ESTADISTICA ESPAÑOLANúm. 94, 1982, págs. 53 a 66

Inferencia estadística e inducción

por SEGUNDO GUTIERREZ CABRIACatedrático de Estadistica Matemgtica

Departamento de Eafadística eInvestigación Operativa.Universidad de Vaiencia

RESUMEN

Se estudian las interrelaciones existentes entre inferencia estadística e

inducción. Se examinan, en particular, las posibilidades que ofrece la esta-

dística en relación con el problema de la inducción según la versión de

Hume; se estudian los intentos Ilevados a cabo por Bernouilli y Laplace.

Se concl uye que las inferencias de la estadística son «secundarias» y, en

consecuencia», no constituyen una respuesta al problema de la inducción.

Palabras clave: Deducción, reducción, inducción. Lógica inductiva, lógica

probabilística. Inferencia inductiva, lnferencia estadística.

0. INTRCIDUCCIt^N

EI problema fundamental que tiene planteado el conocimiento científico puede for-

mularse así: I}ado que las proposiciones de las ciencias experimentales na pueden

deducirse de la lógica formal, por ser verdades de hecho y no verdades necesarias, ^de

dónde obtienen su justificación? Las filosofías tradicionales de la inducción manifiestan

claramente sus insuficiencias para contestar adecuadamente a esta cuestión. Quizá se

les ha exigido demasiado. Se ha pedido la certeza de las conclusiones inductivas en

tanto que se sabía que toda inducción, de por sí, es precaria. La situación sería

posiblemente distinta si nos limitáramos a afirmar la «probabilidad de las conclusiones

S4 ESTADiSTICA ESPAÑOLA

inductivas^. ^,No podría, con este nuevo planteamiento, construirse una teoría lógica de

la inducción?

Esta idea iba a recibir un desarrollo sistemático cuando los filósofos de la escuela

nevpositiva se apropiaron de ella. Se han hecho diversos intentos de construir lógicas

inductivas prababilistas y se ha pensado en que la inferencia estadística podría servir ai

menos de rnodelo para tales construcciones e, incluso, constituir ella misma una teoría

general de la inducción.

En este trabajo se estudian las posibilidades que, desde nuestro punto de vista,

ofrece la inferencia estadística en conexión con el histórico problema de la induccián.

En el primer párrafo se da la nvción de inducción y sus diversas acepciones e

interpretaciones en relación con los métodos reductivos y deductivos.

En el párrafo segundo se formula el Ilamado «problema de la induccicín» y se

exponen las distintas actitudes adoptadas frente a él por la ciencia y la filosofía y,

principalmente, ante el desafío de Hume.

En el párrafo tercero se analizan las interrelaciones enire inferencia estadistica e

inducción. Se contempla, primero, la presencia de la inducción en los distintos argu-

mentos de naturaleza estadística y se estudian, luego, las posibilidades de la inferencia

estadística frente al problema de la inducción y las razones que hacen inviable su

solución.

1. DEDUCCION, REDUCCION E INDUCCION

1. Nos abstendremos aquí de indagar acerca del conocimiento humano y partire-

mos de un estado del saber en el que ciertas proposiciones han sido previamente

establecidas. Esas proposiciones constituyen los juicios perceptivos que el sentido

común tiene por ciertos, aunque la razón filosófica pueda ponerlos en duda. Lo que se

pretende (y este es el objetivo de la lógica) es pasar de la aserción de ciertas proposi-

ciones, llamadas premisas, a otras, llamadas conclusiones, que se deducen de ellas. A

esta operación se la llama dYmostrucivn y al sistema, r^r^umentc^.

2. Hay dos formas esencialmente distintas de argumentar: por induccivn y por

reúuc•c•ic^n.

En la deducción se concluye su premisa menor de un enunciado condicional y de su

premisa mayor: Si A, entonces B; es así que A, luego B.

En la r^duc^cic.in, por el contrario, se concluye de un enunciado condicional y de su

premisa menor, su mayor: Si A, entonces B; es así que B, luego A.

1NfiERENCIA ESTADISTICA E [NDUCC[ON SS

La reducción puede ser progresiva y regresiva. En ambas se conoce la premisa

menar, pero no la mayor. En la reducción prvkresi^^a se comienza por la premisa mayor

desconocida según su valor de verdad y se procede hacia la premisa menar conacida a

comprobable. La reducción progresiva se llama también «verificación» .

La reduc•cián regresi^^a comienza en la premisa menor conocida y va hacia la mayor

desconocida. La reducción regresiva se Ilama también «explicación» .

En el llamado «método hipotético-deductivo» se dan las dos direcciones del proce-

dimiento reductivo: es «hipotético» por cuanto en él se establecen hipótesis explicato-

rias (reducción regresiva) y es «deductivo» (esta palabra tiene aquí un sentido propio)

porque de las hipótesis se «deducen» las premisas menores verificables (reducción

progresiva).

3. Cuando la premisa rnayor es una ^;eneruli^,acián de la premisa menor, la reduc-

ción se llama induccián.

Tal es et concepto tradicional de inducción desde Aristóteles, quien empleó el

vocablo «epagogue», que significa «Ilevar a», para designar el proceso de llevar, por la

contemplación de casos particulares, al conocimiento de una verdad general.

En la actualidad no todos están de acuerdo con esta de^nición restrictiva de la

inducción. Stuart Mill (Mill, S., 1843) observó ya que no es necesaria que una inferen-

cia inductiva lleve a una generalización sino que podemos extender la concl usión a un

número limitado de miembros desconocidos de una clase al siguiente miembro que

aparezca en la serie, por ejemplo. A este procedimiento, de pasar de particulares a

particulares, la denaminó Johnson educcián w (Johnsan, VV. E., 1921) y Carnap (Carnap,

R., 1952) señalá su impartancia.

Max Black (Black, M., 1979) define la inducción como «argumento na demostrativo,

en el que la verdad de las premisas, aunque no entraña la verdad de la conclusión,

constituye una buena razón para aceptarla». A tales argumentaciones, para las que la

conclusión puede presupaner la existencia de individuos no presupuestadas par las

premisas, san llamadas por Peirce «ampliativas» {Peirce, C. S., 1902). Este ir «más allá

de las premisas» , que son los hechos singulares de la experiencia (de ahí su carácter

ampliativo), posibilita la inferencia de hechos observados a hechos inobservados y, en

particular, a la predicción del futuro. La esfera de aplicación más importante de esta

inducción es la ciencia natural.

En los «Analíticas Posteriores» , de Aristóteles, se lee: « E1 conocimiento de las

premisas inmediatas es independiente de la demostración». Y esto, añade, «porque el

regreso debe acabar en verdades inmediatas que deben ser indemostrables» . Esto nos

ESTAD[STiCA ESPA140LA

Ileva a formular la siguiente pregunta: Reducir la inducción a la operacíón que permite

el paso de la percepción a las leyes experimentales y de éstas a los principios de las

teorías científicas, ^,no es olvidar que el juicio má.s simple de percepcián es el producto

de una inducción? Por supuesto que toda subsunción de un dato s^ensible lo es.

Admitimos, pues, que no hay pensamiento acerca del objeto sensible que no constituya

una inducción. A este tipo de inducción se le denomina intuitiva o"aóstrac^ivu".

4. A estas inducciones no demostrativas podemos añadir otras rr^al llamadas induc-ciones, o inducciones «impropias> ► .

Tenemos, en primer lugar, la inducción «recursivari o maternátiea, formulada explí-citamente por Ferrnat en el siglo xv^^ y empleada, de modo sistemático, por Jaeobo

Bernouilli, por lo que se la conoce también con el nornbre de «inducción bernouilliana^ .

Se puede expresar asi: Si el primer elemento de una sucesión posee una propiedad y la

posee también el sucesor de todo elemento de la serie que tenga esa propiedad, todos1os elementc^►s de la sucesión poseen la propiedad en cuestión. Aunque por este proce-

dimíento se establecen proposiciones generales, a partir de casos particular^es, se tratamás bien cie una deducción que de una reducción.

Aristóteles ofrece en los «Analíticos Primeros» el siguiente ejemplo de argumento

ínductívo: «El hombre, el caballo y el mulo son longevos; pero el hombre, el caballo yel mulo son todos los animales sin hiel; luego todos los animales sin hiel son longevos».

A este tipo cie inducción, en la que se enumeran todos los casos que caen bajo una

generalización, se la llama «sumativa» o«completa», por oposición a la «matemática»

en la que no se realiza una enumeración completa. También este argumento es unaespecie de deducción.

S. Es importante, a los fines de este trabajo, la distinción hecha por Nicod entre

inducciones «primarias» y«secundarias». Las inducciones primarias son argumentacio-

nes no demostrativas «cuyas premisas no obtienen su ^certeza o probabilidad a partir de

ninguna inducción» {Nicod, J,, 1961). Las secundarias son las que no cumplen ese

requisito.

2. EL PROBLEMA DE LA INDUCCION

1. EI problema de la inducción, suscitado ya por Aristóteles, está en que los

distintos argurnentos inductivos no son conclusivos, esto es, no demostrativos. David

Hume tiene el mérito incomparable de haber planteado el problema de la inducción en

los términos más netos, si bien restringido a los casos de inferencia causal, ya q ue la

única cuestión que plantea es la de saber con qué derecho concluimos que tal efecto

1NFERENCIA ESTADISTICA E [1VDUCCION S7

seguirá necesariamente a tal causa. Pero los resultados que obtiene son aplicables a

todos los tipos de inferencia inductiva (puede consultarse: Hume, D., 1888 y 1894}.

EI problema de la inducción comporta estas dos cuestiones fundamentales: aná^lisis

formal del pensamiento inductivo y justificación de la inducción.

E1 análisis formr^l se aplicará a la «reconstrucción racional» de los métodos inducti-

vos cuya validez está reconocida por todas las mentes sanas y a la codificación de los

principios en los que se apoyan. Por «reconstrucción racional^ habrá de entenderse, no

una simple descripción de esos métodos, sino la determinación de un «sustituto» lógico,

en expresión de Reichenbach ( Reichenbach, H. 1938); no su «representacián con todas

sus ambigiiedades, sino una sistematizaci:ón que comprenda la explicación de los con-

cepto^. y principios que utilizan, y que no excluye la posibilidad de una critica, en frase

de Carnap (Carnap, R., 19b2).

E1 problema erítico de la justificación consistirá en la legitimación del sistema formal

construido. ^ Por qué es razonable aceptar las conclusiones de ciertos argumenios

inductivos como verdaderas © probablemente verdaderas? ^ Por qué es razonable, si lo

es, emplear ciertas reglas de inferencia inductiva?

2. La contestacián dada a lo largo de la historia al problema de la inducción ha

hecho correr mucha tinta y ha seguido distintas vertientes que pueden resumirse así:

a) Al reto lanzado por Hume no se puede responder adecuadamente; en conse-

cuencia, la inducción es insostenibie y debe excluirse de todo razonamiento que pre-

tenda ser racional. Tal es la postura de VWhewel y Popper, entre otros.

6) A la luz de la crítica de Hume se observa que los argumentos inductivos, tal

como se presentan de ordinario, necesitan de perfeccionamiento. Esto puede hacerse de

dos modos: (i) con la adición de nuevas premisas; (ii) mediante la sustitución de las

conclusiones por aserciones de probabilidad.

(i} Las premisas que se han añadido, en un intento de resolver el problema de la

inducción mediante la construcción de una lógica inductiva, de corte análogo a la

deductiva, son ciertos principios de inducción «suprema» como los siguientes; «el

futuro ha de asemejarse al pasado» (Hume); «el efecto de cualquier acontecimiento ha

de tener una causa suficiente» (Mill); «la variabilidad de los hechos es limitada e

independiente» . Keynes» ;«existe homogeneidad en el curso de la naturaza» (Miilj.

Estos principios permitirian dar base a las inducciones. Los esfuerzos llevados a cabo,

en esta dirección, por Bacon y Mill han sido infructuosos.

(ii) La incorporación del concepto de probabilidad a la resolución del problema de

a inducción ha dado lugar a las diversas lógicas inductivas probabilísticas, esto como

ESTADISTiCA ES^PAÑUL.A

consecuencia de la irnporteneia de las clásicas. Estas son de dos clases: las que pretenden

asignar probabilidades a toda clase de hipótesis y justificar, tal como intentá HansReichenbach, tos principios en Ios que se basa esta asignación, y las que se esfuerzan

por construir parcelas limitadas de la lógica inductiva y defini'r' la probabilidad de una

hipótesis en condiciones muy restringidas. Estas restricciones s©n debidas a la debilidad

del sistema construido por Reichenbach y consisten en la debilitación del concepto

matemático de probabilidad (para gozar de más libertad en la construcción} y iimitación

de fórrn►ulas a probabilizar. Las lógicas que más éxito tienen en Ia actualidad son las

comparativas, como Ias de Keynes y Koopman, que permiten discernir cuál de dos

hipótesis inductivas es más probable. Las pretensiones modestas de estas iógicas se

limitan a determinar la medida de la eunfrrmc^c•rcín que los datos experimentales aportan

a una hipótesis. Tal es la po4ición de los que se sitúan en la óptica de Rudolf Carnap.

c•) Aunque la argumentación inductiva no pueda justificarse, ajustada al modelo

deductivo, esto no obsta para que las normas deducidas sean razonables. La racionali-

dad no tiene por qué estar ligada a la deducción ni a la justificación. Puede, pues,

hablarse de justificación en el sentido de que se sabe que la afirmación de una

conclusión se <=sigue^ (no en el sentido deductivo de seguirse} estrictamente de premi-

sas que se saben verdaderas.

d} El problema de Hume es debido a confusiones conceptuales y lingiiísticas. Estas

confusiones y sus origenes deben ser claramente expuestas, lo que debe conducir a la

disolución del problema (a la no existencia) y no a su solución. Es el planteamiento

lingiiístico del problema, hoy tan en boga.

Se pretende aquí analizar el problema de la inducción a la luz de la esiadística. Este

análisis lleva implíeita la <=incorporación del concepto matemático de probabilidad».

LTiene sentido presentar la inferencia estadística como una teoría del razcanamiento

inductivo`? ^Son competencia de esta disciplina los problemas que se presentan en uncontexto cientifico determinado o se extiende, por el contrario, su área al problema

general de la inducción? Son estas cuestiones de suficiente entidad camo para que se las

presta la debida atención. Es lo que hacemos a continuación.

3. IN I=ERENCIA ESTAD ► IST[CA E INDUCCI()N

l. En «The logie of inductive inference» (Fisher, R. A., i935), Fisher se refiere al

conjunto del razonamiento inductivo como si todo él dependiera de la. inferencia est^idís-

tica. En «The design of experiments», después de discutir ciertas ideas de Bayes, cuyo

mérito reconoce, atribuye a este autor el privilegio de ser «el primero en pre ver la

importancia de1 desarrollo de una teoría exacta y cuantitativa del razonamiento induc-

INFERENCIA FSTADISTiCA E 1NDt1CClUN S9

tivo, de la argumentación que conduce de los hechos observados a las teorías capaces

de explicarlos» { Fisher, R. A., 1935).

E1 desarrollo de la infereneia estadística se ha producido na sin resonancia en el

campo de la f~ilosofía de la inducción. Las cuestiones que trata, el modo de tratarias, los

principios en que se apoya, nada es ^jeno a la problemática tradicional de la inducción.

Tanto en la conducción de experiencias como en la utilización de los datos obtenidos,

la teoria de la inferencia estadística parece haberse responsabilizado, en parte por la

menos, con problemas que dependen de lógica inductiva clásica. í,No se presenta acaso

como un ejemplo de lógica probabilistica de la induccián, construida por hombres de

ciencia, al margen de los filósofos?

Antes de entrar en el fondo de esta pregunta, vamos a intentar un análisis de la

presencia de la induccián en la metodología estadística.

2. Un examen detallada de las distin'tas argumentacíones utilizadas por las diversas

escuelas estadisticas, lleva a la conclusión de que todas son de naturaJeza «reductiva».

En consecuencia, caen dentro del ámbito de alguna de las definícíanes de inducción que

hemas dacio. Las más usadas son las siguientes:

u) La ^nc^ttc•c•ivrt propc^rc•ic.^nul, que es una «reducción regresiva» que parte de la

frecuencia de algún carácter en la muestra y concluye con la frecuencia del mismo

carácter en la poblacián. De la afirmación .^m , de los n, elementas seleccionados en

A son B» se conctuye que «m de los n elementos contenidos en A son B» . La estima-

ciones puntuales y por intervalo son inferencias de este tipo. La proporción establecida

en la conclusián puede ser distinta de la establecida en la premisa.

h) La ^^drrc•ci^^n ^^rc^^^carc•i^anul, que es la argumentación regresiva que parte de una

muestra y«reí;resa» a otra muestra. La premisa es la misrna de la inducción praporcio-

nal, pero la conclusión concierne a la frecuencia aproximada de una muestra ulterior,

obtenida por el mismo procedimiento. Numerosos procesos de análisis estadístico basa-

dos en la camparación de muestras, corno el control estadístico de la calidad, diseño de

experimentos, etc., se basan en la educción.

c•) La inc^ucc•ic^^n prc.^Xresii^u, concebida como proceso reductivo que conduce del

examen de una muestra aleatoria a la prueba de una hipótesis. Toda la teoria de

decisión estadistica Bayesiana y de Wald, así como la teoría de cantrastes de hipótesis

estadíscticas de Neyman-Pearson, se inspiran en este proceso inductivo.

d) La d^cfuc•c•ivn prvpvrc•innul, llamada también «silogismo estadístico» o«deduc-

cián estadística» y que puede formularse así: «m de los n elementos C son B para

m> ^ ; A es un elemento C, luego A es un B» . Par ejemplo: La mayor par-n 2

^ ESTALIISTiCA ESPAÑOLA

te de los españoles saben leer; Juan es español, luego Juan sab^e leer. La validez de la

conclusión está en función, naturalmente, de la razón m/n.

e) La Uhr^uc^r^ir.^n, así nominada par Peirce, formulación creativa de hipótesis y único

modo de inferencia estaciística que introduce nuevas ideas. Es una especie de inversión

cie la deducción estadística y no tiene apenas valor demostrativo. Sirve para obtener

nuevas generalizaciones que precisan de verificación y que tienen alguna posibilidad de

ser verdaderas.

Todas estas argumentaciones llevan en la conclusión algún grado de plausibilidad,

fiabil idad o probabil idad .

^. LA 1NFERENCIA ESTADiST[CA Y EL PROBLEMA DE LA 1ND[.1CCION

1. Estudiada la inducción en su sentido rnás amplio, como todo procedimiento que

conduce de lo particular a lo más general o a«otro particular», como modo de pasar de

un conocimiento a otro del que no se tenga certeza absoluta, parece claro que la

inferencia estadística constituye una teoria de la inducción, lo cual no equivale a afirmar

que constituye una lógica inductiva y, en cansecuencia, que sea una solución del

problema de la inducción. La razón está en que, cualquiera que sea la forma que

adopte, siempre se refere a inducciones secundarias y nunca a la inducción primaria.

La creencia de que en la estadística pudiera estar la clave para la sol ución del

problema de la inducción proviene, sin duda, de la fe depositada, p ►or los hombres de

ciencia, en la verdad de las hipótesis contrastadas estadísticamente y de los éxitos

cosechados durante estos últimos años, por la estadística, en el campo de la investiga-

ción científica. Pero no basta con el testimonio de la fe; es preciso un análisis de las

razones en ias que esa fe se asienta.

i} Toda inferencia estadistica parte de algún supuesto que presupone, a su vez, un

proceso inductivo. Si se trata de un problema de estimación, hay que presuponer la

familia de distribuciones que lo soporta. Si se contrasta una hipótesis, se admite de

antemano que la familia cansiderada es completa. Si se plantea un problema de decisión

estadística, se fijan «a priori» los posibles estados de la naturaleza, ia función de

pérdida y hasta el conjunto de decisiones terminales. Si el proceso es secuencial, se

predetermina !a regla de parada. Todos estos presupuestos denuncian la presencia de

inducciones primarias, previamente asumidas, y, en consecuencia, ponen de manifiesto

que todo lo que se hace en el terreno de la inferencia estadística se reduce a inferencias

secundarias. El problama de la inducción cae así en círculo vicioso.

ii) La inferencia estadística presupone la existenc'ra de una clase completa de hipóte-

sis rnutuamente excluyente que pueden ser eliminadas paulatinamente, a partir de un

lNFERENCIA ESTADISTICA E IND►UCC10N fil

número finito de experiencias, hasta quedarse con la más plausible. Admirablemente

adaptada a problemas concretos, incluso a ciertos procedimientos que juegan papel

preponderante en la investigación experimentai, la inferencia estadística parte de und

situación en la que está cerrado el campo de lo posible (por trabajar con número

limitado de hipótesis) y sus resultados son válidos sólo a ese precio. Todo esto está en

pugna con los postulados de la lógica que no admite limitación en sus posibilidades.

iii) Existen serias dificultades en la transposición de los conceptos y métodos de la

inferencia estadística a una teoría general de la inducci+ón. Tal ocurre con el principio de

inferencia de Laplace, con los esquemas bayesianos, con la versomilitud comu medida

del grado de creencia en una hipótesis, con la función de pérdida cuando se trata de

decidir acerca de la admisión de una hipótesis estadística, etc.

Todos los intentos históricos de resolver el pr^blema de la inducción, por vía

estadística, han chocado con uno u otro de esos escollos. Como ejemplo representativo

hemos elegido el problema de inversión del teorema de Bernouilli y la regla de sucesión

de Laplace.

4.1. EL TEOREMA DE BERNGIUILLI

1. Durante veintiún años estuvo Bernouilli, según su propia confesión, preoc upad^

por obtener medidas de frecuencias a partir de probabilidades y recíprocamente . E1

resultado fue el teorema que Ileva su nombre, que de modo muy simple puede enun-

ciarse así: «Si la probabilidad de un suceso, bajo ciertas condiciones, es ^, y si estas

condiciones se presentan en n ocasiones, el número más probable, x, de oc urrencias del

suceso es n^». Es éste un ejemplo de «reducción regresiva» que conduce de la

probabilidad ^ a la frecuencia x/n. La demostración de este enunciado puede verse en el

«Ars conjectandi» de Bernouilli (Bernouiili, J., 1713). Noy se obtiene fácilmente a partir

de la desigualdad de Chebyschev.

Las condiciones a las que alude el teorema puecfen cc^mpendiarse en ésta: la probabi-

lidad del suceso en la (n + 1} ocasión no debe ser afectada por el conocimiento de la

frecuencia de ocurrencias en las n precedentes y debe ser igual a la probabilidad «a

priori» de la primera.

El enunciado de Bernouilli produjo tanto impacto que Ellis (Ellis, R. L., 1K^3) y

Venn (Venn, J., 1K66), lo utilizaron como base de la definición axiomática cie probabili-

dad y Laplace creyó que expresaba una ley natural de la naturaleza. Con todo, las

condiciones que exigen lo hacen aplicable sólo a ciel-tas clases especíticas de sucesos. Si

la probabilidad inicial está basada en la experiencia, está claro que está ligadd a l^i

información de una nueva experiencia, lo que contradice las condicicanes impuesta^.

ó2 ESTAUiSTICA ESPAÑOi.A

Esta última indicación pone de manifiesto que estamos trabajando con inducciones

secundarias. Además, del conocido experimento de Buffon, dirigido a la comprobación

del teorema de Bernouilli, otros análogos, empleando monedas, bolas o dados, así como

loterías y ruletas de Montecarlo, fueron diseñados, con el mismo fin, por De Morgan,

Quetelet, Jevons, Weldon, Wolf, Czuber y Karl Pearson.

2. En carta dirigida por Jacobo Bernouilli a Leibniz (Leibniz, G., ^855), fechada en

1^03, le dice: «Podemos determinar, por consideraciones "a priori", en qué cuantia es

más probable obtener la suma siete, al lanzar das dados, que ta suma ocho; pero no

podemos determinar, por tales procedimientos, la ^+robabilidad de que un hombre de 20

años sobreviva a otro de óo. ^,No será posible aún obtener este conocimíento, "a posterio-

ri", de haber observado un gran número de parejas de hombres análogas a la anterior?».

En la réplica de Leibniz se encuentra la raíz de la dificultad de la respuesta. «El

cálculo de probabilidades --escribe-- es del más alto valor, pero en investigaciones

estadísticas es necesario, no tanto la sutileza matemática cuanto al enunciado preciso de

todas las circunstancias. Las posibles contingencias son demasiado numerosas para ser

cubiertas por un número finito de experiencias y el cálculo exacto está, en consecuencia,

fuera de la cuestión. Aunque la naturaleza tiene sus hábitos, debido a la concurrencia

de causas, no son generales, inmutables. Con todo, cálculos empíricos, aunque inexac-

tos, puecien ser adecuados en asuntos prácticos».

Bernouilli vc^lvió, en su respuesta, a insistir en la analogía con las bolas extraídas de

urna y mantuvo que «sin estimar cada contingencia por separado, podemos determinar,

dentro de estrechos limites, la proporción que ofrece cada alternativa». Y añadía en sucarta: «^tito es cierto, se acabó la controversia; te agr-adará la demostr<ación quepublicaré.»

Lo cierto es que la demostración no llegó. Después de tratar de algunas de las

objeciones apuntadas por L,eibniz, y prometer algún procedimiento para estimar pro-

babilidades «a posteriori», mediante una inversión de su teorema, da la demostración

directa y termina sin más el «Ars conjectandi».

Durante el siglo XVl[1 no hay ningún indicio de explicar el uso de la inversión

del teorema de Bernouilli. Las investigaciones de D'Alembert, Daniel Bernouilli y

otros, se orientan al estudio de las condiciones de aplicabilidad del teorema directo.

Laplace supone, sin prueba, una inversión del teorema.

EI análisis bayesiano actual da la siguiente respuesta al problema de la inversión: Si

la probabilidad «a priori» de un suceso es p, s^^ aparición x veces en n pruebas

j1 n -xes X n (1 - nl

[NFERENCIA ESTADISTICA E [NDUCCIUN b3

Que p, considerada como variable, adquiera un valor determinado, constituye unan

hipótesis cuya «verosimilitud» es x pxt^ - v^"-X• Los diversos valores de p constitu-

yen una clase completa de hipótesis. Se torna asi el clásico problema de la «Probabilidad de..las causas» . Considerada p como una variable aleatoria de densidad f{p ), el teorema de

Bayes de la probabilidad «a posteriori» de que p esté entre dos números p' y p" después

de haber observado x veces el suceso en n pruebas:

p[(P' < p S p")lx

p•n p X^ 1_ p) n-X,^f-(P )dP

p, X

in pX(1 ^ p)"-x.f^P)dpo x

^

Como f(p ) está acotada, es f(p ) = U, para p fijo . Ade más, f{p)- dp = 1, por se r0

0 S p S 1, luego la convergencia de las integrales de la expresión anterior queda

asegurada lo cual permite calcular la probabilidad a partir de la frecuencia. +Queda,

naturalmente, abierta el problema de la determinación de f(p) al que intenta responder

el análisis bayesiano.

A efectos de nuestra tesis, el punto esencial que hay que señalar es que las

probabilidades «a posteriori» presuponen el conocimiento no sólo de las verosimili-

tudes, sino también de las probabilidades «a posteriori» . Ambos conocimientos impl ican

inducciones primarias, por lo que la inducción obtenida, al ser secundaria, no sirve a la

solución del problema humeano.

En el caso en que la distribución «a priori» sea uniforme en [0, 1] es f{p) = 1 y la

densidad «a posteriori» de p, después de n observaciones tiene un máximo para x/n. Es

el caso aplicado por Laplace a la solución del problema de Hume.

4.Z. LA REGLA DE SUCESI+CSN DE LAPLACE

Laplace toma como ejemplo, en su disertación, el mismo utilizado por Hume

expresado por la ley: «EI sol saldrá todas las mañanas» . La argumentación empleada es

del tipo "Si B también A; si ei sol ha _~^lido todas las mañanas hasta ahora, segui rá

saliendo en lo sucesivo"» .

Según Laplace, se puede considerar la posesión dei ^tributo A por un objeto que es

un B, como un suceso aleatorio. Se asimila así la ley a una serie de extracciones de

bolas de una urna cuya composición sea canstante . En su «Essai philosophique sur les

probabilités» {Laplace, p. 1814), capítulo III, 7.° principio, enuncia: <^ `.a probabilidad

de un suceso futuro es la suma de los productos de las probabilidades de cada causa

^STADISTICA ESPAIrtol.A

extraida del suceso observado, por 1a probabilidad de que, existiendo esta causa, ocurra

el suceso futuro^». Pone a continuación un ejemplo que generalizado conduce a estaregla: Si el suceso ha ocurrido siempre en n ucasiones, la probabilidad de que se

n + 1verifique siempre en una nueva serie de m pruebas es . El caso m= 1, en

n + m + 1que la probabilidad toma el valor (n + 1) /(n + 2}, fue bautizado por Venn ( Ve nn, J.l 889) con e! nombre de «regla de sucesión de Laplace ^» .

La prueba de esta sucesión puede hacerse brevemente así: Sea p la probabil idad «a

priori^► de un suceso en condiciones dadas. La probabilidad de que el suceso ocurra m

veces en esas condiciones y falle en otras n ocasiones es pm •( l - p}n. Luego la

probabilidad «a posteriori^ de p, tras m ocurrencias del suceso en m + n pruebas de

q ue p está enire p y p + dp , es

Pm(1 ' p)" ^p P^(1

^

^ p^(1 - p)"^p0

- p)^r(m + n + 2)

rt^^ + 1) r (n + i)

Por lo tanto, la probabílidad de que el suceso ocurra en la (^n + n + l)-ésimaprueba, habiendo oc urridc^ m veces en rr1 + n pruebas es:

tr(m + n + 2) pm+t(1 - p)^d,p0

r(m + l)r(n + l)

r(m + n + 2} r(m) r(n)

"(m + 1) r (n + l ) r (m + n )

m + 1

m + n + 2

Para n= U, esto es, cuancio el suceso ha ocurrido invariablemente, la fórmul^^ e^

( m+ 1)/(^rr + 2). En el caso en que las condiciones del suceso se han dado una ^;ula

vez y éste ha ocurrido, el resultado es 2/3. Si ias condiciones del suceso no se han dadu

nunca, la probabilidad del ^uceso es 1/2 y en el caso en yue las condiciunes se dieran

una sola vez y el suceso no ocurriera, la probabiliciad seria l l3 ( resultados totalmenteabsurdos).

Aparte estas absurdidades, la fórmula de Laplace involucra la teoría de «probabili-

dades desconacidas» introducidas por él como suplemento del principio de indiferencia,

con tocia la problem^^tica yue ello encierra. Las objeciones hechas a esta fórmula son

muchas. Con respecto a la demostración anterior hay una que aparece en seguida: Si p

es la probabilidad « a priori» del suceso acaecido una vez, pn es la probabilidad «apriori» de haber acaecido n-veces sucesivamente. Ahora bien, del prcapio teorema se

deduce que si ocurre una vez modifica la ocurrencia de la vez siguiente, luego lassucesivas ocurrencias nu son independientes. Asi, si la probabilidad «a priori» es 1/2, la

INFERENC[A ESTADtSTECA E INDUCCION óS

probabilidad de la segunda ocurrencia es 2/3, luego la probabilidad «a priori^ de1 1 1 2 1

ocurrencia dos veces es no 2• 2, sino 2- 3= 3; y, en general, la probabilidad «a

1priori» de su ocurrencia n-veces no es 2: ,,, sino 1/(n + 1).

Las primer•as criticas a esta regla provinieron del propio Venn en la obra citada, por

no estar de acuerdo, según él, con la experiencia. Pearson, que ia acepta, resuelve estas

discrepancias. Es rechazada también por Boole (Boole, CC., 1854), que dice se basa en

hipátesis arbitrarias; por Bertrand (Bertrand, J., 18^39), que niega su aplicabilidad al

caso de un númeru finito de alternativas y que la califica de ridícula, etc. En cambio,

merece la aprobación, entre otros, aparte de Pearson, de De Morgan, Jevons, Lotzey y

Czuber.

Con respecto a la materia que nos ocupa, la crítica ha de centrarse en si es o no

coherente reducir el problema a la cuestión de determinar una probabilidad descono-

cida, aunque constante. Supuesto aceptable la introducción de probabilidardes «a

priori», se mar^tiene la hipótesis de que B da a la posesión de A una probabilidad

determinada. Esto es, el razonamiento de Laplace supone que entre B y A existe una

implicación probable: Si .^ es una B hay una probabilidad de que x sea un A. Ahora

bien, para que este razunamiento lleve a alguna conclusión con cierta validez es preciso

que B determine A(al menas en términos probables) y que sea B el único factor

cietermin^^nte de A. Está claro que estas suposiciones implican una induceión previa,

con lo que se vuelve a caer en un círculo vicioso.

C[^^tsfcic^ruc'lŬ II ^Illtl%. Tanto en la regla de sucesión de Laplace como en el teorema

cie í3ernuuilli, cum^^ en c^i^^lquier investigación con base estadística, el uso de muestras

aleatori^^s es imprescindible. Las diversas técnicas de selección de estas muestras ponen

especial énfasis en eliminar todo factor de naturaleza ^causal que pueda dar lugar a algún

sesgo. L.a carencia de todo sesgo en la elección es lo que garantiza el carácter aleatorio

de la muestra. Lus diversos procedimientos para la obtencián de muestras aleatorias

parten, pues, de la hipótesis de que eliminan todo factor causante de sesgo, í, Hasta qué

puntu podemos estar ciertoti de que estas hipótesis se cumplen? Aun en el caso de que

se cumplan, ^,no estdn presuponiendo un conocimiento previo di^cil de adquirir por la

vía de la inferencia estadistica? Nuevamente nos vemos recorriendo un camino que

termina en el punto cte salida.

ESTADISTiCA ESPAI^O^.,.A

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SUMMARY

The interrelations between statistical inference and induction are stu-

died. In particular, the possibilities of Statistics for the Hume's problem

of induction are examined; the trials implemented by Bernouilli and La-

place are studied. It is conclued that the inferences of Statistics are

secondary and therefore they do not solvet the problem of induction.

Key words: Deduction, reduction, induction. Inductive logic, probabilistic

logic. Inductive inference. Statistieal inference.

AMS, 1970. Subject classification. 62F99.