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UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA

RESISTENCIA DE MATERIALESTEMA: TORSINDOCENTE: ING. FAUSTO ZURITAINTEGRANTES: ANDRADE BRYAN ARMIJOS ERIKA CRUZ CYNTHIA PALACIOS JUAN RIOFRIO JHON TRUJILLO MARILYPARALELO: AFECHA: 08/ 05/ 2013

TORSINIntroduccin e hiptesis fundamentalesPrevio a la introduccin: Es comn que se emplee indistintamente la palabra eje o rbol como si fuesen sinnimos, pero existe una diferencia entre ambos:Eje: Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto su nica funcin es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsin.

Fig. 1: Ejerbol: Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecnica mediante su giro, por lo que est sometido a esfuerzos de flexin y de torsin. Adems, a diferencia de los ejes, el rbol gira simultneamente con los elementos montados sobre l.

Fig. 2: rbol.1. Torsin: La torsin, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la seccin y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).

Fig. 1: Torsin de un objeto.El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no de distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos:1. Del examen de las deformaciones elsticas que se producen en un determinado tipo de carga y las aplicaciones de la ley Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en distintos puntos de la seccin de manera que sean compatibles con la deformacin y que se denominan ecuaciones de compatibilidad.2. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de slido aislado se determinan otras relaciones que se deducen de la consideracin del equilibrio entre fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la seccin de exploracin. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de equilibrio.3. Se debe verificar que la solucin de las ecuaciones es satisfactoria a las condiciones de carga en la superficie del cuerpo.Para la deduccin de frmulas en el estudio de la torsin, nos basamos en las siguientes hiptesis: Las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean. El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsin perpendiculares al eje. Los esfuerzos no sobrepasan el lmite de proporcionalidad. En rboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en una seccin.2. Deduccin de frmulas: El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto habilidad para resistir la torsin, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de seccin transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones su simbologa es .

Fig. 4: Momentos polares de inercia

Eje macizo: Eje hueco: Cuando existe torsin sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ngulo teta, o ngulo de distorsin (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).

Fig. 2: Cambio de forma en un objeto.El ngulo de distorsin, depende del momento torsor aplicado, la geometra del eje circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la seccin trasversal de la misma) y del material del cual sea elaborado (mdulo de rigidez cortante).

Fig. 3: Deformacin de un rbol circularConsideremos una barra recta, de seccin circular, empotrada en un extremo, y que en el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformacin, llamada torsin, que se evidencia en el hecho de que una lnea cualquiera que siga la direccin de una generatriz[footnoteRef:1] de la barra gira un pequeo ngulo con respecto al extremo empotrado. [1: Punto, curva o superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a una curva, una superficie o un cuerpo slido, respectivamente.]

El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor.Tan pronto se aplica el momento torsionante, y el ngulo total de torsin de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsin aumenta.Si se considera una fibra a una distancia del eje del rbol, la fibra girar un ngulo , considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce una deformacin tangencial DE.

Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsin:

A continuacin se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:

A esta ecuacin se la denomina ecuacin de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elsticas.La expresin anterior se suele conocer como la ecuacin de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elsticas.Un elemento diferencial de rea de la seccin MN, presenta una fuerza resistente dada por:

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio esttico, se llega a la siguiente relacin:

Sustituyendo por su valor en la ecuacin de compatibilidad:

Como el momento de inercia polar es = J, tenemos que:

Tambin se puede escribir esto de forma:= radianesT= N.mL= mJ= m4G= N/m2

El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando G/ L por su equivalente T/J.Al sustituir por el radio del rbol tenemos:

Estas ecuaciones son vlidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:Eje macizo: Eje hueco: Como la aplicacin de los arboles es transmitir potencia est dada por la ecuacin:

Donde es una constante angular.

El momento torsionante transmitido est dado por:= Watts (1W= 1N. m/s)f= rev / sT= N. m

ACOPLAMIENTOS DE BRIDASUna conexin o acoplamiento rgido muy empleado entre dos rboles es el que se representa en la figura, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con cada rbol, y que se unen entre s mediante pernos o tornillos. El par torsor se transmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.

Suponiendo que el esfuerzo se distribuye uniformemente en cada perno viene dada por la frmula del esfuerzo cortante simple P = A., es decir, (.d2/4), y acta en el centro del perno, tangente a la circunferencia de radio R donde se situaba estos. El par torsor que resiste cada perno es PR, y para un numero cualquiera n de pernos, la capacidad del acoplamiento viene dada por.

Cuando un acoplamiento tiene dos series concntricas de pernos. Llamando P2 yP2, y la resistencia del acoplamiento es:

4. Torsin en tubos de pared delgada:Adems de los rboles de transmisin que estn sujetos a torsin al transmitir potencia, existen elementos estructurales frecuentemente sometidos a torsin. La pared puede ser de espesor uniforme o variable. La distribucin de las tensiones de cortadura por torsin sobre una extensin de pared relativamente reducida, est mucho ms prxima a la uniformidad que lo est en el caso del rbol macizo.Si el espesor de la pared es pequeo en comparacin con las dems dimensiones del cilindro y no hay esquinas pronunciadas u otros cambios bruscos en su contorno, que puedan dar lugar a concentracin de tensiones, la teora da unos resultados que pueden considerarse coincidentes con los obtenidos experimentalmente.La seccin de un cilindro de pared delgada est sometida a un momento de torsin Mt.

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:YEn donde q se suele llamar flujo de cortante.

La igualdad de los valores del flujo cortante en dos lugares arbitrariamente escogidos prueba que debe ser constate en todo el permetro del tubo.La fuerza tangencial que acta en una longitud , contribuye al par resistente con un momento diferencial con respecto a un determinado centro. El momento torsionante es independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a la suma de los momentos diferenciales.

Donde es el doble del rea del tringulo rayado cuya base es y cuya altura es el radio r. Puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el rea encerrada por la lnea media de la pared del tubo:

Es esfuerzo cortante medio, en cualquier punto de espesor t, viene dado por:

5. Resortes Helicoidales

En la figura se representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la accin de una fuerza axial P. El resorte est formado por un alambre o varilla redonda de dimetro d enrollada en forma de hlice de radio medio R. Para determinar los esfuerzos producidos por P se cortar el resorte por una seccin de exploracin m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el equilibrio de una de las porciones separada por esta seccin. Despus se analiza la distribucin de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes.

La figura anterior representa el diagrama de cuerpo libre de la porcin superior del resorte.Para el equilibrio en direccin axial, la fuerza resistente Pr, es igual a P. El equilibrio horizontal tambin se cumple ya que ni P ni Pr, tienen componentes en esta direccin. Para el equilibrio de momentos, como P y Pr, opuestas y paralelas, producen un par PR, en la seccin debe existir otro par resistente PR igual y opuesto al anterior, originado por un esfuerzo cortante de torsin, distribuido en la seccin de corte. Se representa por T= PR. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los vectores T1 y T2. El esfuerzo cortante mximo tiene lugar en el punto de la seccin ms prximo al eje de resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo T1= P/A y el mximo valor del esfuerzo cortante producido por la torsin T2= Tr/J. es decir:

Que puede escribirse en la forma:

En la barra recta de la figura a la torsin produce la misma deformacin s en las fibras AB y CD y, por tanto, la distorsin = s/L es la misma en B que en D puesto que los elementos AB Y CD tienen la misma longitud inicial. En cambio, en la barra curva de la figura b la situacin es diferente, ya que aunque las fibras AB y CD, la distorsin en B es mayor que en D, por lo que el esfuerzo cortante por torsin en las fibras internas AB es mayor que en las externas CD. La importancia de este efecto depende de la magnitud de la diferencia de longitud inicial entre AB y CD. Evidentemente esta diferencia depende del grado de curvatura de alambre o barra, es decir, de la relacin d/R. la siguiente ecuacin toma en cuenta este efecto adicional la cual es utilizada para resortes pesados en los que la curvatura del alambre es grande y m es ms pequeo:

En donde m=2R/d= D/d es la relacin de dimetro medio de las espiras al dimetro del alambre. Para resortes ligeros, en los que la relacin m es muy grande:

Distencin de un resorte: Prcticamente toda la elongacin de un resorte segn el eje se debe a la torsin del alambre. En la figura se supone por un momento que todo el resorte, excepto la pequea longitud dL, es rgido, el extremo A girara hacia D un pequeo ngulo d. Como este ngulo es muy pequeo, el arco AD=AB* d puede considerarse como una recta perpendicular a AB, de donde, por la semejanza de los tringulos ADE y BAC se tiene: O sea De donde

Reemplazando e integrando

Sustituyendo L por 2Rn, que es la longitud de n espiras de radio R, y J por /32 resulta:

BIBLIOGRAFA: Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper Row. Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGA DE MATERIALES, 1985, Ed. Revert. Biguri Zarraonandia Iaki, TORSIN, disponible en: http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/ Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE MATERIALES, 2011, disponible en: http://mecanica-usach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3_arreglando.pdf Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora, disponible en: http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingeniero-tecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8-Torsion.pdf