inecuaciones
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El presente documento presenta todo lo referente a inecuacionesTRANSCRIPT
INECUACIONES
1) INTRODUCCIÓN
Hasta el momento se han visto relaciones entre números u objetos en donde se
establece y demuestra que estos son iguales y para los cuales existen una gama de
operaciones que nos permiten transformarlos (siempre manteniendo la igualdad)
para poder sacar conclusiones de ellos, estas son las llamadas ecuaciones, en
donde existe un valor desconocido y por medio de ciertos procedimiento se puede
llegar al valor de esta variable desconocida, siempre y cuando esta exista, con la
existencia de de soluciones nos referimos que estas estén dentro del cuerpo de
los números reales (<), pero dentro de las soluciones antes mencionadas, las
ecuaciones de primer grado, o sea donde el mayor exponente de la variable
desconocida es uno, la solución es una sola y esta siempre existe, para el caso de
las ecuaciones de mayor grado, el grado esta en relación con el exponente mayor
de la variable desconocida, esta solución no siempre existe, y además si existe la
cantidad de soluciones son siempre menor o igual al grado de la variable, pero
generalmente, ya sea en la naturaleza o en otros casos, uno busca determinar los
elementos que conforman un conjunto de soluciones y además que cumplan con
alguna condición, por ejemplo los planetas que son más grandes que la tierra, para
poder cuantificar y poder poner en lenguaje matemático ya no nos sirve la relación
de igualdad, pues esta establece exactamente los elementos que son idénticos en
la condición pedida, es por casos como este que aparecen las llamadas
inecuaciones, esta relaciona elementos por medio de la desigualdad y en algunos
casos también considera la igualdad dentro de los posibles resultados, las
inecuaciones están basados en los axiomas de orden como condición primaria, al
establecer estos un ordenamiento de los números para así poder satisfacer las
condiciones pedidas. Las inecuaciones entregan un conjunto de soluciones
independiente del grado de la inecuación.
2) TEOREMAS DE DESIGUALDADES
Para poder trabajar con inecuaciones es necesario manejar bien los conceptos e ideas de las
desigualdades, dado que estas son su sustento teórico.
A continuación se dan los teoremas fundamentales para el trabajo posterior de las
inecuaciones:
2) TEOREMAS DE DESIGUALDADES
Para poder trabajar con inecuaciones es necesario manejar bien los conceptos e ideas de las
desigualdades, dado que estas son su sustento teórico.
A continuación se dan los teoremas fundamentales para el trabajo posterior de las
inecuaciones:
2) TEOREMAS DE DESIGUALDADES
Para poder trabajar con inecuaciones es necesario manejar bien los conceptos e ideas de las
desigualdades, dado que estas son su sustento teórico.
A continuación se dan los teoremas fundamentales para el trabajo posterior de las
inecuaciones:
Las demostraciones de los teoremas anteriores se dejan como ejercicios.
Las inecuaciones en si son desigualdades, en las cuales aparecen una o más variables
desconocidas, para el caso de este curso será solamente una la variable independiente
desconocida a las cuales es necesario encontrar el conjunto de soluciones.
Un ejemplo sencillo de esta son los siguientes:
3) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En esta sección se mostrara alguno de los modos para resolver inecuaciones y de cómo se
puede expresar el conjunto de soluciones:
Partiremos desarrollando cada uno de los casos anteriores:
El conjunto solución son todos los valores reales mayores estricto que 5, esto es:
También podemos establecer esto gráficamente para poder visualizar mejor la solución de la
siguiente forma
En donde se indica con rojo y por la flecha de arriba cual es la dirección que toman los valores
de la solución, el circulo que esta sobre el cinco indica que parte de este numero el conjunto
de soluciones pero no toma el cinco como parte de la solución, en el caso que hubiese
tomado el cinco como parte de la solución el circulo se mostraría pintado, como se muestra
en el siguiente ejemplo.
Las demostraciones de los teoremas anteriores se dejan como ejercicios.
Las inecuaciones en si son desigualdades, en las cuales aparecen una o más variables
desconocidas, para el caso de este curso será solamente una la variable independiente
desconocida a las cuales es necesario encontrar el conjunto de soluciones.
Un ejemplo sencillo de esta son los siguientes:
3) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En esta sección se mostrara alguno de los modos para resolver inecuaciones y de cómo se
puede expresar el conjunto de soluciones:
Partiremos desarrollando cada uno de los casos anteriores:
El conjunto solución son todos los valores reales mayores estricto que 5, esto es:
También podemos establecer esto gráficamente para poder visualizar mejor la solución de la
siguiente forma
En donde se indica con rojo y por la flecha de arriba cual es la dirección que toman los valores
de la solución, el circulo que esta sobre el cinco indica que parte de este numero el conjunto
de soluciones pero no toma el cinco como parte de la solución, en el caso que hubiese
tomado el cinco como parte de la solución el circulo se mostraría pintado, como se muestra
en el siguiente ejemplo.
Las demostraciones de los teoremas anteriores se dejan como ejercicios.
Las inecuaciones en si son desigualdades, en las cuales aparecen una o más variables
desconocidas, para el caso de este curso será solamente una la variable independiente
desconocida a las cuales es necesario encontrar el conjunto de soluciones.
Un ejemplo sencillo de esta son los siguientes:
3) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En esta sección se mostrara alguno de los modos para resolver inecuaciones y de cómo se
puede expresar el conjunto de soluciones:
Partiremos desarrollando cada uno de los casos anteriores:
El conjunto solución son todos los valores reales mayores estricto que 5, esto es:
También podemos establecer esto gráficamente para poder visualizar mejor la solución de la
siguiente forma
En donde se indica con rojo y por la flecha de arriba cual es la dirección que toman los valores
de la solución, el circulo que esta sobre el cinco indica que parte de este numero el conjunto
de soluciones pero no toma el cinco como parte de la solución, en el caso que hubiese
tomado el cinco como parte de la solución el circulo se mostraría pintado, como se muestra
en el siguiente ejemplo.
Es en casos como estos que la interpretación gráfica presta una mayor utilidad para
establecer el conjunto solución como veremos a continuación:
En donde vemos primero que el círculo arriba de los números está pintado, esto es que
dentro de la solución toman en cuenta estos valores, el cómo saber cuándo se toma o no se
toma el valor está establecido por el signo de desigualdad incluyendo la igualdad, hay que
tener presente que no por aparece un signo de mayor igual o menor igual en el enunciado del
problema necesariamente en la solución se tiene que considerar los valores extremos de la
solución, hay que analizar según corresponda el caso. Otro punto importante de señalar es
que en la solución anterior se muestran dos gráficos, cada uno corresponde a la parte
izquierda y derecha respectivamente de la solución tomando como centro el símbolo “0” (V),
vemos que en el primer gráfico los valores no se interceptan, lo cual establece que esta
solución es el conjunto vacío (), esto es porque el conectivo lógico “y” () establece que
necesariamente se deben cumplir ambas condiciones para que este sea verdadero o dicho de
otro modo que en el gráfico exista intersección, la cual no se da, a diferencia del primer
gráfico, en el segundo gráfico si existe intersección de las soluciones. Pero estas no son las
soluciones finales, son solo análisis de casos, la solución final es la unión de la solución uno y
dos, esto es porque aparece un “o” dentro de la solución, y este “o” es el equivalente a la
unión de conjunto en teoría de conjuntos, por lo tanto la solución es:
En este caso particular la solución solo considera la soluci¶on dos, dado que la solución uno
es el vacío.
Es en casos como estos que la interpretación gráfica presta una mayor utilidad para
establecer el conjunto solución como veremos a continuación:
En donde vemos primero que el círculo arriba de los números está pintado, esto es que
dentro de la solución toman en cuenta estos valores, el cómo saber cuándo se toma o no se
toma el valor está establecido por el signo de desigualdad incluyendo la igualdad, hay que
tener presente que no por aparece un signo de mayor igual o menor igual en el enunciado del
problema necesariamente en la solución se tiene que considerar los valores extremos de la
solución, hay que analizar según corresponda el caso. Otro punto importante de señalar es
que en la solución anterior se muestran dos gráficos, cada uno corresponde a la parte
izquierda y derecha respectivamente de la solución tomando como centro el símbolo “0” (V),
vemos que en el primer gráfico los valores no se interceptan, lo cual establece que esta
solución es el conjunto vacío (), esto es porque el conectivo lógico “y” () establece que
necesariamente se deben cumplir ambas condiciones para que este sea verdadero o dicho de
otro modo que en el gráfico exista intersección, la cual no se da, a diferencia del primer
gráfico, en el segundo gráfico si existe intersección de las soluciones. Pero estas no son las
soluciones finales, son solo análisis de casos, la solución final es la unión de la solución uno y
dos, esto es porque aparece un “o” dentro de la solución, y este “o” es el equivalente a la
unión de conjunto en teoría de conjuntos, por lo tanto la solución es:
En este caso particular la solución solo considera la soluci¶on dos, dado que la solución uno
es el vacío.
Es en casos como estos que la interpretación gráfica presta una mayor utilidad para
establecer el conjunto solución como veremos a continuación:
En donde vemos primero que el círculo arriba de los números está pintado, esto es que
dentro de la solución toman en cuenta estos valores, el cómo saber cuándo se toma o no se
toma el valor está establecido por el signo de desigualdad incluyendo la igualdad, hay que
tener presente que no por aparece un signo de mayor igual o menor igual en el enunciado del
problema necesariamente en la solución se tiene que considerar los valores extremos de la
solución, hay que analizar según corresponda el caso. Otro punto importante de señalar es
que en la solución anterior se muestran dos gráficos, cada uno corresponde a la parte
izquierda y derecha respectivamente de la solución tomando como centro el símbolo “0” (V),
vemos que en el primer gráfico los valores no se interceptan, lo cual establece que esta
solución es el conjunto vacío (), esto es porque el conectivo lógico “y” () establece que
necesariamente se deben cumplir ambas condiciones para que este sea verdadero o dicho de
otro modo que en el gráfico exista intersección, la cual no se da, a diferencia del primer
gráfico, en el segundo gráfico si existe intersección de las soluciones. Pero estas no son las
soluciones finales, son solo análisis de casos, la solución final es la unión de la solución uno y
dos, esto es porque aparece un “o” dentro de la solución, y este “o” es el equivalente a la
unión de conjunto en teoría de conjuntos, por lo tanto la solución es:
En este caso particular la solución solo considera la soluci¶on dos, dado que la solución uno
es el vacío.
4) EJERCICIOS
5) USO DE VALORES CRÍTICOS
Un grupo importante de inecuaciones son en las que sus términos son factores o se pueden
expresar en términos de factores, en estas se pueden utilizan tablas para determinar las
soluciones, por ejemplo:
Una vez teniendo este factorizado procedemos a buscar los ceros de cada uno de los factores
para poder construir la tabla, i.e.
En esta tabla se estudia el signo de cada factor en el determinado intervalo señalado por los
puntos en donde se hacen cero los factores, y como lo que se pide es establecer para que
valores es siempre positivo o cero vemos en la cuarta línea de signos en que valores es
4) EJERCICIOS
5) USO DE VALORES CRÍTICOS
Un grupo importante de inecuaciones son en las que sus términos son factores o se pueden
expresar en términos de factores, en estas se pueden utilizan tablas para determinar las
soluciones, por ejemplo:
Una vez teniendo este factorizado procedemos a buscar los ceros de cada uno de los factores
para poder construir la tabla, i.e.
En esta tabla se estudia el signo de cada factor en el determinado intervalo señalado por los
puntos en donde se hacen cero los factores, y como lo que se pide es establecer para que
valores es siempre positivo o cero vemos en la cuarta línea de signos en que valores es
4) EJERCICIOS
5) USO DE VALORES CRÍTICOS
Un grupo importante de inecuaciones son en las que sus términos son factores o se pueden
expresar en términos de factores, en estas se pueden utilizan tablas para determinar las
soluciones, por ejemplo:
Una vez teniendo este factorizado procedemos a buscar los ceros de cada uno de los factores
para poder construir la tabla, i.e.
En esta tabla se estudia el signo de cada factor en el determinado intervalo señalado por los
puntos en donde se hacen cero los factores, y como lo que se pide es establecer para que
valores es siempre positivo o cero vemos en la cuarta línea de signos en que valores es
positivo, vale decir que el término x+4 se escribió dos veces dado que esta al cuadrado, si se
considerara solo una vez afectaría el signo, dado que este término es siempre positivo, para
terminar este análisis es necesario eliminar los posibles casos en que el denominador es cero,
i.e.
Por lo tanto el conjunto solución es:
Esta forma de resolución de inecuaciones es muy sencilla y rápida para encontrar las
soluciones de estas, lo que sí está limitada por el hecho que solo sirve para poder encontrar
solución a las inecuaciones que son mayor o menor que cero (incluyendo los casos del igual) y
que además se puedan factorizar.
6) EJERCICIOS
7) VALOR ABSOLUTO
A cualquier número, ya sea positivo o negativo que se le aplique el valor absoluto se obtiene
el mismo número pero positivo o a lo sumo cero si el número ingresado es cero, para cuando
se desconoce el signo del número se define el valor absoluto de este como:
Definición 3: Se define la función valor absoluto por:
Un teorema importante para el trabajo con valor absoluto es:
positivo, vale decir que el término x+4 se escribió dos veces dado que esta al cuadrado, si se
considerara solo una vez afectaría el signo, dado que este término es siempre positivo, para
terminar este análisis es necesario eliminar los posibles casos en que el denominador es cero,
i.e.
Por lo tanto el conjunto solución es:
Esta forma de resolución de inecuaciones es muy sencilla y rápida para encontrar las
soluciones de estas, lo que sí está limitada por el hecho que solo sirve para poder encontrar
solución a las inecuaciones que son mayor o menor que cero (incluyendo los casos del igual) y
que además se puedan factorizar.
6) EJERCICIOS
7) VALOR ABSOLUTO
A cualquier número, ya sea positivo o negativo que se le aplique el valor absoluto se obtiene
el mismo número pero positivo o a lo sumo cero si el número ingresado es cero, para cuando
se desconoce el signo del número se define el valor absoluto de este como:
Definición 3: Se define la función valor absoluto por:
Un teorema importante para el trabajo con valor absoluto es:
positivo, vale decir que el término x+4 se escribió dos veces dado que esta al cuadrado, si se
considerara solo una vez afectaría el signo, dado que este término es siempre positivo, para
terminar este análisis es necesario eliminar los posibles casos en que el denominador es cero,
i.e.
Por lo tanto el conjunto solución es:
Esta forma de resolución de inecuaciones es muy sencilla y rápida para encontrar las
soluciones de estas, lo que sí está limitada por el hecho que solo sirve para poder encontrar
solución a las inecuaciones que son mayor o menor que cero (incluyendo los casos del igual) y
que además se puedan factorizar.
6) EJERCICIOS
7) VALOR ABSOLUTO
A cualquier número, ya sea positivo o negativo que se le aplique el valor absoluto se obtiene
el mismo número pero positivo o a lo sumo cero si el número ingresado es cero, para cuando
se desconoce el signo del número se define el valor absoluto de este como:
Definición 3: Se define la función valor absoluto por:
Un teorema importante para el trabajo con valor absoluto es:
Teorema 10:
Es importante señalar que el valor absoluto de un numero es siempre no negativo, i.e.
8) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los valores absolutos sirven para representar en física el concepto de distancia, y en general
en el cálculo este concepto aparece de forma reiterada, ya sea de forma explícita o
implícitamente, pues la definición formal de limite (que se estudiara más adelante) se expresa
en inecuaciones con valor absoluto y es este concepto quizás uno de los más importantes en
el cálculo infinitesimal, la forma de resolución es similar a las inecuaciones "normales", pero
es necesario tener muy presente el teorema 10 antes mencionado.
Los siguientes son ejemplos de inecuaciones con valor absoluto:
9) RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver inecuaciones con valor absoluto es necesario eliminar primero los valores
absolutos y luego se procede con la resolución normal de las inecuaciones, por ejemplo:
Para esto nos basamos en la segunda parte del teorema 10, luego la resolución de las
inecuaciones es como de costumbre, cabe señalar que al trabajar con valores absolutos la
cantidad de casos se incrementa dependiendo de la cantidad de valores absolutos que
aparezcan en la inecuación.
Teorema 10:
Es importante señalar que el valor absoluto de un numero es siempre no negativo, i.e.
8) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los valores absolutos sirven para representar en física el concepto de distancia, y en general
en el cálculo este concepto aparece de forma reiterada, ya sea de forma explícita o
implícitamente, pues la definición formal de limite (que se estudiara más adelante) se expresa
en inecuaciones con valor absoluto y es este concepto quizás uno de los más importantes en
el cálculo infinitesimal, la forma de resolución es similar a las inecuaciones "normales", pero
es necesario tener muy presente el teorema 10 antes mencionado.
Los siguientes son ejemplos de inecuaciones con valor absoluto:
9) RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver inecuaciones con valor absoluto es necesario eliminar primero los valores
absolutos y luego se procede con la resolución normal de las inecuaciones, por ejemplo:
Para esto nos basamos en la segunda parte del teorema 10, luego la resolución de las
inecuaciones es como de costumbre, cabe señalar que al trabajar con valores absolutos la
cantidad de casos se incrementa dependiendo de la cantidad de valores absolutos que
aparezcan en la inecuación.
Teorema 10:
Es importante señalar que el valor absoluto de un numero es siempre no negativo, i.e.
8) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los valores absolutos sirven para representar en física el concepto de distancia, y en general
en el cálculo este concepto aparece de forma reiterada, ya sea de forma explícita o
implícitamente, pues la definición formal de limite (que se estudiara más adelante) se expresa
en inecuaciones con valor absoluto y es este concepto quizás uno de los más importantes en
el cálculo infinitesimal, la forma de resolución es similar a las inecuaciones "normales", pero
es necesario tener muy presente el teorema 10 antes mencionado.
Los siguientes son ejemplos de inecuaciones con valor absoluto:
9) RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver inecuaciones con valor absoluto es necesario eliminar primero los valores
absolutos y luego se procede con la resolución normal de las inecuaciones, por ejemplo:
Para esto nos basamos en la segunda parte del teorema 10, luego la resolución de las
inecuaciones es como de costumbre, cabe señalar que al trabajar con valores absolutos la
cantidad de casos se incrementa dependiendo de la cantidad de valores absolutos que
aparezcan en la inecuación.
10) EJERCICIOS10) EJERCICIOS10) EJERCICIOS