instituto politÉcnico nacional centro de … · en las últimas se considera un arreglo de...
TRANSCRIPT
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y
TECNOLOGÍA AVANZADA, UNIDAD LEGARIA
CONTRIBUCIÓN A LA CARACTERIZACIÓN TÉRMICA DE
MATERIALES CON LA TÉCNICA DE ALAMBRE CALIENTE
(LÍQUIDOS Y GASES, Y SUS MEZCLAS) Y FOTOACÚSTICA
(SÓLIDOS)
TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE:
Maestro en Tecnología Avanzada
PRESENTA:
Ing. Adrian Felipe Bedoya Pérez
DIRECTORES:
Dr. Ernesto Marín Moares
Dr. Fernando Gordillo Delgado
México, D.F. Julio de 2014
AGRADECIMIENTOS
A Dios porque todo lo podemos en él.
A mis padres Danelly y Javier por todo su apoyo y esfuerzo constante en esta etapa y vida.
A mis hermanos Cristian y Juan Pablo por siempre estar ahí para escuchar y dar consejo.
Al Dr. Ernesto Marín Moares por su valiosa amistad, apoyo y asesoría.
Al Dr. Fernando Gordillo por su acompañamiento y asesoría.
A todo el grupo Humano de directivos y maestros de CICATA-legaria por su colaboración y
atención durante todo este tiempo.
Al Dr. Antonio Manoel Mansanares por su amplia disposición y aportes fundamentales.
A mis compañeros del laboratorio de Física de CICATA-legaria.
A CONACyT por el apoyo económico de manutención.
A la SIP-IPN por el apoyo a través de los proyectos 1491 y 1638, y CONACyT por medio de
205640 y 2011-01-174247. Finalmente a COFAA-IPN por el apoyo económico mediante la
beca PIFI.
1
CONTENIDO
RESUMEN ............................................................................................................................................ 3
ABSTRACT ............................................................................................................................................ 4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 5
HIPÓTESIS ............................................................................................................................................ 8
OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 9
1. MARCO TEÓRICO ....................................................................................................................... 10
1.1 La transferencia de calor ................................................................................................... 10
1.2 Transferencia de calor por conducción ............................................................................. 10
1.3 Conducción de calor en paredes planas ............................................................................ 11
1.4 Ecuación de difusión de calor ............................................................................................ 12
1.5 La técnica Fotoacústica ..................................................................................................... 13
1.6 El modelo de Rosencwaig-Gersho ..................................................................................... 14
1.7 Modelo de difusión térmica para la configuración de transmisión de calor .................... 16
1.8 Modelo de flexión termoelástica para la configuración de transmisión de calor ............ 18
1.9 Modelo de la expansión térmica para la configuración de transmisión de calor ............. 20
1.10 La técnica del alambre Caliente ........................................................................................ 23
1.11 Modelo para determinar la conductividad térmica .......................................................... 23
2. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE SUSTANCIAS HETEROGÉNEAS ................................................. 26
2.1 Sistema de dos capas ........................................................................................................ 26
2.2 Nanofluidos ....................................................................................................................... 29
2.3 Sistema de alambre caliente ............................................................................................. 30
2.4 Resultados de conductividad térmica de muestras binarias ............................................ 31
2.5 Resultados de conductividad térmica de nanofluidos ...................................................... 33
3. DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE CUERPOS SOLIDOS ......................................................................... 37
3.1 Método para la determinación de la difusividad térmica ................................................. 37
3.2 Sistema de fotoacústica en configuración de transmisión de calor.................................. 40
3.3 Resultados de simulación de la señal fotoacústica ........................................................... 41
3.4 Resultados de difusividad térmica .................................................................................... 43
4. CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 50
5. PROYECCIONES .......................................................................................................................... 52
6. PRODUCTOS DE LA TESIS ........................................................................................................... 53
2
7. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 54
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Flujo de calor en estado estacionario para una placa plana .............................................. 11
Figura 2. a) Arreglo de placas en serie y b) paralelo, acorde al flujo de calor incidente .................. 12
Figura 3. Celda fotoacústica cerrada (CFC). ...................................................................................... 14
Figura 4. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando la posición de la
muestra, la base y la columna de gas. ............................................................................................... 15
Figura 5. Vista de la sección transversal de una CFA. ....................................................................... 17
Figura 6. a) Dimensiones consideradas para la descripción de la FTE y b) visualización del efecto
tambor ............................................................................................................................................... 18
Figura 7. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando el desplazamiento de
superficie debida a la ET .................................................................................................................... 21
Figura 8. Vista de la sección transversal de contenedor cilíndrico. .................................................. 23
Figura 9. Resistencia térmica y eléctrica en una configuración a) simple y b) de dos capas ............ 26
Figura 10. Resistencia térmica de interface ...................................................................................... 28
Figura 11. Idealización de un nanofluido como un arreglo de resistencias térmicas en serie en la
TAC .................................................................................................................................................... 30
Figura 12. Esquema del sistema de medida por la TAC .................................................................... 31
Figura 13. Conductividad térmica efectiva como función de la fracción de volumen de a) agua
destilada, b) glicerina, c) aceite de motor de auto, d) metanol, e) etilenglicol y f) agua destilada-
aceite de motor de auto. ................................................................................................................... 32
Figura 14. Aumento de la conductividad térmica como función de la fracción de volumen de
diferentes nanofluidos: a) Al2O3/Agua, b)TiO2/Agua, c)ZnO/Agua , d) Al2O3/Etilenglicol,
e)CuO/Etilenglicol y f)TiO2/etilenglicol. El tamaño de la partícula se muestra en los recuadros
internos. ............................................................................................................................................ 34
Figura 15. Vista expandida de la cámara de aire FA ......................................................................... 40
Figura 16. Esquema del sistema de FA en configuración de transmisión de calor ........................... 41
Figura 17. Simulación de en función del cociente en un gráfico semilogarítmico para
una muestra de aluminio de 12µm de espesor. ............................................................................... 42
Figura 18. Simulación de en función del cociente en un gráfico semilogarítmico
para una muestra de acero inoxidable de 255µm de espesor. ......................................................... 42
Figura 19. en función de de una muestra de acero inoxidable ........................................ 44
Figura 20. Resultados típicos para como función de la raíz cuadrada de la frecuencia de
modulación en un gráfico semilogarítmico para acero inoxidable de a) 200 µm, b) 255µm, c)
301µm, d) 341µm, e) 387µm, f) Cobre, g) Plata, h) Aluminio y i) Vidrio.......................................... 46
Figura 21. m en función de la frecuencia de corte en a) un plano logarítmico y b) en un plano
lineal .................................................................................................................................................. 47
Figura 22. en función de de una muestra de acero inoxidable .............................................. 49
3
RESUMEN
En este trabajo se presentan metodologías experimentales y de análisis y procesamiento
de la información para la caracterización térmica de líquidos y sólidos. En el primer caso se
propuso un modelo que describe la conductividad térmica efectiva de un sistema de
muestras de dos capas (no miscibles) obtenida con la técnica del alambre caliente. Por
medio de un experimento simple se demuestra que la conductividad térmica efectiva
obtenida con esta técnica debe ser modelada como un conjunto de resistencias térmicas
en serie considerando una capa interfacial entre las diferentes fases. Este modelo es
expandido a los nanofluidos considerando el fluido base y las nanopartículas como capas
independientes y asumiendo la existencia de una interface de contacto entre estas,
tratando de explicar la causa del aumento, aparentemente anómalo, de la conductividad
térmica con respecto a los valores correspondientes del fluido base, sugiriendo que este
incremento no puede ser explicado usando fórmulas empíricas para un medio efectivo,
como se ha hecho antes.
Con respecto a la caracterización térmica de sólidos ha sido usada la técnica fotoacústica,
en particular para la determinación de la difusividad térmica. Esta técnica se ha
establecido como un método simple y confiable para determinar este parámetro térmico.
Se propuso una metodología para el análisis de la información entregada por el sistema de
medición para cualquier muestra sólida teniendo en cuenta la respuesta en frecuencia del
elemento detector y los diferentes mecanismos en la generación de la señal fotoacústica:
la difusión térmica, la expansión térmica y la flexión termoelástica. Es importante resaltar
que varios autores no tienen en cuenta la respuesta en frecuencia del detector y solo
consideran la difusión térmica en la generación de la señal fotoacústica. Esto puede
conducir a valores imprecisos de la difusividad térmica. A través de mediciones realizadas
en un conjunto de materiales de prueba se demostró la influencia que puede tener la
componente termoelástica en régimen térmicamente fino y grueso. A partir del ajuste de
los resultados experimentales al modelo teórico, se obtuvo la difusividad térmica de la
muestra. Se discute acerca de la extensión de la metodología propuesta para la
determinación del coeficiente de expansión térmico lineal y sobre sus limitaciones para
determinar otros parámetros termofísicos involucrados en el modelo.
4
ABSTRACT
This work presents experimental methodologies of analysis and processing of information
for the thermal characterization of liquids and solids. In the first case a model is proposed
describing the effective thermal conductivity of two layers (immiscible) samples obtained
with the hot wire technique. It has been demonstrated through a simple experiment that
the effective thermal conductivity obtained with this technique should be modeled as a
set of thermal resistances in series considering interfacial layers between the different
phases. This model is expanded to nanofluids considering the fluid base and nanoparticles
as independent layers and assuming the existence of an interface of contact between
them, trying to explain the cause of the apparently anomalous increase of the thermal
conductivity with respect to the corresponding values of the fluid base, suggesting that
this increase cannot be explained using empirical formulas for effective media, as has
been doing before.
With respect to the thermal characterization of solids the photoacoustic technique has
been used, in particular for the determination of thermal diffusivity. This technique has
been established as a simple and reliable method to determine this thermal parameter. A
methodology is proposed for the analysis of the information provided by any solid sample
measurement system taking into account the frequency response of the detector element
and the different mechanisms of generation of the photoacoustic signal: thermal
diffusion, thermal expansion and thermoelastic bending. It is important to highlight that
several authors do not consider the frequency esponse of the detector and only consider
the thermal diffusion in the photoacoustic signal generation. This can lead to inaccurate
values of thermal diffusivity. Through measurements on a set of test materials it has been
showed the influence that the thermoelastic component can have in both the thermally
thion and thick regimes. From the experimental fit results to the theoretical model, the
thermal diffusivity of the sample has been obtained. A discussion is made about the
extension of the proposed methodology for linear thermal expansion coefficient
determination and on its limitations for calculation of other thermophysical parameters
involved in the model.
5
INTRODUCCIÓN
La determinación de las propiedades termofísicas de los materiales a través de métodos
confiables es de gran interés. En la actualidad existen diversas técnicas calorimétricas y
modelos matemáticos que las representan y con las cuales es posible obtener los valores
de difusividad térmica, conductividad térmica, efusividad térmica y calor específico
[1,2,3,4]. Estas técnicas han sido bien establecidos por diferentes autores acorde al
parámetro térmico que se desee medir. Diferentes variantes de estos modelos y
metodologías para el análisis de la información se han propuesto teniendo en cuenta las
configuraciones experimentales y los tipos de materiales a investigar, como es el caso de
muestras homogéneas y heterogéneas (compuestos multicapa) [5]. En las últimas se
considera un arreglo de muestras superpuestas unas con otras. En el caso de un sistema
de dos capas por ejemplo, generalmente el material de una capa tiene propiedades
térmicas conocidas y es usado como referencia con el fin de obtener algún parámetro
térmico del material de la segunda capa. También puede ocurrir que haya una mezcla de
los materiales cuando estos sean de diferentes fases, lo cual provoca una variación de los
parámetros térmicos del material de referencia (liquido) debido a la adición de un
segundo material (solido), siendo esa variación el objeto de estudio. Esto es lo que ocurre
en los llamados Nanofluidos, suspensiones estables de partículas con tamaños
nanométricos en líquidos [6].
Los nanofluidos han mostrado tener altos valores de conductividad térmica con respecto
al fluido base, representando una ruta atractiva de estudio para lograr sustancias que
tengan una disipación eficiente del calor que puede ser generado en diferentes sistemas
de la industria (manufactura, automotriz, petrolera, etc). La técnica más utilizada para la
caracterización térmica de estos compuestos es la del alambre caliente [7], con la cual se
han reportado incrementos significantes en el parámetro de conductividad térmica.
Alguno de estos han excedido los predichos por las teorías existentes (Medio efectivo)
[8,9,10], un hecho que ha motivado muchos trabajos a proponer nuevos mecanismos de
transferencia de calor [11], para sugerir correcciones a los modelos asociados con las
variantes experimentales [12], y proponer nuevos métodos de análisis y técnicas de
medicion [13,14,15]. Recientemente, un grupo internacional de autores de alrededor de
30 instituciones reportaron [16] los resultados en el llamado INPBE (International
Nanofluid Property Benchmark Exercise), en el cual la conductividad térmica de muestras
idénticas fue medida con diferentes técnicas, concluyendo que el aumento de la
conductividad térmica generalmente coincide con las predicciones de las teorías de medio
efectivo. Sin embargo hasta ahora no hay consenso general sobre este asunto y muchos
trabajos experimentales están aún en progreso no solo en nanofluidos, también en otros
sistemas [17], dejando abierto el debate sobre el aumento de la conductividad térmica,
6
especificando que nuevos experimentos son necesarios con el fin de entender los
mecanismos de transferencia de calor [18,19].
Parte de este trabajo describe un experimento que demuestra una posible causa de
malinterpretación de los datos experimentales obtenidos por la técnica de alambre
caliente cuando se usa para muestras heterogéneas como los sistemas de dos fases. Este
método ofrece resultados precisos en el caso de muestras homogéneas. En el caso de
compuestos se hace necesario el uso de modelos teóricos con el fin de obtener la
conductividad térmica del componente desconocido a partir del valor medido (efectivo).
Debido a la complejidad de los modelos teóricos existentes para la descripción de la
conductividad térmica de muestras multifase, el uso de fórmulas empíricas como las
teorías de medio efectivo ha demostrado ser aplicable. Uno de los sistemas más simples
que puede ser analizado consiste de un sistema de dos capas de fluidos no miscibles. En
este trabajo se demuestra que la conductividad térmica efectiva de tales sistemas no
puede ser descrita por medio de un conjunto de resistencias térmica en paralelo, como
inicialmente se creería, estableciendo que acorde al arreglo experimental, un modelo
serie de resistencias térmicas debe ser utilizado considerando una resistencia térmica
interfacial entre las dos fases. Esto sugiere una posible explicación para el fallo de algunas
teorías de medio efectivo al querer explicar el aumento de la conductividad térmica de un
fluido propiciado por las nanopartículas, al usar la técnica del alambre caliente.
En el caso de muestras homogéneas como son los sólidos, las técnicas fototérmicas han
resultado ser muy versátiles y precisas en la medición de los parámetros térmicos. Entre
estas técnicas se tienen la fotopiroeléctrica, la piezoeléctrica, la fotoacústica y otras [20].
Esta última ha atraído considerable atención en las últimas tres décadas debido a que se
puede obtener una alta razón de señal-ruido. En la actualidad este método es muy
importante para la investigación en el área de ciencias de materiales [21, 22]. Esta técnica
involucra un calentamiento de la muestra y la medición de su temperatura de forma
indirecta con el fin de determinar las propiedades térmicas de la misma. Este método ha
sido bien establecido para la determinación del parámetro de difusividad térmica [23]. En
la metodología para la obtención de este parámetro varios autores solo consideran la
contribución de la difusión de calor como único mecanismo generador de la señal
fotoacústica despreciando otras contribuciones importantes como la expansión térmica y
la flexión termoelástica. Además no toman en cuenta la dependencia en frecuencia del
elemento detector de señal [24,25,26]. Esto puede conducir a un valor impreciso de
difusividad térmica. Para obtener las propiedades térmicas del material mediante esta
técnica se deben ajustar los datos a las ecuaciones que la describen. Una forma es utilizar
la expresión completa que describe la señal fotoacústica en amplitud y fase como función
de la frecuencia de modulación, sin embargo debido a lo extensa de esta expresión y a la
7
presencia de variables complejas, la fiabilidad del ajuste se ve limitada, más aun cuando se
consideran los tres mecanismos influyentes en la señal fotoacústica. En este trabajo se
propone un método que supera esta limitación, ya que utiliza la magnitud de las formulas
aproximadas para los diferentes regímenes térmicos y desprecia los mecanismos no
influyentes. Aunque estas expresiones son bien conocidas [27,28,29], pueden usarse
incorrectamente debido a errores en la selección de los rangos de medida de cada
muestra acorde a su espesor y debido a la no consideración de la respuesta en frecuencia
del micrófono, que puede ser bastante influyente a frecuencias bajas [2]. Por tanto la
metodología que aquí se propone tiene en cuenta la dependencia en frecuencia del
elemento detector de la señal fotoacústica y además considera la termodifusión, la
termoexpansión y el termoelástico como propiciadores de la señal. La efectividad de la
metodología de análisis es demostrada con mediciones realizadas en muestras de prueba
de diferentes materiales de los cuales se obtuvo su difusividad térmica. La metodología
involucra medir la muestra en el régimen térmicamente grueso y hacer una normalización
con una muestra medida en el régimen térmicamente muy fino, con el fin de eliminar la
función de transferencia del detector.
El primer capítulo de este trabajo presenta el marco teórico que exhibe los fundamentos y
conceptos como base de los siguientes. El capítulo dos presenta el estudio hecho con la
técnica del alambre caliente sobre muestras heterogéneas, allí se presentan los sistemas
de medida, la metodología experimental, los modelos propuestos y los resultados; El
capítulo tres hace referencia a la investigación hecha con la técnica fotoacústica sobre
materiales solidos homogéneos, presentando una metodología para el análisis de la
información, el sistema de medición y los resultados obtenidos. Por último se presentan
las conclusiones, artículos publicados y la bibliografía consultada.
8
HIPÓTESIS
1– Conductividad térmica de sustancias heterogéneas
Se postula la existencia de una capa interfacial al medir un sistema de dos capas de
muestras no miscibles con la técnica del alambre caliente, la cual influye en el valor de
conductividad térmica obtenida. En un experimento en que se varía la fracción de
volumen de una capa, esa conductividad térmica puede ser modelada considerando un
medio efectivo que relacione la resistencia eléctrica del alambre con la resistencia térmica
de cada capa.
2 – Difusividad térmica de cuerpos solidos
La confiabilidad en la obtención del parámetro de difusividad térmica de una muestra
solida homogénea puede ser mejorada al usar una metodología de análisis de información
que involucra estrictamente solo a los mecanismos de difusión térmica, flexión
termoelástica y expansión térmica en la generación de la señal fotoacústica.
9
OBJETIVOS
– Conductividad térmica de sustancias heterogéneas
Establecer una relación entre la resistencia eléctrica del alambre de platino y la
resistencia térmica de la muestra.
Proponer un modelo matemático que describa el comportamiento de la
conductividad térmica efectiva considerando una capa interfacial.
Comparar el modelo propuesto con las teorías de medio efectivo que se ajusten al
experimento.
Aplicar el modelo propuesto a un sistema de muestras de dos capas (muestra
heterogénea) no miscibles para validar la exactitud y repetitividad de las
mediciones.
Predecir el comportamiento del aumento anómalo de la conductividad térmica en
los nanofluidos considerando la aparición de una capa interfacial debida a la
interacción fluido-nanopartícula.
– Difusividad térmica de cuerpos solidos
Involucrar los mecanismos de difusión térmica, flexión termoelástica y expansión
térmica en la determinación de la difusividad térmica de cuerpos sólidos con la
técnica fotoacústica.
Considerar la respuesta del elemento detector (micrófono) en los diferentes
regímenes térmicos.
Establecer una ecuación para el análisis de la magnitud y fase de la señal
fotoacústica.
Obtener la difusividad térmica de diferentes materiales para corroborar la
metodología de análisis propuesta.
Proponer una ecuación que permita calcular el coeficiente de expansión térmica lineal en una celda fotoacústica abierta.
10
1. MARCO TEÓRICO
En este capítulo se muestran los conceptos básicos y fundamentos teóricos necesarios
para el desarrollo del trabajo. En él se hace una breve descripción de la transferencia de
calor por conducción, la ecuación de difusión de calor, el efecto termoelástico, la
conductividad y difusividad térmica, además se presenta la técnica fotoacústica y del
alambre caliente con sus respectivos modelos matemáticos que permiten obtener
información acerca de las propiedades térmicas de un material.
1.1 La transferencia de calor
La transferencia de calor se puede definir como un intercambio de energía entre dos
medios que ocurre siempre del más caliente al más frio y se detiene cuando ambos
alcanzan una temperatura de equilibrio. Básicamente para que exista una transferencia de
calor debe existir un gradiente de temperatura [30]. Esta transferencia puede darse de
tres modos distintos conocidos como la conducción, la convección y la radiación, las
cuales son descritas por la ley de Fourier, la ley de enfriamiento de Newton (para la
convección natural) y la ley de Stefan-Boltzman [20], respectivamente. Inclusive se puede
presentar una combinación de estos modos de transferencia de calor en un medio.
1.2 Transferencia de calor por conducción
Cuando existe una diferencia de temperaturas en un cuerpo se genera una transferencia
de energía de las partículas más energéticas hacia las adyacentes menos energéticas,
producto de las interacciones entre esas partículas. La conducción tiene lugar en
diferentes fases de una sustancia, en sólidos, líquidos y gases. En los dos últimos se debe
a las colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio y en los
sólidos se debe fundamentalmente a la vibración de los átomos y moléculas en la red
cristalina o al movimiento de los portadores de carga eléctrica [30]. La manera de
cuantificar este proceso de transferencia de calor está dictada por la “Ley de Fourier”,
ecuación 1, según la cual el flujo de calor en un medio isótropico es proporcional al
gradiente de temperatura en su dirección [20].
(1)
donde es una constante de proporcionalidad llamada “Conductividad térmica”, sus
unidades [Wm-1K-1], y es una medida de la capacidad del material para conducir el calor.
Esta propiedad de transporte toma un valor característico para cada material. El signo
menos en la ecuación 1 se debe a la segunda ley de la termodinámica, que establece que
el calor se transfiere en la dirección de la temperatura decreciente.
11
1.3 Conducción de calor en paredes planas
Al considerar una placa plana homogénea e isotrópica de espesor , área transversal y
de conductividad , a través de la cual existe un flujo de calor en una de sus caras, ocurrirá
una transferencia de calor en la dirección (en el caso unidimensional) impulsada por el
gradiente de temperatura en esa dirección del calor, como lo describe la ley de Fourier.
Para el caso en el que el flujo de calor es estacionario su comportamiento es constante, lo
que conlleva a que la temperatura a través de la pared varíe linealmente con , asi la ley
de Fourier se puede reescribir como:
(2)
Figura 1. Flujo de calor en estado estacionario para una placa plana
De la ecuación 2, estableciendo una analogía del flujo de calor con la corriente eléctrica y
de la diferencia de temperatura con la diferencia de potencial a la que se somete un
conductor, se logra establecer el concepto de “Resistencia térmica” de la placa *30] como
se muestra en 3.
[°K/W] (3)
La resistencia térmica se define como la oposición al flujo de calor, en este caso por
conducción, y es importante resaltar que depende de las dimensiones de la pared y las
propiedades térmicas de la misma. Dada la analogía de resistencia térmica y eléctrica, es
posible considerar un sistema de placas múltiples consecutivas (figura 2) que sigan el
mismo comportamiento de un circuito serie y paralelo para los cuales la resistencia
eléctrica total es ampliamente conocida [31].
12
Figura 2. a) Arreglo de placas en serie y b) paralelo, acorde al flujo de calor incidente
Para los casos a y b de la figura anterior, las ecuaciones 4 y 5 representan las resistencias
térmicas equivalentes para el conjunto de placas dispuestas en serie y paralelo, como
sigue
(4)
(5)
en las cuales y son la longitud y área total de las placas y se conoce como la
“Conductividad térmica efectiva” [32] de todo el sistema de placas.
1.4 Ecuación de difusión de calor
Para establecer la ecuación básica que gobierna la transferencia de calor en un cuerpo con
diferencial de volumen, , estando sujeto a un calentamiento o enfriamiento no
estacionario, se debe combinar la ley de Fourier con la ley de conservación de la energía o
balance de flujos de calor, teniendo en cuenta que la temperatura dependerá tanto de la
coordenada espacial como del tiempo. Por lo tanto, considerando un cuerpo con
conductividad térmica isotrópica y asumiendo que no hay una generación de calor en su
interior, se tiene en coordenadas cartesianas,
(6)
Esta ecuación es conocida como la ecuación de difusión de calor o segunda ecuación de
Fourier, donde α es la “difusividad térmica”, sus unidades [m2s-1], y se define como una
tasa de propagación del calor a través del cuerpo, además es un parámetro térmico propio
del mismo y que relaciona su conductividad térmica, calor especifico ( , [JKg-1K-1]) y
densidad ( , [Kgm-3]). El calor específico es la cantidad de calor requerida para
incrementar en un grado la temperatura de un gramo de sustancia. De forma particular,
13
para el caso unidimensional en la que el flujo de calor se da solamente en la dirección , la
ecuación 6 se reescribe como 7.
(7)
Considerando un sólido semi-infinito sometido en la superficie a un calentamiento por un
haz de luz monocromático de intensidad modulada 𝐼:
𝐼
𝐼 ( ) (8)
donde 𝐼 es la intensidad de la luz, es la frecuencia de modulación angular y el
tiempo; y considerando que la luz es absorbida en su totalidad por el sólido, la condición
de continuidad de flujo en la superficie será,
0
1 (9)
Aplicando esta condición se obtiene la solución de la ecuación de difusión unidimensional.
Esta es una función de la distribución de temperatura al interior del sólido también
conocida como la “onda térmica”, representada en la ecuación 10,
( ) 𝐼
√
⁄ ( ⁄
⁄ ) (10)
en la cual √
, denominado longitud de difusión térmica, es la distancia a la cual la
amplitud de la onda decae e veces de su valor inicial en la superficie [20]. A partir de 10, si
se mide la temperatura en función de la frecuencia es posible determinar la difusividad
térmica del material. Basados en la ecuación 10, se han desarrollado un conjunto de
técnicas y métodos en el área de la calorimetría que permiten determinar los parámetros
térmicos de los materiales. Dentro de ellas, la técnica fotoacústica es ampliamente
utilizada [21, 33, 34].
1.5 La técnica Fotoacústica
Esta técnica se fundamenta en el efecto fotoacústico que fue descubierto en 1880 por
Alexander Graham Bell [35]. Este consiste en la generación de una señal acústica debida a
la excitación de un cuerpo con luz modulada; una vez absorbida esta luz, se generan
procesos de desexcitación no radiativos que calientan el material. El flujo de calor
14
periódico desde la muestra produce cambios de presión en el gas adyacente a través de
un efecto mecánico de expansión-contracción del gas [36]. Un arreglo experimental
clásico de la técnica fotoacústica (TFA) basada en este principio se describe en la figura 3.
En esta configuración la muestra se encuentra en el interior de una celda sellada que
contiene aire u otro gas; sobre ella incide un haz de luz modulado. La celda está acoplada
a un micrófono que capta la señal producida.
Figura 3. Celda fotoacústica cerrada (CFC).
Esta técnica fototérmica permite obtener la difusividad y efusividad térmica ( √
[Ws1/2m-2K-1]), así como espectros de absorción de una amplia gama de materiales. La
efusividad térmica es una medida de la impedancia térmica de un cuerpo o de su
capacidad de intercambio de calor con el medio ambiente [37]. El amplio uso de esta
técnica se debe principalmente a su alta sensibilidad como se ha demostrado en distintos
trabajos [38]; a continuación se presentan las principales ventajas de la técnica:
Requiere un mínimo tratamiento en la preparación de la muestra.
Puede ser utilizada en una amplia gama de materiales (sólidos, líquidos, gases,
geles).
No requiere contactos eléctricos y es no destructiva.
1.6 El modelo de Rosencwaig-Gersho
La teoría que describe la señal obtenida del efecto fotoacústico fue enunciada en 1976 por
Allan Rosencwaig y Allen Gersho (RG) [39]. El modelo propuesto por RG se fundamenta en
la suposición de que el calentamiento periódico de la superficie de una muestra da lugar a
un flujo de calor en esta y que se difunde hacia un gas contenido en una celda cerrada. En
este modelo se considera el flujo de calor unidimensional en una celda cilíndrica y se
demuestra que solamente una capa relativamente delgada de aire en su interior,
adyacente a la superficie del sólido (muestra), responde térmicamente al flujo de calor
periódico proveniente de él. Esta capa de aire sufre un calentamiento y un enfriamiento
15
alternado, comportándose como un pistón vibratorio, de tal forma que los cambios de
presión generan una señal acústica [40].
En el modelo se asume una celda FA cilíndrica de diámetro y longitud (figura 4). El
micrófono detecta la presión promedio producida en la celda y la muestra de espesor
está ubicada de tal forma que su superficie frontal este expuesta al gas (aire) interno de la
celda y su parte posterior en contacto con una base de poca conducción térmica y de
espesor . La longitud de la columna de gas está dada por . Se asume
que el gas y el material base no absorben luz. Se establece que el término representa el
sólido (s), el gas (g) y el material base (b); denota la frecuencia de modulación del haz de
luz incidente y su intensidad está dada por la ecuación 8.
Figura 4. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando la posición de la muestra, la base y la columna de gas.
La densidad de calor producida en cualquier punto debido a la luz absorbida en ese
punto del sólido está dada por:
𝐼
( ) (11)
donde es el coeficiente de absorción óptico de la muestra solida (en ) para una
longitud de onda determinada y , toma valores negativos a medida que se
extiende por el sólido desde a ; con la luz incidiendo en . La ecuación
de difusión térmica en el sólido, teniendo en cuenta la fuente de distribución de calor, se
podría escribir como:
[ ] (12)
16
con 𝐼 , donde es la temperatura y es la eficiencia a la cual la luz absorbida
es convertida en calor por procesos de desexcitación no radiativos. Para la base y el gas,
las ecuaciones de difusión de calor están dados por:
(13)
(14)
A partir de las soluciones a las ecuaciones 12, 13 y 14, aplicando las condiciones de
continuidad de temperatura y de flujo correspondientes, y considerando una compresión
adiabática causada por la variación de volumen en la celda, se obtiene el modelo de
difusión térmica (DT) que representa la variación de presión al interior de la celda a
temperatura ambiente como una función de la posición y del tiempo. Se define como la
solución explicita obtenida en , así,
√ ( )
.( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) / (
⁄ ) (15)
donde ; ; 𝜎 ( ) ; 𝜎 ( ) ;
( )
⁄ ; , y son la conductividad térmica, el coeficiente de difusión térmica y la
difusividad térmica del medio . La ecuación (15) determina que a una distancia de
la variación de la temperatura periódica en el gas es totalmente amortiguada;
definiéndose una capa en la frontera (figura 4) que es capaz de responder
térmicamente a la temperatura periódica en la superficie de la muestra.
Con este modelo que representa el efecto fotoacústico es posible analizar espectros y
coeficientes de absorción óptica de materiales en cualquier fase, cuando se varía la
longitud de onda del haz incidente en el rango visible. De manera alterna si se mantiene la
longitud de onda del haz incidente constante y se varía la frecuencia de modulación es
posible obtener información concerniente a las propiedades térmicas de la muestra [41].
1.7 Modelo de difusión térmica para la configuración de transmisión de calor
En esta configuración el sólido o muestra se utiliza como elemento sellador de la cámara
FA y sobre este se hará incidir el haz de luz modulado, es decir, en la figura 3 la ventana de
cuarzo es reemplazada por la muestra. Esta configuración recibe el nombre de celda
fotoacústica abierta o en configuración de transmisión de calor (CFA) [2] y de igual forma
que en la CFC una capa delgada de aire reacciona térmicamente al flujo de calor
proveniente de la muestra, pero en este caso, la longitud de onda del haz de excitación
permanece constante, variándose solamente la frecuencia de modulación de mismo.
17
Figura 5. Vista de la sección transversal de una CFA.
El modelo RG describe las variaciones de presión al interior de la cámara cuando se
encuentra la solución en e iluminando en ese misma cara (figura 5). Además
asumiendo la intensidad de luz absorbida por la muestra como 𝐼 , la expresión
matemática obtenida es [27],
𝐼
√ . 𝜎 /
(( )(𝜎 ) ( 𝜎 ) ( )(𝜎 ) ( 𝜎 ) (𝜎 )
( )( ) 𝜎 ( )( ) 𝜎 ) (
⁄ ) (16)
De la ecuación 16, si no existe un material base ( ), garantizando que la efusividad de
la muestra es mayor a la del aire (siempre ocurre al medir sólidos, ) y considerando
una muestra ópticamente opaca i.e ( ), la fluctuación de presión en la cámara de
aire de la CFA, está dada por [28]:
𝐼 ( )
(
𝜎 ) (
⁄ ) (17)
En 17, la DT es el único mecanismo presente en la generación de la señal FA. Para una
muestra térmicamente fina ( 𝜎 ), y para una muestra termicamente gruesa
( 𝜎 ), la señal FA está dada por las ecuaciones 18 y 19, respectivamente. Estas
ecuaciones describen correctamente a la ecuación 17 en cada rango de frecuencia
correspondiente.
𝐼
( )
. ⁄ / (18)
𝐼 ( )
√
( ⁄ √
) (19)
18
Donde es la frecuencia de corte o límite entre el régimen térmicamente fino y grueso, y
se define como:
(20)
De 20, se puede obtener la difusividad térmica de la muestra, si se conoce su espesor y el
valor de correspondiente, esto se puede lograr mediante un ajuste de los datos
experimentales al modelo que representa la señal FA.
1.8 Modelo de flexión termoelástica para la configuración de transmisión de
calor
Cuando la muestra es un sólido en forma de plato rodeado por aire, la señal FA está
constituida por la contribución de la DT y la flexión termoelástica (FTE). Esta última se
debe a un gradiente de temperatura al interior de la muestra a lo largo del eje , como se
muestra en la figura 6. Debido a este gradiente, a lo largo de la dirección radial se induce
una flexión del plato a lo cual se le conoce como “Efecto tambor”. Esta vibración de la
muestra es modelada acorde a un pistón mecánico el cual produce variaciones de
volumen al interior de la celda contribuyendo así con la señal FA.
a) b)
Figura 6. a) Dimensiones consideradas para la descripción de la FTE y b) visualización del efecto tambor
El conjunto de ecuaciones que describen este fenómeno ha sido descrito por Miranda-
Perondi (MP) [28]. Fundamentalmente se toma en cuenta el calor debido a las ondas
elásticas en la ecuación de difusión térmica, esto es equivalente a multiplicar el término
en la ecuación 7 por , ( ) -, donde y , son la capacidad calorífica
por unidad de volumen a tensión constante y deformación constante, respectivamente.
Además que, ( ) , donde es el módulo de compresibilidad y es el
“Coeficiente de expansión térmica lineal”: es una relación que mide cuanto cambia la
longitud de un sólido al ser sometido a una diferencia de temperatura constante [42], sus
19
unidades son [°K-1]. Para muchos solidos ( ) . La ecuación 21 representa
la distribución de temperatura en el sólido de la figura 6. En este se asume que toda la luz
es absorbida en la superficie.
𝐼 𝜎
(( ( )𝜎 )
( 𝜎 ) (21)
Para establecer un análisis más compacto del conjunto de ecuaciones que resultan en el
modelamiento del termoelástico, MP desprecian en la ecuación de desplazamiento el
término inercial cuando el experimento se realiza a bajas frecuencias. Esto es,
donde es el radio de la muestra, y .
( ) /
la velocidad del sonido; es el
módulo de Young; es el coeficiente de Poisson. Además asumen que la muestra es
cilíndrica de tal forma que , asi la condición de tensión plana es aplicable, i.e
𝜎 𝜎 en , donde 𝜎 es el esfuerzo del tensor. Bajo esas circunstancias de
aproximación, al resolver las ecuaciones para el desplazamiento de la muestra y a lo
largo del eje radial y el eje , estando sujetas a las condiciones de frontera de la
muestra , y en los bordes donde está libre de fuerzas y esfuerzos,
se obtiene:
( ) { ( )
∫
[
(
)
.
/]} (22)
con ∫
y ∫
El primer término de la ecuación 22 representa la flexión de la muestra, y la otra es debida
a la dilatación del espesor. De esta manera al conocer el desplazamiento de la muestra a
en el eje y considerando una compresión adiabática causada por la variación de volumen
en la celda, se puede conocer la variación de presión debida solo a la FTE como:
𝐼
𝜎
4 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎 5 ( ) (23)
donde es el radio de abertura de la celda sobre el cual esta soportado la muestra y es
el radio interno de la cámara FA. De la misma forma que en la DT, considerando una
muestra térmicamente fina la ecuación (23) puede ser rescrita como:
𝐼
( ) (24)
20
Note de la ecuación 24 que la contribución a la señal FA es independiente de la frecuencia
de modulación. Mientras que para una muestra térmicamente gruesa la FTE está dada
por,
𝐼
√
( ) (25)
con .
/ .
/ y .
/, √
.
La ecuación 25 describe correctamente a la expresión 23, para valores de frecuencia de
modulación superiores a diez veces la frecuencia de corte ( ) del material
investigado.
De manera general la señal FA para una muestra en la configuración de transmisión de
calor está dado por tres diferentes mecanismos térmicos, la termodifusión, el
termoelástico y la termoexpansión. El modelo que describe este último se presenta a
continuación.
1.9 Modelo de la expansión térmica para la configuración de transmisión de
calor
El principal mecanismo que propicia la señal FA en una CFC es la difusión térmica, que
previamente ha sido descrita por RG. En una CFA, sin embargo, la FTE junto a la DT son los
mecanismos más influyentes en la generación de la señal en el rango de frecuencia de
modulación superior a la frecuencia de corte de un material [28]. Adicional a estos, la
expansión térmica (ET) es un fenómeno que siempre está presente en un cuerpo al ser
sometido a un calentamiento y depende de su temperatura media. La ET ha sido
considerada por McDonald y Wetsel [43], en esta se produce una expansión volumétrica
(figura 7a) de la muestra producto de efectos termomecánicos que generan un
desplazamiento de la superficie ( ), como se muestra en la figura (7b). La expansión y
relajación de la muestra debida a un calentamiento periódico producirá variaciones del
volumen del gas al interior de la celda, contribuyendo así con la señal FA.
21
Figura 7. Vista de la sección transversal de la celda FA cilíndrica, mostrando el desplazamiento de superficie debida a la ET
Para el análisis de la ET se supone un almacenamiento de calor en el cuerpo, lo que
conduce a un aumento del volumen. Se puede esperar entonces que la presión en la
cámara FA se deba a dos componentes que son dependientes; La primera debida a la
temperatura en la superficie de la muestra, (ecuación 15) y la segunda debida a la
temperatura promedio de la muestra ⟨ ( )⟩, en la cual la expansión longitudinal
produce un y por tanto un incremento en la presión de la cámara FA. Para determinar
⟨ ( )⟩ se ha propuesto que la variación de presión total en la cámara del gas está dada
por,
( ) (26)
con
⟨ ( )⟩ (27)
donde es la variación de presión debida a la ET de la muestra. Es importante notar que
al usar la temperatura promedio de la muestra, la ec. (27) puede ser usada tanto en la
configuración frontal como en transmisión de calor. Así, resolviendo el conjunto de
ecuaciones resultantes acorde al modelo de RG se puede encontrar ( ), que al
evaluarla en , se obtiene ( ), consecuentemente se determina y el promedio de
( ), como ⟨ ( )⟩ al integrar sobre la extensión de la muestra. De esta manera se
obtiene la variación de presión [29] como,
𝐼
( 𝜎
)* + (28)
con . ( )
( ) / .
/ ,
0.( )
( ) / .
/ .
/1 .
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) / ,
22
4
5
En particular, si la superficie de la muestra es pintada de negro de tal forma que se
garantice la absorción de la luz en la superficie, se puede considerar una muestra
ópticamente opaca con . Aplicando esta condición en 28 se obtiene,
𝐼
( ) (29)
En la ecuación 29 no hay una dependencia de 𝜎 , por lo tanto el régimen térmicamente
fino y grueso están descritos en todo el rango de frecuencias por , asi,
𝐼
( ) (30)
Acorde a los diferentes mecanismos que contribuyen en la señal fotoacústica en cada
régimen térmico. Se puede escribir de forma ideal para una muestra ópticamente opaca
que la señal fotoacústica total está dada por la suma de la componente de DT, FTE y ET
[44], esto es,
(31)
(32)
En general los tres mecanismos que contribuyen en la generación de la señal FA deberían
ser considerados para establecer un análisis más preciso de la información entregada por
la muestra, lo cual implica un modelo extenso para el análisis de la información
experimental. De aquí que algunas contribuciones pueden ser despreciadas en cada
régimen de respuesta térmica acorde a su orden de magnitud y método experimental. La
principal contribución en la señal FA es la DT, siendo la más estudiada de las tres. En el
caso de la FTE, siempre que se cumplan las condiciones de modelamiento mencionadas
anteriormente en la sección 1.8, esta debe ser considerada, llegando a ser predominante a
altas frecuencias de modulación [45]. El mecanismo de ET en comparación con la DT y la
FTE es despreciable en todo el rango de frecuencias (Se demuestra en la sección 3.3). De
aquí las ecuaciones 31 y 32 pueden ser reescritas como:
(33)
(34)
23
1.10 La técnica del alambre Caliente
La técnica del alambre caliente (TAC) es parte de un grupo de métodos que emplean un
flujo transitorio de calor para determinar la de una sustancia. Estos métodos se basan
en la transferencia de calor por conducción y han sido ampliamente estudiados en
materiales de diferente fase como líquidos, polvos y metales. En estos el calor es
suministrado por una fuente controlada hacia el material estudiado. La medición del
cambio de temperatura provocado por la disipación del calor a través del material permite
determinar las propiedades de transporte térmico del mismo [46]. Específicamente la
técnica del alambre caliente consiste en un contenedor cilíndrico en el que se encuentra la
sustancia a investigar y sobre la cual hay inmerso un alambre conductor eléctrico de
propiedades conocidas (figura 8). Sobre este se hace pasar corriente eléctrica constante
produciendo un calentamiento por efecto Joule. El calor se disipa hacia la muestra
mediante conducción. Esta cinética de variación permite determinar la conductividad
térmica de la sustancia al analizar la temperatura del alambre (sensor y fuente de calor)
en función del tiempo [47].
Figura 8. Vista de la sección transversal de contenedor cilíndrico.
1.11 Modelo para determinar la conductividad térmica
La teoría que describe la transferencia de calor que toma lugar en la TAC considera una
fuente lineal de calor infinitamente larga y delgada, con una distribución de temperatura
uniforme que transfiere calor por conducción a un medio homogéneo e infinito. Partiendo
de la ecuación de difusión para el caso unidimensional (7) y reexpresándola en
coordenadas cilíndricas para la coordenada radial , se tiene
.
/
(35)
24
En la cual es la temperatura de la sustancia en un tiempo , es la
temperatura inicial de la sustancia y de la fuente de calor, y es la variación de
temperatura de la sustancia al ser sometida a calentamiento. Las condiciones de frontera
consideradas, serán
2 .
/3
(36)
* ( )+ (37)
La solución a la ecuación 35 sujeta a las condiciones de frontera 36 y 37 es bien conocida.
Para tiempos de medida suficientemente grandes, tal que , donde es el
radio del alambre, y despreciando las pérdidas de calor por convección y radiación, la
variación de temperatura en función del tiempo está dada por
( )
0 .
/ 1 (38)
Aquí es la constante de Euler. El alambre puede actuar como sensor de
temperatura si se mide su resistencia eléctrica, según la ecuación 39.
( ) ( ) (39)
En la cual es el coeficiente de temperatura de la resistencia eléctrica y es la
resistencia inicial del alambre conductor. Si a través del alambre circula una corriente
eléctrica invariable en el tiempo, 𝐼, se produce un calentamiento del mismo y por ende
variaciones de resistencia, que por ley de Ohm producirá variaciones de voltaje en el
tiempo, este último dado por
( ) ( )𝐼 ( ( ))𝐼 𝐼 ( ) (40)
donde 𝐼. Ahora sustituyendo la ecuación 38 en 40, se tiene
( ) ( ) 𝐼
0 .
/ 1 (41)
donde 𝐼 ⁄ , con como la longitud del alambre conductor. De 41 se logra ver que
la pendiente de la región lineal de la curva ( ) contra ( ), es
25
(42)
De 42 es posible calcular la del material si se obtienen las variaciones de voltaje en
función del logaritmo natural del tiempo en cualquier posición radial fija [46].
26
2. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE SUSTANCIAS HETEROGÉNEAS
En este capítulo se presenta un método para la obtención de la de sustancias
heterogéneas a través de la TAC. Se describe detalladamente el sistema de medición y se
muestran los resultados obtenidos para un sistema de muestras de dos capas no miscibles
y nanofluidos.
2.1 Sistema de dos capas
Estableciendo un análisis más detallado de la ecuación 42, esta puede ser rescrita como
(43)
donde es la resistividad térmica del alambre, y son el área de la sección
transversal del alambre y la muestra, respectivamente. es la resistencia térmica de la
muestra (figura 9a).
Figura 9. Resistencia térmica y eléctrica en una configuración a) simple y b) de dos capas
Es importante resaltar que en la ecuación 43 el único parámetro que cambia su valor
durante una medición es la resistencia térmica del fluido que rodea el alambre. En este
trabajo las mediciones han sido realizadas para un conjunto de muestras no miscibles
representadas por la figura 9b, a las cuales se les asocia una resistencia térmica y por ende
eléctrica, dependiente del tipo de muestra en cada capa. De esta forma la variación de
voltaje de la ecuación 41 estará dada por la suma de las caídas de tensión en cada
resistencia, así
(44)
Lo mismo ocurre con las pendientes resultantes de y contra ( ), esto es
27
(45)
Dado que las pendientes de cada capa están directamente relacionadas con la resistencia
térmica de la sustancia, entonces a partir de la ecuación 45 la resistencia térmica total del
compuesto multicapa se puede expresar como,
(46)
De 46, la resistencia térmica total se compone de la suma individual de las resistencias
térmicas de cada capa, esto es un arreglo serie. Teniendo en cuenta el área de la sección
transversal de la muestra, la ecuación 46 se puede reescribir como una conductividad
térmica efectiva ( ) en función de las conductividades térmicas de cada capa, así,
( ) (47)
donde es la fracción de volumen de la muestra 1, es decir, la relación del
volumen que ocupa la muestra 1 respecto del volumen total (hasta cubrir el alambre al
interior del contenedor). De esta manera se ha demostrado que en sistemas de dos capas
la conductividad térmica efectiva obedece a una configuración serie (Ec. 47) y no en
paralelo (Ec. 48) como inicialmente se podría considerar acorde a la dirección radial del
flujo de calor proporcionado por el alambre de platino [48] (comparar figuras 2b y 9b).
( ) (48)
En este trabajo se hicieron mediciones usando liquido-líquido y liquido-aire en las capas 1
y 2, respectivamente. Se observó una buena aproximación entre los datos experimentales
y el modelo serie para , pero algunas desviaciones (figura 13) se observaron con el
incremento de . Estos fueron atribuidos al efecto de la existencia de una capa interfacial,
figura 10, que introduce una resistencia térmica dependiente de la fracción de volumen
.
28
Figura 10. Resistencia térmica de interface
El origen de la resistencia térmica interfacial puede deberse a la evaporación del líquido
para muestras liquido-Aire y a la interacción molecular entre las dos fases, como ocurre
por ejemplo entre las nanopartículas y un fluido base en los llamados nanofluidos.
Supongamos que una delgada capa interfacial de conductividad térmica y espesor
existe entre los líquidos 1 y 2, como se muestra en la figura 10. La resistencia eléctrica del
alambre estará compuesta ahora por el conjunto de tres resistencias en serie y
análogamente la resistencia térmica total tendrá el mismo efecto, esto es
(49)
Nótese que la resistencia térmica interfacial aparece con la variación de fracción de
volumen de las fases 1 y 2. Considerando que el espesor de la fase 1 es y la
2 es , donde y son tal que y , además que el
compuesto total de la muestra debe permanecer inalterado, i. e
, se obtiene que . Así, considerando que las tres
capas tienen la misma área transversal y usando la definición 4 en la ecuación 49, se
obtiene
( )
(50)
donde ( )
El término
es la fracción de volumen que ocupa la capa interfacial. Con el fin de
encontrar una función que describa su comportamiento en función de la fracción de
volumen , como ocurre con la capa1 y 2, se establecen las condiciones de frontera del
29
experimento, en la cual es igual cero cuando y , esto es, cuando el
contenedor este vacío y lleno (del líquido de la capa 1), respectivamente. Así,
considerando el comportamiento lineal entre los espesores del fluido constituyente de la
muestra, y , y la de la muestra 1, se asume también que puede existir una relación
lineal entre y , de la forma
(51)
Donde y son constantes. Integrando 51 usando como variable de integración, se
tiene
∫
∫ ( )
(52)
Resolviendo la integral definida,
(53)
Aplicando las condiciones de frontera en y , se obtuvo la ecuación 54,
en la cual ,
( ) (54)
Finalmente sustituyendo 54 en 50 y despejando , se tiene que
( ) ( ) (55)
En la cual . Sus unidades son [mK/W] y es el único parámetro de ajuste durante
el análisis de los datos. , y son parámetros conocidos.
2.2 Nanofluidos
Se propuso expandir el modelo propuesto en la ecuación 55 a los nanofluidos como se
muestra en la figura 11, intentando explicar el llamado “aumento anómalo” de la
conductividad térmica que ha sido insuficientemente descrito por las teorías de medio
efectivo. Para esto se considera que la debe ser obtenida teniendo en cuenta la
dependencia de la resistencia eléctrica del alambre en una combinación serie de
resistencias térmicas de las partículas y el fluido base. Esta resistencia es fuertemente
influenciada no solo por la resistencias kapitsa interfacial de la interface fluido-partícula
[49], sino también por el movimiento Browniano [50], agrupación [51], percolación y
30
agregación [52], entre otros. La idealización del nanofluido en el contenedor se presenta
en la figura 11b. Un sistema constituido por una capa de material de nano partículas (con
la concentración actual de nano partículas) y otra del fluido base, con una delgada capa
interfacial entre ellas.
Figura 11. Idealización de un nanofluido como un arreglo de resistencias térmicas en serie en la TAC
2.3 Sistema de alambre caliente
En una configuración experimental como se muestra en la figura 12, la fuente de
calentamiento es un alambre de platino de 76,2µm de diámetro (Alfa Aesar) y de longitud
L=0,085m. Este se monta sobre un soporte de teflón y todo el conjunto se introduce en un
contenedor de cobre de 15,5cm de longitud y 3,18cm de diámetro. El volumen requerido
para cubrir por completo el alambre de platino es de 80ml. La fuente de corriente
eléctrica constante es un Keithley 2400 y las variaciones de tensión son medidas por un
nano voltímetro Keithley 2181A. La comunicación de estos últimos con el computador se
hace mediante una interface GPIB (NI GPIB-USB-HS) usando un algoritmo desarrollado en
LabView®. Los valores de corriente eléctrica fueron variados de 60mA a 100mA. Las
mediciones han sido desempeñadas a una temperatura promedio de 22°C. La precisión
del sistema experimental fue demostrada en mediciones de k de agua, glicerina,
etilenglicol, metanol y aceite. La incertidumbre de las medidas es menor al 3% [53].
31
Figura 12. Esquema del sistema de medida por la TAC
2.4 Resultados de conductividad térmica de muestras binarias
Se han realizado mediciones de de muestras binarias no miscibles siguiendo la
configuración experimental mostrada en la figura 10. Las diferentes combinaciones de las
muestras en cada capa fueron: aire en la capa 2 y en la capa1 agua destilada, glicerina,
aceite de motor de auto, metanol y etilenglicol (las muestras son de J.T. Baker 99.9%). Los
valores de de cada liquido fueron previamente determinados. La del aire se pudo
determinar al mantener el contenedor totalmente vacío, su valor fue 0,027 W/mK.
Adicionalmente se midió el compuesto de agua-capa1 y aceite de motor-capa2 (SAE 50
Oil-QUAKER STATE). Cada medida fue desempeñada 5 veces para garantizar repetitividad.
En la figura 13 se muestran los resultados de como función de . La curvas de color
azul son el mejor ajuste por mínimos cuadrados de los datos experimentales a la ecuación
55 (En la gráfica se denota como modelo serie mejorado) usando como único parámetro
de ajuste a .
a) b)
32
Figura 13. Conductividad térmica efectiva como función de la fracción de volumen de a) agua destilada, b) glicerina, c) aceite de motor de auto, d) metanol, e) etilenglicol y f) agua
destilada-aceite de motor de auto.
En la figura 13 también se prueban las teorías de medio efectivo serie (Ec.47) y paralelo
(Ec.48), curva negra y roja respectivamente. Estas no representan de manera correcta los
datos experimentales de . El modelo paralelo representa en todos los casos una línea
recta por encima de los ajustes serie, serie mejorado y de los datos, siendo el menos
efectivo de los tres y el modelo serie ajusta en cada caso por debajo. El modelo serie
mejorado a diferencia de los demás logra representar de manera aproximada los datos.
Los valores obtenidos de se muestran en la tabla 1.
c) d)
e) f)
33
Tabla1. Valores obtenido del ajuste experimental
al modelo serie mejorado
Muestra k1(W/mK) P (mK/W)
Agua 0,57 20±2
Aceite de motor 0,158 29±2
Glicerina 0,28 36±2
Etilenglicol 0,227 36±2
Metanol 0,217 12±3
Agua/Aceite 0,57/0,158 2,7±0,3
Adicionalmente, aunque no se muestra en la figura 13, se demostró que los modelos
clásicos para mezclas tales como la formula empírica logarítmica [54] no reproducen los
resultados experimentales aquí obtenidos.
2.5 Resultados de conductividad térmica de nanofluidos
La relación de conductividad térmica como función de la concentración de
nanopartículas para diferentes nanofluidos han sido reportados por diferentes autores
[55,56,57,58,59,60]. En los cuales se ha usado la TAC como sistema de medición. Se han
usado esos resultados con el fin de probar el modelo serie mejorado enunciado en la
ecuación 55. En la figura 14, las líneas solidas de color negro son el mejor ajuste a esta
ecuación para un conjunto de nanofluidos con diferentes tamaños de partícula.
a) b)
34
Figura 14. Aumento de la conductividad térmica como función de la fracción de volumen de diferentes nanofluidos: a) Al2O3/Agua, b)TiO2/Agua, c)ZnO/Agua , d) Al2O3/Etilenglicol,
e)CuO/Etilenglicol y f)TiO2/etilenglicol. El tamaño de la partícula se muestra en los recuadros internos.
Los valores obtenidos de en los ajustes de la anterior figura se muestran en la tabla 2,
junto con los valores de conductividad térmica del fluido base ( ) y el material de la
nanopartícula ( ). Es de notar que el valor de cambia acorde al tamaño de partícula en
una forma que depende del sistema específico. Hay que resaltar que los modelos
existentes [49] sobre la influencia de la capa interfacial en la de nanofluidos no
consideran una dependencia del tamaño de la partícula del espesor de la interface. Esto
puede ser un punto de atención en trabajos futuros.
c) d)
e) f)
35
Tabla 2. Resultados de ajuste a las diferentes curvas de los nanofluidos
Nanofluido Tamaño de partícula (nm) k2 (W/mK) k1(W/mK) P (mK/W)
Al2O3/Agua 20 46 0,607 8,2±0,6
38 46 0,607 1,99±0,08
50 46 0,607 3,5±0,2
100 46 0,607 2,4±0,2
TiO2/Agua 10 8 0,607 4,25±0,09
34 8 0,607 3,1±0,1
70 8 0,607 1,84±0,03
Al2O3/Etilenglicol 15 46 0,253 7,66±0,08
26 46 0,253 8,2±0,1
38 46 0,253 8,4±0,2
60,4 46 0,253 14,7±0,2
302 46 0,253 12,2±0,1
CuO/Etilenglicol 23,6 20 0,253 13,7±0,3
29 20 0,253 11,9±0,5
35 20 0,253 14,3±0,6
ZnO/Agua 10 29 0,607 5,5±0,1
30 29 0,607 4,08±0,09
60 29 0,607 2,2±0,1
TiO2/Etilenglicol 10 8 0,253 14,3±0,2
34 8 0,253 10,9±0,1
70 8 0,253 5,64±0,09
Muchos trabajos han discutido el papel crucial de la resistencia térmica interfacial [61] y
de los procesos físicos que ocurren en la interface entre las partículas y el fluido que las
rodea [62], y otros han considerado la conducción serie y paralela entre nanoagrupaciones
y átomos de fluido [63] para la descripción del transporte de calor en los nanofluidos. En
muchos casos las teorías de medio efectivo (e.g El modelo de Maxwell) han sido usados
para calcular la conductividad térmica efectiva cuando los datos experimentales no están
disponibles [64,65]. El enfoque del modelo que se propone en este trabajo se centra en el
36
análisis de las posibles causas de las discrepancias entre los resultados de las teorías
mencionadas y los datos experimentales de conductividad térmica efectiva que
proporciona la técnica del alambre caliente debido a posibles malinterpretaciones de los
modelos asociados a la configuración experimental de esta técnica. De manera general se
observó una buena aproximación de los resultados experimentales y el modelo propuesto
como “Serie mejorado”, una nueva propuesta sencilla que permite dar un paso adelante
para seguir trabajando en esta dirección.
37
3. DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE CUERPOS SOLIDOS
Se presenta una metodología para determinar la difusividad térmica de cuerpos solidos
por medio de la técnica fotoacústica considerando los mecanismos de difusión térmica,
flexión termoelástica y expansión térmica. También se muestra una descripción del
sistema de medición y los resultados obtenidos de difusividad térmica y el coeficiente de
expansión térmico lineal como una consecuencia de la metodología.
3.1 Método para la determinación de la difusividad térmica
En general el micrófono usado como detector de señal en la TFA no tiene una respuesta
plana o constante a lo largo del rango de frecuencia de las mediciones, especialmente a
bajas frecuencias. Diferentes autores que usan la técnica fotoacústica para la
caracterización térmica de materiales en distintas fases, no consideran la respuesta en
frecuencia del elemento detector como posible causante de imprecisiones en los valores
obtenidos de esos parámetros. Por lo tanto al hacer el análisis de la información para
determinar la difusividad térmica del solido bajo estudio, la función de transferencia del
detector debe ser considerada. Esta depende de la frecuencia tanto en amplitud como en
fase [66]. Considerando esta función de la forma 𝑌( ) ( ) e incluyéndola en las
ecuaciones que representan la señal FA, se tiene para el régimen térmicamente fino
(Ec.33) que la señal de voltaje del micrófono puede ser expresada como:
𝑌( ) ( )
𝑌( )
( ⁄ ( )) 𝑌( ) ( ( )) (56)
donde
( ) (57)
y
𝐼
(58)
De la misma forma para el régimen térmicamente grueso (Ec.34), la señal de voltaje del
micrófono puede ser expresada como:
𝑌( ) ( )
𝐺 ( )
√
( ⁄ √
( ))
𝐻 ( )
⁄ (
( )) (59)
donde
𝐺 ( )
(60)
38
y
𝐻
(61)
Del cálculo y trigonometría, dos señales representadas cada una en amplitud y fase como
las que se muestran a continuación,
(62)
(63)
pueden sumarse de tal forma que la magnitud de su suma obedezca a la siguiente regla:
(
( ))
(64)
Haciendo uso de 64, las magnitudes de las expresiones 56 y 59, pueden escribirse como
sigue,
| | 𝑌( )√(
)
( )
. ⁄ / (65)
| | 𝑌( )√(𝐺 √
)
.𝐻
/
𝐺𝐻
√
4 √
5 (66)
La metodología de análisis consiste primero en medir como función de la frecuencia
de modulación para una muestra térmicamente fina llamada Muestra de Referencia (una
lámina de aluminio de 12µm de espesor, con =/π 2= 206 kHz, =93x10-6 m2/s
[20]. Esta puede ser considerada como muy fina para valores de frecuencia de algunos
cientos de Hz). Luego es medida como función de . Esta será la señal de la
muestra a investigar. El rango de frecuencias de medida debe garantizar que se está en el
régimen térmicamente grueso. Al hacer un cociente entre la ecuación 66 y 65, la función
de trasferencia del micrófono es suprimida por completo. La expresión resultante definida
como D, será,
39
| |
| | √
√(
√ )
( )
√ ( √
)
4 √ √
(
⁄ )5
(67)
donde 𝐺 , ℎ 𝐻 y . Si se obtiene un gráfico experimental de contra
√ y se hace un ajuste a la ecuación 67, usando como parámetros de ajuste ℎ es
posible determinar la difusividad térmica de la muestra, a partir del valor de usando la
ecuación 20, si el espesor de la muestra es conocido. Nótese también que los
parámetros y involucran solo al material de referencia. 𝐻 y 𝐺 a la muestra
investigada. Complementando la ecuación 67, su fase está representada por la ecuación
68,
(68)
donde y son la fase de la señal de difusión térmica y flexión termoelástica,
respectivamente. El parámetro toma el nombre de fina y gruesa, según el régimen de
respuesta térmico. Nótese que la ecuación 67 involucra las fases de cada mecanismo
presente en señal FA, como una diferencia de estas. Varios autores usan generalmente la
magnitud de la señal fotoacústica para obtener un valor confiable de difusividad térmica.
Adicionalmente si se relacionan entre si los diferentes parámetros de ajuste, es posible, en
el caso ideal, eliminar las contribuciones de 𝐼 y e intentar obtener alguna otra
propiedad térmica de la muestra como su efusividad térmica y el coeficiente de expansión
térmica lineal. Este último del cociente entre ℎ y como sigue,
ℎ
(69)
El valor de en la ecuación 69 será el calculado con la ecuación 20 y los valores de los
demás parámetros involucrados son bien conocidos. Aquí se debe resaltar que el valor de
debe ser calculado como un radio efectivo ( ) usando el volumen total inicial ( )
de aire en la cámara de la celda FA, como se muestra en la figura 15.
40
Figura 15. Vista expandida de la cámara de aire FA
La cámara de aire FA total de la celda está compuesta por tres cavidades cilíndricas de
longitudes y y radios y , respectivamente. Nótese que para la CFA descrita
en la referencia [28] la muestra está colocada directamente sobre el micrófono de
electreto, por tanto, Rc estaría dada por Re, pero este no es el caso.
3.2 Sistema de fotoacústica en configuración de transmisión de calor
Como principal fuente de excitación de este sistema se usó un haz de luz modulado en
intensidad (TTL, ciclo de trabajo 50%) proveniente de un láser de estado sólido (LSR405NL
Lasever Inc.). Este haz de luz monocromática (405nm) incide directamente sobre la
muestra colocada en una CFA. La luz modulada es absorbida por la superficie de la
muestra; esta se calienta periódicamente y el calor se transporta a través de ella mediante
el fenómeno de conducción, generando el efecto fotoacústico que es captado por un
micrófono de electreto. La señal del micrófono es leída por un amplificador Lock-in SR830
(Standford Research Systems) que se encuentra sincronizado con la frecuencia de
modulación del haz, posteriormente es almacenada en computador haciendo uso de una
herramienta virtual implementada en LabView®. El protocolo de comunicación usado fue
GPIB (NI GPIB-USB-HS). Un esquema del sistema de medición utilizado se observa en la
figura 16.
41
Figura 16. Esquema del sistema de FA en configuración de transmisión de calor
3.3 Resultados de simulación de la señal fotoacústica
Partiendo de las Ecs. 31 y 32, se sabe que la señal FA en una CFA está compuesta por la
suma fasorial de las contribuciones de DT, FTE y ET. Siendo las dos primeras las más
influyentes en la generación de la señal. La última puede ser despreciada ya que no hace
un aporte significativo al efecto fotoacústico. Esto fue comprobado mediante una
simulación de las Ecs. 32 y 33 para el régimen térmicamente fino (figura 17) y las Ecs. 31 y
34 (figura 18) para el régimen térmicamente grueso.
42
Figura 17. Simulación de en función del cociente en un gráfico
semilogarítmico para una muestra de aluminio de 12µm de espesor.
En la figura 17 la curva azul representa la difusión térmica, como único mecanismo
propiciador de la señal. La curva conformada por círculos es la señal FA considerando los
tres mecanismos como posibles generadores de la misma y en la curva roja solo se
consideran la DT y la FTE, despreciando la ET. Estas curvas son simulaciones para una
muestra de aluminio de 12µm de espesor (Usada en el experimento como material de
referencia). La discrepancia entre la curva azul y las demás se debe principalmente a la
inclusión del termoelástico. La superposición de la curva roja y la de círculos dejaron en
claro que la expansión térmica no influye en la generación de señal FA en este régimen de
respuesta térmica. La DT y FTE son siempre predominantes. El mismo comportamiento se
obtuvo para una muestra de plata de 25µm de espesor que fue usada para comparar los
resultados experimentales, aquí no se muestra.
Figura 18. Simulación de en función del cociente en un gráfico
semilogarítmico para una muestra de acero inoxidable de 255µm de espesor.
En el régimen térmicamente grueso similarmente al térmicamente fino, la expansión
térmica no contribuyo de forma relevante en la generación de la señal FA. De nuevo la FTE
y la DT son los mecanismos dominantes. Este hecho ya había sido mencionado por
Rousset [45]. Para valores de frecuencia muy superiores a la , la FTE predominara sobre
la DT. Los resultados de simulación mostrados en la figura 18 fueron similares para
diferentes materiales como aluminio, cobre, plata y vidrio. Por lo tanto la ET puede ser
despreciada en ambos régimen de respuesta térmica.
43
3.4 Resultados de difusividad térmica
Las mediciones han sido desempeñadas sobre un conjunto de muestras de prueba de
acero inoxidable (AISI 302 - Precision Brand), plata pura (99,99%), aluminio puro (99,99%),
cobre puro (99,99%) y vidrio (cuarzo). Las muestras han sido pintadas de negro para
garantizar la condición de opacidad y una corta longitud de absorción óptica, condición
implícita en la teoría señalada anteriormente. Las características de la muestra están
dadas por la tabla 3. La temperatura promedio de la cámara fotoacústica fue de 300K. La
figura 19 muestra el resultado típico de √ como función de √ para todas las
muestras. La curva azul es el mejor ajuste a la ecuación general 67, donde la componente
termoelástica en el régimen térmicamente grueso y fino fue considerada. Los valores de
los parámetros ajustados se muestran en la tabla 3. Las curvas verdes son el mejor ajuste
a la ecuación 67 suprimiendo de ella el efecto termoelástico (H=M=0), solo se observa la
difusión térmica. Los valores obtenidos se reflejan en la tabla 4.
Tabla 3. Espesores de las muestras y valores de los parámetros de ajuste obtenidos del
mejor ajuste con mínimos cuadrados de los datos experimentales a la Ec. (67)
Muestra Espesor
(µm)
(±1µm)
Parámetros de ajuste
fc (Hz) g (s1/2
) h (s1/2
) m (s3/2
)
Acero Inoxidable 387 8,7±0,1 (5,82±0,09)x10-2
(4,99±0,09)x10-3
(2,18±0,09)x10-4
Acero Inoxidable 341 11,2±0,3 (3,5±0,1)x10-2
(3,5±0,08)x10-3
(1,84±0,09)x10-4
Acero Inoxidable 301 14,2±0,7 (3,24±0,08)x10-2
(3,2±0,2)x10-3
(1,3±0,2)x10-4
Acero Inoxidable 255 19,5±0,4 (4,88±0,08)x10-2
(5,3±0,1)x10-3
(1,0±0,3)x10-4
Acero Inoxidable 200 34,0±0,3 (3,2±0,2)x10-2
(5±0,4)x10-3
(3,4±0,07)x10-5
Cobre 1001 36,9±0,5 (3,64±0,07)x10-3
(3,60±0,05)x10-4
(2,75±0,09)x10-5
Plata 1001 56±2 (3,5±0,1)x10-3
(4,5±0,2)x10-4
(2,2±0,2)x10-5
Aluminio 1002 29,5±0,2 (7,26±0,06)x10-3
(7,31±0,05)x10-4
(4,51±0,06)x10-5
Vidrio 190 4,62±0,04 (2,65±0,04)x10-1
(1,47±0,02)x10-2
(6,8±0,2)x10-4
44
Tabla 4. Valores de los parámetros obtenidos por el ajuste experimental de los datos
despreciando la componente termoelástica en Ec. (67)
Muestra Espesor
(µm)
(±1µm)
Parámetros de ajuste
fc (Hz) g(s1/2
)
Acero Inoxidable 387 62±3 (161±7)x10-4
Acero Inoxidable 341 85±3 (101±3)x10-4
Acero Inoxidable 301 79±3 (119±3)x10-4
Acero Inoxidable 255 130±4 (153±4)x10-4
Acero Inoxidable 200 312±5 (121±2)x10-4
Cobre 1001 311±8 (98±2)x10-5
Plata 1001 362±5 (127±2)x10-5
Aluminio 1002 212±6 (219±5)x10-5
Vidrio 190 28±1 (54±2)x10-3
En la tabla 3 los resultados obtenidos para cinco muestras de acero inoxidable de
diferentes espesores muestran que la frecuencia de corte disminuye con el espesor, como
se esperaba. La figura 19 muestra el comportamiento de como función de para este
material.
Figura 19. en función de
de una muestra de acero inoxidable
La difusividad térmica puede ser obtenida de la pendiente de esta curva siguiendo la
Ec.20. El valor de (4,29±0,03)×10-6 m2s-1 ha sido obtenido en buena aproximación con el
valor reportado [67].
45
a) Acero Inoxidable - 200µm b) Acero Inoxidable - 255µm
e) Acero Inoxidable - 387µm f) Cobre - 1001µm
c) Acero Inoxidable - 301µm d) Acero Inoxidable - 341µm
46
Figura 20. Resultados típicos para √ como función de la raíz cuadrada de la frecuencia
de modulación en un gráfico semilogarítmico para acero inoxidable de a) 200 µm, b) 255µm, c) 301µm, d) 341µm, e) 387µm, f) Cobre, g) Plata, h) Aluminio y i) Vidrio
Los valores de difusividad térmica de las muestras fueron obtenidos de las frecuencias de
corte mostradas en la tabla 3 usando la Ec. 20. Los resultados son mostrados en la tabla 5.
Las frecuencias de corte presentadas en la tabla 4, no corresponden con las obtenidas en
la tabla 3. Demostrando que no solo la difusión térmica debe ser considerada en al utilizar
una CFA. Además gráficamente se logró observar que la curva verde no representa de
forma correcta los datos experimentales, hay una gran discrepancia entre estas.
g) Plata - 1001µm g) Aluminio - 1002µm
i) Vidrio - 190µm
47
Tabla 5. Resultados de difusividad térmica usando CFA
Muestra Espesor (µm)
(±1µm) (m
2s
-1) x 10
-6 (m
2s
-1) x 10
-6 (Reportado)
Acero Inoxidable 387 4,11±0,07 4,02 [67]
Acero Inoxidable 341 4,1±0,1 4,02 [67]
Acero Inoxidable 301 4,1±0,2 4,02 [67]
Acero Inoxidable 255 4,0±0,1 4,02 [67]
Acero Inoxidable 200 4,2±0,1 4,02 [67]
Cobre 1001 116±2 116,60 [20]
Plata 1001 174±6 173,86 [20]
Aluminio 1002 93,7±0,8 93,28 [20]
Vidrio 190 0,53±0,01 0,87 [20]
Los valores de difusividad térmica presentados en la anterior tabla representan una buena
aproximación de los reportados en la literatura para estos materiales.
Por otro lado, nótese que el parámetro depende solo de las propiedades de la muestra
de referencia y toma un valor teórico de =5,44x10-6 s3/2 para una muestra de aluminio
de 12µm de espesor, aquí usada. Sin embargo, los resultados presentados en la tabla 3
para este parámetro muestran que no es el mismo para diferentes ajustes y que este
depende de la frecuencia de corte obtenida para el ajuste correspondiente, como se
muestra en la figura 21.
Figura 21. m en función de la frecuencia de corte en a) un plano logarítmico y b) en un
plano lineal
48
La curva azul en la figura 21a es el mejor ajuste de los datos experimentales a una línea
recta, mostrando que la dependencia funcional entre y es un monomio con un
exponente cerrado a -1,5. Por lo tanto, la siguiente ecuación es propuesta para evaluar el
comportamiento de .
(70)
donde =-1,5 y es un parámetro de ajuste para el cual el valor obtenido fue de
0,0065±0,0002. De la ecuación 70 si , . Para tal caso límite, la muestra es
siempre térmicamente fina. Este resultado indica que solo el valor teórico de puede ser
obtenido en el caso ideal donde ambas muestras, la referencia y la investigada, son
térmicamente finas. El comportamiento de también influencia el valor de y ℎ
obtenidos del ajuste multiparametrico, limitando la precisión en el cálculo del coeficiente
de expansión térmica lineal. Como ya se había mencionado es posible obtener este
coeficiente usando la ecuación 69, reemplazando en ella los valores calculados de
difusividad térmica y los radios R = (2,81±0,02) mm y Rc = (2,07±0,01) mm, obtenidos de la
geometría de la celda. Los resultados se muestran la tabla 6.
Tabla 6. Resultados de coeficiente de expansión térmica lineal usando CFA
Muestra Espesor (µm)
(±1µm) (°K
-1) x 10
-5 (°K
-1) x 10
-5 (Reportado)
Acero Inoxidable 387 0,88±0,02 1,72 [67]
Acero Inoxidable 341 0,82±0,03 1,72 [67]
Acero Inoxidable 301 0,64±0,04 1,72 [67]
Acero Inoxidable 255 0,5±0,02 1,72 [67]
Acero Inoxidable 200 0,43±0,01 1,72 [67]
Cobre 1001 1,3±0,03 1,66 [68]
Plata 1001 1,4±0,04 1,87 [68]
Aluminio 1002 1,5±0,02 2,31 [69]
Vidrio 190 0,39±0,02 0,65 [70]
De la anterior tabla se observa que los valores de no correspondieron con los
reportados. Para la muestra de acero inoxidable los valores de varían respecto a la
correspondiente frecuencia de corte como se muestra en la figura 21.
49
Figura 22. en función de de una muestra de acero inoxidable
Para evaluar este comportamiento se propuso una ecuación exponencial decreciente
como,
(71)
Donde , y son parámetros de ajuste. Los valores obtenidos para cada uno del
mejor ajuste por mínimos cuadrados fue (1,5±0,5)×10-5 °K-1, (0,39±0,06)×10-5 °K-1 y
(8±2)Hz, respectivamente. Note que para valores muy pequeños de el primer término
de la Ecuación 22 es reducido a . En este caso limite, la muestra es siempre
térmicamente muy gruesa. Por lo tanto, la flexión termoelástica es el mecanismo
dominante. Para fc0, tomando un valor de (1,9±0,6)×10-5 °K-1, el cual está
en el rango de valor reportado para el coeficiente de expansión térmica lineal del acero
inoxidable. Para la medición de este parámetro con mayor exactitud un método adecuado
podría ser llevar a cabo una mayor cantidad de mediciones con diferente espesor del
material y seguir la metodología anterior.
Antes de concluir es necesario comentar que aparentemente los valores de efusividad
térmica e=k/α1/2 y capacidad calorífica C=k/α, podrían ser obtenidos de g y del cociente
m/h, respectivamente. Pero esto solo ocurrirá en el caso de que la absorción óptica sea
idéntica durante las mediciones de la muestra y la referencia (implica valores iguales de
η), una tarea complicada ya que ambas muestras son pintadas de negro. La medición
exacta de es complicada de realizar. Esto adicionalmente al comportamiento de m.
Afortunadamente, existen otras metodologías y configuración de muestras con la técnica
FA que permiten calcular e [3] y C [71,4].
50
4. CONCLUSIONES
La conductividad térmica de compuestos medidos con la técnica del alambre caliente no
puede ser modelada usando solo la dependencia de las conductividades térmicas de sus
componentes, como se da en el caso de las teorías de medio efectivo. Para una
interpretación correcta, la relación entre la resistencia eléctrica del alambre y las
resistencias térmicas de los fluidos constituyentes deben ser tomadas en cuenta. Para una
configuración de muestras heterogéneas o no miscibles de dos capas, los resultados
deben ser interpretados por un arreglo serie de resistencias térmicas y no en paralelo
como predice la dirección del flujo de calor. Se presentó una mejora del modelo serie
común considerando una resistencia térmica de interface. Los resultados presentados son
un esfuerzo para tratar de explicar el reportado aumento de conductividad térmica de los
nanofluidos al usar la técnica del alambre caliente. La interpretación precisa de los
resultados experimentales debe considerar al nanofluido como una muestra de tres capas,
(nanopartículas, fluido base e una interface entre ellos) así mismo el alambre compuesto
por tres elementos sensitivos conectados en serie, cuyas resistencias eléctricas son
proporcionales a las resistencias térmicas de la muestra que los rodea. Esta hipótesis fue
apoyada al demostrar que el modelo serie mejorado reproduce los datos experimentales
sobre el aumento de la conductividad térmica en nanofluidos con una concentración de
nanopartículas conocida.
El mecanismo de flexión termoelástica debe ser considerado en la generación de la señal
fotoacústica para precisar los valores de difusividad térmica obtenidos mediante una celda
en configuración de transmisión de calor. La expansión térmica en todo el rango de
frecuencias pudo ser despreciada debido a la alta dependencia de la señal fotoacústica de
la termoelasticidad como predice la teoría. Se ha propuesto una metodología para el
análisis de la información que incorpora la difusión de calor y la flexión termoelástica para
la determinación de la difusividad térmica de un sólido; que además utiliza un
procedimiento de normalización que elimina la respuesta en frecuencia del micrófono
usado como detector de la señal. La utilidad de la metodología propuesta se ha
demostrado con las mediciones de varias muestras de prueba de diferentes tipos y
espesores. Los valores de difusividad térmica obtenidos coincidieron con los reportados
en la literatura. Se propuso una ecuación que permitiría, en un caso ideal, encontrar el
coeficiente de expansión térmica lineal de la muestra a partir de los parámetros de ajuste.
Así mismo la metodología propuesta permitió encontrar una dependencia de la frecuencia
de corte del parámetro de ajuste que relaciona las amplitudes en el régimen
térmicamente delgado. Además considerado esa dependencia de la frecuencia de corte de
los parámetros, se estableció un método con el cual fue posible encontrar un valor
51
cercano al reportado del coeficiente de expansión térmica de lineal para una muestra de
acero inoxidable. Este resultado es un camino para seguir trabajando y tratar de encontrar
las dependencias de cada parámetro de ajuste respecto de la frecuencia de corte y así
lograr obtener un valor confiable de esta propiedad termofísica de la muestra.
52
5. PROYECCIONES
Sobre la técnica del alambre caliente es importante enfatizar en la capa interfacial y su
aparición en las muestras binarias, midiendo diferentes configuraciones líquido-líquido
(no miscibles) y líquido(volátiles)-aire. Las ultimas con el fin de establecer una relación del
parámetro con la presión de vapor provocada por el líquido.
Utilizar la técnica de alambre caliente no solo como una técnica de caracterización térmica
de sustancias, sino también como un método que permita discriminarlas al considerar
alguna variable física que las relacione.
Sobre la técnica fotoacústica, se podría evaluar la influencia de la flexión termoelástica en
la señal obtenida por detección frontal en una celda fotoacústica cerrada. Esta
configuración permite obtener el parámetro de efusividad térmica de la muestra.
Precisar el método propuesto para la determinación del coeficiente de expansión térmica
lineal a través de un conjunto variado de muestras de diferente material.
53
6. PRODUCTOS DE LA TESIS
ARTÍCULOS
An explanation for anomalous thermal conductivity behavior in nanofluids as
measured using the hot-wire technique.
E. Marín, A. Bedoya, S. Alvarado, A. Calderón, R. Ivanov y F. Gordillo-Delgado. J.
Phys. D: Appl. Phys. 47, 085501 (2014), doi:10.1088/0022-3727/47/8/085501.
Photoacoustic calorimetry: a methodology for thermal diffusivity measurement
in solids revisited.
A. Bedoya, E. Marín, A. M. Mansanares, M. A. Zambrano-Arjona, I. Riech, Enviado
para publicación.
PRESENTACIONES EN CONGRESOS
VI International Conference on Surfaces, Materials and Vacuum
Sociedad Mexicana de Ciencia y Tecnología de superficies y Materiales, Septiembre 23-27
de 2013, Merida, Yucatan.
Measurements of purity of coffee by hot wire method.
Fernando Gordillo-Delgado, Adrian Felipe Bedoya-Pérez, Ernesto Marín-Moares.
An Experiment to determine the thermal conductivity of low volume of liquid
samples using the hot wire technique.
Adrian Felipe Bedoya Perez
ESTANCIAS DE INVESTIGACIÓN
Instituto Interdisciplinario de las Ciencias - Laboratorio de Fotoacústica,
Universidad del Quindío, Armenia, Colombia, Diciembre 4 de 2013 a Enero 20 de
2014.
Instituto de Física Gleb Wataghin, Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
Brasil, Junio 6 a Julio 2 de 2014.
54
7. BIBLIOGRAFÍA
[1] J.J. Healy, J.J. de Groot and J. Kestin. Physica 82C (1976)
[2] S. O. Ferreira, C. Ying An, I.N. Bandeira, L.C.M. Miranda. Phys. Rev. B. 39,11 (1989)
[3] L. Veleva, S. A. Tomas, E. Marín, A. Cruz-Orea, I. Delgadillo, J. J. Alvarado-Gil, P. Quintana, R. Pomés, F. Sanchez, H. Vargas y L. C. M. Miranda, Corrosion Science 99, 9, 1641-1655 (1997)
[4] G. Vera-Medina, E. Marín, G. Juárez-Gracia, A. Calderón, J. A. I. Díaz Góngora, G.
Peña-Rodríguez and O. Delgado-Vasallo. Measurement 46, 1208-1211 (2013)
[5] G. Gonzalez de la Cruz, Yu. G. Gurevich, G. N. Logvinov, N. Muñoz Aguirre. Superficies y vacio 10, 40-47, (2000)
[6] Xiang-Qi Wang, Arun S. Mujumdar. Int. Journal of Thermal Sciences 46, 1-9 (2007) [7] Assael M. J., Antoniadis K. D. and Wakeham W. H., Int. J. Thermophys. 31 1051–72
(2010) [8] Choi U. S., Nanofluid technology: current status and future research Korea–US
Technical Conf. on StrategicTechnologies (Vienna, VA, 1998)
[9] Eastman J. A., Choi U. S., Li. S., Soyez G., Thompson L. J. and Di. Melfi R. J., Mater. Sci. Forum. 312–314, 629–34 (1999)
[10] Wang X. Q., and Mujumdar A. S., Int. J. Therm. Sci. 46 1–19 (2007) [11] Cahill D. G. et al J. Appl. Phys. 93 793–818 (2003) [12] Vadasz J. J., Govender S. and Vadasz P., Int. J. Heat Mass Transfer 48 2673–83
(2005) [13] Marín E., Internet Electron. J. Nanoc. Moletrón. 5 1007–14 (2007) [14] Marín E., Calderón A. and Díaz D., Anal. Sci. 25 705–10 (2009) [15] Ivanov R., Marín E., Moreno I. and Araujo C., J. Phys. D: Appl. Phys. 43 225501
(2010) [16] Buongiorno J., J. Appl. Phys. 106 094312 (2009) [17] Nan C-W., Birringer R., Clarke D. R. and Gleiter H., J. Appl. Phys. 81 6692 (1997) [18] Keblinski P., Prasher R. and Eapen J., J. Nanopart. Res.10 1089 (2008) [19] Murshed S. M. S., J. Nanopart. Res. 11 511–12 (2009) [20] D. P. Almond, P. M. Patel, “Photothermal Science and Techniques” in Physics and its
Applications, First Edition, (1996)
[21] Ä. Mandelis, Life and Herat Sciences. SPIE Optical engineering press, Washington, (1997)
[22] Gordillo, F. Mendoza, J.G. A., Rev. Col. Fis, 33 164 (2001) [23] H. Vargas and L. C. M. Miranda, Phys. Rep. 161, 43 (1988) [24] L. Konrad, P. Krzystof, Optica applicata. 34-1 (2004) [25] J.J. A. Flores-Cuautle, A. Cruz-Orea, E. Suaste-Gomez. Ferroelectric Letters, 35:136-
143 (2008) [26] G. Peña-Rodríguez, A. Calderón, R.A. Muñoz-Hernández. Rev. Col. De Física, 38-2
(2006) [27] J. Thoen, C. Glorieux, Thermo Act. 304/305 (1997)
55
[28] L.F. Perondi, L.C.M. Miranda, J. Appl. Phys. 62 2955 (1987)
[29] N.E. Souza Filho, A. C. Nogueira, J.H. Rohling, M. L. Baesso, A. N. Medina, A. P.L.
Siqueira, J. A. Sampaio, H. Vargas, A. C. Bento. J. Appl. Phys. 106, 093105 (2009)
[30] Y. A. Cengel,“TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA” un enfoque práctico, Tercera
edición, (2007)
[31] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Circuitos Eléctricos”, Sexta edición (2000) [32] E. Marín, A. Bedoya, S. Alvarado, A. Calderón, R. Ivanov, F. Gordillo-Delgado, J.
Phys. D: Appl. Phys. 47(2014) [33] F. Gordillo, J.G. A. Mendoza, Rev. Col. Fis, 33 (2001)
[34] E-Marin, “Escuchando la luz: breve historia y aplicaciones del efecto fotoacústico”
Lat. Am. J. Phys. Educ. 2 2 (2008)
[35] A. G. Bell, Telephone United States Patent No 174 (1876)
[36] A. Hernandez-Guevara, A. Cruz-Orea, F. Sanchez-Sinecio, Superficies y vacío. 10
(2000)
[37] A. G. Nibu, C. P. G. Vallabhan, V. P. N. Nampoori, Opt. Eng. 40 7 (2001)
[38] G. C. Astrath, B. G. Astrath, J. Shen, C. Lei, J. Zhou, S. Liu, T. Navessin, M. Baesso, A.
Bento, J. Phys. Appl. 107 (2010)
[39] A. Rosencwaig, A. Gersho, J. Appl. Phys, 47 1 (1976)
[40] A. E. Florido, “Determinación de la efusividad térmica en sólidos mediante la
técnica fotoacústica”, tesis de maestría (2004)
[41] P. Helander, J. Photoacoustic, 1 103 (1982)
[42] R.E. Taylor, “Thermal expansion of solids”, First Edition (1998)
[43] SF. A. McDonald and G. C. Wetsel, Jr., J. Appl. Phys. 49 2313 (1978)
[44] A. somer, F. Camilotti, G. F. Costa, C. Bonardi, A. Novatski, A.V.C Andrade, V. A.
Kozlowoski, G. K. Cruz. J. Appl. Phys. 114 063603 (2013)
[45] G. Rousset, F. Lepoutre, L. Bertrand, J. Appl. Phys. 54 2383 (1983) [46] S. Alvarado, “Técnica del hilo caliente para la caracterización térmica de sólidos”,
Tesis de maestría (2011) [47] S. Alvarado, E. Marín, A. G. Juárez, A. Calderón, R. Ivanov, Rev. Mex. Física. 57 3
(2011) [48] A. Salazar, Eur. J. Phys. 24 351 (2003) [49] Timofeeva E. V., Smith D. S., Yu W., France D. M., Singh D. and Routbort J. L.
Nanotechnology 21 215703 (2010) [50] Jang S. P., Choi S. U. S., Appl. Phys. Lett. 84 4316 (2004) [51] J. W. Gao, R. T. Zheng, H. Ohtani, D.S. Zhu, G. Chen, Nano Lett. 9 4128–32 (2009) [52] R. Prasher, P.E. Phelan, P. Bhattacharya, Nano Lett. 6 1529–34 (2006) [53] S. Alvarado, E. Marin, A.G. Juarez, A. Calderon and R. Ivanov, Eur. J. Phys. 33 (2012) [54] R.P. Tye, Thermal Conductivity vol 1 (London: Academic) (1969) [55] T.P. Teng , Y.H. Hung, T.C. Teng, H. E. Mo, H.G. Hsu, Appl. Therm. Eng. 30 2213–8
(2010)
56
[56] Lee S., Choi S. U. S., Li S. and Eastman J. A., J. Heat Transfer 121 280–89 (1999) [57] Kim S. H., Choi S. R. and Kim D., J. Heat Transfer 129 298–307 (2007) [58] Xie H., Wang J., Xi T., Lui Y. and Ai F., J. Appl. Phys. 91 4568 (2002) [59] Liu M-S., Lin M. C-C., Huang I-T. and Wang C-C. Chem.Eng. Technol. 29 72–7 (2006) [60] Eastman J. A., Choi S. U. S., Li S., Yu W. and Thompson L. J., Appl. Phys. Lett. 78
718–20 (2001) [61] Zhou X. F. and Gao L., J. Appl. Phys. 100 024913 (2006) [62] Angayarkanni S. A. and Philip J., J. Phys. Chem. C 117 9009 (2013) [63] Eapen J., Li J. and Yip S., Phys. Rev. E 76 062501(2007) [64] Prabhat N., Buongiorno J. and Hu L. W., J. Nanofluids 1 55 (2012) [65] Shima P. D., Philip J. and Raj B., J. Phys. Chem. C 114 18825 (2010) [66] S. O. Ferreira, C. Ying An, I.N. Bandeira, L.C.M. Miranda. Phys. Rev. B. 39 11 (1989) [67] The European Stainless Steel Development Association. Stainless Steel: Tables of
technical Properties. Materials and applications Series, 5. http://www.euro-inox.org/pdf/map/Tables_TechnicalProperties_EN.pdf (Descargado el 3 de Marzo, 2014)
[68] G. K. White. J. Phys. D: Appl. Phys. 6 (1973) [69] M. Okaji, H. Imai, J. Phys. E: Sci. Instrum. 17 (1984) [70] R. R. Tummala, A. L. Friedberg, J. Appl. Phys. 41 5104 (1970) [71] G. Gutiérrez-Juárez, M. Vargas-Luna, J. J. Camacho-Espinosa, M. Sosa, J. L.
González-Solís, J. Bernal-Alvarado and J. J. Alvarado-Gil, Rev. of Sci. Instrum. 74 845-847 (2003)