UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE

AREQUIPA

2011

Análisis de un sistema de

tuberías en MATHCAD

Integrantes :

Huayta Carita , Jessica

Maquera Cueva , Methsy Fanny

Llanos Colquehuanca , José Willy

Calisaya Ayme José Smith

OBJETIVO :

Desarrollar un programa en MathCad capaz de resolver los problemas que se presenten en

el diseño de un sistema de tuberías simples.

INTRODUCCIÓN

El profesionista de la ingeniería civil, frecuentemente requiere realizar cálculos para la

determinación del gasto que circula por un sistema de tuberías en serie; estos sistemas

hidráulicos generalmente se presentan cuando se conectan dos depósitos, se descarga el

fluido a la atmósfera o a algún sistema presurizado, etc. En este tipo de problemas, donde la

incógnita es el gasto que circula, generalmente conocemos la geometría y características del

sistema hidráulico, por lo que se utiliza la ecuación de la energía para determinar la velocidad.

Así, podemos decir que se trata de un problema de revisión, que requiere para su solución,

suponer valores del factor de fricción (f) y con el auxilio del diagrama de Moody y de la

ecuación de la energía, realizar una serie de iteraciones que permita la convergencia del factor

de fricción; cuando sucede lo anterior, se ha determinado la velocidad. Este proceso implica

un tiempo considerable, puesto que se requiere la lectura iterativa del Diagrama de Moody

para lograr la convergencia del valor del factor de fricción; además, con dichas lecturas, se

incrementa la posibilidad de errores en la misma, que repercutiría en la precisión del cálculo

del gasto que circula.

MARCO TEORICO

SISTEMA DE TUBERÍAS :

Un sistema de tuberías está formado por un conjunto de tuberías

en paralelo que nacen y confluyen en un mismo punto.

TUBERIAS SIMPLES

TUBERIAS EN SERIE

TUBERIAS EN PARALELO

SERIE DE TUBERIAS

CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DEL PROGRAMA :

El caudal total es la suma de los caudales individuales de

cada una de las tuberías (ecuación de continuidad)

La pérdida de carga total es igual a la pérdida de carga en

cada una de las tuberías del sistema.

Formula de coolebrok para el cálculo de las perdidas.

DIAGRAMA DE MOODY

Casos de sistemas de tuberías :

CASO I.- El numero de Reynolds y la rugosidad relativa se determinan fácilmente a

partir de los datos y el Hf se determina fácilmente con el diagrama de Moody y

sustituyendo en la formula de Darcy Weisback.

CASO II.- V y f son desconocidos y se debe utilizar simultáneamente la formula de

Darcy Weisback y la formula reducida de P.K. Swamce y A.K. Jain, para obtener un

valor de V del cual se obtendrá un Numero de Reynolds y así tener un f mas

aproximado.

CASO III.- En este caso el valor de D es el desconocido, para lo cual también

tendremos como valores desconocidos la V y f, teniendo la Ecuación de Continuidad,

se puede determinar el Numero de Reynolds y así poder obtener un nuevo valor de V

CASO I : Calculo de la perdida de carga hF

Es el caso más simple, en este caso los datos son:

Q: caudal

L: longitud

D: Diámetro

v : Viscosidad cinemateca

K: Rugosidad absoluta

Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicar el

diagrama de Moody, que son el numero de Reynolds y la Rugosidad relativa.

Re=V.D/v

E=k/D

La pérdida de carga que tiene lugar en una conducción representa la pérdida de energía de un

flujo hidráulico a lo largo de la misma por efecto del rozamiento.

La perdida de carga o perdida de energía es fundamentalmente de dos tipos continuas y

locales.

las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la formula

de Darcy.

hf=f.L.V2 /2.D.g

Como se puede observar en la ecuación anterior es nesesario hallar f el cual se halla

directamente del diagrama de Moody; debido a que nos basamos en un diagrama se corre el

riesgo de cometer errores por lo cual COLEBROOK Y WHITE desarrollaron una fórmula

para hallar f.

COLEBROOK Y WHITE combinaron diversas expresiones y propusieron una unica

expresión para el coeficiente de fricción que puede aplicarse en cualquier régimen.

Esta ecuación tiene el inconveniente de que f no aparece en forma explicita, y debe recurrirse

al calculo numérico (o a un procedimiento ITERATIVO) para su resolución.

El diseño del programa se basa fundamentalmente en el ingreso de datos por teclado, para

hallar los parámetros fundamentales para hallar el coeficiente de fricción f.

La parte más importante del programa radica en el uso de un procedimiento iterativo de

prueba y error (implementado en MATHCAD).

RUGOSIDAD DE MATERIALES Y SUS RESPECTIVOS COEFICIENTES

Flujo en tubería

Uno de los aspectos de la dinámica de fluidos es el comportamiento de los flujos de fluidos,

es decir, el movimiento de estos últimos.

La ecuación de continuidad

La conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A1 y A2) de un

conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que

sale.

Definición de tubo de corriente: superficie formada por las líneas de corriente.

Corolario 2: solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.

La ecuación de continuidad se puede expresar como:

ρ1.A1.V1 = ρ2.A2.V2

Cuando ρ1 = ρ2, que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se

tiene:

o de otra forma:

(el caudal que entra es igual al que sale)

Donde:

Q = caudal (metro cúbico por segundo; m3 / s)

V = velocidad (m / s)

A = area transversal del tubo de corriente o conducto (m2)

Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir,

siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta

condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.

En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar

la velocidad media del fluido en una sección dada.

El Principio de Bernoulli

A estos efectos es de aplicación el Principio de Bernoulli, que no es sino la formulación, a lo

largo de una línea de flujo, de la Ley de conservación de la energía. Para un fluido ideal, sin

rozamiento, se expresa , donde

g aceleración de la gravedad

ρ densidad del fluido

P presión

Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que

el Principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una línea de corriente la

suma de la altura geométrica, la altura de velocidad y la altura de presión se mantiene

constante.

Cuando el fluido es real, para circular entre dos secciones de la conducción deberá vencer las

resistencias debidas al rozamiento con las paredes interiores de la tubería, así como las que

puedan producirse al atravesar zonas especiales como válvulas, ensanchamientos, codos, etc.

Para vencer estas resistencias deberá emplear o perder una cierta cantidad de energía o, con

la terminología derivada del Principio de Bernoulli de altura, que ahora se puede formular,

entre las secciones 1 y 2:

, o lo que es igual

,

Donde pérdidas (1,2) representa el sumando de las pérdidas continuas (por rozamiento contra

las paredes) y las localizadas (al atravesar secciones especiales)

Pérdidas continuas

Las pérdidas por rozamientos son función de la rugosidad del conducto, de la viscosidad del

fluido, del régimen de funcionamiento (flujo laminar o flujo turbulento) y del caudal

circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más pérdidas).

Si es L la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducción), entonces el

coeficiente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de altura por unidad de longitud de la

conducción se le llama pendiente de la línea de energía. Denominemosla J

Cuando el flujo es turbulento (número de Reynolds superior a 4.000; 2000<Re< 4000 es el

flujo de transición; Re<2000 flujo laminar), lo que ocurre en la práctica totalidad de los casos,

existen varias fórmulas, tanto teóricas (Ecuación de Darcy-Weisbach), como experimentales

(ecuación de Hazen-Williams, ecuación de Manning, etc), que relacionan la pendiente de la

línea de energía con la velocidad de circulación del fluido. Quizás la más sencilla y más

utilizada sea la fórmula de Manning:

V = velocidad del agua (m/s)

K = coeficiente de rugosidad, depende del material de la tubería y del estado de esta.

Existen varias expresiones para este coeficiente calculados en forma experimental por

varios investigadores como: Manning; Bazin; Kutter; Strickler, entre otros.

Rh = radio hidráulico de la sección = Área mojada / Perímetro mojado (un cuarto del

diámetro para conductos circulares a sección llena) (m)

J = gradiente de energía (m/m)

Pérdidas localizadas

En el caso de que entre las dos secciones de aplicación del Principio de Bernoulli existan

puntos en los que la línea de energía sufra pérdidas localizadas (salidas de depósito, codos,

cambios bruscos de diámetro, válvulas, etc), las correspondientes pérdidas de altura se suman

a las correspondientes por rozamiento. En general, todas las pérdidas localizadas son

solamente función de la velocidad, viniendo ajustadas mediante expresiones experimentales

del tipo:

donde pl es la pérdida localizada

Los coeficientes K se encuentran tabulados en la literatura técnica especializada, o deben ser

proporcionados por los fabricantes de piezas para conducciones.

Proceso de cálculo

En el diseño y cálculo práctico de conducciones de agua, se parte de que la geometría de la

conducción, es decir las alturas geométricas h, son conocidas. Se hace coincidir la primera

sección de cálculo con un punto en que las condiciones de velocidad y presión son también

conocidas, por ejemplo la lámina de un depósito (presión nula sobre la presión atmosférica y

velocidad nula).

Conocida la presión o la velocidad en cualquier otro punto de la conducción (por ejemplo en

un punto de toma, presión nula), aplicando los conceptos expuestos se puede determinar la

velocidad y consecuentemente el caudal.

Por supuesto el proceso es iterativo. Inicialmente se supone que el conjunto de pérdidas

localizadas (sumatorio de coeficientes K) es nulo, con lo que se determina una velocidad

inicial de circulación V0. A partir de esta velocidad se introducen las pérdidas localizadas,

obteniendo V1 y así sucesivamente, hasta que (Vi - Vj) de las dos últimas iteraciones sea tan

pequeño como se desee. Normalmente se obtiene convergencia suficiente con un par de

iteraciones.

Ejemplo de aplicación práctica

Sea el sistema hidráulico de la figura compuesto por los siguientes elementos:

Depósito de cabecera (1), cuya lámina de agua se supone constante, y a cota +70,00

Depósito de cola (3), mismas condiciones, cota +20,00

Conducción de unión, PVC, diámetro 300, longitud entre los depósitos 2.000 m

Punto bajo en esta conducción, situado a 1.500 m del depósito de cabecera, a cota

0,00. Existe una toma con válvula por donde se puede derivar caudal.

En estas condiciones, despreciando las pérdidas localizadas, y admitiendo que para el PVC

el factor (1/n) en la fórmula de Manning vale 100, determinar.

Con la válvula de toma en el punto bajo cerrada, el caudal que fluye del depósito de

cabecera al de cola.

Determinar el máximo valor del caudal que puede evacuarse por el punto bajo (2) con

la condición de que del depósito (3) no entre ni salga agua. En esta hipótesis, ¿cual

es el valor de la presión en (2)?

Determinar el máximo caudal que puede evacuarse por la toma (2)

Primer caso

En la superficie de los depósitos P1=P3=0 (atmosférica). En esos puntos V1=V3=0 (se

supone lámina de agua constante).

Entonces, la aplicación del Principio de Bernoulli al tramo 1-3 expresa: (h1-h3) =

pérdidas(1,3) = 50 m

La pérdida por rozamiento J, resultará: J = 50 /2000 = 0,025 Aplicando Manning al conducto :

Q = V.S = 2,85.0,3^2.3,14/4 <> 0,201 m³/s <> 201 l/s

Segundo caso

La condición de que no haya flujo entre los puntos 2 y 3 implica que la energía total en ambos

es la misma. Puesto que la energía total en (3) es 50 m, este será también el valor en (2)

La aplicación de Bernoulli al tramo 1-2 nos da: (70 - 0) + (0^2 - V2^2)/2g + (0 - P2)= Perdidas

(1,2),

70-0 = 0 + V2^2/2g + P2 ; 1) V2^2/2g + P2 + Perdidas (1,2)=70 Por otra parte: En tramo 2-

3 no hay perdidas ya que no hay trasferncia de agua, quedaria:

0+V2^2/2g + P2= 20 + 0 + 0; V2^2/2g + P2 = 20 sustituyendo en 1)

20+Perdidas (1,2)=70 ; Perdidas (1,2)= 70 - 20 = 50

De donde deducimos que las pérdidas en el tramo son de 50 m

La pérdida por rozamiento J, valdrá: J = 50 /1500 = 0,03333 Aplicando Manning al conducto :

V = (1/n). Rh^0,66 . J^0,5 <> 100 . 0,075^0,666 . 0,11547 <> 2,053 m/s, luego

Q = V.S = 2,053 . 0,3^2 . 3,14/4 <> 0,145 m³/s <> 145 l/s

Y la presión será:

P = 20 - 2,053^2/2*9,81 <> 19,78 mc.a; aprox 1,97 atm

Tercer caso

Ahora podrá existir flujo hacia (2), tanto desde (1) como desde (3). El caudal total será la

suma del que se obtiene por cada rama.

La energía total en (2) en este caso será, puesto que P1 = P2 = P3 = 0, y h2=0, igual

exclusivamente a la altura de velocidad. La despreciamos en una primera iteración.

Por el ramal 1-2; Pérdidas = 70 m, J = 70 /1500 = 0,04666, y

V = 100 . 0,075^0,666 . 0,216 <> 3,8418 m/s

Por el ramal 3-2; Pérdidas = 50 m, J = 50 / 500 = 0,1 , y

V = 100 . 0,075^0,666 . 0,316 <> 5,6239 m/s

y Q = (3,8418 + 5,6239) . 0,3^2 . 3,14/4 <> 0,670 m³/s <> 670 l/s.

Puesto que la velocidad del agua en la salida no es nula, sino (3,8418+5,6239)= 9,4657,

la energía en (2) para una segunda iteración valdría 9,4657^2 /2 . 9,81 <> 4,566 m,

Repetiríamos el calculo (70 - 4,566) = 65,43 m en el ramal 1-2, y

(50 - 4,566) = 45,43 m en el ramal 3-2,

obteniéndose un caudal total ligeramente inferior al obtenido en la primera iteración

APLICACIÓN DEL MATHCAD EN LA DETERMINACIÓN DE GASTOS DE

SISTEMAS DE TUBERÍAS

El desarrollo general de la aplicación del Mathcad será el siguiente: se requiere determinar

el gasto que circula de un depósito a otro, como se muestra en la figura, conociendo las

características geométricas del sistema (zA, zB, d1, d2, d3, l1, l2, ε), coeficientes para la

determinación de pérdidas menores de los accesorios utilizados (ke, ka1, ks), las

características del flujo (pA, pB, VA, VB) y del fluido que circula (μ, δ). Adicionalmente, se

desea conocer como variará dicho gasto si son considerados diversos materiales en las

tuberías del sistema; también es de nuestro interés conocer la misma variación, pero con

respecto a variaciones del diámetro de la tubería, considerando constantes los otros

diámetros, así como el material de todas las tuberías.

PROGRAMACION PARA CADA CASO

DIAGRAMA DE FLUJO DE CADA CASO

CASO I :

CASO II :

hf ,D, L, e,

v, g,fi

Inicio

CASO III :

Inicio

HF , Q, L,

ni, E, g

f=0.02

x=1/f0.5

PROGRAMAS EN MATHCAD PARA CADA CASO

CASO I.-

APLICACIÓN DEL PROGRAMA

EJEMPLO Se tiene una tuberia de fierro fundido (κ=0.00025 m) de 0.254 m. de diametro.

La longitud es de 1000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s.El

caudal o gasto es de 0.079 m3/s

H Q D L g( ) A D

2

4

VQ

A

ReV D

D

f 0.0198

x1

f

y x

x 2 log

3.7 D

2.51 y

Re

x y

x0.1while

f1

y2

h fL

D

V2

2 g

h

Q 0.079

D 0.254

CASO II.-

Usando el “WHILE”

USANDO EL “FOR”

10 6 g 9.81 L 1000 0.00025

H Q D L g( ) 13.902

casoII D hf v e L fi g( )

V2 hf D g

fi L

NrV D

v

ff0.25

log1

3.7D

e

5.74

Nr0.9

2

fi ff

fi ffwhile

Q V D

2

4

Q

USANDO EL

“IF”

APLICACIÓN DEL PROGRAMA

CASO III.-

Aplicacion: A traves de una tuberia de acero ribeteado, e=3mm, de 300 mm de

diametro fluye agua con una viscocidad sinematica de 1.13x10-6m2/s, con una perdidad

de cabeza de 6m en una longitud de 300m, Determine el Caudal.

PROBLEMA APLICATIVO

Resulucion:

Se asume un valor para f=0.0198

CASOII D hf v e L fi g( )

V2 hf D g

i L

NrV D

v

ff0.25

log1

3.7D

e

5.74

Nr0.9

2

i fi fi fffor

Q V D

2

4

Q

CasoII D hf v e L fi g( )

i fi

V2 hf D g

i L

NrV D

v

ff0.25

log1

3.7D

e

5.74

Nr0.9

2

i ff

fi ffif

Q V D

2

4

Q

casoII 0.3m 6m 0.00000113m

2

s 0.003m 300m 0.0198 9.806

m

s2

0.172m

3

s

APLICACIÓN DEL PROGRAMA

CONCLUSIONES

PRIMERO.- Para cada tipo de caso se puede determinar un programa en MathCad, ya que

el MathCad es una herramienta muy útil en la vida cotidiana del Ingeniero Civil.

diametro HF Q L g( ) f 0.04

x1

f

D

5

1

x2

L 8 Q2

HF 2

g

V4 Q

D2

Re4 Q

D

y x

x 2 log

3.7 D

2.51 x

Re

x y

x0.001while

f1

y2

f diametro HF Q L g ( ) 0.023 diametro

SEGUNDA.- Si tenemos una tubería y se necesita añadir otro tubo pero que produzca el

mismo caudal, pero que sea de otro material; con el Caso III, diseñamos el diámetro que debe

tener dicha tubería.

TERCERO.- Con el uso del Mathcad se reduce la posibilidad de cometer errores, puesto

que resuelve directamente la ecuación de Colebrook-White, con la que obtenemos el valor

del factor de fricción; además, al evitar el uso del diagrama de Moody, reducimos el tiempo

de cálculo e incrementamos la precisión en la obtención del valor del factor de fricción.

CUARTO.- Cuando se varían las condiciones del sistema, como serían los diámetros, las

rugosidades, las cargas, las viscosidades, etc., es posible determinar en forma rápida y

precisa, la variación del gasto que circula. Estas variaciones permiten al estudiante visualizar

la respuesta del sistema a las diferentes situaciones.

RECOMENDACIONES

1.- Al momento de utilizar los casos todos los argumentos supuestos son valores ya

estudiados y experimentados, debido a esto no se puede tomar cualquier valor para

desarrollar dichos programas, ya que se tendrá un margen de error muy elevado y de esa

manera se tendrá un mal diseño que pueda traer consecuencias negativas.

2.- El modo de introducir las imágenes dentro del MathCad debe ser de forma direccional,

así todas la imágenes deben tener una dirección en un escritorio o en una carpeta ya designada

ya que así será más fácil de ubicar dicha imagen.

3.- La programación debe estar bien orientada al objetivo que se busca ya que sino este

programa tendrá pasos innecesarios y de mucho trabajo.