Universidad Nacional Santiago Antnez de Myalo Laboratorio De fsica II

Universidad Nacional Santiago Antnez de Myalo Laboratorio De fsica II

PENDULO SIMPLE

I. OBJETIVO(S)

1.1. Estudiar el movimiento de un pndulo simple.1.2. Verificar si el perodo de un pndulo depende de varias propiedades del pndulo simple.1.3. Medir la aceleracin de la gravedad local utilizando un pndulo simple y un cronmetro.II. MARCO TEICO Y CONCEPTUAL

El pndulo simple es un sistema mecnico que exhibe movimiento peridico oscilatorio. El pndulo simple consiste en una bola de masa m suspendida de un punto fijo mediante una cuerda flexible e inextensible de longitud L como se muestra en la figura 2.1a. Si la masa se desplaza un ngulo pequeo a partir de la posicin vertical y se libera desde el reposo se observa que la masa describe un movimiento armnico simple siempre y cuando se desprecie la friccin entre ella y el aire.

(a) (b) Figura 2.1. (a) Representacin de un pndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.

Del diagrama de cuerpo libre de la partcula de masa m se observa que sobre sta actan: la tensin , a lo largo del hilo y el peso de la masa pendular. La componente tangencial del peso siempre se encuentra dirigida hacia la posicin de equilibrio, de direccin opuesta al desplazamiento . Por tanto, la fuerza tangencial es una fuerza de restitucin, de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de Newton en direccin tangencial, se tiene

(2.1)

(2.2)Donde es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el pndulo y el signo negativo (-) indica el hecho de que la componente tangencial acta en direccin opuesta al desplazamiento (es decir est dirigida hacia la posicin de equilibrio). Por otro lado la magnitud del desplazamiento es , siendo la longitud del pndulo L constante, la ecuacin 2.1 se escribe

(2.3)

(2.4)Esta es ecuacin diferencial no lineal, cuya solucin exacta es un desarrollo en serie de infinitos trminos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeas, es decir el ngulo es pequeo, se puede utilizar la aproximacin , donde el ngulo se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuacin diferencial (2.4) se escribe

(2.5)

La ecuacin (2.3) es la ecuacin deferencial de un movimiento armnico simple, es decir, m describe un M.A.S. y la solucin de la ecuacin (2.5) es de la forma

(2.6)

Donde 0 es el mximo desplazamiento angular, es el desfasaje y es la frecuencia natural circular, la misma que queda expresada como

(2.7)

El perodo del movimiento pendular est dado por

(2.8)*Donde L es la longitud medida desde el punto de suspensin hasta el centro de masa de la esfera y g es la aceleracin de la gravedad local. Debe observarse adems que la masa m de la esfera y la amplitud mxima de las oscilaciones 0, no aparecen en esta expresin. El perodo de un pndulo (dada nuestra hiptesis) no es dependiente de m y 0 al menos de acuerdo a la teora. Sin embargo, si nuestras hiptesis no se aplican al estudio del pndulo (el cable es pesado, la esfera tiene una gran y complicad forma, la amplitud es grande, etc), podra esperarse que esta frmula no predice correctamente el perodo del pndulo.

Una investigacin cientfica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen constantemente. Los factores que permanecen constantes son llamados controles. El nico factor que cambia durante la experimentacin se llama variable independiente. La propiedad del sistema fsico que se mide para determinar el efecto de cambio de la variable independiente es llamada variable dependiente. Si logramos mantener todos los dems factores constantes, cualquier cambio en el resultado de un experimento debera provenir de la variable independiente. De este modo, tratamos de dejar fuera los efectos individuales que cada uno de los factores ejerce sobre el fenmeno que estamos estudiando.

En este experimento, Ud. podr determinar experimentalmente la validez de la frmula terica para el perodo (T) de un pndulo simple. Va a estudiar la forma en que el perodo de un pndulo simple (la variable dependiente) es afectada cuando se vara tanto la masa m de la esfera, as como la amplitud 0 de las oscilaciones, o la longitud del pndulo (la variable independiente) y manteniendo los otros factores (los controles) constantes. Tambin se utilizar los resultados de estos experimentos para medir el valor de la aceleracin de la gravedad g experimentalmente.

III. MATERIAL A UTILIZAR

3.1. Un soporte universal con dos varillas de acero y una nuez.3.2. Una prensa.3.3. Una regla graduada en mm.3.4. Un pndulo simple.3.5. Un cronmetro.3.6. Un nivel de burbujas.3.7. Un vernier o un micrmetro3.8. Una balanza

IV. METODOLOGA

4.1 EXPERIMENTO 1. Investigacin sobre la dependencia del perodo (T) de la amplitud de la oscilacin (0).

En este experimento se trata de medir los perodos (Ti) del pndulo para diversas amplitudes i,0, manteniendo una longitud (L) fija as como una masa tambin constante m1 durante el experimento y representar en una grfica la relacin entre ambos. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalacin mostrada en la figura 2.2b. En la parte superior, el hilo debe amarrarse de tal manera que se pueda cambiar la longitud con facilidad.

(a) (b)

Figura 2.2.Instalacin del pndulo simple

b) Fije la longitud L del pndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrmetro el dimetro de la esfera (). Registre dicho valor con su respectivo error.c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Registre dicho valor con su errord) Desplace lateralmente a la masa pendular m un ngulo de 5 a partir de la posicin de equilibrio y librela desde el reposo, midiendo el ngulo con un transportador.e) Con el cronmetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Repita este paso por tres veces y registre sus datos en la tabla I.f) Determine el perodo del pndulo para dicho ngulo usando la ecuacin , donde t es el tiempo y n el nmero de oscilaciones.g) Repita los pasos (d) y (e) y (f) para ngulos de 10, 15, 20, 25 y 30. Ordene los datos en la tabla I y haga una grfica representando el perodo en funcin de la amplitud.

Tabla I. Relacin perodo (T) amplitud de oscilacin (0) para el movimiento pendular.Experimento I: L =L0 L = 98.885 0.5 mm ; m = mo m = 44.3 0.1gr

AmplitudTiempo (s)Perodopromedio

t1t2t3T1T2T3Tpromedio

520.0119.96201.991.9911.9801.987

1019.92197920.31.9821.9892.0982.023

1520.2420.2420.222.0102.0172.0072.01133333

2020.2220.2420.152.0342.0362.0382.036

2520.4220.2520.352.0352.0252.0402.03333333

3020.6920.4520.572.0502.0522.0482.05

4.2 Experimento II. Investigacin de la dependencia del perodo (T) de la masa (m) del pndulo.

En este experimento se trata de medir los perodos (Ti) del pndulo para diversas masa mi manteniendo constantes la amplitud 0 y la longitud (L) durante todo el experimento y representar en una grfica la relacin que aparece entre el perodo y la masa del pndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalacin mostrada en la figura 2.2b. b) Fije la longitud L del pndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrmetro el dimetro de la esfera (). Registre dicho valor con su respectivo error.c) Con la balanza mida la masa de la esfera. Ristre sus valores con su respectivo error en la Tabla II.d) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ngulo entre . Registre el valor escogido en la Tabla II.e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ngulo escogido y djela oscilar libremente.f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla II.g) Determine el perodo del pndulo para dicho ngulo usando la ecuacin , donde t es el tiempo y n el nmero de oscilacionesh) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las dems esferas. Registre sus valores en la Tabla II.

Tabla II: Relacin perodo (T) masa (m) para el movimiento pendular

Experimento II: L = L0 L = 1m 1mm; = o = 8 1

Masa (g)Tiempo (s)Perodopromedio

t1t2t3T1T2T3Tpromedio

29.720.1820.3320.352.0182.0332.0352.02866667

1820.1920.2020.222.0192.022.0222.02033333

920.0520.1020.092.0052.012.0092.008

4.3 Experimento III. Investigacin de la dependencia del perodo (T) de la longitud (L) del pndulo.

En este experimento se trata de medir los perodos (Ti) del pndulo para diversas masa Li manteniendo constantes la amplitud 0 y la masa del pndulo (m) durante todo el experimento y representar en una grfica la relacin que aparece entre el perodo y la longitud del pndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero de mayor dimetro, realice la instalacin mostrada en la figura 2.2a. b) Con la balanza mida la masa de la esfera. Ristre sus valores con su respectivo error en la Tabla III.c) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ngulo entre . Registre el valor escogido en la Tabla III.d) Fije la longitud L del pndulo a un valor de 120 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrmetro el dimetro de la esfera (). Registre dicho valor con su respectivo error en la tabla III.e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ngulo escogido y djela oscilar libremente.f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla III.g) Determine el perodo del pndulo para dicho ngulo usando la ecuacin , donde t es el tiempo y n el nmero de oscilacionesh) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las dems longitudes. Registre sus valores en la Tabla III.

Tabla III: Relacin perodo (T) longitud (L) para el movimiento pendular

Experimento I: = o = 7 1 ; m = mo m = 29.7 0.1 gr

Longitud (m)Tiempo (s)Perodopromedio

t1t2t3T1T2T3Tpromedio

1.348522.0922.1422.142.2092.2142.2142.21233333

1.248521.4221.3221.392.1422.1322.1392.13766667

1.148520.4320.1120.352.0432.0112.0352.02966667

1.048519.0319.0819.141.9031.9081.9141.90833333

0.948518.0518.0918.101.8051.8091.811.808

0.848516.6516.9216.851.6651.6921.6851.68066667

0.748515.4815.4515.501.5481.5451.551.54766667

0.648514.2614.2214.281.4261.4221.4281.42533333

4.4 Modelo matemtico

En las secciones anteriores pudimos encontrar que el perodo de un pndulo depende de su longitud pero no de su masa. Ahora vamos a tratar de determinar de qu manera el perodo depende de la longitud de pndulo. Para entender detalladamente como el perodo y la longitud estn relacionados necesitamos construir un modelo matemtico. En esta ecuacin nuestro modelo sera una ecuacin que exprese la relacin detallada entre el perodo del pndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta dos modelos para evaluar cmo el perodo del pndulo est relacionado con su longitud.

Modelo lineal: , donde A y B son constantes.

Modelo cuadrtico: , donde C y D son constantes.

Nuestro objetivo es determinar dos cosas

Primero: ninguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las incertidumbres)?. Segundo: en caso afirmativo, cules son los valores de las constantes en el modelo?

Para evaluar la situacin presentada construimos dos grficas usando el programa Excel. Una ser una grfica de T (en el eje de las y) frente a L (en el eje de las x). El modelo lineal predice que los datos se encuentran a lo largo de de una lnea recta en un grfico T vs L. El segundo grfico corresponde a una relacin T2 vs L. El modelo cuadrtico predice que los datos podran fijarse sobre una lnea recta en el grfico T2 vs L. Para construir estos grficos abra el programa Excel y construya una tabla de datos con columnas para L, T y T2. Graficando los puntos cada vez que midi el perodo (tal que para cada longitud podra graficar tres valores del perodo). A continuacin puede crear las grficas T vs L y T2 vs L y usando el Excel construir la mejor lnea recta (la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales). Debe estar seguro adems que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que la lnea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella se obtiene el coeficiente de regresin lineal as como la ecuacin de la recta de ajuste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenados.

4.5 Clculo de la aceleracin de la gravedad

Lo ms inmediato sera aplicar la ecuacin (2.8)* del perodo de un pndulo en funcin de su longitud L para hallar . Sin embargo, aunque el perodo puede medirse con bastante precisin, su longitud (distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensin) no es bien determinada. Por el contrario, los incrementos en la longitud del pndulo se miden con un error tan pequeo como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida no influye la posicin del centro de masas de la esfera. Para esto consideremos una longitud , donde r0 es una longitud cualquiera. Entonces se tiene

A partir de esta ecuacin podemos determinar la pendiente de la recta la misma que est dada por

Como la constante A se puede expresar con tanta precisin como se requiera, el error relativo de la aceleracin de la gravedad g es el mismo de la pendiente A

V. CALCULOS Y RESULTADOS.

5.1. Por qu es necesario que las amplitudes de las oscilaciones deben ser pequeas?

Es necesario porque de esta manera se obtendra que l .lo cual supondra un movimiento armnico simple y podramos utilizar las formulas de dicho movimiento.

5.2. Con los datos de la Tabla I, dibuje una grfica Qu tipo de grfica obtuvo? Discuta a partir de la grfica si existe dependencia entre estas magnitudes.

Calculando la posicin para cada medicin de Angulo:Con la formula

Para

De las condiciones iniciales:t=0, v=0,

Se concluye

Representa aproximadamente una recta en escala amplificada.

En este grafico se observa que se encuentra a escala proporcional 1 en 1 y se observa que el periodo tiende a ser constante.

Se puede apreciar que el periodo no depende de la amplitud tomada.

5.3. Con los datos de la Tabla II, trace una grfica Qu tipo de grfica obtuvo?. Discuta a partir de esta grafica si existe dependencia entre estas magnitudes. Se obtuvo aproximadamente una recta lineal de pendiente (tangente) con tendencia a cero. En la grafica se observa que la escala del periodo esta en una escala mayor que la escala de la masa, por esta razn el periodo no depende de la masa.

En este grafico se observa que el periodo es constante con errores de clculo.

5.4.Con los datos de la Tabla III, trace una grfica Qu tipo de grfica obtuvo? Discuta a partir de esta grafica si existe dependencia entre estas magnitudes. Se observa una recta lineal. Del grafico se puede afirmar que el periodo si depende de la longitud (radio de oscilacion).

5.5.Construir una tabla con los valores medidos, errores y unidades de T2 (perodo al cuadrado) y la longitud del pndulo

Para calcular los errores con los datos no estadsticos utilizamos la siguiente formula:

Llmese proceso no estadstico a aquel en que el nmero de mediciones (n) es menor que 10. Existen dos posibilidades.a. Si el nmero de medidas de la magnitud fsica es menor que 10. entonces el error est dado por.

Dnde: A(max) = max(A1;A2;A3;.An) n