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Estelí, 2010

PRESENTACIÓN

La educación construye el capital humano para el crecimiento económico y para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestra región en una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo de información y destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas educativos y la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un requerimiento insustentable.

Para hacer frente a los retos del siglo XXI, es indispensable futuro ingeniero que te replantees nuevos objetivos en tu vida, esencialmente en tu educación, mejora tu calidad de entrega hacia los estudios, para que puedas impulsar un aprendizaje permanente bajo una cultura de paz y justicia social.

Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedad de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de establecer puentes entre la Matemática, la realidad natural y social que rodea a los jóvenes.

Al organizar este material, nos hemos guiado por el interés de contribuir al mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en nuestra región con énfasis en las carreras de ingenierías. Hemos realizado este loable esfuerzo de presentarte, estimado estudiante, este dosier de Matemática Propedéutica con el propósito de fortalecer tus conocimientos en esta área y particularmente en estos temas para que estés listo de iniciar tu carrera de ingeniería.

El propósito de este dosier es ofrecerte un material pedagógicamente confiable para que se te facilite tu aprendizaje, con precisión matemática y comprensible, con una visión para estudiantes con expectativas de coronar tu carrera universitaria.

Este material comprende cinco unidades con descripción de conceptos, ejemplos resueltos y ejercicios propuestos:

I Unidad: Aritmética.

II Unidad: Álgebra.

III Unidad: Geometría Euclidiana.

IV Unidad: Relaciones, Funciones y Gráficas.

V Unidad: Vectores y Geometría Analítica Plana.

La Aritmética nos proporciona el aprendizaje básico que debemos dominar para profundizar en las restantes unidades que vamos a desarrollar. Un buen conocimiento de la aritmética es tan fundamental como saber leer y escribir y no puede reducirse a los algoritmos para realizar las cuatro operaciones fundamentales. Muchos de los fenómenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no podemos percibirlos directamente o tratarlos de manera puramente cualitativa, sino que requieren técnicas cuantitativas de recolección y tratamiento de información.

Los contenidos que ofrece el texto sobre álgebra están enriquecidos con ejercicios de aplicación, enfatizado en las operaciones fundamentales que ésta requiere. Ecuaciones aplicadas a problemas cotidianos de la ingeniería y la vida.

En la unidad de Geometría Euclidiana te ofrecemos una serie de teoremas y postulados con una secuencia lógica y una serie de gráficos atractivos vinculados a la percepción de figuras planas, asociadas al medio que te rodea.

Una de los contenidos más fructíferos y de mayor aplicación en la matemática y en otras ciencias, es la utilización de las Funciones para la interpretación objetiva de los fenómenos físicos y químicos. En esta unidad se presentan diversas gráficas para una mejor comprensión de las diferentes teorías, mostramos también la riqueza de la aplicación a problemas relacionados con la solución de la problemática del medio que nos rodea.

Con respecto a los vectores el texto expone los elementos básicos gráficos de espacio y tiempo, esencialmente aplicados a la ingeniería y con una orientación específica de aplicación a la física.

Uno de los grandes atractivos de la matemática consiste en la aplicación de la geometría analítica a las diferentes ciencias, ingenierías y ramas de éstas, aportando elementos fundamentales para la modelación de proyectos arquitectónicos - cónicos aplicados en la construcción de obras de ingeniería.

Se resaltan algunos teoremas y definiciones para dar énfasis y permitir una localización rápida. Las gráficas a lo largo del material permiten reforzar la comprensión de los conceptos de Matemática que pudiesen resultar complejos, así como aplicaciones de la vida real.

El corazón de cualquier material de Matemática son los ejercicios que mantienen vivo el interés, exploración, práctica y comprensión del mismo. Ofrecemos una variedad de ellos con sus respectivas soluciones.

Detallamos soluciones de ejercicios, gráfica y analíticamente, para proporcionar oportunidades en la práctica y una visión amplia de la matemática. Muchos ejemplos incorporan análisis de datos reales.

I UNIDAD “ARITMÉTICA”

Curso Propedéutico 2010

INTRODUCCIÓN

Las primeras referencias de la Matemática avanzada y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Esta Matemática estaba dominada por la Aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Aritmética es la rama de la Matemática que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

Hemos elaborado esta unidad con la visión de que ustedes jóvenes con una excelente

formación van a ser los futuros profesionales de Nicaragua por lo tanto necesitan una sólida

base en la Matemática para poder resolver los problemas que se les presenten en su entorno.

La unidad de Aritmética es relevante en el aprendizaje de los ingenieros, su

implementación juega un doble roll en el proceso de formación, por un lado desarrolla la

capacidad de análisis, habilidad en el cálculo mental y escrito; por otro lado contribuye a la

formación del pensamiento lógico – deductivo del estudiante, al manejo del lenguaje

técnico pues desarrolla las destrezas necesarias para la búsqueda de las soluciones a las de

diversas problemáticas de Aritmética.

Esta unidad comprende el estudio de las propiedades de los números reales, operaciones básicas de Aritmética, descomposición factorial, potenciación, regla de tres, notación científica y unidades de medida. El propósito es desarrollar habilidades, destrezas y capacidad de análisis propositivas en el estudio de la Aritmética.

OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD

Reconocer la importancia de la Aritmética y de la Matemática como instrumentos que permiten resolver situaciones problemáticas cotidianas de nuestra vida.

Lograr que los estudiantes participantes en el curso, desarrollen las destrezas necesarias para la solución de diversos problemas de Aritmética de relativa dificultad, a fin de que se apropien del conocimiento científico.

Aplicar las propiedades de los números reales, las operaciones básicas de aritmética, y proporcionalidad en la solución de variedad de ejercicios y problemas de la vida real.

Motivar a los estudiantes a desarrollar una actitud positiva en el proceso de aprendizaje para lograr resultados significativos en el trabajo en equipo.

CONTENIDOS A DESARROLLAR

1. Conjunto de los números reales

2. Propiedades de los Números Reales (+, *).

3. Operaciones (+,-,*, /)

4. Descomposición factorial ( MCD y MCM)

5. Potenciación

6. Regla de Tres

7. Notación científica

8. Unidades de medidas

El Conjunto de números reales

En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos:

El conjunto de números Naturales denotado por: N = {1,2,3,...}

Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar.

El conjunto de números Cardinales denotado por: W = {0,1,2,3,...}

Observa que son los naturales más el cero.

El conjunto de números Enteros denotado por: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Observa que son los cardinales más los negativos.

El conjunto de números Racionales denotado y definido por:

Q = {N.Z,decimales finitos, raíces exactas,fracciones}

El conjunto de números Irracionales denotado y definido por:

Q' = {decimales infinitos no repetitivos}

Estos números no se pueden expresar COMO UN COCIENTE ENTRE DOS ENTEROS

Anota y recuerda:

Todo número entero se puede escribir como un número racional de la forma

Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma

Ejemplos:

Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito repetitivo.

Ejemplos:

2/5=0.4 decimal finito 1/3= 0.333 decimal infinito repetitivo

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

ConmutativaSuma a+b = b+a El orden al sumar o

multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

Multiplicación ab = ba 5(-3) = ( -3)5


AsociativaSuma a+(b+c)=(a+b)+c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

Multiplicación a(bc) = (ab)c -2(4x7)= (-2x4)7


Identidad Suma a + 0 = aTodo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la

identidad aditiva.(-11) + 0 = -11

Multiplicación a x 1= aTodo real multiplicado por 1

se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

17 x 1 = 17


Inversos

Suma a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero. 15+ (-15) = 0

Multiplicación a(1/a)=1 El producto de recíprocos es 1. (4)(1/4)=1


Distributiva Suma respecto a Multiplicación a(b+c) = ab + ac

El factor se distribuye a cada

sumando.2(x+8) =2(x) + 2(8)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. (- ( - 9 )) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. ( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. ( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores

es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces a + b = 0 ó a – b = 0

OPERACIONES CON RACIONALES

Propiedad de los cocientes

Que dice Ejemplo

a/b=c/d entonces ad=bcDos fracciones son iguales si el

producto cruzado entre sus términos es igual.

1/2=6/12 entonces 1(12)=2(6)

(ad)/(bd)=(a/b)Al simplificar una fracción se

eliminan los divisores comunes entre sus términos.

6/22=3(2)/11(2)=3/11

(-a)/(b)=(a)/(-b)= - (a)/(b)Una fracción es negativa si al menos uno de sus términos es

negativo.(-9)/(12)=(9)/(-12)= - (9/12)

(a/b)+(c/d)=(a+c)/b

La suma de fracciones con denominadores iguales es igual a la suma de los numeradores sobre el mismo denominador.

(5/10)+(7/10)=(5+7)/10=12/10

(a/b)+(c/d)= ((a*d)+(b*c))/(b*d)

La suma de fracciones con denominadores diferentes es igual a la suma del producto cruzado sobre el producto de

los denominadores.

(1/2)+(2/3)=((1*3)+(2*2))/(2*3)= (3+4)/6=7/6

(a/b)*(c/d)=ac/bd

El producto de fracciones es igual al producto de los

numeradores sobre el producto de los denominadores.

(4/7)*(3/5)=(4*3)/(7*5)=12/35

(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)= (ad)/(bc)

El cociente de fracciones es igual a la multiplicación del

recíproco del divisor.(1/2)/(3/5)=(1/2)*(5/3)= (1*5)/(2*3)=5/6

Ejemplos de operaciones con números racionales

Descomposición factorial (MCD y MCM)

Máximo Común Divisor; de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Se designa por las iniciales m.c.d, o también M.C.D.

Cálculo del máximo común divisor de dos números

Para obtener el máximo común divisor de dos números naturales, por ejemplo de 12 y 8, seguimos los siguientes pasos:

1. Hallamos los divisores de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo dividimos entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 12, ambos incluidos:

Los divisores de 12 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

2. Hallamos los divisores del otro número, el 8, dividiéndolo entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 8, ambos incluidos:

Los divisores de 8 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 4 y 8.

3. Comparamos los divisores de ambos números, 12 y 8, y vemos los que tienen en común: 1, 2 y 4.

El mayor de ellos es 4. Por tanto: m.c.d. (12, 8) = 4

Resolución de problemas con m.c.d.

Utilizamos el máximo común divisor en problemas en los que hay que repartir dos o más cantidades de objetos, personas…, en grupos del mayor tamaño posible sin que sobre ninguno. Veámoslo con dos ejemplos.

1. En la UNI – NORTE se han apuntado para jugar baloncesto 12 varones y 18 mujeres. ¿Cuántos equipos de varones y cuántos de mujeres del mismo número de jugadores y del mayor número posible de ellos podremos formar sin que sobre nadie?

Debemos calcular el máximo común divisor de 12 y 18. Para ello hallamos los divisores de los dos números:

divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6 y 12; divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Por tanto: m.c.d. (12, 18) = 6

Hemos de formar equipos de 6 jugadores. Como somos 12 varones y 18 mujeres, se podrán formar: 12 : 6 = 2 equipos de varones 18 : 6 = 3 equipos de mujeres

2. Quiero repartir 20 lápices rojos y 30 azules en varios vasos, de manera que haya el mismo número de lápices, todos del mismo color, en cada vaso y no me sobre ninguno. ¿Cuántos puedo meter como máximo en cada vaso? ¿Cuántos vasos usaré?

Debemos calcular el máximo común divisor de 20 y 30. Hallamos sus divisores:

divisores de 20 = 1, 2, 4, 5, 10 y 20; divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Por tanto: m.c.d. (20, 30) = 10

Hemos de formar grupos de 10 lápices del mismo color. Como en total hay 20 + 30 = 50 lápices, podré formar 50 : 10 = 5 grupos, sin que sobre ningún lápiz. Usaré, por tanto, 5 vasos.

Se ha organizado en el colegio un campeonato de fútbol y otro de voleibol, de manera que se celebra un partido de fútbol cada 3 días y uno de voleibol cada 4 días. Si hoy se ha celebrado un partido de ambos deportes, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir?

Si calculamos cada cuántos días se juega al fútbol: 3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 – 21 - 24…

Y cada cuántos se juega al voleibol: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24…

Vemos que coinciden a los 12, a los 24…

La primera vez que vuelven a coincidir los dos deportes es dentro de 12 días, siendo 12 el menor múltiplo que es común a 3 y a 4.

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de sus múltiplos comunes. Se escribe abreviadamente: m.c.m.

Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números naturales, por ejemplo 12 y 15, seguimos los siguientes pasos:

1. Hallamos los múltiplos de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo multiplicamos por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2. Hallamos los múltiplos del otro número, el 15, multiplicándolo por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

3. Comparamos los múltiplos de uno y otro número, y vemos los que tienen en común: 60, 120...

El menor de ellos es 60. Por tanto: m.c.m. (12, 15) = 60

Si quieres, puedes seguir los mismos pasos y practicar hallando: a) m.c.m. (2, 5); b) m.c.m. (4, 6); c) m.c.m. (10, 15), y d) m.c.m. (9, 21), que aparecen en la tabla siguiente.

Mínimo común múltiplo

Múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12... Múltiplos de 5 = 5, 10, 15... m.c.m. (2, 5) = 10Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16... Múltiplos de 6 = 6, 12, 18... m.c.m. (4, 6) = 12

Múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40... Múltiplos de 15 = 15, 30, 45... m.c.m. (10, 15) = 30

Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63... Múltiplos de 21 = 21, 42, 63... m.c.m. (9, 21) = 63

Resolución de problemas con m.c.m.

Utilizamos el mínimo común múltiplo en problemas en los que hay que hallar una cantidad que sea un múltiplo común de otras dos o más cantidades, y que además sea el menor de entre ellos. Veámoslo con dos ejemplos.

1. Carlos va cada tres días a la piscina a nadar, mientras que Pedro va cada cuatro. Si han coincidido hoy, ¿dentro de cuántos días se volverán a encontrar? ¿Y cuándo coincidirán por tercera vez?

Hemos de calcular el mínimo común múltiplo de 3 y 4:

múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24... múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24...

Por tanto: m.c.m. (3, 4) = 12

Volverán a encontrarse en la piscina dentro de 12 días. Y la tercera vez que coincidirán será dentro de 24 días.

¿Sabrías decir dentro de cuántos días coincidirán por cuarta vez? ¿Y cuándo será su quinto encuentro?

2. En el árbol de Navidad ponemos bombillas de colores: rojas, azules y amarillas. Las rojas se encienden cada 10 segundos, las azules cada 15 segundos y las amarillas cada 8 segundos. ¿Cada cuántos segundos coincidirán todas encendidas? ¿Cuántas veces lucirán todas juntas a lo largo de una hora?

Hemos de calcular el menor de los múltiplos comunes a 10, 15 y 8 segundos, es decir, su mínimo común múltiplo. Hallamos los múltiplos de cada uno:

múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120... múltiplos de 15 = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120...

múltiplos de 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120...

Por tanto: m.c.m. (10, 15, 8) = 120

Es decir, las bombillas de los tres colores se encenderán a la vez cada 120 segundos, que son 2 minutos.

Y como 1 hora = 60 minutos, en 1 hora coincidirán todas encendidas 60: 2 = 30 veces.

Potenciación

Un número de la forma bn significa b x b x b x... x b (b multiplicado por si mismo n veces). La b se conoce como la base y la n como el exponente. El producto de bn se conoce como una potencia de b. La expresión bn se lee como " b a la enésima potencia".

Ejemplo

52 = 5 x 5 = 25.

La expresión se lee como " cinco a la segunda potencia" o " cinco al cuadrado". También se dice que 25 es el cuadrado de 5 o la segunda potencia de 5.

Ejemplo

( -8 )3 = ( -8 )( -8 )(-8 ) = -512.

La expresión se lee como " negativo ocho a la tercera potencia " o " negativo ocho al cubo”. Observa

a) 34 = (3)(3)(3)(3) = 81

b) ( -3 )4 = ( -3)( -3)( -3)( -3) = 81

c) 53 = (5)(5)(5) = 125

d) ( -5) 3 = ( -5)( -5)( -5) = -125

Recuerda !Una base negativa elevada a un exponente par da producto positivo PERO una base negativa elevada a un exponente impar da producto negativo.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Propiedad Que dice Ejemplos

b0 = 1 si b ≠ 0

Toda base elevada a la cero es 1, excepto el

cero.

40 = 1, 100 =1 (1/2)0 =1

Propiedad Que dice Ejemplos Un exponente

negativo es el recíproco de la potencia positiva.


bm bn = bn+m

En el producto con bases iguales se suman los

exponentes.

22 23 = 22 + 3 = 25 = 32

(- 5)2 (- 5)( - 5)3 =(- 5) 6 = 16625


(bm )n = bn m

Una base con doble

exponente; se multiplican los

exponentes.

(33)2 = 3 3 x 2 = 36 = 729

(-33)2 = (-3)3 x 2 = (-3)6 = 729


En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.


Un cociente elevado a un

exponente; cada término se eleva a ese exponente.


(b/a)-3=(b/a)3 =b3 /a3

Un cociente con exponente negativo es el

recíproco del cociente positivo.

Propiedad Que dice Ejemplos Un cociente

donde cada término tiene

exponente negativo es el

recíproco positivo de cada

término.

Regla de tres

La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva.

Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:

Problema a resolver: si necesito 3,5 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 7 habitaciones?

Este problema suele interpretarse de la siguiente manera:

2 habitaciones son a 3,5 litros como 7 habitaciones son a Y litros.

La solución es una "regla de tres simple directa": basta con multiplicar 7 por 3,5 y el resultado dividirlo entre 2. Necesitaré, por tanto, 12,25 litros de pintura. De manera formal, la regla de tres simple directa enuncia el problema de la siguiente manera:

A es a B como X es a Y

lo que suele representarse así:

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Formal

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

donde A es 2, B es 3,5, X es 7 e Y es el término desconocido. Para resolver todas las reglas de tres simples directas basta con recordar la siguiente fórmula:

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, cuando el tercer término (X) crece, también crece el término que intentamos averiguar (Y), y viceversa. En el ejemplo anterior, cuando el número de habitaciones aumenta, es obvio que necesitaremos más pintura, y cuando el número de habitaciones es menor, necesitaremos menos pintura. Es lo que se llama una relación directamente proporcional. Sin embargo la vida cotidiana puede ofrecer situaciones en las cuales la relación sea inversamente proporcional, es decir, si aumenta X, entonces Y disminuye, y viceversa. Veamos el siguiente ejemplo:

Problema a resolver: si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos menos obreros trabajen, más horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajan a la misma velocidad). Tenemos por tanto una relación de oporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa. Su resolución en este caso se plantea inicialmente de la misma forma, pero se resuelve de manera distinta. Al igual que antes, tenemos:

8 trabajadores son a 10 horas, como 5 trabajadores son a Y horas.

La solución pasa por multiplicar 8 por 10, y el resultado dividirlo por 5. Necesitarán, por tanto, 16 horas (nótese que si fuera una regla de tres directa hubiéramos operado multiplicando 5 por 10 y dividiendo el resultado por 8, lo que nos daría un resultado equivocado).

Formalizado, como antes:

A es a B como X es a Y

lo que se representa como:

Siendo la solución formalizada la siguiente (nótese el cambio de orden de los valores):

Es importante examinar con atención el enunciado para descubrir si se trata de una proporción directa o inversa.

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 $. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más dinero Directa.A más horas, más dinero Directa.

9 grifos 10 horas 20 $

15 grifos 12 horas x $

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más días Inversa.A más horas, menos días Inversa.

5 obreros 6 horas 2 días4 obreros 7 horas x días

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos días Inversa.A más horas, menos días Inversa.A más metros, más días Directa.

8 obreros 9 días 6 horas 30 m

10 obreros x días 8 horas 50 m

Notación científica

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

a* 10n

siendo:

a = Un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de mantisa.

n = Un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

100 = 1 101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

108 = 100 000 000

http://es.wikipedia.org/wiki/Coma_flotante

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Exponente

http://es.wikipedia.org/wiki/Mantisa

http://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n – 1 ceros) 1:

10–1 = 1/10 = 0,1 10–3 = 1/1000 = 0,001

10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1024,

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9.10939×10–31kg.

Usos

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida de forma concisa.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo:

1 × 104 + 3 ×104 = 4 × 104

http://es.wikipedia.org/wiki/Resta

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativos

http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgitos_significativos

http://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3n

2 × 104 + 3 ×105 = 5 × 105 0.2 × 105 + 3 ×105 = 3.2 × 105

Para sumar y restar dos números (o más) debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando los correspondientes exponentes hasta que todos sean iguales.

Ejemplo:

2 × 104 + 3 ×105 - 6 ×103 (tomamos el exponente 5 como referencia) 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 3,14 ×105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes.

Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador).

Ejemplo: (4×1012)/(2×105) =2×107

Potenciación Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012

Unidades básicas de Medida.

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias.

Magnitud Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

1. Al resolver (-6) - (-7) se obtiene:a) -1b) 1c) 13d) -13e) Ninguna de las anteriores

2. Al operar 3-5(2+7(5 - 6)) el resultado es:a) -5b) 25c) 22d) 28e) NDLA

3. Al resolver se obtiene:

a) 2b) 14c) 18d) 24e) NDLA


a) 17/12b) 1c) ¼d) -25/12e) NDLA


a) 4

Ejercicios propuestos

b) 10c) 125/72d) 1/10e) NDLA

6. El resultado que se tiene al operara) -2/5b) 2/5c) -20/9d) 20/9e) NDLA


a) 5/2b) 5/3c) 3/5d) 2/5e) NDLA

8. Al simplificar la respuesta es:

a) 25b) 1/25c) -5

d)e) NDLA

9. Al efectuar la operación Se obtiene:

a) 1875b) 7,5c) 875d) 12,5e) NDLA

10. Al operar se obtiene:

a) -20b) 2,0c) 0,5d) -0,5e) NDLA

11. Al operar se obtiene:

a) 7,7b) -0,2c) -11,8d) -6,2e) NDLA

12. Hallar el MCD de 9, 6, 12a) 3b) 36c) 6d) 12e) NDLA

13. El mcm de 36,25,8 es a) 100b) 800c) 3600d) 1800e) NDLA

14. Si y el mcm es 9000, entonces x es igual:

a) 2b) 3c) 1d) 0e) NDLA

15. El 0,75% de 420 es:a) 560b) 315c) 3,15d) 0,315

e) NDLA

16. ¿Qué tanto % representa 17 de 68?a) 4%b) 400%c) 25%d) 11.56%e) NDLA

17. Los ¾ de los 4/5 de 200 litros es:a) 120 ltb) 187,5 ltc) 213,3 ltd) 310 lte) NDLA

18. 3,6 decímetros convertidos a metros son:a) 36 mb) 0,36 mc) 0,036md) 360 me) NDLA

19. Al convertir 20 km2 a m2 resulta:a) 2 x 102 m2

b) 20 x 106 m2

c) 20 x 1010 m2

d) 20 x 1015 m2

e) NDLA

20. Calcular la capacidad en litros de una caja de 0,5m de largo, 20 cm de ancho y 30 mm de profundidad:

a) 3000 ltb) 30 ltc) 3 ltd) 6 lte) NDLA

21. Un individuo va al supermercado y gasta $900. A esta cantidad se le debe de agregar el impuesto que corresponde al 7% ¿Cuánto es el valor total a pagar?

a) $63b) $963c) $1053d) $1530e) NDLA

22. Una hectárea de tomate necesita 139 Kg de Urea, sabiendo que la Urea contiene 46% de nitrógeno ¿Qué cantidad de Nitrógeno necesita dicha hectárea?

a) 302 Kgb) 139 Kgc) 1Kgd) 63,94 Kge) NDLA

23. 20 labradores araron un terreno en 10 días trabajando 8 horas diarias (suponga que el rendimiento sea constante). Si 60 hombres labraron el mismo terreno en 8 días, el numero de horas que se trabajaron por día es:

a) 2,67 hrsb) 4 hrsc) 30 hrsd) 3.33 hrse) NDLA

24. Una cuadrilla de jornaleros han realizado una obra en 10 días trabajando 8 hrs. Cuantas horas deberán de trabajar aproximadamente para terminar la obra en 6 días.

a) 10 hrsb) 11,1 hrsc) 12 hrs d) 13,3 hrse) NDLA

Soluciones

Ejercicio Solución Ejercicio Solución1 b 13 d2 d 14 c

3 a 15 c4 a 16 c5 d 17 a6 b 18 b7 b 19 b8 b 20 c9 b 21 b10 b 22 d11 b 23 d12 a 24 d

II UNIDAD “ÁLGEBRA”

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INTRODUCCIÓN

El álgebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más

general posible.

El concepto de la cantidad en álgebra es mucho mas amplio que en aritmética.

En aritmética las cantidades se expresan en números y estos expresan valores determinados.

Así, 10 expresa un solo valor: diez; para expresar un valor menor o mayor que este habrá

que escribir un número distinto de 10.

En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras,

las cuales pueden representar todos los valores. Así, x representa el valor que nosotros le

asignemos, y por lo tanto puede representar 10 o más de 10 o menos de 10, a nuestra

elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un

valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto

del que le hemos asignado.

Es indispensable que para alcanzar con éxito el estudio del álgebra, demos una mirada

hacia el conjunto de los números reales que es realmente donde está la base para el

razonamiento lógico que esta rama de la Matemática requiere, que ya analizamos en el

encuentro anterior.

Esta unidad comprende el estudio de las operaciones con expresiones algebraicas,

factorización por evaluación, teorema del binomio, operaciones con fracciones algebraicas,

ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas. El propósito es desarrollar habilidades,

destrezas y capacidad de análisis propositivas en el estudio del álgebra.

OBJETIVOS

Reconocer la importancia de la aritmética aplicada al álgebra como instrumentos que permiten resolver situaciones problemáticas cotidianas de nuestra vida.

Lograr que los estudiantes participantes en el curso, desarrollen las destrezas necesarias para la solución de diversos problemas del álgebra de relativa dificultad, a fin de que se apropien del conocimiento científico.

Aplicar las operaciones con expresiones y fracciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas en la solución de variedad de ejercicios y problemas.

Motivar a los estudiantes a desarrollar una actitud positiva en el proceso de aprendizaje para lograr resultados significativos en el trabajo de equipo.

Contenidos a desarrollar

Operaciones con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división

Factorización por evaluación

Teorema del Binomio

Operaciones con fracciones algebraicas

Ecuaciones lineales en una sola variable.

Ecuaciones cuadráticas en una sola variable

Desigualdades lineales y cuadráticas en una variable

Sistemas de Ecuaciones con 2 y 3 variables

Operaciones con Expresiones algebraicas.

Suma algebraica de monomios semejantes:

Para sumar varios monomios semejantes se suman algebraicamente sus coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal, su resultado es siempre un monomio.

Ejemplo: Determine la suma de los siguientes monomios

; y

Solución:

Ejemplo:

Simplificar:

Observemos que los más internos son los paréntesis por lo tanto son los primeros en eliminar.

Ahora eliminamos las llaves.

Ahora eliminamos los corchetes.

Nos queda reducir términos semejantes que bien podemos hacerlo de manera directa o bien agrupando; en este caso lo haremos agrupando.

Adición y sustracción de polinomios.

Aquí debemos tener especial cuidado con las propiedades de los números reales que se han analizado previamente.

Ejemplos:

1. Sumar 5x3-2x2+x-3 y 7x3+5x2+9

Solución:

= (5x3 - 2x2 + x - 3) + (7x3 + 5x2 + 9)

= 5x3 - 2x2 + x – 3 + 7x3 + 5x2 + 9

= 12x3+3x2+x+6

2. Restar 5x3-2x2+x-3 De 7x3+5x2+9

Solución:

Colocamos el minuendo al inicio que va acompañado de la palabra “De” y luego el sustraendo que va acompañado de la palabra “restar”.

= (7x3 + 5x2 + 9) - (5x3 - 2x2 + x - 3)

= (7x3 + 5x2 + 9) + (-1) (5x3 - 2x2 + x - 3)

= (7x3 + 5x2 + 9) + (-5x3+2x2-x+3)

= 7x3 + 5x2 + 9 - 5x3 + 2x2 - x +3

= 2x3 + 7x2 - x + 12

Restar un número de otro es lo mismo que sumar su inverso aditivo y se puede hacer multiplicando por (-1).

La adición y la sustracción podemos efectuarlo a forma vertical también, alineando términos semejantes y sumando sus coeficientes.

Ejemplos:

Sumar x4 - 3x3 + x2 ; -x3 - 2x2 + 3x y 3x2 - 4x – 5

x4 - 3x3 + x2

- x3 - 2x2 + 3x

3x2 - 4x - 5

x4 - 4x3 + 2x2 – x – 5

Restar 4x2-3x+5 de x2-8

Minuendo - Sustraendo

(x2 - 8) - (4x2 - 3x + 5)

x2 – 8 - 4x2 + 3x - 5

-3x2 + 3x - 13

Precaución:

Cuando use un arreglo horizontal para restar un polinomio con más de un término, debe encerrar al polinomio entre paréntesis. En consecuencia, para restar 2x + 5 de 4x – 11 se debe escribir:

4x – 11 - (2x+5) y no 4x – 11 - 2x + 5

Ejemplo:

Restar De

Multiplicación de Expresiones Algebraicas.

La multiplicación de expresiones algebraicas implica el uso de la propiedad distributiva y las propiedades de los exponentes.

Producto de dos Monomios.

Ejemplo: Obtenga el producto de los monomios: y

Producto de un Polinomio por un Monomio.

Ejemplo: Obtenga el producto de: y

Producto de dos Polinomios.

Ejemplo: Obtenga el producto de: y

Tenemos varios caminos para resolver esta situación

Forma Horizontal.

Distribuir cada término del binomio por el polinomio

Efectuar la multiplicación

Reducir términos semejantes

Forma Vertical.

División de Expresiones Algebraicas.

a) División de un monomio por otro monomio.

Si un monomio dividendo es divisible por un monomio divisor, el coeficiente es un monomio cuyo coeficiente es igual al cociente de los coeficientes del dividendo y del divisor. En la división también aplicamos las leyes de los exponentes.

Ejemplo:

1)

El resultado es un monomio.

2)

El resultado no es un monomio, no cumple con la definición.

3)

El resultado no es un monomio.

b) División de un Polinomio por un Monomio.

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales.

Ejemplo:

Efectúe:

1)

Solución:

2) Solución:

c) División de dos Polinomios.

Este proceso es un poco más tedioso por lo que se nos hace necesario seguir un procedimiento que nos ayude a efectuar la operación con éxito. Recordemos como resolvemos una división con números reales.

(División Exacta) (División Inexacta)

Le llamaremos a:

48 3

16 18(0)

325 4

8105(1)

325→ Dividendo = P(x)

4→Divisor = Q(x)

81→Cociente = q(x)

1 → Residuo = r(x)

48→ Dividendo = P(x)

3→Divisor = Q(x)

16→Cociente = q(x)

0→ Residuo = r(x)

De aquí se deduce la siguiente relación:

48 = (16 x 3) + 0

325 = (81 x 4) + 1

Dividendo = Cociente por Divisor más el Residuo.

P(x) = q(x) * Q(x) + r(x)

Cuando r(x) = 0 se dice que la división es exacta; Este mismo procedimiento utilizamos para dividir expresiones algebraicas.

Procedimiento a seguir para efectuar la división de polinomios.

Ordenar el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una misma variable, cuidando de rellenar los espacios vacíos con 0 por la variable faltante con su respectivo exponente.

Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica este término por los términos del divisor y el producto obtenido lo restamos del dividendo.

El residuo obtenido en el paso anterior se toma como nuevo dividendo y se repite el paso 2 para obtener el segundo término del cociente.

Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo cero o una expresión de grado inferior al del divisor, que será el resto o residuo.

Ejemplo:

1) Dividir

Observemos que tanto el dividendo como el divisor están completos y ordenados; por tanto iniciamos con el paso 2.

2) Dividir

Observemos que hay que completar y ordenar tanto el dividendo como el divisor.

4) Dividir

Aquí se debe de ordenar con respecto a ambas variables.

d) División Sintética

Regla de Ruffini

0

+2

División exacta

División inexacta

Demostraremos el procedimiento de manera ilustrada.

Ejemplo:

1) Dividir

Esté atento al procedimiento para que luego usted lo redacte con sus propias palabras.

Pasos que no debemos olvidar:

a) Revisar que el dividendo esté completo y ordenado.b) Extraer los coeficientes del dividendo y despejar el divisor.c) Bajar el primer coeficiente

El cociente es con resto -3. El polinomio resultante es de grado n-1.

2) Dividir

Cociente con residuo 5

Factorización por evaluación

Para facilitar la escritura del procedimiento desarrollamos el siguiente ejemplo.

Descomponga en factores los siguientes polinomios.

1)

Pasos:

Descomponemos el término independiente en sus posibles factores “a”.

1 -2 -5 2 1 +1

+1 -1 -6 -4

1 -1 -6 -4 -3

3 -4 +4 -10 8 +1/3

1 -1 1 -3

3 -3 3 -9 5

x – 1 = 0

x = 1

Evaluar A(x) en ellos hasta que encontremos valores tales que A(a) = 0.

Por lo tanto el polinomio es divisible por x + 1

Apliquemos la regla de Ruffini.

Cociente

Por tanto

Repetimos el proceso.

Los posibles valores de “a” son

Por tanto el polinomio es divisible por

Apliquemos de nuevo Ruffini para B.

Cociente

1 2 -5 -6 -1

-1 -1 6

1 1 -6 0

1 1 -6 2

2 6

1 3 0

Luego y en consecuencia

En resumen

Esta factorización presenta la ventaja de facilitar el cálculo de los ceros o raíces de la función polinomio.

Si , los valores que cumple A(a) = 0 deben verificar

Luego

Luego

Luego

El conjunto de los ceros o raíces es:

Teorema del Binomio (Binomio de Newton)

Comúnmente sabemos como desarrollar los binomios y ya que tenemos a mano una regla precisa. Pero ¿Qué sucede cuando se nos presenta la situación

o bien ? En este caso tenemos que acudir al desarrollo de potencias de binomios de la forma conocido como binomio de Newton en honor a Sir Isaac Newton (1642-1727) por haber establecido su generalización.

Antes de tratar el binomio de Newton, trataremos algunos conceptos previos a su desarrollo.

a) Factorial de un número:

Si tenemos “n” que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de “n” y lo representamos como n! al producto de los primeros números naturales no nulos.

Es decir un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1 hasta “n”.

Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores; no tienen sentido los símbolos 0! y 1! pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos se definen los números factoriales de 0! y 1! como 0! = 1 y 1! = 1.

Propiedades de los números factoriales:

1) Multiplicamos n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial, es decir n!(n+1)=(n+1)!; de esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n+1 entre n factorial obtenemos n+1; es decir

, ya que (n+1) = n!(n+1) por tanto

2) Si multiplicamos un número factorial k! por su consecutivo hasta llegar a n obtenemos el factorial de n, es decir

Ejemplo:

1! = 1

La mayoría de las calculadoras científicas tienen integrada la función n!

En ocasiones para efectos de simplificar una fracción, es necesario descomponer el factorial de un número n; por ejemplo:

b) Número Combinatorio.

Dado un número natural n y un número ( ó natural) definimos el “número combinatorio n, k” como:

Ejemplo:

Este número es llamado número combinatorio.

Volviendo al tema del Binomio de Newton, decíamos que al pretender desarrollar , lo podemos obtener multiplicando por si mismo 4 veces y si tuviésemos se procederá del mismo modo y así sucesivamente, hasta tener = n veces. Es obvio el tedio que sería calcular , por ejemplo; por lo tanto se hace necesario una fórmula que definimos a continuación:

¿Cómo encontrar un término cualquiera del desarrollo ?

Usamos la ecuación

Por ejemplo, determinar el quinto término del desarrollo .

Tenemos que n = 6 por el exponente del binomio y k = 5 porque es el término que nos piden encontrar, de lo que obtenemos:

Operaciones con Fracciones Algebraicas.

En álgebra efectuamos las operaciones con fracciones en forma similar que en aritmética. La diferencia es que usamos expresiones algebraicas en lugar de números.

Simplificación.

Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica.

Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador y el denominador no tienen factor común diferente de .

Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el numerador como el denominador y luego cancelamos los factores que sean iguales y que estén simultáneamente en ambos.

Ejemplo:

Simplificar

1)

2)

3)

Adición y Sustracción.

La adición y sustracción de fracciones algebraicas siguen las reglas de la adición y sustracción de fracciones con números reales.

3

4 2

21218

xyx y

.2.3. x 2. y .

2

y

.3.3. x 3 2. .x y 3

23

yx

Por lo tanto, las fracciones algebraicas se suman o se restan cuando tienen el mismo denominador, sumando o restando sus numeradores y dejamos el resultado con el denominador común. Si los denominadores no son los mismos, se convierten las fracciones a expresiones más complejas, usando el denominador común.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente sustracción de fracciones algebraicas y reducir la respuesta a su mínima expresión.

1.

Solución:

=

=

El mínimo común denominador es MCD = . Entonces.

=

= =

= =

2. Exprese como fracciones simples reducibles a su mínima expresión.

a)

Solución:

El m.c.d entre “ ” y “ ” es “ ” y entre “ ” y “ ” es “ ”.

= = = = =

b)

Solución:

Buscamos el m.c.m de los denominadores.

Luego del m.c.d es

= =

= = =

Multiplicación y División.

Se deduce la multiplicación y la división de fracciones algebraicas a partir de las reglas de multiplicación y división de números reales.

Tener presente que los resultados siempre que sea posible los simplificamos. Para ellos factorizamos todos los numeradores y denominadores y cancelamos los factores que sean comunes al numerador y al denominador. Con los factores que quedan realizamos los productos indicados.

Ejemplos:

Ecuaciones Lineales en una variable

Una ecuación esta formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números y variables.

Igualdad:

Expresiones que igualados cantidades con el mismo valor:

Ejemplo:

Ecuación:

Es una afirmación de que dos expresiones son iguales, en la que hay una o más incógnitas y que solo se verifica para determinados valores.

Ejemplo:

, es una ecuación con una incógnita con solución única, x = 3

Ecuaciones Lineales:

Definición: Una ecuación de la forma , , donde a y b son números reales, se llama Ecuación Lineal.

Ecuaciones Lineales con una variable real.

Una ecuación de la forma , donde ; a 0 recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo:

Resuelva:

Solución:

Es necesario comprobar que el resultado obtenido satisface la ecuación original.

Ejemplo:

Resuelva

Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos a ambos miembros por el m.c.m de los denominadores de las fracciones en la ecuación.

m.c.m , ,

, ,

Si sustituimos en la ecuación original, se verifica que este valor si satisface la ecuación, por tanto la solución es .

Ecuaciones Cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo con y .

Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que estudiaremos a continuación.

Método de Factorización.

Anteriormente estudiamos los diferentes casos de Factorización pues aquí es donde aplicamos el caso que contiene un trinomio de la forma .

Ejemplo:

Resuelva

Solución:

Aplicamos el método de factorización para obtener una ecuación equivalente:

Si aplicamos la multiplicación por cero:

ó

Las soluciones de las ecuaciones lineales son:

y

Estas son las raíces de la ecuación cuadrática y se puede verificar sustituyendo en la ecuación original.

Método de Raíz Cuadrada.

Si la ecuación cuadrática tiene la forma especial , para

Podemos resolver factorizando

ó

Un método alternativo para resolver esta ecuación es sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

Esto se resume como el Método de la raíz cuadrada

Si , , entonces

Ejemplo:

Utilice el método de la raíz cuadrada para resolver

Solución:

Multiplicamos ambos lados por

, Extraemos raíz cuadrada a ambos.

, las raíces de la ecuación son

Método de Completación de Cuadrados.

Cuando una expresión cuadrática no puede ser factorizada fácilmente, podemos encontrar las raíces completando cuadrado. Esta técnica se aplica a la expresión cuadrática de la forma .

Esto es, la expresión cuadrática debe tener 1 como coeficiente principal. Reescribimos la ecuación

De modo que sólo los términos que lleven la variable x están al lado izquierdo de la ecuación.

Luego agregamos el término a ambos lados.

Obtenemos así en el miembro izquierdo un trinomio cuadrado perfecto, que factorizamos:

Es fácil utilizar el método de la raíz cuadrada.

Resuelva , Completando cuadrados.

Solución:

Para aplicar el método debemos tener como coeficiente principal la unidad, por lo que dividimos toda la expresión por el coeficiente de x2, obteniendo:

Luego reescribimos la ecuación como:

Añadimos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos lados

Factorizamos el miembro izquierdo:

Extraemos raíz cuadrada a ambos lados:

Las raíces de la ecuación cuadrática son:

Por medio de la Fórmula General.

La naturaleza de las raíces está determinada por el radicando , al cual se le llama discriminante.

Discriminante Raíces

Dos raíces reales diferentes

Raíces reales iguales

No hay raíces reales, son raíces complejas conjugadas.

Ejemplo:

Resuelva

Solución:

De la fórmula cuadrática con , , , tenemos:

Las soluciones son:

Desigualdades o Inecuaciones Lineales y Cuadráticas

Desigualdades Lineales.

Los enunciados que incluyen relaciones tales como: , , ,

, se llaman inecuaciones o desigualdades.

Una solución de una desigualdad lineal es cualquier número que, cuando se le sustituye por la variable, hace que el enunciado sea verdadero.

Por ejemplo si sustituimos en , el enunciado es verdadero .

Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de todos los números reales que hacen verdadero el enunciado; esto ocurre cuando encontramos una desigualdad equivalente con solución obvia.

Se dice que dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Ejemplo:

Definición: Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma , ; donde a y b son números reales; se llaman inecuaciones lineales en x. si el símbolo en la ecuación se reemplaza por , la desigualdades resultante también se llama desigualdades lineales.

Resuelva

Solución:

, restando 4 a ambos lados.

, restando 5x a ambos lados.

, multiplicando por a ambos lados

En el ejemplo anterior, la solución escrita en forma de intervalo y gráfica seria respectivamente.

Ejemplo:

Resuelve

Solución:

243 x

23 x

Solución:

0

40

Desigualdades Cuadráticas

Una desigualdad cuadrática es una proposición de la forma , , , , y .

Ejemplo:

Para resolver la desigualdad ;

Factorizamos

Debemos determinar cuando los dos factores son positivos o negativos, que nos resultará un producto positivo.

Para esto nos auxiliamos de una tabla de signos, determinando los puntos críticos de cada factor; que es el valor donde se nos anula el factor.

Puntos críticos:

Ejemplo:

Resuelva

Solución: Escribimos todos los términos distintos de cero al mismo lado.

Factorizando

-3 1

Los números críticos son:

Solución: ,

Sistemas de ecuaciones con dos variables

Los sistemas surgen para resolver situaciones como las siguientes:

Si al doble de mi capital le añado tu capital tendría C$ 180; pero si a mi capital le resto el tuyo tendría C$12.

x = mi capital

y = tu capital

Tanto “x” como “y” deben de satisfacer las ecuaciones siguientes.

Tenemos así un sistema de ecuaciones con dos variables, en la que podemos resolver y encontrar los pares de números que satisfagan ambas ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar el conjunto solución, formado por todos los pares de número que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

Método de Eliminación por Sustitución.

-2

Para resolver un sistema de ecuaciones por sustitución, primero se escoge una de las dos ecuaciones del sistema y se despeja una variable en términos de la otra. (Si es posible elija una que no contenga fracciones). Después sustituya el resultado en la otra ecuación y resuelva la ecuación lineal resultante con una variable. Por ultimo, se sustituye de nuevo este resultado en la expresión obtenida en el primer paso para encontrar el valor de la segunda variable.

Ejemplo:

1) Resolvamos el sistema obtenido al inicio, sobre los capitales.

Despejemos x en la segunda ecuación.

Sustituimos en la primera ecuación.

, resolvemos la ecuación en términos de y.

, Este es tu capital

Ahora reemplazamos “y” con 52 en la ecuación.

, Este es mi capital

Verificamos las soluciones en ambas ecuaciones.

Método de Eliminación por Reducción. (Suma y Resta)

Este es probablemente el método de solución más importante, ya que se generaliza con facilidad a sistemas de orden superior. El método indica el reemplazo de sistemas de ecuaciones con sistemas equivalentes más simples, realizando las operaciones adecuadas hasta obtener un sistema con una solución obvia.

Ejemplo:

1) Resuelva el siguiente sistema por el método de reducción.

Solución:

Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 para eliminar a “y”.

La ecuación , se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales para despejar a “y”.

Escogemos la segunda

Solución: , ó (2,-1)

Sistemas de ecuaciones con tres variables

Ahora que aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, avanzamos un poco más y estudiamos los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Estos sistemas son de la forma:

Los sistemas de ecuaciones son tan importantes en el mundo real que hay cursos completos destinados a este tema.

Una terna de números (también se escribe como tripleta ordenada ) es una solución del sistema, si cada ecuación se satisface por esta tripleta.

Se dice que dos sistemas son equivalentes si tiene el mismo conjunto solución.

Las ecuaciones lineales con tres variables se representan en el espacio tridimensional.

En la práctica, la mayoría de los sistemas que abarcan más de tres variables se resuelven por lo regular, con ayuda de una computadora.

Pasos para resolver sistemas de ecuaciones con 3 variables por el método de reducción.

1. Se escogen dos ecuaciones del sistema y se eliminan una de las tres variables con el método de eliminación. Por lo regular el resultado es una ecuación con dos incógnitas.

2. Se eliminan ahora la variable de la ecuación que no se usó en el paso 1 y una de las empleadas en el paso 1. Se obtiene por lo general, otra ecuación con dos variables.

3. Las ecuaciones de los pasos 1 y 2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se resuelve como se describió en los sistemas anteriores.

4. Se sustituye la solución del paso 3 en cualquiera de las tres ecuaciones originales y se despeja la tercera variable para terminar de resolver el sistema original.

Ejemplo:

1) Resolver

Solución:

Eliminamos “y” en la ecuación 1 y 3.

multiplicamos por -2

Ahora eliminemos “y” en las ecuaciones 2 y 3.

Multiplicamos por 4

Multiplicamos por 3

Ecuación 5

Obtenemos de la ecuación 4 y ecuación 5 un sistema con dos variables

Multiplicamos por 23 la primera ecuación.

Ecuación 4

Sustituimos z por 1 en el sistema de dos variables, en la ecuación 4 para encontrar x.

Tomamos ahora los valores encontrados de “x” y “z” para sustituirlo en una de las ecuaciones originales del sistema; para encontrar el valor de “y”.

Sustituimos en la ecuación 1.

Solución: terna que satisface el sistema.

Analicemos un problema aplicado a la producción.

1) Una fábrica de ropa elabora tres estilos de camisas, cada una de estos estilos requieren de los servicios de tres departamentos, según la lista de la tabla. Los departamentos de corte, confección y empaque tienen disponible como máximo, 1160, 1560 y 480 horas de trabajo por semana, respectivamente. ¿Qué cantidad de camisas de cada estilo debe ser producida para que la planta opere a su máxima capacidad?

Estilo A Estilo B Estilo C

Departamento de Corte. 0.2 h 0.4 h 0.3 h

Departamento de Confección. 0.3 h 0.5 h 0.4 h

Departamento de Empaque. 0.1 h 0.2 h 0.1 h

Solución:

Sea:

x = Nº de camisas de tipo A producidas en una semana.

y = Nº de camisas de tipo B producidas en una semana.

z = Nº de camisas de tipo C producidas en una semana.

Formamos las ecuaciones.

Para trabajar el sistema sin decimales multiplicamos por 10 cada ecuación; con lo que tenemos:

Eliminamos x combinando la ecuación 1 y 3.

La Matemática es el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo

Departamento de corte.

Departamento de Confección.Departamento de Empaque.

, Multiplicamos por (-2)

Combinamos ecuación 2 y 3.

, multiplicamos por (-3)

En esta última ecuación sustituimos el valor de z para encontrar “y”.

Sustituimos en la ecuación 1del sistema original los valores de z e y.


Solución:

Por lo tanto se producen 1200 camisas por semana del tipo A, 800 camisas por semana del tipo B y 2000 camisas por semana del tipo C.

Ejercicios propuestos

I) En los siguientes ejercicios encierre la respuesta correcta justificando el resultado.

1) Al operar (3a-2)-( se obtiene:

a) -3

b)

c) -2

d) -2 +6a+3

e) Ninguna de las anteriores

2) Al operar 2(a-3 )+3(5a-3), se obtiene:

a) -6

b) -6

c) -6

d) -15



3) operar -4y+6-(3 obtiene:

a)

b)

c)

d)e) Ninguna de las anteriores

4) Al operar (

a) - +5x+10

b) - +5x-10

c) - +5x

d) - -5x


5) Al restar 3 se obtiene

a. 9 +7 -6x+1

b. -3 -3 +4x+3

c. 9 -7 +6x-1

d. -9 +7 -6x+1

e. Ninguna de las anteriores

6) Al operar 2x(x-3 se obtiene

a. -6 +17 -9x

b. -6 +13 -9x

c. -6 -17 +9x

d. -6 -13 +9x

e. Ninguna de las anteriores


7) Al operar (a-3)(a+2), se obtiene:

a) +5a-6

b) -a-6

c) -6a+5

d) +a-6


8) Al operar (2a-3)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) -5a+6

d) -5a-6


9) Al operar (y-5)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) +3a-2

d) -5a-6


10) Al operar (3a-1)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) +3a-2

d) -5a-6



11) Al multiplicar ( ) se obtiene

a)

b)

c)

d)e) Ninguna de las anteriores

12) Al dividir entre a+1, se obtiene

a.

b.

c.

d.e. Ninguna de las anteriores

13) Al dividir entre x+1, se obtiene como residuo

a.

b.

c.


14) Al dividir x+2 por 2+3 el cociente y el residuo respectivamente son:

a.

b.

c.



Soluciones

Ejercicio Solución Ejercicio Solución1 e 8 d2 a 9 e3 a 10 c4 c 11 b5 d 12 c6 d 13 d7 b 14 c

II. Factorice

a) R /

b) R /

c) R /

d) R /

III. Escriba y simplifique los primeros cuatro términos del desarrollo de las potencias indicadas.

a)

R /

b) R/

IV. En las potencias indicadas obtenga el término que le pide.

a) El quinto término de R /

b) Los dos términos centrales de R /


c) El término central de R /

d) El término que contiene a de R /

V. Efectué las operaciones indicadas.

a.y

xyx 32

332

b.


c.

d.

f.

e.

g.

h.

i.

VI. Encuentre la solución de la ecuación dada

a) R/ x = - 9/4

b) R/ x = 1/3

c) R/ x = -5

d) R/ u = 3

e) R/ x = 0.1875

f) R/ x = - 1/2

g) R/ x = 4/5

h) R/ x = 1/2

i) R/ x = -20/39

VII. Resuelve las siguientes desigualdades. Exprese el resultado en forma de intervalo.

a. R/ (-∞, -2/3)b. R/ (-∞, 9]c. R/ (-∞, 4)d. R/ (5/3, 7/3)e. R/ (-∞, -3/2]f. R/ (-∞, 0]

g. R/ [-30, 18)

h. R/ [-8, -3)

i. R/ [-35, -20]

j. R/ (-∞, -3) (5, +∞) k. R/ (-∞, 0) [5, +∞)l. R/ [3, +∞)m. R/ (-6, 3/2)

n. R/ (-∞, -3) (2/3, +∞)

VIII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en dos y tres variables

1)

2)

3)

4)

5)

IX) Resuelve los siguientes problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales (dos y tres variables) y sistemas de ecuaciones que implican ecuaciones cuadráticas.

La Matemática es el alfabeto con el cual Dios hizo el universo

Solución x =2; y = -3

Solución x = 2; y = 4

Solución x = 6; y = 2

Solución (3,-1,-2)

Solución (5, 6,7)

1) Una amiga suya salió de una oficina de correos después de gastar $ 19.50 en timbres de 32 y 23 centavos. Si compró 75 timbres en total. ¿Cuántos timbres de cada tipo compró? R / (25 timbres de 32 ctvs, 50 timbres de 23 ctvs)

2) Un químico tiene dos soluciones de ácido sulfúrico: una solución al 20% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada solución se deberá usar para obtener 100 litros de una solución al 62%? R / (30 lts de solución al 20% y 70 lts de la solución al 80%)

3) Ciertos animales en un experimento deben seguir una dieta estricta. Cada animal recibe, entre otras cosas, 54 gramos de proteínas y 24 de grasa. El técnico del laboratorio puede comprar dos mezclas de comida con las composiciones siguientes: la mezcla A tiene 15% de proteínas y 10% de grasa; la mezcla B tiene 30% de proteínas y 5% de grasa, ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deberán usar para obtener una dieta correcta? R / ( 200g de la mezcla A y 80g de la mezcla B)

4) Una persona afirma tener U$ 880 en billetes de U$ 5, U$ 10 y U$ 50. Dice que la cantidad de billetes de U$ 10 es tres veces la cantidad de U$ 5 y que tiene 44 billetes en total. ¿Es esto posible? Si lo es, determine cuántos billetes tiene de cada tipo. R / ( 8 de U$ 5, 24 de U$ 10, 12 de U$ 50).


GEOMETRÍA EUCLIDIANA


INTRODUCCIÓN


http://www.bing.com/images/search?q=variables+algebra#focal=ef98e3736504c4f75b40a2560f97371c&furl=http://www.ed.gov/offices/OERI/ORAD/KAD/expert_panel/2mathgr.gif%00

El hombre siempre ha tenido la necesidad de explicarse el universo y las cosas que en él ocurren. Desde que aprendió a contar hasta la teoría del caos, el ser humano ha expresado por medio de la Matemática su capacidad creativa, su necesidad de evolución y trascendencia.

Actualmente, la Matemática es una herramienta fundamental para el desarrollo de las disciplinas científicas y técnicas. Asimismo la industria, la prestación de servicios a gran escala, los medios de comunicación, el deporte de alto rendimiento, la música y el arte recurren, día a día, cada vez más a la Matemática.

La Matemática no es ocupación exclusiva de un grupo reducido de especialistas, a su creación contribuye el quehacer colectivo de las sociedades. Un ejemplo lo constituye el desarrollo de los sistemas de numeración y el uso de la geometría en el arte decorativo y en la arquitectura de la antigüedad. Este aspecto de la Matemática tiene implicaciones importantes para la educación: el estudio y la creación de la Matemática está al alcance de todo ser humano.

La unidad de Geometría Euclidiana es relevante en la formación de los ingenieros para el cálculo de áreas, perímetros y volúmenes de figuras planas, su implementación juega un doble roll en la formación de los futuros profesionales, por un lado desarrolla la capacidad de diseñar, calcular áreas, trazar figuras geométricas y demostrar; por otro lado contribuye a la formación del pensamiento lógico – deductivo del estudiante, al manejo del lenguaje técnico pues desarrolla las destrezas necesarias para la búsqueda de las soluciones a las de diversas problemáticas de geometría.

El saber Matemática, además de ser satisfactorio, es extremadamente necesario para poder interactuar con fluidez y eficacia en un mundo “matematizado”. La mayoría de las actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta ciencia, así que la Geometría te va a ayudar a comprender mejor el mundo en el cual te desarrollas.

Esta unidad comprende el estudio del cálculo de áreas, perímetros, áreas laterales, totales y volúmenes de figuras planas. El propósito es desarrollar competencias propositivas en el estudio de la Geometría Euclidiana.

OBJETIVOS

Reconocer la importancia de la Geometría Euclidiana y de la Matemática como instrumentos que permiten resolver situaciones problemáticas cotidianas reales de nuestro entorno.


Lograr que los estudiantes desarrollen las destrezas necesarias para la solución de diversos problemas de Geometría de relativa dificultad.

Resolver ejercicios sobre el cálculo de áreas, regiones sombreadas de figuras geométricas y volúmenes en variedad de ejercicios.

Valorar actitudes de orden, perseverancia, capacidades de investigación para desarrollar el gusto por la Matemática y contribuir al desarrollo del entorno social y natural.


Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

Cuadriláteros.

Polígonos regulares.

Círculos.

Cálculo de áreas laterales, totales y volúmenes.

Cuerpos sólidos.

Cuadriláteros.

Un cuadrilátero es una figura plana, de cuatro lados que se cortan en sus extremos.


Definición.

Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanares, tales que no hay tres colineales y los segmentos

únicamente se intersecan en los extremos entonces el cuadrilátero ABCD,

denotado por cuadrado ABCD se define por ABCD =

Clasificación de los Cuadriláteros.

Una forma de poder clasificar los cuadriláteros. Es a partir del paralelismo de sus lados.

Paralelogramo: Son los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

Trapecios: Son los cuadriláteros con una pareja de lados paralelos. Trapezoide: Son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Paralelogramos.

Un paralelogramo ABCD es un cuadrilátero que

Se caracteriza por:

a) Sus lados opuestos paralelos

b) Sus lados opuestos son congruentes

c) Los ángulos opuestos son congruentes

d) Los ángulos consecutivos son suplementarios.

Las diagonales se bisecan a AE=EC y BE=ED.

Entre los paralelogramos tenemos:

Rectángulo:

Es un paralelogramo cuyos ángulos internos son congruentes y por tanto

son ángulos rectos .


D C

A B

E

Cuadrado:

Es un rectángulo con sus lados congruentes

Rombo:

Es un paralelogramo con sus lados congruentes .En un rombo las diagonales son perpendiculares entre si .Un cuadrado es un rombo, pero un rombo no es un cuadrado.

Trapecio:

Es un cuadrilátero con una pareja de lados paralelos .La pareja de lados paralelos reciben el nombre de bases y los lados no paralelos, soportes

A su vez se subdividen en:

Trapecios rectángulos: tienen dos ángulos rectos

Trapecios Isósceles: cuando los lados no paralelos

y los ángulos en las bases son congruentes.

Trapecios Escálenos: solamente tienen un par de lados opuestos paralelos.

De forma General:


A= x h = B’x h

B: base mayor

b : base menor

En un trapecio ABCD, con , si E es el punto donde se

cortan las diagonales, entonces

Ejemplos1- La figura representa un trapecio isósceles con

.S :AC=BD=13.CD=12 y AB=22,

determine su área.

Solución:

Por ser un trapecio isósceles EF=CD=12, luego

AE=FB=

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos

h=

Por tanto el área buscada es

A=

2-Cual es el área cubierta por el número 4 que se muestra en la figura si tiene las dimensiones indicadas.


Solución:

En la figura podemos observar tres rectángulos, Este en la parte superior e inferior del número. A= bxh = (2)(1)=2 (como son dos con las mismas dimensiones tenemos entonces 2A =2(2)=

El otro rectángulo es horizontal

También tenemos dos triángulos rectángulos, de los cuales encontraremos sus respectivas áreas, al restarlas obtendremos el área del trapecio formado por ellos.

Luego encontramos el área de toda la figura sumando las áreas encontradas

Polígonos Regulares

Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.


EL hexágono esta circunscrito a la circunferencia

El octágono esta inscrito en la circunferencia

Áreas y perímetros de polígonos regulares.

Si n es el número de lados, la longitud de cada lado y la apotema, se tiene:

Ejemplo

1) El perímetro de un decágono regular es 24.72 y su apotema 3.8 ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunstancia? Determine el área de la región poligonal correspondiente (Redondee su respuesta)

Solución

Datos P = 24.72, n = 10

Se tiene R =

Área de un círculo


Perímetro: p = n.a

Área: A =

El área de un círculo, es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia correspondiente. Puede probarse que el área de u circulo de radio r o diámetro d esta dada por:

4. 2

2 drA

Regiones Circulares

1) Sector Circular: es la sección de un círculo limitada por dos

radios y el arco correspondiente rsrA21

º360

2

rA21

( en radianes)

2) Segmento Circular: es la sección del círculo limitada por una curda y el arco correspondiente.

El área de un segmento Circular puede calcularse mediante la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el triangulo formado por lados radios y la cuerda que une los extremos del arco.

Para calcular el área del triángulo generalmente hay que hacer uso de la trigonometría, salvo los casos de triángulos con ángulos de 30º, 45º, 60º, 90º o múltiplos de ellos.

Tenemos yrh

2tan2

22

421

2cot

21

2cos 22

yrsenx

xrxry

Si se mide en radianes, el área del segmento circular esta dada por

xyrssenrA 21

21 2


Corona Circular: es la sección de un plano limitado por dos circunferencias concéntricas. El área puede obtenerse como la diferencia entre las áreas del círculo exterior y el círculo interior o sea que 22 rRA

3) Trapecio Circular: es la sección de una corona circular, limitada por dos radios.

El área es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares que los determinan.

Si hacemos rRh y si 1s y 2s son las longitudes de los arcos exterior e interior

respectivamente se tiene 2121

21 sshrRhA

Ejemplo:

1) ¿Cuál es el radio de la circunferencia cuya longitud es ?

Solución:Como CrC 2

r2

2112 rr

2) la longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo y el perímetro de un cuadrado son 20cm cada uno ¿Cuál tendrá mayor área?

Solución:


o , en radianes.

Tenemos

10220202 rrC

22

22 83.3110010010 cmrAO

54202044 llllP

222 255 cmAAlA

El círculo tiene mayor área.

3) si O es el centro de la circunferencia de la figura, 6r y º60 AOBm determine el área de la región sombreada y la longitud del área AB.

Solución:

Tenemos que para un sector circular rsrA21

º360

2

y

º180rs

6

º360º6062

A ,

2º180

º606s

Cuerpos Sólidos.

Prismas:

Un prisma se caracteriza por tener dos bases paralelas, poligonales y congruentes; sus caras laterales son paralelogramos.


Los lados de las caras y las bases se llaman aristas laterales y de las bases respectivamente.

Si las aristas laterales son perpendiculares a los planos que contienen a las bases se le llaman Prisma Recto, en caso contrario le llamamos Prisma Oblicuo.

La diferencia h entre los planos que contienen las bases se le llama altura del Prisma.

Una sección transversal de un prisma es la intersección (no vacía) con un plano paralelo a los planos de la base.Se puede probar que las secciones transversales de un prisma son congruentes y por tanto tienen igual área.

La unión de las caras laterales de un prisma se llama superficie lateral y la unión de las caras laterales y las dos bases se llama superficie total.

Volúmenes y áreas de prismas

En general el volumen de un prisma esta dado por donde Ab es el área de la base y h es la altura del prisma.Las áreas laterales y totales dependen del tipo de prisma.No hay una fórmula general, sin embargo no hay que olvidar que las bases son regiones poligonales y las caras laterales son regiones paralelográmicas.

Para un Prisma Recto.

Donde AL: Área lateral, AT: Área total, P: Perímetro de la base, a = h: Longitud de la arista lateral o altura.


V = Ab h ∙

AL = P.a = P.h, AT = P.a + 2Ab

P

h

Para un paralelepípedo regular, si a, b y c representa el largo, ancho y alto tenemos:

Volumen: abcV Área Total: acbcabAT .2

La diagonal esta dada por: 222 cbad

En particular para el cubo de lado a, se tiene:

Volumen: 3aV Área Total: 26aAT La diagonal esta dada por: ad 3

Ejemplos:

1) Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determine su volumen y su área total.

Solución:Tenemos que para un cubo ad 3

Entonces la longitud del lado es 163316

3

ba

Su volumen esta dado por 3aV 33 096,416 uV

Su área total esta dada por 26aAT 22 536,1166 uAT Pirámides.

Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal y sus caras son regiones triangulares que tiene un vértice en común V.

La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la base.


dc

b

a

Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Así tenemos pirámides triangulares, si su base es un triángulo, pirámides cuadradas, si su base es un cuadrado; etc. También se clasifican en regulares y no regulares.

Pirámide Regular.

Es una pirámide cuya base es un polígono regular u el pie de la perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base.

Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. A las alturas de dicho triangulo se le llama apotema de la pirámide

Sección transversal.

Similar en los prismas, una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la base.

Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base.

Si h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice a la sección transversa, y si A es el área de la base y A’ el área de la sección transversal, entonces:

Además, si la base de la pirámide es un polígono regular y l y l’ son las longitudes de los

lados de la base y l a sección transversal respectivamente, entonces hk

ll

'

Principio de Cavalier.

Dados dos cuerpos sólidos y un plano, supongamos que todo plano paralelo al plano dado que interseca a cada uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y las secciones transversales tienen igual área, entonces los cuerpos tienen el mismo volumen.

Basados en este principio se obtienen las formulas para el volumen de diversos cuerpos sólidos: Pirámides, conos, esferas, etc.Volumen de una Pirámide:


h

k

2'

hk

AA

alturah

baseladeareaA

hAV

b

b

.31

Áreas: únicamente hay formulas para las pirámides regulares:

lateralescaraslasdeapotemaa

baseladeperímetrop

donde

APaA

aPA

PT

L

:21

.21

Pirámide Truncada o Tronco de Pirámide.

Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original, Ab el área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene.

Si consideramos la pirámide “original” y la pirámide que “quitamos” para formar un tronco de pirámide, se obtiene la siguiente relación.

Si H es la altura de la pirámide original k es la distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de pirámide, entonces si V es el volumen de la pirámide original

y V’ el volumen de la pirámide que se quita 3

'

Hk

VV

El volumen de la pirámide truncada es la diferencia V-V’Ejemplos:


1) Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 20cm y la arista de la base mide 15cm.

Solución:

Tenemos que hAV b.31

Por ser la base un triangulo equilátero se tiene.

222 43.971543

43 cmlAb

Luego 352.6492043.9731 cmV

Cilindros y Conos Circulares

Volumen y Área de un Cilindro

*Para un Cilindro Circular de radio r y altura h tenemos:

Su área lateral es un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo, de base la longitud de la circunferencia y altura h. En ambos casos se tiene:

Volumen y Área del Cono

*Para los conos en general su volumen esta dado por:

hrhAbV 2

31*

31

*Para un cono circular recto, su área lateral esta formada por un sector circular, cuyo radio es la generatriz del cono y la longitud del área corresponde a la circunferencia de su base. Luego:


Área Lateral

Área Total

Volumen

BLTL AAArhgdondergA ,,, 22

Cono Truncado

Área y Volumen de una Esfera

Se puede probar a partir del principio de Cavalier, que para una esfera de radio R, su volumen V y el área de la superficie esférica esta dado por:

Regiones Esféricas

*Cuando un plano secante corta a una esfera, se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de dos bases. Si consideramos la superficie esférica en lugar del sólido, cada parte recibe el nombre de casquete esférico o zona de una base.

Zona y segmento de una base

22

2

2

361

3312

hahV

hhV

pRhS

*Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos, la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar se considera si consideramos la superficie limitada por los planos recibe el nombre de zona de dos bases.Zona de segmentos de dos bases


y

222 33612

hbahV

RhS

*Si consideramos dos semicírculos máximos con el diámetro común, se forma un sólido llamado cuña esférica. La superficie correspondiente se llama huso esférico.

Huso esférico y cuña esférica

º270º

º90º

3

2

RV

RS

Ejercicios Propuestos.

1. El área de un rectángulo es 5,586.2m2 y su perímetro es 365m. Calcular sus dimensiones. R/ 143.59m y 38.91m

2. Calcular los lados de un rectángulo, sabiendo que si se agregan 3 m a su base y se quita otro tanto a la altura, el área no se altera; pero si se agrega 5 m a su base y se quita 3m a su altura, el área aumenta 16 m2. R/ 11m y 8m

3.


A B

ABCD es un trapecio , AB=8, AE=6, CD=12. Encuentre el área del trapecio. R/ 60 u2

CED

4.

5.

6. Una cruz es formada al cortar cuadrados iguales en las esquinas de un pedazo de cartulina con lado de 9 pulgadas. Si cada uno de los cuadrados cortados tiene un área de 9 pulg2. ¿Cuál es el perímetro de la cruz? ¿Cuál es el área? R/ P = 36 pulg, A = 45 pulg2

7. Un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado mide 1.8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m, hallar la altura del árbol. R/ 12.22 m

8. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5m, entonces si el árbol mide 36m, ¿Cuánto mide su sombra? R/ 18m

9. En un jardín de forma cuadrada de 48.60m de lado se desea construir un estanque circular 15 veces menor que el jardín ¿Qué ha de ser su diámetro? R/ 12.54m

10. Una puerta esta formada de una parte rectangular y un semicírculo. El ancho es de 1.60m y la altura total 3m. ¿Cuál es el área de la superficie? R/ 4.5653 m2


A B

CD

ABCD es un trapecio. , CD=8, AB=6, y

. Encuentre el área de ABCD. R/ 8.083 u2

En el trapecio de la figura, , AC=BD=13,

CD=12 y AB=22. Determine el área. R/ 204 u2

C D

E FA B

3m

1.6m

11.

13.

15.


O

A

B

C

Si es un diámetro de la circunferencia y su longitud es , encuentre el área del ABC.

R/ 15 u2

12.

Si el área del sector circular OAB mide 31.5 cm2 y la longitud del arco AB es 3 cm, encuentre el radio del círculo. R/ 21 cm

O

A

B

14.

B

AO

Encuentre el área de la corona circular si

a) OA = 6 y AB = 2 R/ 28π

b) OB = 6 y AB = 2 R/ 20π

B

A

O

Determine el área del segmento circular (área sombreada) si:a) m AOB = 60º y OA = 6 R/ 3.2361 u2

b) m AOB = 90º y OA = 6 R/ 12.274 u2

c) m AOB = 120º y OA = 6 R/ 34.31 u2

17.

19. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva? R/ 10π

20. Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?


En la figura, cada pétalo es formado al trazar arcos cuyo centro está en la circunferencia y que pasan por el centro de la misma. Si el radio de la circunferencia es 1’’, encuentre el área de los seis pétalos. R/ 1.087 u2

1 2 1 1 2 1 1 1

2

2

Determine el área cubierta por las tres letras de la figura R/ 24.71 u2

16.

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

R/ 400 - 100π

A B C

18 Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura.

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es: R/ 1/2

R/ 400%

21. El volumen de una caja es 6.48 dm3. su longitud es de 30cm, su altura es igual a los 2/3 de su anchura. Calcular la superficie total. (22.32 dm2)

22. Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determinar su volumen y su área total. (V=4096, AT=1536)

23. Calcular el volumen, el área lateral y el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 12cm de radio y 16cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 9cm de la base (2210.7 cm3, 609.66cm2, 1,148cm2)

24. Hallar el volumen de un prisma recto de altura 10cm. Si sus bases son triángulos equiláteros con área 239 cm . Determine la arista de la base y el área lateral. (

23 180,6,390 cmAcmlcmV L )

25. Hallar el volumen de un prisma recto de altura 4cm, si sus bases son hexágonos regulares y el área lateral es 144cm2. (374.12cm3)

26. Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son regiones trapezoides, si las aristas paralelas de las bases miden 4 y 9 y las no paralelas 5 y 6. la altura del prisma es 12 y las no paralelas 5 y 6. la altura del prisma es 12. (374.4u3)

27. La altura de un cono es de 5cm. Un plano paralelo a la base lo interseca a 2cm de la misma formando un cono pequeño en la parte superior. Si el volumen del cono pequeño es 24cm3, halle el volumen del cono original. (V=111.11cm3)

28. Calcular el volumen de una esfera, a) inscrita en un cubo de 1m de lado, b) Circunscrita en el mismo cubo. (a) 0.5235m3, b) 2.72cm3)

29. Se tiene un cilindro circular recto de 3cm de altura y 12cm de diámetro. Se perfora un agujero a lo largo de su eje con diámetro 9cm. Determine el volumen del sólido resultante. (V=1484.4cm3)

30. Calcular el volumen de una pirámide truncada que se forma cuando se corta un pirámide cuadrangular regular de altura 8m y arista de la base 4m por medio de un plano paralelo a la base de la pirámide y que la corta a 2m del vértice. (42cm3)


FUNCIONES Y GRAFICAS


INTRODUCCIÓN


http://www.escolared.com.ar/logarit03.gif

http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/funciones/20070926klpmatfnc_62.Ges.SCO.png

El ser humano tiene la necesidad constante de crear y fortalecer sus conocimientos matemáticos, y esto es cierto tanto para los profesionales y los especialistas en diversas disciplinas, como para el ciudadano común.

Por ello, una de las características de la Matemática en la actualidad es su uso en prácticamente todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigación científica, la producción y la prestación de servicios.

Acorde con esta realidad, la Matemática es, hoy en día, una de las ciencias más activas y dinámicas; a partir de problemas que surgen en otras disciplinas, nuevas teorías son creadas para encontrarles solución. También aparecen dentro de su seno, nuevas formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose así tanto la Matemática pura como las aplicadas.

La educación construye el capital humano para el crecimiento económico y para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestro país en una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo de información y destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas educativos y la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un requerimiento insustentable.

Para hacer frente a los retos del siglo XXI, es indispensable futuro ingeniero que te replantees nuevos objetivos en tu vida, esencialmente en tu educación, mejora tu calidad de entrega hacia los estudios, para que puedas impulsar un aprendizaje permanente bajo una cultura de paz y justicia social.

Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedad de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de establecer puentes entre la matemática y la realidad natural y social que rodea a los jóvenes.

En esta unidad te presentamos brevemente una definición de función, gráficas de funciones algebraicas, funciones exponenciales y logarítmicas, así como sus aplicaciones, gráficas de la función seno y coseno, funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo de modo que despierte el deseo de aprender más sobre la materia y con la esperanza de que muchos de ustedes futuros ingenieros les sea útil para su vida profesional.

OBJETIVOS

Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad.


Graficar funciones algebraicas, función seno y coseno para lograr que los estudiantes desarrollen las destrezas necesarias para la solución de diversos ejercicios y problemas de relativa dificultad.

Resolver ejercicios de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas en variedad de ejercicios.



Función. Definición, dominio y rango.

Graficas de funciones algebraicas.

Funciones exponenciales.

Funciones logarítmicas.

Aplicaciones

Gráfica de la función seno y coseno

Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Función:

Definición:

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla de correspondencia que le asigna a cada elemento de A uno y solo un elemento b de B. el conjunto A se llama dominio de la función

Una función es un conjunto de pares ordenados yx, tales que no hay ningún par ordenado diferente del conjunto que tiene el mismo primer elemento.

Formas casuales de especificar funciones.


Método Ilustración Ejemplo

Ecuación xxy 2 , x x = -1 corresponde a y = 2

Tabla x = 2 corresponde a y = 2

Conjunto de pares ordenados

xxxyyx

o

,/,

6,3,2,2,2,12

3 corresponde a y = 6

x= -2 corresponde a y = 6

Gráfica

Si una función esta definida mediante una ecuación y no se indica el dominio, se supondrá que este es el conjunto de los números reales que, al reemplazar a la variable independiente produzcan valores de la variable dependiente los cuales constituirán el rango.

Ejemplo:

Determine el dominio y el rango de:

1) 3 xy

Solución:


x -1 2 3y 2 2 6

Para y real 3x debe ser mayor o igual a cero.

Es decir:

03x o 3x

Así el dominio ,33 oxx

Para determinar el rango, se despeja x

3 xy

32 xy

xy 32 con el dominio ,3

Al sustituir en 3 xy el mínimo valor del Dom 3x tenemos: 033 yy

Podemos ver que el eje x para encontrar el rango, y no tiene restricciones; no debemos descartar las restricciones encontradas en el dominio, así que el rango de la función

3 xy es: 0yy o ,0

Gráfica de funciones algebraicas

Función lineal.

Una función f es una función lineal si baxxf donde a y b son números reales.

La grafica de una función lineal es una línea recta, no vertical y no horizontal con pendiente m e intersección con el eje e igual ab.

Ejemplo:

Encuentre la pendiente y las intersecciones y después trace la grafica de la función lineal

definida por: 432 xxf


Solución:

La intersección con el eje “y” y el eje “x” es hacer:

0y y se obtiene.

4320 x

x

234

6x , punto de intersección en el eje x.

0x y se obtiene

4032

y

4y , punto de intersección 4,0 en el eje y.

La pendiente de la recta am en la ecuación 432 xxf

32

m

Se ubican los puntos de intersección en los ejes correspondientes y se traza la recta.


Función cuadrática:

Definición de función cuadrática:

Una función f es una función cuadrática si: 0,2 acbxaxxf , donde a, b, c son números reales.

La gráfica de la función cuadrática es una parábola, con eje de simetría vertical.

Observe algunas gráficas.


x

y

x

y

x

y

Si a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba, mientras si a < 0 resulta cóncava hacia abajo.

Si b=c=0 la parábola tiene su vértice en el origen. Si se puede escribir de la forma , esto

ocurre haciendo completación de cuadrados. Si a > 0, el vértice es el punto mínimo de la función mientras que si a < 0 el vértice

es el punto máximo.

En el ejemplo anterior el vértice es

,

Observe la grafica:

El valor máximo o mínimo de la función cuadrática siempre ocurre en el vértice de la parábola. La recta de simetría que pasa por el vértice se llama eje de la parábola.

Ejemplo:

Grafique, encuentre el vértice, el eje, el máximo o mínimo de xf , los intervalos donde f esta aumentado o disminuyendo y el rango.

Solución:

En este caso observe que la variable principal esta negativa así que se antepone el signo menos.


Eje

y

x

(2, -4) punto mínimo

442 xxxf , factorizando tenemos 22 xxf , con lo cual 2h y 0k 0,2V

Hacemos una tabla de valores y graficamos

x y0 -41 -12 03 -14 -4

Función cúbica .

La función cúbica es considerada como función polimonial.

Una función polinomial es de tipo:

01

11

1 ... axaxaxaxf nn

nn

, donde naa ,...1 son números reales y n es un número entero no negativo. Si 0na , decimos que f es de grado n.

De manera particular si:1n Es función lineal.2n Es función cuadrática.3n Es función cúbica.

La función cúbica se denota por dcxbxaxxf 23 , con 0a .

La solución de la ecuación 023 dcxbxax son los ceros ó sea los valores de la abscisa donde la grafica corta a eje x.

Toda función cúbica corta al eje x al menos en un punto y un máximo de tres puntos; dependiendo de las raíces reales que tenga la ecuación.

Una función cúbica puede tener una de las cuatro formas básicas que se muestran en las figuras siguientes:


Punto MáximoV

Eje de simetría

El dominio de una función cúbica son lo números reales.

Ejemplo:

Represente gráficamente las siguientes funciones.

a) 3xxf

Solución:

000 3 xxy , la grafica pasa por 0,0


x

y

x

y

x

y

x

y

A partir de 0,0 , se asignan valores a x para encontrar y; haciendo una tabla de valores de la misma manera que en funciones anteriores.

b) 23 xxf

Si 20 yxSi 25.12222020 33333 xxxxxxy

Interceptos: 0,25.1,2,0 .

Hay un desplazamiento de la grafica 3xy tres unidades hacia arriba.


2,0

0,25.1

Funciones seccionadas

Hay funciones que se representan con mas de una expresión a este tipo de funciones se les llama “Funciones Seccionadas” o “Funciones definidas por parte”.

El dominio de este tipo de funciones es la unión de sus dominios definidos a partes. El rango es la unión de los rangos definidos por cada nf .

Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función.

Solución:

Si x < 0, entonces 32 xxf es una función lineal, su gráfica es una recta, con un círculo pequeño indicamos el valor que no toma la función 3,0 .

Si 20 x , para 2xxf , es una función cuadrática su gráfica es una parte de una parábola; donde, el punto 4,2 queda abierto también representado por un círculo abierto y el punto 0,0 que toma la grafica representado por un círculo lleno.

Finalmente si 2x , 1xf que es una función constante para los valores ya definidos, en el punto 1,2 representado por un círculo lleno; indicando que toma este valor.


32 x

2x xf

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Función exponencial

Definición:

Sea 1,0 bb , la función exponencial con base b es una función definida por xbxf , donde x es cualquier número real

Este tipo de funciones cumple con las siguientes propiedades.

1) 0, xfx

2) Dom f , Rang ,0f

3) Si b>1, entonces xf es creciente.

4) Si 0<b<1 xf es decreciente.5) La función f es uno a uno, es decir tiene una inversa y es llamada función

logarítmica.

6) El eje x es una asíntota horizontal.

7) Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos.

8) Si 10 f la gráfica pasa por el punto 1,0

Al operar con funciones exponenciales son válidas las leyes algebraicas relacionadas con exponentes.

a) yxyx aaa .b) XXX baab

c) yxY

X

aaa

d) xyyx aa

e)x

xx

ba

ba

f) xx

aa 1


Ejemplo:

Graficar la función:a) xxf 3

Para facilitar la construcción de la grafica haremos una tabla.

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … xf …

271

91

31 1 3 9 27 …

Aplicaciones de las Funciones Exponenciales.

Crecimiento Demográfico

El departamento de Estelí tiene una población aproximada de 205,616 habitantes según censo INEC del 2002 y el tiempo de duplicación es de 20 años. Si sigue creciendo a la misma taza. ¿Cual será la población en 15 años, a partir de ahora?, ¿en 30 años a partir de ahora? usemos el modelo de crecimiento d

t

OPP 2

616,205OP 20d 15t

a) 2015

2616,205P

75.02616,205P 3458045146616,205 P habitantes aproximadamente dentro de 15 años

616,205OP 20d 30t


Propiedades:

Dom , Rang

Creciente.

b) 2030

2616,205P

5.12616,205P 570,5818717616,205 P habitantes aproximadamente dentro de 30 años

Interés Compuestos.

Si un capital P se invierte a una tasa anual r de interés compuesto, n veces al años, entonces

la cantidad A en la cuenta al final del años t esta dado por nt

nrPA

1 ; la tasa anual r se

expresa en forma decimal como el capital p represente la cantidad inicial de la cuenta y A representa la cantidad t de años después, también se le llama P al valor actual de la cuenta y A el valor futuro de la cuenta.

Veamos un ejemplo:Un inversionista invierte $1000 a un tipo de interés de 9% compuesto mensualmente. Calcule el monto total después de 5, 10 y 15 años. Demuestre gráficamente el crecimiento.

Solución:

Datos:

09.0100

9r 12n por que el interés es compuesto mensualmente; 1000P es el

capital.

El monto a los t años

nt

nrPA

1

a) 512

1209.011000

A

68.1565A a los 5 años.

b) a los t años t = 10

1012

1209.011000

A


36.2451A a los 10 años

c) a los t años t = 15

1512

1209.011000

A

04.3838A a los 15 años

Función Logarítmica.

Definición:

Sea “a” un número positivo real distinto de 1. El logarítmo de “x” con base “a” se define como xy alog ssi yax para todo 0x y todo número real y

Esto significa que xalog es el exponente al que hay que elevar la base para obtener x.Ejemplo de ambas notaciones y sus respectivas equivalencias.

a) 2log 5 u u 25

b) 38log b 83 b

c) qr plog qp r

d) 32log 4 tw 324 tw

e) )25(log 3 zx xx 253

Usemos las equivalencias para despejar las incógnitas.

a) y8log 2

82 y

322 3 yy

b)21log 4 x

x 21

4

21

41

xx


c) 225log b

252 b5522 bb

La definición nos permite realizar dos cuestiones de forma simple que son:

a) Encontrar el logaritmo de un número en una base dada para lo que solamente se debe tener conocimientos básicos de potenciación.

Ejemplo:

Calcule a) 8log 2

Para esto necesitamos hacer un cambio de base pues las calculadoras o las tablas solo reconocen los Log de base 10 o base e

Teorema de la fórmula del Cambio de Base.Si 0u y a y b son números reales positivos distintos de 1, entonces:

bu

ua

ab log

loglog , ahora resolvamos.

8log 2 32log8log

De otro modo: 32log 32

b) 43log81log

81log3

De otro modo: 43log 43

c) 05log1log

1log5

Propiedades de la Función Logarítmica.

Dominio de f es el conjunto de los números reales positivos. Rango de f es el conjunto de los números reales.


El intercepto en x para la gráfica de f es 1. la gráfica de f no tiene interceptos en y. El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de f. La función f es creciente en el intervalo ,0 si 1b y decreciente en el

intervalo ,0 si 10 b . La función f es uno a uno.

Ejemplo:

Grafique la función dada y encuentre su dominio.

a) xxxf y 2log 2

x … 0.25 0.5 1 2 4 … xf … -2 -1 0 1 2 …

Propiedades de xy alog

1) Dom ,0f , Rang f

2) si 1a , f es creciente.

3) si fa ,10 es decreciente.

4) 01 f ; 01log a [su gráfica siempre pasa por 0,1 ]

5) si ,21 xx yxyxxfxf aa loglog;21

6) xxaxax xa

xa ;log;,0 log


Dom , Rang

Creciente.

7) 1log aa

Si ,1,0,, aayx entonces

8) yxxy aaa logloglog

9) yxyx

aaa logloglog

10) xpx ap

a loglog

11) xp

x ap

a log1log

Ejemplos:

Escriba en términos de forma logarítmica simple:

a) xx aaa log3log3log

b) 5loglog5

log aaa xx

c) xx aa log7log 7

d)

qpnm

qpnmpqmnpqmn

aaaa

aaaaaaa

loglogloglog

logloglogloglogloglog

e) nmnmmnmn aaaaaa log32log

32loglog

32log

32log 3

2

f) yxyxy

xaaaaa log

51log8logloglog 5

18

51

8

Grafica De La Funciones Trigonométricas.

Analicemos las graficas de dos fenómenos periódicos importantes en nuestra vida diaria.


¿Cuál es la característica de ambas graficas?

Ambas representan respectivamente a los fenómenos.´ Ambas parecen ser periódica. Las funciones trigonométricas son particularmente utilizadas para describir

fenómenos.

Funciones Periódicas

Regresando a los puntos circulares baxw , si se agrega cualquier multiplo entero 2 a x. piensse en un punto P que se mueve en el círculo unitario en cualquier direccion,

cada vez que P recorra una distancia de 2 , la circunferencia de un círculo, esta atrás del punto donde la comenzo asi para algun número real x.


4

2

45

23 2

4

23

45

2

senxkxsen 2 con k cualquier entero. xkx cos2cos con k cualquier entero.

La funciones con esta clase de conducta repetitiva se llaman funciones periódicas.

Las funciones seno y coseno son periódicas con un periodo de 2 .

Analicemos la gráfica de senxy

La función de seno tiene dominio en todos los números reales, y el intervalo 1,1 es su rango; además la función seno tiene periodo 2 y es impar ya que tfsenttsentf esto significa que su grafica es simétrica con respecto al

origen.

Veamos el comportamiento grafico de senty apoyados en una tabla tomando t como real.

senty 02

23

22

53

27

4

t 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0

Nota: estos valores pueden variar en dependencia del caso que se desea graficar.


Definición:

Una función f es periódica si existe un número real positivo P tal que xfPxf para toda x en el dominio de f. el número positivo más pequeño P si existe, se llama periodo fundamental de f (o a menudo se conoce como periodo de f).

Una situación similar sucede con la función y = cost, que es una función par es decir tgtttg coscos , es decir la función coseno es simétrica con respecto al eje y.

Veamos el comportamiento grafico de y = cost

ty cos 02

23

22

53

27

4

t 1 0 -1 0 1 0 -1 -0 1

Funciones Trigonométricas de Ángulo en Triángulos Rectángulo.

Como ya hemos definido las funciones circulares con dominio en los números reales entonces nos guiaremos por esos resultados para definir las funciones trigonométricas con dominio en los ángulos agudos en términos de las funciones circulares.

A cada uno de las seis funciones circulares se le asocia una función trigonométrica del mismo nombre.

Sea OAB un triángulo rectángulo que de todos es conocido un triángulo especial entonces:


HipotenusaCateto Opuesto

Cateto AdyacenteO

A

B

OB hipotenusa – lado opuesto al ángulo recto (h)

OA cateto adyacente al ángulo (ca)

ABcateto opuesto al ángulo (co)

Hipotenusa siempre es el lado mayor del triángulo, es importante recordar también el teorema de Pitágoras: “cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos del triángulo” 222 cba .

Si es un ángulo con medida en radianes x, entonces al valor de cada función trigonométrica en esta dada por su valor para el número real x y se define así:

Los valores de las funciones dependen únicamente del tamaño del ángulo y no del tamaño del triángulo rectángulo.

Todas las seis funciones trigonométricas son positivas para todo triángulo agudo ; además la hipotenusa siempre es mayor que los catetos y por lo tanto:

1sec,1csc,1cos,1 sen ya que:

Luego para caco

h 1csc , vemos que el resultado debe ser mayor que 1 puesto que

1ca ; la csc es la recíproca del sen .

Lo mismo vemos que pasa con 1cos cohcohco al dividir co que es menor

que 1 por 1, el resultado también es menor que 1.


A

B

O

¿Por qué decimos que ?

Vemos el triángulo rectángulo en el círculo como

al dividir ca que es menor que 1 por 1, el resultado también es menor que 1.

Recordemos que que es el radio,

Una cosa similar sucede para sec que es la recíproca de cos .

Identidades Recíprocas.

Ejemplo:1) encuentre el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo y sus

valores que no muestra el siguiente triángulo.

''20'04º28,4706.0178

hcosen

''20'04º28,8824.01715cos

hca

''20'04º28,5333.0158tan

caco

''20'04º28,8750.18

15cot coca

''20'04º28,1333.11517sec

cah

, como hacerlo en la calculadora:

shiftshiftx

A cos11517 aº ´ ´´


a=hipc = 8

b = 15O

A

B

''20'04º28,1215.28

17csc coh

shiftshiftx

A sin18

17 aº ´ ´´

Aplicaciones donde intervienen triángulos rectángulos.

1) Ángulo de elevación:

2) Ángulo de Depresión.

Veamos su Aplicación:

Ejemplos:

1) desde un punto al nivel del terreno, a 135 pies de la base de una torre de elevación de la punta de dicha torre es . Calcule la altura aproximada de este.


Definición: si un observador en un punto x ve un objeto, entonces el ángulo que forma la visual con la horizontal l, es el ángulo de elevación del objeto, si esta arriba de la horizontal.

Línea Visual

Objeto

Angulo de Elevaciónxl

Línea Visual

Línea Horizontal

Definición: el ángulo de depresión de un objeto es el formado entre la línea horizontal y la línea visual.

135

Línea Visual d

Datos:

d = altura de la torre.

De acuerdo con la figura:

d = c. opuesto.

135 = c. adyacente.

, por tanto para calcular d, veamos cual es la función que relaciona los datos dados con los pedidos y observamos que es la tangente.

Por tanto pd

135'2057tan 0

dp 135'2057tan 0

piespd 21155.2101355597.1 , es aproximadamente la altura de la torre.

2) Desde la azotea de un edificio que da al mar, un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el observador esta a 100 pies sobre el nivel del mar, y si el ángulo de depresión del bote cambia de 250 a 400 durante el periodo de observación, calcular la distancia aproximada que recorre el bote.

Establezcamos la primera relación con el triangulo I.

tan100100tan k

kEstablezcamos la segunda relación con el triangulo I + II, es decir el triangulo grande.

tan100100tan

dk

dk

dk tan

100

Haciendo kk

d tan

100tan100


250

400

100’

C B

k d

040 y 025

d 00 40tan100

25tan100

d 00 40tan100

25tan100

d8391.0100

4663.0100

d 1753.1194542.214

piesd 2789.95 recorre el bote.

Ejercicios propuestos.

I. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, grafique, encuentre el eje, el vértice, el máximo ó mínimo, intersecciones con el eje x y el eje y.

a)

b)

c)

d)

e)

II. En las siguientes funciones encuentre el Dominio, Rango y Grafique.

a)

1

1x

xxf

10:01:

xsixsi

b)

2xx

xf 21:12:

xsixsi


c)

4

2xf

21:13:

xsixsi

d)

22

xx

xf 1:

1:

xsixsi

e)

2

22

2

x

xxf

0:0:

xsixsi

III. Cambie a la forma logarítmicaa) 000,100105

b) 8113 4

c) pe 7

IV. Cambie a la forma exponencial:a) 532log2

b) 52log3 xc) 43log2 xm

V. Encontrar x, y, o b según corresponda:a) 2log 2 xb) y16log 4

c) 216log b

d) y

71log49

e) 21log25 x

f) 324log b

VI. Escriba en términos de formas logarítmicas más simples, usando las propiedades de los logarítmos:

a) vwu

alog

b) uvwblog

c) 25log wb


d) 5log Mb

e) 4

32

logzyx

b

VII. Calcule los siguientes logaritmos usando la fórmula de cambio de base:a) 372log5

b) 62.135log12

c) 23log4

d) 005439.0log2

VIII. Si un autobús sube un ángulo constante de , ¿Cuántos pies verticales ha subido después de avanzar 1 milla? (1 milla = 5280 pies). R/

IX. Encuentre la altura de un árbol (que crece al nivel del suelo) su un punto a 100 pies del árbol y la copa de éste forma un ángulo de con respecto a la horizontal. R/

X. Si el sol se encuentra a un ángulo de elevación de 58o. ¿Qué largo tendrá la sombra de una persona de 6 pies? R/


1 milla

x

58o

x

6 pies

VECTORES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

PLANA



INTRODUCCIÓN

Algunas cantidades en Matemática y otras ciencias, tales como el área, el volumen, la longitud de arco, la temperatura y el tiempo, sólo tienen magnitud y se pueden caracterizar completamente con un solo número real (con una unidad de medida apropiada como cm2 , cm3, cm., ºC., min., o seg.). Una cantidad de este tipo es una cantidad escalar y el número real correspondiente se llama escalar.

Conceptos como el de velocidad o fuerza poseen tanto magnitud como dirección y a menudo se representa por flechas o segmentos dirigidos, es decir, segmentos en los que se señala un sentido y representan una dirección. A un segmento dirigido también se le llama vector.


En la mayoría de las aplicaciones, para realizar el análisis del efecto de un vector o bien para realizar diversos cálculos podemos trasladarlos conservando su magnitud y dirección, sin alterar los resultados. Las magnitudes vectoriales que tienen esta propiedad se conocen como vectores libres. Vectores que tienen la misma magnitud y dirección son equivalentes.

La Geometría Analítica es el estudio o tratamiento analítico de la geometría, y por primeravez fue presentado por René Descartes en su libro llamado Géometrie que se publicó en el año de 1637. En esta obra, se establecía la relación explícita entre las curvas y las ecuaciones y podemos decir, que además de Descartes, todos los matemáticos de los siglos XVII y XVIII, contribuyeron de una forma o de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que en la actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica, y que se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador.

La Geometría Analítica es una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupade resolver algebraicamente los problemas de la geometría. En esta materia se puede conocer una ecuación y poder deducir su gráfica, o también conocer la gráfica de una curva y determinar su ecuación. A estos dos problemas se les conoce como los Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica.

La Geometría Analítica Plana como una disciplina de la Matemática lleva consigo la aplicación de conceptos y teoremas a la resolución de muchos casos de la vida real, pues utiliza el Álgebra para resolver con suma facilidad variados problemas geométricos.

En esta unidad vamos a estudiar la definición de vector, operaciones y aplicaciones, la distancia entre dos puntos, punto medio, ángulo entre dos rectas, paralelismo, perpendicularidad, ecuaciones de la recta, distancia de un punto a una recta, distancia entre rectas paralelas, intersección entre rectas de modo que despierte el deseo de aprender más sobre la materia y que este aprendizaje lo apliquen en su vida profesional.

OBJETIVOS

Utilizar el conocimiento de vectores y sus operaciones para aplicar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de nuestro entorno.

Lograr que los estudiantes desarrollen las destrezas necesarias para la solución de diversos ejercicios y problemas de la Vectores y Geometría Analítica de relativa dificultad.

Resolver ejercicios sobre operaciones de vectores, distancia entre dos puntos, punto medio, ángulo entre dos rectas, paralelismo y perpendicularidad.

Encontrar las ecuaciones de la recta mediante problemas propuestos de nuestro entorno.




Vectores: Concepto, Operaciones y Aplicaciones Distancia entre dos puntosPunto medioÁngulo entre dos rectas ParalelismoPerpendicularidadEcuaciones de la rectaDistancia de un punto a una rectaDistancia entre rectas paralelasIntersección entre rectas

Vectores

En Matemática, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de propiedades que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos.

Se llama vector de dimensión n a un conjunto ordenado de n números reales (que se llaman componentes del vector): v = (a1, a2, a3, ...,an).

El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como

El concepto matemático de vector se utiliza en física para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. En las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido

Ejemplo.

En el centro de una llanura hay dos coches. En un instante dado salen los dos a velocidad lineal constante de 30 y 40 km/h. Al cabo de una hora, ¿cuál es la distancia entre los dos coches?


http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

Si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido, la distancia será de 10 Km.

Si salen en la misma dirección y sentidos contrarios, la distancia será de 70Km.

Si toman direcciones perpendiculares, la distancia será de 50 Km.

Cual es la verdadera respuesta; el problema tiene infinitas soluciones, que es lo que pasa realmente. Hay magnitudes escalares, como la masa o la temperatura, que se definen con un solo número, pero hay otras como la velocidad, que si decimos únicamente su valor, no estamos dando toda la información; es necesario además una dirección y un sentido, veamos.

En el centro de una llanura hay dos coches. En un instante dado salen los dos a velocidad lineal constante, uno a 30 Km/h dirección norte, y el otro 40 km/h dirección noreste. Al cabo de una hora, ¿cuál es la distancia entre los dos coches?

Un vector, puede designarse por su módulo, dirección y sentido, o también por sus coordenadas en una base del espacio vectorial.

Representación vectorial

Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen módulo, dirección y sentido.

Un vector es un segmento, al cual se le asignan propiedades como la dirección y sentido,

además de la longitud.

Propiedades de un vector

Punto de aplicación, es el origen del segmento. Módulo, expresa el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa por la

longitud del segmento, siempre en valor absoluto

Dirección, que es la del segmento. A la recta que contiene el vector se le llama línea de acción.

Sentido, distinguiéndose dos sentidos sobre la recta de aplicación del vector.


http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Masa

http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:OrderedLineSegment.png

Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a a es

a .

Operaciones con vectores

Suma o adición de vectores

Geométricamente se utiliza el método del paralelogramo (izquierda en la figura) o el del polígono (derecha en la figura).

La suma de vectores tiene en cuenta, además de la magnitud escalar o módulo, el sentido de las magnitudes intervinientes.

Partiendo de la representación gráfica de dos vectores, la suma de ambos se consigue colocando el punto de aplicación del segundo vector, a continuación de la flecha del primero, el vector resultante es el que parte del punto de aplicación del primero hasta el final de la flecha del segundo.

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

21 , aaa

y 21 ,bbb

El vector suma será:

2121 ,, bbaaba


http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.png

agrupando:

2211 , bababa

Ejemplo.

Sean los vectores 3,1

a y 2,4

b encuentre

ba

5,323,412,43,1

ba

Resta o sustracción de vectores

Geométricamente es la suma del inverso del vector sustraendo, y el minuendo.

La resta de vectores tiene en cuenta, además de la magnitud escalar o módulo, el sentido de las magnitudes intervinientes

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

21 , aaa

y 21 ,bbb

El vector resta será:

)(

baba

2121 ,, bbaaba

agrupando:

2211 , bababa


http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_subtraction.png

Ejemplo.

Sean los vectores 4,5

a y 2,3

b encuentre

ba

6,824),3(52,34,5

ba

Producto por un escalar

Es la longitud de la proyección de un vector sobre el otro.

Multiplicar un vector por un escalar es tomar el vector tantas veces como indique el escalar, esto es valido también en los casos en los que el escalar es fraccionario o negativo.

Si partimos de la representación gráfica del vector, y sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, el resultado es el producto del vector por este escalar, si el signo del escales es negativo, es sentido del vector será el opuesto al original.

Analíticamente, partiendo de la coordenada del vector:

Si 21 , aaa

y c es un escalar, entonces 21 , cacaac

Ejemplo.

Sea el vector 4,5a y 2 un escalar encuentre

a2

8,104,522 a


http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:ProdScal1.png

Propiedades fundamentales

Si los vectores RyRcba n ,,, se cumple:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento opuesto: a + (-a) = 0

Elemento neutro: a + 0 = a

Propiedad distributiva:

λ(a + b) = λa + λb

(λ + μ)a = aλ + aμ

Vectores en el plano cartesiano

Magnitud o norma de un vector.

La magnitud a de un vector a= 21 , aa es .22

21 aaa

Ejemplo. Calcular la magnitud del vector 2,3 a

13492,3 a

Vectores rectangulares unitarios.

Un conjunto importante de vectores unitarios (es un vector cuya magnitud es la unidad) son los que tienen la dirección positiva de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Generalmente se representan por i al vector unitario en la dirección positiva del eje x, j en la dirección positiva del eje y. Las bases canónicas de los vectores i, j son 0,1i y

1,0j . Los dos vectores i y j tienen magnitud 1 ya que 101 22 i y


22 10 j =1.

Se pueden usar i y j para denotar a los vectores como una combinación lineal o sumas algebraicas ordinarias.

Ejemplo. Sean los vectores a = 5i + j y b = 4i - 7j. Expresar 3a – 2b como una combinación lineal de i y j.

3a – 2b = 3(5i + j) – 2(4i – 7j) = (15i +3j) – (8i -14j) = 7i +17j

Vector unitario es un vector cuya magnitud es la unidad. Si

a es vector diferente de cero,

entonces puede definirse un vector unitario u con la misma dirección que a por medio de

aa

u 1

Ejemplo. Encuentre un vector unitario u que tenga la misma dirección que 3i – 4j.

jijiUa54

5343

515169

Producto escalar.

El producto escalar, puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre sí):

a.b de 321 ,, aaaa y 321 ,, bbbb es a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Ejemplo. Calcular a.b para 2,5,1,3,4,2 ba

12)2)(3()5)(4()1)(2(2,5,1.3,4,2. ba

Propiedades del producto escalar.


x

y

j

i

http://es.wikipedia.org/wiki/Unitaria

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortonormal

http://es.wikipedia.org/wiki/Base

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

(i) a.a = 2a(ii) a.b = b.a

(iii) a.(b+c) = a.b + a.c

(iv) (ca).b = c (a.b) = a.(cb)

(v) 0.a = 0

Ángulo entre vectores.

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo n-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa.

cos. baba

Si es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces baba.cos

Ejemplo. Calcular el ángulo entre a = 1,3,4 y b = 2,2,1

2615.039

26278

264263

44411916

)2)(1()2)(3()1)(4(.cos

baba

Usando una calculadora o consultando las tablas, se obtiene la aproximación 84.74

Aplicaciones Físicas

La Matemática constituye la más trascendental herramienta de la Ciencia, hasta el punto que sin los importantes avances matemáticos habidos durante los últimos siglos no podríamos comprender la Ciencia actual ni, evidentemente, sus aplicaciones técnicas; podemos decir que Ciencia y Matemática caminan de la mano a lo largo de la historia. Dentro de la Matemática, el álgebra vectorial, los vectores, son uno de los campos con más aplicaciones físicas: desde la cinemática hasta la mecánica cuántica, casi todas las ramas de la Física emplean vectores.


http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnitud_escalar&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

A continuación se presentará una interpretación física importante del producto escalar. Dicho producto se aplica en el trabajo realizado por una fuerza constante. En física el trabajo realizado cuando se aplica una fuerza constante F y se desplaza una distancia d, es W = F*d, pero esta fórmula es muy restrictiva, pues sólo puede usarse cuando la fuerza se aplica en la dirección del movimiento. En general

PQ es un vector que representa una

fuerza cuyo punto de aplicación se desplaza a lo largo de un vector

PR .

Ejemplo.

La magnitud y la dirección de una fuerza constante están dadas por a = 5i +2j. Calcular el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de la fuerza se mueve de P(1,-1) a R(4,3).

Solución. El vector correspondiente a

PR es b = (3, 4) este vector se obtiene mediante la

diferencia del punto R al punto P. El vector

PQ es una representación geométrica de a , entonces, según la definición el trabajo realizado es

= a.b = (5,2). (3,4) = 15 + 8 = 23

Si la distancia está en metros y la magnitud de la fuerza en newton, entonces el trabajo realizado es 23 j (joule). Si la distancia está en pies y la fuerza está en libras fuerza (lbf), entonces el trabajo realizado es 5 lbf.pie (pielibras)


Fuerza

Definición. El trabajo realizado por una fuerza constante cuando su punto de aplicación se mueve a lo largo del

vector es .

P R

Q

Desplazamiento

Ejercicios Propuestos

1. Para cada uno de los siguientes vectores determine su magnitud y dirección:

a) 3,4

b c) 5,12

a

b) f = 5i + 12j d) h = -i + j

2. Si A 8i +15j,

B 4i + j, hallar los vectores unitarios en las direcciones de

a) A b) A + B c) A - B

3. Encuentre ba ,

ba , ba 54 y

ba 54 si:

i) 4,1,3,2

ba iii) 1,24,2,7

ba

ii) a = i + 2j, b = 3i – 5j iv) a = -(4i – j), b = 2(i – 3j)

4. Encontrar el valor de c de manera que 2,

cA y 8,cB

sean ortogonales.

5. Dados los vectores 3,2

a , 4,7

b , 5,1

c .Calcule el número indicado.

a) ).(

cba c)

cba 3).2(

b) ).(

cab d) )).((

cbba

6. Dados los puntos P (3,-2), Q (1,5), R (2,0), y S (-4,1), obtenga la cantidad indicada.

a)

RSPQ . c) El valor del ángulo entre

RSPQ .

b)

RPQS . d) El valor del ángulo entre

RPQS .

7. Una niña tira de una caja sobre el piso de su casa ejerciendo una fuerza 20 lbf (unos 10 kgf) a un ángulo de 45 con la horizontal. Encuentre las componentes horizontal y vertical del vector descrito.

8. Un avión vuela en la dirección 150 con una velocidad relativa (respecto al aire) de


300 km./h. y el viento sopla a 30 km/h en la dirección 60 . Calcule aproximadamente la dirección verdadera y la rapidez del avión con respecto a la tierra.

9. La magnitud y la dirección de una fuerza están dadas por el vector a . Calcule el trabajo realizado cuando el punto de aplicación se mueve de P a Q.

i) a = -i + 5j; P (4,0), Q (2,4) ii) a = 0,8 ; P (-1,2), Q (4,1)

10. Un estudiante de la UNI tira de una vagoneta sobre un terreno horizontal ejerciendo una fuerza de 20 kgf aplicada a un ángulo de 30 con respecto a la horizontal. Calcular el trabajo realizado cuando la vagoneta recorre 100m.

Soluciones.

1. a) 13.143,5 b b) 38.67,13 f c) 62.22,13 a

d) 135,2 h

2. a)1715,

178

, b)54,

53

, c) 53

537,53

532

3. i) 32,3,8,13,7,1,1,3 ii) 4i – 3j, -2i + 7j, 19i – 17j, -11i + 33j iii) 12,12,28,68,2,1,6,15 iv) -2i – 5j, -6i + 7j, -6i – 26j, -26i + 34j

4. 4

5. a) -19, b) 11, c) -141, d) -71

6. a) 19, b) 3, c) 5.66 d) 9.77

7. 210,210

8. 485.4 km/h (301.5 mi/h), 3.144

9. i) 22 ii) 40

10. 1000 3 1732 lbf.pie

Geometría Analítica Plana


Sistema coordenado rectangular o sistema cartesiano R2

Es posible asociar de diferentes maneras, pares de números reales con puntos de un plano, obteniendo así un sistema de coordenadas bidimensional.

Uno de los más importantes es el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. Este sistema lo formamos con dos rectas numéricas perpendiculares entre si, coincidiendo en el origen. Generalmente una se dispone horizontalmente con la dirección positiva hacia la derecha y le llamamos eje x o eje de las abscisas y la otra, en forma vertical con la dirección positiva hacia arriba y le llamamos eje y o eje de las ordenadas. Al plano formado le llamamos plano coordenado o plano xy. Esta forma de trabajar con el plano es lo que se llama Geometría Analítica (rectas, circunferencias, etc.) y es analítica por que usa para ello elementos del análisis (números, funciones., etc.)

Distancia entre dos puntos

Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo QPP 21 , se logra que la distancia

entre dos puntos 111 , yxP y 222 , yxP o longitud del segmento rectilíneo ______

21PP esta dado

por: 2122

1221 yyxxPPd

Ejemplo

Dados los puntos A (2,-1) y B (5,3) calcule la distancia del punto A al B

Solución:


x

Q

y

y2

0

),( 111 yxP

2122

12 yyxxABd

525431325 2222 ABd

Ejemplo

Demostrar que los puntos P1 (3, 3), P2 (-3, -3) y P3 33( , )33 son los vértices de un triángulo equilátero.

Solución:

En este ejemplo tenemos que encontrar las distancias de los puntos 21PP , 32 PP y 31PPcomparar los resultados los lados iguales entonces el triángulo es equilátero.

262672663333 2222221 xPPd

262672927927333333

262672927927333333

222

31

222

32

xPPd

xPPd

El triángulo es equilátero de lado 26

División de un segmento en una razón dada. Punto medio


Si r > 0 pertenece al segmento y si r < 0, no pertenece al segmento, pero si a la línea que lo contiene.

y

Definición: Sea el segmento donde y sea P(x, y) el punto que

divide a dicho segmento en la razón . Las coordenadas del punto están

dadas por: , , r -1

y

x

En el caso que P ( _

x , )_

y sea el punto medio del segmento, se tiene que 1r y sus

coordenadas son: 2

21__ xxX

,

221

__ yyY

Ejemplo

Encuentre el punto p(x, y) que divide al segmento que une los puntos A (2,3) Y B (17,18)

en la razón 21

r

Solución:

Aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente

8

23224

211

18213

1

7

23221

211

17212

1

21

21

ryy

Y

rrxx

X

El punto buscado es P (7, 8)

Ejemplo

Los vértices de un triángulo son A (3,8), B (2,-1), C (6,-1) si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.


P(x, y)

x

Q

0

),( 111 yxP

Solución:

Retomamos la definición de mediana: es el segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto .Por ello primero encontramos el punto medio del lado opuesto que serán las coordenadas del punto D(x, y) y que es encontrara sobre el lado BC

42

262

21

xx

X , 12

112

21

yy

Y D = (4, -1)

Luego utilizando la ecuación de la distancia, sustituimos las coordenadas del punto A (3, 8) y D (4, -1) para calcular la longitud de la mediana AD

0554.98281191

813422

222

122

12

ADd

yyxxADd

Ejemplo

Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar las coordenadas del otro extremo.

Solución:

Utilizamos la ecuación del punto medio, estableciendo que el punto (4, 3) es el punto medio, por lo tanto sus coordenadas serán las del par ordenado (x, y) y el par ordenado (7, 8) será considerado como ( 1x , 1y ), luego sustituimos en las ecuaciones del punto medio.

178

78742

27

4

2

1

1

1

1

1

21

xx

xx

x

xxX

286

86832

28

3

2

1

1

1

1

1

21

yy

yy

y

yyY

El punto extremo buscado es (1, -2)

Ángulo de inclinación de la recta y pendiente de una recta.


Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por el semi eje positivo X y la recta, medido en el sentido antihorario.

La pendiente o coeficiente angular de una recta es la tangente de su ángulo de

inclinación, es decir tan .

Si no se conoce el ángulo de inclinación de pero si las coordenadas de dos puntos se pueden conocer su pendiente. Si 1P ( 1x , 1y ) y 2P ( 2x , 2y ) son dos puntos distintos

cualesquiera en una recta , la cual no es paralela al eje ‘’y’’, entonces la pendiente de

esta dada por: 12

12

xxyy

m

El valor de ‘’m’’ es independiente de la selección de los dos puntos en así:

13

13

xxyy

m

ó 23

23

xxyy

m

Ejemplo

Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos (1, -2) y (3, 8).

Solución:

52

101328

12

12

xxyy

m 5tan ''24.24'4178

Ángulo entre rectas. Paralelismo y perpendicularidad


X

y

Se deduce que

x

El ángulo entre dos rectas dirigida esta dada por

0

Paralelismo

Definición 6: Si son rectas distintas no verticales con pendientes y

respectivamente, entonces son paralelas si y solo si . Las rectas paralelas

tienen la misma pendiente y se puede encontrar mediante la expresión

PerpendicularidadSi ni la recta , ni la recta son verticales, entonces son perpendiculares si y solo

si el producto de sus pendientes es -1, esto es, si es la pendiente de la recta y es la

pendiente de la recta entonces son perpendiculares si y solo si


y

x

Y

1

2

1

2

2

1

Ejemplo

Hallar el ángulo entre las rectas 3x -2y + 5 = 0 y :2

l 6x + 2y + 11 = 0

Solución:

Tenemos que BAm , luego

23

1 m y 326

2

m aplicando la fórmula

tan 7

9

27

29

2331

233

1 21

12

mm

mm luego tan

12.52

791

Ecuaciones de la Recta

1. Punto –Pendiente

El concepto de pendiente permite encontrar las ecuaciones de la recta. Por un punto 1P (

1x , 1y ) pasa solamente una recta con una pendiente determinada m.

De esta forma, la ecuación de la recta con pendiente “m” y que pasa por 1P ( 1x , 1y ) esta dada por:

Ejemplo


x

– = m ( - )

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son 1P (-3, 2) y 2P (1, 6)

Solución:

Primero encontramos la pendiente mediante la expresión

144

3126

12

12

xxyy

m

Ahora calculamos el punto medio del segmento

428

262

2

122

213

221

21

yyy

xxx

El punto medio es (-1, 4)

Como la mediatriz es perpendicular al punto medio entonces la pendiente es –1

Luego aplicamos la ecuación de la recta punto-pendiente

14114

00

xyxy

xxmyy

x + y – 3 = 0 Ecuación de la mediatriz

2. Pendiente – Intersección. Intersección con el eje y

Si escogemos el punto particular (0, b), el punto donde la recta intercepta al eje ‘y’ tenemos y – b = m(x - 0) o sea y = mx + b. El valor de b se conoce como la y - intersección u ordenada en el origen y representa el valor de la ordenada donde la recta corta al eje y.

Ejemplo

Encuentre la ecuación de la recta conociendo m = 5 y b = -3

Solución:

03535

yxxy

bmxy

3. Ecuación simétrica de la recta


Ecuación de la recta

Otra forma es la que comprende las intersecciones de la recta con los ejes X e Y en los

puntos (a, 0) y (0, b) respectivamente, la cual queda como:

Ejemplo

Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su ecuación e la forma simétrica.

Solución:Primero usamos la ecuación punto- pendiente

122

222

22224

)1(2411

yx

yxyx

xyxy

xxmyy

Ecuación general de una recta

La gráfica de la ecuación AX + BY + C = O donde A, B y C son constantes y donde A y B no son cero a la vez es una línea recta , y se llama ecuación general de la recta .

Con B 0 , tenemos BC

BAXY , entonces,

BAm y

BCb

Cuando B = O, tenemos ACX (línea paralela al eje ´’Y´´)

Distancia de un punto a una recta

La distancia desde un punto 0,00 yxP a la recta L: AX + BY + C = O se define como la longitud del segmento perpendicular que une al punto P con la recta L. Esta dada por:


Ahora para llevar la ecuación a la forma simétrica dividimos la ecuación entre 2

Ecuación de la recta

22

00,0

BA

CBYAXLPd

Ejemplo

Encontrar la distancia desde el punto 3,4oP a la recta con ecuación 3x – 4y + 10 = 0.

Solución:

Tenemos 22

00,0

BA

CBYAXLPd

, introduciendo los valores dados resulta

5525

916

251212

34

25)3(4)4(3,

22

LPd O

Distancia entre rectas paralelas

Si 0: 11 CBYAXL y 0: 22 CBYAXL son dos rectas paralelas, entonces:

22

212,1

BA

CCLLd

Nota: Para la aplicación de esta fórmula debe observarse que los coeficientes de las variables deben coincidir en ambas ecuaciones.

Ejemplo

Determine la distancia entre las rectas paralelas y

Solución:

Escribimos 1L y 2L en la forma de la ecuación general, para identificar correctamente los valores de A, B y C.

:1L 3x + 4y – 12 = 0 y :2L 3x + 4y – 22 = 0, luego A = 3, B = 4, 1C = -12 y 2C = -22.Introduciendo los valores en la fórmula, obtenemos:

25

10

43

2212,

2222

2121

BA

CCLLd


Intersección entre rectas

Intersección con los ejes coordenados.

Toda recta no paralela a los ejes coordenados corta a ambos ejes.

Si L esta dada por AX + BY + C = 0, para hallar la intersección con el eje x, basta hacer y =

0. En este caso se obtiene X = . Este valor se conoce como la abscisa en el origen ó la

x - intersección. El punto de intersección es

De manera similar para hallar el punto de intersección con el eje y, hacemos x = 0 y

obtenemos Y = BC

. Este valor se conoce como la ordenada en el origen ó la y -

intersección.

Ejemplo

La recta 3x – 2y + 8 = 0, corta al eje x en el punto

0,

38

y al eje y en el punto (0,4).


X

Y

(0, 4)

(-8/3, 0)

Punto de intersección de dos rectas que se cortan.

Las coordenadas del punto de intersección de las rectas OCyBxAL 1111 : y 0: 2222 CyBxAL , es la solución del sistema de ecuaciones:

A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0

Ejemplo

Hallar el punto de intersección entre las rectas: x + y = 12 y x – 2y = 0.

Solución:

Planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas. La solución corresponde al punto de intersección.

Este sistema se puede resolver por cualquier método ya conocido.

1). x + y = 12 / (2) Sustituimos x = 8 en (1)2). x – 2 y = 0 x + y = 12 8 + y = 12 2x + 2y = 24 y = 12 -8 x - 2y = 0 y = 4

3x = 24

x = 324

x = 8 Las rectas se cortan en el punto (8, 4).

Ejercicios Propuestos


1. Hallar el perímetro y el área del cuadrilátero cuyos vértices son:-3, -1), (0, 3), (3, 4), y (4, -1) R: P = 20, A = 22 2U

2. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), y (2, -1) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta.

3. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), y (3, -4). R: 5 2U

4. Determine si el triángulo dado por las coordenadas de sus vértices, es isósceles, equilátero, o escaleno.a) A (1, 2), B(3, 4), C(2, 7) R: a) Escalenob) D(-2, 0), E(2, 0), F(0, 2 3 ) b) Isóscelesc) P(-1, -3), Q(6, 1), R(2, -5) c) Escaleno

5. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. R: -2, 1/5, 7/2

6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. R: 5

7. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los puntos (2, -1) y (7, 3). R: 4x -5y -13 = 0

8. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3, 9) y A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. R: -8

9. Una recta

1l pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6) y otra recta

2l pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que

1l es perpendicular a

2l . R: 1

10. Verificar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. R: 4133 ’, 56 19’

11. Halle la distancia desde el punto medio del segmento que une A (-2, -10) y B (4, 6) hasta el punto medio del segmento que une C (3, 5) y D (-1, 3). R: 6

12. Los vértices de un triángulo son los puntos (2,-2), (-1, 4) y (4, 5). Determine la pendiente de cada uno de los lados. R: -2, 1/5, 7/2

13. Encuentre la distancia desde el punto (2, 3) hasta la recta 3x -4y +10 = 0. R: 4/5

14. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D (8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. R: 2x –y = 0, 3x -4y +10 = 0, 7x +2y – 56, y = 0


15. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x +y -8 = 0 y 3x -2y +9 = 0. R: 4x + y -10 = 0

16. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A (-3, 2) y B (1, 6). R: x + y – 3 = 0

17. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. R: 6x + 5y -82 = 0

18. Sea el triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 7) y c(6, -3), hallar:a) Ecuación de la recta que pasa por A paralela a BC . R: 5x + y + 9 = 0b) Ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. R: (8/3, 5/3)

19. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y que forman cada una un ángulo de 45 con la recta 2x – 3y + 7 = 0. R: 5x – y – 11 = 0, x + 5y + 3 = 0

20. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x – 4y + 8 = 0 y 6x – 8y + 9 = 0. R: 7


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