1

I CALCULO INTEGRAL

I.1.-LA DIFERENCIAL.- La notación para la derivada de una función y = f(x) es

y´ = = f ´(x)

en donde el símbolo representa el límite del cociente cuando 0. De la

expresión de derivada podemos definir:

dx, leído diferencial de x, por, la relación dx = dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f ´(x) dx

hay que considerar que por definición, la diferencial de una variable independiente (dx) es igual a su incremento ( ). Sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función ( dy ) no es igual a su incremento ( )

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente. Cuando el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y son aproximadamente iguales.

dy = f ´(x) dx

Geométricamente, se puede demostrar lo afirmado anteriormente:

Sea y = f (x ) la función y su derivada f ´(x), que se identifica con el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente es = dx = PB, por la definición de diferencial resulta:

y = f (x )

2

dy = f ´(x) dx

Si el valor de la derivada en cualquier punto es la pendiente de la tangente, se tiene:

dy = f ´(x) dxdy = tg ( PB )

en la gráfica se tiene que tg =

dy = ( PB ) de donde

dy = BC representa el incremento de la ordenada correspondiente a dx

EJEMPLOS:

a) Hallar la diferencial para la función y = ax3 dy = f (x) dx = 3ax2dx.

b) Si y = x3 + 2x2 – x; entonces: dy = = f (x) dx = ( 3x2 + 4x – 1 ) dx

c) Calcular la diferencial de la función y = para x = 5 y = dx = 0.05

dy = f (x) dx = dx = dx

dy = (0.05)

dy = (0.05)

dy = 0.09375

d) Calcular el valor aproximado para .

Seay = { la función representativa de x = 25dx = = 2 { incremento de x para tener

dy = = ; dy = 0.2

Si y = = = 5 y = y + dy = 5 + 0.2 = 5 + 0.2

= 5.2 Valor aproximado de

e) Calcular el volumen aproximado de una cáscara esférica de 300 mm. de diámetro exterior y 1.5 mm. de espesor.

3

SeaV =

r = 150dr = = - 1.5 { Grosor de la concha esférica }

dV = 4r2 dr = 4 ( 150 )2 ( - 1.5 ) ;

dV = 135 000 mm3 Volumen aproximado de la concha esférica ( mm3 )

f)Determinar el incremento del área de un cuadrado de 6 pulgadas de lado, al aumentar el

lado de pulgada.

SeaA = x2

x = 6 pulgadas

dx = x = { Aumento del lado del cuadrado }

dA = 2x dx = 2 ( 6 ) ( );

dA = = 0.375 pulg.2 Incremento de área de 0.375 pulgadas cuadradas.

EJERCICIOS I:

1) Determinar la diferencial en cada caso:

a) y =x3 - 3x

b) y =

c) y = d) y = x e) s = a e bt

f) u = ln cv

g) = sen ah) y = ln sen xi) = cos j) s = e t cos tk) Si x2 + y2 = a2 ; demostrar que

dy = -

2) Aplicando el concepto de diferenciales, resuelve los problemas que se plantean :

a) Calcular el valor aproximado de:a) b) c)

b) Hallar el valor aproximado del incremento de y en y = x3 cuando x pasa de 5 a 5.01

c) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un cuadrado cuando su lado varía de 8 cm. a 8.01 cm. ( A = l2 )

4

d) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un disco metálico que se dilata con el calor si su radio aumenta de 5 cm. a 5.01 cm. ( A = r2 )

e) Si el radio de un globo esférico varía de 8 cm. a 8.1 cm.; determinar el

crecimiento aproximado de su volumen ( V = r3 )

f) Un balín de hierro de 9 cm. de radio, por su uso sufre un desgaste hasta que su radio queda de 8.72 cm. Hallar la disminución aproximada de su volumen.

g) Una bola de hielo de 10 cm. de radio se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8 cm; hallar el valor aproximado de la disminución de su volumen.

h) Calcular el volumen aproximado que se necesita para construír una pelota de caucho si el radio del núcleo hueco debe ser de 2 pulgadas y el espesor del caucho

es de de pulgada.

i) Determinar el área aproximada de la disminución de una quemadura cuando el radio disminuye de 1 centímetro a 0.8 centímetros.

j) Un tumor esférico en el cuerpo de una persona tiene un aumento en el radio de 1.5 centímetros a 1.6 centímetros. ¿ Cuál es el incremento aproximado en su volumen ?

I.2.- INTRODUCCION.- El cálculo integral está relacionado con el cálculo diferencial de manera semejante a la relación que hay entre la resta y la suma, la división y la multiplicación, la radicación y la potenciación, etc. El cálculo integral es sólo lo contrario del cálculo diferencial.

Si y = x4, se tiene que dy = 4x3dx. Si se tiene ahora 4x3dx y queremos integrarlo, la expresión completa sería:

Llamaremos a x4 la función primitiva, al diferenciarla (es decir, derivarla), tendremos la diferencial de esa función primitiva. Si tomamos la diferencial de la función y la integramos tendremos la función primitiva.

En resumen, en cálculo integral siempre se nos dará la diferencial de una función primitiva y nos pedirán encontrar la función primitiva. Dada la diferencial de una función, hallar la función.

EJEMPLOS

FUNCION PRIMITIVA FUNCION DERIVADA INTEGRAL

5

Constante de integración.- Consideremos ahora las siguientes funciones primitivas y sus diferenciales:

1) ( x4 ) d( x4 ) = 4x3dx2) ( x4 + 1 ) d( x4 + 1 ) = 4x3dx3) ( x4 + 5 ) d( x4 + 5 ) = 4x3dx4) ( x4 + b ) d( x4 + b ) = 4 x3dx

Se observa que en los cuatro casos el resultado es el mismo, si se pide (que se lee integrar 4x3dx ), se tendrán dudas para elegir la respuesta acertada; para tal caso, lo que se hace es agregar una letra “c” llamada CONSTANTE DE INTEGRACIÓN, que en el primer caso vale cero, en el segundo vale uno, en el tercero cinco y en el cuarto b. Debe tenerse en mente que hay que agregar esa letra c por si en la diferencial que se trabaje ha sido eliminada una constante. Hay que recordar que d( c ) = 0. El diferencial dx en una integración, indica que la variable de integración es la x.

EJERCICIOS II:

1) Encontrar la integral de las funciones que se proporcionan (El cálculo se realiza mediante ensayo y error).

a) y = x

b) y = x + 3

c) y = 1

d) y = 5

e) y = 2x

2) Demostrar que las expresiones de cada inciso son válidas

a) = x3 + x2 - 5x + c b) = y sen y +

c) = ex + cd) = + c

La integración es de gran importancia por su aplicación en el cálculo de áreas, volúmenes, trabajo, energía, etc.

Como un adelanto, se ejemplifica la utilidad de la integración en el cálculo de áreas y se comprueban los resultados mediante métodos geométricos. Para esto, téngase en cuenta que:

1) Calcular el área limitada por y = x entre x = 0; x = 1. donde a = 0; b = 1

Geométricamente el cálculo es:

= =

0EJERCICIOS III

1) Para los incisos b), c), d) y e) del ejercicio II.1), calcula el área de cada caso con los límites que se proporcionan a continuaciónb) x = 0; x = 3.

c) x = 0; x = 1

d) x = 2; x = 4

e) x = 0; x = 2

I.3.- REGLAS DE INTEGRACION.- El cálculo de integrales es un procedimiento de ensayo, para facilitarlo existen tablas de integrales inmediatas, analicemos el siguiente ejemplo:

d ( 3 - x2 )2 = 2 ( 3 - x2 ) ( -2x dx ) y simplificarlo se tiene d( 3 - x2 )2 = -4x ( 3 - x2 ) dx, pero si se presenta la integración siguiente no se puede decir que la contestación sea ( 3 - x2 )2 porque al comparar ( 3 - x2 ) x dx con ( 3 - x2 ) ( -4x dx ) se ve que no son iguales, pues la segunda expresión tiene un –4 que en la primera no existe. Esto

significa que hay que analizar si se tiene una diferencial, o sea, ver si no sobra o falta algo para poder hacer la integración.

Estos principios fundamentales sirven para iniciar el cálculo de integrales mediante fórmulas de integración inmediata, de las que la primera es:

para n - 1 (1)

Para poder aplicar esta fórmula, hay que desarrollar los siguientes pasos:

1. Poner en forma de factores los términos que contienen la variable.2. Sacar fuera del signo de integración los factores que sean constantes (escribirlos a la

izquierda del signo de integración), y multiplicar el resultado de la integración si están multiplicando o dividir si están dividiendo.

3. Diferenciar la base del término mas complicado (u) que está afectada por el exponente (n); lo que sobre será la diferencial.

4. Comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio.5. Si faltan o sobran constantes y/o signos, multiplicar la diferencial por la constante

y/o signos que falten y dividir por la misma cantidad para no alterar la expresión.6. Aplicar la fórmula.7. Simplificar si es necesario.

EJEMPLOS

1) :1. No se realiza2. No se realiza3. d( y ) = dy4. Se hace la comparación5. No se realiza

6.

7. No hay reducción

2)

1.2.3. d ( a2 - bx4 ) = -4bx3dx4. Al comparar –4bx3 dx con x3 dx nos falta –4b

5.

6.

7.

Debe observarse que cuando n =-1; el denominador y el exponente en el numerador del resultado se hacen cero, lo que equivale a una división indeterminada. Lo anterior significa que para n = -1, la fórmula no es válida. Para reafirmar lo anterior se proponen los siguientes:

EJERCICIOS IV

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)La siguiente formula es:

(2)

La presente fórmula es la que se utiliza cuando n = - 1. Los pasos a realizar son los mismos del caso anterior.

EJEMPLOS

1)

1.2.3. d ( 2 - 3x ) = -3dx4. Comparando falta –3

5. -

6. -

7. No hay reducción

2)

1.2.3. d ( a2 - 3t2 ) = -6t dt4. Comparando falta –6

5.

6.

7. No hay reducción

Para reafirmar lo visto, se plantean los siguientes:

EJERCICIOS V

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 9)

10)

Dos fórmulas mas de integración inmediata son:

(3) y (4)

donde “e” y “a” son constantes. La a será cualquier constante y la e es una constante única. Para aplicar estas dos fórmulas, se siguen los pasos ya descritos, variando únicamente el tercero que queda de la siguiente forma:

3) “Diferenciar el exponente de la constante”

EJEMPLOS

1)

1.2.3. d ( - 3x ) = -3 dx4. Falta el –3

5.

6. -

7. No hay reducción

2) 1. No se realiza2. No se realiza3. d ( x3 ) = 3x2 dx4. Falta el 3

5.

6.

7.

EJERCICIOS VI

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Uso de la fórmula:

(5)

Esta fórmula señala que hay que integrar una suma de diferenciales. Los pasos explicados con anterioridad nos indican que “al comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio nos sobran o faltan CONSTANTES etc.”, pero cuando nos sobran o faltan VARIABLES hay que hacer las operaciones primero.

Veamos dos ejemplos parecidos:

Tercer paso

d ( x2 - 1) = 2x dx d ( x2 – 1 ) = 2x dx

Cuarto paso

Al comparar, en el ejemplo de la izquierda falta 2x mientras que en el de la derecha sólo falta el 2. En el de la izquierda se hace la operación (desarrollo del cuadrado de un binomio) mientras que en el otro, se continúa aplicando los pasos indicados.

Generalmente, las operaciones a ejecutar que con mayor frecuencia se presentan son:

1) Producto de dos o mas factores2) Productos notables3) Quebrados cuyo denominador consta de un solo término

4) Quebrados cuyo denominador consta de dos o mas términos

EJERCICIOS VII

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Las siguientes formulas son:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Para aplicar los pasos descritos con anterioridad, es necesario cambiar el primer paso por lo siguiente: “poner en forma de cuadrados los términos del denominador”. Recordando que si son cuadrados perfectos se les saca raíz y se expresa elevando al cuadrado, si no la tiene, se deja indicado.

EJEMPLOS

1)

1.

2. No se realiza3. d ( 4x ) = 4 dx4. Falta un 4

5.

6.

7. No hay simplificación

2)

1.

2. No hay constante que sacar3. d ( x ) = dx4. No falta nada5. No se realiza

6.

7. No se realiza

Resuelve los siguientes:EJERCICIOS VIII

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Las fórmulas siguientes se han separado de las anteriores porque se diferencian de ellas en que no son una expresión en forma de quebrado:

(13)

(14)

(15)

Para la aplicación de estas fórmulas, se efectúa el mismo proceso ejecutado en las fórmulas 6 a 12.

EJERCICIOS IX

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)8)

9)

10)

II INTEGRACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS

II.1 INTRODUCCION.- Para resolver integrales con diferenciales trigonométricas, se encuentra la solución de algunos problemas donde se utilizan las fórmulas iniciales mediante los siguientes

EJEMPLOS:

1)

4. Falta el 6

2)

4. Le falta –a

Resuelva los siguientes:

EJERCICIOS X

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

II.2 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.- Otras fórmulas de integración para diferenciales trigonométricas son las siguientes:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Para la aplicación de las fórmulas anteriores, hay que tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

1. Siempre hay que diferenciar el ángulo para el paso número cuatro de los problemas pasados

2. Es muy común el uso de identidades trigonométricas3. Si en el denominador hay binomios, en ocasiones se puede multiplicar

tanto denominador como numerador por el conjugado del denominador para luego separar integrales

4. Si el denominador sólo tiene un término, se pueden usar en algunos casos las identidades trigonométricas inversas

5. Si se tienen productos de funciones o productos notables, se desarrollan y se separan integrales

EJEMPLOS

1)

3. Diferenciando el ángulo se tiene d ( 3x ) = 3 dx

4. Comparando falta el 3

5.

6. -

2)

Por identidades

Por lo que

Aplicando fórmula

EJERCICIOS XI

1)

2)

3)

4)5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Además, se presentan los siguientes casos de integrales con diferenciales trigonométricas:

II.3 DIFERENCIALES QUE CONTIENEN POTENCIAS IMPARES DE SENOS Y/O COSENOS.- Para este tipo de problemas, se recomiendan los pasos siguientes:

1. Descomponer la potencia impar en una par y otra impar elevada a la unidad2. Transformar la potencia par con las identidades:

sen2 x = 1 - cos2 x; cos2 x = 1 - sen2 x3. Efectuar las operaciones resultantes y separar integrales4. Integrar cada integral y simplificar

EJEMPLOS1)

2)

Resuelve los siguientes:EJERCICIOS XII

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

II.4.- DIFERENCIALES QUE CONTIENEN POTENCIAS PARES DE

SENOS Y/O COSENOS.- En este tipo de problemas, las potencias pares se descomponen con las identidades:

Todo lo demás es igual al caso anterior.

EJEMPLOS1)

2.

2)

4. d (4 y ) = 4 d y

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS XIII

1)

2)3)

4)5)

6)

7)

8)

9)

10)11)

12)

II.5.- DIFERENCIALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y/O COSENOS QUE TIENEN ANGULOS DIFERENTES.- El procedimiento es el mismo de los casos anteriores. Las identidades que se utilizan son:

a) sen x cos y = [ sen ( x – y ) + sen ( x + y ) ]

b) sen x sen y = [ cos ( x – y ) – cos ( x + y ) ]

c) cos x cos y = [ cos ( x – y ) + cos ( x + y ) ]

d) sen ( -x ) = - sen x

e) cos ( - x ) = cos x

EJEMPLOS

1) sen 3x sen 2x dx

Aplicando la formula (b)

[ cos ( 3x - 2x ) – cos ( 3x + 2x ) ] dx

( cos x – cos 5x ) dx

cos x dx - cos 5x dx

= sen x - sen 5x + c

2) sen 3y cos 5y dyAplicando (a)

[ sen ( 3y - 5y ) + sen ( 3y + 5y ) ] dy

[ sen ( - 2y ) + sen 8y ] dy

Aplicando (d)

- sen 2y dy + sen 8y dy

= cos 2y - cos 8y + c

EJERCICIO XIV

1) 2)3) 4) 5)

6)7)8)9)10)

II.6.- INTEGRACION DE DIFERENCIALES DE TANGENTES Y/O SECANTES.- El proceso es similar al de senos y/o cosenos de potencias impares o pares. Hay que considerar las siguientes recomendaciones para cuando son tangentes:

1. Separar una potencia par de la tangente2. Transformar esta potencia par con la identidad 3. Continuar con los pasos ya indicados

Si son secantes, hay que recordar que sólo potencias pares de secantes son integrables por este método. Para las potencias impares hay otros métodos. Sin embargo, en algunos casos resulta la integral

(fórmula que se demostrará

en integración por partes).

EJEMPLOS1) tan5 x dx

1. tan3 x tan2 x dx2. tan3 x ( sec2 x – 1 ) dx3. tan3 x sec2 x dx - tan3 x dx

d ( tan x ) = sec2x dx

tan2x dx

( sec 2 x – 1 ) dx

sec 2 x dx + dx

2)

3)

Resuelve los siguientes:

EJERCICIO XV

1)2)3)

4)

5)

6)

7)

8)

II.7.- INTEGRACION DE DIFERENCIALES DE COTANGENTES Y/O COSECANTES.- El procedimiento es semejante al anterior y la identidad a utilizar será:

EJEMPLOS

1) cot3 2x dxcot 2x cot2 2x dxcot 2x ( csc2 2x – 1 ) dxcot 2x csc2 2x dx - cot 2x dx

d ( cot 2x ) = - 2csc2 2x dx; d ( 2x ) = 2 dx

EJERCICIO XVI

1)

2)

3)

4)

5)

6)