informe nº 3 - physionet.cps.unizar.esphysionet.cps.unizar.es/~car/doc_internos/ia3.pdf4.3....

PROGRAMA NACIONAL DE I+D EN MEDIO AMBIENTE

Proyecto AMB99-1095-C02-01

Control activo acústico estructural del ruido de baja frecuencia en el

interior de medios de transporte

Informe Nº 3Informe Nº 3Informe Nº 3Informe Nº 3

DISEÑO DE SENSORES MODALES PARA EL CAAE

Noviembre 2000

Pedro Cobo Parra

Instituto de Acústica. CSIC.

Serrano 144. 28006 Madrid

P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________

-1-

CONTENIDO

1. INTRODUCCION …………………………………………………………….. 22. MODOS ESTRUCTURALES Y MODOS RADIANTES .......................... 63. SENSORES PUNTUALES PARA EL CAAE………………………..........

3.1. Sensores puntuales para modos estructurales ……….....…..3.2. Sensores puntuales para modos radiantes …........…………..

151517

4. SENSORES DISTRIBUIDOS PARA EL CAAE ……………....………….. 4.1. Sensores distribuidos para modos estructurales ..................... 4.2. Sensores distribuidos para modos radiantes ............................ 4.3. Sensores distribuidos para la velocidad volúmica ...................

20222841

4. DISEÑO DE SENSORES MODALES EN EL DOMINIO DELNUMERO DE ONDA ............................................................................ 54

6. EJEMPLOS DE CAAE CON SENSORES DISTRIBUIDOS ................... 597. RESUMEN Y CONCLUSIONES ............................................................. 64REFERENCIAS …………………………………………………………………. 68APENDICE A: MODOS ESTRUCTURALES vs. MODOS RADIANTES .... 72


-2-

1. INTRODUCCION

El Control Activo del Ruido (CAR) surge como una técnica

complementaria al control pasivo en el margen de las frecuencias

bajas. Un sistema CAR consta de sensores para la medida del campo

primario (señal de referencia) y residual (señal de error), actuadores

para la generación del ruido secundario (señal de control), y un

sistema de control automático (controlador) que pilota el proceso de

cancelación del ruido. En un sistema CAR clásico los sensores de error

son micrófonos y los actuadores son altavoces. Es bien conocido que

el CAR funciona tanto mejor cuanto más próximas están las fuentes

de control a la fuente primaria que origina el ruido.

Cuando la estructura temporal, frecuencial y/o espacial del ruido es

muy simple (por ejemplo, ruido periódico de baja frecuencia en

conductos, o ruido en la cavidad de protectores auditivos) el sistema

CAR es capaz de proporcionar atenuaciones de hasta varias decenas

de dB. De hecho, existen ya sistemas CAR comerciales para

complementar la atenuación pasiva de protectores auditivos y para el

control del ruido en conductos (Cobo, 1997). Sin embargo, en

recintos, donde el campo acústico es mucho más complejo, el CAR

sólo proporciona una atenuación adicional de unos cuantos dB. Existe

además un problema añadido, a saber, que la respuesta natural de

los altavoces comerciales (por ejemplo, los altavoces de coche) es

muy pobre por debajo de los 100 Hz. Se puede realzar la respuesta

en este margen usando altavoces más grandes (subwoofers)

encerrados en cajas voluminosas, pero esto requiere un espacio del

que muchas veces no se dispone.

Para resolver estos problemas, Fuller introdujo a principios de los 90

el Control Activo Acústico Estructural (CAAE). Si el ruido es de origen

estructural (una superficie que vibra) es mucho más eficiente actuar


-3-

sobre la propia estructura para reducir su radiación acústica que

actuar sobre el ruido aéreo ya propagado (Fuller et al, 1996).

CAR

(a)

referencia

error

control

CAAE 1

(b)

error

referencia

control

CAAE 2

(c)

error

referencia

control

Figura 1. Sistema CAR (a), sistema CAAE primitivo (b), y sistema CAAE para

estructuras inteligentes (c)


-4-

La estrategia es mucho más eficiente, puesto que los actuadores

pueden estar pegados a la fuente primaria, y además ocupan mucho

menos espacio. Así pues, un sistema CAAE es uno que usa actuadores

para modificar la respuesta estructural de la fuente primaria, de tal

modo que se reduzca su radiación acústica en baja frecuencia. En un

principio se usaron cerámicas PZT como actuadores pegados sobre la

estructura, y micrófonos como sensores de la radiación acústica al

campo lejano (Figura 1b). La tendencia actual, sobre todo en la

industria aeronáutica, es integrar tanto los actuadores como los

sensores en la propia estructura (materiales inteligentes). Esto da

lugar a un sistema CAAE como el de la Figura 1c.

Sería muy interesante poder aprovechar para los sistemas CAAE la

parte de control (software y hardware) de los sistemas CAR. En lo

que respecta a los actuadores, no suele haber ningún problema. Si

usamos cerámicas de PZT, habrá que cambiar el amplificador de

audio por otro de alta impedancia de salida (también se puede

intercalar un transformador entre el amplificador de audio y la

cerámica). Sin embargo, el uso de sensores estructurales como

señales directas para un sistema CAAE requiere modificaciones

importantes. Como veremos en la Sección 2, la respuesta estructural

de una superficie vibrante en baja frecuencia puede ponerse como

una suma de modos estructurales. Un sensor estructural medirá

esencialmente los modos estructurales dominantes en la banda de

frecuencias de interés. El sistema CAAE tratará de minimizar estos

modos estructurales. Desgraciadamente, esto no garantiza la

minimización de la potencia acústica radiada. Sin embargo, existen

combinaciones de modos estructurales, denominadas modos

radiantes, que son ortogonales. Por tanto, la cancelación de los

modos radiantes garantiza la reducción de la potencia acústica

radiada.


-5-

Los sensores modales pueden ser puntuales o distribuidos. La Sección

3 profundiza más en el uso de sensores puntuales como señales de

error de sistemas CAAE. Este tipo de sensores tiene dos

inconvenientes importantes:

• Se requieren tantos sensores como número de modos en la banda

de frecuencias de interés, como mínimo. Esto daría lugar a

sistemas CAAE multicanal con un gran número de canales de

entrada/salida. Sistemas tales suponen una carga computacional

inasequible incluso a los DSP más potentes.

• Es necesario intercalar filtros modales entre los sensores y el

sistema CAAE para informar a éste de los modos radiantes. Es

decir, no se pueden usar los sistemas CAR existentes, sino que es

preciso filtrar convenientemente cada uno de los canales de

entrada.

Lee y Moon (1990) demostraron que es posible diseñar sensores

distribuidos con una forma geométrica calculada de tal modo que

realicen ya un cierto filtrado modal. Estos sensores distribuidos se

pueden implementar en PVDF, por ejemplo. En la Sección 4

profundizamos más en este tema. Esta estrategia permite:

• Diseñar sistemas CAAE con una dimensionalidad más reducida. De

hecho, Charette et al. (1995, 1998) demuestran que es posible

atenuar en más de 20 dB la potencia radiada en baja frecuencia

con un sistema con un solo sensor y un solo actuador (SISO).

• Introducir directamente la señal captada por el sensor al

controlador, sin ningún filtrado previo.

Si en lugar de analizar la potencia acústica radiada por la estructura

que vibra en el dominio espacial, pasamos al dominio de los números

de onda, mediante una transformada de Fourier, es fácil demostrar


-6-

que sólo aquellos modos cuyo número de onda transversal es menor

que el número de onda acústico a la frecuencia de interés (modos

supersónicos) radian sonido al campo lejano. Los modos subsónicos

son evanescentes, y por tanto, no radian sonido al campo lejano. La

sensibilidad de un sensor de los modos supersónicos en el dominio

transformado es entonces un simple filtro paso-bajo. Esto lo

discutimos en la Sección 5. En la Sección 6 se presentan algunos

ejemplos.

2. MODOS ESTRUCTURALES Y MODOS RADIANTES

El objetivo del CAAE es la cancelación del ruido de baja frecuencia

radiado por una estructura que vibra. Por consiguiente, es necesario

resolver dos problemas:

• Problema estructural: consiste en conocer cómo vibra la

estructura, conocida su geometría, sus propiedades mecánicas, las

condiciones de contorno, y las fuerzas externas aplicadas a la

misma.

• Problema acoplado acústico/estructural: consiste en calcular cómo

radia sonido una estructura, conocido su comportamiento

estructural y las condiciones de carga del medio circundante

(impedancia acústica).

El problema estructural, para geometrías sencillas, y en baja

frecuencia, puede resolverse usando la teoría de modos normales. En

concreto, la vibración transversal, w(x,y), de una placa delgada de

dimensiones (a, b, tp), tal que (tp << λ) , (Figura 2), viene dada

por:


-7-

x

y

z

a

b

tp

w(x,y)

Figura 2. Placa delgada en soporte simple

∑∑= =

=M

m

N

nmnmn yxWyxw

1 1),()(),,( ψωω (1)

donde

),( yxmnψ son los modos normales, o modos estructurales, y

mnW son las amplitudes modales

que dependen de las condiciones de contorno y de las fuerzas

externas (Cobo, 2000). La Figura 3 muestra la vibración transversal,

como una función de la frecuencia, que mediríamos con un

acelerómetro en un punto de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m

x 2 mm), en soporte simple, cuando es excitada con un shaker en el

punto de coordenadas (0.063 m, 0.075m). En el margen entre 10 y

500 Hz hay 5 modos estructurales, cuyas frecuencias propias dan

lugar a picos en la vibración transversal de la placa. La Figura 4

muestra las formas geométricas de estos modos estructurales. A una

determinada frecuencia, la respuesta estructural de la placa viene

determinada por la contribución relativa de cada uno de los modos

estructurales (amplitudes modales).


-8-

Figura 3. Respuesta estructural de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm)

excitada con una fuerza puntual de 0.5 N en (0.063 m, 0.075 m) y medida en el punto

(0.25 m, 0.25 m)

Figura 4. Los cinco primeros modos estructurales de una placa de acero de (0.38 m x

0.3 m x 2 mm)


-9-

La Figura 5 muestra la respuesta estructural de la placa a una

frecuencia intermedia entre los modos (2,2) y (3,1), 300 Hz.

Figura 5. Respuesta estructural de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm)

excitada con una fuerza puntual de 0.5 N en (0.063 m, 0.075 m) a la frecuencia de 300

Hz

Una vez que conocemos como vibra la estructura, se puede calcular

como radia sonido al campo lejano. Existen dos formulaciones para

ello:

• La formulación de campo lejano, que usa la integral de Rayleigh

para calcular la presión acústica radiada al campo lejano (r>>a,b

y r>>λ) por una estructura apantallada en un baffle infinito (Fuller

et al, 1996; Hansen y Snyder, 1997).

• La formulación de campo próximo, que divide la superficie radiante

en células, caracterizada cada una de ellas por una velocidad de


-10-

vibración y una presión acústica (Johnson y Elliott, 1995a). Ambas

magnitudes pueden ser relacionadas a través de la matriz de

transferencia de impedancia.

Veamos con más detalle la formulación de campo próximo.

Consideremos una placa rectangular en un baffle infinito, Figura 6.

v

baffle infinito

i

piS

Figura 6. Una placa delgada rectangular, dividida en una serie de radiadores

elementales, cada uno de superficie S

Dividimos la placa en un número d de radiadores elementales, cada

uno de ellos de área S. Cada radiador elemental vibra con velocidad

vi. Nótese que para el caso de excitación armónica, v=-jωw. La

presión acústica enfrente del radiador i-ésimo es pi. Como en

aplicaciones CAR/CAAE el controlador trata de cancelar la suma

cuadrática de las señales de error, interesa usar una magnitud

proporcional a la presión acústica al cuadrado. La potencia acústica

radiada por la placa es (Johnson y Elliott, 1995a)


-11-

pvHS ℜ

=Π

2 (2)

donde

( )dvvv ,...,, 21=v es el vector de velocidades complejas de

cada uno de los radiadores elementales

),...,,( 21 dppp=p es el vector de presiones acusticas

complejas en frente de cada radiador

elemental

H denota hermítico (transpuesto, complejo conjugado), y ℜ denota

parte real. Ahora bien, la presión acústica y la velocidad de vibración

están relacionadas por la matriz de transferencia de impedancia, Z,

Zvp = (3)

Luego

RvvZvv HHS =ℜ

=Π

2 (4)

donde

ZR ℜ

=

2S

es la matriz de transferencia de resistencia.

La Ec. (4) permite calcular la potencia acústica radiada por la

estructura al campo lejano, conocido su comportamiento estructural

(la velocidad de vibración) y su acoplamiento al medio circundante (la

matriz de resistencia). Ya que la matriz R no es diagonal, los modos


-12-

normales estructurales contribuyen a la potencia acústica radiada de

una manera acoplada. Es decir, el modo estructural i-ésimo

contribuye aisladamente a la potencia radiada, a través del elemento

Rii de la matriz de resistencia, pero también se acopla con el modo j-

ésimo para radiar potencia acústica, a través del elemento Rij de la

matriz de resistencia. Por esta razón, la minimización de un número

determinado de modos estructurales en una banda de frecuencias no

garantiza la reducción de la potencia acústica radiada en dicha banda

de frecuencias (Borgiotti, 1990; Cunefare, 1991; Cazzolatto y

Hansen, 1998).

Pero R es una matriz simétrica (Rij=Rji), real y definida positiva. Por

tanto, se puede descomponer en vectores y valores propios

QQR Λ= T (5)

donde Q es una matriz unitaria (QQ-1=I) de vectores propios, y ΛΛΛΛ es

una matriz diagonal de valores propios reales y positivos. La potencia

acústica radiada es entonces

∑=

=Λ=Λ=Πd

iii

HTH y1

2λyyQvQv (6)

donde

Qvy = . (7)

Lo importante de esta formulación es que la potencia acústica se

obtiene como una suma de una serie de términos que son

independientes (ortogonales) unos de otros. Cada uno de los vectores

propios (filas de la matriz Q) se denominan modos radiantes. El


-13-

vector y contiene las amplitudes de estos modos radiantes. Los

valores propios , λi, son las eficiencias de radiación de cada uno de

los modos radiantes. Cada modo radiante está formado por una

combinación lineal de modos estructurales, en una proporción

definida por la matriz de vectores propios. La potencia radiada por

cada modo radiante es igual al cuadrado de su amplitud multiplicado

por su valor propio. Como los modos radiantes son contribuyentes

independientes a la potencia radiada, la reducción de algunos de

éstos implica necesariamente la reducción de aquella. La

ortogonalidad de los modos radiantes es la propiedad que los hace

muy interesantes para aplicaciones CAAE.

Para el caso particular de una placa delgada en soporte simple, la

matriz de transferencia de resistencias tiene por elementos (Johnson

y Elliott, 1995a)

( )

=

ij

ijij kr

krc

SRsin

4 0

022

πρω

(8)

donde ρ0 y c0 son, respectivamente, la densidad y la velocidad del

sonido del medio acústico, y rij es la distancia entre los elementos

radiantes i-ésimo y j-ésimo de la placa. La Figura 7 muestra las

formas modales de los seis primeros modos radiantes de una placa

delgada en soporte simple. La Figura 8 muestra la variación con la

frecuencia de los valores propios correspondientes (eficiencias de

radiación) para una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm).

Nótese que hasta ka=1 (f=142 Hz) la potencia radiada está dominada

esencialmente por el primer modo radiante. La cancelación de este

modo radiante garantiza la reducción de la potencia radiada en más

de 20 dB.


-14-

Figura 7. Los seis primeros modos radiantes de una placa delgada en soporte simple

Figura 8. Eficiencias de radiación de los seis primeros modos radiantes de una placadelgada de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm) en soporte simple


-15-

Como vemos en la Figura 7, el primer modo radiante es un modo

volúmico, modo pistón, o modo monopolar. Por tanto, un sistema

CAAE SISO con un sensor para la velocidad volúmica será capaz de

cancelar gran parte de la potencia radiada en baja frecuencia (Elliott y

Johnson, 1993; Johnson y Elliott, 1995ab; Charette et al., 1995,

1998; Guigou et al., 1996; Naghshineh y Mason, 1996; St. Pierre et

al, 1998). Profundizaremos más en esto en la Sección 4.

3. SENSORES PUNTUALES PARA EL CAAE

La técnica de medida de modos radiantes con sensores estructurales

puntuales es una generalización de la técnica de medida de las

amplitudes modales de los modos estructurales. Analizemos primero

el procedimiento para la estimación de los modos estructurales.

3.1. Sensores puntuales para modos estructurales

La técnica que extrae las amplitudes modales a partir de las medidas

estructurales en una serie discreta de puntos y de las formas de los

modos normales estructurales se conoce cómo filtrado modal (Snyder

y Tanaka, 1993; Snyder et al., 1995, 1996) o cómo descomposición

modal (Clark y Fuller, 1992a). La solución de modos normales para la

vibración transversal de una placa delgada es

∑∑= =

=M

m

N

nmnmn yxVyxv

1 1),()(),,( ψωω (9)

donde

),( yxmnψ son los modos normales, o modos estructurales, y

mnV son las amplitudes de velocidad modales

Sean P puntos aleatoriamente distribuidos de la placa, de


-16-

coordenadas (xp,yp) , p=1,2, .., P, y v=[v1 v2 ...vP]T el vector de

velocidades medidas en cada uno de estos puntos. De la Ec. (9)

=

MNPPMNPPPP

MN

MN

P V

VV

yxyxyx

yxyxyxyxyxyx

v

vv

.

.

),(..),(),(..

..

....

.

.),(..),(),(),(..),(),(

.

.12

11

2111

2222212211

1111211111

2

1

ψψψ

ψψψψψψ

(10)

Es importante que los sensores estructurales puntuales (por ejemplo,

acelerómetros) no estén espaciados regularmente para evitar la

singularidad del determinante de la matriz ΨΨΨΨ. Si el número de puntos

de medida P=MxN, entonces la Ec. (10) representa un sistema de P

ecuaciones para P incógnitas que puede ser invertido para

proporcionar las amplitudes modales

vΨV 1−= (11a)

Es interesante notar que:

• Con P sensores puntuales se pueden medir P amplitudes modales

como máximo.

• Los modos superiores al P-ésimo producirán aliasing espacial.

Cuando se aplica esta técnica se asume que los modos de órdenes

superiores al P tienen una amplitud despreciable. Para ello, la

frecuencia de excitación de la estructura tiene que ser mucho

menor que la frecuencia del modo más alto que se quiere medir.

Si se usa un número de sensores mayor que el número de amplitudes

modales a medir, P > MxN, entonces se puede aplicar el método de

los mínimos cuadrados para obtener


-17-

v)(ΨΨΨV 1TT −= (11b)

Así pues, para implementar un sistema CAAE que cancele P modos

estructurales se requiere:

• Al menos P sensores puntuales (sistema MIMO).

• Un filtro externo que implemente la Ec. (11).

Si la estructura vibrante tiene una geometría regular, es posible usar

la simetría de los modos estructurales para reducir el número de

sensores puntuales (Snyder et al., 1996). Por ejemplo, para una

placa en soporte simple, sumando o restando las medidas

proporcionadas por cuatro acelerómetros en las esquinas se puede

eliminar la influencia de muchos modos. Otra forma de reducir el

número requerido de sensores estructurales es el uso de sensores

distribuidos como veremos, en la Sección 4.

3.2. Sensores puntuales para modos radiantes

Si partimos de la Ec. (10) ΨVv = , y multiplicamos internamente por

QQT (téngase en cuenta que Q-1=QT), donde Q es la matriz de

modos radiantes, obtenemos

ΦUQVΨQv T == (12)

donde TΨQΦ = es la matriz de modos radiantes transformada por la

matriz de los modos estructurales en cada uno de los puntos de

medida, y QVU = es el vector de amplitudes de los modos radiantes.

En un problema dado se conocen los modos estructurales y la matriz

de resistencias, por lo que se pueden calcular los modos

transformados. Partiendo de las medidas estructurales se pueden


-18-

calcular las amplitudes de los modos transformados invirtiendo la Ec.

(12). Si el número de modos estructurales es igual al número de

sensores puntuales (acelerómetros, por ejemplo), entoces la matriz ΦΦΦΦ

es cuadrada. Si además esta matriz es no singular, entonces se

puede aplicar la inversión directa para obtener

vΦU 1−= (13a)

Si el número de sensores es mayor que el número de modos, el

sistema es sobredeterminado, y se puede aplicar la técnica de

mínimos cuadrados para obtener

v)(ΦΦΦU 1TT −= (13b)

En la deducción de los modos radiantes de la Sección 2

relacionábamos la presión acústica de campo próximo con la

velocidad transversal en cada punto de la estructura a través de la

impedacia acústica. Esto permitía obtener la potencia acústica en

términos de la velocidad estructural y de la resistencia acústica. De

forma totalmente análoga, Berkhoff y Doelman (1999), relacionaban

la velocidad estructural con la presión acústica, a través de la

admitancia acústica, lo que les permitía expresar la potencia acústica

radiada en términos de la presión acústica y de la conductancia

acústica. Esto es

GppYpppv HHH =ℜ

=ℜ

=Π

22SS

(14)

donde

Y=Z-1 es la matriz de transferencia de admitancia


-19-

entre las velocidades de vibración transversal

y las presiones acústicas de campo próximo, y

YG ℜ

=

2S

es la matriz de transferencia de conductancia

acústica

De manera análoga al procedimiento seguido en la Seccion 2,

podemos descomponer G en sus vectores y valores propios para

obtener

GGTG QQG Λ= (15)

y

υΛυpQΛQp GpGCTG

H ==Π (16)

donde

QG es la matriz unitaria de vectores propios de G, cuyas

filas son las formas modales de los modos radiantes

GΛ es la matriz diagonal de valores propios

pQυ Gp = es el vector de amplitudes de los modos radiantes

Berkhoff y Doelman (1999) usaban 20 micrófonos en el campo

próximos de una placa delgada, encastrada en un encapsulamiento de

sección vertical triangular. Como fuente primaria usaban un altavoz

dentro del encapsulamiento. Como actuadores usaban cerámicas PZT.

Como sensores de error usaban las salidas de un front-end cuyas

entradas eran las presiones captadas por los 20 micrófonos. Con un

actuador y un sensor para el primer modo radiante (sistema SISO)

conseguían cancelaciones de 16.2 dB, en el margen entre 50 y 250

Hz. Con tres actuadores y tres sensores para los tres primeros modos

radiantes conseguían una cancelación de 22.9 dB, en la misma banda

de frecuencias.


-20-

Ya hemos comentado antes que la tecnología CAAE actual tiende

hacia el diseño de sistemas inteligentes, en los que tanto los sensores

como los actuadores estén embebidos en la propia estructura. Los

aceleómetros no son los sensores más indicados para este fin.

Masson et al. (1997) y Berry (1999) han usado sensores discretos de

fibra óptica y de PVDF en sistemas CAAE.

5. SENSORES DISTRIBUIDOS PARA EL CAAE

El polivinilideno de flúor (PVDF) es un material piezoeléctrico plástico,

que se fabrica en forma de película fina, que permite implementar

sensores estructurales distribuidos. El diseño de estos sensores está

basado en el trabajo de Lee y Moon (1990) quienes demostraban que

la carga eléctrica, q, proporcionada por un sensor de este tipo,

pegado sobre una estructura 2D, es

( ) ( ) ( ) dxdyyx

yxwey

yxwex

yxweyxFtt

q fa fbfp ∫ ∫

∂∂

∂+∂

∂+∂

∂+−=

0 0

2

362

2

322

2

31,2,,),(

2(17a)

donde

tp es el espesor de la estructura 2D

tf es el espesor de la película de PVDF

af es la longitud del PVDF

bf es la anchura del PVDF

F(x,y) es una función de sensibilidad del PVDF

eij son coeficientes de tensión piezoeléctrica del PVDF, y

w(x,y) es la vibración vertical de la estructura.

Generalmente, se usa PVDF polarizado de tal modo que e36=0

(polarización vertical a la película de PVDF). En este caso


-21-

( ) ( ) dxdyy

yxwex

yxweyxFtt

q fa fbfp ∫ ∫

∂∂+

∂∂+

−=0 0 2

2

322

2

31,,),(

2(17b)

Se puede usar la función de sensibilidad para resolver modos

estructurales o radiantes, variando la capacidad de generación de

carga eléctrica del sensor a lo largo de la duración del modo. Si el

modo es 1D, como en barras, se pueden diseñar sensores distribuidos

2D: una dimensión para medir sobre la duración espacial del modo, y

la otra para acomodar la función de sensibilidad. Esto significa que se

puede usar una tira de PVDF a lo largo de una barra, por ejemplo,

para resolver uno de sus modos, variando su anchura según una

forma geométrica apropiada.

Si la estructura es 2D, una placa, por ejemplo, serían necesarios

sensores 3D para medir modos estructurales o radiantes. Así pues,

para resolver un modo, habría que cubrir la estructura entera con la

película de PVDF, y usar el espesor para acomodar la función de

sensibilidad. Ya que las películas de PVDF son muy finas (varias

decenas de µm) es bastante complicado variar su espesor durante su

fabricación. Otra solución poco viable sería practicar pequeños

agujeros sobre el PVDF, de tal modo que la relación de la superficie

abierta a la superficie cerrada siga un patrón directamente

relacionado con la función de sensibilidad. Lo que si es práctico, es el

uso de tiras de PVDF con anchura variable. Aunque una tira sólo

puede discriminar modos 1D, se pueden disponer tiras múltiples

adecuadamente para medir modos 2D. Cuando la estructura tiene

una geometría regular, se puede aprovechar la simetría de los modos

estructurales para dar la forma a los sensores. Por ejemplo, una placa

delgada en soporte simple tiene formas modales desacopladas. Ya

veremos más adelante, que es este caso, se puede diseñar una cruz

de dos tiras de PVDF, paralelas a los ejes de la placa, para discriminar

modos estructurales.


-22-

4.1. Sensores distribuidos para modos estructurales

Clark y Fuller (1992b) aplicaban CAAE a una placa delgada en soporte

simple, usando dos actuadoes PZT y dos tiras rectangulares de PVDF,

paralelas a cada uno de los ejes de la placa (Figura 9), como

sensores.

x

y

a

b

x1

e x2

e

y1

e

y2

e

PZT1

PZT2

PVDF1

PVDF2

Figura 9. Sistema CAAE para una placa delgada en soporte simple usada por Clark y

Fuller (1992b)

La función de sensibilidad para este sensor de PVDF es

[ ][ ])()( )()(),( 2121eeee yyHyyHxxHxxHyxF −−−−−−= (18)

donde H(.) es la función escalón de Heaviside, ),( 21ee xx son las

coordenadas del sensor rectangular en la dirección del eje y, e

),( 21ee yy son las coordenadas de posición del sensor en la dirección del

eje x. Clark y Fuller justificaban la elección de este tipo de sensores

en el hecho de que los modos (impar,impar), por ejemplo los modos

(1,1), (1,3),..., son radiadores mucho más eficientes que los modos

(par,par), por ejemplo los modos (2,2), (2,4),... (Cobo, 2000). Por

razones de simetría de los modos normales de una placa delgada en


-23-

soporte simple, la tira denominada PVDF1 sólo medirá los modos

impares en la dirección del eje y, mientras que la tira denominada

PVDF2 sólo será sensible a los modos impares en la dirección del eje

x. Por consiguiente, un sistema CAAE cuyas entradas de error sean

las proporcionadas por ambos sensores tenderá a cancelar sólo los

modos impares, en lugar de cancelar todos los modos de la placa.

Clark y Fuller (1992b) comparaban los resultados del CAAE usando

estos dos sensores de PVDF con éstos usando tres micrófonos en el

campo lejano de la placa, a –45º, 0º, y 45º, a diferentes frecuencias.

En todos los casos ensayados se obtenían cancelaciones del orden de

30 dB con los sensores de PVDF, y unos 5-10 dB más con los

sensores acústicos. Concluían pues que era menester usar sensores

modales distribuidos más selectivos para conseguir mejorar los

resultados del CAAE con el PVDF.

Analizando la Ec. (17) que relaciona la función de sensibilidad del

sensor (también denominada función de apertura) con los modos

estructurales del sistema, Clark y Burke (1996) concluían que, en el

caso de estructuras 2D, sólo es posible diseñar sensores modales

exactos en el caso de condiciones de contorno “pinned”. Veamos esto

con más detalle. Derivando dos veces la Ec. (1) e introduciendo el

resultado en la Ec. (17b), obtenemos

dxdyy

ex

eyxFWtt

q fa fb mnmnM

m

N

nmn

fp ∫ ∫∑∑

∂∂+

∂∂+

−== =

0 0 2

2

322

2

311 1

),(2

ψψ (19)

Supongamos ahora unas condiciones de contorno tales que

mnmn

mnmn

y

x

ψψ

ψψ

∝∂

∂

∝∂

∂

2

22

2

(20)


-24-

Entonces

[ ]dxdyyxFeyxFeWtt

q fa fbmnmn

M

m

N

nmn

fp ∫ ∫∑∑ ++

−∝= =

0 0 32311 1

),(),(2

ψψ (21)

Debido a la ortogonalidad de los modos normales, vemos que un

sensor con una función de apertura igual a la forma de un modo

normal, ),(),( yxyxF qrψ= , dará una salida proporcional a la

amplitud modal correspondiente. En resumen, las condiciones para

diseñar sensores modales 2D exactos son:

• La apertura del sensor ha de ser proporcional al modo estructural

que se desea medir.

• La apertura del sensor ha de ser proporcional a la curvatura

(derivada segunda) del modo que se desea medir.

Estos requisitos se cumplen exactamente sólo para condiciones de

contorno ‘pinned’. En el caso de una placa, al menos uno de los

bordes opuestos han de estar en condiciones de soporte simple (Clark

y Burke, 1996). Esto no quiere decir que para otro tipo de

condiciones de contorno no sea posible el diseño de sensores modales

aproximados, como veremos más adelante. En el caso 1D, siempre es

posible diseñar sensores modales exactos, para cualesquiera

condiciones de contorno (Clark y Burke, 1996)

Estrictamente hablando, un sensor modal habría de tener una

apertura igual a la forma del modo que se desea medir. Es decir, en

el caso de estructuras 2D, sería necesario diseñar sensores con

aperturas 2D. En el caso de estructuras 2D con una cierta

regularidad, es posible aprovechar la simetría de los modos


-25-

estructurales para simplificar el diseño. La Figura 10 ilustra el diseño

de dos sensores distribuidos para medir los modos (3,impar) y (*,1)

de una placa rectangular en soporte simple.

Figura 10. Sensor distribuido para la medida de los modos (3,impar) y (*,1) de una

placa delgada en soporte simple (Según Clark y Burke, 1996)

El sensor consta de dos tiras perpendiculares de PVDF de 2.54 cm de

ancho. La tira paralela al eje x tiene una apertura proporcional al

modo (3,1), por lo que es sensible a todos los modos (3,*). Como

está emplazada a lo largo de la línea media del eje x, sólo será

sensible a los modos (3,impar). La tira paralela al eje y está situada a

lo largo de una línea que atraviesa el primer antinodo del modo (3,1).

Por tanto, será sensible a los modos (*,1).

El sensor a lo largo del eje x de la Figura 10 tiene dos pasos por cero

y tres cambios de polaridad. Hay diferentes maneras de implementar

en la práctica estos cambios de polaridad. Como el PVDF es un

material flexible, se puede doblar por los pasos por cero, de manera

que la cara que está arriba en un segmento, esté abajo en el

segmento siguiente. Otra forma de hacer esto es mediante el


-26-

conexionado eléctrico de los electrodos, es decir inviertiendo los polos

eléctricos entre segmentos adyacentes del sensor.

Así pues, el diseño de sensores para ciertos tipos de modos, en

estructuras con condiciones de contorno simples, es elemental. Basta

que la apertura del sensor siga la forma del modo buscado. Tanaka et

al. (1998) usan un procedimiento similar para extraer modos

estructurales de una placa delgada en soporte simple. La Figura 11

muestra los resultados para el caso del modo (1,3).

Figura 11. (a)Apertura del modo (1,3) de una placa delgada en soporte simple; (b)

Respuesta de un acelerómetro; (c) Respuesta del sensor modal diseñado (Según Tanaka

et al., 1998)


-27-

En los trabajos sobre diseño de sensores modales que contienen

resultados experimentales es usual atribuir las desviaciones con

respecto a los resultados teóricos a errores cometidos en el corte del

PVDF. Sin embargo, Clark y Burke (1996) atribuyen más importancia

a los errores en la ubicación de los sensores en la estructura. Si se

diseña un sensor para medir un único modo estructural, la apertura

correspondiente debería ser ortogonal al resto de modos, y por tanto

debería proporcionar respuesta cero a dichos modos. Un pequeño

error en la ubicación del sensor puede resultar en contribuciones

significativas de otros modos.

Otro aspecto práctico importante en el diseño de sensores

distribuidos de PVDF es el acondicionamiento de la señal.

Dependiendo de que la respuesta del sensor sea la deformación o la

velocidad de deformación, se debe diseñar un amplificador de voltaje

o un amplificador de corriente, respectivamente. Independientemente

del acondicionamiento usado, es menester prestar importancia al

acoplamiento de impedancias entre el sensor y el amplificador. La

Figura 12 muestra el circuito de un amplificador de voltaje para usar

con PVDF.

Figura 12. Esquema de un amplificador de voltaje para el PVDF (Según Clark y Burke


-28-

(1996)

Este circuito consta de un amplificador de alta impedancia seguido de

un amplificador operacional estándar. El amplificador de alta

impedancia proporciona adaptación a la impedancia de entrada del

PVDF. El amplificador operacional proporciona ganancia y adaptación

a la baja impedancia de los cables conectados a la salida del circuito.

La resistencia en paralelo se usa para evitar que el amplificador

cargue la capacidad del PVDF y para crear un filtro paso alta.

También, es conveniente conectar a tierra el circuito y la estructura

para evitar tanto el ruido de línea (los 50 Hz) como el ruido eléctrico

generado por otros aparatos usados en el ensayo CAAE.

4.2. Sensores distribuidos para modos radiantes

Cuando se analiza la literatura, se encuentran esencialmente dos

estrategias para el diseño de sensores distribuidos de PVDF para los

modos radiantes en sistemas CAAE. La primera calcula la apertura del

sensor partiendo de un sistema de ecuaciones que se obtiene de

igualar la salida del sensor, Ec. (17b), a la forma del modo radiante

deseado (Snyder et al., 1995ab, 1996; Tanaka et al, 1996). La

segunda se basa en el hecho de que en baja frecuencia, la mayor

parte de la potencia acústica es radiada por el modo volúmico. Esta

estrategia calcula la apertura del sensor igualando la salida

proporcionada por la Ec. (17) a algo que es proporcional al

desplazamiento (o a la velocidad, en problemas armónicos) de

volumen de la estructura (Johnson et al., 1993; Johnson y Elliott,

1995ab; Guigou et al., 1996; Charette et al., 1995, 1998). Ambas

estrategias requieren del conocimiento de los modos estructurales en

la banda de frecuencias de interés. Estos modos estructurales pueden

calcularse en estructuras simples, obtenerse mediante modelos

FEM/BEM, o medirse experimentalmente en estructuras más


-29-

complejas. Veamos ahora con más detalle la primera estrategia. La

segunda la analizaremos en la Sección 4.3. Reescribamos de nuevo la

Ec. (1) en la forma

∑=

=mN

iiiWw

1

)()( rr ψ (22)

donde

Nm es el número de modos en la banda de interés

r es el vector de posición de un punto de la estructura

Wi es la amplitud del modo i-ésimo

Ψi es el modo i-ésimo

El índice modal i en la Ec. (22) corresponde al par de índices modales

(mi,ni) en la Ec. (1). La Ec. (19) tendrá ahora la forma

rr dy

ex

eFWtt

q fa fb iimN

ii

fp ∫ ∫∑

∂∂+

∂∂+

−==

0 0 2

2

322

2

311

)(2

ψψ (23)

Para continuar necesitamos conocer los modos estructurales. Para el

caso particular de una placa delgada de dimensiones (a,b), en soporte

simple,

=

bynsin

axmsinyx ii

iππψ ),( (24)

Y sustituyendo en la Ec. (23)

rrr dFb

nea

meWtt

q fa fbi

iimN

ii

fp ∫ ∫∑

+

+

==

0 0

2

32

2

311

)()(2

ψππ (25)


-30-

Ya que los modos radiantes son combinaciones de modos

estructurales, asumamos una función apertura para el sensor dada

por

∑=

=mN

iiigF

1

)()( rr ψ (26)

Sustituyendo la Ec. (26) dentro de la Ec. (25), y apelando a la

ortogonalidad de los modos normales, se obtiene finalmente

iii

mN

ii

fp gb

nea

meWabttq

+

+

= ∑=

2

32

2

31142

ππ (27)

Ahora bien, queremos que esta salida del sensor sea proporcional al

modo radiante j-ésimo. De acuerdo a la Ec. (7), la amplitud del modo

radiante j-ésimo es proporcional a

∑ ∑= =

Θ−∝Θ=mN

i

mN

ijijjijj WVb

1 1 (28)

donde ΘΘΘΘ es la matriz de valores propios que resultan de la

diagonalización de la matriz M de resistencia de radiación modal (ver

Apéndice A). De las Ecs. (27) y (28) vemos que la condición necesaria

y suficiente para diseñar un sensor para el modo radiante j-ésimo es

que

2

32

2

31

24

+

Θ+

=

bne

ame

ttabg

ii

ij

fpi

ππ (29)


-31-

Luego, teóricamente, siempre es posible diseñar sensores exactos

para medir los modos radiantes de una placa en soporte simple. De

nuevo, éste es un resultado ideal, pero que no es práctico, pues

deberíamos cubrir completamente la superficie con el sensor. Veamos

cómo se pueden diseñar sensores aproximados a base de tiras de

PVDF, aprovechando la simetría de los modos estructurales en

estructuras regulares.

La Figura 13 muestra un sensor 1D de PVDF a lo largo del eje y de

una placa delgada de dimensiones (a,b).

Figura 13. Sensor 1D en la dirección del eje y de una placa de dimensiones (a,b)

(Según Tanaka et al., 1996)

El sensor, de anchura determinada por la función )(yϕ , está situado a

lo largo de La línea γ=x . Considerando una placa en soporte simple,

la salida de este sensor, de acuerdo a la Ec. (25), será


-32-

rr db

nea

meWFtt

qb y

y iii

mN

ii

fp ∫ ∫∑+

−=

+

+

=0

)(

)(

2

31

2

321

0 )(2

ϕγ

ϕγψππ

(30)

donde F0 es una constante. Nótese que hemos intercambiado los

coeficientes de tensión piezoeléctrica dentro del corchete con

respecto a las ecuaciones anteriores. Estamos asumiendo, por tanto,

que cortamos el PVDF en la dirección de mayor valor de este

coeficiente. En otras palabras, la dirección del e31 del PVDF lo

estamos situando a lo largo del eje y, y la dirección del e32 del PVDF,

está colocado a lo largo del eje x. Veamos con más detalle la integral

de los modos normales sobre la superficie del sensor.

dydxyxb y

y i∫ ∫+

−0

)(

)(),(

ϕγ

ϕγψ

dydxa

xmsinb

ynsiny

yib i

= ∫∫

+

−

)(

)(0

ϕγ

ϕγ

ππ

dya

xmb

ynsinm

a y

y

ib i

i

)(

)(0cos

ϕγ

ϕγ

πππ

+

−

−

= ∫

[ ] [ ] dya

yma

ymb

ynsinm

a iib i

i

+−

−

= ∫ )(cos)(cos

0

ϕγπϕγπππ

Teniendo en cuenta que

( ) )()()cos()cos(cos BsinAsinBABA !=±

nos queda finalmente

dydxa

xmsinb

ynsiny

yib i

∫∫

+

−

)(

)(0

ϕγ

ϕγ

ππ


-33-

dyya

msinb

ynsina

msinm

a ib ii

i

= ∫ )(2

0ϕπππγ

π(31a)

Supongamos que )(yϕ tiene la forma del modo nj-ésimo, es decir

=

byn

singy jjn

πϕ )( (32)

En este caso

=

byn

sina

gmsiny

amsin jjnii ππ

ϕπ )(

Ahora bien, si

1<<

b

ynsin

a

gm jjni ππ

entonces

≈

b

ynsin

a

gm

byn

sina

gmsin jjnijjni ππππ

y

dydxa

xmsinb

ynsiny

yib i

∫∫

+

−

)(

)(0

ϕγ

ϕγ

ππ

dyb

ynsin

bynsin

amsin

a

gm

ma jb iijni

i

= ∫

πππγπ

π 0

2


-34-

=

am

sinbg jjn

πγ(31b)

Sustituyendo la Ec. (31b) dentro de la Ec. (30), obtenemos

finalmente

( )

+

+= ∑

=

2

31

2

321

,2 b

ne

am

ea

msinnmWbgF

ttq jj

jmN

jm

jjjjjno

fp πππγ

( ) ( ) ( )j

jmN

jmjjjjjjjn mcnmbnmWg ∑

=

=1

,, (33a)

donde

+

+=

2

31

2

320 2),(

bn

ea

me

ttbFnmb jjfp

jjjππ

(33b)

y

=

am

sinmc jj

πγ)( (33c)

Así pues, una tira de PVDF con una forma dada por la Ec. (32) es

capaz de medir todos los modos con un índice modal nj en la dirección

y. La salida del sensor dependerá del valor de los modos normales

estructurales a lo largo del ej x, en la posición x=γ.

Veamos ahora como se pueden aprovechar estos resultados, junto

con la simetría de una placa en soporte simple, para diseñar sensores

para modos radiantes. Resumamos primero las características

fundamentales del diseño de sensores 1D de PVDF:

• La Ec. (33a) nos dice que la salida de un sensor 1D de PVDF

consta de la superposición de una serie de términos, en los cuales,

cada amplitud modal estructural es multiplicada por un factor


-35-

apropiado. Es decir, la salida de un sensor 1D de PVDF contiene ya

una serie de amplitudes modales estructurales, como los modos

radiantes. Para hacer que esta salida sea igual a la amplitud de un

modo radiante es necesario ajustar apropiadamente los

coeficientes que intervienen en la función de apertura de los

sensores.

• La utilización de sensores 1D de PVDF para medir modos radiantes

es una condición necesaria, pero no suficiente. Para soslayar este

problema, será menester diseñar sensores 1D múltiples.

• ¿Cuántos sensores 1D son necesarios para obtener un modo

radiante? Para responder a esta pregunta, analicemos con más

detalle la Ec. (33a). En esta ecuación Nmj es el número de modos

estructurales filtrados por una sóla función de apertura definida

por la Ec. (32). Supongamos que el modo transformado en la

banda de frecuencias de interés consta de m funciones base en la

dirección del eje y, por ejemplo, y que cada una de estas funciones

filtra Nmj modos estructurales. Esto quiere decir que el sensor

modal filtrará entonces ∑ =

m

j jmN1

modos estructurales. Cómo

cada sensor 1D es capaz de sintetizar una serie de funciones base

de la función de forma, el número de sensores 1D necesario será

mjNmaxm jmmax ,..,2,1, == (34)

que es el número máximo de modos estructurales incluido en

cualesquiera de las funciones base, y no el número total de modos

estructurales medidos, ∑ =

m

j jmN1

. Esto es lo que hace posible la

reducción significativa del número de sensores 1D de PVDF. De la

Ec. (33a) la introducción de mmax sensores 1D pegados en

diferentes ubicaciones de la placa significa la introducción de mmax

ecuaciones para los mmax coeficientes de las funciones base gnj.


-36-

• La conformación de un sensor PVDF con funciones base apropiadas

equivale al uso de muchos sensores puntuales junto con un gran

número de lecturas, sumas y multiplicaciones en el DSP asociado.

En otras palabras, la salida de los sensores distribuidos, per se, es

la señal de entrada al controlador que estamos buscando. Esto

simplifica considerablemente la implementación del sistema CAAE.

• Se puede reducir considerablemente la carga computacional de la

función de forma usando la simetría de los modos estructurales

para ubicar los sensores 1D.

Para ilustrar este proceso, consideremos el caso del diseño de

sensores 1D para los modos radiantes de una placa delgada en

soporte simple, de dimensiones (88 cm x 180 cm x 9 mm), en la

banda de frecuencias hasta 200 Hz. La Tabla 1 resume los modos

estructurales en esta banda de frecuencias.

Tabla 1. Modos estructurales de una placa delgada en soporte simple, de (88 cm x 180

cm x 9 mm), en la banda de frecuencias hasta 200 Hz

Número modal Modo Frecuencia (Hz)

1 (1,1) 35.292

2 (1,2) 55.716

3 (1,3) 89.756

4 (2,1) 120.744

5 (1,4) 137.412

6 (2,2) 141.168

7 (2,3) 175.208

8 (1,5) 198.684

Para una placa delgada en soporte simple, los modos radiantes son

combinaciones de modos estructurales de órdenes parecidos (modos

impar/impar, modos impar/par, modos par/impar, y modos par/par)

que contribuyen independientemente a la radiación acústica. Por


-37-

consiguiente, el sistema de sensores debe ser capaz de resolver

combinaciones arbitrarias de modos de órdenes parecidos. La Figura

14 muestra el diagrama de bloques del procedimiento de diseño de

sensores 1D para modos radiantes basado en la agrupación de los

modos estructurales en grupos de órdenes parecidos.

Figura 14. Diagrama de bloques del procedimiento de diseño de sensores 1D para los

modos radiantes (Según Tanaka et al., 1996)

Vamos a aplicar paso a paso este procedimiento para el caso indicado

anteriormente.


-38-

PASO 1. De la Tabla 1 vemos como en el margen hasta 200 Hz hay 8

modos estructurales.

PASO 2. De la Tabla 1, hay dos índices modales en la dirección x (1 y

2) y 5 índices modales en la dirección y (1, 2, 3, 4, y 5).

Elegimos, por tanto, la dirección de mayor variación de

índices, en este caso la y.

PASO 3. Elegimos el diseño del sensor para los modos impar/impar

(primer modo radiante).

PASO 4. Hay m=3 índices modales impares distintos en la dirección y,

(1,1), (1,3) y (1,5), siendo el mayor de ellos 5. Si ubicamos

un sensor a lo largo de la línea γ=(a/2), sólo será necesario

un sensor 1D para medir el primer modo radiante

correspondiente a los modos estructurales de índices

impar/impar.

PASO 5. La función de forma del sensor 1D es entonces

∑ = −

−=

3

1)1(

121)12()(

i i byisingy πϕ

+

+

=

bysing

bysing

bysing πππ 53 )1(

5)1(

3)1(

1 (35)

Así pues, tres clases de índices modales de orden impar

constituyen la base para formular la función de forma del

sensor 1D.

PASO 6. De la Ec. (33a), la salida del sensor 1D será entonces


-39-

( ) ( ) ( )888)1(

5777333)1(

3444111)1(

1 cbWgcbWcbWgcbWcbWgq ++++= (36a)

Nótese que el primer sumando contiene las contribuciones de

los modos (1,1) y (2,1). Al segundo sumando contribuyen los

modos (1,3) y (2,3). Y al tercer sumando contribuye el modo

(1,5).

PASO 7. El número de sensores 1D necesarios para la medida del

primer modo radiante, o modo impar/impar, sería

21,2,2 == maxmmax

Ahora bién, los modos (2,1) y (2,3) son simétricos en la

dirección del eje x. Por tanto, su efecto puede eliminarse

ubicando un sensor 1D a lo largo de la línea x=γ en la

dirección y. En este caso, la salida del sensor 1D sería

888)1(

5333)1(

3111)1(

1 cbWgcbWgcbWgq ++= (36b)

PASO 8. Queremos que esta salida sea proporcional a los términos de

la Ec. (28) correspondientes al primer modo radiante.

Igualando los coeficientes de los términos Wj del mismo

orden, se obtiene entonces

88

8)1(5

33

3)1(3

11

1)1(1

cbg

cbg

cbg

j

j

j

Θ=

Θ=

Θ=

(37a)


-40-

Sustituyendo los valores para bj y cj de las Ecs. (33b) y (33c)

obtenemos

+

Θ=

+

Θ−=

+

Θ=

2

31

2

32

8)1(5

2

31

2

32

3)1(3

2

31

2

32

1)1(1

5

3

be

aebF

g

be

aebF

g

be

aebF

g

o

j

o

j

o

j

ππ

ππ

ππ

(37b)

Sustituyendo estos valores se obtendría la forma del primer

modo radiante para la placa delgada que estamos

estudiando. De forma similar, Tanaka et al. (1996) obtienen

los coeficientes del sensor 1D para el segundo modo radiante

(modos impar/par), y los coeficientes de los dos sensores 1D

para el tercer modo radiante (modos par/impar).

La Figura 15a muestra las señales medidas por los sensores

diseñados por Tanaka et al. (1996) para los tres primeros modos

radiantes de una placa delgada de acero en soporte simple, de

dimensiones (88 cm x 180 cm x 9 mm). El filtrado modal de estos

sensores es evidente, en comparación a la señal medida por un

acelerómetro. En la Figura 15b se muestran las salidas que se

deberían obtener con estos sensores. Como vemos, los sensores

modales captan también modos estrucurales indeseados. Por

ejemplo, el sensor del primer modo capta alguna contribución de los

modos (1,2) y (1,4). Según Tanaka et al. (1996) estos errores se

deben a imprecisiones en el corte del PVDF. Según Clark y Burke


-41-

(1996), los sensores de PVDF son más sensibles a errores en la

ubicación que a errores en el corte.

Figura 15. (a) Señal captada por un acelerómetro (arriba) y por los tres sensores para

los tres primeros modos radiantes. (b) Simulación numérica de las señales captadas por

los sensores de los tres primeros modos radiantes (Según Tanaka et al., 1996)

4.3. Sensores distribuidos para la velocidad volúmica

La velocidad volúmica de una superficie es la integral de la velocidad

sobre dicha superficie. Para medirla con sensores puntuales, se

requeriría un gran número de ellos. El PVDF, sin embargo, ofrece la

posibilidad de medirla con sensores distribuidos.

Consideremos de nuevo una placa delgada de dimensiones (a,b)

orientada en las direcciones de los ejes (x,y). Partiendo de la Ec.


-42-

(17b), Johnson y Elliott (1995b) demuestran que un sensor de PVDF

con una función de apertura cuadrática en la dirección de uno de los

ejes

2),( xaxyxF −= (38)

dará una salida proporcional al desplazamiento volúmico, siempre que

se cumplan las siguientes condiciones:

• El desplazamiento vertical en x=0 y x=a es cero. Es decir,

0),(),0( == yawyw . Esto se cumple para condiciones de contorno

simple o encastrado.

• El gradiente del desplazamiento vertical es el mismo en ambos

bordes en la dirección del eje y. Es decir y

bxwyxw

∂∂=

∂∂ ),()0,(

. Esta

condición se cumple en una placa encastrada. En el caso de

soporte simple, es necesario usar un par de películas de PVDF

convenientemente ponderadas (Johnson et al., 1993).

La velocidad volúmica puede ser calculada diferenciando con respecto

al tiempo el desplazamiento volúmico (multiplicando por -jω). La

Figura 16 muestra una representación 2D de la función cuadrática de

la Ec. (38) y un par de realizaciones prácticas de la misma,

propuestas por Johnson et al., (1993).

Como vemos en la Figura 16, la realización práctica de un sensor para

la velocidad volúmica requeriría cubrir completamente la superficie de

la placa con el sensor de PVDF, lo cual ni es barato ni es práctico.

Charette et al. (1998) proponen un diseño de un sensor de PVDF para

el desplazamiento volúmico que puede ser implementado mediante


-43-

un par de tiras cruzadas de PVDF. Berry (1999), demuestra que la

potencia radiada por una placa en baja frecuencia es

2

0

04

4D

cπρω≈Π (39a)

con

∫ ∫=a b

dydxyxwD0 0

),( (39b)


-44-

Figura 16. Representación 3D de la función de apertura cuadrática en la dirección del

eje x (arriba) y dos realizaciones prácticas de la función de apertura cuadrática (centro

y abajo) (Según Johnson et al., 1993)

Por consiguiente, un sensor capaz de medir directamente el

desplazamiento volúmico proporcionaría una señal de error ideal para

un sistema CAAE que trate de minimizar la potencia acústica radiada

en baja frecuencia.

El trabajo de Charette parte de las eigenfunciones de una placa

determinadas experimentalmente. Por tanto, se trata de un método

válido para condiciones de contorno arbitrarias. Siguiendo el

procedimiento usado por el paquete de análisis modal STAR SYSTEM

V5.0, se calculan las eigenfunciones ajustando las medidas

experimentales del desplazamiento vertical en una malla de puntos

(por ejemplo, mediante vibrometría láser) a unas funciones

polinómicas del tipo

∑∑−

=

−

=

=

1

0

1

0,),(

P

p

Q

q

qp

pqii by

axAyxψ (40)

donde Ai,pq son una serie de coeficientes que se determinan a partir

del sistema de ecuaciones

ii wA =ϕ (41)

donde

wi es un vector (MXN,1) de desplazamientos en los MxN

puntos de medida, correspondientes al modo i-ésimo

Ai es un vector (PxQ,1) de coeficientes polinómicos a

determinar, y


-45-

iϕ es una matriz (MxN,PxQ) cuyos elementos son

qn

pm

mnpq by

ax

=ϕ

En general, la Ec. (40) requiere polinomios de grado relativamente

bajo para una precisión razonable. Así pues, PxQ suele ser menor que

MxN, y el sistema de Ecs. (41) es sobredeterminado. La solución de

mínimos cuadrados es entonces

[ ] iTT

i wA ϕϕϕ1−

= (42)

Consideremos ahora que la función de coste a minimizar por un

sistema CAAE es el desplazamiento volúmico definido por

( )∫ ∫=a b

dydxyxwD0 0

, (43a)

Sustituyendo las Ecs. (22) y (40) dentro de la Ec. (43a) obtenemos

∑ ∑∑ ∫ ∫∫ ∫ ∑=

−

=

−

==

==

mN

i

P

p

Q

q

a b pp

pqiia b mN

iii dy

bydx

axAWdydxyxWD

1

1

0

1

00 0,0 0

1),(ψ

∑ ∑∑ ∫ ∫=

−

=

−

=

=

mN

i

P

p

Q

q

a b qp

pqii byd

by

axd

axAWab

1

1

0

1

00 0,

∑ ∑∑ ∫ ∫=

−

=

−

=

++

+

+

=mN

i

P

p

Q

q

a b qp

pqii byd

qaxd

pAWab

1

1

0

1

00 0

11

, 11

11

∑ ∑∑=

−

=

−

=

+

+

=mN

i

P

p

Q

qpqii qp

AWab1

1

0

1

0, 1

11

1

ΓW℘= ab (43b)


-46-

donde

W es un vector (1,Nm) de amplitudes modales

℘ es una matriz (Nm,PxQ) de los coeficientes de los

polinomios de ajuste modal, y

δ es un vector (PXQ,1) cuyos elementos son

)1)(1(1

++=

qppqδ .

La velocidad volúmica sería DjV ω−= . Para excitación armónica, la

minimización del desplazamiento volúmico es equivalente a la

minimización de la velocidad volúmica.

Consideremos ahora un sensor constituido por dos tiras de PVDF,

Figura 17. Una de ellas está ubicada a lo largo del eje x, en y=yct, y

tiene una anchura dada por )(ˆ2 xFxµ , siendo µ2 x la anchura máxima,

y )(ˆ xF la función de apertura en la dirección x, que varía entre –1 y

1. La otra está ubicada a lo largo del eje y, en x=xct, y tiene una

anchura dada por )(ˆ2 yFyµ , siendo µ2 y la anchura máxima, y )(ˆ yF

la función de apertura en la dirección y, que varía entre –1 y 1.

Figura 17. Configuración de un sensor de PVDF de dos tiras perpendiculares de


-47-

PVDF para el desplazamiento volúmico (Según Charette et al., 1998)

Sean las funciones de apertura

r

S

s

s

r

R

rr

byyF

axxF

∑

∑−

=

−

=

=

=

1

0

1

0

ˆ)(ˆ

ˆ)(ˆ

β

α(44)

La carga proporcionada por un sensor tal será

yx qqq += (45a)

donde

( ) ( ) dxdyy

yxwex

yxwett

qa xFxcty

xFxctyfp

x ∫ ∫+

−

∂∂+

∂∂+

−=0

)(ˆ

)(ˆ 2

2

322

2

31,,

2µ

µ(45b)

y

( ) ( ) dxdyy

yxwex

yxwett

qb yFyctx

yFyctxfp

y ∫ ∫+

−

∂∂+

∂∂+

−=0

)(ˆ

)(ˆ 2

2

322

2

31,,

2µ

µ(45c)

Sustituyendo las Ecs. (22) y (40) dentro de la (45b)

( )∑ ∑∑=

−

=

−

=+

+−=

mN

i

P

p

Q

qpqii

fpx IIAW

ttq

1

1

0

1

021,2

(46a)

donde

∫ ∫

−=

+

−

−a xFxcty

xFxcty

qpdxdy

by

ax

appeI

0

)(ˆ

)(ˆ

2

231

1)1( µ

µ(46b)


-48-

y

∫ ∫

−=

+

−

−a xFxcty

xFxcty

qp

dxdyby

ax

bqqeI

0

)(ˆ

)(ˆ

2

232

2)1( µ

µ(46c)

Vamos a resolver con detalle la integral I1.

∫ ∫

+

−=

+

−

+−a xFxcty

xFxcty

qp

dxbyd

qb

ax

appeI

0

)(ˆ

)(ˆ

12

231

1 1)1( µ

µ

∫+

−

+−

+−=

axFxcty

xFxcty

qp

dxby

ax

qb

appe

0

)(ˆ

)(ˆ

12

231

1)1(

µ

µ

∫

−−

+

+−=

++−aq

xctq

xctp

dxb

xFyb

xFyax

qb

appe

0

112

231 )(ˆ)(ˆ

1)1( µµ

Ahora bien

111)(ˆ

1)(ˆ +++

+

=

+q

ct

xq

ctq

xcty

xFby

bxFy µµ

+

+−+

++++

=

+

..)(ˆ6

)1()1()(ˆ2

)1()(ˆ)1(1321

ct

x

ct

x

ct

xq

cty

xFqqqy

xFqqy

xFqby µµµ

Análogamente

111)(ˆ

1)(ˆ +++

−

=

−q

ct

xq

ctq

xcty

xFby

bxFy µµ

+

+−−

+++−

=

+

..)(ˆ

6)1()1()(ˆ

2)1()(ˆ)1(1

321

ct

x

ct

x

ct

xq

cty

xFqqqy

xFqqy

xFqby µµµ


-49-

Luego

11)(ˆ)(ˆ ++

−−

+q

xctq

xctb

xFyb

xFy µµ

+

+−++

=

+

..)(ˆ

3)1()1()(ˆ)1(2

31

ct

x

ct

xq

cty

xFqqqy

xFqby µµ

Asumiendo que 1)/)(ˆ( <<ctx yxFµ , podemos despreciar los términos

de orden superior al primero. Nos queda entonces

∫−

−=

a pqctx dxxF

ax

by

appeI

0

2

231

1 )(ˆ)1(2 µ

Y sustituyendo la Ec. (44)

∫ ∑

−=

−

=

−a R

r

r

r

pqctx dx

ax

ax

by

appeI

0

1

0

2

231

1 ˆ)1(2 αµ

∫∑−+−

=

−=

a prR

rr

qctx dx

ax

by

appe

0

21

02

31 ˆ)1(2 αµ

∫∑−+−

=

−+

−=

a prR

rr

qctx

axd

pra

by

appe

0

11

02

311

ˆ)1(2 αµ

aprR

r

rq

ctxax

prby

appe

0

11

0

311

ˆ)1(2

−+

−=

−+−

=∑ αµ

Y finalmente


-50-

∑−

= −+

−=

1

0

311 1

ˆ)1(2 R

r

rq

ctxprb

yappeI αµ

(47a)

Razonando de forma análoga, podemos obtener

∑−

=

−

++−=

1

0

232

2 1ˆ)1(2 R

r

rq

qctx

prbyaqqeI αµ

(47b)

Sustituyendo las Ecs. (47) dentro de la Ec. (46a) obtenemos el

siguinete valor para qx

∑ ∑∑ ∑=

−

=

−

=

−

= −+

−

+−=

mN

i

P

p

Q

q

R

r

rq

ctxpqii

fpx rpb

ya

ppeAWtt

q1

1

0

1

0

1

0

31, 1

ˆ)1(22

αµ

∑ ∑∑ ∑=

−

=

−

=

−

=

−

++

−

+−

mN

i

P

p

Q

q

R

r

rq

ctxpqii

fp

rpby

baqqeAW

tt

1

1

0

1

0

1

0

2

232

, 1ˆ)1(2

2αµ

Esta ecuación tiene una formulación matricial más elegante (Charette

et al., 1998)

αT1W ˆ2

℘

+−= fp

xtt

q (48a)

donde

W es un vector (1,Nm) de amplitudes modales,

℘ es una matriz (Nm,PxQ) de los coeficientes de los

polinomios de ajuste modal,

T1 es una matriz (PxQ,R) cuyos elementos son

2

23231

, )1()1(2

)1()1(21

−

++−+

−+−=

qctx

qctx

rpq by

rpbaqqe

by

rpappeT µµ

, y


-51-

α es un vector (R,1) de los coeficientes de forma de la tira

de PVDF en la dirección del eje x.

Mediante un razonamiento similar al previo, se puede obtener para la

carga de salida de la tira en la dirección del eje y

βTW ˆ22

℘

+−= fp

ytt

q (48b)

donde

T2 es una matriz (PxQ,S) cuyos elementos son

2

23231

, )1()1(2

)1()1(2

1−

++

−+

−+−

=p

ctyp

ctyspq a

xsqa

bppea

xsqb

qqeT

µµ, y

β es un vector (S,1) de los coeficientes de forma de la tira

de PVDF en la dirección y.

De las Ecs. (45a) y (48), la carga total propocionada por el sensor

compuesto de las dos tiras será

βT2WαT1W ˆˆ2

℘+℘

+−=+= fp

yxtt

qqq (48c)

Es interesante notar que la matriz ℘ no es cuadrada en general (Nm

no tiene que ser igual a PxQ) por lo que no la hemos eliminado de la

Ec. (49). Como queremos que este sensor proporcione esencialmente

el desplazamiento volúmico, igualando las Ecs. (48c) y (43b), se

obtiene

ΓβT2αT1 ℘=℘+℘

+− ab

tt fp ˆˆ2

(49)


-52-

un sistema de Nm ecuaciones lineales para R+S incógnitas (los

coeficientes rα y sβ ). Existe una solución única cuando R+S=Nm.

Esta condición de unicidad relaciona el número de modos en la banda

de frecuencias de interés con el orden de los polinomios usados para

dar forma a las tiras de PVDF. Polinomios de orden más alto implican

funciones de apertura más complejas. Por eso, cuando el número de

modos incluidos en la banda de interés es muy grande, puede ser

conveniente diseñar sensores con más de una tira en cada dirección.

Es importante resaltar que la Ec. (49) es independiente del tipo,

frecuencia, posición, y amplitud de la excitación de la placa. Charette

et al. (1998) aplicaban este método al diseño de un sensor distribuido

para el desplazamiento volúmico de una placa de (50 cm x 39.8 cm x

3.15 mm), ρ=2800 kg/m3, y E=650 GPa, excitada mediante un par

de actuadores cerámicos de PZT. Para ello disponían de PVDF de 28

µm de espesor, e31=0.046 N/(V m), y e32=0.006 N/(V m), del cual

cortaron dos tiras de µx=µy=1 cm. Para determinar la forma de las

tiras usaron Nm=7 modos y funciones polinómicas de orden R=4 y

S=3. Para resolver el sistema de Ecs. (49) es necesario especificar la

posición de las tiras, xct e yct. Se demostró que la posición del sensor

es muy sensible a estos valores de xct e yct, lo que se podría explicar

en función de la aproximación introducida en el cálulo de las

integrales I1 e I2 ( ctx yxF <<)(ˆµ , cty xyF <<)(ˆµ ).

La Figura 18 muestra la forma de las dos tiras de PVDF a lo largo de

los ejes x e y que componen el sensor resultante, para el caso xct

=0.259 m e yct=0.176 m. La Figura 19 compara el desplazamiento

volúmico medido con este sensor y con vibrometría laser (144

medidas puntuales) cuando se excita la placa con los actuadores

primario y secundario. Hay un buen acuerdo entre ambas medidas,


-53-

sobre todo a las frecuencias de los modos estructurales. En alta

frecuencia, y a frecuencias intermedias, hay mayor discrepancia,

debido a que hemos usado sólo 7 modos en el cálculo del sensor de

PVDF.

Figura 18. Formas de las tiras de PVDF a lo largo de los ejes x e y para medir el

desplazamiento volúmico de una placa encastrada


-54-

Figura 19. Comparación entre el desplazamiento volúmico medido con vibrometría

laser y con el sensor de PVDF, cuando la placa es excitada con el actuador primario

(a) y con el secundario (b)

Nótese que los modos (1,2) y (2,1) tienen una contribución

importante al desplazamiento volúmico neto de la placa. Esto

contrasta con lo que podíamos esperar (los modos pares son

simétricos, por lo que no deberían contribuir al desplazamiento

volúmico neto) y podría ser debido a la presencia de los actuadores

y/o a imperfecciones de las condiciones de contorno. En cualquier

caso, este ejemplo demuestra la importancia de diseñar los sensores

a partir de formas modales estructurales determinadas

experimentalmente.

5. DISEÑO DE SENSORES MODALES EN EL DOMINIO DEL NUMERO DEONDA

Sea v(x,y) la velocidad de vibración perpendicular a una placa

delgada, dada por

∑∑= =

=M

m

N

nnmmn yxVyxv

1 1)()(),( ψψ (50)

donde Vmn son las velocidades de vibración modales. Sea V(kx,ky) la

velocidad de vibración vertical transformada al dominio (kx,ky). Pues

bien, la potencia acústica radiada es entonces (Scott y Sommerfeldt,

1997)

−−ℜ=Π ∫∫

≤+ 222222

2

20

),(

8 kkkyx

yx

yx

yx

dkdkkkk

kkVπ

ωρ (51)


-55-

donde ( )0/ ck ω= es el número de onda acústico y 222yxz kkkk −−=

es el número de onda estructural en la dirección del eje z. Vemos

cómo:

• Aquellos modos para los que 22yx kkk +> , dan lugar a una

contribución neta a la potencia acústica radiada. Estos modos se

denominan supersónicos.

• Aquellos modos para los que 22yx kkk +< , dan lugar a una

componente imaginaria pura, y por tanto no contribuyen a la

potencia acústica radiada. Estos modos se denominan

subsónicos.

Así pues, una estrategia CAAE ideal sería aquella que cancelara los

modos supersónicos. La cuestión es cómo diseñar sensores que

seleccionen los modos supersónicos del espectro de velocidades de

una estructura. Al igual que en el diseño en el dominio espacial, se

pueden diseñar sensores puntuales y distribuidos en el dominio

transformado de los números de onda. La diferencia esencial entre

ambas estrategias es que los sensores distribuidos incluyen ya un

filtrado espacial en su función de forma, mientras que los sensores

puntuales requieren un front-end donde implementar dicho filtrado.

Maillard y Fuller (1994ab, 1995) describieron el procedimiento de

diseño de sensores puntuales. La esencia de este método está en la

relación entre componentes del espectro transformado (números de

onda) y ángulos de radiación de la potencia sonora (Fuller y Burdisso,

1991). Una vibración estructural con un determinado número de onda

(kx0 ,ky0) dará lugar a una radiación sonora en la dirección del ángulo

(θ0,φ0). Por consiguiente, un sistema CAAE que cancele la vibración

estructural correspondiente a la componente espectral (kx0, ky0)

cancelará la radiación sonora en la dirección del ángulo (θ0,φ0) sin

necesidad de situar un micrófono en esa dirección en el campo lejano.


-56-

Maillard y Fuller (1995) aplicaban este principio al diseño de sensores

puntuales para el CAAE de una placa delgada en soporte simple.

Usaban 9 acelerómetros distribuidos en una malla regular sobre la

placa. Las salidas de estos 9 acelerómetros entraban en un DSP

TMS320 C30 de TI, con tres salidas, que implementaba filtros FIR

para la estimación de las componentes de la aceleración en el

dominio transformado, correspondientes a los ángulos –36º, 0º, y

36º. Las salidas de esta caja de filtros eran las entradas de error para

un controlador FX-LMS con tres salidas para tres actuadores PZT. El

controlador se implementaba en otra placa DSP TMS320 C30 de TI.

Los resultados de esta estrategia se comparaban con los de un

sistema CAAE clásico con tres micrófonos de error situados a 1.85 m

de la placa, a –36º, 0º, y 36º. La Figura 20 muestra algunos de los

resultados de este experimento. Como puede deducirse de estos

resultados, la estrategia CAAE con sensores estructurales de campo

próximo proporcionaba esencialmente los mismos resultados que la

estrategia CAAE clásica con sensores acústicos de campo lejano.

Figura 20. Autoespectro del sensor de error a 36 º estructural de campo próximo (a) y

acústico de campo lejano (b) sin (__) y con (--) CAAE. (c) Reducción integrada del SPL


-57-

entre 10 y 600 Hz usando los sensores acústicos y estructurales (Según Maillard y

Fuller, 1995)

Scott y Sommerfeldt (1997) diseñaron sensores distribuidos de PVDF

para el CAAE en el dominio del número de onda. El fundamento

teórico del diseño en el dominio del número de onda es mucho más

elemental que el diseño en el dominio espacial. Puesto que los modos

radiantes son aquellos para los que su número de onda es menor que

el número de onda acústico (modos supersónicos) se trata de diseñar

una función de forma cuya transformada al dominio del número de

onda sea un filtro paso bajo, con número de onda de corte igual al

número de onda acústico. Scott y Sommerfeldt analizaban el diseño

de sensores de PVDF para el CAAE de una barra encastrada en ambos

extremos. Elegían una función de forma producto de una ventana de

Hamming por una función sinc. La transformada de Fourier de la

función sinc es un filtro paso-bajo. Como es necesario truncar esta

transformada, la transformada de la ventana de Hamming suaviza los

efectos del truncamiento. Es decir

( ) ( )[ ]scs xxksincxxhxF −−=)( (52a)

con

>−<

<≤−

+=

bxax

bxal

xxh p

,0

2cos46.054.0)(π

(52b)

y

xxsinxsinc )()( = (52c)

donde

xs es la posición central del sensor


-58-

kc es el número de onda de corte

lp es la longitud total del sensor

xs-a y xs+b son las coordenadas de los extremos del

sensor.

El trabajo de Scott y Sommerfeldt, exclusivamente teórico,

comparaba la potencia radiada al campo lejano en la banda (20, 600

Hz) con la estimada a partir de un array de sensores distribuidos de

PVDF, con la forma determinada a partir de las Ecs. (52) y con un

array de 6 acelerómetros equidistribuidos a lo largo de la barra. La

Figura 21 muestra la forma de los sensores distribuidos y la posición

de los acelerómetros, junto con el error de la estimación de la

potencia radiada por ambos métodos.


-59-

Figura 21. (a) Array de sensores puntuales (acelerómetros) y distribuidos (PVDF) para

la estimación de la potencia radiada al campo lejano. (b) Errores en la estimación de la

potencia de ambos sensores (Según Scott y Sommerfeldt, 1997)

Las desviaciones entre los resultados de ambos sensores y los

teóricos, en la banda entre 20 y 600 Hz, era de –1 a 3 dB para el

caso de los sensores distribuidos y de 36 a 68 dB para el caso de los

sensores puntuales.

6. EJEMPLOS DE CAAE CON SENSORES DISTRIBUIDOS

En la lista de las referencias hay algunos trabajos que presentan

resultados CAAE usando sensores modales. La mayor parte de estos

resultados son numéricos, y muy pocos son experimentales. Entre los

resultados experimentales publicados cabe destacar los de Charette

et al. (1998), que analizaremos con más detalle a continuación. El

sistema experimental, Figura 22, consiste en una placa encastrada

rectangular de aluminio de dimensiones (50 cm x 39.8 cm x 3.15

mm), módulo de Young de 650 Gpa, y densidad 2800 kg m-3.

Pegados a la placa existen dos actuadores cerámicos dobles, uno de

ellos primario y otro secundario, de dimensiones (3,81 cm x 3.18 cm

x 0.19 mm), módulo de Young de 630 Gpa, y densidad 7750 kg m-3.

El sensor de error para la velocidad volúmica consta de dos tiras

perpendiculares de PVDF, cuyo diseño ya ha sido analizado en la

Sección 4.3 (ver Figura 18). Las características de estos sensores son

e31=0.046 N/(V m), e32=0.006 N/(V m), espesor de 28 µm, módulo

de Young de 2 Gpa, y densidad de 1780 kg m-3. Los experimentos se

realizan en una cámara semi-anecoica. Se midieron los SPL en nueve

puntos de una circunferencia a 1.2 m del centro de la placa,

equidistribuidos en el plano x=a/2. Puesto que el método de Charette

et al. es válido para cualesquiera condiciones de contorno, no se usó

un baffle para la placa. Para caracterizar el funcionamiento del


-60-

sistema CAAE con un solo número, se calculó el SPL promedio en el

plano x=a/2, definido por

=∑=

Pa

sinRpc

R

SPL iii

µ

θθρπ

20

),(9

log10

9

1

2

00

2

(53)

donde R es el radio de la circunferencia donde se encuentran los

micrófonos (en este caso 1.2 m).

Figura 22. Vistas frontal (a) y trasera (b) de la placa analizada por Charette et al.

(1998)


-61-

También se usó un sistema de vibrometría láser para medir el

desplazamiento de la placa en una malla de (12x12) puntos, antes y

después de aplicar el sistema CAAE. Uno de los actuadores se

excitaba con una señal armónica, y se trataba de cancelar la radiación

con el actuador secundario, usando el algoritmo FX-LMS. El voltaje

pico-a-pico aplicado a ambos actuadores variaba entre 80-120 V.

Figura 23. Resultados del CAAE a 125 Hz (frecuencia forzada) (Según Charette et al.,

1998)


-62-

La Figura 23 muestra los resultados a 125 Hz, una frecuencia alejada

de cualquier frecuencia modal de la placa. Como podemos ver en la

Figura 23a, la placa vibra como un monopolo antes de aplicar el

CAAE, con un máximo alrededor de la posición del actuador primario.

El sistema CAAE fuerza a la placa a vibrar como un dipolo, con una

eficiencia de radiación menor, lo que acarrea una cancelación como la

que se muestra en la Figura 23b. La reducción promedio a esta

frecuencia es de 16 dB. Esta reducción es conseguida como

consecuencia de la reestructuración modal (paso de la vibración

monopolar a la dipolar) y no afecta apenas a los niveles de vibración

de la placa.

La Figura 24 muestra los resultados a la frecuencia del primer modo

(1,1), 140 Hz.


-63-

Figura 24. Resultados del CAAE a 140 Hz (modo (1,1)) (Según Charette et al., 1998)

Como apreciamos en la Figura 24a, el desplazamiento de la placa

antes de aplicar el sistema de control corresponde al del modo (1,1)

con un máximo en el centro de la placa. También se trata de un modo

monopolar. De nuevo, el sistema CAAE fuerza a la placa a vibrar

cómo un dipolo, pero en este caso se reducen los niveles de vibración

además de la radiación de sonido al campo lejano. La Figura 24b

muestra la reducción conseguida en el plano de medida. La reducción

global, calculada de acuerdo a la Ec. (53) es ahora de 40 dB.

La Figura 25 muestra los resultados a la frecuencia del modo (1,2),

320 Hz.


-64-

Figura 25. Resultados del CAAE a 320 Hz (modo (1,2)) (Según Charette et al., 1998)

En este caso, la forma del desplazamiento de la placa antes y

después del CAAE, Figura 25a, es prácticamente el mismo. Los

niveles de vibración, sin embargo, se reducen considerablemente

después de aplicar el CAAE. Por tanto, los 14 dB de reducción

promedio en este caso, son debidos enteramente a la reducción de

los niveles de vibración.

7. RESUMEN Y CONCLUSIONES

Un sistema CAR usa micrófonos como sensores de error y altavoces

como actuadores. Como sensores de referencia se pueden usar

micrófonos, acelerómetros, tacómetros,... Además del controlador, un


-65-

sistema CAR requiere también acondicionadores de señal para los

sensores (preamplificadores) y amplificadores para los altavoces.

El punto más débil de un sistema CAR son los altavoces. Los

altavoces convencionales tienen un problema de durabilidad cuando

han de generar niveles altos de presión sonora, o en ambientes

hostiles, como puede ser el tubo de escape de motores. En medios de

transporte, como coches y aviones, donde el CAR tiene grandes

posibilidades de producir una mejora acústica importante sin

incrementar el peso, hay poco espacio disponible para ubicar los

altavoces necesarios para generar los niveles requeridos en baja

frecuencia. A principios de los 90, en un intento por superar estos

problemas, surge el CAAE. En primera instancia, los sistemas CAAE

usan actuadores cerámicos pegados sobre la estructura y micrófonos

de error. Por tanto, se puede aprovechar esencialmente toda la

electrónica usada en el CAR. Si acaso, será necesario cambiar un

amplificador de audio por uno de impedancia de entrada alta. O

alternativamente, se puede intercalar un transformador de

impedancias entre el amplificador de audio y las cerámicas

piezoeléctricas.

Existe la creencia generalizada de que el CAR/CAAE tiene su

aplicación natural en la industria aeronautica. Por consiguiente, el

siguiente paso en el CAAE fue integrar tanto los sensores como los

actuadores en el propio fuselaje del avión. Es decir, se trataría de

elaborar sistemas CAAE sobre materiales inteligentes. Surgió así la

necesidad de sustituir los sensores acústicos de campo lejano, por

sensores estructurales de campo próximo. Pero los sensores

estructurales miden esencialmente vibraciones, cuando el sistema

CAAE trata de cancelar sonido radiado. Afortunadamente, existe una

relación entre la vibración de una estructura y la radiación de sonido

al campo lejano, a través de la función impedancia.


-66-

En baja frecuencia se puede aplicar la formulación modal. Esta

formulación permite obtener el desplazamiento vertical, la velocidad o

la aceleración de la estructura, en términos de modos normales. Cada

modo normal se caracteriza por una frecuencia modal y una amplitud

modal. La integral de Rayleigh permite calcular la potencia radiada al

campo lejano a partir del conocimiento de la velocidad estructural. O

también se puede usar una formulación de campo próximo, que

relaciona la presión acústica y la velocidad de vibración en términos

de la impedancia (o de la admitancia). Pero los modos estructurales

radian sonido de manera acoplada. Esto quiere decir que a la

radiación del modo i-ésimo contribuye la vibración del modo i-ésimo,

pero también la del modo j-ésimo. Por tanto, si uno diseña un

sistema CAAE con sensores estructurales para unos determinados

modos estructurales, no existe la garantía de que se cancelará el

sonido radiado. Para cancelar el ruido radiado habría que cancelar

todos los modos estructurales, para lo cual se requeriría un sistema

CAAE con un número muy grande de entradas de error. Los cálculos

necesarios para un sistema CAAE tal en tiempo real, excederían

seguramente los de cualquier DSP.

Pero la matriz de impedancia que relaciona las variables estructurales

con la potencia radiada se puede descomponer en valores y vectores

propios. Lo importante de esta descomposición es que da lugar a

modos desacoplados. Cada uno de estos modos desacoplados,

denominados modos radiantes, radia sonido independientemente.

Además, la eficiencia de radiación de los primeros pocos modos es

mucho mayor que la del resto. Así pues, una estrategia CAAE ideal

sería aquella que usase sensores estructurales para medir los

primeros modos radiantes de una estructura, y actuadores cerámicos

para cancelarlos. Surge así la necesidad de diseñar sensores para los

modos radiantes de una estructura.


-67-

Se pueden diseñar sensores modales en el dominio espacial, o en el

dominio transformado del número de onda. En ambos dominios, los

sensores pueden ser puntuales o distribuidos. En los sensores

puntuales, el filtrado modal hay que implementarlo en un front-end

intercalado entre los sensores y el controlador (además de los

preamplificadores). El front-end convierte las señales de Ns sensores

en Ne señales de error, con Ne<Ns. En el dominio espacial, el

procesado de señal necesario incluye un filtrado paso-alto

dependiente de la frecuencia. En el dominio transformado, el

procesado consiste en filtros FIR que implementan transformadas de

Fourier.

Los sensores distribuidos se suelen construir de PVDF, por lo que se

les puede dar una determinada forma. De hecho, la forma de los

sensores se puede calcular de tal manera que midan directamente los

modos radiantes. Por consiguiente, los sensores distribuidos

incoropran ya en su forma el filtrado modal. En el dominio

transfornado, la función de forma es un simple filtro paso-bajo. Esto

es debido a que sólo los modos con número de onda estructural

menor o igual que el número de onda acústico contribuyen a la

radiación al campo lejano (modos supersónicos). El número de onda

de corte del filtro paso-bajo de la función de forma ha de ser igual al

número de onda acústico a la frecuencia de interés.

En el dominio espacial, el diseño de los sensores distribuidos para los

modos radiantes es más complejo. Hemos analizado dos líneas de

investigación en este campo. Ambas requieren el conocimiento previo

de los modos estructurales. La primera, en la que han trabajado

fundamentalmente Tanaka y Snyder, se iguala la salida del sensor

modal a los modos radiantes que deseemos medir. La aplicación de

este método requiere condiciones de contorno “pinned”, en las que al


-68-

menos dos bordes de la estructura han de estar en soporte simple. La

segunda, trata de aprovechar el hecho de que el primer modo

radiante, el de mayor eficiencia de radiación, es un modo volúmico.

En esta línea, la estrategia de control es reducir directamente la

velocidad volúmica (o el desplazamiento volúmico en problemas

armónicos) de la estructura. Por tanto, se trata de diseñar

directamente un sensor distribuido cuya salida sea proporcional a la

velocidad volúmica de la estructura. Esta idea, lanzada por primera

vez por Johnson y Elliott, es usada más recientemente por Charette

para diseñar un sensor que consiste en dos tiras finas de PVDF,

perpendiculares entre sí. La gran ventaja de este diseño es que parte

de modos estructurales medidos experimentalmente, y es válido, por

tanto, para condiciones de contorno cualesquiera. La validez de este

diseño es para frecuencias bajas, donde la eficiencia de radiación del

primer modo radiante excede ampliamente la del resto de modos

radiantes.

REFERENCIAS

Berkhoff, A.P. and Doelman, N.J., 1999. “Efficient radiation mode

sensing strategies for active structual acoustic control”. ACTIVE

99, 411-422.

Berry, A., 1999. “Advanced sensing strategies for the active control of

vibration and structural radiation”. ACTIVE 99, 73-90.

Borgiotti, G.V., 1990. “The power radiated by a vibrating body in an

acoustic fluid and its determination from boundary

measuremets”. J. Acoust. Soc. Am., 88, 1884-1893.

Cazzolato, B.S. and Hansen, C.H., 1998. “Active control of sound

transmission using structural error sensing”. J. Acoust. Soc.

Am., 104, 2878-2889.


-69-

Charette, F., Guigou, C., and Berry, A., 1995. “Development of

volume velocity sensors for plates using PVDF film”. ACTIVE 95,

241-252.

Charette, F., Berry, A., and Guigou, C., 1998. “Active control of sound

radiation from a plate using a polyvinylidene fluoride volume

displacement sensor”. J. Acoust. Soc. Am., 103(3), 1493-1503.

Clark, R.L. and Fuller, C.R., 1992a. “Experiments on active control of

structurally radiated sound using multiple piezoceramic

actuators”. J. Acoust. Soc. Am., 91(6), 3313-3320.

Clark, R.L. and Fuller, C.R., 1992b. “Modal sensing of efficient

acoustic radiators with polyvinylidene fluoride distributed

sensors in active structural acoustic control approaches”. J.

Acoust. Soc. Am., 91(6), 3321-3329.

Clark, R.L. and Burke, S.E., 1996. “Practical limitations in achieving

shaped modal sensors with induced strain materials”. J. Vib.

Acoust., 118, 668-675.

Cobo, P., 1997. Control Activo del Ruido. Principios y

Aplicaciones. CSIC, Colección Textos Universitarios, Nº 26,

Madrid.

Cobo, P., 2000. “Fundamentos del Control Activo Acústico

Estructural”. Informe Nº 1, Proyecto AMB99-1095-C02-01.

Cunefare, K.A., 1991. “The minimum multimodal radiation efficiency

of baffled finite beams”. J. Acoust. Soc. Am., 90(5), 2521-2529.

Elliott, S.J. and Johnson, M.E., 1993. “Radiation modes and the active

control of sound power”. J. Acoust. Soc. Am., 94(4), 2194-

2204.

Fuller, C.R. and Burdisso, R.A., 1991. “A wavenumber domain

approach to the active control of structure-borne sound”. J.

Sound Vib., 148, 355-360.

Fuller, C.R., Elliott, S.J., and Nelson, P.A., 1996. Active Control of

Vibration. Academic Press, London.

Guigou, C., Berry, A., Charette, F., and Nicolas, J., 1996. “Active


-70-

control of finite beam volume velocity shaped PVDF sensor”.

ACUSTICA-acta acustica, 82, 772-783.

Hansen, C.H. and Snyder, S.D., 1997. Active Control of Noise and

Vibration. E&FN Spon, London.

Johnson, M.E., Elliott, S.J., and Rex, J.A., 1993. “Volume velocity

sensors for active control of acoustic radiation”. Technical

Memorandum, ISVR, University of Southampton.

Johnson, M.E. and Elliott, S.J., 1995a. “Active control of sound

radiation using volume velocity cancellation”. J. Acoust. Soc.

Am., 98(4), 2174-2186.

Johnson, M.E. and Elliott, S.J., 1995b. “Experiments on active control

of sound radiation using a volume velocity sensor”. SPIE, 2443,

658-669.

Lee, C.K. and Moon, F.C., 1990. “Modal sensors/actuators”. J. Appl.

Mech., 57, 434-441.

Li, Z., Guigou, C., Fuller, C.R., and Burdisso, R.A., 1997. “Design of

active structural acoustic control systems using a nonvolumetric

eigenproperty asignment approach”. J. Acoust. Soc. Am.,

101(4), 2088-2096.

Maillard, J.P. and Fuller, C.R., 1994a. “Advanced time domain wave-

number sensing for structural acoustic systems. I. Theory and

design”. J. Acoust. Soc. Am., 95, 3252-3261.

Maillard, J.P. and Fuller, C.R., 1994b. “Advanced time domain wave-

number sensing for structural acoustic systems. II. Active

radiation controlof a simply supported beam”. J. Acoust. Soc.

Am., 95, 3262-3272.

Maillard, J.P. and Fuller, C.R., 1995. “Advanced time domain wave-

number sensing for structural acoustic systems. III.

Experiments on active broadband radiation of a simply

supported plate”. J. Acoust. Soc. Am., 98, 2613-2621.

Masson, P., Berry, A., and Nicolas, J., 1997. “Active structural

acoustic control using strain sensing”. J. Acoust. Soc. Am., 102,


-71-

1588-1599.

Naghshineh, K. and Mason, V.B., 1996. “Reduction of sound radiated

from vibrating structures via active control of local volume

velocity”. Applied Acoustics, 47, 27-46.

Scott, B.L. and Sommerfeldt, S.D., 1997. “Estimating acoustic

radiation from a Bernouilli -Euler beam using shaped

polyvinylidene fluoride film”. J. Acoust. Soc. Am., 101(6), 3475-

3485.

Snyder, S.D. and Tanaka, N., 1993. “On feedforward active control of

sound and vibration using vibration error signals”. J. Acoust.

Soc. Am., 94, 2181-2193.

Snyder, S.D., Tanaka, N., Burgemeister, K., and Hansen, C.H.,

1995a. “Direct-sensing of global error criteria for active noise

control”. ACTIVE 95, 849-860.

Snyder, S.D., Tanaka, N., and Kikushima, Y., 1995b. “The use of

optimally shaped piezo-electric film sensors in the active control

of free field structural radiation, Part 1: Feedforward control”. J.

Vib. Acoust., 117, 311-322.

Snyder, S.D., Tanaka, N., and Kikushima, Y., 1996. “The use of

optimally shaped piezo-electric film sensors in the active control

of free field structural radiation, Part 1: Feedback control”. J.

Vib. Acoust., 118, 112-121.

St. Pierre, R.L., Koopmann, G.H., and Chen, W., 1998. “Volume

velocity control of sound transmission through composite

panels”. Applied Acoustics, 210(4), 441-460.

Tanaka, N., Snyder, S.D., and Hansen, C.H., 1996. “Distributed

parameter modal filtering using smart sensors”. J. Vib. Acoust.

118, 630-640.

Tanaka, N., Kikushima, Y., and Fergusson, N.J., 1998. “One-

dimensional distributed modal sensors and the active modal

control for planar structures”. J. Acoust. Soc. Am., 104(1), 217-

225.


-72-

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido posible gracias a la financiación de la CICYT, a

través del Proyecto AMB99-1095-C02-01


-73-

APENDICE A: MODOS ESTRUCTURALES vs. MODOS RADIANTES

En este Informe hemos usado dos tipos de modos radiantes, unos

definidos por Johnson y Elliott, que se obtienen depués de dividir la

superficie en un determinado número de radiadores elementales, y

otros definidos por Snyder y Tanaka, que se obtienen después de

considerar una superficie que vibra según un patrón determinado por

los modos estructurales. Veamos la conexión entre ellos.

En la Sección 2 hemos visto que si dividimos la superficie radiante en

d radiadores elementales, construimos un vector v, con las

velocidades de vibración complejas de cada uno de los radiadores

resultantes, y un vector p, con las presiones enfrente de cada uno de

estos radiadores (formulación de campo próximo), existe la siguiente

relación entre ambos

Zvp = (A.1)

donde Z es la matriz de transferencia de impedancia, que relaciona la

presión de cada uno de los elementos radiantes con la velocidad de

vibración de cada uno de los elementos radiantes. Hemos visto

también que la potencia acústica radiada es

RvvZvvpv HHH SS =ℜ

=ℜ

=Π

22(A.2)

donde R es la matriz de transferencia de resistencia. Ahora, cómo la

matriz R es real, simétrica, y definida positiva, la podíamos

descomponer en vectores y valores propios

ΛQQR T= (A.3)


-74-

donde Q era una matriz unitaria de vectores propios de R, y ΛΛΛΛ es una

matriz diagonal de valores propios de R. La potencia radiada será

entonces

∑=

===Πd

iii y

1

2λΛyyΛQvQv HTH (A.4)

donde

y=Qv. (A.5)

De esta manera, la potencia radiada resulta de la contribución de una

serie de sumandos, cada uno de ellos siendo el producto de la

amplitud al cuadrado del vector yi por el valor propio correspondiente.

Podemos denominar, por tanto, a cada uno de estos sumandos un

modo de potencia acústica, o un modo radiante. La amplitud de cada

modo radiante es yi. Los valores propios son reales y positivos, y

representan las eficiencias de radiación de los modos radiantes. Los

vectores propios, filas de la matriz Q, son las formas de los modos

radiantes. Lo importante de esta formulación, seguida por Elliott y

Johnson, es que los modos de potencia radian sonido

independientemente.

Nótese que en la formulación de campo próximo no es necesario usar

la descomposición de la velocidad de vibración en modos

estructurales. Sin embargo, Snyder y Tanaka diseñan sus sensores

distribuidos igualando la salida del sensor a la amplitud del modo

radiante j-ésimo, en términos de amplitudes modales estructurales.

Veamos cómo se hace esto. Partimos de la descomposición modal de

la velocidad de vibración en formulación matricial


-75-

ΨVv = (A.6)

donde v es un vector de velocidades en los P puntos de medida, ΨΨΨΨ es

una matriz cuyos elementos son los valores de los modos normales

en los puntos de medida, y V es un vector de amplitudes modales de

los modos normales. Si sustituimos la Ec. (A.6) dentro de la Ec. (A.2)

MVVRΨΨVRvv HHHH ===Π V (A.7)

donde RΨΨM H= es la matriz de resistencia de radiación modal. Los

elementos diagonales de esta matriz representan las resistencias de

auto-radiación de cada uno de los modos estructurales. Los

elementos no diagonales de esta matriz representan las resistencias

de radiación mutua entre cada par de modos estructurales. Ahora,

como esta matriz también es real, simétrica, y definida positiva, se

puede descomponer en vectores y valores propios

ΩΘΘM T= (A.8)

donde ΘΘΘΘ es la matriz unitaria de vectores propios y Ω es la matriz

diagonal de valores propios. Y sustituyendo la Ec. (A.8) dentro de la

Ec. (A.7)

∑=Ω====Π

mN

nnn b

1

2ΩbbΩΘVΘVMVV HTHH (A.9)

donde


-76-

ΘVb = (A.10)

Así pues, en esta formulación, la potencia acústica radiada se obtiene

como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto

de la amplitud al cuadrado de bn por el correspondiente valor propio.

Cada uno de estos términos es, por tanto, también un modo de

potencia acústica, o un modo radiante. Cada uno de estos modos

radiantes tiene una forma dada por Θn, una amplitud dada por bn, y

una eficiencia de radiación dada por Ω n. Aunque los vectores y

valores propios de R y de M son distintos, el resultado final, es decir,

la potencia acústica radiada, ha de ser la misma. La primera

formulación, Ec. (A.4) tiene la ventaja de que las amplitudes de los

modos radiantes se obtienen a partir de velocidades de vibración, que

se puede medir directamente, mientras que en la segunda

formulación se usan las amplitudes de velocidad de vibración

modales, que no se miden directamente. Además, la primera

formulación es más general puesto que separa completamente la

dinámica de movimiento de la superficie de su radiación sonora.

informe nº 3 - physionet.cps.unizar.esphysionet.cps.unizar.es/~car/doc_internos/ia3.pdf4.3....

Documents