Tema n 1: DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRTICASObjetivos:

1. Reconoce y diferencia los conceptos de desigualdad e inecuacin.

2. Identifica las desigualdades en la recta numrica.Desarrollo del tema

Las desigualdades e inecuaciones reflejan las situaciones en las que se sobrepasa o no se llega a un valor determinado.Aparecen asociadas a la tendencia natural que tiene el ser humano en la bsqueda de lo mejor: mximo rendimiento, mnimo coste, mnimo tiempo; en definitiva, mxima utilidad esperada.

Conceptos: Una desigualdad es una relacin que establece una comparacin entre dos cantidades que no son iguales. Aparecen con un signo de desigualdad.Ejemplos de desigualdades:3 < 7

-2 > -5

x 2

x - 3 y Inecuaciones son desigualdades en las que aparecen letras y nmeros con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incgnitas de las inecuaciones.Ejemplos de inecuaciones:x 2, x-3 y,

x2 - 5x 4, xy-3 > 0De este modo sean a y b nmeros reales, se dice que a es menos que b o que a es mayor que b. Y se puede escribir:

a < b, significa que a b es negativo.

a > b, significa que a b es positivo.

a b, se lee a no es igual que bLos smbolos y se emplean para representar:a b, se lee: es menor o igual que b.

a b, se lee: es mayor o igual que b.

Dos nmeros o dos expresiones algebraicas relacionadas entre si por el signo , o por el signo , forman una desigualdad.

Con base a lo expuesto, queda claro que si a y b son nmeros reales, entonces una y sola una de las siguientes expresiones es verdadera: a = b, a > b, a < b,

Las desigualdades:

a > b y c > d son del mismo sentido.

a > b y x < y son de sentido contrario.

Ejemplo de desigualdades del mismo sentido:

1) 3 > 2 y 7 > -20 2) 5 > 0 y 4 > -1

3) 4 < 8 y 2 < 5 4) -3 < 0 y -1 < 1

Miembros: Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresin que esta a la izquierda y el segundo miembro esta a la derecha del signo de desigualdad:

3 + 4 > 2 + 1

Trmino: Los trminos de una desigualdad son las cantidades que estn separadas de otras por el signo + .

Clases de desigualdades:

1) Desigualdad absoluta o idntica: Es aquella que se verifica para todos los valores reales de las letras que intervienen en ella.

x2 0, para cualquier valor asignado a la x siempre se cumple. As: si x = 2, entonces 4 0y si x = 3, entonces 9 02) Desigualdad condicional o inecuacin: As como las ecuaciones son igualdades que se satisfacen para algunos valores de sus incgnitas, las inecuaciones son ecuaciones que se satisfacen tambin para algunos valores de sus incgnitas.Hay inecuaciones de primer grado, segundo,, n-grados con una o mas incgnitas.Ejemplos: 6x 4 < 15, x2 + 7x + 2 0, x > 2y + 5, x2 + 5x + 6 0 3) Desigualdades Equivalentes: Cuando tienen el mismo conjunto solucin.Ejemplos: 2x 4 > x + 1

2x 4 > 4 + 1

Desigualdades y la recta numrica:

Los smbolos de desigualdad tienen una interpretacin geomtrica en la recta numrica real. Si

a < b, entonces a est a la izquierda de b; si c > d entonces c esta a la derecha de d.

Observamos que d esta entre a y b, si y solo si a < d y a < b, podemos expresar dicha condicin como: a < d < b, con lo que estamos diciendo que d es mayor que a pero menor que b.

Esto define un intervalo de la recta en la cual d puede adquirir distintos valores que estn entre a y b. A los nmeros a y b se les llama extremos.

Intervalos:Se pueden usar los smbolos de orden { , } para describir intervalos en la recta real. El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notacin de intervalos, o en notacin de conjuntos. Clases de intervalos:

Observacin: Para el intervalo abierto ( ), para , el intervalo cerrado [ ].Ejemplos:

Representar grficamente los intervalos a continuacin.

ACTIVIDAD PROPUESTAPRUEBA SUMATIVA

Nombre: _______________________________________

Nivel: _______________

Fecha: ____________________I. Parte. Llenar los espacios en blanco.

1) De ejemplo de intervalos. (abierto, cerrado, infinito)

_______________________ ( 5, 8 )_______________________ [ 7, 15 ]_______________________ ( - , + )2) Define el concepto de desigualdad: _______________________________________________ Una desigualdad es una relacin que establece una comparacin entre dos cantidades que no son iguales.3) Escriba tres smbolos utilizados en las desigualdades:

_______________________ _______________________ >_______________________ II. Parte. Represente grficamente y mediante intervalos los siguientes problemas.1) 2 < x < 6 ( -2, 6 )

2) 1 x < 2

[ -1, 2 )

3) x 5

[ 5, + )

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se resta un mismo nmero a cada miembro.Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Aadiendo un mismo nmero, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 59 + 2 > 5 + 211 > 7-2 > -6-2 -3 > -6 -3-5 > -9

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un nmero positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el trmino positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recproco de un nmero positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 712 * 3 > 7 * 336 > 2115 > -2515 5 >(-25) 53 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < - bn

Si -n es recproca de un nmero negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -153(-4) < (-15)(-4)-12 < 6064 < 8064 (-4) >80 (-4)-16 > -20

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2

Ejemplo:

7 < 1073 < 103343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -ba) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3

En el primer miembro, remplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo anlogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus trminos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2

Ejemplos:

-3 > -6(-3)3 > (-6)3-27 > -216-8 < -4(-8)2 > (-4)264 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aqullas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"Se puede escribir:

a = b + ca' = b' + c'a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < dInvirtiendo la segunda desigualdad y sumndola a la primera se tiene

a > bd > c

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d

Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,se obtiene: 2x < -4

RESOLUCIN DE DESIGUALDAD E INECUACIONES

Objetivos:

Identifica las propiedades de la desigualdad en la solucin de problemas.

Aplicar el lenguaje simblico y algebraico a la resolucin de problemas afectados de desigualdades.

Resolver una inecuacin es encontrar todas las soluciones, es decir, encontrar los valores de la variable que la verifican.Por ejemplo, resolver

1. multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por 5, obtenemos as la inecuacin equivalente: 2. restamos en los dos miembros 2x, obtenemos: 3. sumamos en ambos miembros 30: 4. dividimos los dos miembros por 38:. Por lo tanto la solucin es la semirecta ; grficamente sera: ACTIVIDAD PROPUESTA

PRUEBA SUMATIVA

Nombre: ________________________________

Nivel: _________________

Fecha: _______________________

I. Parte. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente grficamente una solucin.1) 4x 5 < 3x 7

4x 3 < + 5 7

x < - 2

intrvalo ( - , - 2)

2) x - 1/3 x

Tema: 1. ECUACIONES Y DESIGUALDADES SIMULTNEAS.

Son aquellas desigualdades e inecuaciones que tienen soluciones comunes.

Ejemplos:

1) x 2 > 6 y 3x + 4 > 10

x > 6 + 2

3x > 10 - 4

x > 8

3x > 6

x > 6/3

x > 2

2) 5x 4 > 7x -16

y

8 - 7x < 16 15x -7x + 5x > 4 - 16 -7x + 15x < 16 8

-2x < -12

8x < 8

x < 6

x < 1

2. DESIGUALDADES CUADRTICAS.Las desigualdades cuadrticas se resuelven utilizando los mtodos de solucin de ecuaciones cuadrticas.

Se le llaman desigualdades cuadrticas o de segundo grado con una incgnita a aquellas desigualdades o inecuaciones enteras de grado dos (2), tales que sean equivalentes a una ecuacin de una de las formas siguientes:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0

ax2 + bx + c 0

donde a, b, c R, a 0 y x es la incgnita.Ejemplo #1:

Resuelva x2 < x + 6Solucin:

x2 6 x < 0

x2 x 6 < 0

factorizando (x 3)(x + 2) < 0

luego los puntos crticos son x 3 = 0 y x + 2 = 0

as x = 3 y x = -2

Es conveniente tabular los resultados como sigue:IntervaloValor de PruebaSigno

(x-3)Signo

(x+2)Producto

(x-3)(x+2)

x < -2- 3--+

-2 < x < 30-+-

x > 34+++

El signo encerrado en circulo indica el intervalo solucion de la desigualdad. -2 < x < 3 (-2, 3)

Ejemplo #1:

Resuelva 3x2 +10x 8

Solucin:

3x2 +10x 8

3x2 +10x - 8 0

(3x 2) (x + 4) 0

Puntos crticos:

3x 2 = 0

y

x + 4 = 0

3x = 2

x = -4

x = 2/3

IntervaloValor de PruebaSigno

(x-3)Signo

(x+2)Producto

(x-3)(x+2)

x -4- 5--+

-4 x < 2/30-+-

x > 2/31+++

Nota: Cada vez que en la desigualdad cuadrtica aparezca el signo hay que verificar los valores crticos e incluirlos y excluirlos en la solucin.ACTIVIDADI. Resuelve las desigualdades y exprsala en intervalos:

1) 5/x <

2) 5x 6 x - 43) 3x 11 < 7

3x + 5

4) 4 - 3 2 - 7xx

II. Ordenar el siguiente problema sin omitir pasos. ____ x2 + 3x 10 < 0

____ x = - 5 x = 2

____ (-5, 2)

____ (x + 5) ( x 2) < 0

____ x2 < 10 3x

____

____ x + 5 = 0 x 2 = 0

IntervaloValor de PruebaSigno

(x+5)Signo

(x-2)Producto

(x+5)(x-2)

x < -5- 6--+

x > 23+++

-5 < x < 2-1+--

____ Otros problemas:

ACTIVIDAD SUMATIVA

Nombre: ___________________________

Nivel: __________

Fecha: _____________________________

I. Ordenar el siguiente problema.

____ x - 3 = 0 x + 2 = 0

____ - 2 < x < 3

____ x2 - x 6 < 0

____ x = 3 x = - 2

____ (-2, 3)

____ ____ x2 < x + 6

____ (x - 3) ( x + 2) < 0

____

IntervaloValor de PruebaSigno

(x+5)Signo

(x-2)Producto

(x+5)(x-2)

x < -23--+

-2 < x < 30-+-

x > 3 4+++

____

Conceptos.

Clases de desigualdades.

Desigualdades y la recta numrica.

Propiedades.

Resolucin de desigualdades.

Desigualdades Simultneas.

Desigualdades cuadrticas.

Desigualdades racionales.

Valor absoluto.

Aplicaciones.

DESIGUALDADES NO LINEALES O RACIONALESResultados de aprendizaje:

Halle el conjunto solucin de una desigualdad no lineal en la solucin de problemas.

Una desigualdad racional, contiene una expresin racional de una variable. El mtodo de resolucin es similar al utilizado para las desigualdades cuadrticas.

Los nmeros crticos de la desigualdad son los nmeros para los que numerador o denominador de la expresin racional de la izquierda es igual a 0.Ejemplos:

Resolucin de desigualdades no lineales:

IntervalosValor de la pruebaSigno 2x + 10Signo x + 2Signo

(2x + 10)(x + 2)

x < -5-6--+

-5 < x < -2-3+--

x > -20+++

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTOResultados de aprendizaje:

Resuelva desigualdades con valor absoluto aplicando las correspondientes.

Halle el conjunto solucin de una desigualdad con valor absoluto aplicando las desigualdades.El valor absoluto de un nmero real se denota por / a / y se define como sigue:Sea a un nmero real, su valor absoluto:

/ a / = +a, si a 0

-a, si a < 0

Recuerda que el valor absoluto de un nmero nunca puede ser negativo. As:

/ 8 / = 8,/ -13 / = 13 y / 0 / = 0Propiedades de los valores absolutos:

Sea b > 0, entonces: i) / a / < b - b < a < bii) / a / > b a > b bien a < -b

iii) / a / = 0 a = b bien a = -b

Las propiedades (ii) y (iii) se verifican si b = 0. Por tanto, si b > 0, entonces:

/ a / b -b a b

/ a / b a b o bien a -b

Ejemplos: / 3x 4 / < 5Solucin:

LOS NMEROS COMPLEJOS

Origen de los nmeros complejos: Aunque los nmeros reales resultan adecuados para muchos problemas matemticos y cientficos existe un serio defecto en el sistema cuando se procede a la solucin de algunas ecuaciones de segundo grado tales como la ecuacin x2 + 4 = 0, que no tiene solucin real, pues no existe ningn nmero real tal que x = + o - -4

Esto obliga a investigar una nueva clase de nmeros que tengan la posibilidad de resaltar negativos cunado se les eleve al cuadrado. A estos nmero se les denomina nmeros complejos que estn formados por los nmeros reales mas los nmeros imaginarios.El conjunto de los nmeros complejos esta formado por los nmeros reales + los nmeros imaginarios.

El conjunto de los nmeros complejosDefinicin: el conjunto de todos los nmeros de la forma a + bi donde a, b es R e i2 = -1, se denomina el conjunto de los nmeros complejos y se representa C; esto e/s:

C = { a + bi/ a, b R e i2 = -1}

Para el numero complejo a + bi, al numero a se le denomina parte real y al b parte imaginaria.

Ejemplos:

4 + 5i -8 + (-3)i

Parte real Parte imaginaria

Parte real Parte imaginaria

Cualquier numero +, tiene dos races cuadradas, una positiva y una negativa, distingue entre las dos races cuadradas, utilizando el concepto de raz cuadrada principal.Definicin: si p es un numero +, entonces la raz cuadrada principal de p, representada por -p, esta definida por -p = ip

Entonces siempre es posible representar la raz cuadrada de un nmero negativo como el producto de nmeros real y el nmero imaginario.

Ejemplos:

1) -2 = (-1)(2) = i 2

2) -4 = (-1)(4)

= 2i

3) -9 = (-1)(9)

= 3i

Ciertos tipos particulares de nmeros complejos se les dan nombres especiales como:

1- Nmeros reales a + 0i = a

2- Nmeros imaginarios puros 0 + bi = 0

3- Cero 0 + 0i = 0

4- Unidad imaginaria 1i = iEjemplos: observa cada expresin e indica el nombre especial:

1- 0 + 2i = imaginario puro

2- -2 = real

3- -8i = imaginario puro

4- 0i = cero

5- i = unidad imaginaria

6- -i = unidad imaginaria

7- -3i = nmero imaginario puro

8- 8 = nmeros reales

Nmeros complejos iguales y conjugados

Nmeros complejos iguales: dos nmeros complejos son iguales si y solo si, sus partes reales y partes imaginarias son iguales.

Es decir a + bi = c + di a = c y b = d

3 + yi = x + 4i x = 3 y y = 4

Dos nmeros complejos son conjugados si y solo si, son iguales sus partes reales y su parte imaginaria difieren nicamente en su signo algebraico:

a + bi es el conjugado de a b.

a b es el conjugado de a + bi.

Ejemplos: 3 + 7i es el conjugado de 3 7i.

-2 5i es el conjugado de -2 +5i

Unidad imaginaria: La unidad imaginaria es el nmero y se designa por la letra i. . Ejemplo: Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = 1

i3 = i

i4 = 1 Nmeros imaginarios: Un nmero imaginario se denota por bi, donde:

b es un nmero real.

i es la unidad imaginaria.

Nmeros complejos en forma binmica: Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica.

El nmero a se llama parte real del nmero complejo.

El nmero b se llama parte imaginaria del nmero complejo.

Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi, y se dice que es un nmero imaginario puro.

El conjunto de todos nmeros complejos se designa por:

Los nmeros complejos a + bi y a bi se llaman opuestos.

Los nmeros complejos z = a + bi y z = a bi se llaman conjugados.

Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Los nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. Para graficar un nmero complejo en el plano real, se tiene en cuenta que el eje de abscisas recibe el nombre de eje real (Re) y el eje de ordenadas, eje imaginario (Im). Y se representa:

Luego OPERACIONES DE COMPLEJOS EN FORMA BINMICASuma y resta de nmeros complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (5 + 2 i) + ( 8 + 3 i) (4 2i ) =

= (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i = 7 + 7i Multiplicacin de nmeros complejos

(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i ( 5 + 2 i) ( 2 3 i) =

=10 15i + 4i 6 i2 = 10 11i + 6 = 16 11iDivisin de nmeros complejos

ACTIVIDAD

A los nmeros complejos, tambin se les representa por letras tales como Z1, Z2, Z3. Para luego referirse a ellos en forma ms simple.Si Z1 = (2, 5) Z2 = (-3, 6) Z3 = (4, -7)Determinar:

a) Z1 + Z2b) Z3 Z1c) 2Z3 5Z2d) 3Z2 + Z1e) Z3 Z1Si Z1 = (1, -5) Z2 = -10 i Z3 = (-2, 3)

Z4 = -1 -7i

Determinar:f) Z4 (Z2 Z1) g) Z3 : Z2Si Z1 = -3 + 4i Z2 = 5 2i Z3 = 7iDeterminar:h) Z2 / Z1i) Z2 -1j) Z1 + Z4 5Z2

Recordemos! Primero: intente resolver x2 + 9 = 0. Para darle sentido al origen de los nmeros complejos.

Luego localicemos nmeros propiamente escritos en su forma binmica que se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El nmero complejo a + bi se representa:

ZAhora bien, el mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

ACTIVIDAD

1. Complete la siguiente tabla.

Complejo zOpuesto -zConjugado de zMdulo /z/

1-5i

5+7i

-2+2i

25

2. Represente en una grafica las respuestas de cada uno de los nmeros complejos que tiene en la tabla anterior.3. Investigue y explique la definicin de argumento de z. Se recomienda discutir lo encontrado con sus compaeros. Agregue comentarios al texto.

Suba sus respuestas en texto de word a su espacio de edmodo.comObservacin: para la prxima clase traer calculadora cientfica.

Fecha de entrega: _________________________

ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJOEl argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresin de un nmero complejo en forma polar.

z = r|z| = r, donde r es el mdulo.

arg(z) = , dondees el argumento.

Ejemplos: Pasar a la FORMA POLAR.

z = 260

z = 2120

z = 2240

z = 2300z = 2

z = 20 z = 2

z = 2180 z = 2i

z = 290 z = 2i

z = 2270 Pasar a la FORMA BINMICA:

z = 2120

Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en primer lugar a la FORMA TRIGONOMTRICA:

r = r (cos + i sen )z = 2 (cos 120 + i sen 120)

Ejemplos: z =10 = 1

z =1180 = 1

z =190 = i

z =1270 = iFrmula de Moivre

La frmula de Moivre permite obtener de forma sencilla frmulas trigonomtricas que expresan el seno y el coseno de un ngulo mltiple en funcin del seno y coseno del ngulo simple. Para ello no hay ms que tener en cuenta la propia frmula de Moivre. Ample su informacin en http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/moivre.htmlPRCTICA:

EJERCICIOS DE NMEROS COMPLEJOS

1. Realiza las siguientes operaciones:

a)

b) c)

d)

2. Resuelve la siguiente raz, expresando los resultados en forma polar.

3. Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

4. Calcula, dando el resultado en forma polar.

5. Calcula el valor de , y representa los afijos de sus races cbicas.

6. Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:7. Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i

2 + 2i

8. determinar el mdulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonomtrica de los nmeros complejos:PRUEBA SUMATIVANombre: ___________________________

Nivel: __________

Fecha: _____________________________Valor total: ________________

Objetivos:

Discutir los resultados del ejercicio anterior y algunas dudas reflejadas.

Introducir el tema de las Identidades trigonomtricas.Sesin de aprendizaje 1: para complementar y discutir el ejercicio anterior se utilizarn los problemas dados de la prueba.Observe el siguiente ejemplo:

(Fuente: video nmeros complejos 01) 230 360 = 690 = 690 = 230

3120 1300 3420 360

A 420 le restamos 360 una vuelta completa, tomando en cuenta a 420 como un nmero mayor a pi y nos da igual a un ngulo menor a 360.Ahora en su forma trigonomtrica podemos escribir: 2 cos 30 + i sen 30Para convertir este nmero a su forma binmica solo basta con resolver el cos 30 que representa la parte real del nmero complejo y el sen 30 es la parte imaginaria al que le podemos observar la letra i.

As cos 30 = 3/2 y sen 30 = , luego se agrega el valor del mdulo: 2 (3/2) + 2()iFinalmente el numero complejo en su forma binmica es: 3 + iY si tenemos (260)3 = 23603 = 8180ORIGEN DE LA TRIGONOMETRA

La agrimensura y la navegacin son prcticas que, desde sus orgenes, han requerido el clculo de distancias cuya medicin directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el mbito de la astronoma. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometra; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relacin las medidas de los lados de un tringulo con las medidas de sus ngulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaa hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcacin hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medicin directa; en cambio, el ngulo que forma la visual dirigida a un accidente geogrfico, o a un punto de la bveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida segn la horizontal), acostumbra ser fcil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometra es establecer las relaciones matemticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un tringulo con las medidas de las amplitudes de sus ngulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

La palabra trigonometra proviene del griego tr = tres, gonon = ngulo y metria = medida.Estos recursos nos ayudarn a resolver problemas como el siguiente: Cmo medir el ancho de un ro sin cruzarlo?. Supongamos que se tienen aparatos para medir distancias y para medir ngulos pero no se puede cruzar el ro. Adems la orilla es escarpada y slo es posible moverse perpendicularmente al ro, donde hay un camino. Cmo medir el ancho del ro?.

Este y otros problemas similares han podido ser resueltos desde la antigedad utilizando las relaciones trigonomtricas entre los ngulos y los lados de los tringulos. En esta Unidad tambin recordaremos algunas de ellas.Razones trigonomtricas en un tringulo rectnguloLas razones trigonomtricas de un ngulo agudo se definen en funcin de los lados de ese tringulo y son independientes de su tamao. Las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente del ngulo agudo de un tringulo rectngulo como el de la figura, en el que el ngulo B=90, b es la hipotenusa, y a y c son los catetos, se definen:

Si se aumenta el tamao de los lados del tringulo prolongndolos y trazando rectas paralelas al lado a se obtienen tringulos semejantes al anterior y, por tanto, las razones trigonomtricas del ngulo A siguen siendo las mismas, dependiendo slo de su amplitud (en grados o en radianes). Con Descartes vamos a poder comprobar esta propiedad.

En Trigonometra es fundamental identificar el ngulo recto del tringulo rectngulo que se forma, la Hipotenusa, y el carcter Opuesto o Adyacente de los dos lados restantes.Funciones Trigonomtricas (sen , cos , tg )Considerando el ngulo a y los lados que se indican en la figura el sen a, el cos a, y la tg a, se calculan de la siguiente manera:Ejemplo 1: Cmo calcularamos el seno, el coseno y la tangente del ngulo a si los catetos tienen los valores que se indican en la grfica?

Considerando ahora el ngulo ,el sen , el cos , y la tg , se calculan con las mismas definiciones, solo cambian las designaciones de opuesto y adyacente de los catetos :

Ejemplo 2: Cmo calcularamos ahora el seno, el coseno y la tangente del ngulo b del ejemplo anterior?

Funciones: cotg a, sec a, cosec aConsiderando el ngulo a y los lados que se indican en la figura la cotg , la sec , y la cosec , se calculan de la siguiente manera:

PRUEBA SUMATIVANombre: ___________________________

Nivel: __________

Fecha: _____________________________Valor total: ________________

Calcule la razn de la funcin seno, coseno y tangente.

Criterio a evaluar:

El calculo de la razn de cada funcin: seno, coseno y tangente de cada triangulo. Cada calculo correctamente tiene un valor de 2 puntos cada uno.Sesin de aprendizaje 2: Identidades trigonomtricas.

Introduccin: Las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran funciones trigonomtricas. Estas identidades son siempre tiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonomtricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ngulos para los cuales estn definidas estas razones.Las identidades trigonomtricas nos permiten plantear una misma expresin de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorizacin, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonomtricas utilizaremos estas tcnicas en conjunto con las identidades trigonomtricas.Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonomtricas, debemos conocer algunos trminos que usaremos bastante en trigonometra, que son las tres funciones ms importantes dentro de esta. El coseno de un ngulo en un tringulo rectngulo se define como la razn entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra funcin que utilizaremos en trigonometra es seno. Definiremos seno como la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un tringulo rectngulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemtica puede que tenga dos significados distintos. En geometra se utiliza el trmino de recta tangente, pero a nosotros en trigonometra nos interesa otro trmino que es el de tangente de un ngulo, el cual es la relacin entre los catetos de un tringulo rectngulo, lo mimo que decir que es el valor numrico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ngulo.

Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ngulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recprocas:

A partir de las relaciones pitagricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonomtricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un tringulo rectngulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ngulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitgoras es un teorema que se aplica nicamente a tringulos rectngulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un tringulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de Pitgoras:

Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solucin utilizando las identidades recprocas:

Observemos tambin el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solucin:

Otra de las identidades trigonomtricas sera la de divisin:

Para trabajar en casa y en el aulaPRUEBA SUMATIVA

Nombre: ___________________________

Nivel: __________

Fecha: _____________________________Valor total: ________________

1. Demuestre las siguientes identidades trigonomtricas, utilizando las frmulas dadas en clase.tan2x cosx + cos2x = 1

tan2x + tanx cotx = sec2x

2. Aplicaciones de la trigonometra a la Fsica.

Determine la altura de un edificio s un observador que se encuentra a 40 m de la su base, si para mirar la azotea debe elevar la vista un ngulo de 55.

ngulos de depresin y de elevacin:http://trigonometriatotal.blogspot.com/2012/01/angulos-de-elevacion-y-depresion-teoria.htmli22

i22 = (i4)5 i2 = 1

i27 = i

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

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40 m

55

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