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Inferencia en modelos dinámicos uniecuacionales con variables integradas*

Juan J. Dolado Servicio de Estudi.os, Banco de España

Javier Andrés Departamento de Análisis Económico, Universidad de Valencia

Rafael Domenech Departamento de Análisis Económico, Universidad de Valencia

1. Introducción

En este trabajo se discute bajo qué condiciones se puede llevar a cabo inferencia correcta, utilizando procedimientos estándar, al estimar modelos dinámicos condicionales por mínimos cuadrados ordinarios, en el caso en que las variables tengan el carácter de integradas y estén o no estén cointegradas. Nuestra principal preocupación reside en examinar la forma en que la validez de la forma condicional en la estimación afecta Jos diferentes procedimientos de inferencia, dado que este modo de estimar modelos uniecuacionales constituye una práctica ordinaria en econometría empírica. En el marco tradicional de modelos de regresión lineal con series temporales estacionarias, la verificación del supuesto de exogeneidad débil por parte de las variables explicativas, resulta ser condición necesaria y suficiente para la aplicación válida de los procedi-mientos habituales de inferencia. Sin embargo, cuando algunas de dichas variables explicativas son .integradas, la existencia de un vector de cointegración y su forma de estimación puede alterar las propiedades asintóticas de los estimadores obtenidos, así como la condición requerida para poder efectuar la estimación en el modelo condicional.

En concreto, nos concentramos, a través del uso de diferentes ejemplos, en los méritos relativos de los procedimientos bietápicos (véase Engle y Granger (1987)) y unietápicos (véase Banerjee et al. (1986) y Sims et al. (1986)) de estimación del vector de cointegración. Nuestro análisis favorece la forma

* Este a rticulo ha sido escrito para el número especial de esta revista dedicado a «Cointegración», coordinado por Alvaro Escribano, al que agradecemos sus comentarios. Parte de su contenido recoge resultados de la investigación en curso llevada a cabo por el primer autor junto con Neil R. Ericsson..-~ la Reserva Federal, a quien estamos muy agradecidos por su colaboración, así como a los coml;A(Íí:ri.<is' ·· de numerosos colegas.

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unietápica en base a su normalidad asintótica. De forma similar se analizan las propiedades asintóticas de los contrastes de cointegración bajo la hipótesis nula de ausencia de cointegración. El análisis se centra en dos contrastes: i) en el t-ratio de Dickey-Fuller que contrasta la existencia de una raíz unitaria en los residuos derivados de la relación estática de cointegración y ii) en el t-ratio del término de corrección del error en un modelo dinámico reparametrizado como un mecanismo de corrección del error (ECM) (véase Engle y Granger (1987)). El comportamiento de ambos contrastes en muestras finitas viene ilustrado a través de un pequeño estudio de Monte Cario, que muestra la superioridad del test ECM. .

Resulta importante señalar en este punto que la validez de los resultados obtenidos se encuentra restringida a la estimación de modelos en donde las variables se interpreten en desviaciones de sus componentes determinísticos (medias, tendencias, etc.). Si los componentes determinísticos se modelizan conjuntamente con los estocásticos, algunos de estos resultados pueden verse alterados (véase, por ejemplo, West (1988) y Park y Phillips (1988)).

La estructura organizativa del papel es la siguiente. En la sección 2 se analizan las propiedades de un modelo bivariante con una relación condicional estática, donde la variable explicativa es o bien endógena o bien débil o fuertemente exógena, de acuerdo con la terminología tradicional de Engle et al. (1983). En la sección 3 se extiende el análisis anterior a modelos condicionales dinámicos. En la sección 4 se analiza la ventaja comparativa de utilizar diferentes contrastes de cointegración bajo la hipótesis nula de no cointegración (tamaño) y bajo la hipótesis alternativa de cointegración (potencia). En la sección 5 se presenta un ejercicio ilustrativo de Monte Cario que sirve para analizar el comportamiento en muestras finitas de las propiedades asintóticas de los contrastes analizados previamente. Finalmente, la sección 6 presenta un conjunto de conclusiones.

2. Inferencia en sistemas cointegrados: El modelo estático

Dado que el marco estadístico que a continuación se analiza ha sido descrito en forma extensiva por numerosos autores (véase, por ejemplo, Hendry y Richard (1982, 1983) y Hendry y Ericson (1987)) sólo se ofrecerá a continua-ción una exposición sucinta del mismo que sirva como soporte a la discusión posterior. En la breve exposición se subraya como cualquier modelo empírico condicional es una representación derivada del proceso generador de los datos, destacando las etapas más importantes en el proceso de reducción de la función de probabilidad conjunta de los datos.

Comenzaremos por definir la función de densidad conjunta o proceso de generación de los datos (DGP) de un vector, Xz, de realizaciones de una variable aleatoria n-dimensional, como D(xt!It-1• O) donde e E e es un vector identifica-ble de parámetros desconocidos pertenecientes al interior de un espacio para-métrico de dimensión finita; 11 _ 1 denota el conjunto de información disponible en el momento (t- 1). Si se considera una muestra de T observaciones de xn la

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función de densidad conjunta de los datos puede factorizarse secuencialmente en la forma siguiente

T

D(x 1, ••• ,xT/X0 ,8) = fl D(x1/X,_ 1,8) (1) t= 1

donde Xi =(X 0 , x 1 , ... ,xj) y X 0 representa el conjunto de condiciones iniciales. Se supone que, después de las transformaciones oportunas (e.g. logaritmos,

ratios), las funciones condicionales de densidad en (1) presentan la forma funcional común

m

x,/X1_ 1 ~ N(Jl,, Q) con f11 = E(x,jX,_ 1, 8) = I n¡x,_¡ i=i

(2)

donde x, - /1, = u, es una «innovación» obtenida por construcción dado el desfase máximo m. Por ejemplo, si los agentes económicos forman planes contingentes basados en información limitada, de manera que tales planes definan relaciones de comportamiento como las sugeridas por la teoría econó-mica, la representación estocástica de dicha conducta dará lugar a modelos condicionales. Por tanto, si se particiona x 1 en (y,, z;)', podemos factorizar secuencialmente la función de densidad conjunta de los datos en t de la siguiente forma

(3)

donde (cjJ¡, cp2) representa una reparametrización apropiada de e. Sea ¡jJ el conjunto de parámetros de interés. De acuerdo con las definiciones

de Engle et al. (1983), si ¡jJ es una función de c/J 1 y los parámetros c/J 1 y cp2 no tienen elementos en común («variación libre»), entonces diremos que z, es débilmente exógena con respecto a ¡jJ. Bajo dicha condición puede llevarse a cabo inferencia eficiente sobre ¡jJ en la distribución condicional D 1, a la que denotaremos como modelo, sin tener que modelar la distribución marginal D2 •

Si además verificarse la exogeneidad débil, se cumple la condición

(4)

de forma que y «no causa» a z en sentido de Granger, entonces diremos que z1

es fuertemente exógena con respecto a ¡jJ. Una vez que el marco estadístico conceptual !:a sido establecido convenien-

temente comenzaremos analizando un simple ejemplo que contiene los ingre-dientes básicos del caso más general a tratar posteriormente. Se trata de un DGP bivariante donde las dos variables presentes (y,, z,), en desviaciones de sus componentes determinísticos, son integradas de orden uno, 1(1), se encuentran cointegradas y el vector de cointegración sólo aparece en la primera ecuación. Algunos de estos supuestos se relajarán posteriormente, ofreciendo generaliza-ciones de los resultados en el caso multivariante. Una versión que contiene un modelo condicional estático viene dado por el siguiente ejemplo

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EJEMPLO 1

(Sa)

(Sb)

Es fácil observar que tanto z, como y, son procesos /(1) y además están cointegrados con un vector de cointegración (1, - {3).

Si se estima (Sa) mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO), se obtiene

T(.(J ) _ L z,e1, T 2 - {3 ---

L Z¡ T (6)

La formulación (6) posibilita la derivación de la distribución asintótica de (J, cuyos detalles pueden analizarse en Phillips (1987) y Stock (1987). Para obtener dicha derivación es conveniente condicionar (y, - {3z1) sobre .6z" o equivalente-mente e11 sobre e2,, obteniendo

e - "e + e . " - p~ ¡~ ·, ~z3 = (1 - pz)~21 lt - 1 21 31 > 1 - V J V 2 V V (7)

1

Si se definen S1, = ¿ eu (i = 1, 2, 3) como los procesos integrados formados j = 1

a partir de las sumas parciales de las perturbaciones e;s, entonces, cuando T T oo, los siguientes momentos muestrales tienden a las siguientes variables aleatorias, definidas en términos de procesos de Wiener (B;(i = 1, 2, 3)) con varianzas unitarias (véase, e.g., Phillips (1987))1

(i) r- 1 L S1¡S¡,--. uf[J B1dB1 + l](í = l , 2, 3) (ii) y - 1 E S1,ei1 --. u¡ui f B1dBi (i =t j = 1, 2, 3)

(iii) T- 2 E S;,Si1 -. u¡ui f B;Bj (i,j = l , 2, 3) (8)

donde « -> )) denota convergencia débil en distribución y los límites de las integrales son (0, l ), siendo omitidos en las derivaciones posteriores. Utilizando las expresiones relevantes de (8) en (6), se obtiene

CTrJ 1 En general, si e, - nid (O, a;), definimos la sucesión de sumas parciales Sr(r) :o T - 112 Le,, donde

1 [x) representa la parte ente ra de x , y r € [0, 1). Se puede demostrar que S,{r)-+ B(r), donde B(r) es un proceso de Wiener con varianza a;. Por simplicidad, los procesos B(r) se escriben sin el a rgumento r en la notación 4e1 texto.


Así pues, T(/J - /3) presenta una distribución asintótica no degenerada y por tanto jJ tiende a f3 a la tasa Op (1/T). Se trata, por consiguiente, de un estimador «super-consistente» de f3 (véase Stock (1987)) cuya distribución asintótica no es normal y ha de ser tabulada mediante procedimientos de simulación numérica. Si p = O, entonces z1 es tanto débil como fuertemente exógena con respecto a f3 en este DGP, lo que implica y = O y 8 1 = 8 3, en cuyo caso (9) se reduce a

0"1 S B 2dB 1 _ 0"3 S B2 dB 3

O" zS B~ - O" 2 S B~ (10)

Condicionando en el sigma-álgebra Fi = O"[Bk); rE [[0, 1)], el teorema de la Correspondencia Continua (véase Billingsley (1968) y Phillips y Durlauf (1986)) afirma que cuando B; y Bi son procesos de Wiener independientes se verifica que

(11a)

y, consecuentemente,

(11 b)

Por tanto, de acuerdo con (llb), el t-ratio de /J, definido por

presenta una distribución asintótica estándar. En general, siempre que en un modelo del tipo anterior, el t-ratio de jJ se

comporte asintóticamente como la distribución normal estandarizada, diremos que T(/J - /3) se distribuye asintóticamente como una «mezcla de normales» (MN), notación que se empleará posteriormente.

El ejemplo anterior sirve para poner de manifiesto el hecho de que al menos una de las condiciones para exogeneidad débil en este modelo, i.e. p = O, resulta ser condición necesaria y suficiente para lograr normalidad asintótica, y, consecuentemente, para poder aplicar procedimientos estándar de inferencia en dicho modelo. Alternativamente, tal como sugieren Johansen (1988), Johansen y Juselius (1988) y Phillips (1988a), podría estimarse (Sa) por máxima verosimili-tud (ML). Dicho procedimiento de estimación resulta equivalente a estimar el siguiente modelo mediante MCO

(12)

donde el estimador ML de f3 viene dado por

(13)

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Puesto que E(I. s21B31) = O y I. Z1B21 es Op (T), (13) es equivalente al ratio de los primeros términos en el numerador y denominador, obteniéndose

(14)

que, de acuerdo con el análisis en (10), es una «mezcla de normales». El modelo (12) también puede utilizarse para ilustrar la derivación de la distribución asintótica del estimador y, asociado a una variable J(O), en una regresión donde aparecen variables 1(1). Dicho estimador viene dado por

dado que I. Z1B¡1 es Op (T) y T- 112(I. s21B31) es Op (1). Así pues, los coeficientes de regresares J(O) presentan distribuciones estándar, independientemente del carác-ter del resto de las variables explicativas (véase Sims et al. (1986)). Concluimos, por tanto, que la estimación ML consigue la normalidad asintótica cuando la variable explicativa no es débilmente exógena mientras que las variables estacionarias presentes en la ecuación siempre tendrán coeficientes asintótica-mente normales. Resulta importante destacar que el primer resultado depende, véase (Sb), de la imposición de la raíz unitaria de z1 en el modelo (12). Si dicha raíz unitaria no hubiese sido impuesta, sino estimada, como en el enfoque V AR irrestringido propuesto por Sims et al. (1986), el resultado no se seguiría. Para examinar dicho fenómeno, modificaremos la ecuación (Sb) en el DGP (5) de forma que ahora sea

EJEMPLO 2

Z1 = rxz1 _ 1 + 8 21 ; a = 1 (Sb')

El estimador ML de [3 en este caso es equivalente al obtenido al estimar por MCO el modelo

(16)

Por consiguiente,

(I. zt¡:;3t)(I. ¿~t) - (I. Z¡Bz 1)(L Bzh1) T 3

+ (I. z;)(I. 8~ 1) - (I. Z1B21)2 . T 2 (17)


Puesto que T- 1 L z1e21 = y- t L s2,é21 -+ <1~, la dist ribución asintótica de (17) viene dado por

(18)

donde el primer término de (18) recoge la distribución de la raíz unitaria estimada en (5b'), mientras que el segundo término representa una M N, tal como se describía en (10). Así pues, aunque, tal como Sims et al. (1986) demuestran, la estimación del sistema irrestringido no afecta la distribución de las variables que pueden escribirse como estacionarias con media cero, si que afecta la distribución del estimador del vector de cointegración.

Finalmente, obsérvese que la estimación por variables instrumentales (IV) de (Sa), dada la endogeneidad de z, no resulta un procedimiento apropiado para recuperar la normalidad asintótica. Por ejemplo, si z, es instrumentada median-te z1 _ 1, se o btiene

(19)

cuya distribución asintótica es idén tica a (18). Igualmente, si se utiliza un instrumento w1 correlacionado con z1 pero incorrelacionado con e11 tal que

puede demostrarse, utilizando la distribución condicional ów, = <fn2, + e3,. que

i.e. (20) tampoco es una M N. Nótese que si </> = O, i.e. w, es un instrumento «espúreo», (J1v toda vía es un estimador «super-consistente» de [J, a diferencia del caso estacionario en que (fJ1v - fJ) sigue una distribución de Cauchy carente de momentos (véase Phillips y Hansen (1988)). La validez de instrumentos espúreos en la estimación por IV también se extiende al uso de tendencias determinist i-cas. En efecto si ów, = p. o W1 = p.t (con w0 = O) tendríamos que 2

T(¡¡ _ a)= ¿ te1, T 512 _.. N(O, ai/3)

P1v P ¿ tx y 3f 2 <12 J tB 1 1 2

(2 1)

2 Park y Phillips (1988) demuestran q ue r.cz, y 'í:.ts, son Op (T512) y Op (T31Z), respectivamente.

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de forma que P1v vuelve a tener el carácter de «super-consistente» pese a no ser MN.

Habiendo llegado a este punto, es importante señalar que en el DC}P {5) objeto de análisis, z1 es fuertemente exógena con respecto a fJ cuando s 11 y e21 son independientes (p = O) lo cual es una simplificación excesiva, si como en el análisis de regresión con series estacionarias, lo que nos interesa es únicamente exogeneidad débil a la hora de hacer inferencia. En efecto, de acuerdo con la discusión en {4), {5b) puede ser generalizado a

{5b")

donde ahora p = O y 62(L) #- O sólo implica exogeneidad débil. En este caso los resultados anteriores se generalizan de acuerdo con la siguiente proposición:

PROPOSICIÓN 1: Si X 1 = (y1, z1)' está generado por el DGP compuesto por (5a) y (5b"), con p =O y 6;{1) < oo(i = 1,2), el estimador MCO de fJ en {5a) tiene la siguiente distribución asintótica

(J J B dB T(jJ- [J) ~ [1 - 61{1)- 62{1)[3] 1 J 2

2 1 = MN

(J2 B2

si el término entre corchetes es distinto de cero.

DEMOSTRACIÓN: (Véase apéndice.)

{22)

Así pues, de acuerdo con {22), la exogeneidad débil es una condición suficiente para conseguir normalidad asintótica. Sin embargo, la exogeneidad débil ordinariamente se contrasta en el trabajo empírico mediante contrastes de la hipótesis nula H 0 : p = O {test de Hausman) que carecen de potencia frente a la posibilidad de que existan dependencias directas entre las funciones condicio-nales y marginal, dadas por restricciones directas entre subconjuntos de los vectores de parámetros 4> 1 y r/> 2 en (3). Para examinar este caso, modificaremos la distribución marginal permitiendo que el mecanismo de corrección del error aparezca tanto en {5a) como en {5b). Si, por ejemplo, 6 1(L) = -6[3(1 - L)- 1 y 6iL) = 6(1 - L)- 1, entonces se tiene que (5b") puede representarse como sigue:

EJEMPLO 3

{5b"')

En este caso z1 no es débilmente exógena con respecto a [J, a pesar de que p = O, y consecuentemente la proposición anterior no se cumple (nótese no se verifica que 61(1) y 6i1) sean finitos). En efecto, la distribución asintótica de í3 en (5a) ahora será

{23)


que sólo es MN cuando (j =O. En este caso, tal como se demostró previamente, se necesita estimador por M L a fin de obtener normalidad asintótica, aunque MCO nos provea con un estimador «superconsistente» de /3. Resulta intere-sante hacer notar que la ausencia de normalidad asintótica en este caso proviene del hecho de que las perturbaciones de las distribuciones condicional y marginal no se encuentran incorreladas en el «largo plazo». En efecto la perturbación de (5a) en el «largo plazo» es ~: 1 mientras que la de (5b"') es & 1 + ~:2 . Por tanto, su correspondiente covarianza en el «largo plazo», enten-diendo por tal la covarianza en la función de densidad espectral evaluada en la frecuencia cero, es Dui. Ello sugiere, de acuerdo con la discusión en (13), un procedimiento asintóticamente equivalente al ML que consiste en efectuar la regresión de y1 - yAz1+ 1 sobre Z1, donde y es un estimador de la correlación a largo (Dui/D2ui + u~) obtenido a partir de los residuos mínimo cuadráticos de ambas ecuaciones. En dicho caso

(24)

dado que L z1Az1+ 1 es Op (T) y (y - y) es Op (T- 112).

La discusión del párrafo anterior sirve también para ilustrar un caso en que no se da exogeneidad débil y en el que, sin embargo, se alcanza normalidad asintótica. Por ejemplo, supóngase que, en (5b"), D1 (L) = - D/3 y D2(L) = D, entonces

En este caso existen restricciones entre los parámetros de las distribuciones condicional y marginal, ya que el parámetro f3 aparece en ambas. Sin embargo, la correlación a largo plazo es cero, dado que p = O. Resulta, por tanto, que aplicando MCO a (5a) se obtiene de nuevo

(25)

Del análisis anterior se deduce que incluso el concepto tradicional de exogeneidad débil con series estacionarias, resulta ser una característica dema-siado restrictiva en la formulación de modelos condicionales con variables cointegradas. La condición suficiente mínima para dichos modelos, que incluye casos como (5biv), es la de «exogeneidad débil en el largo plazo», entendiendo por tal aquella situación en que las perturbaciones asociadas a la distribución condicional de y1 sobre z1 y a la distribución marginal de Az1, denotadas en general como u1 y u2 , respectivamente, agrupadas en el vector u = (u 1 , u2 )

presenta una función de densidad espectral continua fu(A), con Q = 2nfu(O), de forma que Q12 = O. Resulta fácil comprobar que esta restricción se verifica

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en todos los ejemplos en que se ha obtenido un estimador con carácter MN. Por ejemplo, en el caso (Sb"'), dado que u11 = ¡; 11 y u21 = b¡; 11 _ 1 + B21, se tiene que Q 12 = bO"f =1= O, mientras que en el caso (Sb'v), dado que u11 = ¡; 11 y u21 = 6fl¡; 11 _ 1 + B21, se tiene que Q 12 = O.

3. Inferencia en sistemas cointegrados: El modelo dinámico

En el DGP (5), la primera ecuación, que recoge el modelo condicional a estimar, viene expresada en términos estáticos, reproduciendo la relación de cointegración directamente. Como es bien sabido, este supuesto es excesiva-mente restringido puesto que, de acuerdo con (3), ambas ecuaciones normal-mente presentan efectos dinámicos en cualquiera de sus representaciones. Engle y Granger (1987) proponen la utilización de un procedimiento bietápico de estimación que se ha popularizado en la práctica empírica. En la primera etapa, se obtiene un estimador MCO «super-consistente» del vector de cointegración en un modelo estático del tipo (5a); a continuación, en la segunda etapa, tomando dicho estimador como dado, se modeliza la dinámica a corto plazo en la segunda etapa. Dichos autores demuestran que el procedimiento bietápico proporciona estimadores de los coeficientes de la variable J(O) con idéntica distribución asintótica a la de los estimadores de dichas variables en la ecuación dinámica, tomando el vector de cointegración como conocido. Un procedimien-to alternativo consiste en estimar conjuntamente el vector de cointegración, conjuntamente con los coeficientes de las variables J(O), representativas de la dinámica a corto plazo, a partir del modelo dinámico irrestringido en una sola etapa (véase Banerjee et al. (1986) y Sims et al. (1986)).

El siguiente ejemplo sencillo, sirve para ilustrar el funcionamiento del procedimiento <mnietápico». Supongamos que el DGP de x 1 = (y1, z)' viene ahora dado por el

EJEMPLO 4

z0 =O ;

(26a)

(26b)

donde de acuerdo con la discusión en la sección 2 (26a) tiene la interpretación de un modelo condicional y, por simplicidad, se ha supuesto que z1 es fuerte-mente exógena con respecto a /3 1 y /3 2 . Este supuesto se relajará posteriormente.

Resulta fácil comprobar que y1 y z1 son J(l) y están cointegrados con un vector de cointegración (1, - f3), donde f3 puede estimarse como la relación a largo plazo

(27)

Siguiendo la metodología propuesta por Wickens y Breusch (1988), puede utilizarse la denominada «transformación de Bewley» con el fin de obtener un


estimador directo de {3 a partir de (26a). En efecto, sustrayendo {3 2y1 de ambos lados de (26a) y reparametrizando, se obtiene

(26a')

que ha de ser estimada por IV, dada la presencia de Yt en ambos lados de la ecuación. Wickens y Breusch (1988) y Galbraith et al. (1988) demuestran que el conjunto de instrumentos (z1, Yt _1 ) proporciona un estimador de {3 y de su desviación típica idénticos a los que se obtendrían de la estimación directa de los {3;s en (26a) y su sustitución en (27). Utilizando dicho conjunto de instrumen-tos, se obtiene

Utilizando las distribuciones límites presentadas en (8), se obtiene

r- 2 "'i. z¡-> aH B~ y-1 "'i. ztslt-> O" 1 0"2 S BzdB1

y- 1 "'i. Yt- 1~>11 -> ( 1 - /32)- 1 f11 O" 1 O" 2 S BzdB 1 T- 1 "'i. Z1~Y1 -> (1 - /32)- 1 /3 1 a~[J B2dB2 + 1]

y- 1 "'i.yr-1~Yr = [(1- f3z)- 1/31] 2aH B2dB2- (1 + {32)- 1ai y-1"'i.zyYr-1->(1- {32)-1{31aªIB~

Sustituyendo las expresiones (29) en (28), se obtiene a su vez

(28)

(29)

(30)

Por tanto, el t-ratio de fJ1v se comporta asintóticamente como la normal estandarizada. Puesto que Wickens y Breusch (1988) demuestran que fJ1v es idéntico al estimar MCO de {3, fj, obtenido al sustituir en (27) los estimadores mínimo cuadráticos de {3, y {3 2, se sigue que fJ se distribuye asintóticamente de forma MN. Resulta importante destacar que si en lugar de utilizar el procedi-miento anterior, se utilizase el procedimiento bietápico de Engle y Granger, la primera etapa correspondería a la estimación por MCO de

Por tanto, z1 no es débilmente exógena con respecto a {3 en (31), puesto que E(~z1u1) = -(1- {3 2)- 1 {3 1 {3 2 a~, y, consecuentemente con el análisis del DGP(5) en el caso de que p =F O, la distribución de fJ ya no será MN, impidiendo el uso de técnicas estándar de inferencia.

Tal como se discutió en la sección 2, resulta posible relajar el supuesto de exogeneidad fuerte de z~> sustituyendo (26b) por (5b") donde solamente se

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supone exogeneidad débil en el «largo plazo». El siguiente DGP generaliza también la dinámica del modelo condicional,

Yt = rx(L)zt + f3(L)Yt-1 + t:11 ; 1/3(1)1 < 1 (32a)

LlZ1 = 61(L)LlZ1- 1 + 62(L)LlY1- 1 + t: 21 ; 161(1)1 < oo, 162(1)1 < oo (32b)

E(s1tt: 2 s) = O'

dando lugar a la siguiente proposición:

PROPOSICIÓN 2: Si x1 = (y1, z1)' está generada por el DGP (32) y f3 se qefine como f3 = [1 - /3(1)] - 1 rx(1), entonces el estimador MCO de f3 en (32a), definido previamente, presenta la siguiente distribución asintótica

T($- f3) 2 - (1 - /3(1))- 2[1 - (/3(1) + 6z(1)rx(1))-

- 61(1)(1 - /3(1))] <r1 S B2d:l = MN 6 2 S B2

si el término entre corchetes es distinto de cero.

DEMOSTRACIÓN: (Véase apéndice.)

(33)

Tanto en DGP (26) como en el caso más general, DGP (32), la presencia de desfases de z e y en el modelo condicional está reflejando el proceso de reducción de la función de densidad conjunta de la variable x 1 = (y1, z1)', de forma que se obtenga una forma paramétrica de la función condicional en que el término de error sea una «innovación». Un ejemplo bastará para clarificar este concepto. Supongamos que el DGP es el siguiente

EJEMPLO 5

Llz1 = U 21 ; U 21 = (1 - bL)- 1t: 21 ; lbl < 1

E(t:ut: 21) = p<r1<r2 ; Su~ nid (0, <rf)

Condicionando s1t sobre t: 21 se obtiene

por lo que el modelo se puede escribir en forma paramétrica como

(34a)

(34b)

Al ser z1 al menos débilmente exógena con respecto a f3 en este modelo (no lo es en (34a)), los resultados de la proposi~ión 2 se pueden aplicar, obteniendo normalidad asintótica para el estimador /3.


Existen, sin embargo, DGP's para los que dicha transformación paramétrica no es posible. En efecto, supongamos ahora que (34b) tuviese una forma de media móvil en vez de autorregresiva, esto es

lbl < 1 (34b')

En este caso una transformación paramétrica del tipo (35) no resulta adecuada, ya que el término de error sería MA (1) en vez de una innovación. Por ello resulta de gran interés examinar la posibilidad de obtener un estimador de {3 con características no parámetricas, en el sentido descrito previamente, con la propiedad MN. La distribución asintótica de fJ en (34a) nos ayuda en la construcción de dicho estimador ya que

(35)

Como el segundo término en (35) es MN, todo lo que se necesita es un estimador no paramétrico del priiner término. La matriz de covarianzas a «largo plazo» de u11 y u21 proporciona dicho estimador ya que, denotando sus elementos como {wii} sabemos que (1- b)-Ly = w12w2l. Utilizando el estima-dor muestra! de y a partir de ilz1 y ú11, puede construirse un nuevo estimador JI de la forma siguiente

(36)

con lo que desaparece el primer término en (35), de manera que

T(fJ- {3) = MN

Resulta importante destacar que, de acuerdo con la discusión acerca del estimador ML en la sección 2, el estimador JI es asintóticamente equivalente al estimador ML y, por tanto, comparte sus propiedades de optimalidad asin-tótica.

En el caso más general en que u1 y u2 en (34) presenten correlación serial y z1 no sea débilmente exógena, Phillips y Hansen (1988) han propuesto un estimador similar a (35) al que denominan estimador FM («fully modified»). Dicho estimador se construye de la forma siguiente

donde

JI= LZtYt+- S+T I:z'f (37)

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y 8+ es un estimador consistente de o, definido por

00 o= L [E(~z,uir+k) - yE(~z.~z,+k)] h=O

donde o representa el posible sesgo a «largo plazo>> existente entre regresores y la perturbación 3.

Puede demostrarse de nuevo que

T(fJ- /3) = MN

si bien en este caso la varianza de u1 en el cómputo del t-ratio de fJ, habrá de ser sustituida por un estimador consistente de a~ dado por (d>11 - y2w22) .

Nótese que en el caso en que o = O, el estimador corresponde a (35). Resumien-do, debería quedar claro de los ejemplos anteriores que el procedimiento unietápico, correspondiente a la metodología de Hendry y Richard en la mayoría de los casos presenta las mismas propiedades que en la estimación FM y, por tanto, es óptima. Sólo cuando existe evidencia de medias móviles en la perturbación (e.g. Hall y Pagan (1981)), después de haber introducido desfases de la variable exógena y endógena, las correcciones del método FM se hacen necesarias.

Una limitación del marco bivariante adoptado hasta ahora en los diferentes ejemplos es que no permite la existencia de más de un vector de cointegración, ya que de no ser único las variables y, y z, serían J(O) en vez de /(1). Esta limitación desaparece en un marco n-variante (x, ahora es un vector (n x l)) donde se permita la existencia de r(r ~ n- 1) relaciones de cointegración. Con el fin de analizar las condiciones bajo las que los procedimientos uniecuaciona-les descritos previamente conducen, tras la normalización apropiada, a estima-dores de vectores de cointegracíón que son MN, resulta conveniente adoptar la representación ECM del sistema (véase Engle y Granger (1987)) dada por

(38)

donde se supone que A *(L) es una matriz de polinomios en desfases con orden finito, tal que A*(·) tiene todas sus raíces fuera del círculo unitario; í es una matriz (n x r) cuyas columnas contienen los r diferentes factores de cointegra-ción; y B es una matriz (n x r) cuyas ftlas representan los coeficientes de los términos de corrección del error en ~ada ecuación. Finalmente, se supone que la matriz de var-covarianzas des, es diagonal, tras un proceso de condicionamien-to progresivo. Condiciones adicionales para que se verifique la exogeneidad débil requieren que A*(O) sea una matriz triangular superior, propiedad que junto con la diagonalidad de la matriz de var-covarianzas dota al sistema de estructura recursiva. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la i-sima

3 El parámetro o recoge el denominado «sesgo de segundo orden» que, por ejemplo, genera los sesgos en muestras finitas encontrados por Banerjee el al. (1986). Dicho sesgo es independiente del sesgo de endogeneidad debido a la correlación entre e, y e2 ., que conlleva la aparición de la dist ribución del estimador de la raíz unitaria en la distribución límite del estimador del vector de cointegración.


ecuación del sistema representa el modelo condicional de interés. De acuerdo con la discusión referente al ejemplo 3, ha de excluirse la presencia de términos de corrección del error idénticos en más de una ecuación cuando las variables con coeficientes normalizados a la unidad en cada una de ·dichas ecuaciones entre como variable explicativa en la i-sima ecuación. Ello implica que, con B = {b;i}, es necesario que si b;i #O, se verifique bki = O (para todo k# i). Adicionalmente han de eliminarse los casos en que existe perfecta colinealidad asintótica, producida por la existencia de diferentes vectores de cointegración que comprendan todos o un subconjunto de las variables que aparezcan en la i-sima ecuación. El siguiente DGP sirve de ilustración al problema:

EJEMPLO 6

z11 = az 21 _ 1 + e21

6 z2 , = e3,

E(ejsEi,) = O(i,j = 1, 2, 3)

(39a)

(39b)

(39c)

Resulta sencillo comprobar que y, y las z~r's son variables / (1) y que (1, - /J1, - /J2) y (0, 1, - a) son los vectores de cointegración existentes. Bajo el supuesto de independencia de las perturbaciones, puede aplicarse MCO al modelo condicional (39a) pero la matriz (Z'Z)(z = (z 1, z2)') necesaria para eva-luar ({J1, {J2) es tal que

Por tanto el rango de (Z'Z) -+ 1 y diremos que z 1, y z2 , son colineales asintóticamente. Alternativamente podemos afirmar que T({J1 - fJ ¡) y T({J2 - /J2)

tienen una distribución conjunta degenerada. Nótese que, por ejemplo, las dis-tribuciones anteriores serán M N si z2, _ 1 se sustituye por y, _ 1 en (39b) dado que el segundo vector de cointegración no incluye un subconjunto de las va-riables explicativas del modelo condicional 4 . Con el fin de excluir este pro-blema, con r = { yii} y normalizando Yn = l(i = 1, ... , r), es necesario que si Y;j # O (j = 1, ... , k < n) se verifique que yij = O (i = 2, ... , r,j = 1, ... , k).

Con el fin de contrastar todas las condiciones anteriores, se puede aplicar inferencia ordinaria a los elementos de A*(L), de acuerdo con los resultados de Siros et al. (1986), y también a los elementos de By r , construyendo contrastes

4 Alternativamente (39a) puede reparametrizarse como

y, = fl,(z,, - n 2 ,) + (/J2 + rxfi.Jz 2, +e,,

donde T '12(P, - /J1) y T(;' - i'l (con ¡• = <P2 + "-/J1)) tiene distribuciones límites no degeneradas. Sin embargo, para identificar los {l;s se necesita un estimador de :x obtenido de (39b). Por tanto z, no es débilmente exógena a no ser que a sea conocido.

162 CUADERNOS ECONOMICOS DE I.C.E. N. 0 44 1990/1

de Wald como los propuestos por Johansen y Juselius (1988). Los contrastes sobre la diagonalidad de la matriz de var-covarianzas de las perturbaciones corresponden a la clase de contrastes de Hausman.

4. Inferencia en sistemas posiblemente no cointegrados

A diferencia de las secciones anteriores donde se ha tomado como un supuesto de partida la existencia de cointegración, en esta sección se examina el comportamiento relativo de contrastes de cointegración, en lo que respecta a su tamaño y potencia bajo las hipótesis nula y alternativa, respectivamente. El análisis se concentra al igual que en los casos anteriores en un marco uniecua-cional donde las condiciones relevantes de cumplimiento del requisito de exogeneidad débil por parte de las variables explicativas se ha verificado previamente.

Con el fin de simplificar la discusión, se analiza un ejemplo muy sencillo de carácter bivariante en el que el posible vector de cointegración se supone conocido e igual a (1, -A.) tal como ocurre en numerosas aplicaciones empíricas (e.g., A. = 1 corresponde a logs. de consumo y renta disponible, logs. de salario real y productividad, logs. de cantidad de dinero y renta nominal, logs. de tipo de cambio nominal y precios relativos, etc.). El DGP correspondiente viene definido por

EJEMPLO 7

(40a)

(40b)

donde y1 y z1 son 1(1) y s representa la razón «señal-ruido». Bajo la hipótesis nula de no cointegración se verifica que rx 2 = O. Generalmente se han supuesto dos contrastes de dicha hipótesis. El primer contraste (ECM) está basado en el t-ratio de y2 en el modelo

(41)

basado en la idea de que si y1 y z1 no están cointegradas, el término en niveles debe desaparecer de la ecuación. El segundo contraste es el de Dickey y Fuller (DF) (véase Dickey y Fuller (1979)), el cual, bajo el supuesto del conocimiento del vector de cointegración, se basa en el t-ratio de S en el modelo

(42)


Por tanto, el contraste ECM, en notación matricial, viene dado por

t ~y'M~zw-1 Y2=o [w' M w ]ll2sA

- 1 ~z - 1 ~

(43)

donde M~z = 1- ~z(~z'~z)- 1 ~z; w =(y- A.z) y .s; = 'Lf¡¡jT- 2. El contraste DF a su vez, viene dado por

tb=Q = [ ' ]l/2A W_lw-1 Sv

~w'w_ 1 (44)

con .s; = 'L v'v/T- l. Utilizando las distribuciones límites presentadas en (8), puede demostrarse la

siguiente proposición concerniente al comportamiento relativo de ambos con-trastes:

PROPOSICIÓN 3: Si z1 = (y1, z1)' está generado por el DGP (40) con a2 = 0, las distribuciones asintóticas de los contrastes ECM y DF vienen dados por

(a 1 -A.) J B 2dB 1 + s- 1 J B 1dB 1 t = o -4 (45) n [(al- A.f J B~ + 2s- 1(a1 - A.)J B 1B 2 + s- 2 J Bi] 112

(a1-A.)2 J B 2dB 2 +2s- 1(a1-A.)J B 2dB 1 +s- 2 J B 1dB 1

DEMOSTRACIÓN: (Véase apéndice.) Tomando una aproximación de «pequeño sigma», i.e., s ¡ oo, conjuntamente

con T ¡ oo, se obtiene una doble aproximación asintótica tal que

(47)

donde aquellos términos afectados por (1/s2 ) desaparecen a mayor velocidad que los restantes y, por tanto, sólo los términos que definen una MN permane-cen en la aproximación. Nótese que a 1 =1= A. es condición necesaria para la validez de la aproximación.

Una doble aproximación asintótica similar a la anterior, produce en el caso del test DF

(48)

que resulta ser la conocida distribución límite del t-ratio de p en el proceso AR (1)

~Yr=-PYr-l+er; p=O (49)

tal como ha sido demostrado por Phillips (1987).

164 CUADERNOS ECONOMlCOS DE l. C. E. N.• 44 1990/1

Por tanto, de acuerdo con la discusión anterior, existen circunstancias en que el test ECM es asiiltóticamente normal, mientras que el test DF nunca lo será. Nótese que dicha característica depende del tamaño del ratio «señal-ruido», s, a cuyo análisis en muestras finitas se dedica la sección siguiente.

La intuición subyacente a los resultados anteriores es la siguiente. Tomando la ecuación (40a) con a2 =O y sustrayendo l~z, de ambos lados, se obtiene

~(y, - A.z,) = (a: 1 - A.)~z1 + c11

lo q ue implica que las varianzas de las perturbaciones en (41) y (42), son

var (r¡,) = ui var (v,) = ui + (a 1 - 2)2u~

(50)

(51)

(52)

Cuando s j oo, y, y z, parecen cointegradas, puesto que al integrar (40a), con o: 2 = O, la varianza de z, dominará a la varianza de (l - L) - 1 e 1 ,. Esto no ocurre con el test DF, puesto que el término de error, de acuerdo con (50), es (1- L) - 1[a: 1 - 2)¡;2, + e1,], cuya varianza, al contener e2, , ya no es asintótica-mente despreciable. Esta intuición, sin embargo, sólo es válida cuando x1 :F A. Cuando cc 1 = 2 y s sea fi nito se comprueba a partir de (45) y (46) que ambos contrastes coinciden.

Otra manera alternativa de interpretar los resultados anteriores consiste en o bservar que el test DF impone una restricción de «raíz común» en el modelo (42) (véase Sargan (1980)), i.e., a1 = A., restricción que no tiene por qué verificar-se en el DGP. Generalizaciones del test D F, tales como el test aumentado de Dickey y Fuller (AD F), que incluiría desfases de ~(y, - A.z,) en (42), tampoco solucionan este problema ya que continúan imponiendo una restricción poten-cialmente inválida, i.e., la igualdad de las elasticidades a corto y largo plazo.

La teoría asintótica desarrollada basta el momento puede utilizarse también para derivar las funciones de potencia asintótica de los contrastes ECM y DF. Con el fi n de ilustrar su desarrollo en el ejemplo 7, utilizaremos el marco estadístico propuesto recientemente por Phillips (1988b) para el análisis de series temporales «casi integradas», esto es, series estacio narias pero con raíces en un entorno muy cercano a la unidad. En nuestro caso, la hipótesis alternati-va local relevante será a 2 = y - 1n con n fijo, de forma q ue cuando n = O obtendremos los resultados de la Proposición 3, mientras que cuando T j oo y n -:¡: O, obtendremos los resultados relevantes a la potencial local de los contras-tes. Nótese que la velocidad de convergencia del parámetro a:2 bajo la hipótesis alternativa es O p (T) en vez de Op(T112) que es la velócidad de convergencia habitual en la función de potencia local de contrastes basados en series estacionarias. Ello es debido a que, de acuerdo con el análisis de series «cuasi integradas» los segundos momentos muestrales convergen a velocidad O p (T2). Por ejemplo, si en el proceso AR (l ) recogido en (49), p = r - 1n, Phillips (1988b) demuestra que

(53)


donde B es el proceso de Wiener asociado a E y K es un proceso de difusión tal que

K(r) = B(r) + n Jóe(r-s)dB(s) rE [0, 1)

de forma que cuando n = O, K(r) es igual a B(r). Utilizando los resultados anteriores, Kremers et al. (1989) y Dolado y

Ericsson (1989) demuestran que los factores de no centralidad (¡t) de los tests ECM y DF vienen dados, respectivamente, por

flEcM = n 2 [1 + (a 1 - A)s] 2 J K 2

floF = n2 J K 2

(54)

(55)

donde K es el proceso de difusión asociado a una perturbación con varianza unitaria. Por tanto, cuando el término entre corchetes en (54) sea, en valor absoluto, superior a la unidad, la potencia del test ECM será superior a la del test DF. Cuando s jO, o cuando a 1 = A ambos contrastes tienen la misma potencia.

Finalmente, es importante hacer notar que los resultados relativos a la normalidad asintótica del test ECM, cuando s j oo, no se verifican si el vector de cointegración se estima como en el proceso «bietápico» de Engle y Granger, tal como se demuestra en Dolado y Ericsson (1989). El resultado es similar a lo que ocurre con la no imposición de las raíces unitarias en el ejemplo 2, de ahí que la teoría económica juegue un papel fundamental en la imposición del potencial vector de cointegración.

5. Resultados de un estudio de ·Monte Cario

En esta sección se analiza el comportamiento en muestras finitas de las aproximaciones asintóticas de tamaño y potencia sugeridas en la sección anterior. Con el fin de analizar el tamaño, se simula un DGP como el expresado en (40), mediante un pequeño estudio de Monte Cario con un número de simulaciones N = 1000 y un tamaño muestra! T = 100 en el espacio paramétri-co definido por: s = (1, 5, 20, 200, 1/5, 1/20, 1/200), a 1 = (0,1, 0,5, 0,9), A = l. El rango del ratio «señal-ruido» es bastante extenso, incluyendo tres casos favora-bles a la normalidad asintótica del test ECM, tres casos desfavorables, cuando s es pequeño y el caso en que s es la unidad. De forma similar, el rango del parámetro a corto plazo a 1 trata de capturar un caso favorable, cuando a 1 está muy por debajo de la unidad, valor adoptado por A, un caso desfavorable, cuando a 1 está cerca de la unidad, y un caso intermedio, cuando a 1 es 0,5

Los dos bloques en el cuadro 1 presentan la media, t-ratio de la media y un contraste de normalidad basado en los coeficientes de kurtosis y asimetría de la distribución simulada (véase Jarque y Bera (1980)) en el caso de los dos contrastes propuestos, con el fin de examinar la semejanza existente entre las distribuciones empíricas de los contrastes y la distribución N(O, 1). Los resulta-dos se resumen a continuación. En la mayoría de los casos relativos al test

166 CUADERNOS ECONOMICOS DE I.C.E. N." 441990/1

CUADRO 1 CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BAJO H 0

Modelo ( 41 ): Test ECM

S 5 20 200 1/5 1/20 1/200

0,1 -0,18 -0,08 -0,07 -0,30 -0,53 -0,54 -0,52 (1,68)** (0,75) (0,66) (3,02)* (5,32)* (5,47)* (5,22)*

0,67 0,18 0,14 1,49 5,23** 1,58 2,74 IX¡ 0,5 -0,16 -0,04 0,00 -0,37 -0,42 -0,43 -0,43

(1,59) (0,43) (0,03) (2,18)* (4,11)* (4,17)* (4,17)* 0,19 0,15 0,12 0,36 0,79 1,00 1,12

0,9 -0,48 -0,19 -0,10 -0,43 -0,40 -0,49 -0,52 (4,88)* (1,92)** (1,04) (4,11)* (4,03)* (4,93)* (5,22)* 2,30 2,30 0,42 0,73 1,44 1,79 1,86

Modelo (42): Test DF

S 5 20 200 1/5 1/20 1/200

0,1 -0,54 -0,54 -0,52 -0,51 -0,48 -0,52 -0,50 (5,43)* (5,37)* (5,24)* (5,15)* (4,82)* (5,16)* (5,08)* 1,47 2,34 2,15 1,92 1,64 3,90 2,16

IX¡ 0,5 -0,36 -0,39 -0,40 -0,40 -0,42 -0,43 -0,43 (3,60)* (3,90)* (3,80)* (4,05)* (4,12)* (4,23)* (4,22)* 0,59 0,38 0,43 0,88 0,60 0,82 0,96

0,9 -0,50 -0,53 -0,50 -0,50 -0,50 -0,48 -0,49 (5,15)* (5,46)* (5,06)* (4,97)* (5,01)* (4,89)* (4,86)* 2,57 4,14 1,77 1,53 1,48 2,00 1,43

Nota: El DGP viene dado por las ecuaciones (40) con }. = l. Las cifras superiores representan las medias de las distribuciones del contraste correspondiente; las cifras intermedias (entre paréntesis) representan los t-ratios de las medias anteriores; las cifras inferiores representan los valores del contraste de normalidad descrito en el texto, cuya distribución asintótica es una chi-cuadrado con 2 grados de libertad; (*) y (**) representan valores significativos a niveles del 5 y JO por 100, respectivamente.

ECM, el contraste de normalidad no captura desviaciones significativas. Lo mismo ocurre cuando se trata del contraste DF. Sin embargo, cuando s es pequeño, con independencia del valor tomado por 1)( 1 , la media de la distribu-ción del test ECM aparece sesgada a la baja, lo que implica la existencia de valores críticos distintos de los ordinariamente utilizados. Un sesgo similar ocurre en la distribución del test DF, en este caso, como es esperable, con independencia de ciertas combinaciones de los parámetros s y 1)( 1 . Así pues, la no centralidad de las distribuciones en el caso no estándar aparece como un rasgo más importante que el exceso de kurtosis yjo asimetría, una característica que parece concordar con los resultados de Banerjee y Dolado (1987, 1988). La ausencia de desviaciones significativas con respecto a la normal estandarizada en el caso en que s sea grande (s > 5) y 1)( 1 pequeño (1)( 1 < 0,5) apoya en muestras finitas los resultados asintóticos obtenidos en la sección anterior,


apoyando el uso de dicha distribución cuando exista evidencia de que s es suficientemente grande.

CUADRO 2 PoTENCIA

Modelo (41 ): Test ECM

S 5 20 1/5 1/20

{ 0,1 0,998 1,000 0,340 0,340 IXz = -0,05, IX¡ 0,5 0,995 1,000 0,342 0,341

0,9 0,429 0,911 ",340 0,343

{ 0,1 1,000 1,000 0,790 0,787 IXz = -0,10, IX¡ 0,5 1,000 1,000 o, 782 0,780

0,9 0,856 0,998 0,761 0,765

Modelo (42): Test DF

S 5 20 1/5 1/20

{ 0,1 0,321 0,327 0,314 0,334 IX 2 = -0,05, IX¡ 0,5 0,314 0,326 0,332 0,333

0,9 0,306 0,310 0,334 0,335

{ 0,1 0,752 0,761 0,787 0,790 IX2 = -0,10, IX 1 0,5 0,763 0,772 0,781 0,782

0,9 0,776 0,751 0,776 0,775

Nota: El DGP viene dado por las ecuaciones (40. con).= l. Los valores críticos al nivel del 5 por 100 son -1,95 (tomado de Fuller (1976), tabla 8.5.2) y -1,96 (tomado de la normal estandarizada).

Con el fin de cuantificar la potencia de los contrastes ECM y DF, se ha simulado de nuevo un DGP como el anterior, pero ahora con a2 =1= O. De acuerdo con el análisis de potencia local llevado a cabo en la sección anterior, el espacio paramétrico se ha reducido a s = (5, 20, 1/5, 1/20), a1 = (0,1, 0,5, 0,9) y a2 = ( -0,05, - 0,10), ya que para valores superiores de a2 la potencia de ambos contrastes alcanza la unidad. El cuadro 2 presenta los resultados relativos a la frecuencia de rechazo de la hipótesis nula a2 = O, cuando se utilizan valores críticos correspondientes al 5 por 100 de nivel de significación. Cuando s es bajo, la potencia de ambos contrastes es similar, mientras que cuando s es alto la potencia del test ECM tiende a la unidad, lo que no ocurre con el test DF cuya potencia, de acuerdo con (55), es independiente de s. Nótese de nuevo que, este último contraste al imponer restricciones de factor común inválidas, i.e. a 1 = A, conlleva una pérdida de potencia relativa apreciable con respecto al test ECM.

168 CUADERNOS ECONOMICOS DE l. C. E. N. 0 44 1990/1

6. Conclusiones

En este trabajo se han discutido condiciones bajo las que puede llevarse a cabo inferencia ordinaria en modelos condicionales con variables /(1), estima-dos por MCO, tanto cuando existe cointegración como cuando no existe. Cuando existe cointegración, la condición de «exogeneidad débil en el largo plazo», definida con respecto a la matriz de densidad espectral evaluada en la frecuencia cero, es suficiente para lograr normalidad asintótica en los estimado-res de todos los coeficientes que aparecen en la regresión, habiendo estimado el vector de cointegración como la solución a «largo plazo» del modelo condicio-nal dinámico. Se demuestra, como corolario del resultado anterior, que la utilización del popular procedimiento bietápico de Engle y Granger, conlleva necesariamente la ausencia de normalidad asintótica en los coeficientes estima-dores del vector de cointegración. Ello implica que la especificación y estima-ción del modelo dinámico, en una única etapa, resulta ser un procedimiento preferible desde esta perspectiva. Además, cuando no se verifica la condición suficiente de exogeneidad y, consecuentemente, ha de aplicarse un procedimien-to de estimación máximo-verosímil, la imposición de las raíces unitarias existentes en el DGP resulta necesaria para lograr la normalidad asintótica. En este sentido, la validez del enfoque V AR irrestringido propuesto por Sims et al., se ve limitada.

En el caso de que no exista cointegración, se han encontrado casos en que el contraste ECM, basado en el t-ratio del estimador del coeficiente del mecanis-mo de corrección del error, se distribuye asintóticamente como una normal estandarizada. Estos casos vienen representados por un alto ratio «señal-ruido». Esta propiedad no se verifica en el caso del contraste DF, basado en la aplicación del test de Dickey-Fuller a los residuos de la regresión estática en niveles, cuya distribución no depende del ratio «señal-ruido». Un pequeño estudio de Monte Cario pone de manifiesto que la no centralidad es la característica dominante de la distribución no estándar de estos contrastes. La imposición de restricciones, en muchos casos inválidas, por parte del contraste DF y sus generalizaciones supone una pérdida apreciable de potencia local con respecto al contraste ECM, lo que aconseja el uso de este último en la práctica econométrica.

Apéndice

Las demostraciones de las Proposiciones (1)-(3) están basadas en el siguiente Lema, cuya demostración puede encontrarse en: e.g., Stock (1987).

LEMA: Sea z1 una serie temporal /(1) con una representación de Wold dada por L1z1 = c(L)c2 , siendo c(L) un polinomio en desfases invertible y c21 ~ nid (0, a~). Entonces c(L) = c(l) + c*(L)(1 - L) con e*(·) invertible. Si c11 ~ nid (0, ai) está incorrelacionado con c21 en todos los períodos, se verifica

y- 2 L z¡ --+ c(1)2a2 2 S B~ T- 1 "L Z¡Cz 1 --+ a~[c(l) S B 2dB 2 + 1]

(A.1)

(A.2)

INFERENCIA EN MODELOS DINAMICOS UNIECUACIONALES ... · 169

(A.3)

donde B1 y B2 son procesos de Wiener con varianzas unitarias, respectiva-mente. Las proposiciones siguientes son casos particulares de aplicación del Lema anterior.

PROPOSICIÓN 1: (S.b") puede escribirse como

y aplicando el Lema, c(L) = [1 - c5 1(L)- ¡'3c52(L)Lr 1. Por tanto utilizando (Al) y (A3) se obtiene (22).

PROPOSICIÓN 2: Utilizando el Lema (32.a) y (32.b) pueden escribirse como

Yr = (1 - ¡'3(1))- 1[1X(l)z1 + IX*(L)~z,- (¡'3(1)- ¡')*(L)L)~y, + t:u] (A.4)

y

z1 = [1 - (¡')(L) + 1X(L)c5 2(L)L)- c5 1 L(l - ¡')(L))]- 1 [ b2(L)Lt:u + (1 - ¡')(L))S zrJ (AS)

Aplicando (Al) y (A3) a (A.4) y a (AS) obtenemos (33).

PROPOSICIÓN 3: El t-ratio de f 2 en (41) viene dado por

donde

t1.2 = A/B

A= [(1X 1t: 2 + t:¡)'(1X1 - l)S 1- 1 + S 2 _¡)][t:~t: 2]

- [(1X1t:2 + t:2][(1X¡- l)Sl-1 + S2-1J't:2

B = 0"¡{[(1X¡- /,)Sl-1 + Sz-¡]'[(1X¡- A.)S1-1 + S2-1J-- [((IX¡ - A.)Sl-1 + S2- ¡)'t:z]'[((1X¡ -/,)S 1-1 + S2-l)'t:z]}

(A7)

Aplicando (A.l) - (A.3) se obtiene (4S) y multiplicando numerador y denomina-dor de (A.7) por s, con s ¡ oo, se obtiene (47).

De forma similar, el t-ratio de 3 en (42) viene dado por

(A.8)

donde

e = [(1X 1 - A.)s 2 + s1]'[(1X1 - A.)S 1 -1 + S2 -1J

D = [(1X1 - A.) 2 0'~ + O"i) 112 [(1X 1 - },)S1-1 + S2-1]'[(1X1- A.)Sl-1 + Sz-¡]

Aplicando (A.l) - (A.3) se obtiene (46) y multiplicando numerador y denomina-dor de (A.8) por s, con si oo, se obtiene (48).

170 CUADERNOS ECONOMICOS DE l. C. E. N." 441990/1

Referencias

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