“MODELO MATEMÁTICO PARA UN SISTEMA TÉRMICO DE

CONTROL ON/OFF PARA UNA PLANTA DE

TERMOCONTRACCIÓN”.

1. INTRODUCCIÓN.

Controlar un proceso consiste en mantener constantes ciertas

variables, prefijadas de antemano. Las variables controladas pueden

ser, por ejemplo: Presión, Temperatura, Nivel, Caudal, Humedad,

etc.

Un sistema de control es el conjunto de elementos, que hace posible

que otro sistema, proceso o planta permanezca fiel a un programa

establecido.

• Tomemos por ejemplo, el caso de un horno eléctrico.

• La temperatura aumenta al activar las resistencias calentadoras

mediante un contactor, gobernado a su vez por un relé dentro del

controlador.

• El modo de control ON/OFF es el más elemental y consiste en

activar el mando de calentamiento cuando la temperatura está por

debajo de la temperatura deseada SP y luego desactivarlo

cuando la temperatura esté por arriba.

• Ejemplo debido a la inercia térmica del horno la temperatura

estará continuamente fluctuando alrededor del SP.

• Las fluctuaciones aumentarán cuanto mayor sea la inercia térmica

del horno (retardo).

• Este control no es el más adecuado cuando se desea una

temperatura constante y uniforme.

1

2. OBJETIVOS.

2.1. Objetivo general.

Desarrollar la ecuación matemática para un proceso térmico,

deduciendo mediante los fenómenos físicos que surgen en el interior

de una cámara de termo contracción.

2.2. Objetivos específicos.

- Identificar los fenómenos físicos de un proceso térmico.

- plantear las ecuaciones.

- realizar el lazo de control de temperatura.

- diseñar los diagramas de bloques.

- Desarrollar la función de transferencia mediante diagramas de

bloques del control de temperatura ON/OFF.

- Realizar la simulación del proceso en el MATLAB

- realizar el análisis de estabilidad del proceso.

3. MARCO TEÓRICO.

3.1. Lazo de control de temperatura.

Este lazo está constituido por los siguientes equipos e instrumentos.

- Sensor de temperatura.

- Etapa de potencia.

- Circuito de valor deseado (set/point).

- Planta del proceso.

3.2. Estructura de un sistema de control

Se tiene dos tipos de estructura diferente de lazo de control:

• Sistemas de control en LAZO ABIERTO

Aquel en el que ni la salida ni otras variables del sistema tienen

efecto sobre el control “NO TIENE REALIMENTACIÓN”.

• Sistemas de control en LAZO CERRADO.

2

En un sistema de control de lazo cerrado, la salida del sistema y

otras variables, afectan el control del sistema TIENE

REALIMENTACIÓN.

3.2.1. Sistema.

Conjunto de elementos, físicos o abstractos, relacionados entre sí de

forma que modificaciones o alteraciones en determinadas

magnitudes en uno de ellos pueden influir o ser influidas por los

demás.

3.2.2. Variable de proceso.

- La variable medida que se desea estabilizar (controlar) recibe el

nombre de variable de proceso ("process value") y se abrevia PV.

- Un buen ejemplo de variable de proceso es la temperatura, la

cual mide el instrumento controlador mediante un termopar o una

Pt100.

3.2.3. Set Point o Consigna

- El valor prefijado (Set Point, SP) es el valor deseado de la

variable de proceso, es decir, la consigna.

- Es el valor al cual el control se debe encargar de mantener la PV.

- Por ejemplo en un horno la temperatura actual es 155 °C y el

controlador está programado para llevar la temperatura a 200°C.

- Luego PV=155 y SP=200.

3.2.4. Error.

Se define error como la diferencia entre la variable de proceso PV y

el set point SP,

E = SP - PV

En el ejemplo anterior

3

E = (SP - PV) = (200°C - 155°C) = 45 °C.

Recuerde que el error será positivo cuando la temperatura

sea menor que el set point, PV < SP.

3.3. Definición de un sistema térmico.

Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia

de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se analizan en

términos de resistencia y capacitancia, aunque la capacitancia

térmica y la resistencia térmica tal vez no se representen con

precisión como elementos de parámetros concentrados, dado que,

por lo general, están distribuidas en todas las sustancias.

Para lograr análisis precisos, deben usarse modelos de parámetros

distribuidos. Sin embargo, para simplificar el análisis, un sistema

térmico se representa mediante un modelo de parámetros

concentrados, que las sustancias que se caracterizan mediante una

resistencia al flujo de calor tienen una capacitancia térmica

insignificante y que las sustancia que las caracterizan por una

capacitancia térmica tiene una resistencia insignificante al flujo de

calor.

El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes:

3.3.1. CONDUCCIÓN:

Es el principal medio de transferencia de calor. Se realiza por la

transferencia de energía cinética entre moléculas, es decir, se

transmite por el interior del cuerpo estableciéndose una

circulación de calor. La máxima cantidad de calor que atravesará

dicho cuerpo será aquella para la cual se consigue una

temperatura estable en todos los puntos del cuerpo.

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En este tipo de transmisión se debe tener en cuenta la

conductividad térmica de las sustancias (cantidad de calor

transmitido por unidad de tiempo, superficie, gradiente de

temperatura).

3.3.2. CONVECCIÓN:

El calor de un sólido se transmite mediante la circulación de un

fluido que le rodea y este lo transporta a otro lugar, a este

proceso se le llama convección natural. Si la circulación del fluido

está provocada por un medio externo se denomina convección

forzada.

3.3.3. RADIACIÓN:

El calor se transfiere mediante emisiones electromagnéticas que

son irradiadas por cualquier cuerpo cuya temperatura sea mayor

a cero grados Kelvin. El estado de la superficie influye en gran

medida en la cantidad de calor radiado. Las superficies mates son

más favorables que las pulidas y los cuerpos negros son los de

mayor poder de radiación, por este motivo se efectúa un

ennegrecimiento de la superficie radiante. La transferencia de

calor por radiación no se tiene en cuenta puesto que a las

temperaturas a que se trabaja ésta es despreciable

La transferencia de calor por radiación solo se aprecia si la

temperatura del emisor es muy alta en comparación con la del

receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los sistemas de

control de procesos no involucran transferencia de calor por

radiación.

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Cuando se lleva a cabo un proceso de empacado se debe cuidar que

el empaque escogido cuente con las medidas y características

necesarias, no sólo para transportar los productos, sino para

garantizar que lleguen a su destino en perfectas condiciones.

Se trata de demostrar la utilización de algoritmos de identificación

aplicados a una máquina de termo contracción con la finalidad de

obtener su modelo matemático dinámico y así poder, simular el

comportamiento del sistema térmico del termo contraíble ante el

sistema de control propuesto. La temperatura es una cantidad

intensiva, es decir, si se unen dos cuerpos a la misma temperatura,

la temperatura final es la misma, no el doble.

La temperatura permite conocer el nivel térmico de un cuerpo. Su

medida se basa en la ley fundamental de la termodinámica: cuando

dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero, los tres están

a la misma temperatura.

Existe equilibrio térmico entre dos cuerpos en contacto cuando no se

transfieren calor el uno al otro.

La medida de temperatura presupone un intercambio de calor entre

el cuerpo a medir y el transductor, hasta alcanzar el equilibrio

térmico. Por este motivo, hay que tener presente que el hecho de

hacer una medida implica un cambio de la magnitud a medir y por

tanto un error implícito en la medida.

3.3.4. Conceptos fundamentales de un sistema térmico

- Flujo calorífico: es la cantidad de calor transferida a través de una

superficie por unidad de tiempo.

Representado

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- Resistencia térmica: Es la oposición que presenta un cuerpo a la

transmisión del calor a su través. Es igual a la diferencia de

temperatura entre las caras opuestas del cuerpo dividido por el

flujo calorífico que lo atraviesa.

- Calor específico: Es una magnitud física que se define como la

cantidad de calor que hay que suministrar a la unidad de masa de

una sustancia o sistema termodinámico para elevar su

temperatura en una unidad. En general, el valor del calor

específico depende del valor de la temperatura inicial. Se le

representa con la letra (minúscula).

Por lo tanto, el calor

específico es el cociente entre la capacidad calorífica y la masa,

esto es donde es la masa de la sustancia.Capacidad

calorífica: es la cantidad de calor necesaria para aumentar un

grado la temperatura de un sistema o de un cuerpo.

- Conductividad térmica: es la relación entre la velocidad temporal

del flujo calorífico por unidad de área y el gradiente negativo de

temperatura por unidad de espesor en la dirección del flujo

calorífico.

- Constante de tiempo térmica: es el tiempo necesario para que la

temperatura de un cuerpo cambie un 63.2% entre el valor inicial y

final de temperatura cuando el cuerpo se somete a una función

escalón.

3.4. Sensor de temperatura.

- Detector de temperatura resistivo (RTD).

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Un Pt100 es un sensor de temperatura. Consiste en un alambre de

platino que a 0 °C tiene 100 ohms y que al aumentar la temperatura

aumenta su resistencia eléctrica.

El incremento de la resistencia no es lineal pero si creciente y

característico del platino de tal forma que mediante tablas es posible

encontrar la temperatura exacta a la que corresponde.

Un Pt100 es un tipo particular de RTD (Dispositivo Termo Resistivo)

Normalmente las Pt100 industriales se consiguen encapsuladas en la

misma forma que las termocuplas, es decir dentro de un tubo de

acero inoxidable u otro material (vaina) , en un extremo está el

elemento sensible (alambre de platino) y en el otro está el terminal

eléctrico de los cables protegido dentro de una caja redonda de

aluminio ( cabezal ).

o Ventajas de un Pt100

Por otra parte los Pt100 siendo levemente más costosos y

mecánicamente no tan rígidos como las termocuplas, las superan

especialmente en aplicaciones de bajas temperaturas. (-100 a

200 °).

Los Pt100 pueden fácilmente entregar precisiones de una décima

de grado con la ventaja que la Pt100 no se descompone

gradualmente entregando lecturas erróneas, si no que

normalmente se abre, con lo cual el dispositivo medidor detecta

inmediatamente la falla del sensor y da aviso.

Este comportamiento es una gran ventaja en usos como cámaras

frigoríficas donde una desviación no detectada de la temperatura

podría producir algún daño grave.

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Además la Pt100 puede ser colocada a cierta distancia del

medidor sin mayor problema (hasta unos 30 metros) utilizando

cable de cobre convencional para hacer la extensión.

o Conexión del PT100

Existen 3 modos de conexión para las Pt100, cada uno de ellos

requiere un instrumento lector distinto.

El objetivo es determinar exactamente la resistencia eléctrica R(t)

del elemento sensor de platino sin que influya en la lectura la

resistencia de los cables Rc.

Con 2 hilos

El modo más sencillo de conexión (pero menos recomendado) es

con solo dos cables.

En este caso las resistencias de los cables Rc1 y Rc2 que unen

la

Pt100 al instrumento se suman generando un error inevitable.

El lector medira el total R(t)+Rc1+Rc2 en vez de R(t).

Lo único que se puede hacer es usar cable lo más grueso posible

para disminuir la resistencia de Rc1 y Rc2 y así disminuir el error

en la lectura.

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Por ejemplo si la temperatura es 90°C, entonces R(t) = 134.7

ohms, pero si el cable Rc1 tiene 1.3 ohms y el Rc2 tiene 1.2 ohms

entonces la resistencia medida será 134.7+1.3+1.2 = 137.2 ohms

y la lectura del instrumento será 96 °C.

Un cable común razonáblemente grueso sería uno de diámetro

equivalente a 18 AWG. La resistencia de este cable es 0.0193

ohms por metro.

Por ejemplo si se usa este cable para medir una resistencia a 15

metros de distancia, la resistencia total de los cables será

15*2*0.0193 = 0.579 ohms lo que inducirá un error de 1.5°C en la

lectura.

Con 3 hilos

El modo de conexión de 3 hilos es el más común y resuelve

bastante bién el problema de error generado por los cables.

El único requisito es que los trés cables tengan la misma

resistencia eléctrica pues el sistema de medición se basa (casi

siempre) en el

"puente de Wheatstone". Por supuesto el lector de temperatura

debe ser para este tipo de conexión.

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En el caso particular de los instrumentos ARIAN, se hace pasar

una corriente conocida a través de los cables azul y verde con lo

cual el instrumento mide 2Rc. Luego mide la resistencia por los

cables café y azul para finalmente restarle 2Rc al valor medido y

obtener R(t).

Auto calentamiento y corriente de excitación

Cualquiera que sea el método de conexión, se debe hacer pasar

una cierta corriente I por el elemento sensor de modo de poder

medir su resistencia. Esta corriente I llamada "corriente de

excitación" la suministra el instrumento lector y es del orden de

0.1 mA a 2 mA dependiendo del modelo y marca del equipo. Un

problema que puede ocurrir es que la "corriente de excitación"

genere por efecto Joule (P=I*I*R) un calentamiento del elemento

sensor aumentando su temperatura y produciendo así un error en

la lectura.

Este problema es más pronunciado mientras más pequeña sea la

Pt100 (menor capacidad de disipación del calor generado) y a la

vez mientras se esté midiendo en un medio menos conductor de

calor.

Por ejemplo es mayor cuando se mide temperatura en el aire que

cuando se la mide en el agua. Valores típicos del error producido

en un Pt100 són del orden de 0.5°C por miliwatt generado cuando

la Pt100 está en aire sin circular y 0.05°C con la misma Pt100 en

agua.

La potencia de auto calentamiento depende del cuadrado de la

corriente de excitación, luego mientras menor sea esta corriente,

mucho menor será el efecto.

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Los instrumentos ARIAN CL20, BT40 y CL47 suministran una

corriente de excitación bastante baja de 0.18 mA

3.5. Criterio de estabilidad de Routh.

Para decidir si un sistema en lazo cerrado es estable solo se requiere

saber si existen raíces de la ecuación característica en el semiplano

derecho, y no es necesario conocer su valor. El Test de Routh

permite identificar el número de raíces en el semiplano derecho a

través de un procedimiento relativamente simple.

Primero se debe expresar el numerador de la ecuación característica

en forma polinomial:

Hay que verificar que 0 a sea positiva, de lo contrario, debe

multiplicarse los miembros de la ecuación por –1.

PASO 1 (condición necesaria)

El polinomio [2] debe ser completo, esto es, ningún ai debe ser nulo,

de lo contrario, al menos una raíz se

encontrará en el semiplano derecho.

Si alguno de los coeficientes es negativo, entonces al menos una

raíz se ubica en el semiplano derecho y no es necesario ningún

análisis adicional se requiere. Más aún, el número de cambios de

signos es igual a la cantidad de raíces en el semiplano derecho.

PASO 2 (condición suficiente)

Si todos los coeficientes son positivos

se debe construir el Arreglo de Routh que posee n filas:

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4. INGENIERÍA DEL PROCESO

Grafica de la planta de termo contracción

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Datos técnicos del túnel de termo

contracción

Potencia 2.8kw

Voltaje 220v

Temperatura máxima 200oC

Datos del PVC

Calor especifico 1000

Masa 100 gramos

Análisis matemático.

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q = mc

En donde

q = flujo de calor, kcal/seg

∆Ɵ= diferencia de temperatura, “C

m = masa de la sustancia considerada, kg

c = calor específico de la sustancia, kcal/kg “C

Análisis de la ecuación

Aplicando la place

Ecuación A

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Ecuación B Hallando el valor de

Aplicando la place

B en A

Resistencia y capacitancia térmicas.

La resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se

define del modo siguiente:

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La resistencia térmica para una transferencia de calor por radiación se obtiene

mediante.

R=

Rrad= =

( ) = ( ) ( )

= ( ( ( )

=

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Valo de la Resistencia termica

La capacitancia térmica C se define mediante:

o bien:

C = mc

en donde:

m = masa de la sustancia considerada, kg

c = calor específico de la sustancia, J/k.ºK

C=1000

Encontrando el valor de RC

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Este valor se reemplaza en el RC de la planta

Diagrama de bloques función de transferencia 1

Reduciendo el bloque cortocircuitando el punto de suma.

Función de transferencia 1

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Función de Transferencia 2

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-

Función de transferencia general sumando las funciones 1 y 2

Función de transferencia final

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Simulación en MATLAB

Respuesta del control on/off en la planta de termo contracción

Prueba de estabilidad

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Analisis de estabilidad mediante grafica de polos y ceros

Analizando las raices del denominador del polinomio de la funcion de

transferencia.

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Despues de realizar el analices analitico de los polos se procede a la verificacion

mediante el matlab.

Grafica de los polos mediante la utilización del comando RLOCUS

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5. Conclusión

Una vez identificado el modelo matemático del termo contraíble se utilizó

dicho modelo en una serie de simulaciones en matlab destinadas a

determinar los parámetros del algoritmo de control propuesto, en este caso

un controlador (ON/OF) los cuáles permitieron obtener el tipo de

comportamiento deseado en el sistema.

6. Bibliografía.

- Ingeniería de control moderna 3ra edicion Kaysuhiko Hogata

- Mecanismo de transferencia de calor – Capitulo 14

- Ingeniería de control 2da edición W. Bolton

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