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INECUACIONES DE 2º GRADO

Llamamos inecuación de 2º grado a toda desigualdad algebraica que reducida es de la forma 2ax bx c 0+ + < . Se

puede sustituir el signo < por cualquiera de los otros signos de desigualdad , ,> ≤ ≥

Para resolver una inecuación de 2º grado debemos estudiar el signo del polinomio 2ax bx c+ + .

Explicaremos los pasos que debemos seguir con un ejemplo.

EJEMPLO: Resuelve la inecuación de 2º grado 2x x 12 0− − ≥

1º PASO: Descomponemos factorialmente el polinomio 2ax bx c+ + .En nuestro caso el polinomio 2x x 12− − .

Para ello resolveremos la ecuación de 2º grado 2x x 12 0− − = . Las raíces son x 3,4= −

A partir de ahora sustituiremos 2x x 12 0− − ≥ por su descomposición ( ) ( )x 3 x 4 0+ ⋅ − ≥

IMPORTANTE:

Las raíces del polinomio serán solución de la inecuación siempre que aparezca los signos , ≤ ≥ .

2º PASO: Estudiamos el signo de la expresión algebraica ( ) ( )x 3 x 4+ ⋅ −

En una recta colocamos las raíces del polinomio 2x x 12− − . Estas son x 3= − y x 4= con un círculo relleno (la raíz

es solución de la inecuación) o con un círculo vacío (la raíz no es solución de la inecuación). En nuestro caso dos

círculos rellenos.

Al colocar las dos raíces la recta se divide en tres intervalos. Para estudiar el signo en cada uno de estos intervalos o

trozos de recta, operamos de la siguiente forma: Tomamos un número y en la expresión ( ) ( )x 3 x 4+ ⋅ − sustituimos la

incógnita x por dicho valor y miramos su signo.

Todos los números correspondientes a un determinado intervalo tienen el mismo signo, con lo cual, comprobado para

un valor se puede generalizar al resto del intervalo.

( ) ( ) ( ) ( )5 5I : 3 4+ ⋅ −− − = − ⋅ − = + ( ) ( ) ( ) ( )0I : 0I 3 4+ ⋅ − = + ⋅ − = − ( ) ( ) ( ) ( )10 1III : 3 0 4+ ⋅ − = + ⋅ + = +

x 4=x 3= −

( ) ( )SIGNO x 3 x 4+ ⋅ −

+x 4=−x 3= −+

I II III

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3º PASO: Calculamos la solución de la inecuación.

Al resolver 2x x 12 0− − ≤ , buscamos el conjunto de números reales para los cuales la expresión

algebraica 2x x 12− − sea positiva o se anule. La solución se obtiene de la representación gráfica del PASO 2.

Conclusión :

La solución es ( ] [ )x , 3 4,∈ −∞ − +∞∪

EJEMPLO: Resuelve la inecuación ( )2 2x 3 4 3x 5+ − > +

Desarrollamos el cuadrado del binomio y, a continuación, reducimos 22x 6x 0− + > .El polinomio 22x 6x− + tiene

como raíces x 0 x 3= = . ( )22x 6x 0 2x x 3 0− + > ⇒ − ⋅ − >

( ) ( ) ( ) ( ) ( )I : 42 4 3− ⋅ ⋅ −− − − −= ⋅ ⋅ − = − ( ) ( ) ( ) ( )2II : 2 32− ⋅ ⋅ − = − ⋅ + ⋅ − = + ( ) ( ) ( ) ( )III : 2 34 4− ⋅ ⋅ − = − ⋅ + ⋅ + = −

Conclusión : La solución es ( )x 0,3∈

( )SIGNO 2x x 3− ⋅ −

+

x 3=

−

x 0=

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