informe 04. coeficientes de energía y momento

Informe Práctica Nº 4:

INFORME PRÁCTICA Nº 4: COEFICIENTES DE ENERGÍA Y MOMENTO

1. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

1.1. OBJETIVO GENERAL

Estudiar experimentalmente la distribución de velocidades en la sección transversal de un canal rectangular y determinar experimentalmente los coeficientes de Coriolis y Boussinesq.

1.2. OBJETIVO ESPECÍFICO

Estudiar la distribución de velocidades en la sección transversal de un canal rectangular.

Calcular el gasto que circula por el canal mediante el método área-velocidad.

Determinar los coeficientes de Coriolis y Boussinesq, y compararlos con los valores esperados.

Dibujar las isotacas correspondientes de a la distribución de velocidad observada.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

2.1. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN UNA SECCIÓN TRANSVERSAL

Las velocidades en una conducción libre no están uniformemente distribuidas en toda su sección debido a la presencia de freccióin tanto en la superficie libre como al que se produce entre el agua y las paredes de la conducción, influye también la pendiente del canal y las variaciones de la sección de pendiente y de dirección.

La máxima velocidad se desarrolla entre el 5% y 25% de la profundidad de circulación, y mientras más ancho es el canal, más próxima a la superficie tiene lugar la velocidad máxima.

La rugosidad de las paredes de la conducción afecta la distribución de la velocidad, a medida que un canal es más rugoso, a mayor profundidad se encuentra la velocidad máxima y menor es su valor.

La variación de dirección de un canal ocasiona el surgimiento de corrientes secundarias, que imprimen un movimiento de rotación al agua, debido a la componente de la velocidad tangencial al plano de la sección transversal.

Coeficientes de energía y momento

Fig. 1.- Curvas comunes de igual velocidad en diferentes secciones de canal

2.2. CALCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media puede calcularse una vez que se conoce la distribución de velocidades en la sección. Para esto, se calcula la velocidad media en una sección:

𝑉 =∑ 𝑣𝑖𝐴𝑖

𝑁𝑖=1

𝐴

Existen formas de cálculo aproximado que permiten estimar este parámetro utilizando pocas observaciones. Una de estas formas se basa en la medición empírica a través del molinete hidráulico determinando la velocidad en una vertical al 60% de la profundidad (0,6 𝑦) que es aproximadamente igual a la velocidad media de dicha vertical como se puede observar en la siguiente figura.


2.3. ENERGÍA ESPECÍFICA Y FUERZA ESPECÍFICA

Se define como energía específica (𝐸) de una sección normal de una conducción libre, al valor de la carga total cuando el nivel de referencia coincide con el fondo de la conducción en dicha sección. Para canales con pendiente suave y distribución bastante uniforme de la velocidad la expresión de la energía específica es:

𝐸 = 𝑦 +𝑉2

2𝑔

Donde 𝐸: Energía específica. 𝑦: Profundidad de circulación. 𝑉: Velocidad media del flujo.

𝑔: Aceleración de la gravedad Para un gasto determinado (𝑄), la velocidad es 𝑄 𝐴⁄ . Por consiguiente:

𝐸 = 𝑦 +𝑄2

2𝑔𝐴2

En la fig. 2 se muestra un gráfico de la variación de la energía específica con la profundidad, que resulta útil para visualizar los posibles regímenes de flujo en un canal.

Fig. 3.- Energía específica

Las características importantes de dicha curva son:

La línea de 45° en la gráfica representa la relación 𝐸 = 𝑦.

La distancia horizontal a esta línea de 45° desde el eje Y representa la energía potencial 𝑦. La distancia que queda a la curva de energía específica es la energía cinética 𝑉2/2𝑔.


El valor mínimo de 𝑦 se presenta cuando el régimen es crítico (número de Froude, NF=1). La profundidad que corresponde a la energía específica mínima es por este motivo llamada profundidad crítica (𝑦𝑐).

Para cualquier profundidad mayor que 𝑦𝑐, el flujo es subcrítico.

Para cualquier profundidad menor que 𝑦𝑐, el flujo es supercrítico.

Para cualquier nivel de energía más grande que el mínimo, existen dos profundidades diferentes: tanto 𝑦1 debajo de la profundidad crítica (𝑦𝑐), como 𝑦2 arriba de la 𝑦𝑐, tienen la misma energía. En el caso de la 𝑦1 el flujo es supercrítico y mucha de la energía es energía cinética debido a la alta velocidad de flujo. A la profundidad más grande 𝑦2 el flujo es más lento y solamente una pequeña porción de la energía es energía cinética. Las dos profundidades 𝑦1 y 𝑦2 se llaman profundidades alternativas para la energía específica 𝐸.

2.4. COEFICIENTES DE ENERGÍA Y MOMENTO

La energía cinética asociada a la distribución real de velocidades de una sección normal se calcula como la sumatoria de las energías cinéticas correspondientes a cada uno de los elementos diferenciales de área en que se puede dividir el área mojada. Como la energía cinética por unidad de tiempo es igual al peso del agua que pasa a través de un elemento de área por su carga velocidad se tiene:

𝑑𝐸𝑐 = (𝛾𝑑𝑄) (𝑉2

2𝑔) = (𝛾𝑉𝑑𝐴) (

𝑉2

2𝑔)

𝑑𝐸𝑐 =𝛾𝑣2

2𝑔𝑑𝐴

Por tanto, la energía cinética total es:

𝐸𝑐 =𝛾

2𝑔∫ 𝑣3 𝑑𝐴

Por otra parte, la energía cinética total es el producto del peso del agua que pasa a través del área mojada por la carga de velocidad media (ℎ𝑣):

𝐸𝑐 = (𝛾𝑄)(ℎ𝑣) = (𝛾𝑉𝐴)(ℎ𝑣)

Combinando con la ecuación anterior y despejando la carga de velocidad media se tiene:

ℎ𝑣 =∫ 𝑣3𝑑𝐴

2𝑔𝑉𝐴=

∫ 𝑣3𝑑𝐴

𝑉3𝐴(

𝑉2

2𝑔)

A partir de esta expresión puede definirse el coeficiente de energía de la velocidad o coeficiente de Coriolis (𝛼) de la sección como:

𝛼 =∫ 𝑣3𝑑𝐴

𝑉3𝐴≅

∑ 𝑣3∆𝐴

𝑉3𝐴


De manera similar se determina el coeficiente de momentum de la velocidad de la sección. El momentum medio de la sección es:

𝑀 = (𝑄𝛾𝑣

𝑔) = 𝛽

𝑄𝛾

𝑔𝑉

A partir de esta expresión puede definirse el coeficiente de momentum de la velocidad o coeficiente de Boussinesq (𝛽) como:

𝛽 =∫ 𝑣2𝑑𝐴

𝑉2𝐴≅

∑ 𝑣2∆𝐴

𝑉2𝐴

Se ha observado que 𝛼 varía usualmente entre 1.03 y 1.36, y que 𝛽 se encuentra entre 1.01 y 1.12 en canales prácticamente prismáticos. Sin embargo estos valores pueden aumentar notablemente en las proximidades de obstáculos y curvas habiéndose reportado valores de 𝛼 de hasta 2.

A partir de una suposición de una distribución logarítmica de velocidades puede demostrarse que:

𝛼 = 1 + 3𝜀2 + 2𝜀3 𝛽 = 1 + 𝜀2

donde: 𝜀 =𝑣𝑚𝑎𝑥

𝑉− 1

3. PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA

La medición del gasto por el método área velocidad se realizó en el canal del laboratorio, el cual tiene una sección rectangular de 0,6 m de ancho de plato. El vertedor calibrado que se encuentra instalado a la entrada del canal permitirá comprobar los resultados obtenidos. El gasto se puede regular con la ayuda de dos válvulas de 150 mm colocadas a la entrada.

El procedimiento seguido en la realización de esta práctica fue el siguiente:

1. Se anotaron los datos de la ecuación del vertedor: 𝑄 = 1,84 𝐿 𝐻2/3 2. Se midió el ancho del canal rectangular (𝑏), en cm. 3. Se anotó la lectura inicial (𝐿𝑖) de la mira mecánica colocada en el vertedor, asegurando

que el agua se encuentre a la altura de la cresta. 4. Se fijó un gasto de circulación, Q. Este gasto se regula con las válvulas colocadas a la

entrada. 5. Se anotó la lectura de la mira para la superficie del agua sobre el vertedor (Lf). La carga

sobre el vertedor (H) es la diferencia de (Lf-Li). Con la ecuación del vertedor se puede calcular el gasto de circulación por el canal.

6. Se mide la profundidad de circulación por el canal (y). 7. Se divide la sección del canal en 5 partes iguales y se determina la distancia de la pared

a que le corresponde situar cada vertical de medición.


8. Se calculan los valores de 0,2y; 0,6y; 0,8y que son las profundidades a las cuales se debe introducir el molinete en cada sección.

9. Se procede a medir las velocidades en cada, uno de los 5 puntos de cada una de las verticales (0,2y; 0,6y; 0,8y). Se anotan dichos datos para su posterior procesamiento.

El procesamiento de los datos se realiza de la siguiente forma:

1. Se calculó el gasto de circulación (𝑄), en l/s. Se obtiene usando la ecuación del vertedor:

𝑄 = 1.84 𝐿 𝐻3/2 Donde 𝑄: gasto, en m3/s.

𝐿: Longitud de la cresta, en m. 𝐻: Carga del vertedero, en m. 2. Se calculó la velocidad media en cada una de las verticales usando las ecuaciones:

𝑣𝑚𝑒𝑑 = 𝑣0,6 𝑦 y 𝑣𝑚𝑒𝑑 =𝑣0,2𝑦+𝑣0,8𝑦

2

3. Se calculó el gasto elemental para cada una de las verticales: 𝑞 = 𝑣𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑦 4. Se graficó los valores de 𝑞 para cada vertical en el eje de las ordenadas y los valores de

las distancias de la pared a cada vertical en las abscisas y se procedió a determinar el área bajo la curva. Este valor de área corresponde con el gasto de circulación en la sección de aforo.

5. Se determinó el caudal usando los resultados del punto 4. 6. Se determinó el área mojada en las secciones 1 y 2: 𝐴 = 𝑏 · 𝑦

Donde 𝐴: área mojada, en m2. 𝑏: Base de la sección transversal, en m. 𝑦: Profundidad de circulación, en m. 7. Se calculó la velocidad media (V) del agua en la sección 1 y 2, en m/s. Se obtiene al dividir

el gasto (𝑄) entre el área mojada (𝐴) de la sección.

8. Se determinó el coeficiente de Coriolis: 𝛼 =∑ 𝑣3∆𝐴

𝑉3𝐴

9. Se determinó el coeficiente de Boussinesq: 𝛽 =∑ 𝑣2∆𝐴

𝑉2𝐴

10. Se graficó las isotacas.


4. DATOS, CÁLCULOS Y RESULTADOS

4.1. DATOS DE LA PRÁCTICA

Los datos para la ecuación del vertedor son:

Tabla Nº 1. DATOS DE LA ECUACIÓN DEL VERTEDOR

Fórmula del vertedor: Q = 1,84 L Hn

Longitud de la cresta: L = 58,5 cm

Constante: K = 1,84 L = 1,0764

n= 3/2

Ecuación del vertedor: Q = 1,0764 H3/2

Las distancias horizontales a las cuales se realizaron las mediciones fueron:

Tabla Nº 2. DATOS DE LA PRÁCTICA

Vertical Nº

1 2 3 4 5

Distancia desde la Pared (cm)

6 18 30 42 54

Las velocidades registradas con el molinete en cada sección y profundidad fueron:

Tabla Nº 3. VELOCIDADES CON EL MOLINETE

Profunidad (m)

Velocidad medida con el molinete (m/s)

1 2 3 4 5

0,2 y 0,34 0,38 0,37 0,40 0,34

0,6 y 0,32 0,35 0,36 0,36 0,32

0,8 y 0,30 0,33 0,35 0,32 0,30


4.2. CÁLCULOS DE LA PRÁCTICA

Determinación del caudal usando la ecuación del vertedor:

Ecuación del vertedor: Q = 1,84 L Hn Longuitud de la cresta: L= 58,5 cm Carga del vertedor: H= 11,6 cm

n= 1,5

Caudal según ec. del vertedor: Q= 0,043 m3/s

Disponemos de dos ecuaciones para calcular la velocidad media en cada vertical a partir de las velocidades medidas con el moliente. Estos resultados se presentan en la siguiente tabla:

Ecuación Velocidad media (m/s) en la vertical Nº:

1 2 3 4 5

Ecuación 1: 𝑣𝑚𝑒𝑑 = 𝑣0,6 𝑦 0,32 0,35 0,36 0,36 0,32

Ecuación 2: 𝑣𝑚𝑒𝑑 =𝑣0,2𝑦+𝑣0,8𝑦

2 0,32 0,355 0,36 0,36 0,32

Media 0,32 0,35 0,36 0,36 0,32

Los valores de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq se estiman en las siguientes tablas:

Vertical Área Vel. media ΔQ=V ΔA

V2 ΔA V3 ΔA (m2) (m/s) (m3/s)

1 0,025 0,32 0,0079 0,0025 0,0008

2 0,025 0,35 0,0087 0,0031 0,0011

3 0,025 0,36 0,0088 0,0032 0,0011

4 0,025 0,36 0,0088 0,0032 0,0011

5 0,025 0,32 0,0079 0,0025 0,0008

Totales 0,1228 0,34 0,0420 0,0144 0,0050

Coeficiente de Coriolis, α= 1,0088

Coeficiente de Boussinesq, β= 1,0029

El gasto elemental para cada vertical es:

Vertical Nº

Vel. media Tirante, y gasto elemental, q (m/s) (m)

1 0,32 0,205 0,065

2 0,35 0,205 0,072

3 0,36 0,205 0,074

4 0,36 0,205 0,074

5 0,32 0,205 0,065


5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

1 2 3 4 5

Nº 1: 0,32 0,35 0,36 0,36 0,32

Nº 2: 0,32 0,355 0,36 0,36 0,32

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37V

elo

cid

ad (

m/s

)

Velocidad media según sección vertical y fórmula de cálculo

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0 10 20 30 40 50 60

Gas

to e

lem

en

tal,

q

Distancia a la Pared (m)

Gasto elemental


0,041

0,1640,30

0,35

0,40

1 23

45

Ve

loci

dad

(m

/s)

Sección vertical

Dsitribución de velocidad

0,35-0,40

0,30-0,35


6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES


7. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

GARCÍA RUIZ, Ernesto (1997). “MANUAL DE PRÁCTICAS DEL LABORATORIO DE HIDRÁULICA”. Univ. Autónoma Juan Misael Saracho. Bolivia. 238 páginas.

CHOW, V. T. (1994). "HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS". Ed. McGraw-Hill, S.A. Colombia. 668 páginas.

POTTER, Merle; WIGGERT, David (2002). "MECÁNICA DE FLUIDOS". 3º edición. Ed. Thomson. México. 772 páginas.

MOTT, Robert L. (2006). “MECÁNICA DE FLUIDOS”. 6º edición. Ed. Pearson Educación. México. 644 páginas.

Enciclopedia on-line Wikipedia. En red: http://es.wikipedia.org/ Artículos consultados: o En red: http://es.wikipedia.org/wiki/Vertedero_hidráulico o En red: http://es.wikipedia.org/wiki/Número_de_Froude

Wikilibros. Hidrosistemas. http://es.wikibooks.org/wiki/Hidrosistemas/Hidráulica/

informe 04. coeficientes de energía y momento

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