iniversidad autÓnoma de guadalajara Álgebra lineal laura verónica montes cortés...
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IntroducciónEsta presentación tratara el tema de cofactores en el desarrollo de determinantes de matrices en cualquier orden. Para ello se recordara el concepto de determinante, además de hablar del menor ij para llegar al tema central que es cofactores ij y su aplicación en la solución de determinantes de cualquier orden.Para todos:
Espacio que aclara conceptos en palabras sencillas.
Introducción
0372
6518
742
A
En la matriz A su orden es 3x3 porque esta formado con tres filas y tres columnas y cada uno de los números que lo componen es llamado entrada o componente. El orden lo determinan la columna y la fila a la que pertenece cada elemento, por ejemplo:
En la matriz A la entrada se refiere al número que esta en la fila i=2 y la
columna j=3
623 a
Ejemplo
Determinante•El determinante es una función que le asigna a
una matriz A de orden n a un escalar. Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por |A| (las barras no significan valor absoluto).
Para todos:Determinante es un único número real
Menor ij
Sea A una matriz de orden definimos el menor asociado al elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la
fila i y la columna j de la matriz A.
2n
ijM ija
Para todos:Por ejemplo un determinante 3x3; 4x4 se evalúa al desarrollar por menores.
Ejemplo
•Si se quiere obtener el menor de la matriz
104
213
120
A
11M
11M
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de A y evaluamos el determinante de la matriz resultante , que es el menor
Ejemplo
El determinante de la matriz resultante , es el menor
1201110
2111
M
11M
Ejemplo
•Si se quiere obtener el menor de la matriz
104
213
120
A
23M
11M
Procedemos a eliminar la fila 1 y la columna 1 de A y evaluamos el determinante de la matriz resultante , que es el menor
Ejemplo
•Si se quiere obtener el menor de la matriz
104
213
120
A
23M
23M
Ahora se elimina la fila 2 y la columna 3 de A y evaluamos el determinante de la matriz resultante , que es el menor
Ejemplo•Si se quiere obtener todos los menor de la matriz
104
213
120
A
Tenemos que proceder a eliminando tantas filas y columnas como entradas tenga la matriz. Entonces la matriz A de 3x3 tendrá nueve menores.
Cofactores ij
Hablar de los menores nos permite entender con facilidad el proceso para los cofactores.
Cofactor ij
Es el producto que se denota que se obtiene de multiplicar el menor por
ji )1(
ijACof
ijM
Para todos:Este producto es un número que nos ayuda a obtener la determinante de una matriz.
ijMji
ijACof
1
Ejemplo
104
213
120
A
•Si se quiere obtener de la matriz 22ACof
Ejemplo
104
213
120
A
•Procedemos identificando la entrada22a
Ejemplo
44140422
14
102222
1
1
ACof
ACof
•Procedemos identificando la entrada22a
Ejemplo
jiiii
j
j
j
A
1312111
31
21
11
331231131
321221121
311211111
• Si observas con atencion la definición del cofactor el exponente del factor -1 es la suma de l número de la fila y columna de la entrada que nos piden. Y ese exponente sólo puede ser par o es impar, según eso es el signo del factor -1. Se muestra en la siguiente imagen:
Ejemplo
•Queda como factor, para cada entrada:
Ejemplo
•Queda como factor, para cada entrada:
Regla general Para determinantes de cualquier orden
• Si A es una matriz de orden n , entonces el determinante de la matriz A es la suma de los cofactores a lo largo de cualquier renglón o cualquier columna de la siguiente manera:
columnasnjórenglonesnipara
MaMaMaA
ó
MaMaMaA
njnjjn
jjj
jjj
ininni
iii
iii
,,3,2,1,,3,2,1
111
111
222
111
222
111
Ejemplo
104
213
120
A
•Obtener la determinante de la matriz A
Ejemplo
14
4100
401183210101
04
131311
14
232211
10
210111
arg
104
213
120
A
A
A
A
renglónprimerdelolloa
A
•Obtener la determinante de la matriz A
Ejemplo
14
0410
300140118321
23
100231
14
101221
14
232211
arg
104
213
120
A
A
A
A
columnaSegundaladeolloa
A
•Obtener la determinante de la matriz A