influencia de la aleatoriedad del mÓdulo de young en las...

INGLOMAYOR. Section A Volume 17 (2019) Page 204 of 222. ISSN 0719 7578

INFLUENCIA DE LA ALEATORIEDAD DEL MÓDULO DE YOUNG EN LAS ESTRUCTURAS ESTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS

P. KITTL Antiguo Profesor Titular del Departamento de Ingeniería Mecánica

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

Hoy en Colegio Ecológico Paine, Los Aromos 107, Hospital, Paine Santiago, Chile

G. DÍAZ

Departamento de Ingeniería Química, Biotecnología y Materiales Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Chile Casilla 2777, Santiago, Chile

Email: [email protected]

R. BAHAMONDES Departamento de Ingeniería Mecánica

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

Casilla 2777, Santiago, Chile Email: [email protected]

INGLOMAYOR. Section A Volume 17 (2019) 05 of 222. ISSN 0719 7578

RESUMEN Tomando en cuenta que el Módulo de Young, E, es una variable aleatoria con un valor medio y una dispersión, se obtiene que tiene influencia en la deformación de las estructuras estáticas y en las reacciones, tanto de fuerzas como de momentos, en las hiperestáticas. El estudio de algunas de estas estructuras, como una viga empotrada y apoyada libremente en el otro extremo, indica variaciones en las reacciones y momentos, aunque de un orden en lo que respecta a sus dispersiones específicas menos importante que el de Δ퐸 퐸 (dispersión específica es dispersión Δ퐸 dividido el valor medio 퐸).

Taking into account Young´s modulus, E, as random variable with mean value and dispersion, in statics structure an effect is observed over his deflection, however in hyperstatic structure an effect is observed in reactions due to both applied forces and moments. Studing some of this structures, such as a cantilever beam in an extreme and freely supported in another one, indicates variation in their reactions and moments, even though less important than Δ퐸 퐸 (specific dispersion, Δ퐸

dispersion divided by mean value 퐸).

1.- INTRODUCCIÓN. ECUACIONES DEL PROBLEMA


En cada punto de una estructura plana hay un momento flexor y un esfuerzo de corte que se puede determinar, en el caso de las estructuras estáticamente determinadas, con las tres ecuaciones de la estática

푋 = 0; 푌 = 0; 푥 푌 − 푦 푋 = 0 (1,1)

donde 푋 ,푌 son las fuerzas aplicadas en el punto de coordenadas 푥 ,푦 en un sistema plano 푧 = 0. Determinado en esa forma, el valor de M(x), el momento aplicado en el punto x en un elemento rectilíneo, la deformación angular 휙 viene expresada por

푑휙푑푥 = ±

푀(푥)퐼(푥)퐸(푥) (2,1)

Como las deformaciones, y por lo tanto los ángulos, son muy pequeñas.

푑푑푥 휑 =

푑푦푑푥 =

푑 푦푑푥 = ±

푀(푥)퐼(푥)퐸(푥) (3,1)

donde I(x) es el momento de inercia [1.2] y E(x) el módulo de Young. Derivando (2,1), se obtiene el esfuerzo cortante V

푑 푦푑푥 = ±

푉퐼퐸 (4,1)

I y E son constantes, los demás términos son de segundo orden cuando I y E son funciones de x Si hay cargas uniformemente repartidas, q

푑 푦푑푥 = ±

푞퐼퐸 (5,1)

Las tensiones que desarrolla la sección normal al eje de la viga es

휎 =푀(푥)푦퐼 (6,1)

y la tensión máxima ocurre en el punto más alejado de la fibra neutra. Todo esto está en base a la hipótesis, que se verifica muy exactamente para pequeñas deformaciones, de Navier, y es que las secciones planas antes de la deformación se conservan planas durante ella [3], por lo tanto


(1)

M0

x

y(x)

M(x)

R1 R2

φ1

φ2

L

1. Las secciones primitivamente planas y normales a las fibras rectilíneas del prisma (sometido a la flexión) son todavía planas luego de la flexión y normales a estas fibras que ahora son curvas.

2. Las fibras se comportan como si fueran pequeños prismas aislados, y como si ellos no actuaran los unos sobre los otros.

En los casos hiperestáticos, las ecuaciones que faltan en la estática se obtendrán integrando (2,1) y (3,1) y aplicándoles las condiciones de contorno que significa que se conocen las deformaciones longitudinales y angulares en ciertos puntos. 2.- UN CASO ESTÁTICAMENTE DETERMINADO Viga sin carga, apoyada en sus dos extremos y con una cupla M0 en uno de ellos (Fig. 1). Las ecuaciones de la estática se reducen a una, tomando los puntos (1) y (2) como centro

−푅 퐿 + 푀 = 0 푅 퐿 + 푀 = 0 푅 + 푅 = 0

(1,2)

La tercera ecuación es consecuencia de las otras dos

Fig. 1. Viga simplemente apoyada con un momento M0 aplicado en un apoyo

El momento respecto del punto x es

푀(푥) = −푅 푥 = −푀푥퐿 (2,2)

(2)

M0

y

x


La ecuación diferencial de la pendiente según (2.1)

푑휙푑푥 = −

푀(푥)퐼퐸(푥) =

푀퐼퐿

푥퐸(푥) (3,2)

Aquí se tomó I = Constante. Integrando (3.2)

휑(푥) = 휑 +푀퐼퐿

휉푑휉퐸(휉) (4,2)

Como se tiene la condición 휑(0) ≠ 0 , de allí 휑 ≠ 0 . Así que (4,2) se transforma según (3,1)

푑푦푑푥 =

푀퐼퐿

휉푑휉퐸(휉) + 휑 (5,2)

Integrando (5,2)

푦(푥) = 푦 + 휑 푥 +푀퐼퐿 푑휂

휉푑휉퐸(휉) (6,2)

Aquí, 푦(0) = 0 y por lo tanto 푦 = 0. Pero también 푦(퐿) = 0, y se obtiene de (6,2)

휑 퐿 +푀퐼퐿 푑휂

휉푑휉퐸(휉) = 0 (7,2)

Si en (7,2) hacemos el cambio de variable

휉 =휉퐿 ; 휂 =

휂퐿

푑휉 = 푑휉 퐿; 푑휂 = 푑휂′퐿 (8,2)

Eliminando las primas, (7,2) se transforma en

푑휂휉푑휉퐸(휉) = 퐿 푑휂

휉푑휉퐸(휉) = 퐿

1퐸∗

(9,2)

De (9,2) y (7,2) se obtiene


휑 = 휑 = −푀 퐿퐼

1퐸∗ ; 휑 = 휑(퐿) = 휑 +

푀퐼퐿

휉푑휉퐸(휉) (10,2)

En (10,2) se hace el mismo cambio de variable (8.2), lo que da



1퐸 (11,2)

Por lo tanto

휑 = 휑 +푀 퐿퐼

1퐸 =

푀 퐿퐼

1퐸 −

1퐸∗ (12,2)

En el caso de que E=constante, se obtiene

1퐸 =

휉푑휉퐸 =

12퐸 ;

1퐸∗ = 푑휂

휉푑휉퐸 =

16퐸 (13,2)

En el caso clásico, E=constante, se tiene

휑 = −16푀 퐿퐼퐸 ; 휑 =

13푀 퐿퐼퐸 (14,2)

Si E≠ constante, la variable independiente es 0 ≤ 휉 ≤ 1 , si suponemos dividido el intervalo (0,1) en N partes, en el intervalo (휉 , 휉 ) se puede considerar constante E, denominándolo 퐸 . Así, se puede calcular 1 퐸 y 1 퐸∗ de la siguiente forma

1퐸 =

12

휉 − 휉퐸 ;

1퐸∗ =

16

휉 − 휉퐸 (15,2)

Si se eligen dos conjuntos de números aleatorios (0 ≤ 휉 ≤ 1) y (0 ≤ 휇 ≤ 1) con 푖 = 1,2, … ,푁. Los valores de 휉 pueden obtenerse como números aleatorios o equidistantes. Los 퐸 se pueden obtener de la probabilidad acumulativa de E, que establece una correspondencia entre el intervalo (0,1) y el (퐸 ≤ 퐸 ≤ 퐸 ) cada valor (0 ≤ 휇 ≤ 1) nos da un 퐸 [4,8]. Se ve claramente que en un sistema estáticamente determinado, las variaciones de E sólo influyen en las deformaciones verticales y angulares.


(2) (2)

M0

R1 R2

q

x

3.- SISTEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS 3.1 Viga empotrada en un extremo y libremente apoyada en el otro, con una carga uniformemente repartida (Fig. 2)

Fig. 2. La viga está empotrada en (1) y libremente apoyada en (2). En (1) hay un empotramiento que mantiene la viga normal a la pared.

Las ecuaciones de la estática son :

0 = 푀 + 푅 퐿 − 푞(휉)휉푑휉

0 = 푀 − 푅 퐿 + 푞(휉)(퐿 − 휉)푑휉

푅 + 푅 − 푞(휉)푑휉 = 0

(1,3.1)

Como la tercera de las ecuaciones (1,3.1) es una consecuencia de los dos primeros y tenemos tres incógnitas (푅 ,푅 푦푀 ), el sistema es hiperestático y hace falta una tercera ecuación que la dará la elasticidad del sistema. Aquí, 푞(휉) es la carga por unidad de longitud que, sin embargo, puede introducir cargas aisladas como 푃(푥)훿(푥), donde 훿(푥) es la delta de Dirac. La ecuación de la pendiente, 푑휑

푑푥 es: 퐼 = − ( )

( )

푀(푥) = 푀 + ∫ 푞(휉)(푥 − 휉)푑휉 − 푅 푥

(2,3.1)

L

y

x


M(x) es el momento a la izquierda de x. Integrando la primera de las (2, 3.1), se tiene:

퐼휑(푥) = 휑 −푀푑휉퐸(휉) −

푑휂퐸(휂) 푞(휉)(휂 − 휉)푑휉 + 푅

휉푑휉퐸(휉) (3, 3.1)

Teniendo en cuenta que 휑(0) = 0 debido al empotramiento que suponemos perfecto, se obtiene que 휑 = 0. La ecuación del desplazamiento vertical se obtiene integrando (3, 3.1), ya que 휑 = 푑푦

푑푥.

퐼푦(푥) = −푀 푑휂푑휉퐸(휉) − 푑휁

푑휂퐸(휂) 푞(휉)(휂 − 휉)푑휉

+ 푅 푑휂휉푑휉퐸(휉) + 푦

(4, 3.1)

Como 푦(0) = 0, se tiene que 푦 = 0. Además, 푦(퐿) = 0, este último da:

0 = −푀 푑휂푑휉퐸(휉) − 푑휁

푑휂퐸(휂) 푞(휉)(휂 − 휉)푑휉

+ 푅 푑휂휉푑휉퐸(휉)

(5, 3.1)

De la segunda de las (1, 3.1) se obtiene:

푅 =푀퐿 +

1퐿 푞(휉)(퐿 − 휉)푑휉 (6, 3.1)

Con lo cual se despeja de (5, 3.1) 푀 :

푀 =

1퐿 ∫ 푞(휉)(퐿 − 휉)푑휉 ∫ 푑휂 ∫ 휉푑휉

퐸(휉) − ∫ 푑휁 ∫ 푑휂퐸(휂)∫ 푞(휉)(휂 − 휉)푑휉

∫ 푑휂 ∫ 푑휉퐸(휉) −

1퐿 ∫ 푑휂 ∫ 푑휉

퐸(휉) (7, 3.1)

Suponiendo 푞(휉) = 푞 constante e introduciendo los cambios de variable (8,2):

푑휂푑휉퐸(휉) = 퐿 푑휂

푑휉퐸(휉) = 퐿

1퐸∗

(8,3.1)




1퐸∗

푞(휉)(퐿 − 휉)푑휉 = 푞퐿2

푑휁푑휂퐸(휂) 푞(휂 − 휉)푑휉 =

푞2 푑휂

휉 푑휉퐸(휉)

=푞퐿

2 푑휂휉 푑휉퐸(휉) =

푞2 퐿

1퐸∗

Reemplazando (8,3.1) en (7,3.1) se tiene finalmente:

푀푞퐿 =

12

1퐸∗ −

1퐸∗

1퐸∗ −

1퐸∗

(9, 3.1)

Teniendo en cuenta (1, 3.1)

푅 =푀퐿 +

푞퐿2

푅 = −푀퐿 +

푞퐿2

(10,3.1)

El punto donde el momento 푀(푥) se anula:

푀(푥) = 푀 +푞푥

2 − 푅 푥 = 0 (11, 3.1)

También

푑푀(푥)푑푥 = 푞푥 − 푅 = 0

푥 =푅푞 =

푀푞퐿 +

퐿2

(12,3.1)

Si se hace 퐸(휉) = 퐸 constante, de acuerdo con (13,2), se obtienen los valores:

푀 =푞퐿

8 ; 푅 =58 푞퐿; 푅 =

38 푞퐿

푀(푥) =푞푥

2 −58 푞퐿푥 +

푞퐿8 ;푀

퐿4 = 0

푑푀(푥)푑푥 = 0 ⇒ 푥 =

58 퐿 ⇒ 푀 = −

9128푞퐿

(13,3.1)

que son los valores clásicos [1,2] y que se representan en la Fig. 3


퐿

y

Fig. 3. Viga empotrada en (1) con una carga uniformemente repartida q y libremente apoyada en (2). Módulo de Young constante. Las flechas indican el

sentido del momento flexor.

Si E no es constante, se procede como en (15,2)

1퐸∗ =

12

휂 − 휂퐸 ;

1퐸∗ =

16

휂 − 휂퐸 ;

1퐸∗

=1

12휂 − 휂

퐸

퐸 ∈ (휂 , 휂 )

(14,3.1)

3.2 Viga empotrada en los dos extremos con una carga uniformemente repartida

푅 =58푞퐿

푅 =38푞퐿

−9

128푞퐿

퐿

푞퐿8

58퐿

38퐿

퐿4

q

(1) (2)


R1 R2

M1 M2

x

q

Fig. 4. La viga está empotrada en los dos extremos con una carga uniformemente repartida q. Hay dos momentos de empotramiento 푀 y 푀 y sus reacciones 푅 y

푅 .

Las tres ecuaciones de la estática son:

푀 + 푀 + 푅 퐿 −푞퐿

2 = 0

푀 + 푀 − 푅 퐿 +푞퐿

2 = 0 푅 + 푅 = 푞퐿

(1,3.2)

La tercera de las ecuaciones es consecuencia de las dos primeras, luego hay tres incógnitas y dos ecuaciones. La otra ecuación la dará la Elasticidad. El momento a la izquierda de x que actúa sobre la cara de la viga en x es:

푀(푥) = 푀 −푅 푥 +푞푥

2 (2, 3.2)

La ecuación diferencial del ángulo de deflexión 휑 es:

퐼푑휑푑푥 = −

푀(푥)퐸(푥) = −

푀퐸(푥) + 푅

푥퐸(푥) −

푞푥2퐸(푥) (3, 3.2)

Integrando (3,3.2)

퐼휑(푥) = 퐼휑 − 푀푑휉퐸(휉) + 푅

휉푑휉퐸(휉) −

푞2

휉 푑휉퐸(휉) (4, 3.2)

Como 휑(0) = 0, entonces 휑 = 0, además 휑(퐿) = 0

−푀푑휉퐸(휉) + 푅


푞2

휉 푑휉퐸(휉) = 0 (5, 3.2)

x

(1) (2)


Procediendo como en (8,2)



1퐸



1퐸

휉 푑휉퐸(휉) = 퐿

휉 푑휉퐸(휉) = 퐿

1퐸

(6,3.2)

Con (6,3.2), a ecuación (5,3.2) se transforma en:

−푀 퐿1퐸 + 푅 퐿

1퐸 −

푞퐿2

1퐸 = 0 (7, 3.2)

Recordando que 휑 = 푑푦

푑푥 e integrando (4,3.2)

퐼푦(푥) = 퐼푦 −푀 푑휂푑휉퐸(휉) + 푅 푑휂

휉푑휉퐸(휉)

−푞2 푑휂

휉 푑휉퐸(휉)

(8, 3.2)

Recordando (8,2) y tomando en cuenta que 푦(0) = 0, por lo tanto 푦 = 0, y además 푦(퐿) = 0, se tiene:

푑휂푑휉퐸(휉) = 퐿 푑휂

푑휉퐸(휉)

= 퐿1퐸∗


푑휉퐸(휉)

= 퐿1퐸∗

푑휂휉 푑휉퐸(휉) = 퐿 푑휂

푑휉퐸(휉)

= 퐿1퐸∗

(9,3.2)

Así que la ecuación (7,3.2) y las (9,3.2) se transforman en:


푀1퐸∗ − 푅 퐿

1퐸∗ +

푞퐿2

1퐸∗ = 0

푀1퐸 − 푅 퐿

1퐸 +

푞퐿2

1퐸 = 0

(10, 3.2)

De las ecuaciones (10,3.2), se obtiene fácilmente:

푅 =푀 1

퐸 − 푞퐿2

1퐸

퐿 1퐸

푀 =푞퐿

2

⎝

⎜⎜⎜⎛

1퐸∗ −

1퐸 · 1

퐸∗1퐸

− 1퐸∗ +

1퐸∗ · 1

퐸1퐸 ⎠

⎟⎟⎟⎞

푀 = −푀 + 푅 퐿 −푞퐿

2 푅 = 푞퐿 − 푅

(11,3.2)

Las dos últimas usaron las ecuaciones (1,3.2) En el caso de que E = constante:

1퐸 =

1퐸 =

1퐸 =

1퐸

1퐸∗ =

12퐸 ;

1퐸∗ =

16퐸 ;

1퐸∗ =

112퐸

푀 =푞퐿12 = −푀 ; 푅 =

푞퐿2 = 푅

(12,3.2)

El valor máximo de M(x) se tiene:

푑푀(푥)푑푥 = −푅 + 푞푥 = 0; 푥 =

퐿2

푀퐿2 = −

푞퐿24

(13, 3.2)

푀(푥) se anula en


푞퐿12

푅 =푞퐿2

푞퐿24

푅 =푞퐿2

0,789퐿 퐿

0,2113퐿

푀(푥) = −푀 + 푅 푥 −푞푥

2 = 0

푥 = 퐿3− √3

6 ≅ 0,2113퐿

푥 = 퐿3 + √3

6 ≅ 0,789퐿

(14, 3.2)

Con los valores de E = constante, obtenemos los valores clásicos representados en la Fig. 5.

Fig. 5: Viga con módulo de Young y momento de inercia, E e I, constantes. Con

carga uniformemente repartida. Los momentos son independientes de E e I.

Cuando E es aleatorio, los valores de , , , ∗, ∗ y ∗ son:

1퐸 =

휂 − 휂퐸 ,

1퐸 =

12

휂 − 휂퐸 ,

1퐸 =

13

휂 − 휂퐸

1퐸∗ =

12

휂 − 휂퐸 ,

1퐸∗ =

16

휂 − 휂퐸 ,

1퐸∗ =

112

휂 − 휂퐸

(15, 3.2)

푅 , 푀 , 푀 y 푅 , se obtienen como en (11,3.2) 3.3 Viga contínua de dos tramos con carga uniformemente repartida, E variable e I constante. Resuelto por el principio de superposición.

(1) (2)

y


L

R1 R2 R3

R1 R2

q

φ0

Fig. 6: Viga continua con dos tramos, E = constante. En la parte inferior, el primer

tramo aislado para determinar el ángulo 휑 en el apoyo 2.

Analizando el caso del primer tramo, se determina el ángulo 휑 que produce la carga 푞 en una viga simplemente apoyada. El momento 푀 en el apoyo 2 debe restablecer el que allí el ángulo 휑 debe anularse. Sea entonces 푀(푥) el momento en el punto x de la viga simplemente apoyada

푀(푥) = −푞퐿2 푥 +

푞푥2 (1, 3.3)

Por razones de simetría

푅 = 푅 =푞퐿2

(2, 3.3)

La ecuación de la elástica es

푑휑푑푥 = −


푞퐿2

푥퐼퐸(푥)−

푞2퐼

푥퐸(푥)

(3, 3.3)

Integrando

휑 =푑푦푑푥 = 휑 +

푞퐿2퐼


푞2퐼

휉 푑휉퐸(휉)

(4, 3.3)

Integrando nuevamente

L q

(1) (2) (3)

y

x

x


R1’ R2’

M0

φ1

푦 = 푦 + 푥휑 +푞퐿2퐼 푑휂


푞2퐼 푑휂

휉 푑휉퐸(휉)

(5, 3.3)

Las condiciones de contorno son:

푦(0) = 0, 푦(퐿) = 0 (6, 3.3)

Estas condiciones implican

푦 = 0

휑 퐿 =푞2퐼 푑휂

휉 푑휉퐸(휉) −

푞퐿2퐼 푑휂

휉푑휉퐸(휉)

(7, 3.3)

Recordando las (6,3.2) y (9,3.2)

휑 =푞퐿2퐼

1퐸∗ −

1퐸∗

(8, 3.3)

Fig. 7: Deformación angular producida por el momento 푀

Si aplicamos un 푀 en el apoyo 2, se tiene

푀(푥) = 푀 −푅 푥

푅 + 푀 = 0,푅 = −푀퐿

푅 + 푅 = 0, 푅 =푀퐿

(9, 3.3)

La ecuación de la elástica es:

푑휑푑푥 = −


푀퐿퐼

푥퐸(푥)−

푀퐼

1퐸(푥) (10, 3.3)

y

x


La variación angular, integrando (10,3.3), es:

휑 =푑푦푑푥 = 휑 +

푀퐿퐼

휉푑휉퐸(휉)−

푀퐼

푑휉퐸(휉)

(11, 3.3)

Integrando nuevamente

푦 = 푦 + 푥휑 +푀퐿퐼 푑휂

휉푑휉퐸(휉)−

푀퐼 푑휂

푑휉퐸(휉)

(12, 3.3)

Las condiciones de contorno son

푦(0) = 0, 푦(퐿) = 0 (13, 3.3)

De donde 푦 = 0, y:

휑 퐿 +푀퐿퐼 푑휂


푀퐼 푑휂

푑휉퐸(휉) = 0

(14, 3.3)

De acuerdo a (9,3.2)

휑 =푀 퐿퐼

1퐸∗ −

1퐸∗

(15, 3.3)

El momento 푀 debe lograr que 휑 = −휑 . Por lo tanto

푀 퐿퐼

1퐸∗ −

1퐸∗ =

푞퐿2퐼

1퐸∗ −

1퐸∗ (16, 3.3)

Así que se obtiene:

푀 =푞퐿

2

1퐸∗ −

1퐸∗

1퐸∗ −

1퐸∗

푅 =푀퐿 +

푞퐿2 ,푅 = −

2푀퐿 + 푞퐿,푅

= 푅

푀(푥) = 0 ⇒ 푥 =푅푞 ±

푅푞 −

2푀푞

(17, 3.3)


9128

푞퐿

−푞퐿8

38퐿

34퐿 3

4퐿

퐿 푅 =38푞퐿

푅 =38푞퐿

푅 =54푞퐿

퐿

q

9128

푞퐿

푑푀(푥)푑푥 = 0 ⇒ 푥 =

푅푞 =

퐿2 −

푀푞퐿

Si E fuera constante, se obtiene

푀 = −푞퐿

8 ,푅 = 푅 =38 푞퐿,푅 =

54 푞퐿

푅 + 푅 + 푅 = 2푞퐿,푀(푥) = 0 ⇒ 푥 =34 퐿

= 0,75퐿 푑푀(푥)푑푥 = 0 ⇒ 푥 =

38 퐿 = 0,375퐿

푀(푥) = 푞퐿9

128 ≅ 0,0703푞퐿

(18, 3.3)

Que son los valores que se obtienen en forma clásica [1,2]. En 2 hemos resuelto el mismo problema que da (15,3.3)

Fig. 8: Valores de los momentos para el caso I, E y q constantes. Son los valores clásicos.

4.- BIBLIOGRAFÍA

1. Timoshenko, S. Resistencia de materiales, Tomo I, traducida de la segunda edición impresa de 1940, Espasa Calpe, Madrid, 1961.

38퐿


2. Saliger, R. Estática aplicada. Traducida de la sexta edición alemana. Editorial

Labor, Barcelona, 1968.

3. Navier, L. M. H. Resumé des leçons doneés, L’ecole des Pontes et Chaussées, Dunod, Paris, 1864.

4. Kittl, P., Díaz, G. y Martinez, M., Applicability of a Weibull model of fracture by application of a slowly gradual load. In: Breyuse, D. editor Probabilistic and Materials. Test, models and applications. NATO.ASI. Series E. London: Kluver Academic Publishers, 1994. pp 439-49.

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7. Kittl, P., Diaz, G., Wendler, R. y Santibañez, V., Estudio probabilístico de la tenacidad crítica en cobre y el límite de fluencia en acero. http://www.ingnews.cl/web/download/publicaciones/tenacidad-critica-cobre.docx, 2012

8. Artigas B., A., Estudio estadístico de propiedades mecánicas a la tracción en aceros trefilados SAE-1020 y SAE-1045, Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Mecánico, Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile, 1997.

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