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FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL

DE INGENIERÍA DE MINAS

TEMA:

INTERPOLACIÓN

ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

DOCENTE:

Mg. PERALTA CASTAÑEDA, JULIO CESAR

ALUMNOS:

LOPEZ HERRERA PERSI

MAYHUA FLORES HENRRY C.

CICLO:

“IV”

TRUJILLO-PERÚ

2015

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DEDICATORIA

A nuestros padres que nos han dado la existencia; y en ella la capacidad por

superarnos y desear lo mejor en cada paso por este camino difícil y arduo de la

vida. Gracias por ser como son, porque su presencia y persona han ayudado a

construir y forjar las personas que ahora somos.

A nuestros maestros y amigos; que en el andar por la vida nos hemos ido

encontrando; porque cada uno de ustedes ha motivado nuestros sueños y

esperanzas. Gracias a todos los que han recorrido con nosotros y a los que nos

acompañan en este camino para conseguir lo que tanto anhelamos.

Los autores.

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RESUMEN

El presente trabajo, consiste en la aplicación y análisis de los métodos de

interpolación, referido a la estimación de reservas y perforación en la minería. El

propósito de la investigación es parangonar, la teoría de los métodos numéricos

(interpolación) y su aplicación en la ingeniería de minas, consideradas

fundamentales en nuestra carrera. Dicho análisis, ayudará a resolver problemas

típicos de perforación y estimación de reserva mineral, cada una de complejidad

creciente, aprendiendo lo básico del tema y ganando conocimiento de la potencia

de la herramienta de cálculo que se utiliza. El problema, por otro lado, surge

debido al costo de producción elevado de los minerales y de la inquietud por

relacionar la teoría y la práctica de los métodos numéricos, puesto que han

logrado una gran evolución. Se desarrolló algunas aplicaciones de los métodos

numéricos (interpolación) a diversos problemas de ingeniería de minas y se

muestra una descripción de algunos de estos como, la determinación de la

estimación de la reserva mineral de una zona minera y para evitar el

recalentamiento de los barrenos al momento de realizar la perforación pues

esto nos permitirá cambiar en un momento adecuado con la cual evitaremos el

deterioro del barreno con lo que reduciremos costos de producción.

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Índice DEDICATORIA…………………….. ………………………………….…………2

RESUMEN………..………………….………………………………….…………3

ÍNDICE……………………………….………………………………….…………4

1). INTRODUCCIÓN……………………………………….………………………5

1.1). INTRODUCCIÓN……………………………………………………………..……..6

1.2). PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………..7

1.3). HIPÓTESIS Y JUSTIFICACIÓN……………………….……………………..…...8

1.4). OBJETIVOS……………………………………….………………………………….8

1.4.1). OBJETIVOS GENERALES……………………………..…………………… ………….9

1.4.2). OBJETIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………..9

2). APLICACIONES……………………..………………………………….……...10

2.1). ESTIMACION DE RESERVAS MINERALES……………..……………....11

2.2). PERFORACIÓN MINERA………………………………………….………..11

3). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LOS METODOS NUMÉRICOS

APRENDIDOS EN CLASE….…….……….......................................................13

3.1). APLICACIÓN DEL METODO DE LAGRANGE…………………………....14

3.2). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN POR MÉTODO DE

NEVILLE..…………………..………………………………………………………16

4). CONCLUSIONES…………………………..……………………….…………18

5). BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………19

6) LINKOGRAFIA…………………………………………………………………..19

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1).INTRODUCCIÓN

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1.1). INTRODUCCIÓN

El costo de producción elevado motiva a las empresas y profesionales que las

conforman y que se dedican a la minería, a que sientan la necesidad de

implementar toda la tecnología posible, que al aplicarlo y hacer uso de estas

herramientas signifique: rapidez, eficiencia y menor costo, para sus operaciones

y logro de resultados, y que ello contribuya al aumento de la rentabilidad del

negocio.

Lógicamente no debe faltar el desarrollo de las soluciones matemáticas, están

contribuyendo generosamente al desarrollo de las operaciones mineras, en casi

todas las etapas, desde ubicación de prospectos con potencial contenido

mineralógico hasta el diseño, programación y explotación de la Mina.

En la actualidad ya existen paquetes informáticos que realizan estos tipos de

trabajo, pero que tienen un elevado costo de uso de licencia, lo cual muchas

veces, limita a las empresas de menor envergadura o de presupuesto limitado a

optar por la utilización de uno de ellos, para esto nosotros podemos aplicar las

metodologías matemáticos para lograr los objetivos con menor costo.

En ingeniería de minas y en cualquier ciencia, es común encontrarnos con un

conjunto de datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo.

Sin embargo, en muchas ocasiones se va requerir tener conocimiento de una

estimación en puntos entre los valores discretos para poder aproximar los valores

que buscamos.

La palabra interpolación es hacer coincidir una curva por un determinado

número de puntos dados. Matemáticamente el problema de interpolación es que

dado un conjunto de puntos en la gráfica de una función, pues será necesario

encontrar la función interpolante cuya gráfica pase por uno o más puntos

seleccionados y este polinomio interpolador es semejante al grafico de la

función original.

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1.2). PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Hoy a estas alturas del tiempo, cuando las nuevas formas empresariales,

exigen o motivan a producir al menor costo. La industria minera no está ausente

a esta tendencia, donde lo real es invertir cuantiosas sumas de dinero de hasta

millones de dólares en implementar nuevas tecnologías.

Si bien es cierto que una empresa o institución interesada que urge

implementar un software minero, como herramienta que ayude a solucionar y

encontrar la mejor solución a sus problemas, tendrá que lidiar con un gran costo

de adquisición de licencia y mantención de algún software conocido en el

mercado; entonces:

¿Qué sucede con las empresas, o usuarios (empresas mineras junior,

universidades, consultoras, profesionales independientes, etc.) que no estén en

la capacidad de adquirir en sus inicios una licencia de software minero?, ¿Que

sugerencias se puede expedir para aquellas empresas que están invirtiendo en

forma riesgosa, donde aún están evaluando si un yacimiento minero es rentable

su explotación o no?

¿Es posible recurrir a otras opciones que en uso y eficiencia signifiquen lo

mismo y entonces así puedan estar al mismo nivel competitivo que exige la

actualidad y realidad empresarial?

Es justamente la razón, por ello nos complace buscar y proponer mediante

este trabajo una alternativa que demuestre una solución a este problema,

mediante el uso integrado de métodos numéricos (interpolación) para una parte

fundamental de la puesta en marcha de una mina.

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1.3). HIPÓTESIS Y JUSTIFICACIÓN

1.3.1). HIPÓTESIS

Un uso integrado de los métodos numéricos con aplicaciones en la minería,

permite dar solución para la estimación de recursos y perforación, ahorrando así

costos de adquisición de licencia de software comercial.

1.3.2). JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

Se justifica el desarrollo de esta propuesta en utilizar la integración delos

métodos numéricos (interpolación) para realizar la evaluación de recursos y

perforaciones, dado que aunque existen en el mercado soluciones informáticas

de paquetes especializados para este tipo de actividades, pero, que al ser

especializados e ir dirigidos a una actividad que acostumbra a tener buena

rentabilidad (mediana y gran minería), optan por ofrecerlos a un precio muy

elevado. Quedando entonces por motivo de precio fuera del alcance de otros

interesados (empresas mineras junior, pequeña y mediana minería,

universidades, consultoras especialistas en estimación de reservas, etc.)

Se justifica el uso interactivo de los métodos numéricos (interpolación) en

propuesta, dado que contribuyen a ayudar parcialmente en la estimación recursos

y perforación.

Al trabajar de esta forma integrada se espera suprimir de todo costo de licencia

alguna para lograr el mismo objetivo que se lograría con un software comercial.

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1.4). OBJETIVOS

1.4.1) OBJETIVOS GENERALES

Encontrar un polinomio interpolante que represente una función o un

problema sin definición exacta, que pase por un conjunto de puntos dados.

Aplicar los conocimientos adquiridos en clases de métodos numéricos

para solucionar algunos problemas en la minería.

1.4.2). OBJETIVOS ESPECIFICOS

Dar solución a los problemas planteados utilizando la interpolación de

lagrange.

Con los datos de sondajes (muestras), obtener un modelo geológico y

luego un modelo numérico que nos permita hallar el polinomio interpolador

de la reserva mineral, de cualquier deposito mineral, con las herramientas

que ofrecen los métodos numéricos.

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2).APLICACIONES

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2.1). ESTIMACIÓN DE RESERVA MINERAL

Una rama muy importante en la ingeniería de minas es el estudio de la

estimación de reserva mineral que se encuentra en la zona estudiada, que

abordaremos su aplicación con la ayuda de algunos métodos numéricos que

estamos aprendiendo, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno

físico tienen ciertas peculiaridades que las hacen difíciles de abordar desde el

punto de vista numérico; es decir, se presentan problemas que no tienen una

formula específica para su solución ya que estas no son exactas y deben

seguirse ciertas alternativas para hacer abordable el problema.

Un tipo de problema que es interesante resolver por ejemplo; es cuando

queremos determinar la cantidad de mineral que existe en la zona (prospección

minera)

Por ejemplo cuando se quiera estimar la ley media y el tonelaje de todo el

yacimiento (o de una zona grande S dentro del depósito o yacimiento); Para

estimar la ley media de un conjunto S se promedian las leyes de los datos que

están dentro de S.

2.2). PERFORACIÓN MINERA

Como sabemos la masa rocosa tiene diferentes modos de comportamiento,

y esto debemos tener en cuenta en el dimensionamiento de los diferentes

componentes estructurales que tienen relación con el minado de algún

yacimiento y en general tener una visión de la respuesta de la masa rocosa

involucrada.

Para esto será necesario utilizar el modelo matemático que se adapte a las

condiciones encontradas. Los componentes estructurales del minado, dependen

del método de minado particular seleccionado para la explotación del yacimiento,

de manera que podamos establecer mejores alternativas en cuanto a la forma y

tamaño de las excavaciones cuando hacemos una comparación de las

resistencias disponibles y los esfuerzos actuantes (Factor de Seguridad), al

momento de realizar una perforación.

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Existen algunos problemas cuya solución analítica es exacta como en el caso

de la distribución de esfuerzos alrededor de excavaciones circulares. En otros

casos sin embargo, debido principalmente a problemas de contorno, las

ecuaciones planteadas no tienen una solución exacta, siendo necesario recurrir

a algún método numérico.

En la gran mayoría de los casos de perforaciones se pueden usar los

métodos numéricos, teniendo en cuenta que para la perforación existen

diferentes equipos y accesorios para realizar un barrenado o perforación en roca,

las que de acuerdo con la forma en que se desarrollan su trabajo, se dividen en

máquinas rotativas y de percusión, para tales casos se tiene en cuenta la

temperatura para que los barrenos disminuyan el calentamiento.

Los métodos numéricos también son necesarios para calcular las presiones

del agua que se utiliza en las perforaciones, porque si no hubiera una adecuada

presión, pues generaríamos desgaste de los barrenos y brocas, el cual traería

perdidas económicas; así mismo el personal que se encarga de la perforación

estaría más expuesto al polvo y vulnerable a adquirir la enfermedad de silicosis.

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3). EJEMPLOS DE

APLICACIÓN DE

LOS METODOS

NUMÉRICOS

APRENDIDOS EN

CLASE

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3.1). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Interesa estimar la de mineral en tonelaje de todo el yacimiento (o de una

zona grande dentro del depósito o yacimiento). Para estimar la reserva se

desea saber el polinomio (esto se ara usando interpolación de Lagrange) la cual

integraremos para hallar el tonelaje total de la reserva.

Ejemplo:

En la zona “ Lucerito” de la mina Strata Tintaya se realizaron siete

sondajes las cinco primeras a una distancia de 50 m y las dos últimas a una

distancia de 100m. La primera perforación encontró al cuerpo a una distancia de

60 m de la superficie pero esta se perdió; la segunda perforación encontró al

cuerpo a 20 metros de la superficie esto continua hasta que se pierde a 100

m de la superficie; la tercera perforación encuentra a 30 m esto continua hasta

90 m de la superficie donde se pierde; el cuarto sondaje encuentra el cuerpo

a 10 metros de la superficie y se pierde a una distancia de 110 m.; el quito

encuentra al cuerpo a 10 metros de la superficie y se pierde a 110m; el sexto

sondaje corta al cuerpo a 30 m esto se pierde a una distancia de 90 m, la

última perforación encuentra al cuerpo a 60 m de la superficie perdiéndose

instantáneamente. Con la cual se deduce que hay un cuerpo de mineral que

es homogénea y simétrica.

Solución:

Para estimar la reserva mineral tenemos que tener el polinomio para luego

integral.

Entonces al ver que es homogénea y simétrica trazamos nuestro eje “X”

por el centro del cuerpo mineral y tomamos nuestro eje “Y” desde el centro (eje

x) a la superficie con lo cual resulta el siguiente bosquejo.

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Entonces podemos observar los cortes que hizo la perforadora a ciertas

distancias. La cual nos sirve para tomar los Xi y f(Xi). Trabajando en la parte

superior tenemos los sientes puntos.

i X Y 0 0 0

1 50 40

2 100 30

3 150 50

4 200 50

5 300 30

6 400 0

Hallamos el polinomio:

x0 =

(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)

(0 − 50)(0 − 100)(0 − 150)(0 − 200)(0 − 300)(0 − 300)

x1 =

(x − 0)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)

(50 − 0)(50 − 100)(50 − 150)(50 − 200)(50 − 300)(50 − 300)

x2 =

(x − 0)(x − 50)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)

(100 − 0)(0 − 50)(100 − 150)(100 − 200)(100 − 300)(100 − 300)

x4 =

(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 300)(x − 400)

(200 − 0)(200 − 50)(200 − 100)(200 − 150)(200 − 300)(200 − 400)

x5 =

(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 400)

(300 − 0)(300 − 50)(300 − 100)(300 − 150)(300 − 200)(300 − 400)

x6 =

(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)

(400 − 0)(400 − 50)(400 − 100)(400 − 150)(400 − 200)(400 − 300)

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Resolviendo con la ayuda de Matlab nos da los siguientes datos

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0011 -0.0997 3.6352 0 Lo cual podemos se despreciamos las tres primeras por tener coeficiente

cero. Entonces el polinomio queda:

P(x) =0.0011x3 - 0.0997x2 + 3.6352x - 0

Ahora esto integramos de cero (0) a cuatrocientos (400) alrededor del eje “X”

Entonces de esto obtenemos que la reserva mineral que tenemos es:

Reserva total en Kg = 4.472277 × 1011 kilogramos

Reserva total en tonelada = 4.472277 × 108 toneladas

3.2). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN POR MÉTODO DE NEVILLE

Ejemplo: Se va a realizar una perforación en una labor de suelo muy duro en la

mina “Barrik” (explotación de oro), la cual se llevará a cabo con barrenos

espirales; en la tabla N°01 se muestra las temperaturas del barreno para una

cierta presión. Utilizando un método de interpolación determinar la temperatura

del barreno cuando esté a una presión de 2 atm.

n P(atm) T(°C)

0 1 56.5

1 5 113

2 20 181

3 40 214.5

Solución:

Para dar solución a este tipo de problema nos basaremos en el método de

Neville puesto que no conocemos la función, además as la forma más rápida, se

debe tener en cuenta que los barrenos espirales se usan casualmente cuando

hay que perforar capas duras y esta barrena opera como un saca corchos y no

extrae el suelo, basándonos en la tabla N°01 se interpola de la siguiente manera.

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p01(2) =(x − x0)(p1) − (x − x1)(p0)

(x1 − x0)=

(2 − 1)(113) − (2 − 5)(56.5)

5 − 1= 70.625

p12(2) =(x − x1)(p2) − (x − x2)(p1)

(x2 − x1)=

(2 − 5)(181) − (2 − 20)(113)

20 − 5= 99.4

p23(2) =(x − x2)(p3) − (x − x3)(p2)

(x3 − x2)=

(2 − 20)(214.5) − (2 − 40)(181)

40 − 20= 150.85

p012(2) =(x − x0)(p12) − (x − x2)(p01)

(x2 − x0)=

(2 − 1)(99.4) − (2 − 20)(70.625)

20 − 1= 72.14

p123(2) =(x − x1)(p23) − (x − x3)(p12)

(x3 − x1)=

(2 − 5)(150.85) − (2 − 40)(99.4)

40 − 5= 94.99

p0123(2) =(x − x0)(p123) − (x − x3)(p012)

(x3 − x0)=

(2 − 1)(94.99) − (2 − 40)(72.14)

40 − 1= 72.73

Diseñamos nuestra tabla de valores y queda

P(atm) T(°C)

1 = x0 56.5 = p0

5 = x1 113 = p1 p01 = 70.625

20 = x2 181 = p2 p12 = 99.4 p012 = 72.14

40 = x3 214.5 = p3 p23 = 150.85 p123 = 94.99 p0123 = 72.73

Con ello llegamos a la conclusión que la temperatura para una presión de 2

atm es 72.73 °C

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4). CONCLUSIONES

Se concluyó que para estimar la reserva mineral de un determinado

proyecto minero, se analiza y luego se traduce a términos matemáticos la

cual solucionamos con ayuda de los métodos numéricos (interpolación).

Como constatamos, los métodos numéricos, permite resolver de una

manera eficiente problemas, tal es el caso de encontrar la temperatura

que sufrirá el barreno a una determinada presión al momento de realizar

la perforación.

Se dedujo la importancia de los métodos numéricos, que nos va permitir

abordar problemas de mucho interés tanto para la comunidad científica,

como para que la sociedad minera se vea beneficiada de la aplicación

de simulaciones numéricas.

Un amplio número de métodos numéricos se encuentran disponibles hoy

en día para el modelamiento analítico de los problemas en la estimación

de la reserva mineral. Por lo tanto, existe una gran necesidad de tener

conocimiento de ellos.

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5). BIBLIOGRAFÍA

Neves Hurtado Antonio - Domínguez Sánchez Federico, “Métodos

numéricos aplicados a la ingeniería”. Editorial PATRIA S.A, 4ta edición,

México, 2012.

Stagg – Zienkiewicz, “Mecánica de rocas en la ingeniería práctica”.

Editorial BLUME. Traductor José María Rodríguez Ortiz- Barcelona

Burden, R.L.- Faires, J. Douglas, “Análisis Numérico”. Ed. Iberoamérica,

3ra. ed., México, 1985.

6) LINKOGRAFIA

http://www.lagrange.mx/Eventos/tallermn/img/botello_rionda.pdf

http://estimaciondemineral.unsl.edu.ar/REUNION%20%20PERU/Metodo

s%20Numericos.doc

http://www.mina.com/biblioteca/ejemplos-de-aplicacion-de-los-metodos-

numericos-a-problemas-de-ingenieria