instituciÓn educativa tÉcnica sagrado … · líneas y puntos notables de un triángulo métodos...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490

SOLEDAD – ATLÁNTICO.

Página 1 de 26

Versión 1.0

PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 15/07/2017

GUÍA N°1

ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA:

Geometría

GRADO: 8

Docente: María Teresa Ospino Fernández PERIODO: I IH (en horas):

20

EJE TEMÁTICO FIGURAS PLANAS(Ángulos y Triángulos )

DESEMPEÑO

Usa representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas

NÚCLEOS TEMÁTICO:

Conceptos y definiciones básicos Ángulos (clasificación )

Ángulos determinados por dos rectas paraleles y una transversal Triángulos (clasificación, características y propiedades)

Teorema de Pitágoras Líneas y puntos notables de un triángulo

Métodos de demostración Congruencias de triángulos

COMPETENCIAS CIUDADANAS PARA EVALUAR EN EL AULA Se comunica a través del diálogo constructivo con los otros

Considera las consecuencias de sus propios actos Cuidar de sí mismo y de los demás respetando las diferencias en sus compañeros

INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S) Reconoce las diferentes clasificaciones de ángulos y triángulos

Identifica los ángulos entre paralelas

Establece criterios de congruencia de triángulos

Construye correctamente las líneas notables de un triángulo

Aplica correctamente las normas para trabajar razonamiento deductivo

SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S):

Lee el teorema y observa la figura, luego establece cuál de los criterios de

congruencia permiten demostrar el

teorema. Justifica tu respuesta



Página 2 de 26

Versión 1.0


FASE AFECTIVA O MOTIVACIONAL

“ LA RIQUEZA DE LOS SABIOS”

Aquella fue la gota que colmó el vaso: su propia madre le reprochaba que siendo tan sabio no fuera igualmente tan rico. La chaza no era nueva pero a Tales de Mileto le

dolió como nunca. Se encerró en casa a fraguar su plan. Sus estudios de los astros les permitieron predecir un perfecto año para el cultivo; así

que reuniendo todo el dinero del que disponía y aun el que, en secreto, pudo pedir prestado, se hizo con el control de todas las prensas de aceite de Mileto y su vecina

Quíos. Su predicción sobre el clima fue acertada, y sus vecinos se frotaban las manos

pensando en los beneficios de la cosecha de la aceituna. Pero cuando fueron a moler la aceituna sus sonrisas se tornaron en mueca, pues hubo que pagar lo estipulado por

Tales. Cumplida su pequeña venganza, y además convertido en rico, vendió las presas y las

tierras y se dedicó a sus estudios de filosofía y matemáticas, no sin antes decirle a sus

vecinos: “tomad para vosotros los consejos que dais a otros”. Consulta:

Quién fue Tales de Mileto Que aportes dio a las matemáticas (geometría)

Que enseñanza o reflexión te deja la lectura

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICO

Sigue las siguientes indicaciones y resuelve, no olvides que debes realizar la actividad sin consultar:

a) Dibuja una línea recta b) Dibuja un punto

c) Dibuja un segmento d) Dibuja un par de rectas paralelas

e) Dibuja un par de rectas perpendiculares

f) Dibuja un par de rectas secantes g) Dibuja un ángulo

Glosario Ángulos: espacio comprendido entre dos semirrectas que coinciden en su vértice de

inicio Baricentro: punto en que concurren las medianas de un triángulo

Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos congruentes Círculo: región delimitada por una circunferencia



Página 3 de 26

Versión 1.0


Circunferencia: curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto

fijo llamado centro

Ecuación : igualdad entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de la variable

Mediatriz: recta que divide a un segmento en dos congruentes Radio: segmento que una el centro de un círculo con un punto cualquiera de la

circunferencia que lo contiene Recta: prolongación de puntos colineales que se extienden infinitamente en ambos

sentidos Teorema: proposición que puede ser demostrada

FASE DE ELABORACIÓN

Conceptos Y Definiciones Básicos

Geometría: es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos,

rectas, planos, poli topos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros...)

Axiomas o postulados: son generalizaciones básicas que asumimos como verdaderas y no requieren demostración

Teoremas: son proposiciones o generalizaciones que se pueden demostrar

Punto Geométrico: es la figura geométrica más simple. Es algo imaginario por lo tanto no se puede medir, entenderemos por punto la huella u el hueco que deja un

lápiz de punta fina o un alfiler respectivamente en una hoja de papel (se representan

con letras mayúsculas y (A.)se lee el punto A)

Puntos colineales: tres o más puntos son colineales si y sólo si, pertenecen a la

misma recta

Segmento: es un trozo de recta acotado

por dos puntos. Para representar un segmento se utilizan dos puntos el de

inicio y el del final, en la parte superior se le asigna un sobre rayado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , se lee “el

segmento AB”

Punto medio de un segmento: es el punto que divide a un segmento en dos

segmentos con medidas iguales



Página 4 de 26

Versión 1.0


Semirrecta: es un trozo de recta que se extiende en uno de sus sentidos

Línea Recta: dados dos puntos distintos

existe sólo una recta que pasa por ellos. Es la prolongación de punto colineales

que se extienden en ambos sentidos. Podemos nombrar las rectas de dos

maneras: Por medio de letras minúsculas con una

doble flecha encima, así: r, /, m. o 1.Marcando dos puntos, nombrándolos y

colocando la doble flecha encima; así:𝑃𝑄 ⃡

Rectas paralelas Rectas secantes Rectas perpendiculares

Dos rectas son

paralelas en el mismo plano cuando no tienen

puntos en común

Dos rectas son secantes

cuando se cruzan en un punto

Dos rectas son perpendiculares

cuando son secantes y forman ángulos rectos

Plano: tres puntos distintos no colineales

determinan un plano; La vida ordinaria

nos presenta numerosos ejemplos de superficies planas: el tablero de una

mesa, el suelo de una habitación, una hoja de papel, etc.

Puntos y rectas coplanarios:

cuatro o más puntos son coplanarias cuando tiene un plano que los

contienen Dos o más rectas son coplanarias si

están contenidos en el mismo plano

http://www.google.com.co/imgres?q=rectas+paralelas,+secantes+y+perpendiculares&hl=es&sa=X&biw=1016&bih=367&tbm=isch&prmd=imvnsfd&tbnid=qIsOm00VX7S1sM:&imgrefurl=http://eca-psu-algebra-geometria.blogspot.com/&docid=vy29GLUuvfIL6M&imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_tMBqqiYK7ak/SleZInQbSTI/AAAAAAAAQIA/i1GAsgrM8Fs/s400/Un+punto+fuera+de+una+recta.bmp&w=400&h=248&ei=ghBLT8m3FdLlggedkriTDg&zoom=1

http://www.google.com.co/imgres?q=rectas+paralelas,+secantes+y+perpendiculares&hl=es&sa=X&biw=1016&bih=367&tbm=isch&prmd=imvnsfd&tbnid=qa-whj3Ombi8XM:&imgrefurl=http://roberprof.wordpress.com/2009/08/20/rectas-secantes-oblicuas-y-perpendiculares/&docid=7YlWrpqJgs2iYM&imgurl=http://roberprof.files.wordpress.com/2009/08/geometria-090-rectas-oblicuas.png&w=1401&h=816&ei=ghBLT8m3FdLlggedkriTDg&zoom=1

http://www.google.com.co/imgres?q=rectas+paralelas,+secantes+y+perpendiculares&hl=es&sa=X&biw=1016&bih=367&tbm=isch&prmd=imvnsfd&tbnid=ARaX5xljv_gxaM:&imgrefurl=http://matematica-educativa.blogspot.com/2007/05/rectas-y-ngulos.html&docid=5LQT4brw7quiDM&imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_CRz_0LEcYJA/SSb9xJ--UGI/AAAAAAAAATU/K0vsqeHj0QQ/s400/Dibujo.bmp&w=302&h=305&ei=ghBLT8m3FdLlggedkriTDg&zoom=1



Página 5 de 26

Versión 1.0


Ángulos

Ángulo: es la porción del plano limitada por dos semirrectas que parten del mismo

punto. Un ángulo se puede nombrar de las

siguientes formas:

1. Se nombra el vértice con una letra mayúscula luego se escribe dicha letra

precedida por el símbolo ∡ que se lee

“ángulo” ejemplo: ∡𝑂 “se lee el ángulo o”

2. Se nombra tres puntos uno de cada

semirrecta y el del vértice en el medio ∡𝐴𝑂𝐵

3. se escribe una letra griega 𝛼, 𝛽, 𝜃 o un

número: 1, 2, 3, 4, en la abertura de ángulo

Medición De Ángulos La medida de un ángulo está determinada por la mayor o menor abertura existente

entre sus lados. Para medir ángulos empleamos un transportador. Un transportador está dividido en 180 partes iguales. Cada una de ellas se llama

grado.

Esta es la forma como se miden ángulos.

Se coloca el transportador de modo que coincida el centro con el vértice y el lado

inicial coincida con el 0°, luego se observa la medida en el queda el lado final

Ejemplo:

Este ángulo tiene una medida de 65°



Página 6 de 26

Versión 1.0


Clasificación de ángulos

Los ángulos se pueden clasificar según su medida, según la suma de sus medidas y de acuerdo con su posición

Según su medida se clasifican en:

Nulo Recto Llano Agudo Obtuso cóncavo completo

∡ = 0 ∡ = 90 ∡ = 180 ∡ < 90 90° < ∡ < 180° 180° < ∡ < 360° ∡ = 360

De acuerdo con su posición los ángulos se clasifican en:

Consecutivos Son ángulos que

tienen en común el vértice y un lado

Adyacentes Son ángulos

consecutivos que están en una misma recta

Opuestas por el vértice Dos ángulos son opuestos por el

vértice cuando tienen un vértice en común y los lados de uno de

ellos es la prolongación del otro opuestas. Los ángulos opuestos

por el vértice tienen igual medida, ya que tienen igual

amplitud

Según la suma de sus medidas se clasifican en:

Complementario Suplementarios

La suma de sus medidas es de 90º ∡β + ∡α=90

La suma de sus medidas es de 180º ∡β + ∡α=180



Página 7 de 26

Versión 1.0


ACTIVIDAD #1

1. observa la figura. Luego, nombra los

ángulos que se te indican

a. Dos ángulos obtusos

b. Dos ángulos rectos c. Dos ángulos cóncavos

d. Un par de ángulos adyacentes e. Un par de ángulos opuestos por el vértice

f. Un par de ángulos consecutivos y

suplementarios

2. Clasifica los ánulos que se indican

a partir de la figura

3. Mide con un transportador, los siguientes ángulos. Luego clasifícalos según su

medida

4. Determina el valor de verdad de los siguientes enunciados

a. Todos los ángulos consecutivos

son adyacentes ____________ b. Dos ángulos agudos pueden ser

suplementarios__________ c. Todos los ángulos adyacentes son

suplementarios____________ d. Todos los ángulos opuestos por el

vértice son complementarios ________________



Página 8 de 26

Versión 1.0


5. Construye con el transportador, un ángulo con cada una de las siguientes medidas

6. Halla la medida de los cuatro ángulos que se forman en la

siguiente figura. Justifica tu

respuesta.

Ángulos Determinados Por Dos Rectas Paraleles Y Una Transversal

Cuando una transversal interseca a dos rectas paralelas se forman ocho ángulos, cada

uno con una medida menor de 180°. Estos ángulos se clasifican según su posición



Página 9 de 26

Versión 1.0


Ejemplo



Página 10 de 26

Versión 1.0


ACTIVIDAD #2

Indica en cada figura, una pareja de ángulos para cada condición

Determina las medidas de los ángulos x, y, y z, sabiendo que s y m son paralelas.

Justifica tu respuesta

Encuentra la medida de los ángulos que se indican, a partir de la figura y de

acuerdo con la información dada m y n son paralelas

Calcula el complemento del ángulo x que se indica en la figura, si s y m son

paralelas



Página 11 de 26

Versión 1.0


Triángulos (clasificación, características y propiedades)

Un triángulo es la región del plano delimitada por tres rectas

que se cortan dos a dos; en él se identifican los siguientes

elementos: a. Vértice: son los puntos de intersección de cada par de

rectas que forman el triángulo b. Lado: son los segmentos determinado por los vértices

c. Ángulos interiores: son los que se forman por dos lados consecutivos

d. Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores

Los triángulos se nombran con el símbolo ∆ seguido por las

letras que indican sus vértices. Por ejemplo el triángulo de la figura sería ∆𝐌𝐍𝐎

Propiedades de los triángulos

Todo triángulo cumple con las siguientes propiedades 1. La suma de los ángulos interiores es 180°

2. Al lado de mayor longitud se opone el ángulo con mayor amplitud, y al lado e menor longitud se opone el ángulo con menor amplitud

3. La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las medidas de

los otros dos 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los

ángulos interiores no adyacentes a él.

Ejemplo 1 Hallar la medida del ángulo interno que

falta en el siguiente triángulo

Aplicando la propiedad 1. Tenemos:

Entonces la medida del ángulo interior que falta es de 90°

Ejemplo 2: Hallar la medida de los ángulos

exteriores del siguiente triángulo

Aplicando la propiedad 4. Tenemos:

Así mismo



Página 12 de 26

Versión 1.0


Ejemplo 3:

Comprobar que se cumple la propiedad 3

para un triángulo cuyas medidas de los lados son 5cm; 4,2 cm; y 3 cm.

Se verifica así:

ACTIVIDAD #3

Nombra los triángulos que aparecen en la

figura

ubica las medidas de los lados y de los

ángulos en un triángulo

Determina si los triángulos tienen medidas

correctas. Justifica tu respuesta

Halla la medida de los ángulos 1, 2, y 3

En cada caso



Página 13 de 26

Versión 1.0


Una de las propiedades de los triángulos es la desigualdad triangular en la cual se

afirma que: “La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las

medidas de los otros dos”. Teniendo en cuenta dicha propiedad. Cuál de las siguientes medidas corresponden a las medidas de un triángulo y cuáles no.

Lee y resuelve:

1. En un ∆ 𝑃𝑄𝑅 el ángulo ∡𝑄 mide 15° más que el ángulo ∡𝑅 y el ángulo ∡𝑃 mide

la mitad que el ángulo ∡𝑄. ¿cuál es la medida de los tres ángulos?

2. Determina las medidas en grados de los tres ángulos de un triángulo teniendo en cuenta que se pueden expresar mediante las expresiones 2x+15, x+20

y 3x+25 3. Calcula la medida de los ángulos interiores de un triángulo conociendo dos de

los ángulos exteriores a dos lados del triángulo: 100° y 135° 4. Calcula la medida de los ángulos exteriores de un triángulo si dos ángulos

interiores de este triángulo miden : 45° y 67°

Clasificación de los triángulos

Según la medida de sus lados se clasifican como:

Equilátero: todos sus lados tienen la misma

medida

Isósceles: sólo dos de sus lados tienen la misma

medida

Escaleno: todos sus lados tienen medidas diferentes

Según la medida de sus ángulos se clasifican como:

Acutángulos: todos sus

ángulos son agudos

Obtusángulos: tienen un

ángulo obtuso

Rectángulo: tienen un

ángulo recto



Página 14 de 26

Versión 1.0


Triángulo Rectángulo

Es aquel triángulo que entre sus ángulos interiores tiene uno con medida de 90°, los lados que conforman el ángulo recto se les llama catetos y al lado opuesta al ángulo

recto se le llama hipotenusa. En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras

Teorema De Pitágoras Si ay b son los catetos de un triángulo rectángulo y c es su hipotenusa entonces de

cumple que:

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 En la figura a y b son catetos y c es la hipotenusa.

Este teorema se utiliza para dar solución a diversas situaciones

Ejemplos:

Encontrar el valor de cateto b en el

siguiente triángulo rectángulo; luego determine las medidas ∡𝑪 𝒚 ∡𝑩

Se aplica el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

Para determinar la medida ∡𝑪 𝒚 ∡𝑩, se

realiza el siguiente procedimiento

Una escalera de 3m de longitud se coloca

contra la pared para alcanzar una ventana. Si el pie de la escalera está a 1m de la base

de la pared ¿a qué altura aproximadamente se encuentra la ventana?

Aplicando el teorema

de Pitágoras tenemos



Página 15 de 26

Versión 1.0


ACTIVIDAD #4

Determina la medida del lado indicado en

cada uno de los siguientes triángulos

Establece cuáles de las siguientes ternas

de números representan medidas de los lados de un triángulo rectángulo

Determina la medida de la diagonal en

cada una de las figuras

Determina la altura (h) de cada una de

las siguientes figuras

Lee cada enunciado. Y luego, responde.

Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es de 34cm,

y la medida de uno de sus catetos es el doble de la medida del otro

aumentado en 2, ¿cuál es la medida de cada cateto?

Si en un triángulo rectángulo la diferencia entre las medidas de sus

catetos es de 4cm y la medida de la hipotenusa es 20cm, ¿cuál es la

medida de cada cateto? Si en un triángulo rectángulo la

medida de uno de sus catetos es

menor 0,2 cm que la medida de la hipotenusa, y el otro cateto mide 1,4

cm, ¿cuál es la medida de la hipotenusa y cuál es la medida del

cateto que falta?

Soluciona:

Determina la medida de la diagonal de la pantalla de un televisor si su altura

mide 14,2cm y su ancho mide 15,4cm (ilustra la situación)

Halla la medida de los lados indicados en cada figura



Página 16 de 26

Versión 1.0


Líneas Y Puntos Notables De Un Triángulo

En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables; Las Alturas,

Medianas, Mediatrices Y Bisectrices. Trazando estas líneas aparecen cuatro puntos notables; Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro

Altura y ortocentro

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde el vértice hasta la recta que contiene al lado opuesto a este. En un triángulo se pueden construir tres

alturas. Para esto se utiliza la escuadra.

La altura desde A

La altura desde B

La altura desde c

Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersecan en un mismo

punto llamado ortocentro

Mediana y baricentro La mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son vértices y punto

medio del lado opuesto.

Las medianas de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado baricentro en la figura anterior el punto M sería el baricentro

Ejemplo: Trazar las medianas y las alturas en el siguiente triángulo isósceles. Luego ubica el

ortocentro y el baricentro



Página 17 de 26

Versión 1.0


ACTIVIDAD #5

Completa cada uno de los siguientes

enunciados a. Los puntos extremos de una mediana

son un __________ y el _________ del lado opuesto

b. La altura de un triángulo tiene como puntos extremos un vértice y un

________ que pertenece a ________ que contiene el lado opuesto

c. El punto de intersección de las medianas de un triángulo se conoce

cómo ____________

Determina el valor de verdad de los

siguientes enunciados y justifica tu respuesta

a. El ortocentro y el baricentro de un triángulo equilátero son los mismos

puntos b. Las alturas de un triángulo

obtusángulo siempre se intersecan en un punto interior al triángulo

c. Las medianas intersecan los lados del triángulo formando ángulos

rectos

Construye los siguientes triángulos, luego

traza las líneas y los puntos notables que se indican.

a. Rectángulo isósceles, lados iguales de 4cm. (altura y ortocentro)

b. Obtusángulo isósceles, ángulo obtuso de 120°, lados iguales de 5cm (altura y

ortocentro)

c. Rectángulo, lado adyacente al ángulo recto de medidas 2cm y 4cm. (mediana

y baricentro) d. Isósceles lados iguales 3cm, ángulo

entre los lados iguales 75°. mediana y baricentro ()

En el triángulo BAC, se traza una altura

y la mediana desde el ángulo recto A. si ∆𝐴𝑀𝐶 es isósceles, calcula las medidas

de los ángulos 1, 2, 3, 4,Y 5

Incentro, Circuncentro

Bisectriz e Incentro

La Bisectriz de un ángulo es una semirrecta que los divide en dos ángulos congruentes.

Para construir una bisectriz de un triángulo con regla y compás, se procede así: Con el centro del vértice A se traza un arco, y se ubican D y

E

Con la misma abertura del paso anterior, se hace el

centro en E y e traza un

arco.

Con el centro en D se traza un arco y se ubica el punto

F. luego, se traza la semirrecta AF



Página 18 de 26

Versión 1.0


Las bisectrices de un triángulo se intersecan en un punto llamado Incentro El incentro equidista de los lados del triángulo

Mediatriz Y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es un recta perpendicular que pasa por su punto

medio, en un triángulo se puede trazar tres mediatriz; una por cada lado.

Para construirlas con regla y compás se realizan los siguientes pasos Con centro en C, se traza un arco, a la derecha y a la

izquierda del segmento BC

De la misma manera y conservando la aberturas del

paso anterior, se traza un arco con centro en B.

Se traza la recta que une los punto intersección de los dos

arcos

Las mediatrices de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado circuncentro.

El circuncentro equidista de los vértices

Ejemplos

Trazar una circunferencia inscrita en el

siguiente triángulo

Primero se trazan las bisectrices y luego, se ubica el incentro y se traza la

circunferencia

Trazar una circunferencia circunscrita en

el siguiente triángulo

Primero, se trazan las mediatrices del triángulo y luego, se ubica el

circuncentro y se traza la circunferencia



Página 19 de 26

Versión 1.0


ACTIVIDAD #6

1. Responde. Luego, explica con un ejemplo

a. ¿Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se obtienen las bisectrices de un triángulo?

b. ¿Cómo se obtiene la mediatriz de un segmento? c. ¿Cuál es la importancia de determinar el incentro y el circuncentro de un

triángulo? 2. Determina si la afirmación es falsa o verdadera. Justifica tu respuesta

a. En todo triángulo equilátero los puntos ortocentro, baricentro, incentro y cricuncentro coinciden. ( )

b. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares entre si 3. Traza las bisectrices de cada triángulo y ubica incentro

4. Reinaldo perforara un pozo en su propiedad. El pozo debe estar situado en un punto que equidiste la casa y los establos



Página 20 de 26

Versión 1.0


5. Una circunferencia está circunscrita en un triángulo cuan los vértices del triángulo

están sobre la circunferencia. Calca uno de los triángulos del punto 3. Luego traza

una circunferencia de tal manera que cada triangulo quede circunscrito en esta 6. Traza una circunferencia inscrita en uno de los triángulos del punto 3

Métodos De Demostración

El razonamiento deductivo es un proceso en el cual se utiliza un principio o hecho

general previamente aceptado, para obtener conclusiones en situaciones particulares. Este razonamiento es utilizado en matemáticas y, en particular en geometría donde se

parte de hechos que se consideran verdaderos para llegar a deducir otros nuevos. Para esto se utiliza una secuencia lógica basada en definiciones, postulados o axiomas,

teoremas y conjeturas

Definiciones: son descripciones claras y precisas de las características de los

objetos geométricos y las relaciones entre ellos. Ejemplo: un ángulo agudo es aquel que mide menos de 90°

Postulados o axiomas: son proposiciones fundamentales, los cuales se

consideran verdaderos. Ejemplo: “dados dos puntos cualquiera hay exactamente una recta que los contiene”

Teoremas: son proposiciones lógicas que se pueden demostrar. Consta de una hipótesis (lo que se supone cierto) y una tesis (lo que se quiere demostrar).

Conjeturas: es una proposición que no ha sido demostrada ni refutada, pero que se supone que es cierta. Cuando una conjetura se demuestra se convierte

en un teorema

La Demostración Es un conjunto de razonamientos lógicos, donde se articulan definiciones, postulados,

y teoremas que permiten llegar a una conclusión llamada tesis Cada afirmación utilizada en una demostración debe ser justificada.



Página 21 de 26

Versión 1.0


Generalidades falsas y contra ejemplos

Para demostrar que una generalización es falsa basta con presentar un contraejemplo

es decir mostrar un caso particular en el que no se cumplió dicha generalización. Demostrar la falsedad de una conjetura se conoce como refutar

Ejemplo

Refute la siguiente

proposición: “todo cuadrilátero tiene al

menos un par de lados paralelos”

Método Directo De Demostración

Para demostrar un teorema por el método directo se deben realizar los siguientes

pasos:

Se determinan claramente la hipótesis y la tesis del problema que se va a demostrar

Se utilizan las definiciones, postulados y teoremas anteriormente demostrados a

partir de las condiciones dadas, de tal forma que conduzcan al cumplimento de la tesis. Por lo general este proceso se representa en dos columnas; en la primera se

escriben las proposiciones verdaderas que permiten comprobar la validez de la tesis y en la segunda, se escriben las justificaciones correspondientes

Finalmente se afirma el resultado como una conclusión

Algunas Propiedades Y Postulados De Congruencias

Reflexiva Simetría Transitiva

Congruencia de

ángulos

∡𝐴 ≅ ∡𝐴 𝑆𝑖 ∡𝐴 ≅ ∡𝐵; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∡𝐵 ≅ ∡𝐴

𝑆𝑖 ∡𝐴 ≅ ∡𝐵, 𝑦 ∡𝐵 ≅ ∡𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∡𝐴 ≅ ∡𝐶

Congruencia de segmentos

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑆𝑖, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝑆𝑖, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅

Dadas dos figuras se dicen congruentes si tienen exactamente la misma forma y

tamaño. Cuando se superponen dos polígonos se puede observar que sus lados y ángulos coinciden. Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario

comprobar uno a uno que sus lados y sus ángulos tienen la misma medida; para esto

se aplican los siguientes postulados o criterios de congruencia.



Página 22 de 26

Versión 1.0


Congruencia De Triángulos

Criterio Detalle

1.Lado, lado, lado (LLL)

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente

congruentes con los lados del otro triángulo, entonces los

triángulos son congruentes

2. lado, ángulo, lado (LAL)

Si los dos lados de un triángulo y el ángulo formado por estos,

son congruentes con dos lados del otro triángulo y el ángulo

formado por estos; entonces los dos triángulos son congruentes

4. Ángulo, lado,

ángulo (ALA)

Si los dos ángulos de un

triángulo y el lado comprendido entre ellos, son congruentes con

los correspondientes ángulos del otro triángulo y el lado

comprendido entre ellos, entonces los dos triángulos son

congruentes

Ejemplo1:

Demuestre que: 𝑆𝑖 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑦 𝑠𝑖 𝐷 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐷

Afirmaciones Justificaciones

1. 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ Hipótesis

2. 𝑫 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ Hipótesis

3. 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ ≅ 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ Definición de punto medio

4.𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ Propiedad reflexiva de la congruencia de

segmento

5. ∆𝑨𝑩𝑫 ≅ ∆𝑨𝑪𝑫 Postulado de congruencia de triángulos



Página 23 de 26

Versión 1.0


Ejemplo 2:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ||𝑇𝑆̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ≅ 𝑇𝑆̅̅̅̅ 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑒𝑙 ∆𝑃𝑄𝑅 ≅ ∆𝑇𝑆𝑅

Afirmaciones Justificaciones

1.𝑷𝑸̅̅ ̅̅ ||𝑻𝑺̅̅̅̅ Hipótesis

2.𝑷𝑸̅̅ ̅̅ ≅ 𝑻𝑺̅̅̅̅ Hipótesis

3.∡𝑺 ≅ ∡𝑷 Son ángulos alternos internos paralelos

4.∡𝑻 ≅ ∡𝑸 Son ángulos alternos internos paralelos

5. ∆𝑷𝑸𝑹 ≅ ∆𝑻𝑺𝑹 Criterio ALA

ACTIVIDAD 7

Observa cada par de triángulos, luego, escribe en notación geométrica los lados

y los ángulos correspondientes que son congruentes

Observa cada par de triángulos con las marcas que indican congruencia. Luego,

determina si tiene la información necesaria y suficiente para demostrar

que son congruentes



Página 24 de 26

Versión 1.0


Completa la demostración: En la siguiente figura se tiene que:

𝐷 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠

Afirmación Justificación

𝑩𝑫̅̅̅̅̅ ≅ 𝑫𝑪̅̅ ̅̅

∡𝑨𝑩𝑫 ≅ ∡𝑨𝑫𝑪

𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅

∆𝑨𝑩𝑫 ≅ ∆𝑨𝑪𝑫

𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅

∆𝑨𝑩𝑪 𝒆𝒔 𝒊𝒔ó𝒔𝒄𝒆𝒍𝒆𝒔

Completa la demostración: En la siguiente figura el ∆𝑨𝑩𝑪 𝒆𝒔 𝒊𝒔ó𝒔𝒄𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑪̅̅ ̅̅

Demuestra que: ∆𝑨𝑬𝑩 ≅ ∆𝑪𝑫𝑩

Afirmación Justificación

Hipótesis

𝑬𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑩̅̅̅̅̅

𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ 𝒎∡𝟐 ≅ 𝒎∡𝟑 Propiedad de

triángulos isósceles 𝒎∡𝟏 + 𝒎∡𝟐 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒎∡𝟑 + 𝒎∡𝟒 = 𝟏𝟖𝟎°

𝒎∡𝟏 = 𝒎∡𝟒

Definición de congruencia de

ángulos

Criterio LAL

Utiliza el método directo para demostrar los siguientes teoremas



Página 25 de 26

Versión 1.0


FASE DE SALIDA

1. dar solución al problema inicial y luego socializarlo

2. autoevalúate en la siguiente tabla, ten en cuenta las dificultades que tuviste y

prepárate para superarlas.

Autoevaluación

Indicador Bajo Básico Alto Superior

Reconoce las diferentes clasificaciones

de ángulos y triángulos

Identifica los ángulos entre paralelas

Establece criterios de congruencia de

triángulos

Construye correctamente las líneas notables de un triángulo

Aplica correctamente las normas para

trabajar razonamiento deductivo

Actividad de recuperación

Responde y justifica tu repuesta

Si uno de los ángulos de un triángulo mide 91°, corresponde a un triángulo

a. Acutángulo b. Isósceles

c. Obtusángulo d. Rectángulo

La medida del ángulo x es:

El punto de intersección de las líneas de la figura es el

La medida del ángulo x es:



Página 26 de 26

Versión 1.0


Resuelve: 1. Construye un triángulo de

dimensiones 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Qué clase de triángulo se obtiene?

2. En un triángulo rectángulo, uno de

los ángulos agudos mide 378,

¿cuánto mide el otro ángulo agudo?

3. Dibuja un triángulo rectángulo de dimensiones 6 cm, 8 cm y 10 cm.

Luego, traza las tres mediatrices. ¿Qué característica particular tiene

el punto de corte de las tres líneas?

De acuerdo a la figura nombra:

Ángulos opuesto por el vértice Ángulos adyacentes

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Explica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica

Si los ángulos externos en un triángulo son congruentes, el

triángulo es equilátero. Los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo son complementarios. Un triángulo escaleno es acutángulo.

Existen triángulos isósceles que son

a la vez triángulos rectángulos.

Construye un triángulo isósceles, uno equilátero y uno escaleno. Halla: el

incentro, el circuncentro y el baricentro en cada uno de ellos.

¿Qué conclusión puedes sacar?

Nota: La evaluación acumulativa también hace parte de la recuperación de primer periodo

instituciÓn educativa tÉcnica sagrado … · líneas y puntos notables de un triángulo métodos...

Documents