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MÓDULO MATERIA CURSO SEMESTRE CRÉDITOS TIPO

Formación Básica Estadística 2º 3º 6 Básica

PROFESORES*1 DIRECCIÓN COMPLETA DE CONTACTO PARA TUTORÍAS (Dirección postal, teléfono, correo electrónico, etc.)

GMIM Grupos A y B Tapia García, Juan Miguel (Coordinador)

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Campus de Cartuja s/n. 18011 Granada. Teléfono 958 240 619. Fax 958 240 620.

Prof. Tapia García: [email protected]. Despacho C-100. Tfno. 958 241955.

HORARIO DE TUTORÍAS*

Prof. Tapia García: lunes y martes de 9:30 a 12:30 horas

GRADO EN EL QUE SE IMPARTE OTROS GRADOS A LOS QUE SE PODRÍA OFERTAR

Grado en Marketing e Investigación de Mercados

Grado en Economía Grado Administración y Dirección de Empresas Doble Grado en Derecho y ADE Grado en Finanzas y Contabilidad

PRERREQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES (si procede)

Se recomienda refrescar los conocimientos de las asignaturas Matemáticas y Matemáticas para la Economía I, correspondientes al primer curso. Es un curso introductorio y, en cierta medida, recordatorio de aspectos ya estudiados por el alumno en su etapa anterior, aunque se desarrollarán con un poco más de detenimiento:

• Cálculos elementales: operar correctamente con fracciones, números reales, potencias, valores absolutos, logaritmos, raíces,...etc.

• Plantear y resolver adecuadamente ecuaciones de diversos grados, así como inecuaciones. • Resolver con éxito sistemas lineales de ecuaciones de más de una incógnita. • Cierto dominio de las funciones, buscar máximos y mínimos, puntos de inflexión. • Derivadas e integrales inmediatas. • Saber utilizar una calculadora científica.

1 * Consulte posible actualización en Acceso Identificado > Aplicaciones > Ordenación Docente.

GUIA DOCENTE DE LA ASIGNATURA

TÉCNICAS CUANTITATIVAS I Curso 2015- 2016

BREVE DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS (SEGÚN MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL GRADO)

Distribuciones unidimensionales. Representaciones numéricas y gráficas. Medidas de posición. Medidas de dispersión. Medidas de forma. Medidas de concentración. Variables estadísticas bidimensionales. Coeficiente de correlación lineal y recta de regresión. Números índice. Dependencia de un índice general de un grupo de productos. Deflación de series económicas. Tasas de variación. Índice de precios al consumo y otros índices elaborados en España. Análisis descriptivo de series cronológicas. Teoría de la Probabilidad. Variables aleatorias. Función de distribución. Características estocásticas de las variables aleatorias. Algunos modelos de variables aleatorias univariantes.

COMPETENCIAS GENERALES, BÁSICAS, TRANSVERSALES Y ESPECÍFICAS

Competencias generales Capacidad para el análisis crítico y la síntesis. Capacidad de organización y planificación. Habilidad de comunicación oral y escrita en lengua castellana. Habilidades de utilización de herramientas informáticas aplicables al ámbito del Marketing e Investigación de Mercados. Habilidades de gestión de la información (habilidad para buscar y analizar información proveniente de diversas fuentes). Capacidad para la resolución de problemas. Capacidad de trabajo en un equipo de carácter interdisciplinar. Habilidad para trabajar de forma autónoma. Capacidad de adaptación a nuevas situaciones. Creatividad o habilidad para generar nuevas ideas. Capacidad de aprendizaje autónomo. Capacidad para aplicar los conocimientos de Marketing e Investigación de Mercados a la práctica. Habilidades de investigación en el ámbito del Marketing y la Investigación de Mercados. Competencias básicas Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio. Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía. Competencias transversales

Capacidad para analizar y comprender las fuerzas del mercado que influyen en las actividades comerciales y para valorar críticamente situaciones empresariales. Competencias específicas Conocer y aplicar los conceptos básicos de Estadística. Conocer y ser capaz de aplicar las herramientas básicas de naturaleza cuantitativa para el diagnóstico y análisis empresarial.

OBJETIVOS (EXPRESADOS COMO RESULTADOS ESPERABLES DE LA ENSEÑANZA)

El alumno sabrá/ comprenderá: • los fundamentos y aplicaciones más notables de la Estadística descriptiva, así como una iniciación al

Cálculo de probabilidades, junto con otros temas estadísticos de interés especial en Economía. • Los conceptos estadísticos más generales. • Describir dichos conceptos de forma sencilla. • Plantear y resolver correctamente ejercicios. • Interpretar adecuadamente resultados estadísticos. • aprender a manejar la información obtenida sobre un determinado fenómeno. • resumir la información proporcionada por unos datos. • representar globalmente el comportamiento del fenómeno. • determinar la distribución de frecuencias. • medir la variabilidad de los datos y conocer sobre la representatividad de las medidas de posición. • conocer otras medidas como las medidas de forma. • Determinar la mayor o menor uniformidad en el reparto de una magnitud socioeconómica entre un

colectivo. • interpretar aquellos fenómenos sociales y económicos en los que intervienen 2 variables. • estudiar la correlación entre dos variables que intervienen en un mismo fenómeno. • ajustar una función matemática para obtener la curva de regresión entre dos variables. • Conocer el concepto de números índice y sus propiedades. • Utilizar las propiedades de los números índice para el enlace de series de números índice y la deflación

de series económicas. • analizar las variaciones de un fenómeno a lo largo del tiempo. • predecir situaciones futuras a partir de la información disponible. • Conocer los conceptos de probabilidad a posteriori y de la probabilidad condicionada. • Utilizar el teorema de la probabilidad total y aplicarlo en el teorema de Bayes. • distinguir aquellos conceptos necesarios para estudiar el comportamiento de fenómenos de

naturaleza aleatoria. • El concepto de función de distribución, sus propiedades y como consecuencia los tipos de variables

aleatorias. • características de las variables aleatorias que proporcionan información sobre su distribución. • modelos de distribuciones discretas de probabilidad, más concretamente las distribuciones Binomial y

de Poisson como herramientas del cálculo de probabilidades así como el manejo de tablas para la resolución de problemas.

El alumno será capaz de:

• afianzar las bases que le permitan enfrentarse, sin mayores problemas, al resto de asignaturas de este perfil existentes en el Plan de Estudios.

• Identificar situaciones en las que aplicar esas herramientas. • manejar información desde la perspectiva económica sobre un fenómeno determinado. • utilizar correctamente la terminología (conceptos estadísticos, probabilísticos y económicos) y

técnicas estadísticas descriptivas básicas. • familiarizarse con el manejo de bases de datos y utilizar cuadros, graficas y medidas estadísticas

para la interpretación y posterior comprensión de los resultados alcanzados. • utilizar la información disponible en Internet para plantear y/o resolver problemas de actualidad

económica. • Aplicar todos los conocimientos y destrezas adquiridas a casos reales, comprobando in situ los

problemas que debe superar un economista a la hora de realizar cualquier informe de corte estadístico-económico.

TEMARIO DETALLADO DE LA ASIGNATURA

TEMARIO TEÓRICO.-

1.- Variables estadísticas unidimensionales. 1.1 Variables estadísticas. Tablas estadísticas. Representaciones gráficas. 1.2 Momentos centrados y no centrados. 1.3 Medidas de posición: medias aritmética, geométrica y armónica; moda, mediana y percentiles. 1.4 Medidas de dispersión: recorridos, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. 1.5 Medidas de forma: coeficientes de asimetría y de apuntamiento de Fisher. 1.6 Medidas de concentración: curva de concentración, índice de concentración de Gini y mediala.

2.- Variables estadísticas bidimensionales. 2.1 Representaciones numéricas en dos columnas y en tablas de contingencia. 2.2 Distribuciones marginales y condicionadas. Independencia de variables estadísticas. 2.3 Covarianza y coeficiente de correlación lineal. 2.4 Recta de regresión de mínimos cuadrados.

3.- Números índices. 3.1 Tasas de variación. 3.2 Índice elemental. Índice sintético. 3.3 Índices de precios, de cantidades y de valor. 3.4 Enlace de series de números índices con distinta base. 3.5 Deflación de series económicas. 3.6 Dependencia de un índice general de un grupo de productos.

4.- Análisis descriptivo de series cronológicas. 4.1 Definición de una serie cronológica. Representación gráfica. 4.2 Componentes de una serie cronológica. Modelos. 4.3 Tendencia secular: Ajuste por mínimos cuadrados. Medias móviles. 4.4 Variación estacional. Desestacionalización. 4.5 Predicción.

5.- Probabilidad. 5.1 Definición de probabilidad. Asignación de probabilidades. 5.2 Definición de probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e independientes. 5.3 Formula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.

6.- Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. 6.1 Concepto de variable aleatoria. 6.2 Función de distribución. Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. 6.3 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos centrados y no centrados. 6.4 Otras características (posición, forma, …) 6.5 Variables aleatorias bidimensionales. Independencia de variables aleatorias.

7.- Distribuciones discretas de probabilidad. 7.1 Distribución Uniforme discreta. 7.2 Distribución Binomial. 7.3 Distribución de Poisson. 7.4 Distribución Hipergeométrica. 7.5 Distribución Geométrica.

TEMARIO PRÁCTICO.- Coincide con el teórico. Se realizarán ejercicios para adquirir soltura en el manejo de los conceptos y habilidades correspondientes a cada uno de los temas. En la medida que sea posible, el alumno buscará datos reales en las bases de datos existentes en la red Internet, a los que aplicará los tópicos estudiados en cada uno de los temas, del 1 al 5, utilizando para ello algún programa informático, como por ejemplo Excel.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL: • Castillo Manrique, I. y Guijarro Garvi, M. (2006) Estadística descriptiva y cálculo de probabilidades.

ED. Pearson Prentice Hall. • Canavos, G. C. (1989) Probabilidad y estadística: Aplicaciones y métodos. Ed. McGraw Hill. • Casas Sánchez, J. M. y Santos Peñas, J. (1996) Introducción a la estadística para economía y

administración de empresas. Ed. Centro de estudios Ramón Areces. S.A. • Hernández Bastida, A. (2007) Curso elemental de estadística descriptiva. Pirámide. • Martín Pliego. F. J. (2004) Introducción a la estadística económica y empresarial.3ª edición, Editorial

Thomson.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: • Casas Sánchez, J. M. y otros (1998) Problemas de estadística. Descriptiva, probabilidad e inferencia.

Ediciones Pirámide. Madrid. • Hernández Bastida, A. y otros (2008) Mapas conceptuales y ejercicios de técnicas cuantitativas 1. Ed.

Copicentro Granada. • Arnaldos García, F et al. (2003) Estadística descriptiva para Economía y Administración de Empresas.

Ed. Thomson. • Amor Pulido, R; Aguilar Peña, C. y Morales Luque, A (2011):Estadística Descriptiva y Cálculo de

Probabilidades.. Grupo Editorial Universitario.

ENLACES RECOMENDADOS

Web del Dpto. de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. http://metodoscuantitativos.ugr.es/ Instituto nacional de Estadística. http://www.ine.es/ Instituto de estadística andaluz. http://www.juntadeandalucia.es:9002/ Banco de España. http://www.bde.es/webbde/es/ Bolsa de Madrid. http://www.bolsamadrid.es/homei.htm Anuario Económico de La Caixa. http://www.anuarieco.lacaixa.comunicacions.com Eurostat, http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal/eurostat/home/

METODOLOGÍA DOCENTE

• Esta asignatura está basada en clases presenciales en las que se explican todos los contenidos teóricos y se realizan numerosos ejercicios prácticos. A través de las referencias citadas anteriormente, el alumno dispone de una gran variedad de ejercicios resueltos, los cuales ayudan a interpretar, resolver y discutir los contenidos teóricos/prácticos explicados. Los alumnos disponen de otros recursos docentes (resolución de ejercicios mediante distintos paquetes informáticos, ejercicios y exámenes resueltos, etc.) en distintas direcciones web para su consulta mediante internet. • El profesor o Profesora. 1) Introducirá los contenidos correspondientes a cada lección y los desarrollará de la forma más oportuna dependiendo del grado de complejidad. 2) Realizará las demostraciones que sean necesarias para el desarrollo de la materia y al objeto de que el

alumno aprenda a “enfrentarse” a ellas y a otras similares. 3) Resolverá ejercicios a modo de ejemplo y planteará otros para entender y afianzar mejor los conceptos. 4) Pedirá al alumno que busque problemas que se pueden plantear en asignaturas que esté cursando en ese momento e incluso problemas que se le puedan plantear en el desarrollo de su actividad profesional futura. 5) Suministrará enunciados de ejercicios para que practiquen por su cuenta. 6) Durante la clase se responderán las preguntas y dudas que se planteen. Las correspondientes al trabajo individual del alumno se resolverán en horas de tutoría.

EVALUACIÓN (INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y PORCENTAJE SOBRE LA CALIFICACIÓN FINAL, ETC.)

Con objeto de evaluar la adquisición de los contenidos y competencias a desarrollar en la materia, se utilizará un sistema de evaluación diversificado, seleccionando las técnicas de evaluación más adecuadas para la asignatura en cada momento, que permita poner de manifiesto los diferentes conocimientos y capacidades adquiridos por el alumnado al cursar la asignatura. De entre las siguientes técnicas evaluativas se utilizarán alguna o algunas de ellas. Prueba escrita: exámenes de ensayo, pruebas objetivas, resolución de problemas, casos o supuestos, pruebas de respuesta breve, informes y diarios de clase. Prueba oral: exposiciones de trabajos orales en clase, individuales o en grupo, sobre contenidos de la asignatura (seminario) y sobre ejecución de tareas prácticas correspondientes a competencias concretas. Observación: escalas de observación, en donde se registran conductas que realiza el alumno en la ejecución de tareas o actividades que se correspondan con las competencias. Técnicas basadas en la asistencia y participación activa del alumno en clase, seminarios y tutorías: trabajos en grupos reducidos sobre supuestos prácticos propuestos. El sistema de calificaciones se expresará mediante calificación numérica de acuerdo con lo establecido en el art. 5 del R. D 1125/2003, de 5 de septiembre, por el que se establece el sistema europeo de créditos y el sistema de calificaciones en las titulaciones universitarias de carácter oficial y validez en el territorio nacional. Para superar la asignatura será necesario que en las pruebas escritas se obtenga una puntuación media mínima de cinco puntos, en la escala de cero a diez. La calificación global corresponderá a la puntuación ponderada de los diferentes aspectos y actividades que integran el sistema de evaluación: Prueba escrita que constará de parte teórica y parte práctica 70% Evaluación continua y pruebas de clases prácticas, trabajos valorados positivamente, … 30% En la convocatoria ordinaria, la fecha para la prueba de evaluación escrita será la misma para los alumnos que hayan seguido la evaluación continua como para los que hayan optado por evaluación única final. Habrá una prueba de evaluación común, valorada en un 70%, que constará de parte teórica y parte práctica y una prueba complementaria, valorada en un 30% sólo para alumnos de evaluación única que podría realizarse en una fecha diferente a la de la evaluación común. En las convocatorias extraordinaria y especial, la prueba de evaluación será la misma para todos los alumnos, valorada en el 100% de la calificación.

INFORMACIÓN ADICIONAL

Es posible que a lo largo del curso se modifique algún horario de tutorías. Se aconseja consultar las tutorías actualizadas en el tablón de anuncios del Departamento o bien en alguno de los siguientes enlaces: http://metodoscuantitativos.ugr.es/pages/docencia https://oficinavirtual.ugr.es/ordenacion/GestorInicial

En la dirección http://secretariageneral.ugr.es/pages/normativa/ugr/otranormativa se puede consultar la Normativa de evaluación y de calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, las Instrucciones para la aplicación de la normativa de evaluación y de calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada y la Instrucción relativa a la aplicación del artículo 8.2 de la Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada.




GFICO

Grupo 2ºA Callejón Céspedes, José Grupo 2º B Tapia García, Juan Miguel


Prof. Callejón Céspedes: [email protected]. Despacho C-210. Tfno. 958 242979.

Prof. Tapia García: [email protected].

Despacho C-100. Tfno. 958 241955.


Prof. Callejón Céspedes: jueves y viernes de 9:00 a 10:30 y de 12:30 a 14:00 horas.



Grado en Finanzas y Contabilidad

Grado Administración y Dirección de Empresas Doble Grado en Derecho y Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Grado en Economía










GADE-Granada Grupos A y B Hernández Bastida, Agustín Fernández Pascual, Rosaura Grupo C Hermoso Gutiérrez, José Alberto Grupo D Álvarez Verdejo, Encarnación Blanco Encomienda, Javier Grupo E García García, Catalina (Coordinadora)

GADE-Ceuta Blanco Encomienda, Javier (Coordinador)

DOBLE GRADO ADE-Derecho Grupo A Hermoso Gutiérrez, José Alberto (Coordinador) Grupo B Tapia García, Juan Miguel Roldán López de Hierro, Antonio F.


Profª. Álvarez Verdejo: [email protected] Despacho C-107. Tfno. 958248784.

Prof. Blanco Encomienda: [email protected] Despacho Ceuta D31. Tfno. 958241000 + 26179.

Despacho Granada C-107. Tfno. 958 248785.

Profª. Fernández Pascual: [email protected]. Despacho C-104. Tfno. 958248786.

Prof. García García: [email protected] Despacho C-110. Tfno. 958248790.

Hermoso Gutiérrez: [email protected] Despacho C-208. Tfno. 958 249 914.

Prof. Hernández Bastida,: [email protected]. Despacho C-206. Tfno. 958242977.

Prof. Roldán López de Hierro: [email protected] Despacho C-105. Tfno. 958244111

Prof. Tapia García: [email protected]. Despacho C-100. Tfno. 958 241955.


Profª. Álvarez Verdejo: miércoles de 12:00 a 14:00, jueves de 15:30 a 17:30 y de 19:30 a 20:30 y viernes de 17:30 a 18:30 horas

Prof. Blanco Encomienda: Lunes de 20:00 a 21:00 y martes de 9:00 a 13:00 y de 18:00 a 19:00 horas




Profª. Fernández Pascual: lunes de 9:30 a 10:30 y de 12:30 a 14:00 y miércoles de 8:30 a 19:30 y de 12:30 a 14:00 horas

Profª. García García: viernes de 8:30 a 14:30 h.

Prof. Hermoso Gutiérrez: lunes, martes y miércoles de 8:30 a 10:30 horas

Prof. Hernández Bastida: lunes y jueves de 9:00 a 10:30 y miércoles de 9:00 a 12:00 horas

Prof. Roldán López de Hierro: martes de 17:00 a 19:30 y miércoles de 17:30 a 19:30 horas



Grado Administración y Dirección de Empresas Doble Grado en Derecho y Administración y Dirección de Empresas

Grado en Economía Grado en Marketing e Investigación de Mercados Grado en Finanzas y Contabilidad




• Plantear y resolver adecuadamente ecuaciones de diversos grados, así como inecuaciones. • Resolver con éxito sistemas lineales de ecuaciones de más de una incógnita. • Cierto dominio de las funciones, buscar máximos y mínimos, puntos de inflexión. • Derivadas e integrales inmediatas. • Saber utilizar una calculadora científica.

BREVE DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS (SEGÚN MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL GRADO)

Distribuciones unidimensionales. Representaciones numéricas y gráficas. Medidas de posición. Medidas de dispersión. Medidas de forma. Medidas de concentración. Variables estadísticas bidimensionales. Coeficiente de correlación lineal y recta de regresión. Números índice. Dependencia de un índice general de un grupo de productos. Deflación de series económicas. Tasas de variación. Índice de precios al consumo y otros índices elaborados en España. Análisis descriptivo de series cronológicas. Teoría de la Probabilidad Variables aleatorias. Función de distribución. Características estocásticas de las variables aleatorias. Algunos modelos de variables aleatorias univariantes.

COMPETENCIAS GENERALES, BÁSICAS, TRANSVERSALES Y ESPECÍFICAS

Competencias generales Capacidad de trabajo en equipo Habilidad para analizar y buscar información proveniente de fuentes diversas aplicables al ámbito de estudio Capacidad de análisis y síntesis Capacidad para la resolución de problemas en el ámbito económico empresarial

EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. 17-9-2015.

GADE: GECO: GFICO: GMIM: DOBLE GRADO:

APELLIDOS: DNI:

NOMBRE: GRUPO:

1.- (1 punto) Medidas de dispersión en variables estadísticas.

2.- (1 punto) Definición de probabilidad. Condiciones. Propiedades.

3.- (1 punto) Función de distribución de una variable aleatoria. Definición. Propiedades. Tipos.

4.- Los beneficios, en millones de euros, obtenidos por una empresa de compraventa de automóviles usados en los últimos 5 años, a precios corrientes y a precios constantes de 2010 han sido:

Año 2010 2011 2012 2013 2014 Beneficios corrientes 2 2,1 2,3 2,6 2,7

Beneficios a precios constantes de 2010 2 2 2,1 2,3 2,4 a) (0,5 puntos) Si los precios se han deflactado con ayuda del IPC, obtenga los valores del IPC para

cada año con base en el año 2010. b) (0,5 puntos) Obtenga los valores del IPC para cada año con base en el año 2014. c) (0,5 puntos) Calcule la tasa media de crecimiento anual de los beneficios en euros constantes.

5.- Una empresa de compraventa de automóviles usados recibe cada mes por término medio 2 camiones de automóviles. Cada camión transporta 10 coches procedentes de una empresa de alquiler de automóviles. Cada camión es sometido a un control de calidad que consiste en examinar 3 coches y si se encuentra alguno con defectos notables se devuelve el camión al proveedor. Calcule la probabilidad de:

a) (0,5 puntos) Devolver un camión que tiene dos coches con defectos notables. b) (0,5 puntos) Que en un mes se reciban más de 2 camiones. c) (0,5 puntos) Que en dos meses se reciban más de 4 camiones.

6.- Una empresa de alquiler de automóviles ha clasificado sus vehículos según los kilómetros realizados (en cientos) y la antigüedad (en meses) en la siguiente tabla:

Antigüedad Km. 0 – 2 2 – 6 6 – 10 10 – 12

10 – 20 4 2 0 0 20 – 25 1 3 3 0 25 – 30 2 4 8 2 30 – 40 0 2 6 7 40 – 50 0 0 2 4

a) (0,5 puntos) ¿Son independientes las anteriores variables? b) (0,5 puntos) ¿Qué kilometraje ha sido superado por el 30% de los automóviles? c) (0,5 puntos) ¿Qué porcentaje de vehículos han superado los 3250 km? d) (0,5 puntos) Respecto de qué variable hay mayores diferencias entre los automóviles.

7. - La antigüedad, en años, de los automóviles de alquiler en Andalucía es una variable aleatoria con función de densidad

3 0 1( )

0kx x

f xen otro caso

⎧ < <= ⎨⎩

a) (0,5 puntos) Calcule k. b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la antigüedad media de los automóviles de alquiler en Andalucía? c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil alquilado en Andalucía tenga menos de

seis meses? d) (0,5 puntos) ¿Qué antigüedad superan la mitad de los automóviles alquilados en Andalucía?

DURACIÓN DEL EXAMEN: 2 horas.

SOLUCIONES. 4.-

Año 2010 2011 2012 2013 2014 Beneficios corrientes 2 2,1 2,3 2,6 2,7

IPC (BASE 2010) 2010 2010I 2011 2010I 2012 2010I 2013 2010I 2014 2010I

Beneficios a precios de 2010 2 2 2,1 2,3 2,4

2010 2010

2 2I

= 2011 2010

2,1 2I

=2012 2010

2,3 2,1I

=2013 2010

2,6 2,3I

= 2014 2010

2,7 2,4I

=

a) IPC % (BASE 2010) 100,00 105,00 109,52 113,04 112,50b) IPC % (BASE 2014) 88,89 93,33 97,35 100,48 100,00

c) 42, 4 1 0,0466 4,66%2

− =

5.- a)

X=número de coches defectuosos en la muestra seleccionada. 210; 3;10

X ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

H

[ ] [ ]

2 80 3 8 7 61 1 0 1 1 0,533310 10 9 83

X X

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ × ×⎝ ⎠⎝ ⎠≥ = − = = − = − =

× ×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

P P

b) Y=número de camiones recibidos / mes. ( )2Y P

[ ] [ ] [ ] [ ]2 0 2 1 2 22 2 22 1 0 1 2 1 1 0,1353 0,2707 0,27070 0,32330! 1! 2!

e e eY Y Y Y− − −

> = − = − = − = = − − − = − − − =P P P P

c) Z=número de camiones recibidos / 2 meses. ( )4Z Y Y= + P

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4 0 4 1 4 2 4 3 4 4

4 1 0 1 2 3 4

4 4 4 4 41 1 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,37110! 1! 2! 3! 4!

Z Z Z Z Z Z

e e e e e− − − − −

> = − = − = − = − = − = =

= − − − − − = − − − − − =

P P P P P P

6.- a) Es fácil comprobar que no se cumple: ,i jij

n nn i j

n• •= ∀ , luego no son independientes.

b) 1iL − iL in iN ip 10 20 6 6 1220 25 7 13 2625 30 16 29 5830 40 15 44 8840 50 6 50 100

30 x 40

58 70 88

40 30 30 10 12 30 3488 58 70 58 30

x x x− − ×= + = =

− −

El 70% de los automóviles no superan los 3400km. El 30% restante superan los 3400km.

iL ip

c) 30 32,5 40

58 x 88

40 30 32,5 30 30 2,558 65,5%88 58 58 10

x xx

− − ×= − = =

− −

El 65,5% de vehículos no superan los 3250km. El 34,5% restante superan los 3250km.

d)

Km. 10 – 20 15 6 90 1350 20 – 25 22,5 7 157,5 3543,75 25 – 30 27,5 16 440 12100 30 – 40 35 15 525 18375 40 – 50 45 6 270 12150

50 1482,5 47518,75

1

1 1482,5 29,6550

n

i ii

x x nn =

= = =∑ 22 2 2

1

1 47518,75 29,65 71, 252550

n

x i ii

S x n xn =

= − = − =∑

71,2525 8,4411xS = = 0,2847xx

SCVx

= =

Antigüedad 0-2 1 7 7 7 2-6 4 11 44 176 6-10 8 19 152 1216

10-12 11 13 143 1573 50 346 2972

1

1 346 6,9250

n

i ii

y y nn =

= = =∑ 22 2 2

1

1 2972 6,92 11,553650

n

y i ii

S y n yn =

= − = − =∑

11,5536 3,399yS = = 0, 4912yy

SCV

y= =

0,4912 0,2847y xCV CV= > = Hay más dispersión (mayores diferencias entre los valores) en la variable antigüedad del automóvil. 7.- a)

141 3

00

1 ( ) 44 4x kf x dx kx dx k k

∞

−∞

⎡ ⎤= = = = ⇔ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

b)

[ ]151 13 4

0 00

4( ) 4 4 4 0,85 5xE X x f x dx x x dx x dx años

∞

−∞

⎡ ⎤= = = = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (9,6 meses)

c)

[ ]0,5 0,53 4

000,5 4 0,0625X x dx x⎡ ⎤< = = =⎣ ⎦∫P

d)

[ ]1 13 4 4 4 4

1 1 14 1 0,842 2 2mm

X m x dx x m m m años⎡ ⎤= > = = = − ⇔ = ⇔ = =⎣ ⎦∫P (10,09 meses)

iL ip

ix in i ix n 2i ix n

iy in i iy n 2i iy n

1 - Variables estadísticas unidimensionales1.- Variables estadísticas unidimensionales.

1.1 Variables estadísticas. Tablas estadísticas. Representaciones gráficas.1.2 Momentos centrados y no centrados.1 3 M did d i ió di it éti ét i1.3 Medidas de posición: medias aritmética, geométrica y armónica; moda, mediana y percentiles.1 4 Medidas de dispersión: recorridos varianza1.4 Medidas de dispersión: recorridos, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.1.5 Medidas de forma: coeficientes de asimetría y de yapuntamiento de Fisher.1.6 Medidas de concentración: curva de concentración, í di d t ió d Gi i di líndice de concentración de Gini y mediala.

MAPAS CONCEPTUALES Y EJERCICIOS DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1

VARIABLE ESTADÍSTICAX, Y, Z, …A cada posible valor de la VE MODALIDADx1, x2, x3, …, xi1, 2, 3, , i


FRECUENCIA ABSOLUTA: nº de veces que se presenta una modalidadniiEl total de los datos n = n1 + n2 + … + nk

FRECUENCIA RELATIVA: cociente entre ni y n.fi 1= f1 + f2 + … + fk

∑k

f1 ∑=

=i 1

if1

∑=

=i

j 1ji nN

NfF i∑i


nfF i

1ji ==∑

=j

Tablas EstadísticasColocar los datos que definen la distribución de frecuencias en una tablaColocar los datos que definen la distribución de frecuencias en una tabla.

VE Discreta

xi ni fi Ni Fi

x1 n1 f1 N1 F1

: : : : :xk nk fk Nk Fk

n 1n 1

VE Continua Los valores se agrupan en intervalos o clases

Li-1 - Li xi ni fi Ni Fi aii-1 i i i i i i i

L0 – L1 x1 n1 f1 N1 F1 a1

: : : : :Lk-1 - Lk xk nk fk Nk Fk ak

n 1

Representantes Marcas de Clase xi = ( Li‐1 + Li )/2Amplitudes ai = Li – Li‐1

0246

0

Int1 Int2 Int3 Int4

Para frecuencias acumuladas.

Kalipedia/Santillana


Montante Pólizas: 2.5 3 12 10.2 7.2

4 3 5 4 7 1 4 134.3 5.4 7 1.4 13

3.2 4 6.7 0.2 12.8

3.5 8 2 9 4.8

Definir y clasificar la variable estadística:

Completar Tabla:

0-5 5-10

10-14

Realizar una representación gráfica de la Tabla:

Medidas de posición centralMedia aritmética

Suma de los datos observados ponderados por las frecuencias relativasPor tanto sólo para VE CuantitativasPor tanto sólo para VE Cuantitativas.

nxf

k

1iiik ∑

∑ =

nfxx 1i

1iii∑ =

=

==

Cálculo libre y cálculo sobre tabla.

Propiedades:1‐ La media de las desviaciones respecto de la media (xi – x) es nula.2‐Modificación frente a los cambios de origen oc.

_

c3‐Modificación frente a los cambios de escala e.Ventajas del uso del cambio de origen y escala.

Generalización de la mediaGeneralización de la media( ) i

kri

rr fxM ∑=La media de orden r se define como: ( ) i

1iir ∑

=

Media Aritmética Para r=1

nk

i

ni

ixGM ∏=

==1

0Media Geométrica

Media Aritmética Para r 1

i=1Promedio de porcetajes, tasas, … V. representa variaciones acumulativas

i

k

1i

2i2 fxCM ∑

=

==Media Cuadrática

nMedia Armónica ∑

− == ki

1

xnnHM

=1i ix

Propiedad qp MMqpSi ≤⇒≤

MedianaMedianaEs el valor de la variable que divide a la muestra en dos parte iguales

nNnNSiM ><

q p g(con igual nº de observaciones).

2Ny

2NSixMe i1ii ><= −

i i 1x x nMe Si N++= =

V.E. Discretas

iMe Si N2 2

= =

V.E. Continuas

n

Sólo conocemos la frecuencia acumulada en los extremos superiores.Supondremos que las observaciones están repartidas de forma uniforme.

2nNSiLMe ii ==

Nn1i−LL

2nNSia

n

N2LMe ii

i

1-i

1-i ≠+=Intervalo mediano

i1i LL −−

ModaModaEs el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia.q p y

Puede no ser única (unimodal, bimodal, …)Puede utilizarse con Atributos.

V.E. DiscretasEl cálculo es inmediato a partir de la definición.

iinh =

V.E. Continuas

Intervalo modal Aquel que tenga mayor hii

i ahq q g y i

( ) ( ) i1ii1ii

1ii1i a

hhhhhhLMo −

− −+−−

+= ( ) ( )1ii1ii hhhh +− +

Medidas de posición no centralCuantiles

Son aquellos valores que dividen a la muestra en intervalosSon aquellos valores que dividen a la muestra en intervalos con igual número de observaciones.Me es un caso especial al dividir a la muestra en 2 partes iguales.Su cálculo se realiza como para la mediana pero sustituyendo n/2 por el valor apropiado.

Cuartiles Dividen a la muestra en 4 intervalos con igual nº de observacionesCuartiles Dividen a la muestra en 4 intervalos con igual nº de observaciones.

Hay n/4 * i observaciones menores que Qi

Qi = Me

Deciles Dividen a la muestra en 10 intervalos con igual nº de observaciones.Hay n/10 * i observaciones menores que Di

Percentiles o Centiles Dividen a la muestra en 100 intervalos con igual nº de observaciones.

H /100 * i b i P CHay n/100 * i observaciones menores que Pi o Ci

-Medidas de dispersión absoluta.Unidades.

-Medidas de dispersión relativa.Adimensionales – cociente -.Adecuadas para la comparaciónNo adecuadas para la comparación. Adecuadas para la comparación.

{ } { }iiii xmínxmáxR −=


Propiedades de la VarianzaPropiedades de la Varianza

1) Teorema de König

( ) 2k

22k

2 xfxSfxx == ∑∑( ) i1i

ii1i

i xfxSfxx −==− ∑∑==

2) Comportamiento frente a los cambios de origen y escala

xi = eyi + oc Sx2 = e2 Sy

2Si entonces

3) S2 > 0 o S2 = 0

Una distribución de frecuencias es simétrica cuando lo es su representación

gráfica respecto al eje vertical x = x Se aplica a distribuciones unimodales y simétricasli i é i

g p j

Cuando no hay simetría se dice quela distribución es asimétrica.

Fishero ligeramente asimétricas

La figura de referencia es la Campana de Gauss o Curva Normal.

20

30

40

50

60

4

6

8

10

12

14

0

10

20

0

2

4


Curva de LorenzCurva de LorenzLi 1 - Li xi ni xi ni Ni ui pi qiLi-1 Li xi ni xi ni Ni ui pi qi

L0 – L1 x1 n1 x1 n1 N1 u1 p1 q1

: : : : :Lk-1 -

Lk

xk nk xk nk Nk uk pk qkLk

n uk

iCon

i

i

1jii nxu ∑

=

= 100%uuqk

ii •=

Con

100%NNp i

i •=NkLa gráfica (pi,qi) nos da la curva de Lorenz.

100100

q

Equidistribución

Concentración máxima

(pi,qi)

0

Curva de Lorenz

0 p 1000

Índice de GiniÍndice de Gini100 B

q

Curva de Lorenz

S

0 p 1000

Curva de Lorenz

O A

SáreaI'G = 1I'0 G ≤≤OABárea

I G G

MedialaMedialaValor de la variable tal que la suma de las observaciones mayores que él esValor de la variable tal que la suma de las observaciones mayores que él es igual a la suma de las observaciones menores que él.

Di id d i l

1-i aq05LMl −+=

Divide a ui en dos parte iguales

i1-ii

1-i aqq

LMl−

+=

I t l di lLL Intervalo mediali1i LL −−con

UsoSi hay equidistribución Me = Ml –al 50% le corresponde el 50%-.Si la concentración aumenta la mediala se separa de la mediana.

MeMlΔM −=

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