infinito actual e inconsistencias: acerca de … · razones: la importancia que tiene el concepto...

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

87ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2002, 20 (1), 87-113

INFINITO ACTUAL E INCONSISTENCIAS:ACERCA DE LAS INCOHERENCIASEN LOS ESQUEMAS CONCEPTUALESDE ALUMNOS DE 16-17 AÑOS1

GARBIN, SABRINA y AZCÁRATE, CARMENDepartament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències ExperimentalsUniversitat Autònoma de [email protected]@uab.es

Resumen. En este artículo presentamos algunos resultados, reflexiones y aportaciones de un trabajo de investigación (Garbin,2000) que se centra en identificar las inconsistencias y representar, categorizar y analizar las situaciones de coherencia quemanifiestan los alumnos en relación con sus esquemas conceptuales asociados al concepto de infinito actual, el cual secontextualizan en problemas expresados en lenguajes matemáticos diferentes: verbal, geométrico, gráfico, algebraico y analítico.Metodológicamente la investigación se enmarca en un estudio cualitativo. El análisis de datos es inductivo y el foco de investigacióntiene un carácter exploratorio, descriptivo e interpretativo. Participaron en el estudio 80 estudiantes de 16-17 años.Palabras clave. Infinito, esquemas conceptuales, inconsistencias, incoherencias.

Summary. We present in this article some of the results, considerations and contributions contained in a research work (Garbin,2000) focused on the identification of inconsistencies and on representation, categorization and analysis of situations of coherenceshowed by students, in relation to their concept schemes associated to the concept of present infinity, within the context of problemsset forth through different mathematical languages: verbal, geometrical, graphical, algebraic and analytical. From a methodologicalpoint of view this research is framed within a qualitative study. The data analysis is inductive and its aim is exploratory, descriptiveand interpretative. Eighty 16-17 year old students took part in this study.Keywords. Infinity, concept images, inconsistency, incoherency.

INTRODUCCIÓN

La preocupación por las dificultades del aprendizaje y dela enseñanza de los conceptos matemáticos en el bachi-llerato, en los cursos preuniversitarios y en los primerosde la universidad, nos hizo escoger una investigaciónque, desde el punto de vista de las concepciones de losalumnos y alumnas, indaga y examina los motivos quehacen de la problemática de un concepto matemático, untema para explicar y comprender.

Como problemática, nos ha interesado el concepto deinfinito matemático. Podemos hacernos la siguiente pre-gunta: ¿Por qué elegir este concepto? Podríamos dar dosrazones: la importancia que tiene el concepto tanto en símismo como en la enseñanza de la matemática. Sobre

esta última queremos recordar una frase de Dalessert,citada en D’Amore (1996): «La enseñanza de la mate-mática debe dirigirse hacia dos objetivos que le sonpropios: el sentido del rigor lógico y la noción deinfinito». De manera especial, a nosotras nos ha intere-sado el trinomio: infinito - lenguajes matemáticos -inconsistencias.

Al principio del bienio 1996-98, nos planteamos comoproblema de estudio el interrogante de cuál es la posibleinfluencia de los lenguajes matemáticos en la concep-ción del infinito actual y en las inconsistencias de losalumnos. Las preguntas que nos hacíamos entonces eranlas siguientes: ¿Cómo se describen estas inconsisten-


88 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2002, 20 (1)

cias? ¿Pueden ser categorizadas? ¿Qué tipo de conexio-nes se pueden establecer entre lo verbal, geométrico,gráfico, algebraico y numérico en el concepto de infinitoactual? Con estas preguntas en el horizonte, realizamosun estudio previo exploratorio (Garbin, 1998; Garbin yAzcárate, 2000), en que pudimos constatar la influenciade los lenguajes matemáticos implicados en los proble-mas aplicados a los estudiantes, tanto en la concepcióndel infinito actual como en las inconsistencias asocia-das. Los resultados nos han sugerido también que laintuición del infinito actual es «sensible» no sólo alcontexto (Fischbein, Tirosh y Hess, 1979), sino tambiéna las imágenes conceptuales asociadas a otros conceptosimplicados en las cuestiones, en este caso el de funcióny suma infinita. También mostramos que en las pregun-tas en que está implicado un proceso de infinitud, losestudiantes no siempre responden teniendo en cuenta elproceso infinito o evadiendo la infinitud, respondiendode manera finita. A las categorías de respuestas detecta-das anteriormente a partir de problemas de divisibilidadinfinita (Fischbein, Tirosh y Hess, 1979; Núñez, 1994: elproceso termina; el proceso es infinito; el proceso termi-na pero en la teoría no; y los que no contestan), nosotrasagregamos una categoría formada por las respuestas deun grupo de alumnos que, para fundamentarlas, no con-sideran el proceso de división infinito implicado en lacuestión: «el proceso de división finito o infinito nodetermina la respuesta del alumno».

Esta experiencia nos abrió nuevos interrogantes y mati-zó el planteamiento de la investigación, que pretendíaidentificar las inconsistencias y representar, categorizary analizar las situaciones de coherencia que manifiestanlos alumnos en relación con sus esquemas conceptualesasociados al concepto de infinito actual y que se contex-tualizan en problemas expresados en lenguajes matemá-ticos diferentes: verbal, geométrico, gráfico, algebraicoy analítico.

En este artículo presentamos algunos de los resultados,aportaciones y reflexiones de esta última investigación(Garbin, 2000), principalmente enfocados a dejar enevidencia la importancia de describir y distinguir lostérminos inconsistencia e incoherencia, describir lo queentendemos por tarea de conexión y reflexionar sobre suposible importancia en la actividad matemática, en labúsqueda de cómo ayudar al desarrollo de un pensa-miento coherente en el estudiante y, en consecuenciaposteriormente, tal vez de un pensamiento consistenterespecto al concepto que se esté trabajando, en nuestrocaso, el infinito actual.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Y ANTECE-DENTES

El tema de estudio, la naturaleza del problema, el propó-sito de la investigación y los objetivos planteados son,entre otros, los que ofrecieron la perspectiva teórica deltrabajo.

Por motivos obvios de extensión no podemos presentaren su totalidad el trabajo teórico, pero sí podemos pre-sentar la fundamentación y enmarque teórico que estáncentrados en la teoría cognitiva desarrollada por Tall yDreyfus con relación al desarrollo y crecimiento delpensamiento matemático avanzado. Decidimos enfati-zar aquellos aspectos que hemos considerado importan-tes para fundamentar nuestra investigación. Los concep-tos tratados fueron, de manera particular, el conceptimage y el concept definition (Tall y Vinner, 1981), loscuales traducimos como esquema conceptual y defini-ción del concepto (Azcárate, 1990); también el conceptode procepto (Gray y Tall, 1994) en torno a la dualidad delproceso y concepto. En cuanto a procesos podemosdistinguir entre: a) los implicados en la representacióncomo son el proceso propiamente dicho, las representa-ciones y translaciones y la modelización; y b) los impli-cados en la abstracción, es decir, generalizar, sintetizar,abstraer. También nos hemos detenido a describir losprocesos del crecimiento cognitivo en la etapa de transi-ción desde la matemática elemental hacia la avanzada,considerando que «el lugar donde el pensamiento mate-mático elemental se convierte en avanzado no se hadefinido todavía con precisión» (Tall, 1995).

Esta teoría era necesaria, pero no suficiente, para abor-dar temas como la intuición, las inconsistencias y lasrepresentaciones, de especial importancia en nuestrotrabajo. Se hizo, pues, necesario completar el marco conuna mirada más profunda hacia estos términos que aca-bamos de mencionar.

La importancia que ha tenido y tiene la noción deintuición en la matemática, en las ciencias y en laeducación matemática, hizo que surgiera un gran interéspor investigarlo, especialmente considerando el conoci-miento intuitivo como un camino básico, junto al analí-tico, en la actividad matemática, como mostró Fischbeinen su artículo «Intuition and Proof» (1982). Esta impor-tancia podría ser la respuesta obvia a por qué escogeresta noción en el marco teórico, además de considerarque en las preguntas que hemos planteado a nuestrosalumnos «entra en juego» la intuición. Pero, algunarazón más hemos encontrado al centrarnos en la nociónde infinito.

Sabemos que el concepto aristotélico de infinito es unanoción potencial que dominó en la historia hasta la épocacantoriana, y que tuvo una gran influencia en el desarro-llo de este concepto. Como ha sido expresado porFischbein (1982) este concepto potencial de infinito es elque responde a la interpretación natural intuitiva delinfinito. «Un objeto potencialmente infinito (por ejem-plo, una línea que puede ser extendida indefinidamente)tiene un significado «conductual». Una operación po-tencialmente infinita también tiene un significado «con-ductual» (por ejemplo, dividir indefinidamente un seg-mento de línea). Un infinito actual no tiene un significadoconductual, por tanto, no es congruente con una interpre-tación intuitiva.» (p. 13).

Debemos advertir que las respuestas correctas a losproblemas de nuestro cuestionario resultan ser contrain-


ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2002, 20 (1) 89

tuitivas; por otra parte, «las intuiciones no son absolutas,dependen del contexto…» (Fischbein, 1998, p. 367).Dado el interés de nuestra investigación y lo expresadoanteriormente, resultó imprescindible considerar la in-tuición, su rol, su clasificación y sus características.Fischbein (1998) describe las siguientes característicasgenerales de las cogniciones intuitivas: a) cognicionesdirectas, autoevidentes; b) certeza intrínseca; c) coerci-sión; d) capacidad de extrapolar; e) globalidad. Tambiénclasifica a las intuiciones como de aceptación y anticipa-ción, las primeras de las cuales pueden ser primarias ysecundarias.

El tema de inconsistencias tiene una relevancia especialen nuestro estudio. En el año 1990, varios investigadoresde didáctica de la matemática dedicaron un lugar espe-cial al tema de las inconsistencias en un volumen mono-gráfico de la revista Focus on Learning Problems inMathematics. El objetivo principal y el deseo de losinvestigadores era que dicho volumen sirviera para en-riquecer el conocimiento básico sobre el tema y animara seguir investigando en este dominio. Los interesescomunes a todos los artículos son los posibles orígenesde las inconsistencias y el sugerir estrategias instruccio-nales para promover el aprendizaje a través de ellas.Algunos presentaban investigaciones empíricas(Wilson, Tall, Tirosh y Graeber) mientras otros ofrecíandiscusiones teóricas (Behr y Harel; Vinner). Steffe, porotra parte, trata de este tema desde un punto de vistaconstructivista y Tirosh provee una sinopsis sobre el rol delas inconsistencias en el aprendizaje de la matemática.

Hemos querido dar a conocer aquellas aportaciones yconclusiones que consideramos más importantes paranuestro trabajo y que provienen de las investigacionesantes mencionadas. Subrayamos de manera especial laclasificación que hace Tirosh de las ideas inconsistentesde los estudiantes, ya que permite situar las observadasen nuestra investigación.

Vinner (1990) había distinguido dos tipos de inconsis-tencias: las que se derivan de un sistema formal y las quesuceden desde un punto de vista psicomatemático. Con-sideró dos niveles de inconsistencias: las superficiales ylas profundas. Las primeras, derivadas de un error en unademostración o como resultado de un axioma contradic-torio con otro; y las profundas, que pueden ser derivadasde un concepto mal formulado o debidas a la presenciade conexiones implícitas erróneas. Tirosh aumenta estaclasificación ofreciendo otros tipos de ideas inconsis-tentes, de particular importancia para la instrucción:a) inconsistencias directas e indirectas; b) validez mate-mática de las proposiciones; c) inconsistencias externase internas; d) consciencia de los estudiantes de susinconsistencias.

En cuanto a la falta de consciencia de los estudiantessobre sus ideas inconsistentes, es una situación identifi-cada y que preocupa en cuanto no ayuda a que losalumnos puedan aprovechar sus inconsistencias para suaprendizaje y hace que el método de crear un conflictocognitivo al estudiante no siempre tenga los resultadosdeseados.

Con relación a los posibles orígenes de inconsistenciasde las ideas matemáticas de los estudiantes, Tirosh siguelas misma áreas consideradas por Tall, ofreciendo unasubclasificación que podemos ver en la tabla siguiente:

La matemática: naturaleza relativa

La mente: conocimiento y creencias– Discrepancia entre el aprendizaje formal, intuitivo y el conoci-miento algorítmico.– Discrepancia entre el esquema conceptual y la definición delconcepto.– Naturaleza del contexto del conocimiento adquirido.– Resistencia al cambio conceptual.– Percepción del estudiante de la matemática.

El mensaje: el lenguaje, el currículo y la instrucción.

* No son mutuamente excluyentes.

En nuestra investigación también son importantes lostérminos lenguajes matemáticos, contexto y representa-ción. De ahí que hayamos abordado el estudio del térmi-no representación. Janvier, en el año 1987, editó el libroProblems of representation in the teaching and learningof mathematics, que destacó en ese tiempo el tema de lasrepresentaciones en la educación matemática y situó laperspectiva teórica del tema en ese momento.

Para complementar nuestro marco teórico hubiésemospodido centrarnos en la perspectiva teórica que ofrecenlos artículos citados anteriormente. Sin embargo, sinquitarle importancia a tales aportaciones y sin olvidar laresonancia de estos planteamientos, nos hemos centradoen la teoría de las representaciones semióticas, desde elpunto de vista cognitivo, desarrollada por Duval (1993,1996, 1999a, 1999b), que llevó a afirmar que «la carac-terística esencial de la actividad matemática es el cambiode registro de representación y que la conversión de lasrepresentaciones es un problema crucial en el aprendiza-je de las matemáticas» (Duval, 1999a, 1999b). Hemospresentado aquellos términos y definiciones que sonbásicos para entender las aplicaciones subsiguientes alanalizar la actividad matemática desde el punto de vistade las representaciones semióticas. Específicamente paranuestro trabajo, los términos que más nos interesanclarificar son: representaciones semióticas, registro derepresentación, conversión y coordinación de las repre-sentaciones.

Antes de centrarnos en la presentación de algunas de lasinvestigaciones de interés didáctico realizadas sobre elinfinito matemático, dimos un paseo por la historia delconcepto de infinito con especial interés por el infinitoactual. Este paseo lo hemos dividido en tres partes. En laprimera hemos contextualizado las dos épocas históricasque enmarcaron de manera especial el trabajo y el desa-rrollo de tal concepción en las grandes mentes matemá-ticas. La segunda parte la centramos en la noción deinfinito matemático con una mirada especial al infinitoactual y la tercera la hemos dedicado al matemático



Zenón de Elea. También presentamos dos recientesaportaciones acerca de las paradojas de Zenón (Harri-son, 1996; Alper y Bridger, 1997). Para este paseoseguimos de cerca la exposición de Boyer (1992), asícomo el trabajo epistemológico y las reflexiones realiza-das por Waldegg en su tesis doctoral (1987). Tambiéntomamos en cuenta la exposición que hace Rucker (1995)en el primer capítulo de su libro Infinity and the Mind yla de Moreno y Waldegg (1991), entre otros.

Son muchas las investigaciones realizadas en didácticasobre el tema del infinito matemático. Tall (1992), alreferirse a la transición del pensamiento matemáticoelemental al pensamiento matemático avanzado, en cuantoa funciones límites, demostración e infinito, presentóuna serie de investigaciones realizadas sobre ese tema.Tall cita la existencia de investigaciones basadas en lasinconsistencias que existen entre el infinito cardinal deCantor y las intuiciones. Tales investigaciones tratande las concepciones y conflictos presentes en la mente delos estudiantes; nombra explícitamente las siguientes:Tall (1980); Fischbein, Tirosh y Hess (1979); Tirosh(1991) y Sierspinska (1987). Más tarde, D’Amore (1996)recogió un centenar de investigaciones que se han veni-do desarrollando en los últimos años, completando lalista presentada por Tall pero con un objetivo distinto:mostrar algunas direcciones que ha tomado la investiga-ción en la didáctica del infinito matemático, a través deuna exposición que no toma como referencia los distin-tos conceptos del infinito y las concepciones correspon-dientes, como lo hizo Tall, sino la referencia históricadel desarrollo del concepto. En este artículo podemosencontrar investigaciones sobre las paradojas de Zenóny sobre algunas consideraciones de Galileo; investiga-ciones aristotélicas y sobre los usos «actual» y «poten-cial» del infinito; investigaciones sobre el continuo,alrededor de la adquisición del infinito como medida yconteo, sobre algunas sumas infinitas de Oresme yBolzano; otras que tratan la inducción; y, por último,investigaciones realizadas en el marco de la psicologíadel aprendizaje. El año siguiente (D’Amore, 1997) deci-dió publicar la bibliografía que posee sobre el tema,completando la presentada el año anterior. Conscientede que es un tema muy estudiado, la llama bibliografíain progress y presenta en ella 280 títulos que representantrabajos o investigaciones de interés histórico, episte-mológico, psicológico, filosófico o didáctico, realizadosa partir del año 1951 hasta la fecha de publicación delartículo. Algunos de los artículos están orientados haciael concepto mismo, y muchos otros, hacia la compren-sión de otros conceptos matemáticos, en los cuales elinfinito está implícito en los procesos cognitivos deaprendizaje de los mismos. Podemos añadir nuevosartículos publicados entre los años 1996-97 a esta biblio-grafía de trabajos vinculados al concepto de infinito:Riscos (1996); Stavy y Tirosh (1996); Blazek y Sitia(1997), de orientación matemática; Mura y Maurice(1997); Harrison (1996) y Alper y Bridger (1997), deorientación filosófico-matemática.

Algunas de las investigaciones son consideradas pilotoy pilares en el área de la didáctica del infinito matemá-tico, como lo son Fischbein, Tirosh y Hess (1979), Tall

(1980), Tirosh (1991) y Moreno y Waldegg (1991).Otras dos más recientes, la primera, con una aportacióndesde un punto de vista psicológico (Nuñez, 1994), y lasegunda, con un enfoque sobre metacognición y consis-tencia en el caso del infinito (Tsamir y Tirosh, 1995), hansido de particular interés para nosotras.

Con la presentación bibliográfica hemos querido resal-tar la gran cantidad de literatura existente sobre elinfinito matemático. Así, tenemos una idea sobre la granvariedad de temática e intereses surgidos a través deltiempo. Hemos podido constatar que las investigacionesdedicadas específicamente a la intuición del infinitomatemático, desde un interés didáctico y psicológico,hacen importantes aportaciones al conocimiento de lasconcepciones del infinito que presentan los alumnos.Además, ponen de manifiesto lo intuitivamente contra-dictorio que resulta ser este concepto y evidencian lapresencia de inconsistencias en las respuestas de losalumnos, básicamente influenciadas por el contexto, enproblemas en que está presente esta noción.

No nos queda duda de la importancia, para la didácticade la matemática, de conocer la interacción entre lengua-jes matemáticos - representación - inconsistencias -infinito, pero también es cierto que aún queda mucho porexplorar en este campo específico. Con este entorno,queremos nuevamente subrayar la importancia y la no-vedad de nuestro trabajo, que seguimos, en parte, pre-sentando en este artículo.

METODOLOGÍA

La investigación se enmarca en un estudio de tipo cua-litativo. El análisis de datos es inductivo, ya que lascategorías e interpretaciones se construyeron a partir dela información obtenida. El foco de investigación tieneun carácter exploratorio, descriptivo e interpretativo.Estas características son parte –y son propias– de la«investigación cualitativa» (Latorre et al., 1996).

Antes de esta investigación se había llevado a cabo unaexperiencia piloto que llamamos investigación previa(Garbin, 1998; Garbin y Azcárate, 2000). De este estu-dio exploratorio revisamos la metodología, los instru-mentos de recogida de datos y análisis de éstos, y secorrigieron y completaron aquellos aspectos que así lorequerían. Realizamos la investigación con nuevos y conmayor número de participantes, y se construyeron nue-vas categorías.

Instrumentos de recogida de datos y descripción delos participantes

La investigación se realizó con 80 estudiantes de 2º debachillerato de tres centros educativos (dos grupos de 27alumnos y uno de 26), cuyas edades estaban comprendi-das entre 16 y 17 años. En el momento de la aplicaciónde los cuestionarios, los estudiantes no tenían conoci-mientos formales previos sobre límites; hasta ese mo-



Figura 1



mento, las unidades didácticas desarrolladas en clase porlos profesores habían sido: el número real (númerosreales y errores); trigonometría (razones trigonométri-cas, resolución de triángulos y ecuaciones trigonométri-cas); estudio descriptivo de las funciones elementales(polinomios, funciones polinómicas, racionales y deproporcionalidad inversa); función real.

Dos cuestionarios fueron aplicados a los estudiantes: C1

y C2.

El primer cuestionario, C1 (Fig. 1), consta de 5 preguntasen las que está presente el mismo concepto matemático,el infinito actual, y los problemas son de divisibilidadinfinita. La particularidad de la mayoría de las preguntasconsiste en ser una versión actualizada, diferenciada porel contexto, de la primera paradoja de Zenón de ladivisión. Otras generan la misma paradoja. Cinco len-guajes matemáticos distintos diferencian el contexto decada una: geométrico, verbal, analítico, gráfico y alge-braico. Cada problema, en su enunciado, tiene una parteque usa la lengua natural como registro lingüístico, alexplicar el problema y la cuestión planteada y otra parteque usa otro registro de representación semiótica. Comose puede observar, los registros de representación se-miótica (indicamos RRL para indicar registro de repre-sentación lingüístico y RR registro de representación nolingüístico) que aparecen en el enunciado son:

a) RR: figura geométrica (segmento de recta);

b) RRL: lengua natural;

c) RRL: numérico (suma infinita);

d) RR: gráfico cartesiano (función cartesiana);

e) RRL: escritura algebraica (ecuación con suma infinita).

El segundo cuestionario, C2 (Fig. 2), se aplicó unasemana después de pasar el C1. El objetivo de estecuestionario era permitir a los estudiantes que tomaranposición ante sus propias respuestas, darles la oportuni-dad de corregir, matizar y ampliar las respuestas dadasen C1 y relacionar o encontrar similitud entre las pregun-tas o respuestas. Por otra parte, considerar que podíancomunicarse entre ellos, reflexionar sobre lo ocurrido enel cuestionario y poder corregir o completar nuevamentelas respuestas días después, pensábamos que podía serbeneficioso para evitar aquellas respuestas ingenuas oproducto de una «conducta pseudoanalítica» (Vinner, 1997).En este tipo de problemas los registros de representacióntienen un fuerte carácter de estímulo visual, que puedeinducir al alumno a tener este tipo de conducta.

El cuestionario se aplicó de la siguiente manera:

–Se entregó a cada estudiante su propio cuestionario (C1)contestado días antes, un bolígrafo rojo y el nuevocuestionario (C2).

–Se explicó a los alumnos el objetivo de esta nuevaaplicación, la oportunidad que tenían para pensar nueva-mente sobre la tarea realizada días antes y corregir omatizar sus respuestas en caso de creerlo conveniente;

además de este objetivo, el interés de recoger nuevainformación a partir de la segunda pregunta del nuevocuestionario.

– El cuestionario C2 consta de dos parte (a) y (b). Se lespidió contestar la parte (a) en C1 y la parte (b) en C2.

– El uso del bolígrafo rojo se justificó explicando quepermitía no confundir las respuestas dadas en un primermomento y las correcciones realizadas por los alumnossobre las propias respuestas.

Esta experiencia la hemos considerado positiva, ya quepermitió la ubicación definitiva de todos los estudiantesen las líneas de coherencia (ver apartado, un instrumen-to: las líneas de coherencia) y por la conducta observadaen los estudiantes durante esta nueva situación. Lejos decausar rechazo el «pensar sobre lo mismo», los alumnosse mostraron más atentos y más concentrados en lanueva tarea. Hemos interpretado que el asombro que lescausó la posibilidad de revisar las propias respuestas yreflexionar de nuevo acerca de las preguntas fue lo quefavoreció esta conducta, distinta (cualitativamente) a laque habíamos observado en la aplicación del primercuestionario.

Un tercer instrumento de recogida de datos ha sido el delas entrevistas grabadas. Es un tipo de entrevista semi-estructurada y dirigida. La entrevistadora acudió a laentrevista con un guión, que fue el mismo para todos losalumnos. Las entrevistas tuvieron una duración com-prendida entre 30 y 45 minutos. Los problemas escogi-dos para la entrevista han sido tres del C1 (preguntas 1,3 y 4), y un cuarto problema, también de este cuestiona-rio (pregunta 2), que se propone al estudiante después dela resolución de los tres anteriores.

Dado que se necesita el conocimiento de las categoríasestablecidas durante el estudio y del trabajo realizado,explicaremos más adelante los criterios seguidos para laselección de los 6 estudiantes entrevistados y en losanexos mostraremos el guión. Se hizo un análisis des-criptivo e interpretativo de cada entrevista.

Figura 2Instrumento de recogida de datos. Cuestionario.

Segundo cuestionario

Tienes el cuestionario que tu mismo/a has contestado:a) Usando un bolígrafo rojo puedes ahora corregir o completartus respuestas.Si corriges o completas, explica por qué lo haces y, en caso queno lo hagas, explica también el motivo.(Si no habías contestado alguna de las prguntas inténtaloahora.)

La respuesta que das a cada pregunta, ¿crees que es la únicarespuesta posible?

b) ¿Encuentras que existe alguna relación o conexión entre laspreguntas? ¿Y entre las respuestas? Explícalo.



Un instrumento: las líneas de coherencia

Optamos por el uso de las redes sistémicas (Bliss yOgborn, 1979; Bliss, Monk y Ogborn, 1983; Azcárate,1990; Romero, 1996; Garbin, 1998) como sistema derepresentación de los datos cualitativos obtenidos apartir de las respuestas dadas por los alumnos en C1. Lasredes sistémicas posibilitan una configuración de losdatos que permite mirar todas las respuestas efectivas delos alumnos encuestados. Estos datos nos interesabanpara acercarnos a los esquemas conceptuales de losestudiantes asociados al concepto de infinito actual.

Se estableció una red sistémica por cada pregunta delcuestionario y se hizo un análisis descriptivo e interpre-tativo pregunta por pregunta. Los alumnos habían sidoidentificados aleatoriamente con números del 1 al 80.

Construimos unas tablas resumen a partir de las redessistémicas diseñadas con las respuestas obtenidas en C1.Éstas se construyeron, considerando prácticamente lamisma organización establecida en las redes sistémicas,por categorías independientes. Se siguió la metodologíaempleada en el estudio previo (Garbin, 1998; Garbin yAzcárate, 2000).

A partir de las respuestas de los alumnos, representadasen las tablas-resumen, y del contexto de las mismas,expresado en los lenguajes matemáticos distintos (geomé-trico, verbal, analítico, gráfico y algebraico), construi-mos un instrumento que permite mostrar las respuestascoherentes o incoherentes de los estudiantes.

Para la construcción hemos tomado en cuenta los proce-sos explicitados en Núñez (1994). En el concepto invo-lucrado en las cinco preguntas, están presentes dos tiposde iteracciones, la divergente y la convergente, es decir,que el número de divisiones crece mientras la distanciadisminuye. Pero, por otro lado, está la naturaleza delcontenido que tiene dos tipos de atributos: el número dedivisiones referido a cardinalidad y la distancia cubiertareferida a espacio. Por ejemplo, en la pregunta 1,el proceso de bisección es divergente y el número dedivisiones que se hacen para que el punto de bisecciónalcance al punto extremo B se refiere a la cardinalidad.Por otro lado, la distancia que cubre cada divisióndisminuye, debido a que cada vez se van haciendosegmentos más pequeños; ésta sería la iteración conver-gente.

A partir de las respuestas hemos establecido tres líneasde coherencia que hemos llamado: línea finitista (o deevasión de la infinitud), línea actual y línea potencial(Figs. 6, 7, 8 y 9, en el anexo). Como podemos observar,estos gráficos están formados por tablas entrelazadasentre sí, las cuales han sido diseñadas a partir de lastablas resumen. Si se sigue el orden dado por estosenlaces, se pueden identificar a aquellos alumnos que nomantienen respuestas coherentes entre las cinco pre-guntas del cuestionario.

Observando cada línea podemos conocer las respuestasdadas por los alumnos, las cuales pueden ser correctas o

no, consistentes o no con el concepto involucrado en losproblemas. Mencionaremos aquellos alumnos y sus res-puestas que no aparecen en las líneas anteriormenteexpuestas:

1) En la pregunta 1, contesta tanto afirmativamentecomo negativamente. Ambas respuestas en sentido po-tencial y actual se han considerado válidas. Estos alum-nos deberían contestar de forma paradójica en todas laspreguntas.

2) En la pregunta 1, distingue entre la teoría y la prácti-ca, en el sentido de la primera paradoja de Zenón, que esinducida por el tipo de infinito involucrado en C1. Estosalumnos deberían distinguir entre la teoría y la prácticaen todas las preguntas.

3) En la pregunta 1, distingue entre la representacióngeométrica y numérica, en el mismo sentido de la res-puesta (b), pero al justificar distingue una identificaciónnumérica y geométrica en el registro de representaciónusado en la pregunta. Estos alumnos deberían distinguirlas respuestas dependiendo de la identificación que sepueda hacer de la representación de cada pregunta.

4) No contesta. Esta clase aparece en muchas de lastablas construidas. Estos alumnos pueden tener cual-quier tipo de respuestas en las preguntas que contesten.

5) En la primera pregunta responde que el punto debisección no alcanza al punto B por no poder ser éste unpunto de bisección, porque es punto extremo del seg-mento. Esta respuesta no ha sido determinada por lainfinitud, sino por un obstáculo cognitivo. En las otrasrespuestas, el alumno podría seguir en cualquiera de lastres líneas establecidas.

RESULTADOS

Categorización de los estudiantes según las líneas decoherencia

Las líneas de coherencia permiten clasificar la situaciónde coherencia o incoherencia de cada estudiante. Lasrespuestas coherentes, en el sentido de cada línea, son lasque han determinado la clasificación:

a) Si un alumno tiene tres o más respuestas coherentessegún una línea determinada, se le sitúa en la categoríade la línea correspondiente.

b) Si un estudiante tiene tres respuestas coherentes enuna de las líneas y tres en una línea distinta, se le colocaen la categoría compartida por ambas líneas.

c) Si un alumno tiene sus respuestas situadas en diferen-tes líneas, se le sitúa en una categoría que hemos llamadomixta.

A partir del análisis descriptivo e interpretativo hemosencontrado lo siguiente:



– Los alumnos finitistas o que evaden la infinitud (cate-goría 1):

a) En preguntas de tipo geométrico, algebraico o numé-rico, difícilmente contestan de forma infinitista en pre-guntas en que la infinitud se presenta en situaciones dela vida real y que la coherencia de pensamiento es inducidapor espacios acotados o expresiones no acotadas.

b) Tienen respuestas a la pregunta 1 (C1) del tipo B, T yP, G y N o S y N. El conflicto entre finito e infinito tieneun grado de intensidad superior al grupo anterior y laconcepción del infinito es básicamente potencial.

c) La noción de infinito actual aparece a partir derepresentaciones que inducen a ello (como, por ejemplo,espacios acotados, analogía de conceptos finitos, consi-derar que la suma infinita debe tener un valor numéricofinito).

Con estos criterios hemos obtenido las 5 categorías dealumnos:

1) alumnos que están situados en la categoría 1;2) alumnos que están situados en la categoría 2;3) alumnos que están situados en la categoría 3;4) alumnos que están situados en la categoría 1/3;5) alumnos que están situados en la categoría mixta.

Estas categorías se pueden visualizar en las figuras 10 a14 del anexo.

Para visualizar el recorrido de cada alumno según laslíneas de coherencia, hemos utilizado una línea continuay la simbología que aparece en la figura 15 del anexopara representarlo. La representación de la línea 1 esdistinta a la de las líneas 2 y 3, debido a que la línea 1 sesubdivide en 1.1 y 1.2, determinadas por las respuestasa la pregunta 2, partes (a) y (b).

– En la mayoría de las respuestas de los alumnos actua-listas (categoría 2), la concepción actual entra en con-flicto sobre todo en la pregunta 2 (C1), contexto «real-físico».

– Los alumnos potencialistas en la mayoría de sus res-puestas (categoría 3) responden básicamente con laintuición natural del infinito.

Del resto de categorías hablaremos más adelante.

Inconsistencias e incoherencias

Cuando se habla de una idea o pensamiento inconsisten-te es con relación al concepto matemático involucrado,o a contradicciones dentro de una teoría matemáticadada. Generalmente aparecen durante la resolución deun problema o en una respuesta al mismo.

Una forma particular de inconsistencias directas, segúnla clasificación de Tirosh (1990), son las que se presen-tan en la situación en que los estudiantes tienen que

resolver un mismo problema representado de diferenteforma, poniendo de manifiesto que los alumnos nomantienen respuestas consistentes ante varias represen-taciones. Es decir, alguna respuesta puede ser consisten-te con el concepto para un tipo de representación einconsistente con el concepto para una representacióndistinta.

En esta situación particular en que el estudiante tiene queresolver un mismo problema representado de diferentesformas, como ha sido el caso de nuestro cuestionario,nosotros introducimos el término de incoherencia, perocon un matiz distinto al de inconsistencia que hace quepodamos usar de manera diferente ambos términos aun-que estén estrechamente relacionados. Trataremos deexplicar lo anterior a continuación.

Tirosh (1990), al hablar de situaciones como las mencio-nadas anteriormente, describe el siguiente ejemplo: enun estudio, los alumnos argumentaron que x = 3 es unafunción y al mismo tiempo no lo es, dado que la funciónestaba representada en un gráfico cartesiano y tambiénestaba descrita en un diagrama de flechas. En este ejem-plo estamos hablando de dos tipos de gráficos comoregistros de representación. Se presenta una situación unpoco distinta cuando estos gráficos aparecen en dosproblemas donde, tal vez, uno tenga un enunciado enlenguaje natural y el segundo, en un lenguaje formal. Lacontextualización del problema, entonces, influye en sucomprensión.

En matemáticas se habilitan diferentes lenguajes mate-máticos, como lo son el algebraico, analítico, geométri-co, gráfico y verbal; éstos son los que hemos escogidopara nuestros problemas. Cada uno de estos lenguajesgenera contextos lingüísticos matemáticos diferentes.Y cada lenguaje matemático utiliza una combinación deciertos registros de representación semiótica que puedenser del tipo lingüístico (lenguaje natural, escritura alge-braica, lenguaje formal...) o de otro tipo (figuras geomé-tricas, gráficos cartesianos, esquemas...). Recordemosque las representaciones semióticas pueden ser produc-ciones discursivas o no discursivas. (Fig. 3).

Por ejemplo, en la pregunta 1 del C1, además del contex-to conceptual, se genera un contexto geométrico dadopor el lenguaje geométrico usado en el enunciado. Vin-culado a este lenguaje está la coordinación de diferentesregistros de representación semiótica. La primera partedel enunciado, el proceso de división infinita por mita-des, está descrito con un registro semiótico lingüístico(lengua natural), dando paso posteriormente a un regis-tro de representación semiótica no lingüístico, que esuna figura geométrica (segmento de recta), terminandoel enunciado en lengua natural.

El estudiante, entonces, no sólo tiene que resolver unmismo problema representado (en el sentido semiótico)de diferente forma, sino que ha de resolver un mismoproblema expresado en diferentes lenguajes matemáti-cos. En este caso, decir que está representado de diferen-te forma, quiere decir que tiene representación distinta ylenguaje matemático distinto, lo que contextualiza ma-



Figura 3

temáticamente el problema (por ejemplo, muchas vecesel estudiante se enfrenta a esta situación en una guía deproblemas o en un libro, al final de un tema, en unasección dedicada al aprendizaje de un concepto especí-fico). Ante esta situación en que el estudiante tiene queresolver un mismo problema pero expresado de distintasmaneras, se generan respuestas contradictorias entre sí(la de un problema con respecto a otro). Nosotros llama-mos a estas respuestas contradictorias entre sí, respues-tas incoherentes, o coherentes en caso contrario. Laslíneas de coherencia son las que permiten identificar estetipo de respuestas coherentes o incoherentes. En conse-cuencia, podemos tener un alumno cuyas ideas o res-puestas sean inconsistentes con el concepto involucrado(idea o respuesta errónea) y, sin embargo, mostrarsecoherente en su pensamiento (ideas o respuestas equiva-lentes en problemas diferentes).

Las líneas de coherencia nos permiten determinar ydefinir lo que para nosotros es un alumno coherente consu propio pensamiento.

Un estudiante es considerado coherente, en nuestro estu-dio, si todas sus respuestas están en la misma línea decoherencia (1, 2 o 3). De esto se puede deducir que unalumno puede ser coherente con su pensamiento aunquesea inconsistente con el concepto matemático involucrado.

Por ejemplo, el alumno 26 (ver categoría 1, fig. 10) escoherente en la línea 1, sin embargo es un alumnofinitista o que evade la infinitud.

Podemos hablar de tres tipos de alumnos:

1) Alumno coherente y consistente: tiene todas susrespuestas en la línea 2.

2) Alumno coherente pero inconsistente: tiene todas susrespuestas en la línea 3 o en la línea 1.

3) Alumno incoherente: tiene respuestas que no soncoherentes en alguna línea ( 1, 2 o 3); por ejemplo, podríatener tres respuestas en la línea 1, dos respuestas en lalínea 2 y una en la línea 3.

Teniendo en cuenta estos tres tipos de estudiantes yobservando las figuras 10 a 14 del anexo, correspondien-tes a las categorías de los estudiantes según las líneas decoherencia, vemos que el alumno 26 es coherente en lalínea 1 y el 46 en la línea 2. Curiosamente no hay ningúnalumno de la categoría 3 que sea coherente, aunquecinco de ellos (3, 32, 38, 43, 77) tienen una sola respuestaque no es coherente con la línea. Por ejemplo, en el casodel alumno 32, todas sus respuestas menos la primeracorresponden a la línea 3. En la primera pregunta contes-ta que el punto de bisección no alcanza al punto B, ya queéste es punto extremo del segmento. Este alumno, sisupera el obstáculo cognitivo específico, podría llegar aser coherente en la línea 3.

En cada categoría construida hay de tres a seis respuestascoherentes; por tanto, el nivel o el grado de incoherenciade cada alumno es diferente. Es decir, no todo alumnoincoherente lo es de la misma manera ni con la mismaprofundidad. Vinner catalogó dos niveles de inconsis-tencias: superficiales y profundas. Por el tipo de incon-sistencias presentes en las respuestas de los alumnos quese han evidenciado en el estudio, pensamos que lamayoría son profundas. Creemos que esta profundidadtambién tiene distintos niveles. En algún alumno serámás profunda que en otro.

Nos situamos ahora en las categorías 1, 2, 3, 1/3 y mixta:en cada categoría, de manera diferente a la que corres-ponde a la línea 2, hay un número bajo de respuestasactualistas dadas por los estudiantes (Fig. 10-14).

En dos de ellas, la 3 y la 1/3 (Fig. 12-13), se puede decirque hay ausencia de respuestas actualistas2 , lo cualllama la atención. En estos alumnos, el contexto y losregistros de representación semiótica influyen en dossentidos, hacia lo finito o evasión de lo infinito, y haciauna intuición potencial del infinito. Se podría decir quela noción potencial del infinito se mantiene profunda-mente arraigada en la mente del estudiante, ya que lainfluencia de representaciones acotadas no le llevanhacia una respuesta del tipo actual. Hay una mayorpresencia de respuestas coherentes en el sentido poten-cial, que evidencian un mayor arraigo de la concepción



potencial del infinito y una ausencia, aunque sea débil,de la noción actual del concepto.

En la categoría 1, a diferencia de la 3 y 1/3, hay presenciade respuestas actualistas, aunque sean escasas. La pre-sencia de este tipo de respuestas en el recorrido dealgunos alumnos nos indica que la representación decada problema influye de manera distinta en estos estu-diantes que en los alumnos de las dos categorías anterio-res. Cuando en la mente del sujeto lo infinito irrumpe enlo finito, es la mirada a los espacios acotados o el haceruna analogía a conceptos finitos lo que permite queacepte una primera presencia de un infinito actual.

Los estudiantes que pertenecen a la categoría mixta (Fig.14) son muy sensibles a la representación de cada pro-blema, como lo demuestra la poca coherencia que seobserva en sus respuestas. Por otra parte, hay que distin-guir entre los estudiantes que están situados en estacategoría sin ninguna respuesta en la línea 2, y los que síla tienen.

Curiosamente, la categoría mixta es la que ha obteni-do un mayor número de respuestas actualistas porparte de los estudiantes (sin considerar la línea 2).Esto indica que, en este grupo de estudiantes, lanoción de infinito actual o la aceptación del infinitoactual está presente en mayor grado que en los gruposanteriores. Parece que la noción potencial no está tanarraigada como en el grupo de la categoría 3 y que, talvez, hay una mayor capacidad intuitiva para acoger laexistencia de un infinito actual.

Lo expuesto anteriormente, mirando los tipos y origende incoherencias de cada categoría, permite pensar ydecir que las inconsistencias presentes en las respuestasde los estudiantes, derivadas principalmente de unaintuición natural del infinito, tienen diferentes grados deprofundidad en los alumnos.

La tarea de conexión

Teniendo como base la teoría cognitiva de las represen-taciones semióticas desarrollada por Duval y citada en elapartado dedicado al marco teórico, hemos descrito ennuestra investigación lo que entendemos por tarea deconexión y hemos reflexionado sobre su posible rol paralograr un pensamiento más coherente en el estudiante.

Supongamos que tenemos un problema matemático expre-sado de dos maneras diferentes (puede ser cualquier par deproblemas de nuestro cuestionario C1). Tenemos los pro-blemas A y B. Cada problema se expresa en un lenguajematemático, lo que genera un contexto propio al mismo(Fig. 4). En cada uno se movilizan registros de representa-ción semiótica que podrían resultar iguales o diferentes.

Se accede al objeto matemático a través de su represen-tación. En el caso de nuestro estudio, debería ser el deinfinito actual, aunque, como hemos visto, algunos delos registros de representaciones semióticas han induci-do a los estudiantes a representarse como objeto a uninfinito potencial. Por este hecho, en el gráfico (Fig. 4),la figura que indica la representación del objeto matemá-

Figura 4

Problema A Problema B



tico vinculado al problema A aparece de manera disjuntaal del problema B, aunque en ambos la noción matemá-tica sea la misma.

La situación teórica no cambiaría si los dos problemasutilizasen el mismo lenguaje matemático.

Aunque los elementos estructurales (lenguaje, sistemassemióticos, símbolos) son diferentes en los dos proble-mas (no necesariamente tendrían por qué serlo), el con-cepto matemático involucrado es el mismo. Creemosque es importante, como parte de la actividad matemáti-ca, saber identificar esta situación y saber utilizarla, yaque podría permitir no sólo obtener respuestas asociadascoherentes sino también disminuir la compartimenta-ción del conocimiento.

No hemos mencionado todavía los resultados de C2,

parte (b), donde algunos estudiantes afirmaron que lascinco preguntas o respuestas del C1 están relacionadascon el tema del infinito (27 alumnos); otros, que estánrelacionadas con la divisibilidad en mitades (17 alum-nos); y, finalmente, 4 afirmaron que están relacionadascon el infinito y la divisibilidad en «mitades». Sinembargo, esto no ha sido suficiente para obtener res-puestas asociadas coherentes; es necesario, además, sa-ber utilizar y aprovechar la comprensión y el proceso deresolución utilizado en los diferentes problemas.

De manera análoga, hemos querido entender las co-nexiones, pero agregando una tarea que se realiza en laactividad matemática durante el proceso de aprendizaje

de un concepto matemático, la tarea de conexión. Eneste caso la conexión se establece entre las representa-ciones; en el caso que estamos tratando, entre las repre-sentaciones correspondientes a cada problema (Fig. 5).La tarea de conexión consistiría en identificar y estable-cer relaciones entre los problemas, en cuanto a lenguajematemático y registro de representación semiótica serefiere, y reconocer los contextos (conceptual y global)de los problemas, de manera que permita una influenciamutua, dando lugar a respuestas asociadas coherentescon los problemas.

Podemos ilustrar lo anterior con el siguiente ejemplo.Pensemos en los problemas 1 y 3 del C1. La tarea deconexión entre los dos problemas consiste en reconocerque en ambas preguntas está presente la divisibilidadinfinita por mitades con dos iteracciones y con naturale-za de contenido (contexto conceptual); son dos proble-mas que representan el mismo concepto, pero tales que,en el primero, se utiliza el lenguaje geométrico y, en eltercero, el analítico. Vinculados a los lenguajes matemá-ticos, usados en el enunciado de ambos problemas,estarían los registros de representación semiótica: figurageométrica (segmento, en la pregunta 1) y escrituranumérica (suma infinita, en la pregunta 3); específica-mente, en este punto, la tarea de conexión consistiría enreconocer los siguientes aspectos:

– Si se considera el segmento de dimensión 1, es decir,el segmento real [0,1], cada punto del proceso de bisec-ción se debe identificar con cada uno de los sumandos dela suma infinita de la pregunta 3.

Figura 5

Problema A Problema A



– La suma infinita del enunciado representa numérica-mente la suma infinita de los segmentos que son resulta-do de las bisecciones y, por tanto, una solución explícitade la serie es la respuesta correcta a la primera pregunta.

– Una respuesta de la pregunta 1 debe ser asociada ycoherente con la respuesta de la pregunta 3.

Hablamos de coherencia y no de consistencia, dadoque un alumno puede mantener una concepción de infi-nito potencial en una de las preguntas 1 o 3 y, al conectarlas preguntas de la manera antes descrita, puede mante-ner tal concepción; es decir, mantiene la coherenciarespecto a la noción matemática presente, pero no laconsistencia.

También puede suceder que, en una de las preguntas, elsujeto tienda a una concepción potencial del infinito y,en la otra, a una concepción actual. En este caso, si hacela conexión entre las preguntas y es consciente de queambas respuestas deben ser asociadas y coherentes,tendrá que optar entre la respuesta potencial y la actual,dejando en evidencia, en este caso, lo paradójico de losproblemas. Es probable que, en esta situación, el alumnose deje llevar por la intuición natural.

Queremos subrayar que pensamos que esta tarea no espuntual sino que es un proceso no inmediato que abocaen la adquisición de una habilidad matemática.

Inducción de la tarea de conexión durante las entrevis-tas

Un ejemplo de lo que hemos afirmado en el párrafoanterior lo podemos dar a partir de nuestras entrevistas.Éstas se pensaron como instrumento de ayuda necesariopara obtener información sobre la posible influencia deesta tarea de conexión en la búsqueda de coherencia.

En la figura 16 del anexo podemos ver el guión usado porla entrevistadora. Se puede observar que es una entrevis-ta dirigida, en el sentido de que optamos por preguntasque permiten inducir al estudiante a establecer ciertotipo de conexiones entre las preguntas.

Se entrevistaron 6 estudiantes según la categorizaciónrealizada por líneas de coherencia, desestimando aque-llos alumnos ubicados en las líneas 3 y 1/3. Estos alum-nos básicamente tienen una concepción potencial delinfinito, que es la natural, y se pensó que se obtendríandatos menos ricos que con aquellos alumnos que se en-cuentran en el resto de categorías y que se habían mostradomás influenciados por las representaciones de las pregun-tas. Los criterios usados para la selección han sido:

a) tener por lo menos una respuesta en la línea 2;b) tener por lo menos un cambio de respuesta;c) los comentarios escritos en los cuestionarios;d) entre los alumnos que cumplen los requisitos y estánen una misma categoría, seleccionar los que tenganrespuestas diferentes a la primera pregunta.

Las preguntas planteadas fueron la 1, 3 y 4, en un primertiempo de la entrevista, y la 2, en un segundo tiempo,después que los estudiantes habían resuelto las tresprimeras.

En la siguiente tabla podemos observar la situación delos estudiantes al final de la entrevista, con relación a laconcepción del concepto y situación de coherencia-consistencia de cada alumno.

El análisis descriptivo e interpretativo de las entrevistas hadejado en evidencia que, para que los alumnos lleguen a lasituación final de coherencia, ha sido fundamental:

a) Reconocer en todas las preguntas el proceso de divi-sibilidad infinita, con los dos tipos de iteracciones, ladivergente y la convergente.

b) Establecer la relación y la conexión entre las pregun-tas a través de la sucesión numérica.

Hemos identificado que dicha tarea puede además favo-recer:

1) La aparición del conflicto y la consciencia de laparadoja en el estudiante cuando hay, por lo menos, unarespuesta del tipo actualista, en algunos de los proble-mas, y cuando no hay presencia de conflicto o conscien-cia de la paradoja en la mente del alumno, previa a latarea.

El siguiente diálogo puede ilustrar, como ejemplo, elconflicto que se va generando en el estudiante a lo largode la entrevista. Corresponde a la parte de resolución dela segunda pregunta del C1. El alumno ya había resueltopreviamente los tres primeros problemas correspondien-tes a la entrevista. Se puede observar una autobúsquedade coherencia en el estudiante. En el cuestionario,después de haber descrito el recorrido de la pelota, esteestudiante había contestado que la distancia que recorrese puede calcular sabiendo el número de rebotes(línea 1).

Alumno Concepción Coherencia Consistencianúm. Incoherencia Inconsistencia

2 Conflicto- Coherente Inconsistenteparadoja

25 Actual en la Incoherente Consistente en la1a. y 4a. pregunta. 1a. y 4a. pregunta.Finitista en la Inconsistente en la3a. y 2a. pregunta 3a. y 2a. pregunta.

42 Potencial Coherente Inconsistente

47 Actual Coherente Consistente





Entrevistadora: «Y hace un medio de lo anterior y te estánpreguntando: ¿si hace un medio de lo anterior, cuánto recorridohace?»

[…]

Alumno: «Claro, si cada vez hace un medio del anterior, en unprincipio yo diría que... que claro, podría hacer infinitos botesy, por lo tanto, se acerca cada vez, la distancia es infinita. Perosi ponemos en función de, bueno... en esta suma… sería dosveces…, bueno... y lo relaciono con lo que he dicho antes: si launidad es dos, lo máximo vendría siendo cuatro, eso ya nolo sé.»

[Va escribiendo la suma que representa el recorrido de la pelotay sumando.]

Entrevistadora: «¿Y, entonces, podrías calcular la distanciatotal recorrida por la pelota?»

Alumno: «No sé, no la veo... es que es la misma suma queel número dos; entonces, antes he dicho que esto se acerca-ba a dos, si esto ya son dos metros, más dos metros… estoes seis… No sé, ahora me parece que ya no sé mucho quédigo.»

Entrevistadora: «¿Por qué te asusta decir que esto es seis?»

Alumno: «No sé porque estoy diciendo todo lo que…, que mepasa. Es que, bueno, el día que nos pasaste esto ya iba escri-biendo, pero las cosas que me parecía. Bueno, no había llegadoa pensar, a hacer tantas relaciones, supongo que tampoco noestuve tanto tiempo… y por esto ahora digo esto porque sonespeculaciones que yo hago, son cosas que yo pienso, pero quequizás no las escribiría después… por eso ahora que lo voydiciendo…, quizás lo que voy diciendo… ¡Qué mal!

2) La «autobúsqueda» de coherencia, de manera cons-ciente o no, en las respuestas y afirmaciones relaciona-das con las preguntas (a través de la tarea se llega a unamayor consciencia de la semejanza de la situación plan-teada en cada problema). De esta manera, la tarea deconexión podría ayudar a regular y completar los proce-sos que son necesarios para la comprensión de cadaproblema.

Podemos ver como ejemplo el siguiente diálogo. La entre-vistadora hace la pregunta después de que ya se habíainducido en el estudiante parte de la tarea de conexiónentre las preguntas 1 y 3 del cuestionario y se habíaidentificado que los términos de la suma infinita represen-tan numéricamente los puntos de bisección del segmentode la primera pregunta en el caso particular [0,1].

Entrevistadora: «¿Sigues pensando aquí [se refiere a la 1a.pregunta] sí se llega al punto B si se sigue biseccionando,haciendo las divisiones, que de forma numérica sería estasucesión [señala los sumandos de la segunda pregunta] _, _, 1/8,…? Y en la segunda (pregunta 3 del C1), ¿sigues pensandoque nunca se llega al 2? ¿Sigues pensando que ésas son lasrespuestas?»

Alumno: «No, tienen que ser las mismas [se refiere a lasrespuestas], que si aquí es sí, aquí tiene que ser sí, bueno quellega a 2 y, si aquí sí no llega a 2, aquí no llega al punto B. Nosé, creo… porque, si es la misma sucesión de puntos… es lomismo que lo representen así o con un gráfico.»

3) La identificación del obstáculo cognitivo, creencia uerror conceptual que no permite una respuesta consis-tente a la cuestión. Esto permite la intervención didácti-ca o docente adecuada según el tipo y grado de profun-didad de la inconsistencia.

Esta tarea permitió, en la mayoría de los casos, superarlas limitaciones de los registros de representación y lainfluencia del contexto eliminando aquellas respuestasfundamentadas en la representación y dejando en evi-dencia los aspectos antes mencionados. Hubo un solocaso (25) en que la entrevistadora no consiguió inducir,en su totalidad, la tarea de conexión. Las posibilidades yconsciencia de la limitación de algunos de los registrosde representación no han sido explotados en su totalidady el alumno se ha dejado llevar por la representación delproblema. La situación se puede observar en el siguientediálogo. En esta parte de la entrevista, el alumno ya habíaidentificado que la sucesión de puntos dada por lasbisecciones del segmento (0,1) era la misma que la dadapor los sumandos de la suma infinita:

Alumno: «En ésta podrías llegar al punto B, al 1.»

Entrevistadora: «Haciendo esta sucesión, piensas que podríasllegar al punto 1, en la primera pregunta y en la segunda, no loves, ¿aunque relaciones que la sucesión es la misma?»

Alumno: «Sí, yo veo... es que aquí, como lo tengo representadopienso que aquí el B, pues, que puedes ir haciendo bisecciones,pero llegarás al punto B aquí no, aquí sigue al infinito [serefiere a la suma].»

En dos de los estudiantes entrevistados (2, 42), se evi-dencia la creencia de que, dada la infinitud del proceso,el punto de bisección no alcanza al punto extremo B: lasuma se aproxima a 2, la función se acerca a la rectay = 2 y la pelota recorre una distancia que se aproxima a6 m, pero se deja la posibilidad de que en el infinito lasrespuestas puedan ser exactas; es decir, que es del tipoactualista. A modo de ejemplo, el alumno 2, refiriéndosea la cuarta pregunta del C1, afirma:

Alumno: «…tampoco podríamos determinar el valor de lafunción cuando x se hace muy grande, exactamente el punto, elvalor de x que la función sería 2, sino que cuando a medida quex vaya creciendo la y se acercará más a 2.»

Entrevistadora: «¿No se podrá decir, entonces, que la funciónsea 2? ¿O solamente se acerca?»

Alumno: «En el infinito... pero claro, ¿qué es el infinito? Comodecimos, en el infinito, infinito quiere decir que hay un valormás grande, entonces, claro, sí, si cogemos, sí, en el infinitosería 2, pero…

Dos alumnos (58, 76) mostraron claramente una concep-ción potencial de infinito sin considerar la posibilidad deque fuera posible la convergencia del proceso hacia unpunto exacto. Estos últimos presentaron un nivel deinconsistencia más profundo que los tres mencionadosanteriormente y no dieron ninguna respuesta del tipoactualista durante la entrevista. El alumno 76, refirién-dose a la primera pregunta del C1, expresó:



Entrevistadora: «¿Matemáticamente cuántas veces puedes haceresas divisiones?»

Alumno: «!Huy!, infinitas, hasta que te aburras, claro. Lo quepasa que habrá un momento que, si lo haces a lápiz, pues elgrosor del lápiz no esto, pero, si lo vas haciendo, matemática-mente siempre tienes un punto.»

Entrevistadora: «Y matemáticamente, si son infinitas veces,¿no podrás llegar?, porque físicamente yo no puedo hacerinfinitos pasos.

Alumno: «No... Bueno... Pero matemáticamente sí, ésa es ladiferencia; o sea, matemáticamente puedes hacer unas cosasque luego en realidad no son así.»

Entrevistadora: «Pero no te permite llegar de todas maneras.Pregunto, ¿matemáticamente aunque sea las infinitas veces note permiten llegar al punto?»

Alumno: «Nunca llegarás al punto porque siempre habrá unpunto entre donde estás tú, entre el punto siempre habrá unamitad, entonces nunca llegarás.»

A MODO DE CONCLUSIÓN

En este artículo hemos querido mostrar la convenienciae importancia de haber distinguido los términosinconsistencia e incoherencia en nuestra investigación.Entre otras cosas, los tipos y el origen de incoherenciasque se observaron en las categorías de coherencia esta-blecidas permitieron identificar un diferente grado en laprofundidad de las inconsistencias directas o del gradode construcción o presencia del concepto de infinitoactual en los estudiantes. Teniendo en cuenta la distin-ción mencionada, hemos podido clasificar tres tipos dealumnos: alumno coherente y consistente, alumno cohe-rente pero inconsistente y alumno incoherente. Es decir,en problemas de divisibilidad infinita en que está pre-sente la noción de infinito actual, los alumnos puedenmantener respuestas coherentes y consistentes, coheren-tes pero inconsistentes o, dependiendo de la representa-ción del problema, pueden dar una respuesta consistenteo no con el concepto, que puede ser coherente o no conotra representación del mismo problema.

Hemos descrito lo que entendemos por tarea de conexiónen la actividad matemática y hemos dejado explícito loque ha favorecido la inducción de esta tarea durante lasentrevistas realizadas en la investigación. Subrayamosla importancia de esta tarea en la actividad matemática,como ayuda para desarrollar un pensamiento coherenteen el estudiante, de manera particular cuando está pre-sente la noción de infinito actual en los problemasimplicados en la tarea.

El trabajo realizado por la entrevistadora durante lasentrevistas y los resultados obtenidos a partir de ésta,sustentan nuestra afirmación de que, así como se hacenecesario intervenir didácticamente en las tareas decambio y coordinación de los registros de representa-ción, es importante tener en cuenta didácticamente, latarea de conexión. Un profesor, al resolver en una prác-tica varios problemas que son representados de diferentemanera pero que presentan la misma noción matemática,tendrá que ayudar a establecer la conexiones pertinentesa sus estudiantes, de manera que no sean problemasaislados. Una manera podría ser la de comenzar con elreconocimiento de las diferencias de la representación:reconocer el tipo de lenguaje y contexto, tipo de registrode representación semiótica usado en cada uno de ellos,y establecer las conexiones entre los sistemas semióticospresentes y los registros. Podría ser una manera deincidir en el desarrollo de un pensamiento consistente ymenos compartimentado. De igual manera, en las guíasde estudio o en las secciones dedicadas a problemas alfinal de un apartado de un libro dedicado a un conceptomatemático específico, sería necesario hacer explícitasy presentes algunas indicaciones o preguntas que ayudena establecer las conexiones entre los problemas o ejerci-cios presentados.

Nos parece importante subrayar que fomentar la tarea deconexión en los estudiantes no debería ser una laborpuntual, sino que debería ser una práctica constantepropia de la actividad del docente durante el proceso deenseñanza-aprendizaje. Proponemos esta tarea comofacilitadora y queda un camino abierto para nuevasinvestigaciones que puedan, desde el punto de vista de laenseñanza, corroborar lo antes expresado: proponer yllevar experiencias didácticas o intervenciones didácti-cas concretas en el aula o diseñar alguna unidad deaprendizaje o guía de trabajo, teniendo en cuenta elbinomio «coherencia/ consistencia» y la «tarea de co-nexión» evaluando y analizando los resultados de dichasexperiencias.

NOTA1 Este artículo resume una parte de la tesis doctoral «Infinitoactual: inconsistencias e incoherencias de estudiantes de 16-17años», realizada por Sabrina Garbin, bajo la dirección deCarmen Azcárate en el programa de doctorado del Departamentode Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentalesde la Universidad Autónoma de Barcelona. El trabajo ha sidorealizado en el marco del proyecto «Pensamiento matemáticoavanzado: procesos cognitivos de aprendizaje y fenómenos deenseñanza» (CICYT, BXX2000-0069).2 Pensamos que las pocas que hay en uno de los dos grupos dela categoría 3 no son significativas dentro de estas categorías.



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AZCÁRATE, C. (1990). «La velocidad: introducción al conceptode derivada». Tesis doctoral. Universitat Autònoma deBarcelona.

ALPER, J. y BRIDGER, M. (1997). Mathematics, models andZeno’s paradoxes. Synthese, 110(1), pp. 143-166.

BEHR, M. y HAREL, G. (1990). Students’ errors, misconcep-tions and cognitive conflicts in application of procedures.Focus on Learning Problems in Mathematics, 12, pp. 75-84.

BLAZEK, J. y SITIA, C. (1997). Riabilitazione del metodo dicalcolo con grandezze infinitamente piccole. L’insegnamentodella Matematica, 20A-B, 5, pp. 551-574.

BLISS, J. y OGBORN, J. (1979). The analysis of qualitativedata. European Journal of Science Education, 1(4), pp.427-440.

BLISS, J., MONK, M. y OGBORN, J. (1983). Qualitative DataAnalysis for Educational Research. Londres: Crom Helm.

BOYER, C. (1992). Historia de la Matemática. Madrid: AlianzaEditorial.

D’AMORE, B. (1996). L’infinito: storia di conflitti, di sorprese,di dubbi. La Matemática e la sua Didattica, 3, pp. 322-335.

D’AMORE, B. (1997). L’infinito in didattica della matemática.La Matemática e la sua Didattica, 3, pp. 289-305.

DUVAL, R. (1993). Registres de représentation sémiotique etfonctionnement cognitif. Annales de Didactique et de SciencesCognitives, 5, pp. 37-65.

DUVAL, R. (1996). Quel cognitif retenir en didactique desmathématiques? Recherches en Didactique des Mathématiques,6(3), pp. 349-382. (Versión consultada: Quale cognitivo perla didattica della matematica? La Matematica e la suaDidattica, 3, 1996, pp. 250-269).

DUVAL, R. (1999a). L’Apprendimento in matematica richiedeun funzionamiento cognitivo specifico? La Matematica e lasua Didattica, 1, pp. 17-42.

DUVAL, R. (1999b). Representation, vision and visualization:cognitive functions in mathematical thinking, basic issuesfor learning. Actas del PME 23, pp. 3-26.

FISHBEIN, E. (1982). Intuition and proof. For the Learning ofMathematics, (3)2, pp. 9-19.

FISHBEIN, E. (1998). Conoscenza intuitiva e conoscenzalogica nell’attività matematica. La Matematica e la suaDidattica, 4, pp. 365-401.

FISHBEIN, E., TIROSH, D. y HESS, P. (1979). The intuition ofinfinity. Educational Studies in Mathematics, 10, pp. 2-40.

GARBIN, S. (1998). «Esquemas conceptuales e incoherenciasde estudiantes de bachillerato en relación con el concepto deinfinito actual contextualizado en problemas expresados endiferentes lenguajes matemáticos: verbal, geométrico, gráfico,algebraico y numérico. Estudio exploratorio». Tesis de maestría.Universitat Autònoma de Barcelona.

GARBIN, S. (2000). «Infinito actual: inconsistencias eincoherencias de estudiantes de 16-17 años». Tesis doctoral.Universitat Autònoma de Barcelona.

GARBIN, S. y AZCÁRATE, C. (2000). Esquemas conceptualese incoherencias con relación al concepto de infinito actual.Educación Matemática, 12(3), pp. 5-18.

GRAY, E. y TALL, D. (1994). Duality, ambiguity andflexibility: a «proceptual» view of simple arithmetic.Journal for Research in Mathematics Education, 25(2),pp. 116-140.

HARRISON, C. (1996). The three arrows of Zeno. Synthese,107(2), pp. 271-293.

JANVIER, C. (1987). Translation processes in mathematicseducation, en Janvier, C. (ed.). Problems of Representationin the Teaching and Learning of Mathematics, pp. 27-31.Hillsdale, New Jersey, Londres: Lawrence Erlbaum AssociatesPublishers.

LATORRE, A. et al., (1996). Bases metodológicas de lainvestigación educativa. Barcelona: Editorial GR92.

MORENO, L.E. y WALDEGG, G. (1991). The conceptualevolution of actual mathematical infinity. Educational Studiesin Mathematics, 22(3), pp. 211-231.

MURA, R. y MAURICE, L. (1997). L’infini, un ensemble denombres? Enquête auprès de futurs enseignants et enseignantes.For the Learning of Mathematics, 17(3), pp. 28-35.

NÚÑEZ, E. (1994). Subdivision and small infinities: Zeno,paradoxes and cognition. Actas del PME 18, 3, pp. 368-375.

RISCOS, A. (1996). Aritmética infinita. Epsilon, 34, pp. 91-98.

ROMERO, C. (1996). Una investigación sobre los esquemasconceptuales del continuo. Ensayo de un cuestionario.Enseñanza de las Ciencias, 14(1), pp. 3-14.

RUCKER, R. (1995). Infinity and the Mind. Princeton UniversityPress.

SIERSPINSKA, A. (1987). Humanities students and episte-mological obstacles related to limits. Educational Studies inMathematics, 18, pp. 371-397.

STAVY, R. y TIROSH, D. (1996). The role of intuitive rules inscience and mathematics education. European Journal ofTeacher Education, 19(2), pp. 109-119.

STEFFE, L.P. (1990). Inconsistencies and Cognitive Conflict:a Constructivist’s View. Focus on Learning Problems inMathematics, 12(3-4). Summer & Fall Editions.

TALL, D. (1980). The notion of infinite measuring numbersand its relevance to the intuition of infinity. EducationalStudies in Mathematics, 11, pp. 271-284.

TALL, D. (1992). The transition to advanced mathematicalthinking: functions, limits, infinity, and proof. Handbook ofResearch on Mathematics Teaching and Learning, pp.495-511.

TALL, D. (1995). Cognitive growth in elementary and advancedmathematical thinking. Actas del PME 19, 1, pp. 61-75.

TALL, D. y VINNER, S. (1981). Concept image and conceptdefinition in mathematics with particular references to limitsand continuity. Educational Studies in Mathematics, 12(2),pp. 151-169.



[Artículo recibido en noviembre de 2000 y aceptado en diciembre de 2001.]

TIROSH, D. (1990). Inconsistencies in students’ mathematicalconstructs. Focus on Learning Problems in Mathematics,12,pp. 111-129.

TIROSH, D. (1991). The role of students’ intuitions of infinityin teaching the cantorian theory en Tall, D. (ed.). AdvancedMathematical Thinking, pp.199-214. Dordrecht/Boston/Londres: Kluwer Academic Publisher.

TIROSH, D. y GRAEBER, A. (1990). Inconsistency in preserviceelementary teachers’ beliefs about multiplication and division.Focus on Learning Problems in Mathematics, 12, pp.65-74.

TSAMIR, P. y TIROSH, D. (1994). Comparing infinite sets:intuitions and representations. Actas del PME 18, 4, pp.345-352.

TSAMIR, P. y TIROSH, D.(1995). Metacognizione e coerenza:il caso dell’infinito. La matemática e la sua didattica, 2, pp.122-131.

VINNER, S. (1990). Inconsistencies: their causes and functionin learning mathematics. Focus on Learning Problems inMathematics, 12, pp. 85-97

VINNER, S. (1997). The pseudo-conceptual and the pseudo-analytical thought processes in mathematics learning.Educational Studies in Mathematics, 34(2), pp. 97-129.

WALDEGG, G. (1987). «Esquemas de respuesta ante el infinitomatematico». Tesis doctoral. Mexico, DF.

WILSON, P. S. (1990) Inconsistent Ideas Related to Definitionsand Examples. Focus in Learning Problems in Mathematics,12(3-4), pp. 31-47.



ANEXO

Figura 6Primera línea de coherencia.



Figura 7Primera línea de coherencia. Línea 1.1.



Figura 8Segunda línea de coherencia.



Figura 9Tercera línea de coherencia.



Figura 10



Figura 11



Figura 12



Figura 13



Figura 14



Figura 15



Figura 16

infinito actual e inconsistencias: acerca de … · razones: la importancia que tiene el concepto...

Documents