instituto politÉcnico nacional centro de estudios cientÍficos y tecnolÓgicos no. 3 ......

DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ”


INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ”

Instrucciones Generales: Lee cuidadosa y detenidamente las siguientes cuestiones y resuélvelas mostrando la metodología o procedimiento a seguir, así como los cálculos realizados, en forma clara, ordenada y limpia. ¡ Éxito !.

I. Instrucciones.- Subrayar la respuesta correcta para cada una de las siguientes oraciones:

1. Es una relación entre dos o más Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere uno y solamente un valor.

a) Dominio b) Variable c) Función d) Relación

2. Es una dependencia entre Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere más de un valor.

a) Función b) Relación c) Constante d) Ámbito

3. Son Símbolos Alfabéticos que se caracterizan porque pueden adquirir diferentes valores.

a) Constantes b) Variables c) Imagen d) 2,4,16,23

4. Es el Conjunto de Números Reales para los cuales la expresión matemática (función) existe o esta definida.

a) Contradominio b) Función c) Constante d) Dominio

5. Es el conjunto de Imágenes en una expresión matemática (función).

a) Variable b) Dominio c) Contradominio d) Relación

6. Es el Valor que adquiere una expresión matemática (función) al asignarle un Valor a la Variable Independiente y al aplicar la Regla de

Correspondencia.

a) Ámbito b) Función c) Imagen d) Relación


II. Instrucciones.- Escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la expresión que indique la respuesta correcta en cada una de las siguientes cuestiones:

a)

7. ( ) Es una forma de denotar la Derivada. L) 3.5)(,5)( 22 −=−= nnZcccI 8. ( ) Es el conjunto de todos los puntos

),( yx , en el Plano Cartesiano, es decir, de todas las parejas ordenadas [ ])(, xfx .

Q) dxyd

9. ( ) Son ejemplos de funciones trascendentes. N) Gráfica de una Expresión Matemática

10. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. Ñ) )3(cos)(,)6( +== xxRA x 11. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. P)

dxd )(

12. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. R) )(2)(,)( xxfmmS ±=±= 13. ( ) Son ejemplos de RELACIONES. S) 35− 14. ( ) Es una forma de denotar el

Operador Diferencial. T) g (gravedad)

b)

15. ( ) Es una forma de denotar la Derivada de Orden Superior de una función. A)

25

2 21,1)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−= xYmmmA

16. ( ) Se interpreta como la pendiente )(m de la recta tangente a la curva )]([ xf en un punto ),( yxP .

B) [ ]2

2 )(xdxfd

17. ( ) Son funciones Trascendentes. C) Interpretación Geométrica de la Derivada

18. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. D) )()(,

31 2hsenhKG =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=α

19. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. E) )(xD

20. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. F) La derivada, su interpretación como una tasa de variación.

21. ( ) Se interpreta como la variación del Volumen con respecto al tiempo, es

decir, [ ] ')( VtdtVd

= .

G) 1511

22. ( ) Es una forma de denotar el Operador Diferencial. H) 1q de 2

21)(dqqKdF =


III. Instrucciones.- Resuelve correctamente en forma clara y ordenada, mostrando el procedimiento:

1) Determina el Dominio de Definición de las siguientes funciones:

1. 2318)( xxxf −=

{ }ℜ∈xx

2. 44

)( 23 +−−−=

kkkkkN

{ }22,1, −≠≠≠ℜ∈ kykkkk

3. 132)( 2 +

+=xxxY

{ }ℜ∈xx

4. 2

1)(−

=m

mR

{ }2, ≠ℜ∈ mmm

5.

312

)(−

=

u

uuP

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >ℜ∈ 6

1, uuu

6.

2313

35

8)(+

−=

iiQ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≠ℜ∈ 115

39, iii

7. ( )( )12

2+−

=xxxY

{ }12, −≠≠ℜ∈ xyxxx

8. ttS 7100)( +−= π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≥ℜ∈ 7

100, ttt

9. 3108

)( 2 −++

=ggwzgO

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≠≠ℜ∈ 2

341, gyggg

10. 3+

=yyX

{ }3, −≠ℜ∈ yyy

11. 33

97)( bbbE +=

{ }ℜ∈bb

12. ww

wA −=)(

{ }0, ≠ℜ∈ www

13. ⎩⎨⎧

>

<+=

0,10,2

)(msi

msimmK

{ }0, ≠ℜ∈ mmm

14. exY −=)(

{ }ℜ∈xx

15. 11112

−

−+=

xxy

{ }11, >ℜ∈ xxx

16. 11

1)(2

2

−+

+=

xxxf

{ }0, ≠ℜ∈ xxx

17. 20)10(1)( −=ñP

{ }ℜ∈ññ

18. 0)( =ny

{ }ℜ∈nn


2. Determina el Dominio y Contradominio de las siguientes funciones:

19. 102 −= xY

{ }ℜ∈xx

{ }10, −≥ℜ∈ yyy

20. ⎩⎨⎧

>

≤=

0,90,

)(ksiksim

kM

{ }ℜ∈kk { }90, =≤ℜ∈ MyMMM

21. 29)( yyX −= { }33, ≤≤−ℜ∈ yyy { }30, ≤≤ℜ∈ XXX

22. qqP =)(

{ }

{ }ℜℜ

∈

∈

PP

qq

23. 2)( ttR =

{ }ℜ∈tt

{ }0, ≥ℜ∈ RRR

24. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤≤−

−<−

=

5,555,

5,5)(

nsinsin

nsinP

{ }ℜ∈nn

{ }55, ≤≤−ℜ∈ PPP

25. 21)( =mA

{ }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =ℜ

ℜ

∈

∈

21, AAA

mm

26. 937)( −+= rrT

{ }3, ≥ℜ∈ rrr { }7, ≥ℜ∈ TTT

27.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤−

<≤−

<≤−

<≤

=

43,332,221,1

10,

)(

xsixxsixxsix

xsix

xY

{ }40, ≤≤ℜ∈ xxx

{ }10, ≤≤ℜ∈ YYY

28. yyyN =)(

29. ⎩⎨⎧

≥+

<−=

0,10,1

)(esiesi

eB

{ }{ }11,

,

−==ℜ

ℜ

∈

∈

ByBBB

ee

30. ⎩⎨⎧

<−

≥−=

1,11,1)(

ssisssissf

{ }ℜ∈ss { }0, ≥ℜ∈ fff

31. xxF += 2)( { }0, ≥ℜ∈ xxx { }2, ≥ℜ∈ FFF

32. j

jC 1)( =

{ }0, ≠ℜ∈ jjj

{ }0, >ℜ∈ CCC

33. uy =

{ }0, ≥ℜ∈ uuu { }0, ≥ℜ∈ yyy

34. z

zP 1)( =

{ }{ }0)(,)()(

0,

>ℜ

≠ℜ

∈

∈

zPzPzP

zzz

35. xy 88−=

),0[]1,(

∞+

∞−

36. ⎩⎨⎧

<

>−=

0,100,10

xsixsi

y

( )

]10[]10[),0(0,

y−

∞+∪∞−


3. Determina la imagen de las siguientes funciones:

24)( 3 +−= xxxf para:

37. )1(f 38. )2(−f 39. )(af

40. 31

21)1()( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=

qqqqP si 0=q

21)( 2 +

−=xxxf para:

41. )0(f 42 )1(−f 43. )2( af 44. )1(x

f

45. 652 )3()1()( xxxF ++= si 1−=x

46. 3)( 3 −++= xxxxA si 1=x 47.

3

5

2

11)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=h

hhM si 2=h

4. Dada las funciones:

a) 7)( 2 += wwK b) 25)( zzR +=

c) 2

35)( vvY +=

Determina y/o indica, además realiza:

1) El Dominio de definición.

2) El Contradominio. 3) La Variable independiente. 4) La Variable dependiente

5) La imagen si: a) 21

=w

b) 3

1=z

c)

53

−=v

6) El Gráfico de la función para: a) 43 ≤≤− w , en donde w es entero.

b) 53 ≤≤− z , en donde z es entero. c) 44 ≤≤− v , en donde v es entero.


5. Realiza las OPERACIONES MATEMÁTICAS o DEMOSTRACIONES indicadas para las funciones:

a) Demuestra que si 42

)()( −= yayA , entonces

)42()2()2( 2 +=+⋅− xAxAxA

b) Obtén ( ) )4(fg ,es decir, ( ))4(fg , si 54)( −

=xxf y 34)( −= xxg

c) Obtén ( ) )5(gf , es decir, ( ))5(gf , si 5

10)(−

=x

xf y 43)( −= xxg

d) Si 12)( += mmA , determina el valor de [ ]1)1(23

)3()()2( 2

++++

mmmAmAmA

e) Si aaM 21)( += , determina el valor de [ ])()2()3(

32)1(12 aMaMaM

aa++

++

f) Sea ( )xx aaxf −+=21)( y ( )xx aaxg −−=

21)( , demuestra que:

)()()()()( ygxgyfxfyxf +=+

g) Si xxf 2)( = , demuestra que: )4()1()3( f

xfxf

=−+

h) Si z

zR 1)( = , demuestra que: zzz

zzRzzRΔ−

Δ=−Δ− 2)()(

6. Resuelve los siguientes cuestionamientos relacionados con el límite de una función: 1. El alcohol es eliminado del organismo por los pulmones, por los riñones y mediante procesos químicos en el hígado. A niveles de concentración moderados el hígado efectúa la mayor parte del trabajo de eliminación del alcohol, mientras que pulmones y riñones eliminan menos del 5%. El hígado procesa el alcohol de la corriente sanguínea en una proporción r relacionada con la concentración x de alcohol en la sangre según la función racional


βα+

=xxxr )( en donde α y β son constantes positivas. Este es un caso

especial de la llamada Ley de Michaelis-Menten. Determina el ∞→

+

xxxLimβ

α

α

Obtén, Evalua o Determina:

a)

∞→

−−+

−+−

yyyyyyyLim2434254.2

45338910

210

b)

06523

3

2

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

xxxxxLim

c)

35

5312527)()(

3

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

g

gggMsigMLim

d) 0

5424

35

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

yyyyyLim

e)

55

43

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

xxxLim

f)

32

2349 2

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

x

xxLim

g)

53

925310

2

2

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

m

mmmLim

h)

11432

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

xxxxLim

i) ∞→

−−+−+−

mmmmmmmLim734244.91

457711910

210

j)

282

42

2

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

xxx

xLim

k) ( )[ ]0

1 33

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

h

xhxh

Lim l)

0

39

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

ss

sLim

m)

5

345

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

yy

yLim n)

0

11

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

kk

kkLim

o)

∞→

−++

+−+

aaaa

aaaLim

1243548.30

5499723

895

329

p) 2

110025

2

2

→

−

++

xxxxLim


q)

0)()(cos1

→

−

xxsenxLim

0

r)

0

1)(cos

→

−

αααLim

0

s)

0

)(tan

→xxxLim

1

t)

0)()(cos1

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

θ

θθθ

senLim

21

u)

v)

( )+∞→

−+−

xxxxLim 652

25

−

w)

0

cos12

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

xxxLim

21

x)

0

tan3

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

xx

xsenxLim

21

y)

( )+∞→

−+

xxaxxLim )(

2a

z)

∞→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

x

xxxLim3812

81

aa) 011

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

xx

xLim

2

bb) axax

axaxLim

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−

33

2 )1(

231aa −

cc) 828

3

→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−

xxxLim

12

dd) 0

33

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

hh

xhxLim

3 231x

ee) 0

11

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

x

xxsenxsen

Lim

1


ff)

( )∞→

−++

xxxxLim 132

23

gg)

011525

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−+

vvvLim

hh)

51

( )2

)(→x

xfLim

si

⎩⎨⎧

>+−

<=

262

)(2

xparaxxparax

xf

4

( )5

)(→z

zQLim

si

⎩⎨⎧

>+−

≤+=

51052

)(zparazzparaz

zQ

existeNo

7. Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la CONTINUIDAD de una función:

I. Determina la Continuidad o Discontinuidad de las siguientes

funciones:

a) 1,11)(

3

≠−−

= xxxxf

Discontinua en 1=x

Continua para cualquier número diferente de 1

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−

=

<

=

2,62,52,

)(

2

xxxxx

xf

Discontinua en 2=x

c) 22)(

2

−−−

=kkkkf

Discontinua en 2=k

Continua para cualquier número diferente de 2

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

0,1

0,1)( 2

m

mmmP

No es continua en 0=m

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−−−

=

2,1

2,22

)(

2

q

qqqq

qA Discontinua en 2=q

f) 21

1)(x

xf−

= Discontinua en el intervalo [ ]1,1−

Continua en el intervalo )1,1(−

g) ( )2

11)( −= ttS

Continua en el intervalo [ ]1,1−


8. Obtén la derivada de:

1. 23121

31

41)( 234 +−+−= xxxxxf 2. ( )35

38)( kkM π=

3. ( ) 433 1025)( −= xxy 4. 3 51

215 )2()3()( ++= xxqP

5. 3 28 )537()( −+= wwwH 6. 23 22 )10()( qhxqZ ++=

7. ( )23

)5()(

−

+=

qqq

qD 8. 7113

71

51

31)( 753 ++−+= xxxxxf

9. 7)()()( 2 +−= yCotyyR y 10. 23 22 )10()( qhxqZ +++= 11. [ ])()()( 3 xTgxSecLnxA = 12. ( ) ( ) ( ) 2110 )()( yArcCoteyP yArcSec += +

13. ( ) 344 912)( −= xxy 14. )9()()7()( 3

5 +−−= + nTanArcnLognJ n

15. 5 37 )456()( +−= zzzP 16. ( )mSecmLnmH )1()( 2 +=

17. 1003 )1(

3001

−= xy

9932' )1( −= xxy

18. 435 )1()12( +−+= xxxy

)39617()1()12(2 23334' +−++−+= xxxxxxy

19. 9

122)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=tttg

10

8'

)12()2(45)(

+−

=tttg

20. 3 2 1

1)(++

=xx

xf

34)1(3

12)( 2'

++

+−=

xxxxf

21. )(tan)10()( wwT w π= [ ])(tan)10(ln)(sec)10()( 2' wwwT w πππ +=

22. )tan(log)( xxR =

)10(ln)(tan2)(sec)(

2'

xxxR =

23. [ ]xx xsenexA =)( [ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

= )(ln)cos()(' xsenexsene

xsenxexxsenexA xx

xxx

24. xsenxxxsenxy 2cos22 −+= xxy cos2' =

25. Demuestra que la derivada de

)2(tan21 xsenxy = es igual a )2( xsen .

26. Obtén dxdy

si )(cos21

)(2

2

xxseny

−=

[ ]( )22

2

)(cos212)(cos2

xxx

dxdy

−

−=

27. Diferenciar o Derivar 34cos 2 +++−= xxxxxseny y

demostrar que 42' ++= xxsenxy

28. )(log

)3(

8

log

xy

x

=


{ })(log

18lnlog8ln2

)3(

28

8

log

'

8

x

xxy

x

−=

29. xxsenxxseny

coscos

−+

=

2'

)cos(2

xxseny

−−

=

30. 5cos23)( zzsenzK −

=

zzsen

zsenzzKcos10152

2cos3)('−

+=

31. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−−=

aaxsenarcaxxaaxxY 222)()(

2' 22)( xxaxY −=

32. yaya

yaya

eeeeyH −

−

+−

=)(

2'

)(4)( yaya eeayH −+

=

33. xx

arcxxy 221tan4)4(ln 2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

)4(ln 2' xy +=

34. { })(lncos)ln( xxsenxy −= )ln(2' xseny =

9) Obtén dxdy

de las siguientes expresiones implícitas:

a) ( ) xyxyxx 788831

+=+−+ b) 52

2 =+xy

yx

c) ( ) 33622 yxyx −=+ d) 123663 +=⋅+⋅ −− xxyxy

e) ( ) ( )yxsenyx +=cos f) π+=+ 22 zxyx

g) 222 22

yxyyeex xx =++−

yxyeyexyxey

x

xx

42)(2)12(

2

22'

−+

−−−=

− h) 13 323 =+− ycyxbxa

xbycxayby 22

22'

−−

=

i) Obtén dzdy de 48.308.9 736 =−+ zyyzzα

63

725

78.94.296yzz

yzyzdzdy

−+−−

=α

j) ysenxy 3.0−=

ydxdy

cos31010−

=

k) byxa =+ )(cos2 1' −=y l) yxy =tan yxyyy 2

2'

cos1cos

−=

10) Obtén la derivada sucesiva de las siguientes expresiones matemáticas:

a) Si 85.321432)( 3468 −+−++= xxxxxxf

Obtén ( )xf V

b) Si ( )1

1−+

=xxxf , Obtén 2

2

xdyd

c) Si 3223 8632 yyxx −=+− , Obtén 2

2

xdyd d) Si xSenxy 43 2= , Obtén 2

2

xdyd


e) Si xSeny 2= , Obtén 3

3

xdyd f) Si ( )( ) 212+= xseny , Obtén ''y

11) Resuelve los siguientes cuestionamientos de

OPTIMIZACIÓN(Maximización/Minimización):

a) La Potencia eléctrica (Volts) en un circuito de corriente continua con 2

resistencias 1R y 2R , conectados en serie, es 2

21

21

)( RRRRVP

+= , donde V

es el voltaje. Si V y 1R se mantienen constantes, ¿qué resistencia 2R produce la MÁXIMA potencia?

21 RR =

b) Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es: RrrrRKv <≤−= 0),()( 2 , donde K es una constante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué radio produce la MÁXIMA velocidad del aire?

Rr32

=

c) A partir de 2108 in de lámina, se desea construir una caja sin tapa de base

cuadrada, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener un volumen MÁXIMO?

.3.6inhinl

=

=

d) Sea 2001.010)( xxxI −= el Ingreso Total y 50002)( += xxC el Costo Total de manufacturar x artículos. La Utilidad Total se define como

)()()( xCxIxU −= . Demuestra que en el valor de x que MAXIMIZA la Utilidad, el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal.

e) Un granjero planea cercar un pastizal adyacente al río. El pastizal debe tener 200080 m para que proporcione alimento suficiente para el rebaño. ¿Qué

dimensiones requerirá la MENOR cantidad de cerca, si esta no se necesita a lo largo del río?

.200.400maml

=

=

f) Determina las dimensiones del cuadrilátero de área MÁXIMA que se pueda

inscribir en un círculo de radio r .

rl

rl

2

2

=

=


g) Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado y si se doblan sus 4 lados, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo?

.2

.2inlinl

=

=

h) De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de

3100in , ¿cuál de ellos requiere la menor cantidad de material?

3

3

50

502

π

π

=

=

r

h

i) Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de

3500cm . Determina las dimensiones que minimizan el área total de su base y sus 4 lados.

cmycmx

510=

=

j) Un granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 21800 ft y

utilizar algo de cerca para construir 2 cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere?

.240 ftP =

12) Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la Derivada y

sus Interpretaciones: 1) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN como una TASA DE VARIACIÓN: a) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t

se modela por: ( ) 23

3

+=ttD . Obtén [ ]

dttDd )( cuando

4=t segundos.

smD 16)4´( =

b) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t

se modela por: ( ) 974 23 +−= tttD . Obtén la velocidad cuando 5=t segundos.

smtD 230)(' =


c) Un tanque cilíndrico, con eje vertical, está al principio lleno con 200,000

galones de agua. El tanque tarda 50 min. en vaciarse después de que se abre el desagüe en el fondo. Una consecuencia de la ley de Torricelli es que el volumen de agua que queda en el tanque después de ‘’t’’ minutos esta dado

por la función: ( )2

501000200 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=ttV en donde: [ ]galonesV = y

[ ] utost min= . Determina la razón de cambio instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando 30=t .

NOTA: Suponer que el desagüe se abre en el tiempo 0=t .

utogalonestVmin

3200)(' −=

d) Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 m/seg., su altura en

metros después de ‘’t’’ segundos se expresa por 21640 tty −= . Obtén la velocidad instantánea cuando .2 segt =

smv 24−=

e) Una partícula se mueve en una órbita descrita por el modelo matemático

122 =+ yx . Cuando pasa por el punto ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + 321

21P su ordenada disminuye

a razón de segundounidades3 , ¿con qué rapidez varía su abscisa?

su

dtdx 33=

f) El peso W en gr. de un tumor maligno en el momento ‘’t’’ es

( ) tttW 09.02.0 2 −= , en donde ’’t’’ se mide en semanas. Encuentra el índice de crecimiento del tumor, es decir, la variación de peso del tumor con respecto al tiempo, cuando 10=t .

semanagtW 91.3)(' =

g) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de

utocm

min2 , con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 cm.

utocm

dtdV

min3185.628

3

=

h) La altura h sobre el suelo, de un proyectil en el tiempo t está dada por

( ) SoVotgth ++−= 2

21 , en donde SoyVog , son constantes.

Encuentra la razón de cambio instantánea de h con respecto a t en .4 segt =

0' 4)( Vgth +−=


i) El costo de producir x artículos lo da la función ( ) xxC 1025000+= . Obtén la función de costo marginal.

xxC 5)(' =

j) La Utilidad obtenida al producir y vender x artículos se indica como

22200)( xxxP −= . Determina: a) la Utilidad Marginal b) ¿cuándo es igual a 0 la Utilidad Marginal?

artículosxxxP

504200)('

=

−=

k) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por

( )152

100+

=tttV en donde ( ) [ ]

smtV = . Determina la aceleración al cabo

de 5 seg.

sma 4.2=

l) El lado a de un triángulo equilátero aumenta hcm40 y su área aumenta

hcm2

800 . Calcula el valor numérico del lado del triángulo.

.09.23 cma =

m) El radio de una circunferencia aumenta scm5 , ¿con qué rapidez varía la

longitud de la circunferencia?

scm

dtdP

π10=

n) El periodo P (segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L

(pies) está dado por gLP π2= , donde

232sftg = . Determina la tasa de

variación de P cuando 2=L .

fts

dLdP 3926.0=

o) Un tanque cónico recibe agua a una tasa de variación constante de .min

23ft .

¿Con qué rapidez se eleva el nivel cuando el agua tiene una profundidad de 6 ft.?

Nota: hrVcono2

31π=

.min368 ft

dtdh

π=


p) En una cisterna cónica fluye agua a una tasa de variación de .min

83ft . Si la

altura de la cisterna es de 12 ft. y el radio de su base circular es de 6 ft., ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 ft. de profundidad?

.min2 ft

dtdh

π=

q) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial

igual a sft96 , describiendo su posición el modelo matemático

ttth 9616)( 2 +−= . Si t es el tiempo transcurrido en segundos desde el momento en que el proyectil fue lanzado y que h es la distancia vertical desde el punto de lanzamiento al nivel del suelo, determina:

a) El tiempo que le toma al proyectil alcanzar su altura máxima.

.3st = b) La altura máxima del proyectil.

.144)( ftth = c) El tiempo que tarda el proyectil en retornar a la tierra.

st 6= d) La velocidad instantánea del proyectil al impactarse con el

suelo.

sftv .96−=

13) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

a) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva

1223 32 +−= xxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.

b) Determina la ecuación de la recta tangente y normal a

la curva 723)( 23 ++−= xxxxY , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a 1.

c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva

974 23 −+−= xxxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.

. d) Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva, cuya función es

( ) xxxf += , en el punto cuya abscisa es igual a 1.


e) La función 21 xxy+

= recibe el nombre de “La Serpentina”. Deduce una

ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a 3.

027504 =−+ yx

f) La función 211x

y+

= recibe el nombre de “La Bruja de Agnesi”.

Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a -1.

022 =+− yx g) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva ( ) xxxf 23−=

en el punto cuya abscisa es igual a -3.

h) Encuentra las ecuaciones de la recta normal y tangente a la curva yxxy 64 44 += en el punto ( )2,1P .

i) Determina las longitudes de la Subtangente, Subnormal, la Tangente

y la Normal a las curvas:

1. 32 )1( −= xy en )8,5(P

2. 23413 2 ++−= xxxy en )3,1(P

3. 2−

=xxy en )3,3(P

1. Subtangente 3/8=

Subnormal 24= Tangente 43.8= Normal 2.25=

2. Subtangente 3=

Subnormal 4/41= Tangente 73

4115

=

Normal 7345

=

3. Subtangente

23

−=

Subnormal 6−= Tangente 5

23

=

Normal 53=

j) Obtén los ángulos de intersección de las curvas xy 42 = y yx 5122 2 −= .

'546'4083

°=

°=

θ

θ

k) Determina las ecuaciones de las rectas tangente a la curva

23)( 2 +−= tttR en los puntos cuya ordenada es igual a cero.

0102

=−+

=+−

tRtR


l) Obtén la ecuación de la recta normal a la curva 41

232

3)( xxxxf +−=−

en el punto cuya abscisa es igual a 1.

0897712 =+− yx

o) Determina la ecuación de la tangente a la curva 0255 =−+ yxyx en el punto )1,1(P .

02 =−+ yx

14) Realiza el ANÁLISIS de las siguientes funciones a través de concepto, la definición e interpretación de la derivada:

a) ( ) 21232 23 +−−= xxxxf

b) 232 23 +−+= xxxy

c) ( ) xxxxf 634 23 −+=

d) 693 23 +−+= xxxy

e) ( ) 23 3xxxf +=

f) ( ) 32 23 +++= xxxxf

g) ( ) 23 23 +−= xxxf

h) ( ) 2225 23 +−−= xxxxf

instituto politÉcnico nacional centro de estudios cientÍficos y tecnolÓgicos no. 3 ......

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