inecuaciones

Matemtica Bsica Inecuaciones

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

INECUACIONES

1 INTRODUCCIONSi se tiene dos expresiones que no son iguales se dice que es una desigualdad. Esta dosdesigualdades estn relacionadas con los smbolos mayor, mayor o igual, menor, menor o igual( ,,, ).Hay dos tipos de desigualdades:

Desigualdad Absoluta: Aquella que tiene el mismo sentido (mayor o menor que) paratodos los valores de la variable para los que estn definidos sus miembros. Por ejemplo

7>5 siempre ser una verdad, pues un nmero positivo siempre ser mayor que unnmero negativo; 0>4+x 2 ya que 4+x 2 siempre ser mayor que cero.

Desigualdad Condicional o Inecuacin: Aquella que tiene el mismo sentido solo paraciertos valores de las variables tomadas para los que sus miembros estn definidos. Por

ejemplo en 1x>2+3x ser una desigualdad siempre que23

>x ; As mismo,

( ) ( ) 23+x3+2x 22 es una igualdad siempre que 0x b+ax:P(x) 0



5



Multiplicando ambos extremos por 4 y despejando tenemos2136243)1812(3248612 ++ xxxxx

El C.S = ,78. Resolver:

58362 +++ xbx

a

x 02

654

32

>+ xbx

a

x

06.3

)6)(3(2)3(5)6)(3(46.2>

+

baaaxaxbabx

018

36157212>

+

abxabxaabxb

036157212 >+ xabxaabxb abxabxaxb 72361512 >

abababx 72)361512( > abababx 24)1254( >

Como 0>> ba , entonces, )1254( abab es negativo, luego,

041250)4125()1254( >+5x 2. 13xa,ba

5b0



1er Caso: Si las races r1 y r2 son diferentes ( 21 rxP , entonces se toma los intervalos positivos,obteniendo como conjunto solucin >< ,+rr, 21

b) Si la inecuacin es de la forma ( ) 0< 21 r,r

2do Caso: Si las races r1 y r2 son iguales ( r=r=r 21 ). Procedemos a ubicar las raz en una rectanumrica y marcamos las celdas o intervalos con los signos + y - comenzando por la derechacon el signo +.

a) Si la inecuacin es de la forma ( ) 0>xP , entonces el conjunto solucin ser { }rRx elintervalo >< r,+r,

b) Si la inecuacin es de la forma ( ) 0xP , entonces el conjunto solucin ser Rx b) Si la inecuacin es de la forma ( ) 0a

>c+bx+ax2 Races diferentes 21 r

>< r,+r,

Raz Real nica r0=

{ }rR

Races no reales0apara< 21 r,r

Raz Real nica r0=

Races no reales0



4.4 PROBLEMAS RESUELTOS

1. Resolver 0352x2



01+x+x01xx 22

Hallamos las races de la ecuacin 0=1+x+x 2

Primeramente hallamos el discriminante: ( ) ( )( ) 0



Las races son: 1;31

== xx

El C.S. es ] [ ,311,8. Resolver. 0253 2 > xx

Solucin:

Factorizamos y hallamos puntos crticos:

0253 2 > xx 0)2)(13( >+ xx

,31

=x 2=x

El C.S. es ,231,9. Resolver: xx 1284 2 xSolucin:Determinamos las races de la expresin cuadrtica con ayuda de la formula general:

532

20322

81232)1(2

)2)(1(4)32()32( 2==+=

=x

Las races son: 53 53 +

3/1

+-+

+-1

-1/3

-

++

2

+

1 2

+-



El C.S. ser 53, ++ ,53

11. Resolver 0962 2



1er Caso: Si las races son diferentes ( n21 r< +1,2,0

5.1 PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Hallar el conjunto solucin de ( ) 08+6x3x5x+5xx:xP 2345 Solucin:Primeramente factorizamos por Ruffini el polinomioEl polinomio factorizado es:

( ) ( )( )( )( ) 02+xx4x1+x1x:xP 2 Adems el trinomio ( ) 0>2+xx 2 para todo numero realdebido a que 0



intervalos:

Como la inecuacin tiene el signo escogemos los intervalos positivos.Entonces el conjunto solucin es: [ ] >+4,[1,1

2. Resolver la inecuacin 012164 234 + xxxxSolucin:Para resolver la inecuacin, primeramente factorizaremos mediante el mtodo de Ruffini.Este mtodo sirve para factorizar cualquier polinomio de grados superiores a dos. Sacamos loscoeficientes con dichos signos de mayor grado a menos.Buscamos las races trabajando con el trminoindependiente.La forma de cmo hacerlo est en la figura adjunta:Expresamos la inecuacin en forma Factorizada al primermiembro, que seria:

03)-(x1)-(x2)-(x2)+(x Las races son: -2, 1, 2, 3.Colocamos estas races en la recta numrica como estagraficado y separamos la recta en intervalos segn marquelas races:Como el polinomio es 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparece el signo (+).Es decir: ] [ ] [ >



4. Resolver 24 xx +++ xxxxxSolucin:

Factorizamos el polinomio (por Ruffini) del primer miembrode la inecuacin para hallar las races en forma factorizada.

)2)(1)(1)(2)(3(1241553 2345

+++=

+++

xxxxx

xxxxx

Si igualamos a cero el polinomio, hallamos las races:

31 =r , 22 =r , 13 =r , 14 =r , 25 =r

Las ubicamos en la recta numrica y separamos en intervalos

4- 7 7

+ - + - +

-4

1

+-+

+-2

013

303162

20651651

10611611222122

2012161411216141

112415531



Como ,0)( >xP la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+).

El += ,21,12,3..SC

10. Resolver: 024221172 234 ++ xxx

Factorizando 0)32)(4)(2)(1( ++ xxxx

Races { }4,2,1,23 =x+ - + - +

23 1 2 4

El C.S de la ecuacin 024221172 234 ++ xxx es

[ ] [ ]4,21,23 11. Resolver: 23342 22 +



Como el polinomio es 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparece el signo (+). Esdecir: ] [ ] [ >



5.2 PROBLEMAS:Resolver la inecuacin dada y graficar el conjunto solucin:

14. ( )( ) 0>1x2+xx 15. 01x1+x+x 2 20. ( )( )( ) 16>2+x1x3xx 21. ( )( ) 0x237x+5xx 23

22. ( )( ) 0>x43x32x+x 22 23. 0>15+x133xx 23

24. ( )( )( )( ) 03+xx425+x7+x 2222 25. ( )( )( ) 044xx+x 23 27. ( )( ) ( ) 0xQ.xP

Si ( )( ) ( ) 0xQpara0xQ.xPEn ambas propiedades se cumple que ( )( ) 0>xQ 2 , es decir, es una cantidad positiva. Al multiplicaresta cantidad en ambos miembros de las desigualdades se obtienen las propiedades mencionadas.


1. Resolver: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 04xx8x1+2xx+35x26xx

23

232

Solucin:Primeramente consideramos las potencias de los factores:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 04xx8x1+2x

x+3x26xx23

2532

( )( )( )( )( )( )( ) 04xx1+x+x2x1+2x

x26xx2

2

debido a que

( ) ( )532 x26xx tienen potencia impar y ( )2x+3 tiene potencia par.Factorizando obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 04xx1+x+x2x1+2x

2x12+x3x2

simplificando y considerando

( ) 0>1+x+x 2 porque 0



Considerando los intervalos positivos por el signo y quitando los valores { }42,0,2,/1Entonces el conjunto solucin es: { } { }2+4,]0,32/12,[ >

2. Resolver la siguiente inecuacin:5

85482

+

+ x

x

x

Solucin:Lo que realizamos es pasar del miembro derecho al miembro izquierdo e igualarle a cero:

0)4x(5)8x5)(4x()8x(50

58x5

4x8x 22

+

++

+

+

020x5

32x12x540x5020x5

)32x20x8x5(40x5 2222 +

++

++

04x6x0

20x572x12)1(0

20x572x12

+

+

+

+

Es equivalente a la siguiente Inecuacin:0)4(x6)-(x + siempre 4x

Por lo tanto las races son: 6r1 = ; 4r2 =Como la Inecuacin es menor igual que cero al solucin es la unin de los intervalos donde aparece

el signo (-). Es decir ]6,4+++ xxxxx

Solucin:Factorizamos el polinomio mediante el mtodo de Ruffini.Este mtodo sirve para factorizar cualquier polinomio degrados superiores a dos (2).El polinomio factorizado sera:

( ) 1241553: 2345 +++ xxxxxxP1)-(x2)-(x1)(x2)(x3)(x +++=

Las raices del polinomio son: 12,1,-2,-3,-

Colocamos las raices en la recta numerica como indica lafigura y como el polinomio es > 0, la solucin es la unin delos intervalos donde aparecen el signo (+)

430-1/2-2+-+-+-

6

+-+

+-4

013

303162

20651651

10611611222122

2012161411216141

112415531

+

12-1-2-3+-+-+-



Es decir, C.S. = { }>< +,1,212,3 4. Resolver

x

x

x

x 132 +

2x1xx1+x+x 2

8. 0>4x3+x

9.2+x

42x

x

4x322

10.1+x

4x1

4x2

2

12. 06x7x

x128x+x2

32

13. 04x3+x

15. 2>2x

51x

6

16. 6>1x

51+x

3

17. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 015+2x1+x82x2+x2+4x

132

9322

18. ( ) ( ) ( )( )( ) 04+x1+2xxx+2x14+2xx

4

6352

19. ( ) ( ) 3+x1

>1x2

11+2x+

32x+x2252x

22

20. ( )( )x1x32x

x22

6+5xxx

2

21. ( )( )( )( ) 016x4x6xx6x+x

22

22

22. ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 0>4+x3+x3x2+xx4x1+x2+x3x

22

2

7 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de x se define por: | |

0



c) | | | | | |b.a=b.ad) | || | 0b,b

a=

ba

e) | | | | | |b+ab+a f) | | 0=a0=a g) | | ( )[ ]b=ab=a0bb=a h) | | | | b=ab=ab=a i) Si | || | babbaii)

b



| | | | ( ) ( ) 2>x4



6. Resolver usando propiedades 43



Como 321 SSSS = entonces [ ]2,1=S

9. Resolver 6- x|)x-2|-|x-1(||)2-x||1-x|( 2+Solucin:

Como: |1-x||x-1| = | y |2-x||x-2| = y adems 22 aa =Se tiene 6- x|)2-x|-|x-1(||)2-x||1-x(| 2+ 6-x2)-(x-1)-(x 222 03-2x-x 2 Factorizando: ( )( ) 01x3x +Encontrando las races y ubicndolo en la recta numrica:

Escogemos los intervalos positivos por el signo , entonces el conjunto solucin es:>+< [3, U1]-,-

7.3 PROBLEMAS:Resolver las inecuaciones con valor absoluto y graficar el conjunto solucin:

1. | | 5x=4+3+2x2. | | 5+2x=13x 3.

x

4=

1xx

4. | | 4+2x=4x 2 5. | | 2x12. 1xPxP0xQ0xP 22. ( ) ( )xQxP la solucin se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]xQxPxP0xQ0xP 2

Para las inecuaciones irracionales de la forma:1. ( ) ( )xQxQ+xP la solucin se obtiene: ( ) ( ) 0>xQ0>xP

2. ( ) ( ) 0xQ+xP la solucin se obtiene: ( ) ( ) 0xQ0xP Para las inecuaciones irracionales de la forma:

1. ( ) ( ) KxQ+xP siendo 0>k ; la solucin se obtiene:( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2xQkxP0>xQ0>xP

Para las inecuaciones irracionales de la forma:1. ( ) ( ) 0xQ+xP la solucin se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=xQ0=xP0xQ+xP


1. Resolver: 132 xxxx ( ) 3323 xxx [ = ,31S

(B): ( )132 >+ xx ( )( )[ ]21320101032 >+



[ 62,32 +=S 21 SS = [ [ 62,23,3 +

21 SS = [ 62,3 +2. Resolver: 016202



9.1 PROPIEDADES DEL VALOR MXIMO ENTERO1. | |[ ] Zx 2. | |[ ] Zxx=x 3. | |[ ] | |[ ] Rx1,+x



)2()2( xx ] [ ,22,:ULa inecuacin dada es valida si: 032)( 2



Solucin:La ecuacin dada se puede escribir de la forma:

( )13

3)2)(1(

80128.02.0

+

>

x

x

xx

( ) ( ) 1333 )2)(1( 106.12.0 + > xx xx x ( ) ( ) 1343 )2)(1( 2.02.0 + > xx xx ( ) ( ) 4123 )2)(1( 2.02.0 + > xx xx

Como a = 0.2 < 1, se tiene: que los exponentes de la inecuacin dada son desiguales en sentido

contrario al prefijado, es decir: 4123

)2)(1(

+

x

xx 0

322

9053922

90539

>

+

x

xx

para 3x

( ) 0322

9053922

90539>

+

xxx para 3x

Hallamos las races y las ubicamos en la recta numrica:

Finalmente escogemos los intervalos positivos siendo el conjunto solucin>+

+

< ,22

905393,

2290539

2. Resolver 1 521 3 328 + ++ + < x xx x

Solucin:

152

13

328 ++

+

+

< xx

x

x

1)52(5

133

22 +

+

+

< xx

x

x

. Por propiedad de inecuaciones exponenciales resulta:

2290539

2290539 +3

+-+-



1)52(5

1)3(3

++< 1, U,-1-

3. Resolver ( ) 5/)1x(33 3/1x5 93 ++ b , se observa: Los nmeros mayores que 1 tiene logaritmo

positivo Los nmeros entre 0 y 1 tiene logaritmo

negativo.

Cuando la base es 1



Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -41

(Cuidado: como multiplicamos por un nmero negativo, debemos cambiar el sentido de ladesigualdad) x ( )460

41

Hacemos el clculo x 115

Esto significa que el peso de cada cajn no podr superar los 115 kg. Adems, como se trata de unpeso, x > 0.Entonces, la solucin est formada por todos los nmeros reales pertenecientes al intervalo (0 ,115]. Graficamos la solucin en la recta real:

2. El Producto Interno Bruto (PIB) de un pas esta proyectado en 2t +2t+50 miles millones dedlares, donde t se mide en aos a partir del ao en curso. Determine el instante en que elPBI del pas sea igual o exceda $ 58 mil millones.

SolucinEl (PBI) del pas ser igual o exceder $ 58 mil millones cuando 2t +2t+50 . Para obtener la solucinde la inecuacin expresamos en la forma: 2t +2t-8 0 , donde al factorizar se tiene (t+4) (t-2)>0 .Aplicando el criterio de los puntos crticos se tiene:

+ - +

-4 2El conjunto solucin de la inecuacin es como t debe ser positivo, entonces seconsidera t 2 es decir que, el PBI ser igual o exceder por ves primera a los $58 mil millones,cuanto t=2 es decir dentro de dos aos.

3. Para una compaa que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y materiales de $ 5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar laproduccin) son de $ 60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $ 7 Cuntos debevenderse para que la compaa obtenga utilidades?

SolucinComo:Ganancia = ingreso total costo totalEntonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y despus determinar cuando sudiferencia es positiva.Sea q = el numero de termostato que deben ser vendidos entonces su costo es 5q.Luego el costo total para la compaa es 5q + 60,000 , el ingreso total de q termostatos ser 7q ycomo: Ganancia = ingreso total costo total >0Entonces: 7q - (5q + 60,0000)>0 , de donde 2q > 60,000 entonces q>30,000Por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostatos para que la compaa obtenga utilidades.

4. El fabricante de cierto artculo puede vender todo lo que produce al precio de $ 60 cadaartculo. Gasta $ 40 en materia prima y mano de obra al producir cada artculo y tiene costosadicionales (fijos) de $ 3,000 ala semana en la operacin de la planta. Encuentre el nmero



de unidades que debera producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 1,000 a lasemana.

SolucinSea x = numero de artculos producidos y vendidos a la semana.Como el costo total de producir x unidades es de $ 3,000 mas $ 40 por articulo, es decir:(40x + 3,000) dlares el ingreso obtenido por vender x unidades a $ 60 cada una ser de 60xdlares, por lo tanto.Utilidad = ingreso - costos = 60x - (40x +3,000)=20x -3,000 Como debe tener una ganancia de almenos $ 1,000 al mes, tenemos la inecuacin: utilidad > 1,000 de donde 20x - 3000 > 1000 entonces x> 200.

5. Un constructor debe decidir si renta o compra una maquina excavadora. Si renta la maquinael pago mensual seria de $ 600 (con base en un ao), y el costo diario (gas, aceite yconductor) seria de $ 60 por cada da que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anualseria de $ 4,000, y los costos por operacin y mantenimiento serian de $ 80 por cada da quela maquina sea utilizada cul es el numero mnimo de das al ao que tendr que usarse lamaquina para justificar la renta en lugar de la compra?

SolucinDeterminamos expresiones para el costo anual de la renta y el de la compra, as encontramoscuando el costo de la renta es menor que el de la compra.Sea d = el numero de das de cada ao en que la maquina es utilizada.Si la maquina rentada, el costo total anula consistira en el pago de la renta, que es (12)(600) y loscargos diarios de 60d, si la maquina es comprada, el costo por aos Ser 4000 + 80d, queremoscosto renta< costo compra12(600) + 60d



La solucin es 30 x 35. Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2, 500 al mes, el fabricante debe producir y vendercualesquiera unidades de 30 a 35.

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