INECUACIONES

I.E PEDRO CASTELLANOS

Docente Adalberto Paternina A

IDENTIDADES, ECUACIONES E INECUACIONES

IDENTIDADEs toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de

la incógnita o incógnitas:x = x(x – 2).(x + 2) = x2 – 4(x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2

ECUACIÓNEs una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores

concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen:2x = 4 Sólo para x = 2x2 = 4 Sólo para x = 2 y para x = - 2y = 2x Sólo cuando y sea doble que el valor de x.

INECUACIÓNEs una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito

de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: x < 2 ( - oo , 2 )

x ≥ - 4 [ - 4 , + oo ) |x| < 3 ( - 3, 3)

Inecuaciones con una incógnita

• Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos.

• En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar.

• Signo: Se lee:• x < - 3 x es siempre MENOR que - 3• x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5• x > 7 x es siempre MAYOR que 7• x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que -

2

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN

Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta.

Ejemplos:

x > 4 x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc

x2 – 4 < 0 x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc

EQUIVALENCIA DE INECUACIONES

Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Ejemplos:

x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes.

x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.

GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES:

1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2Solución = [ 2, + oo )Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados.En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido.

2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 )Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos.En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco.

2

R

R

- 5

PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.

Si x – 3 > 1 x – 3 + 3 > 1 + 3 x > 4

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.

Si x / 3 < 5 3. x / 3 < 3. 5 x < 15

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original.

Si - x < 3 (- 1).( - x ) > (- 1).3 x > - 3

Resolución de inecuaciones

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sean las inecuaciones:

1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2

SOLUCIONES:

1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2

Solución = [ 2, + oo )

2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5

Solución = ( - oo, - 5 )

3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSO

Solución = Ø (Conjunto vacío)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sea la inecuación: 2 – x x – 34.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6

SOLUCIÓN:

2 – x x – 34.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6

6(2 – x) – 5( x – 3 ) 4.- ----------------------------- + 2 > x 30

4.- 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41

Solución = (- oo , 87/41)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sean las inecuaciones:

5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3

SOLUCIONES:

5 3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15

5.- 3.(x – 1) + 30 < 5.x

5.- 3.x – 3 + 30 < 5.x

5.- – 3 + 30 < 5.x – 3.x

5.- 27 < 2.x x > 13,5

5.- Solución = ( 13,5 , oo )

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Sean las inecuaciones:

6.- 2 ------- + 3 ≥ 4 x + 1

SOLUCIONES:

6.- 2 + 3.(x+1) ----------------- - 4 ≥ 0 x + 1

6.- 2 + 3.(x+1) – 4.(x + 1) ----------------------------- ≥ 0 x + 1

6.- 1 – x -------- ≥ 0 Las raíces de numerador y denominador son el 1 y el -1 x + 1

6.- Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo)

6.- Solución = ( - oo, 1 ] – { - 1}

Inecuaciones CUADRÁTICAS

• Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma:

• ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0)• Siendo a > 0 siempre.

• Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación, x1 y x2 .

• Luego se factoriza el polinomio característico:• (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0

• Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo)

• La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema.

Ejemplo 1• Resuelve la inecuación:• x2 - 5x + 6 ≤ 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo 2 3 +oo

( x – 2 )

( x – 3 )

- + +

- - +

Productos + - +

En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]

Ejemplo 2• Resuelve la inecuación:• x2 + 3x - 10 > 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x + 5 ) > 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo - 5 2 +oo

( x – 2 )

( x + 5 )

- - +

- + +

Productos + - +

En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego

Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }

Ejemplo 3• Resuelve la inecuación:• x2 + 2x + 1 < 0• Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1• Se factoriza el polinomio:• (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo - 1 +oo

( x +1 )

( x + 1 )

- +

- +

Productos + +

No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø