36

98 “ “ 0.69 0.45 0.33

112 “ “ 0.67 0.42 0.3

126 “ “ 0.65 0.38 0.27

140 “ “ 0.64 0.36 0.25

154 “ “ 0.63 0.34 0.22 168 “ “ 0.62 0.3 0.2

Tabla de selección de cojinetes.

Tipo de cojinete

En relación con la carga, el anillo está:

Cojinetes de una sola hilera 1)

Cojinetes de doble hilera 2)

e g�

� g< > � g�� g< ≤ �

g�� g< > � Rotatorio Estacionario

V V X Y X Y X Y 3)

Cojinetes de bola

de ranura

de contacto

radial.

4) g��M

5) g��_2×

1 1 0.56

1 0 0.56

0.014 25 2.3 2.3 0.19

0.028 50 1.99 1.99 0.22

0.056 100 1.71 1.71 0.26

0.084 150 1.55 1.55 0.28

0.11 200 1.45 1.45 0.3

0.17 300 1.31 1.31 0.34

0.28 500 1.15 1.15 0.38

0.42 750 1.04 1.04 0.42

0.56 1000 1.00 1.00 0.44

20°

1 1.2

0.43 1.00

1

1.09 0.7 1.63 0.57 25° 0.41 0.87 0.92 0.67 1.44 0.68

30° 0.39 0.76 0.78 0.63 1.24 0.8

35° 0.37 0.66 0.66 0.6 1.07 0.95

40° 0.35 0.57 0.55 0.57 0.93 1.14

Cojinetes de bolas Autoalineables. 1 1 0.4 0.4 cot r 1 0.42 cot r 0.65 0.65 cot r 1.5 tan r

Cojinetes de rodillos autoalineables y cónicos. 1 1.2 0.4 0.4 cot r 1 0.45 cot r 0.67 0.67 cot r 1.5 tan r

1) Para cojinetes de una sola hilera, cuando ½¾k ½À ≤ � utilice X = 1 y Y = 0.

Para dos cojinetes de bolas y de rodillo de contacto angular de una sola hilera montados

“cara a cara” o “espalda con espalda” los valores de “x” y de “y” se aplican a cojinetes de

dobles hileras. Para dos o más cojinetes de una sola hilera montados “en tándem” utilice

los valores de X y de Y que se aplican a cojinetes de una sola hilera.

2) Los cojinetes de doble hilera se presumen simétricos.

3) El valor máximo permisible de ½¾¿ depende del diseño del cojinete.

4) �M es la clasificación básica de la carga estática.

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