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1 Elementos de geometrıa analıtica 21.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Distancia en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Distancia en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Division de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Angulo de inclinacion y pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Conicas 242.1 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Ecuacion general de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Posiciones relativas de una circunferencia y una recta en el plano . . . . . . 292.1.3 Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano . . . . . . . . . . . . 30
2.2 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Ecuacion general de la parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Ecuacion general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 La Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.1 Ecuacion general de la hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Coordenadas Polares 583.1 Transformacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Polares a rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Rectangulares a polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Ecuaciones en coordenadas rectangulares y polares . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Trazado de curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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Capıtulo 1
Elementos de geometrıa analıtica
1.1 Introduccion
La Geometrıa Analıtica, es la rama de las matematicas, en la cual se unen la Geometrıa Planay el Algebra, es decir, es la que estudia las figuras geometricas usando un determinado sistema decoordenadas y su objetivo es resolver problemas geometricos usando metodos algebraicos, dondelas coordenadas se pueden representar mediante grupos numericos y las figuras por ecuacionesdel tipo f(x, y) = 0.
Los sistemas de coordenadas pueden ser el sistema de coordenadas rectangulares (o carte-sianas) o por coordenadas polares. En esta unidad, trabajaremos en el sistema de coordenadasrectangulares y en la proxima unidad, se trabajara en el sistema de coordenadas polares.
1.2 Sistema de coordenadas rectangulares
El Sistema de coordenadas rectangulares esta constituido por dos rectas perpendiculares, cuyainterseccion es el origen de dicho sistema. La recta horizontal es llamada Eje las abscisas, y larecta vertical es el Eje de las ordenadas. El par ordenado (x, y) representa a un punto en elsistema o plano.
2
Un punto P de abscisa x y ordenada y comunmente es denotado por
(x, y) o P (x, y).
1.3 Distancia entre dos puntos
1.3.1 Distancia en la recta real
Sean a, b ∈ R, se llama distancia entre los numeros a y b, denotada por d(a, b), a la cantidadd(a, b) = |a− b| =
√(a− b)2 ≥ 0.
Sean P1 y P2 dos puntos de la recta real, se llama distancia dirigida de P1 a P2 a la lon-
gitud del segmento que los une (−−→P1P2). Es decir, la distancia dirigida de P1 a P2 es d(P1, P2).
Analogamente, la distancia dirigida de P2 a P1 es d(P2, P1).
Ejemplo:
La distancia entre −2 y 3 es d(−2, 3) = | − 2− 3| =√
(−2− 3)2 =√
(−5)2 =√25 = 5.
Observacion 1.1 Si P1 y P2 son dos puntos de la recta real, entonces el segmento que los une
desde P1 a P2 es denotado por−−→P1P2 y se dice que la direccion de P1 a P2 es positiva, ahora bien,
el segmento que los une desde P2 a P1 es denotado por←−−P2P1 y es la direccion negativa u opuesta
a−−→P1P2. Ası −−→
P1P2 = −←−−P2P1.
De lo anterior se deduce que d(P1, P2) = d(P2, P1).
Observacion 1.2 Si P1 y P2 son dos puntos de la recta real y la distancia dirigida del origen aPi es xi, es decir d(O,Pi) = xi, con i = 1, 2, entonces
d(P1, P2) = d(O,P2)− d(O,P1) = x2 − x1 > 0.
3
1.3.2 Distancia en el plano
Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos cualesquiera del plano, entonces la distancia entre P1
y P2, denotada por d(P1, P2), es dada por:
d = d(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
En efecto
Del Teorema de Pitagoras, se deduce
(d(P1, P2))2 = (d(P1, Q))2 + (d(P2, Q))2
= (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2,
lo cual implicad(P1, P2) =
√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Notar que d(P1, P2) = d(P2, P1).
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos A(8, 2) y B(4, 5).
Solucion:
Aplicando la formula de distancia entre dos puntos, se tiene
d(A,B) =√
(4− 8)2 + (5− 2)2
=√
(−4)2 + (3)2
=√16 + 9
=√25
= 5.
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Graficamente, se tiene
1.4 Division de un segmento
Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son los extremos del segmento dirigido−−−→P1, P2, entonces las coordenadas
(x, y) del punto P que divide a este segmento en la razon k =P1P
PP2
son:
x =x1 + kx2
1 + k, y =
y1 + ky21 + k
, k = −1.
En efecto, considerando la figura tenemos que los triangulos △P1PB y △PP2C son seme-jantes, de modo que sus lados son proporcionales. Ası,
P1P
PP2
=P1B
PC=
PB
P2C.
Reemplazando el valor de los segmentos en terminos de x e y y teniendo en cuenta queP1P
PP2
= k,
se tiene
k =x− x1
x2 − x=
y − y1y2 − y
.
5
Considerando la primera igualdad para el caso de las abscisas, se obtiene
k =x− x1
x2 − x⇔ x− x1 = k(x2 − x)
⇔ x− x1 = kx2 − kx
⇔ x+ kx = x1 + kx2
⇔ x(1 + k) = x1 + kx2
⇔ x =x1 + kx2
1 + k.
Analogamente, para el caso de las ordenadas se tiene
k =y − y1y2 − y
⇔ y − y1 = k(y2 − y)
⇔ y − y1 = ky2 − ky
⇔ y + ky = y1 + ky2
⇔ y(1 + k) = y1 + ky2
⇔ y =y1 + ky21 + k
.
Ası, las coordenadas del punto P son
P (x, y) =
(x1 + kx2
1 + k,y1 + ky21 + k
).
Observacion 1.3
1. Las razones deben ser consideradas con su signo, ya que se esta trabajando con distanciasdirigidas.
2. Es aconsejable, verificar si la razon definida por k coincide con la formulada anterior-mente, en caso contrario, escribir directamente las coordenadas de las distancias dirigidasinvolucradas en la nueva razon.
3. Si el punto de division es externo al segmento dirigido, la razon k es negativa.
4. Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido P1P2 con P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
son x =x1 + x2
2e y =
y1 + y22
. En este caso, la razon de division es k = 1.
Ejemplos:
1. Determinar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son
P1(1, 3) y P2(4,−3) en la razon k =P1P
PP2
=1
2.
6
Solucion:
Este problema puede ser resuelto de dos formas:
a) Aplicando la formula P (x, y) =
(x1 + kx2
1 + k,y1 + ky21 + k
)a los puntos dados, se obtiene
P (x, y) =
(1 + 1
2· 4
1 + 12
,3 + 1
2· (−3)
1 + 12
)= (2, 1).
Por lo tanto, el punto es P (2, 1).
b) Escribiendo directamente las coordenadas respectivas de las distancias dirigidas in-volucradas en la razon, es decir
P1P
PP2
=1
2=
4− x
x− 1⇔ 4− x = 2(x− 1)
⇔ x = 2,
P1P
PP2
=1
2=
y − 3
−3− y⇔ −3− y = 2(y − 3)
⇔ y = 1.
Por lo tanto el punto es P (2, 1).
2. Los puntos extremos de un segmento son P1(2, 4) yP2(8,−4). Hallar el punto P (x, y) que
divide a este segmento en dos partes talesP2P
PP1
= −2.
Solucion:
7
Notar que la razon es negativa y que la direccion es de P2 a P1, luego usando la formulapara el punto P (x, y), se tiene
x =x2 + kx1
1 + k, y =
y2 + ky11 + k
.
Ası,
x =8 + (−2)(2)1 + (−2)
= −4, y =−4 + (−2)(4)
1 + (−2)= 12.
Por lo tanto el punto buscado es P (−4, 12).
8
3. Hallar el perımetro del cuadrilatero cuyos vertices sonA(−3,−1), B(0, 3), C(3, 4) yD(4,−1).
Solucion:
d(A,B) =√(0 + 3)2 + (3 + 1)2 =
√9 + 16 = 5,
d(B,C) =√(3− 0)2 + (4− 3)2 =
√10,
d(D,C) =√(4− 3)2 + (−1− 4)2 =
√26,
d(A,D) =√(4 + 3)2 + (−1 + 1)2 =
√49 = 7.
Luego, el perımetro del cuadrilatero es
d(A,B) + d(B,C) + d(D,C) + d(A,D) = 5 +√10 +
√26 + 7 = 12 +
√10 +
√26 ≈ 20, 25.
Ejercicio propuesto:
Los puntos A(−3,−2) y B(9, 8) determinan un segmento AB. Encontrar las coordenadas de:
1. El punto medio del segmento AB.
2. Los puntos de triseccion del segmento AB.
3. Las coordenadas del punto P que divide al segmento AB en la razonAP
PB=
2
3.
9
1.5 Angulo de inclinacion y pendiente de una recta
Definicion 1.1 Se llama Angulo de Inclinacion α de una recta L, al angulo que se formaentre el eje X en su direccion positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia arriba(0◦ ≤ α ≤ 180◦).
Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su angulo de inclinacion α, la cual sedenota por m. Es decir,
m = tan(α).
Observacion 1.4 De las propiedades de la funcion tangente se deduce que:
1. Toda recta paralela al eje X (o bien perpendicular al eje Y ) tiene pendiente cero, ya queen este caso α = 0◦ y tan(0◦) = 0.
2. Toda recta perpendicular al eje X (o bien paralela al eje Y ) no tiene pendiente, ya que eneste caso α = 90◦ y tan(90◦) no esta definida.
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Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta L. Entonces lapendiente de la recta L es
mL =y2 − y1x2 − x1
, con x1 = x2.
Observacion 1.5
1. El valor de m dado anteriormente no esta definido para x1 = x2, este caso corresponde auna recta paralela al eje Y , de la que se observo anteriormente, no tiene pendiente.
2. El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tieneimportancia, ya que
y2 − y1x2 − x1
=y1 − y2x1 − x2
, x1 = x2.
Ejemplo:
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−4,−2) y (−5,−3). Tambien hallarel angulo de inclinacion de dicha recta.
Solucion:
m =−3− (−2)−5− (−4)
=−3 + 2
−5 + 4=−1−1
= 1.
Ademas, ∠α = arctan(1) = 45◦.
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1.6 Angulo entre dos rectas
Sean L1 y L2 dos rectas que se intersectan. Entonces, si θ es el angulo formado por su interseccion,se tiene
tan(θ) =m2 −m1
1 +m2 ·m1
, m2 ·m1 = −1,
donde m1 es la pendiente de L1 y m2 es la pendiente de L2.
Ejemplo:
Dos rectas, L1 y L2, se cortan formando un angulo de 45◦. La recta L1 pasa por los puntos(−2, 1) y (9, 7) y la recta L2 pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es −2. Hallar laordenada de A.
Solucion:
m1 =7− 1
9− (−2)=
6
11y tan(θ) = tan(45◦) = 1 =
m2 − 611
1 + 611m2
,
despejando, se tiene
m2 =17
5.
Ademas
m2 =9− y
3− (−2)=
9− y
5,
por lo tanto9− y
5=
17
5⇒ y = −8.
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1.7 Paralelismo y perpendicularidad
Proposicion:Sean L1 y L2 dos rectas distintas (no verticales), con pendientes m1 y m2, respectivamente.
Las rectas L1 y L2 son paralelas sı y solo si m1 = m2. Esto es,
L1 ∥ L2 ⇔ m1 = m2.
Demostracion:Supongamos L1 ∥ L2. Entonces, si θ es el angulo formado entre ellas, se tiene que θ = 0 o
bien θ = 180◦. En ambos casos, se deduce
tan(θ) =m2 −m1
1 +m2 ·m1
= 0 ⇔ m2 −m1 = 0
⇔ m1 = m2.
Supongamos m1 = m2. Si θ1 es el angulo de inclinacion de L1 y θ2 es el angulo de inclinacionde L2, se tiene
tan(θ1) = tan(θ2),
y como θ1, θ2 ∈ [0, π], se tiene θ1 = θ2. En consecuencia, L1 ∥ L2.Proposicion:
Sean L1 y L2 dos rectas distintas, con pendientes m1 y m2, respectivamente. Las rectas L1 yL2 son perpendiculares (L1 ⊥ L2) sı y solo si m1 ·m2 = −1.Demostracion:
Sea θ el angulo formado por L1 y L2. Luego
L1 ⊥ L2 ⇔ θ = 90◦
⇔ cot(θ) =1 +m2 ·m1
m2 −m1
= 0
⇔ 1 +m2 ·m1 = 0
⇔ m1 ·m2 = −1.
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Ejemplos:
1. Considerar el triangulo isosceles de vertices P (−1, 4), Q(0, 1) y R(2, 5). Verificar que larecta que une P y el punto medio de la base QR es perpendicular a QR.
Solucion:
Sea M el punto medio de QR, entonces sus coordenadas son
xM =0 + 2
2= 1, yM =
5 + 1
2= 3,
de modo que la pendiente de la recta que contiene al lado PM es
m1 =3− 4
1−−1= −1
2.
Por otro lado, la pendiente de la recta que contiene al lado QR es m2 =5− 1
2− 0= 2. Ası,
m1 ·m2 = −1
2· 2 = −1,
y en consecuencia, se tiene que PM y QR son perpendiculares.
2. Verificar si los tres puntos P (−1,−5), Q(1, 3) y R(7, 12) son colineales (pertenecen a lamisma recta).
Solucion:
Sea L1 la recta que contiene a PQ. Entonces L1 tiene pendiente m1 =3− (−5)1− (−1)
= 4 . Si
R pertenece a L1, entonces la pendiente de la recta que contiene a RQ debe ser m1 = 4.
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Se observa que la pendiente de la recta que contiene a RQ es m2 =12− 3
7− 1=
3
2. Luego,
Como m1 = m2, se concluye que los puntos P , Q y R no son colineales.
3. Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A(6, 2), B(8, 6), C(4, 8) y D(2, 4)son los vertices de un rectangulo.
Solucion:
Considerando el cuadrilatero de lados AB, BC, DC y AD, como en la figura, se tiene
mAB =6− 2
8− 6= 2; mBC =
8− 6
4− 8= −1
2;
mDC =8− 4
4− 2= 2; mAD =
4− 2
2− 6= −1
2.
Como
mAB = mDC ⇒ AB ∥ DC,
mBC = mAD ⇒ BC ∥ AD,
mAB ·mBC = −1 ⇒ AB ⊥ BC,
mDC ·mAD = −1 ⇒ DC ⊥ AD.
Se deduce que el cuadrilatero tiene lados opuestos paralelos y los lados adyacentes perpen-diculares, por lo que se concluye que ABCD es un rectangulo.
1.8 La recta
Definicion 1.2 Una recta es el lugar geometrico de todos los puntos en el plano tales que, toma-dos de dos en dos, tienen la misma pendiente.
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1.8.1 Ecuacion de la recta
El objetivo de esta seccion es obtener las diferentes formas de representar la ecuacion de unarecta.
1. La recta L que pasa por el punto dado P1(x1, y1) y tiene pendiente m, tiene por ecuacion:
y − y1 = m(x− x1).
Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion punto-pendiente.
Ejemplo:
Determine la ecuacion de la simetral del segmento que une los puntos A(6, 2) y B(−1, 3).
Solucion:
mAB =3− 2
−1− 6= −1
7. Sea S la simetral de AB, entonces, dado que S es perpendicular a
AB en su punto medio, se tiene mS = 7. Ademas, las coordenadas del punto medio de ABson
xm =6 +−1
2=
5
2; ym =
3 + 2
2=
5
2.
Por lo tanto, la ecuacion de S es
y − 5
2= 7(x− 5
2) ⇔ 14x− 2y − 30 = 0
⇔ y = 7x− 15.
Luego, la ecuacion de la recta de la simetral pedida es y = 7x− 15.
2. Si se conocen dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que pertenecen a una recta L, entonces supendiente es
m =y2 − y1x2 − x1
, x1 = x2,
reemplazando en ecuacion punto-pendiente, se obtiene la ecuacion
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1), x1 = x2.
Esta expresion es llamada ecuacion punto-punto de la recta.
Ejemplo:
Determinar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, 5) y (−3, 1).
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Solucion:
Al sustituir los puntos en la formula, se obtiene
y − 5 =1− 5
−3− 1(x− 1) ⇔ y − 5 =
−4−4
(x− 1)
⇔ y − 5 = x− 1
⇔ x− y + 4 = 0.
Observacion 1.6 Si x1 = x2, la recta que pasa por los puntos P1 y P2 es paralela al eje Yy su ecuacion es dada por
x = x1.
3. Si se conoce la pendiente de una recta L y se escoge el punto particular (0, b) (punto dondela recta intersecta al eje Y ) como el punto P1, entonces, de la ecuacion punto - pendiente,se tiene que la recta L tiene ecuacion y − b = m(x− 0), es decir
y = mx+ b.
Esta ecuacion es llamdada ecuacion principal de la recta.
4. Si se escogen los puntos (a, 0) (punto donde la recta intersecta al eje X) y (0, b) (puntodonde la recta intersecta al eje Y ) como los puntos P1 y P2 de una recta L, se tiene de laecuacion punto-punto
y − 0 =b− 0
0− a(x− a)⇔ bx+ ay = ab,
si a = 0 y b = 0, entonces dividiendo por ab, se obtiene
x
a+
y
b= 1.
Esta ecuacion es llamada ecuacion simetrica de la recta.
Ejemplos:
1. Determinar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos P1(4, 2) y P2(−5, 7). Obtener,ademas, su pendientem, la interseccion con el eje Y y su ecuacion en su expresion simetrica.
Solucion:
Aplicando la ecuacion punto-punto, se tiene
y − 2 =7− 2
−5− 4(x− 4) ⇔ y − 2 = −5
9(x− 4)
⇔ 9y + 5x− 38 = 0.
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Al despejar la variable y, se obtiene que su ecuacion principal es
y = −5
9x+
38
9,
de la cual se aprecia que su pendiente es m = −5
9e intersecta al eje Y en el punto
(0,
38
9
).
Para obtener la forma simetrica, los terminos de la ecuacion 5x + 9y = 38 se dividen por38, de modo que
5
38x+
9
38y = 1⇔ x
385
+y389
= 1
es su expresion simetrica, con a =38
5y b = 38
9.
2. Determinar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (−1,−3) y es paralela a la rectaque pasa por los puntos (2,−1) y (5, 7).
Solucion:
La pendiente de la recta pedida es igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos(2,−1) y (5, 7). Ası,
m =7− (−1)5− 2
=8
3.
Aplicando la ecuacion punto-pendiente, se tiene
y + 3 =8
3(x+ 1)⇔ y =
8
3x− 1
3.
De modo que la ecuacion de la recta pedida es y =8
3x− 1
3.
3. Determinar el valor de la constante k para que la recta de ecuacion 4x+5y+ k = 0, formecon los ejes coordenados un tri’angulo rectangulo de area igual a 2, 5[u2].
Solucion:
La forma simetrica de la ecuacion dada es
4x
−k+
5y
−k= 1⇔ x
−k4
+y−k5
= 1.
18
De la cual se observa que la recta intersecta al eje X en el punto A = (−k
4, 0) y al eje Y en
el punto B = (0,−k
5). Como la recta forma con los ejes coordenados un triangulo △OAB
de area 2, 5[u2], se tiene
Area△OAB =1
2OA ·OB
=1
2
(−k
4
)(−k
5
)=
k2
40.
De modo quek2
40= 2, 5⇔ k2 = 100⇔ k = ±10.
Teorema 1.1 Toda ecuacion de la forma Ax+By+C = 0 donde A,B y C son constantes, con
A = 0 o B = 0 representa una lınea recta, donde m = −A
Bes su pendiente.
Esta ecuacion es llamada ecuacion general de la recta.
Ejemplo:
Determinar la forma general de la ecuacion de la recta que es perpendicular a la recta de ecuacion3x− 4y + 11 = 0 y que pasa por el punto (−1,−3).
Solucion:
De la recta de ecuacion 3x − 4y + 11 = 0 se tiene que m =−3−4
=3
4es su pendiente. Ası, la
pendiente de la recta pedida es −4
3y su ecuacion es
y + 3 = −4
3(x+ 1),
la cual en su forma general es dada por 4x+ 3y + 13 = 0.
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1.9 Distancia de un punto a una recta
La distancia d de un punto P1(x1, y1) a una recta L de ecuacion Ax + By + C = 0 es dadapor la formula
d =|Ax1 +By1 + C|√
A2 +B2.
Ejemplos:
1. Determinar el area del triangulo formado por la interseccion las rectas
L1 : 4x+ 7y + 9 = 0; L2 : x+ y = 0; L3 : −2x+ y − 9 = 0.
Solucion:
Al intersectar dos a dos las rectas L1, L2 y L3 se obtienen los vertices del triangulo. Ası,uno de sus vertices sera {A} = L1 ∩ L2, es decir, el conjunto solucion del sistema{
L1 : 4x+ 7y + 9 = 0,L2 : x+ y = 0.
20
De L2 se tiene que x = −y, de modo que al sustituir en L1, se obtiene la ecuacion
3y = −9,
de donde y = −3. Por lo tanto, x = 3 y se tiene el punto A(3,−3).Analogamente, de L2 ∩ L3 se obtiene el punto B(−3, 3) y de L3 ∩ L1 se tiene el puntoC(−4, 1).La altura en C, corresponde a la distancia del punto C a la recta L2 es
h =|1 · (−4) + 1 · (1) + 0|√
(1)2 + (1)2=
3√2.
La base BA del triangulo, corresponde a la distancia del punto A al punto B, la cual esdada por
d =√
(−3− 3)2 + (3− (−3))2 =√72 = 6
√2.
Por lo tanto, el area del △ABC es
Area△ABC =1
2(6√2 · 3√2
2) = 9[u2].
2. Determinar la distancia entre las rectas paralelas L1 : 3x−4y+6 = 0 y L2 : 3x−4y−14 = 0.
Solucion:
Se determina un punto arbitrario en una de las rectas. Si en L1, x = 0, se tiene que y =3
2.
Entonces el punto A
(0,
3
2
)pertenece a L1. Luego, la distancia entre L1 y L2 sera igual a
la distancia entre A y L2, la cual es
d =
∣∣3 · (0)− 4 · (32)− 14
∣∣√9 + 16
=20
5= 4.
21
Ejercicios propuestos
1. Demostrar que los puntos (−2,−1), (2, 2) y (5,−2) son los vertices de un triangulo isosceles.
2. Demostrar que los puntos (2,−2), (−8, 4) y (5, 3) son los vertices de un triangulo rectanguloy hallar su area. (Respuesta: Area = 34[u2]).
3. Demostrar que los tres puntos (12, 1) y (−3,−2) y (2,−1) son colineales.
4. Uno de los extremos de un segmento rectilıneo de longitud 5 es el punto (3,−2). Si laabscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada (Dos soluciones). (Respuesta (6, 2) y(6,−6))
5. Hallar la ecuacion de la recta cuya distancia al origen es 5 y que pasa por el punto (1, 7)(Dos soluciones). (Respuesta 4x+ 3y − 25 = 0 y 3x− 4y + 25 = 0)
6. Hallar los puntos de triseccion y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos
(−2, 3) y (6,−3). (Respuesta: Ptos.de trisec. P1(2
3, 1) y P2(
10
3,−1) Pto.medio: P (2, 0))
7. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar elotro extremo. (Respuesta B(1,−2))
8. Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(−1,−4). Hallar la razonAP
PBen
la cual punto P (1,−2) divide al segmento. (Respuesta K = 3)
9. Los puntos medios de los lados de un trianngulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar lascoordenadas de los tres vertices del triangulo. (Respuesta (3,−2), (5, 6) y (−1, 4))
10. Hallar la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos (−3, 2) y(7,−4). (Respuesta m = −1
2, α ≈ 163◦26′)
22
11. Demostrar por medio de pendientes, que los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) son losvertices de un paralelogramo.
12. Una recta de pendiente −2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenadade A es 3 y la abscisa de B es 6. ¿Cual es la abscisa de A y la ordenada de B? (RespuestaAbscisa de A 4 y ordenada de B -1)
13. Hallar los angulos interiores de un triangulo cuyos vertices son los puntos (−2, 1), (3, 4) y(5,−2). (Respuesta ∠A = 54, 162◦, ∠B = 77, 47◦, ∠C = 48, 36◦)
14. En el triangulo rectangulo de vertices en los puntos (2,−2), (−8, 4) y (5, 3). Demuestreque el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vertices.
15. En las ecuaciones de la rectas L1 : ax + (2 − b)y − 23 = 0 y L2 : (a − 1)x + by + 15 = 0,encuentre los valores de a y b para que L1 y L2 sean rectas que pasan por el punto (2,−3).(Respuesta a = 4, b = 7)
16. Los puntos A(1, 0), B(2, 1) y C(3,−2) son los tres vertices sucesivos de un paralelogramo.Encuentre el cuarto vertice D. (Respuesta D(2,−3))
17. Encuentre las ecuaciones de las alturas del triangulo con vertices A(−3, 2), B(4, 5) yC(1,−8). Encuentre el punto donde las alturas se intersectan.
(Respuesta hA : y = − 3
13x+
17
13, hB : y =
2
5x+
17
5, hC : y = −7
3x− 17
3. Se intersectan en
P
(−136
41,85
41
))
18. Dada la ecuacion de la recta 3x− 4y − 5 = 0. Encuentre la ecuacion de una recta paralelaa la recta dada, que esta a dos unidades de distancia de ella. (Respuesta 3x− 4y − 15 = 0y 3x− 4y − 5 = 0)
19. (a) Demostrar que (1, 2), (4, 7), (−6, 13) y (−9, 8) son los vertices de un rectangulo.
(b) Demostrar analıticamente que el segmento que une los puntos medios de los lados deun triangulo es paralelo al tercer lado y que mide la mitad de su longitud.
(c) Determinar si los puntos A(2, 1), B(4, 3) y C(−1,−2) son colineales. (Respuesta Soncolineales)
(d) Encuentre la ecuacion de la paralela a la recta de ecuacion 2x+3y+1 = 0 y que pasapor el punto P (5, 2). (Respuesta 2x+ 3y − 16 = 0)
(e) Hallar las coordenadas el punto P ′, simetrico del punto P (−5, 13) con respecto a larecta de ecuacion 2x− 3y − 3 = 0. (Respuesta P ′(11,−11))
23
Capıtulo 2
Conicas
Las Conicas son figuras geometricas planas que se obtienen de la interseccion de un plano conun cono. Segun como corte el plano al cono, se obtienen las distintas conicas, como se puedeapreciar en la siguiente figura:
Ahora las definiremos en su forma analıtica (lugar geometrico) y a partir de ello, determinare-mos la ecuacion que define a cada una de ellas y sus elementos principales.
24
2.1 La Circunferencia
Definicion 2.1 La circunferencia es el lugar geometrico de todos los puntos de un plano queequidistan de un punto fijo (del mismo plano) llamado centro. La distancia de un punto cualquierade la circunferencia al centro es llamada radio de la circunferencia.
Si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r, como seobserva en la figura, entonces, por definicion se tiene
r = d(C,P )
=√
(x− h)2 + (y − k)2 ( distancia entre dos puntos),
de modo que al elevar al cuadrado, se tiene
(x− h)2 + (y − k)2 = r2.
Es decir, se ha probado el siguiente teorema
Teorema 2.1 Sea C(h, k) las coordenadas del centro de una circunferencia de radio r > 0,entonces la ecuacion de la circunferencia es dada por
(x− h)2 + (y − k)2 = r2. (2.1)
Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion principal o estandar de la circunferencia.
25
Observacion 2.1 Si el centro de la circunferencia coincide con el origen del sistema de coorde-nadas rectangulares, entonces la ecuacion de la circunferencia es
x2 + y2 = r2,
la cual es llamada ecuacion canonica de la circunferencia.
Ejemplos:
1. Hallar la ecuacion de la circunferencia de radio 3 y centro el punto (1,−4).
Solucion:
Notar que h = 1, k = −4 y r = 3, entonces al sustituir estos valores en la ecuacion (2.1),se tiene
(x− 1)2 + (y + 4)2 = 9,
la cual es la ecuacion pedida.
2. Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro el punto C(2, 3) y que pasa por el puntoP (−1, 0).
Solucion:
En este caso no tenemos el radio, pero se puede determinar como la distancia entre el puntoP (−1, 0) y el centro (2, 3). Ası,
r = d(C,P ) =√
(2 + 1)2 + (3− 0)2 =√18,
luego sustotuyendo en (2.1), se tiene que la ecuacion pedida es
(x− 2)2 + (y − 3)2 = (√18)2 ⇔ (x− 2)2 + (y − 3)2 = 18.
3. Determinar la ecuacion principal de la circunferencia cuyos puntos A(−4, 2) y B(−2,−6)son extremos de un diametro.
Solucion:
Como los puntos A(−4, 2) y B(−2,−6) son extremos de un diametro de la circunferenciabuscada, entonces el punto medio corresponde al centro de ella. Ademas el radio de estaes la distancia del centro a cualquiera de los puntos. Es decir,
C(h, k) =
(x1 + x2
2,y1 + y2
2
)⇔ h =
−4 + (−2)2
= −6
2= −3 ∧ k =
2 + (−6)2
= −4
2= −2
⇒ C(−3,−2).
26
Luegor = d(C,A) =
√(−3− (−4))2 + (2− (−2))2 =
√1 + 16 =
√17.
Por lo tanto, la ecuacion principal de la circunferencia de centro (−3,−2) y radio r =√17
es(x+ 3)2 + (y + 2)2 = 17.
4. Encuentre la ecuacion de la circunferencia, sabiendo que los puntos A(2, 3), B(3, 2) yC(−4, 3) pertenecen a ella.
Solucion:
Tenemos que la ecuacion de la circunferencia queda determinada dado tres puntos, es decir,cada punto satisface su ecuacion, luego tenemos que:
(a) A ∈ Circunferencia ⇒ (2− h)2 + (3− k)2 = r2 ⇒ h2 + k2 − 4h− 6k + 13 = r2.
(b) B ∈ Circunferencia ⇒ (3− h)2 + (2− k)2 = r2 ⇒ h2 + k2 − 6h− 4k + 13 = r2.
(c) C ∈ Circunferencia ⇒ (−4− h)2 + (3− k)2 = r2 ⇒ h2 + k2 + 8h− 6k + 25 = r2.
Ası, se obtiene un sistema de 3× 3, cuyas incognitas son h, k y rh2 + k2 − 4h− 6k + 13 = r2
h2 + k2 − 6h− 4k + 13 = r2
h2 + k2 + 8h− 6k + 25 = r2,(2.2)
Al restar la segunda ecuacion a la primera y tercera ecuacion de (2.2), se obtiene
−2h+ 2k = 014h− 2k = −12
}⇒ h = −1, k = −1 y r = 5.
Por lo tanto, la ecuacion principal de la circunferencia es
(x+ 1)2 + (y + 1)2 = 25.
2.1.1 Ecuacion general de la Circunferencia
Desarrollando los binomios correspondientes a la ecuacion principal de la circunferencia se tiene:
(x− h)2 + (y − k)2 = r2 ⇔ x2 − 2hx+ h2 + y2 − 2ky + k2 = r2,
ordenandox2 + y2 − 2hx− 2ky + h2 + k2 − r2 = 0.
Haciendo D = −2h, E = −2k, F = h2 + k2 − r2, se obtiene la ecuacion
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0,
27
la cual es llamada ecuacion general de la circunferencia. Ademas, se puede concluir que
h = −D
2; k = −E
2r =
1
2
√D2 + E2 − 4F.
Esto quiere decir, que si conocemos la ecuacion general de la circunferencia, tambien podemosconocer su centro y su radio.
Ejemplo:
Dada la ecuacion x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0, que representa una circunferencia. Determine sucentro y su radio, y escriba su ecuacion principal.
Solucion:
En este caso tenemos D = 2, E = 6 y F = 9. Sustituyendolos, se tiene
h = −D
2= −2
2= −1; k = −E
2= −6
2= −3; r =
1
2
√22 + 62 − 4 · 9 = 1.
Por lo tanto, su centro es C(−1,−3) y su radio es r = 1, luego su ecuacion principal es
(x+ 1)2 + (y + 3)2 = 1.
Observacion 2.2
1. Estas formulas solo son validas si los coeficientes de las variables cuadraticas son iguales.
2. La ecuacion representa una circunferencia sı y solo si r > 0, es decir, sı y solo si
D2 + E2 − 4F > 0.
3. La ecuacion representa solo al punto (h, k) si r = 0, es decir, si D2 + E2 − 4F = 0.
4. La ecuacion NO representa lugar geometrico alguno si r < 0, es decir, si D2+E2−4F < 0.
5. Dada la ecuacion general de una circunferencia, entonces al completar cuadrado debinomio, es posible obtener el centro y el radio de esta.
Ejemplo:
Dada la ecuacion x2 + y2 + 2x+ 6y + 9 = 0, que representa a una circunferencia. Determine sucentro y su radio, y escriba su ecuacion principal.
28
Solucion:
En este caso, completaremos cuadrados de binomios, lo que nos dara directamente la ecuacionprincipal:
x2 + y2 + 2x+ 6y + 9 = 0 ⇔ (x2 + 2x) + (y2 + 6y) = −9⇔ (x2 + 2x+ 1− 1) + (y2 + 6y + 9− 9) = −9⇔ (x2 + 2x+ 1) + (y2 + 6y + 9) = −9 + 1 + 9
⇔ (x+ 1)2 + (y + 3)2 = 1.
Ecuacion principal, donde h = −1, k = −3 y r = 1. Por lo tanto, C(−1,−3) y r = 1.
2.1.2 Posiciones relativas de una circunferencia y una recta en elplano
Se presentan las siguientes situaciones:
1. La recta es tangente a la circunferencia. La recta y la circunferencia se tocan en un solopunto. La recta es perpendicular al radio en el punto de contacto (o punto de tangencia).(Ver figura 1)
2. La recta es secante a la circunferencia. La recta corta en dos puntos a la circunferencia ydetermina una cuerda de esta. (Ver figura 2)
3. La recta no corta ni toca a la circunferencia. No tienen puntos comunes. (Ver figura 3)
Observacion 2.3 Para determinar los puntos comunes (si los hay) entre una recta y una cir-cunferencia, se debe resolver el sistema de ecuaciones que ellas determinan.
29
Ejemplo:
Determinar la posicion relativa entre la recta L : x−7y+25 = 0 y la circunferencia x2+y2 = 25.
Solucion:
La recta y la circunferencia determinan el sistema de ecuaciones{x2 + y2 = 25,x− 7y = −25. (2.3)
De la segunda ecuacion de (2.3) se deduce que x = 7y − 25, de modo que al reemplazar en laprimera ecuacion de (2.3), se obtiene
(7y − 25)2 + y2 = 25 ⇔ 49y2 − 350y + 625 + y2 − 25 = 0
⇔ 50y2 − 350y + 600 = 0
⇔ y2 − 7y + 12 = 0
⇔ (y − 4)(y − 3) = 0 ⇒{
y1 = 3,y2 = 4.
Luego, para y = y1 = 3, se tiene que x = x1 = −4, de modo que un punto de interseccion esP1(−4, 3). Analogamente, para y = y2 = 4, se tiene que x = x2 = 3, de modo que otro puntode interseccion es P2(3, 4). Por lo tanto, como la recta y la circunferencia tienen dos puntos encomun, se deduce que la recta es secante a la circunferencia.
2.1.3 Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
1. Las circunferencias son tangentes si se tocan en un solo punto. En este punto, la tangentees comun, los centros de las circunferencias y el punto de tangencia quedan en una mismarecta. Las circunferencias pueden ser tangentes interior o exteriormente. (Ver figura 1)
2. Las circunferencias son secantes si se intersectan en dos puntos. (Ver figura 2)
3. Las circunferencias no tienen puntos en comun. (Ver figura 3)
30
Observacion 2.4
1. Para determinar los puntos de interseccion de las circunferencias (si las hay), se resuelveel sistema de ecuaciones que ellas determinan.
2. Una forma para determinar la posicion relativa entre circunferencias, es analizar la distan-cia de los centros de las circunferencias. En efecto, Sean C1 y C2 circunferencias de radiosr1 y r2 respectivamente y sea d la distancia entre los centros. Entonces:
(a) Si d = r1+r2 o d = |r1−r2|, las circunferencias son tangentes exterior o interiormenterespectivamente. En el primer caso son exteriores y en el segundo caso una esta dentrode la otra (son interiores).
(b) Si d < r1 + r2, las circunferencias son secantes.
(c) Si d > r1 + r2 o d < |r1 − r2|, las circunferencias no tienen puntos en comun.
(d) Si las circunferencias tienen el mismo centro, se dice que son concentricas. Siademas son concentricas y tangentes, entonces coinciden.
Ejemplo:
Determinar la posicion relativa de las siguientes circunferencias
C1 : x2 + y2 − 10x− 2y − 39 = 0 y C2 : x
2 + y2 + 2x− 8y − 33 = 0.
31
Solucion:
Se resuelve el sistema de ecuaciones que ellas conforman. Restando C2 de C1, se obtiene
−2x+ y = 1⇔ y = 2x+ 1,
al sustituir esto ultimo en C2, resulta
x2 + (2x+ 1)2 + 2x− 8(2x+ 1)− 33 = 0 ⇔ x2 − 2x− 8 = 0
⇔ (x− 4)(x+ 2) = 0.
Luego, si x = 4, entonces y = 9 y se tiene el punto P1(4, 9). Si x = −2, entonces y = −3 yse tiene el punto P2(−2,−3). Por lo tanto, como las circunferencias se cortan en dos puntos, seconcluye que ellas son secantes.
Ejercicios propuestos:
1. Hallar la ecuacion de la circunferencia, que satisface las siguientes condiciones:
(a) Tiene radio 4 y es concentrica a la circunferencia x2 + y2 + 6y + 8 = 0.
(b) Pasa por los puntos (0, 0) y (−3, 9), y su centro esta sobre el eje Y .
(c) Pasa por los puntos (4,−2) y (5,−3), y su radio es igual a 5.
(d) Pasa por el punto (4,−3) y es concentrica a la circunferencia x2+y2+4x+3y−1 = 0.
(e) Pasa por el punto (−1, 2) y es tangente a ambos ejes coordenados.
2. Hallar la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y es tangente a la recta3x− 2y − 12 = 0.
3. Determinar la ecuacion principal de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 4) yB(1,−2), y cuyo centro esta sobre la recta x+ 2y − 4 = 0.
4. Calcular el area y el perımetro de las circunferencias:
(a) x2 + y2 − 14x+ 2y + 34 = 0.
(b) x2 + y2 + 12x− 6y − 9 = 0.
5. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 − 8x− 6y + 20 = 0 en elpunto (3, 5).
6. Hallar la posicion relativa y el(los) punto(s) de interseccion de la recta y la circunferencia,si los hay:
(a) L : 4x+ 3y + 26 = 0 y C : (x− 2)2 + (y + 3)2 = 25.
(b) L : x− 7y − 31 = 0 y C : (x− 2)2 + (y − 3)2 = 100.
32
7. Hallar el valor de la constante k para que la circunferencia de ecuacion
x2 + y2 − 8x+ 10y + k = 0, tenga radio igual a 4.
8. Considere la circunferencia de ecuacion (x− 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demuestre que el puntoP (2,−5) es interior a la circunferencia y que el punto Q(−4, 1) es exterior a ella.
2.2 La parabola
Definicion 2.2 La parabola es el lugar geometrico de todos los puntos (x, y) que equidistan deun punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
De la definicion, se tiene que la parabola es el conjunto
P = {P (x, y) ∈ R2 / d(P, F ) = d(P,L)}.
33
Los elementos principales de una parabola son:
L′ : Directriz
L : Eje focal (L ⊥ L′)
F : Foco
V : Vertice (Interseccion de L con la parabola)
AA′ : Cuerda focal
RR′ : Lado recto( cuerda focal ⊥ a L)
Teorema 2.2 La ecuacion de la parabola con vertice V (h, k) y eje focal paralelo al eje X es dadapor
(y − k)2 = 4p(x− h).
Esta ecuacion es llamada ecuacion principal o estandar de la parabola. Ademas, |p| es la longituddel segmento del eje focal comprendido entre el foco y el vertice (d(V, F ) = d(V, L′)). Es decir,el vertice es el punto medio de la longitud entre el foco y la directriz.
34
Demostracion:
Sean F (h+ p, k) las coordenadas del foco y L′ : x− h+ p = 0, la ecuacion de la directriz deuna parabola. Luego, el punto P (x, y) pertenece a dicha parabola sı y solo si PF = d(P,L′), esdecir, si √
(x− (h+ p))2 + (y − k)2 = |x− h+ p|,
elevando al cuadrado y desarrollando ambos lados de la igualdad, se tiene
x2 − 2xh− 2xp+ h2 + 2hp+ p2 + (y − k)2 = x2 + h2 + p2 + 2xp− 2xh− 2hp,
de modo que(y − k)2 = 4xp− 4hp⇔ (y − k)2 = 4p(x− h).
Como se querıa demostrar.
35
Observacion 2.5
1. Si p > 0, la parabola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parabola se abre hacia laizquierda.
2. La longitud del lado recto es |4p|.
3. Las coordenadas del foco son F (h+ p, k).
4. La ecuacion de la directriz es x = h− p.
5. Si el vertice de la parabola coincide con el origen del sistema de coordenadas, entonces suecuacion es y2 = 4px, la cual es llamada ecuacion canonica de la parabola, con foco F (p, 0)y directriz x = −p.
Teorema 2.3 La ecuacion de la parabola con vertice V (h, k) y eje focal paralelo al eje Y es dadapor
(x− h)2 = 4p(y − k).
La demostracion es analoga a la del teorema anterior y queda como ejercicio para elestudiante.
36
Observacion 2.6
1. Si p > 0, la parabola se abre hacia arriba. Si p < 0, la parabola se abre hacia abajo.
2. La longitud del lado recto es |4p|.
3. Las coordenadas del foco son F (h, k + p).
4. La ecuacion de la directriz es y = k − p.
5. Si el vertice de la parabola coincide con el origen del sistema de coordenadas, entonces suecuacion es x2 = 4py, llamada ecuacion canonica de la parabola, con foco F (0, p) y directrizy = −p.
Ejemplos:
1. Determinar la ecuacion de la parabola cuyo foco es el punto (5, 2) y su directriz es la rectax = 1.
37
Solucion:
Graficando el foco y la directriz, se tiene que la parabola tiene su eje focal en la recta y = 2,por por lo que su eje focal es paralelo al eje X. Luego, su ecuacion es de la forma
(y − k)2 = 4p(x− h),
donde p = 2 y su vertice es el punto V (3, 2). Luego, su ecuacion es
(y − 2)2 = 8(x− 3).
2. Hallar la ecuacion de la parabola con vertice el origen del sistema coordenado y eje focalel eje Y . Encuentre las coordenadas del foco, vertice, ecuacion de la directriz y la longituddel lado recto, si se sabe que ademas pasa por el punto (4, 1).
38
Solucion:
Si el vertice es el punto (0, 0) y su eje focal es el eje Y , entonces su ecuacion es de la forma
x2 = 4py.
Como el punto (4, 1) pertenece a la parabola, se tiene que
42 = 4 · p · 1⇔ p = 4.
Por lo tanto, su ecuacion es x2 = 16y, su foco tiene coordenadas F (0, 4) y la ecuacion desu directriz es y = −4.
2.2.1 Ecuacion general de la parabola
Desarrollando los cuadrados de binomios de la ecuacion principal de la parabola(y − k)2 = 4p(x− h) o (x− h)2 = 4p(y − k), se obtiene la expresion
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
la cual representa una parabola si A · C = 0, de donde
• Si A = 0, C = 0, D = 0, la ecuacion representa una parabola con eje focal paralelo al ejeX.
• Si C = 0, A = 0, E = 0, la ecuacion representa una parabola con eje focal paralelo al ejeY .
Podemos concluir que una ecuacion en dos variables, donde solo una de las variables estaelevada al cuadrado, representa una parabola, la cual mediante completacion de cuadrado sepuede llevar a su forma principal y obtener sus elementos.
39
Ejemplos:
1. Determinar la ecuacion principal de la parabola y2 + 4x + 2y − 19 = 0 y sus elementos(foco, vertice, ecuacion de la directriz, longitud del lado recto).
Solucion:
y2 + 4x+ 2y − 19 = 0 ⇔ (y2 + 2y + 1) = −4x+ 19 + 1
⇔ (y + 1)2 = −4(x− 5).
La cual es la ecuacion de una parabola con eje focal paralelo al eje X, su vertice es el puntoV (5,−1) y como 4p = −4, entonces p = −1. Luego, las coordenadas del foco son F (4,−1)y la ecuacion de su directriz es x = 6. La longitud del lado recto es 4.
2. Determinar la ecuacion principal de la parabola x2−6x−6y+3 = 0 y sus elementos (foco,vertice, ecuacion de la directriz, longitud del lado recto).
Solucion:
x2 − 6x− 6y + 3 = 0 ⇔ (x2 − 6x+ 9) = 6y − 3 + 9
⇔ (x− 3)2 = 6(y + 1).
La cual es la ecuacion de una parabola con eje focal paralelo al eje Y , su vertice es el punto
V (3,−1), p =3
2. Luego, las coordenadas del foco son F (3,
1
2) y la ecuacion de su directriz
es y = −5
2. La longitud del lado recto es 6.
Ejercicios propuestos:
1. Hallar la ecuacion de la parabola que satisface las condiciones dadas:
(a) Con vertice (2, 5) y foco (2,−3).(b) Que pasa por los puntos (−1, 2), (1,−1) y (2, 1), y su eje focal es paralelo al eje X.
(c) Tiene foco (7,−2) y directriz L : y = 5.
(d) Tiene vertice (5,−1) y directriz L : x+ 2 = 0.
(e) Tiene vertice (2, 6) y los extremos del lado recto son los puntos (6, 8) y (−2, 8).(f) Su foco es (0, 4), su eje focal es vertical y la longitud de su lado recto es 12.
40
2. Hallar la ecuacion principal, el vertice, el foco y la ecuacion de la directriz, de las siguientesparabolas:
(a) 2x2 + 12x+ 24y + 186 = 0.
(b) 3y2 − 4x+ 12y + 16 = 0.
3. Encuentre la ecuacion de la parabola cuyo foco es el punto (2, 4) y el lado recto es elsegmento que une a los puntos (4, 4) y (0, 4).
4. El ancho de un reflector parabolico es 12m y su profundidad es de 4m. Localizar el foco.
5. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que sudistancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto A(0, 4).
6. El cable de suspension de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parabola. Lospilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y estan separados por una distanciade 500 metros, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 metros sobre lacalzada del puente. Tomando al eje X como la horizontal que define el puente y al eje Ycomo el eje de simetrıa de la parabola, hallar la ecuacion de esta. Calcular la altura de unpunto situado a 80 metros del centro del puente.
2.3 La Elipse
Definicion 2.3 La elipse es el lugar geometrico de todos los puntos P (x, y) que se mueven en elplano, de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.El punto medio del segmento que une los focos se llama centro.
De la definicion se tiene que la elipse es el conjunto
E = {P (x, y) ∈ R2 / d(P, F ) + d(P, F ′) = cte}.
41
Los elementos principales de la elipse son:
L : Eje focal
L′ : Eje normal (L ⊥ L′)
C : Centro
V, V ′ : Vertices
F, F ′ : Focos
V V ′ : Eje mayor
BB′ : Eje menor
RR′ : Lado recto ( cuerda focal ⊥ L)
Teorema 2.4 La ecuacion de la elipse con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1, a > b.
Esta ecuacion es llamada ecuacion principal o estandar de la elipse.
42
Ademas se tiene que
• a : longitud del semieje mayor (V V ′ = 2a).
• b : longitud del semieje menor (BB′ = 2b).
• Las coordenadas de los vertices son
V (h+ a, k), V ′(h− a, k).
• Las coordenadas de los focos son
F (h+ c, k), F ′(h− c, k),
donde c es la longitud del centro a cada foco.
• Las coordenadas de los extremos del eje menor son
B(h, k + b), B′(h, k − b).
• La longitud de cada lado recto es2b2
a.
• Su excentricidad es e =c
a< 1.
Teorema 2.5 La ecuacion de la elipse con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es
(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1, a > b.
Ademas se tiene que
43
• a : longitud del semieje mayor (V V ′ = 2a).
• b : longitud del semieje menor (BB′ = 2b).
• Las coordenadas de los vertices son
V (h, k + a), V ′(h, k − a).
• Las coordenadas de los focos son
F (h, k + c), F ′(h, k − c),
donde c es la longitud del centro a cada foco.
• Las coordenadas de los extremos del eje menor son
B(h+ b, k), B′(h− b, k).
• La longitud de cada lado recto es2b2
a.
• Su excentricidad es e =c
a< 1.
Observacion 2.7
1. Las constantes a, b y c se relacionan mediante la igualdad a2 = b2 + c2.
2. Si el centro de la elipse es el origen del sistema de coordenadas, entonces
44
(a) Si el eje focal es el eje X, su ecuacion canonica es
x2
a2+
y2
b2= 1,
con vertices V (a, 0) y V ′(−a, 0) y focos F (c, 0) y F ′(−c, 0).(b) Si el eje focal es el eje Y , su ecuacion canonica es
x2
b2+
y2
a2= 1,
con vertices V (0, a) y V ′(0,−a) y focos F (0, c) y F ′(0,−c).
3. En la ecuacion principal de la elipse, se cumple que a = b, y el denominador mayor deter-mina si el eje focal es paralelo al eje X o al eje Y .
Ejemplos:
1. Los vertices de una elipse son los puntos (1, 3) y (1,−7). Si la longitud de cada lado recto
es18
5, determine su ecuacion.
45
Solucion:
Graficando los vertices se tiene que la elipse tiene su eje focal en la recta x = 1, es decir,es paralelo al eje Y . Su ecuacion tiene la forma
(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1.
Su centro es el punto medio del segmento determinado por los vertices, es decir, C(1,−2).De modo que a = 5. Por otro lado, como la longitud del lado recto es
2b2
a=
18
5⇒ b2 = 9.
Ası, la ecuacion pedida es(x− 1)2
9+
(y + 2)2
25= 1
2. Los focos de una elipse son los puntos (8, 4) y (2, 4) y la longitud de su eje menor es2b =
√28. Encuentre la ecuacion de la elipse, las coordenadas de los vertices, la longitud
de cada lado recto.
46
Solucion:
Como conocemos los focos, se tiene que su eje focal esta en la recta y = 4, es decir, esparalelo al eje X. Ası, su ecuacion tiene la forma
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1.
Su centro es el punto medio del segmento determinado por los focos, de modo que C(5, 4),entonces c = 3. Ademas, la longitud de su eje menor es 2b =
√28, por lo que b =
√7.
Comoa2 = b2 + c2,
se tiene que a2 = 16 y, consecuentemente, a = 4. Por lo tanto, la ecuacion pedida es
(x− 5)2
16+
(y − 4)2
7= 1.
Las coordenadas de los vertices son V (9, 4) y V ′(1, 4). La longitud del lado recto es7
2.
2.3.1 Ecuacion general de la elipse
Desarrollando los cuadrados de binomios de las ecuaciones principales de la elipse
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1 o
(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1,
47
se obtiene la forma generalAx2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
la cual representa una elipse si A ·C > 0, siendo A = C (tienen el mismo signo). Para obtener loselementos principales de la elipse, basta con completar cuadrados de binomios en las variables xe y.
Ejemplo:
Dada la ecuacion general de la elipse 9x2 + 4y2 − 8y − 32 = 0, reducirla a la forma principal yencuentre su centro, vertices y focos.
Solucion:
9x2 + 4y2 − 8y − 32 = 0 ⇔ 9x2 + 4(y2 − 2y) = 32
⇔ 9x2 + 4(y2 − 2y + 1) = 32 + 4
⇔ 9x2 + 4(y − 1) = 36 / : 36
⇔ 9x2
36+
4(y − 1)2
36= 1
⇔ x2
4+
(y − 1)2
9= 1.
Por lo tanto, es una elipse con eje focal paralelo al eje Y , su centro es C(0, 1), ademas a = 3,b = 2 y c =
√5. Las coordenadas de sus vertices son V (0, 4) y V ′(0,−2) y las de sus focos
F (0, 1 +√5) y F ′(0, 1−
√5).
Ejercicios propuestos:
1. Hallar la ecuacion de la elipse que satisface las condiciones dadas:
(a) Focos (3, 8) y (3, 2). Longitud del eje mayor igual a 10.
(b) Centro (0, 1), focos en el eje Y , con longitud del eje mayor igual a5
3la longitud del
eje menor, y que ademas pasa por el punto
(−12
5, 4
).
2. El centro de una elipse es el punto (−2,−1) y uno de sus vertices es el punto (3,−1). Lalongitud de cada lado recto es 4. Hallar su ecuacion y las coordenadas de los focos.
3. Hallar la ecuacion principal, su centro, vertices y focos de las siguientes elipses dadas susecuaciones en la forma general:
(a) 12x2 + 20y2 − 12x+ 40y − 37 = 0.
48
(b) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0.
4. Calcule el area del rombo inscrito en la elipse 5x2+2y2 = 50 y que tiene sus vertices en losejes coordenados.
5. Encuentre la ecuacion de la elipse que pasa por el punto (−1, 1) y que sus vertices coincidencon los extremos del lado recto de la parabola y2 − 4x− 4y − 8 = 0.
2.4 La Hiperbola
Definicion 2.4 La Hiperbola es el lugar geometrico de todos los puntos P (x, y) que se muevenen el plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntosfijos llamados focos es constante. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro.
De la definicion se tiene que le hiperbola es el conjunto
H = {P (x, y) ∈ R2 / |d(P, F )− d(P, F ′)| = cte.}.
Los elementos principales de una hiperbola son:
L : Eje focal
L′ : Eje normal (L ⊥ L′)
C : Centro
V, V ′ : Vertices
F, F ′ : Focos
V V ′ : Eje transverso
BB′ : Eje conjugado
RR′ : Lado recto( Cuerda focal ⊥ L)
R′′R′′′ : Lado recto
EE ′ : Cuerda focal
49
Teorema 2.6 La ecuacion de la hiperbola con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es
(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1.
Esta ecuacion es llamada ecuacion principal o estandar de la hiperbola.
Ademas se tiene que
• a : Longitud del semieje transverso (V V ′ = 2a).
• b : Longitud del semieje conjugado (BB′ = 2b).
50
• Las coordenadas de los vertices son:
V (h+ a, k), V ′(h− a, k).
• Las coordenadas de los focos son:
F (h+ c, k), F ′(h− c, k),
donde c es la longitud del centro a cada foco.
• Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son:
B(h, k + b), B′(h, k − b).
• La longitud de cada lado recto es2b2
a.
• Su excentricidad es e =c
a> 1.
Teorema 2.7 La ecuacion de la hiperbola con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es
(y − k)2
a2− (x− h)2
b2= 1.
Ademas se tiene que
51
• a : Longitud del semieje transverso (V V ′ = 2a).
• b : Longitud del semieje conjugado (BB′ = 2b).
• Las coordenadas de los vertices son:
V (h, k + a), V ′(h, k − a).
• Las coordenadas de los focos son:
F (h, k + c), F ′(h, k − c),
donde c es la longitud del centro a cada foco.
• Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son:
B(h+ b, k), B′(h− b, k).
• La longitud de cada lado recto es2b2
a.
• Su excentricidad es e =c
a> 1.
Observacion 2.8
1. Las constantes a, b y c se relacionan mediante la igualdad c2 = a2 + b2.
2. Si el centro de la hiperbola es el origen del sistema de coordenadas, entonces:
(a) El eje X es el eje focal y su ecuacion canonica es
x2
a2− y2
b2= 1,
con vertices V (a, 0) y V ′(−a, 0), y focos F (c, 0) y F ′(−c, 0).(b) El eje Y es el eje focal y su ecuacion canonica es
y2
a2− x2
b2= 1,
con vertices V (0, a) y V ′(0,−a), y focos F (0, c) y F ′(0,−c).
3. Si el eje transverso es igual al eje conjugado (a = b), la hiperbola es llamada hiperbolaequilatera.
52
4. Las asıntotas se intersectan en el centro de la hiperbola.
5. Una manera sencilla de encontrar las ecuaciones de las asıntotas de una hiperbola es:
(a) La ecuacion principal de la hiperbola se iguala a cero.
(b) Se factoriza como suma por su diferencia.
(c) Cada factor se iguala a cero y se obtiene la ecuacion de cada asıntota.
Ejemplo:
Los focos de una hiperbola son los puntos (6, 3) y (−2, 3). La longitud de su eje transverso es 4.Encuentre su ecuacion, vertices, longitud del lado recto y la ecuacion de sus asıntotas.
Solucion:
Como se conocen los focos, entonces su centro es (2, 3) y c = 4. Ademas la longitud de su ejetranvserso es 4, por lo que a = 2. Ası, es posible concluir que b = 2
√3. Su eje focal es paralelo
al eje X, luego la ecuacion de la hiperbola es
(x− 2)2
4− (y − 3)2
12= 1.
Las coordenadas de los vertices son V (4, 3) y V ′(0, 3), y la longitud de cada lado recto es 12. Lasecuaciones de sus asıntotas son
L1 :x− 2
2+
y − 3
2√3
= 0 ⇔ L1 :√3x+ y − 3− 2
√3 = 0,
L2 :x− 2
2− y − 3
2√3
= 0 ⇔ L1 :√3x− y + 3− 2
√3 = 0.
53
2.4.1 Ecuacion general de la hiperbola
Desarrollando los cuadrados de binomios de las ecuaciones principales de la hiperbola
(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1 o
(x− h)2
b2− (y − k)2
a2= 1,
se obtiene la forma generalAx2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
la cual representa a una hiperbola si A · C < 0, con A = 0 y C = 0. Para obtener los elementosprincipales de la hiperbola, basta con completar cuadrados de binomios en las variables x e y.
Ejemplo:
Dada la ecuacion general de la hiperbola 9x2 − 4y2 + 54x + 16y + 29 = 0, reducirla a la formaprincipal y encuentre su centro, vertices y focos.
Solucion:
9x2 − 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0 ⇔ 9(x2 + 6x)− 4(y2 − 4y) = −29⇔ 9(x2 + 6x+ 9)− 4(y2 − 4y + 4) = −29 + 81− 16
⇔ 9(x+ 3)2 − 4(y − 2)2 = 36
⇔ (x+ 3)2
4− (y − 2)2
9= 1.
La cual representa a una hiperbola con centro C(−3, 2) y eje focal paralelo al eje X. Ademas,como a = 2 y b = 3, se tiene que c =
√13. Luego, las coordenadas de los vertices son V (−1, 2)
y V ′(−5, 2) y la de los focos F (−3 +√13, 2) y F ′(−3−
√13, 2).
54
Observacion 2.9 De la forma canonica de la ecuacion de la hiperbola
b2x2 − a2y2 = a2b2,
al despejar la variable y se obtiene
y = ± b
a
√x2 − a2 ⇔ y = ± b
a
√1− a2
x2.
Ası, si un punto de la hiperbola se mueve a lo largo de la curva, de tal forma que su abscisax aumenta numericamente sin lımite, entonces el radical del segundo miembro se aproxima a launidad, y consecuentemente, la ecuacion tiene la forma
y = ± b
ax.
De lo anterior es posible enunciar el siguiente teorema.
Teorema 2.8 La hiperbolax2
a2− y2
b2= 1, tiene por asıntotas a las rectas
bx− ay = 0 y bx+ ay = 0.
Ejemplo:
Hallar la ecuacion de la hiperbola que pasa por el punto (6, 2), tiene su centro en el origen, sueje transverso esta sobre el eje X y una de sus asıntotas es la recta 2x− 5y = 0.
Solucion:
Por el Teorema anterior, la otra asıntota es la recta 2x+5y = 0. Luego, las ecuaciones de ambasasıntotas pueden obtenerse haciendo k = 0 en la ecuacion
(2x− 5y)(2x+ 5y) = k,
es decir, en4x2 − 25y2 = k.
Como la hiperbola buscada pasa por el punto (6, 2), entonces este punto satisface la ecuacion.Por lo tanto, si x = 6 e y = 2 en la ultima ecuacion, se tiene que k = 44. Ası, la hiperbolabuscada tiene ecuacion
4x2 − 25y2 = 44.
55
Ejercicios propuestos:
1. Encuentre los vertices, focos, longitud del lado recto, eje transverso y eje conjugado de lassiguientes hiperbolas. Ademas, determine las ecuaciones de sus asıntotas y grafıquelas.
(a) x2 − y2 − 2x− y + 1 = 0.
(b) 9x2 − y2 − 36x− 2y + 44 = 0.
2. El centro de una hiperbola es el punto (2,−2) y uno de sus vertices es el punto (0,−2).Si la longitud de su lado recto es 8. Hallar la ecuacion de la curva y la longitud de su ejeconjugado.
Observacion 2.10 La razon e =c
aes llamada excentricidad e indica el grado de circularidad de
una conica. Como representa el cuociente entre c (distancia de un foco al centro) y a (distanciade un vertice al centro), entonces podemos concluir que la trayectoria trazada por un punto P es:
• Una circunferencia, si e = 0.
• Una parabola, si e = 1.
• Una elipse, si e < 1. En este caso
e =c
a=
√a2 − b2
a.
• Una hiperbola, si e > 1. en este caso
e =c
a=
√a2 + b2
a.
Ejercicios variados de conicas:
1. Hallar la ecuacion de la elipse cuyos vertices son los puntos (−3,−1) y (5,−1), y que su
excentricidad es igual a3
4.
2. Hallar la ecuacion de la hiperbola y de sus asıntotas, sabiendo que:
(a) Sus vertices son los puntos (−4,−3) y (−4, 1), y su excentricidad es e =
√5
2.
(b) Excentricidad es e = 5, focos estan sobre el eje X, su centro es el origen y pasa por elpunto (3, 2).
3. Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, determinar la conica que representa yobtener su grafica a partir de sus elementos.
(a) 17x2 + 17y2 − 49x+ 65y − 166 = 0.
56
(b) y2 − 6x− 4y + 5 = 0.
(c) x2 + y2 + 2x− 4y − 20 = 0.
(d) 3x2 − 4y2 + 12x+ 8y − 4 = 0.
(e) 9x2 + 25y2 + 18x− 100y − 116 = 0.
4. La tierra se mueve sobre una orbita elıptica. Uno de sus focos es el sol. Suponiendo que
la razon entre las distancias mınima y maxima de la tierra al sol es29
30, muestre que la
excentricidad es1
59.
5. Un arco elıptico tiene una base de 80m. Si la altura es 30m, hallar la altura de un arcoen un punto situado a 15m del centro.
6. Hallar el area del triangulo que forman el eje X junto con las asıntotas de la hiperbola9x2 − 25y2 + 18x− 100y − 116 = 0.
7. Compruebe que la elipse de ecuacion x2 + 3y2 = 6 tiene los mismos focos que la hiperbolax2 − 3y2 = 3.
Estas curvas son llamadas conicas homofocales.
8. Dadas las curvas de ecuaciones:
C1 : 9x2 − 16y2 + 18x+ 64y + 89 = 0
C2 : 25x2 + 9y2 + 50x− 36y − 164 = 0.
(a) Reconocer y graficar en un mismo sistema de coordenadas ambas curvas, identificandosus elementos principales.
(b) Achure la region acotada por el grafico de ambas curvas.
57
Capıtulo 3
Coordenadas Polares
Existe otra forma diferente de representar puntos del plano R2 a la ya conocida representacionen coordenadas rectangulares, estas son las llamadas Coordenadas Polares.
En un sistema de coordenadas polares, las coordenadas de un punto consisten en una distanciadirigida y la medida de un angulo respecto a un punto fijo y a un rayo fijo.
El rayo fijo es horizontal y se llama Eje Polar, el punto fijo es llamado Polo u Origen y sedesigna por la letra O.
Si P es un punto cualquiera del plano, es posible asociarle los terminos r y θ, donder = d(O,P ) es llamado Radio Vector y θ es el Angulo Polar con lado inicial en el eje polar
y lado terminal el rayo−→OP .
Definicion 3.1 Se llaman Coordenadas Polares del Punto P al par r y θ, donde r es el radiovector y θ es el angulo polar asociado. Se denotan por P = [r; θ].
58
Ejemplos:
1. Graficar en el plano los siguientes puntos dados en coordenadas polares:
(a) A =[3;
π
6
].
(b) B =[3;−π
4
].
(c) C =[−2; π
3
].
Solucion:
(a) Para graficar el punto A =[3;
π
6
], en primer lugar se ubica el angulo
π
6con lado
inicial el eje polar, y sobre su lado terminal se mide una distancia de tres unidades.De modo que el punto A queda determinado como sigue:
(b) Para el punto B =[3;−π
4
]el analisis es analogo.
59
(c) Para C =[−2; π
3
], se observa que r < 0, de modo que el punto se representa sobre la
prolongacion del lado terminal en sentido opuesto.
2. Graficar el punto P =[5;−π
3
]y determinar otro conjunto de coordenadas polares de este
punto para los cuales:
(a) r < 0 y 0 < θ < 2π.
(b) r > 0 y 0 < θ < 2π.
(c) r < 0 y −2π < θ < 0.
Solucion:
La grafica de[5;−π
3
]es dada por
60
A seguir se presentan los graficos de los incisos a) b) y c):
Observacion 3.1 Se deduce del ejemplo anterior que no existe una correspondencia biunıvocaentre los puntos del plano y las coordenadas polares, puesto que, a un punto se le puede asociarinfinitas coordenadas polares. En particular si P = [r; θ] entonces tambien tiene como coorde-nadas polares a P = [r; θ + 2nπ], n ∈ Z. En lo sucesivo se considerara r > 0 y −π < θ < π paraconseguir una unica representacion en coordenadas polares de P (P debe ser diferente del polo).Este angulo θ es llamado Valor Principal del angulo polar.
3.1 Transformacion de coordenadas
3.1.1 Polares a rectangulares
Sea P un punto donde (x, y) es su representacion en coordenadas rectangulares y [r; θ] encoordenadas polares.
Como se observa en la figura, se han sobrepuesto los dos sistemas de coordenadas. Deltriangulo △OPC, rectangulo en C, se tiene
cos(θ) =x
r, sen(θ) =
y
r,
61
de modo quex = r cos(θ), y = rsen(θ).
Ejemplo:
Representar en coordenadas rectangulares los siguientes puntos:
1. A =[2;
π
3
].
2. B =[1;
π
4
].
Solucion:
1. Se observa que r = 2 y θ =π
3, luego reemplazando en las relaciones anteriormente obtenidas
se tiene:
x = 2 cos(π3
)= 2 · 1
2= 1, y = 2sen
(π3
)= 2 ·
√3
2=√3.
Por lo tanto A = (1,√3).
2. En analogıa al caso anterior, se tiene
x = 1 · cos(π4
)= 1 ·
√2
2=
√2
2, y = 1 · sen
(π4
)= 1 ·
√2
2=
√2
2,
de modo que B =
(√2
2,
√2
2
).
3.1.2 Rectangulares a polares
Si P = (x, y) no es el origen entonces existen unicos r y θ tales que [r; θ] = (x, y), r > 0 y−π < θ < π. En efecto, como x = r cos(θ) e y = rsen(θ), se tiene
x2 + y2 = r2 cos2(θ) + r2sen2(θ)
= r2(cos2(θ) + sen2(θ))
= r2.
Ası,r =
√x2 + y2.
Por otra parte, dado que la funcion tangente es invertible en(−π
2,π
2
), existe un unico θ1 tal que
−π
2< θ1 <
π
2y tan(θ1) =
y
x, x = 0.
62
Es posible probar que θ se puede obtener de acuerdo a la siguiente regla:θ1 si x > 0,π + θ1 si x < 0, y ≥ 0,−π + θ1 si x < 0, y < 0.
Si x = 0, entonces θ = ±π
2dependiendo del signo de y.
Ejemplo:
Determinar las coordenadas polares del punto (−2,−2√3).
Solucion:
r =
√(−2)2 + (−2
√3)2 =
√4 + 12 = 4.
Ademas,
tan(θ1) =−2√3
−2=√3⇒ θ1 = arctan(
√3) =
π
3.
Puesto que x < 0 e y < 0, se tiene que
θ = −π + θ1 = −π +π
3= −2π
3.
Por lo tanto, las coordenadas polares del punto son
[4;−2π
3
].
3.1.3 Ecuaciones en coordenadas rectangulares y polares
Si la ecuacion de una curva esta dada en coordenadas rectangulares, la sustitucion x = r cos(θ)e y = rsen(θ) transforma a la misma ecuacion, al sistema de coordenadas polares.
Ejemplos:
1. Hallar la representacion en coordenadas rectangulares para la ecuacion de la circunferencia(x− 1)2 + y2 = 1.
Solucion:
(x− 1)2 + y2 = 1 ⇔ (r cos(θ)− 1)2 + (rsen(x))2 = 1
⇔ r2 cos2(θ)− 2r cos(θ) + 1 + r2sen2(θ) = 1
⇔ r2(cos2(θ) + sen2(θ))− 2r cos(θ) = 0
⇔ r2 = 2r cos(θ)
⇔ r = 2 cos(θ),
63
ya que r = 0. Por lo tanto, la representacion de la circunferencia (x − 1)2 + y2 = 1 encoordenadas polares es r = 2 cos(θ).
2. Hallar la representacion en coordenadas polares para la ecuacion de la recta y = mx.
Solucion:
y = mx ⇔ rsen(θ) = mr cos(θ) / : r cos(θ)
⇔ tan(θ) = m
⇔ θ = arctan(m)
⇔ θ = α,
donde α es el angulo de inclinacion de la recta.
Si la ecuacion de una curva esta representada en coordenadas polares, las sustituciones
r =√x2 + y2 y tan(θ) =
y
xtransforman la misma ecuacion al sistema de coordenadas rectangu-
lares. Tambien se utilizan las sustituciones,
sen(θ) =y√
x2 + y2y cos(θ) =
x√x2 + y2
.
Ejemplos:
1. Determinar la representacion rectangular de la curva cuya ecuacion polar es
r =4
1 + 2 cos(θ).
Solucion:
Sustituyendo en la relacion anterior, se tiene√x2 + y2 =
4
1 + 2 x√x2+y2
⇔√x2 + y2 + 2x = 4
⇔ x2 + y2 = (4− 2x)2
⇔ 3x2 − y2 − 16x+ 16 = 0
⇔(x− 8
3
)2169
− y2
163
= 1.
La cual representa a la ecuacion de una hiperbola.
2. Determinar la representacion rectangular de la curva cuya ecuacion polar es r = a, a ∈ R.
64
Solucion:
Como r =√x2 + y2, se tiene
a =√
x2 + y2 ⇔ x2 + y2 = a2.
La que corresponde a una circunferencia con centro en el origen y radio |a|.
3.2 Trazado de curvas en coordenadas polares
Para trazar las curvas en coordenadas polares, se seguiran esencialmente los mismos proce-dimientos empleados en coordenadas rectangulares.
1. Intersecciones
(a) Con el eje polar. Se hace θ = kπ, k ∈ Z y se determina r, usualmente bastaconsiderar k = 0 y k = 1.
(b) Con el ejeπ
2. Se hace θ = (2k + 1)
π
2, k ∈ Z y se determina r, usualmente basta
considerar k = 0 y k = 1.
Si existe un valor de θ para el cual r = 0, entonces la grafica pasa por el polo.
2. Simetrıas
(a) Con respecto al eje polar. Si en la ecuacion polar se sustituye:
i. θ por −θ, oii. θ por π − θ y r por −r,
y la ecuacion no se altera o se transforma en una ecuacion equivalente, entonces lagrafica de la curva es simetrica con respecto al eje polar.
(b) Con respecto al ejeπ
2. Si en la ecuacion polar se sustituye:
i. θ por π − θ, o
ii. θ por −θ y r por −r,y la ecuacion no se altera o se transforma en una ecuacion equivalente, entonces la
grafica de la curva es simetrica con respecto al ejeπ
2.
(c) Con respecto al polo. Si en la ecuacion polar se sustituye
i. θ por π + θ, o
ii. r por −r,y la ecuacion no se altera o se transforma en una ecuacion equivalente, entonces lagrafica de la curva es simetrica con respecto al polo.
65
3. Dominio
Para determinar el dominio, se despeja r en funcion de θ. Considerando r = f(θ), se tieneθ variable independiente, con θ ∈ R. La variable dependiente, r, producira un punto parala grafica, siempre que su valor sea un real.
4. Construccion de una tabla de valores.
5. Trazado de la grafica.
Ejemplo:
Graficar la curva r = 6(1− cos(θ)), indicando, intersecciones, simetrıas y dominio.
Solucion:
1. Intersecciones
(a) Con el eje polar:
Si θ = 0 ⇒ r = 6(1− cos(0)) = 0.
Si θ = π ⇒ r = 6(1− cos(π)) = 12.
Por lo tanto, las intersecciones con el eje polar son [0; 0] y [12; π].
(b) Con el ejeπ
2:
Si θ =π
2⇒ r = 6(1− cos(
π
2)) = 6.
Si θ =3π
2⇒ r = 6(1− cos(
3π
2)) = 6.
Por lo tanto, las intersecciones con el ejeπ
2son [6;
π
2] y [6;
3π
2].
2. Simetrıas
(a) Con respecto al eje polar:
Sustituyendo θ por −θ, se tiene
r = 6(1− cos(−θ)) = 6(1− cos(θ)),
de modo que la curva es simetrica con respecto al eje polar.
(b) Con respecto al ejeπ
2:
Sustituyendo θ por π − θ, se tiene
r = 6(1− cos(π − θ)) = 6(1 + cos(θ)) = 6(1− cos(θ)).
66
Sustituyendo θ por −θ y r por −r, se obtiene
−r = 6(1− cos(−θ)) = 6(1− cos(θ)),
luego −6(1−cos(θ)) = 6(1−cos(θ)). Por lo tanto, la grafica de la curva no es simetrica
con respecto al ejeπ
2.
(c) Con respecto al polo:
Sustituyendo θ por π + θ, se tiene
r = (1− cos(π + θ)) = 6(1 + cos(θ)) = 6(1− cos(θ)).
Sustituyendo r por −r, se tiene
−r = 6(1− cos(θ)) = 6(1− cos(θ)).
Por lo tanto, la grafica de la curva no es simetrica con respecto al polo.
3. Dominio:
Para todo valor de θ, r es un numero real, luego el dominio es R. (Por la periodicidad dela funcion cos(θ) basta considerar θ ∈ [0, 2π])
4. Tabla de valores:
θ 0π
6
π
3
π
2
2π
3
5π
6π
r 0 6− 3√3 3 6 9 6 + 3
√3 12
5. Grafica:
Figura: Grafica de r = 6(1− cos(θ))
67
Graficas de algunas curvas tıpicas y su respectiva ecuacion
1. Rosa de 4 hojas.
2. Lemniscata de Bernoulli.
68
3. Limacon de Pascal.
Ejercicios propuestos
1. Trazar los siguientes puntos en el sistema polar:
(a) P1 = [1 : 135◦].
(b) P2 = [−2; π3].
(c) P3 = [3; 75◦].
(d) P4 = [−4; 2π3].
2. Dos de los vertices de un triangulo equilatero son [0; 73◦] y [1; π]. Hallar el par principalde coordenadas polares del tercer vertice (Dos casos). Indicacion: Se entendera por parprincipal de coordenadas polares, al unico par [r; θ] tal que r > 0 y −π < θ ≤ π.
3. Un punto F se mueve de tal manera que para tomar todos los valores de su angulo polar,su radio vector permanece constante e igual a 2. Identificar el lugar geometrico de P .
4. Hallar el par principal de coordenadas polares de cada uno de los puntos cuyas coordenadasrectangulares son (−2, 3) y (3,−2).
5. Pasar cada ecuacion rectangular a su forma polar:
(a) x2 + y2 = 4.
(b) 5x− 4y + 3 = 0.
(c) 2x− y = 0.
(d) x2 − 4y − 4 = 0.
69
6. Pasar cada ecuacion polar a su forma rectangular:
(a) r = 4sen(θ).
(b) r − r cos(θ) = 4.
(c) r =2
2− cos(θ).
(d) sen2(θ)− 4r cos2(θ) = 0.
7. Graficar las siguientes curvas:
(a) r = 8 cos(θ).
(b) r = 3(1− sen(θ)).
(c) r = 6sen(θ).
(d) r = a cos(θ).
(e) r = a2 cos(2θ).
(f) r = a+ b cos(θ), 0 < b < a.
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