1

DESIGUALDAD:

Una inecuacin es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos

signos:

Smbolo Se lee Ejemplo

< menor que 2x 1 < 7

menor o igual que 2x 1 7

> mayor que 2x 1 > 7

mayor o igual que 2x 1 7

La solucin de una inecuacin es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacin.

Intervalos:

Podemos expresar la solucin de la inecuacin mediante:

a. Una representacin grfica.

b. Un intervalo.

Desigualdad. Inecuacin de Primer Grado. Inecuacin de Segundo Grado. Aplicaciones.

INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

2

Ejemplos:

1. 2x 1 < 7 2x < 8 x < 4

C.S. = (-, 4)

2. 2x 1 7 2x 8 x 4

C.S. = (-, 4]

3. 2x 1 > 7 2x > 8 x > 4

C.S. = (4, )

4. 2x 1 7 2x 8 x 4

C.S. = [4, )

3

Criterios de equivalencia de inecuaciones:

Si a los dos miembros de una inecuacin se les suma o se les resta un mismo nmero, la inecuacin resultante

es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin

resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x 2 < 6 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero negativo, la

inecuacin resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

x < 5 (x) (1) > 5 (1) x > 5

INECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO

Inecuacin que se puede escribir dela siguiente forma:

ax + b 0; a 0

Ejemplos:

a. 7x 3 0

b. 2 5x 0

c.

Estrategias para la Resolucin de Inecuaciones de Primer Grado

Ejemplos:

a. Consideremos la inecuacin:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Quitar corchetes.

2 Quitar parntesis.

3 Quitar denominadores.

4

4 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los trminos independientes en el otro.

5 Efectuar las operaciones

6 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la

desigualdad.

7 Despejamos la incgnita.

Obtenemos la solucin como una desigualdad, pero sta tambin podemos expresarla:

De forma grfica:

Como un intervalo:

C.S. = [3, +)

b. Resuelve ( )

Aplique la propiedad distributiva de la

multiplicacin

Reste 6 a ambos lados

Divida entre -2 para despejar la incgnita, la

desigualdad cambia

Represente grficamente la solucin.

Exprese el C.S en forma de intervalo ] [

5

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Inecuacin que se puede escribir dela siguiente forma:

ax + b 0; a 0

Ejemplos:

a. 7x 3 0

b. 2 5x 0

c.

Estrategias para la Resolucin de Inecuaciones de Segundo Grado

Ejemplos:

a. Consideremos la inecuacin:

x2 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la ecuacin de

segundo grado.

x2 6x + 8 = 0

2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos

el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 6 0 + 8 > 0

P(3) = 32 6 3 + 8 = 17 18 < 0

P(5) = 52 6 5 + 8 = 33 30 > 0

3 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el

polinomio.

C.S. = (-, 2) (4, )

6

b. Resuelva: x2 + 2x +1 0

Solucin

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 0

Como un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin es

Conjunto Solucin

x2 + 2x +1 0 (x + 1)

2 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)

2 > 0

x2 + 2x +1 0 (x + 1)

2 0 x = 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)

2 < 0

c. Resuelva: x2 + x +1 > 0

Solucin

x2 + x + 1 = 0

Cuando no tiene races reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin.

Conjunto Solucin

x2 + x +1 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 0

x2 + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener

presente que el denominador no puede ser cero.

7

Ejemplos:

a) Resuelve:

Solucin

1 Hallamos las races del numerador y del denominador.

x 2 = 0 x = 2

x 4 = 0 x = 4

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las races del denominador,

independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fraccin

polinmica.

C.S. = (-, 2] (4, )

b) Resuelva:

Solucin

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a comn denominador.

8

Hallamos las races del numerador y del denominador.

x + 7 = 0 x = 7

x 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:

C.S. = (-, 2) (7, )

Ejercicios

1 Resolver las siguientes inecuaciones

a.

b.

c.

2 Resuelve el sistema:

3 Resolver las inecuaciones:

a. 1 7x2 + 21x 28 < 0

b. x2 + 4x 7 < 0

c.

4 Resuelve:

a.

b. x4 25x

2 + 144 < 0

c. x4 16x

2 225 0

9

5 Resolver las inecuaciones:

a.

b.

6 Resolver la inecuacin:

7 Resuelve:

4x2 4x + 1 0

8 Resuelve:

9 Halla los valores de k para los que las races de

la ecuacin x2 6x + k = 0 sean las dos reales y

distintas.

10 Resolver las inecuaciones de primer grado

a.

b.

c.

d.

e.

11 Resolver las inecuaciones de segundo grado

a. x2 6x + 8 > 0

b. x2 + 2x +1 0

c. x2 + x +1 > 0

d. 7x2 + 21x 28 < 0

e. x2 + 4x 7 < 0

f.

g. 4x2 4x + 1 0

h.

i. x4 25x

2 144 < 0

j. x4 16x

2 225 0

12 Resolver las inecuaciones racionales

a.

b.

c.

d.

10

e.

APLICACIONES:

1. Utididades: La compaa Durini fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un

costo unitario de $ 15. si los costos fijos son de $ 600,000, determine el nmero mnimo de unidades que la

compaa debe de vender para obtener utilidades.

2. Utilidades: Para producir una unidad de un producto nuevo, una compaa determina que el costo de

material es de $ 2.50 y el de mano de obra es de $ 4. el gasto general, sin importar el volumen de ventas es

de $ 5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7.40 por unidad, determine el nmero mnimo de

unidades que debe ser vendido para que la compaa obtenga utilidades.

3. Renta versus compra: una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de compra y

rentar un automvil. Ella puede rentar un automvil por $ 400 mensuales (con una base anual). Bajo este

plan el costo por kilmetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. si comprase el carro el gasto fijo anual sera de $

3000 ms $ 0.18 por kilmetro. Cul es el menor nmero de kilmetros que deber conducir por ao para

que la renta no sea ms cara que la compra.

4. Publicidad: El costo unitario de publicacin de una revista es de $ 0.65; se vende al distribuidor a $ 0.60

cada una y la cantidad que se recibe por publicidad es de 10 % de lo recibido por todas las revistas

vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor nmero de revistas que pueden ser publicadas sin

prdida (suponga que toda la emisin ser vendida).

5. Inversin: Una compaa invierte $30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de inters anual: 5 y

6.75%. Cul es la menor cantidad de dinero que de invertir a la tasa de 6.75%?

6. Asignacin de Produccin: Una compaa produce relojes despertadores. Durante una semana normal de

trabajo, el costo de mano de obra para producir un reloj es de $ 2.00, pero si es hecho en tiempo extra su

costo es de $ 3.00. El administrador ha decidido no gastar ms de $ 25,000 por semana en mano de obra.

La compaa debe producir 11,000 relojes esta semana. Cul es el nmero mnimo de relojes que deben

ser producidos en una semana normal de trabajo?

7. Asignacin de ventas: Un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. el

prximo mes el precio por unidad se incrementar en $ 0.50; el fabricante quiere que el ingreso total

recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750. Cul es el nmero mximo de

unidades que pueden ser vendidas en este mes.

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8. Sueldo por hora: A los pintores mayormente se les paga por hora o por obra terminada. El salario que

reciba puede afectar la velocidad con la cual trabaje. Por ejemplo, suponga que pueda trabajar por $ 8.50 la

hora, o por $ 300 ms $ 3 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas.

Suponga que el trabajo les toma t horas. Si 40t , claramente el sueldo por hora en mejor. Si 40t ,

para que valores de t el salario por hora es mejor?

9. Compensacin: Suponga que una compaa le ofrece un puesto de ventas y que usted elija dos mtodos

para determinar su salario. Un mtodo paga $ 12,600, ms un bono de 2% sobre sus ventas anuales. El

otro mtodo paga una sola comisin del 8% sobre sus ventas. Para qu nivel de ventas anuales es mejor

escoger el primer mtodo?

10. Concierto en el campus: La rectora de la universidad est planeando que un grupo de rock realice un

concierto en el campus. El precio por el concierto sera un pago nico de $ 2,440 o un pago de $ 1,000

ms el 40% de las entradas. Es probable que 800 alumnos asistan. A lo ms, Cunto podra cobrar la

rectora por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea ms elevada que el pago nico? Si se

cobra este mximo Cunto dinero deber de dejarse para publicidad, guardias y otros gastos del

concierto?