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IN DICE

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Algunos consejos para resolver problemas (actitudes).

Etapas en la resolución de problemas.

Análisis de algunas estrategias: Hacer un esquema, dibujo o diagrama. Estudiar todos los casos posibles. Elegir una buena notación. Considerar casos particulares. Experimentar. Aprovechar la regularidad del problema. Tanteo (ensayo-enor).

Algunos consejos que te ayudarán a pensar mejor.

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1. Números reales

1.1 Números reales. La recta real.

1.2 Valor absoluto de un número real.

1.3 Radicales. Propiedades.

1.4 Logatitmos. Propiedades.

8

23

26

1.5 Expresión decimal de los números reales. Números aproximados.

Ejercicios y problemas

Autoevaluación

2. Sucesiones

2.1 Concepto de sucesió n.

50

2.2 Algunos tipos importantes de sucesiones.

2.3 Límite ele una sucesión.

2.4 Algunos límites importantes.

Ejercicios y problemas

Autoevaluación

3. Álgebra

3.1 Factorización de polinomios.

3.2 Fracciones algebraicas.

3.3 Resolución de E

3.4 Sistemas de ecuaciones.

3.5 Método de Gauss para sistemas lineales.

3.6 Inecuaciones con una incógnita.

Ejercicios y problemas

Autoevaluación

Autoevaluación del bloque 1

68

98

11 TRIG,ONOMETRÍA Y NUMEROS COMPLEJOS 99

4. Resolución de triángulos 102

4.1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo (0° a 90°) .

4.2 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (0° a 360°) .

4.3 Ampliación del concepto de ángulo.

4.4 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos.

4.5 Resolución de triángulos rectángulos.

4.6 Estrategia de la a ltura para resolver triángulos oblicuángulos.

4.7 Resolución de triángulos cualesquiera.

Ejercicios y problemas

Autoevaluación

5. Funciones y fórmulas trigonométricas 126

5.1 Una nueva unidad para medir ángulos: el radián.

5.2 Funciones trigonométricas o circulares.

5.3 Fórmulas trigonométricas.

5.4 Ecuaciones trigonométricas.

Ejercicios y p roblemas

Autoevaluación

6. Números complejos 146

6.1 En qué consisten los números complejos.

6.2 Operaciones con números complejos.

6.3 Números complejos en forma polar.

6.4 Operaciones con complejos en forma polar.

6.5 Radicación de números complejos.

Ejercicios y problemas

Autoevaluación

Autoevaluación del bloque 11 166

111 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 167 IV ANÁLISIS 241

7. Vectores 170 10. Funciones elementales 244

Los vectores y sus operaciones. 10.1 Las funciones describen

7.1 fenómenos reales. 7.2 Coordenadas ele un vector.

10.2 Concepto ele función. 7.3 Producto escalar ele vectores.

10.3 Funciones definidas

Ejercidos y problemas "a trozos".

10.4 Dos funciones interesantes. Autoevaluación

10.5 Valor absoluto de una función.

10.6 Transformaciones elementales de

8. Geometría analítica. funciones.

Problemas afines y métricos 186 10.7 Composición de funciones.

8.1 Puntos y vectores en el plano. 10.8 Función inversa o recíproca

8.2 Ecuaciones ele una recta. de otra.

8.3 Haz ele rectas. 10.9 Funciones exponenciales.

8.4 Paralelismo y perpencliculariclacl. 10.10 Funciones logarítmicas.

8.5 Posiciones relativas ele dos rectas. 10.11 Funciones arco.

8.6 Ángulo ele dos rectas. Ejercicios y problemas

8.7 Cálculo de distancias. Autoevaluación

Ejercicios y problemas

11. Límites de funciones. Autoevaluación Continuidad y ramas infinitas 272

11.1 Visión intuitiva de la 9. Lugares geométricos. continuidad.

Cónicas 212 Tipos de discontinuidades.

9.1 Lugares geométricos. 11.2 Límite de una función en un punto.

9.2 Estudio de la circunferencia. 11.3 Cálculo del límite de una función

9.3 Potencia de un punto a una en un punto. circunferencia.

11.4 Comportamiento de una función 9.4 Las cónicas como lugares cuando X ---7 +oo.

geométricos. 11.5 Cálculo de límites

9.5 Estudio de la elipse. cuando X ---7 +oo.

9.6 Estudio de la hipérbola. 11.6 Ramas infinitas. Asíntotas.

9.7 Estudio de la parábola. 11.7 Comportamiento de una función

9.8 Tangentes a las cónicas. cuando X ---7 -oo.

11.8 Ramas infinitas en las funciones Ejercicios y problemas trigonométricas, exponenciales

y logarítmicas. Autoevaluación

Ejercicios y problemas

Autoevaluación del bloque 111 240 Autoevaluación

12. Iniciación al cálculo 14. Cálculo de probabilidades 348 de derivadas. Aplicaciones 300

14.1 Experiencias aleatorias. Sucesos. 12.1 Crecimiento de una función

en un intervalo. 14.2 Frecuencia y probabilidad.

14.3 Ley de Laplace. 12.2 Crecimiento de una función

en un punto. Derivada. 14.4 Probabilidad condicionada. Sucesos independientes .

12.3 Función derivada de otra. 14.5 Pruebas compuestas.

12.4 Reglas para obtener las derivadas 14.6 Probabilidad total. de algunas funciones.

14.7 Probabilidades "a posteriori". 12.5 Utilidad ele la función derivada. Fórmula de Bayes.

12.6 Representación ele funciones Ejercicios y problemas polinómicas.

Autoevaluación 12.7 Representación de funciones

racionales.

Ejercicios y problemas 15. Distribuciones de probabilidad 372

Autoevaluación 15.1 Distribuciones estadísticas.

15.2 Distribuciones ele probabilidad Autoevaluación del bloque IV 326 de variable discreta.

15.3 La distribución binomial.

V ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 327 15.4 Distribuciones ele probabilidad de variable continua.

13. Distribuciones bidimensionales 330 15.5 La distribución normal.

15.6 La distribución binomial se aproxima 13.1 Nubes de puntos. Correlación. a la normal.

13.2 Medida ele la correlación. Ejercicios y problemas

13.3 Recta ele regresión. Autoevaluación

13.4 Hay dos rectas ele regresión. Autoevaluación de bloque V 396

13.5 Tablas de doble entrada.

Ejercicios y problemas Soluciones de las autoevaluaciones 397

Autoevaluación Contenidos de tu CD-ROM 408

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Resolución de problemas Lo primero que te encontrarás al empezar el libro es una unidad en la que te daremos unas cuantas pautas y estrategias para resol­ver problemas.

En esta unidad aprenderás distintas formas de afrontar un problema, encontrarás unos cuantos ejemplos resueltos y te propondre­mos algunos o tros con los que podrás com­probar si estás adquiriendo habilidades que te serán muy útiles según vayas avanzando en este curso.

Al final, te proponemos una gran cantidad de problemas para que ensayes estas estra­tegias.

Inicio de bloque El libro está dividido en cinco bloques, que se corresponden con distintos campos de las matemáticas:

Aritmética y Álgebra, Trigonometría y nú­meros complejos, Geometría analítica plana, Análisis, Estadística y Probabilidad.

Cada uno de estos bloques se inicia con un eje cronológico en el que se señalan los principales avances en un determinado campo de las matemáticas junto con los he­chos históricos más relevantes de la época en la que se produjeron .

Inicio de la unidad Cada vez que empieces una unidad nueva, te encontrarás con dos páginas especiales:

• En la primera, una pequeña introducción, casi siempre histórica, relacionada con los contenidos más importantes de la unidad.

• En la segunda, unas propuestas de activi­dades, con cuya resolución te introducire­mos los conceptos que verás a lo largo de la unidad .

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• Desarrollo de una unidad • Las unidades se dividen en epígrafe~ y sub­

epígrafe~, en los que mostramos los con­ceptos y herramienta~ que debes aprender .

• A lo largo ele la unidad encontrarás ejerci­cios resuelto~ que te ilustrarán sobre la forma en que se utilizan la~ herramientas que e~tás aprendiendo en ese momento.

• En las unidades que lo precisan se han in­troducido comentarios al margen o en pá­ginas completas sobre el "lenguaje mate­mático" utilizado en la unidad .

• Al final de cada epígrafe, por lo general, aparecen ejercicios propuestos que te ayudarán a comprobar tus avance~.

Ejercicios resueltos y propuestos Al final de cada unidad podrás comprobar si has asimilado todos sus contenido~. Para ello te encontrarás con dos tipos de páginas:

• Una serie de ejercicios resuel tos coloca­dos por contenido~. Cubren todos los conceptos y herramienta~ que has apren­dido a lo largo de la unidad .

• Una gran cantidad ele ejercicios que te proponemos para que resuelvas tú mis­mo. Están secuenciados por contenidos y por dificultad .

Autoevaluaciones Al final de cada unidad, encontrarás una au­toevaluación que te ayudará a comprobar tus avances en el estudio de la unidad.

Ademas, al final de cada bloque te propone­mos una larga autoevaluación con ejercicios para repasar los contenidos relacionados con las unidades que componen el bloque.

Las soluciones de todas las autoevaluacio­nes las encontrarás al final del libro, y las resoluciones completas, en tu CD-JlOM.

Te recordamos que, a lo largo ele todo el li­bro, el símbolo indica que en tu CD tie­nes material complementario.

, ______________________ _ RESOLUCION DE PROBLEMAS

UNA ANÉCDOTA SIMPÁTICA

Tres matemáticos discuten en la barra de un bar. Pretenden construir una pirámide con estas cuatro piezas:

~========~----------------------

Resolver problemas requiere esfuerzo. Como correr, nadar, montar en bicicleta o hacer gimnasia. Pero, al igual que estas actividades, propor­ciona grandes satisfacciones.

Resolver un p roblema supone un reto : esta es su componente deportiva. También tiene una fuerte componente lúdica, pues es necesario poner en juego creatividad , curiosidad, espíritu aventurero: indagar, recorrer caminos nuevos . . .

Para resolver problemas no hace falta saber mucho. (A veces no hace falta saber casi nada). Basta con pensar bien y tener una actitud mental p ositiva, abierta, creativa.

Todo el mundo sabe "resolver problemas" (algo, aunque sea un poco). Y, por mucho que se sepa, todo el mundo puede mejorar. Tú llevas va­rios años entrenándote, progresando. Pretendemos, un año más, ayu­da•te a mejorar. Para e llo, posiblemente, bastaría con darte una buena colección de enunciados y animarte a que te enfrentaras con ellos. Sin embargo, no nos resistimos a la tentación ele darte, nuevamente, algu­nos consejos y a proponerte que te entrenes practicando algunas estra­tegias concretas.

Empecemos recordando qué es un problema:

Si estás ante una dificultad para cuya resolución conoces un camino, te encuentras ante un ejercicio. Pero, si no conoces ningún camino, si ni tan siquiera sabes la magnitud de la dificultad ante la que te encuentras, entonces, probablemente, estés ante un auténtico problema.

Veamos algunos rasgos que distinguen un problema de un simple ejercí-Llevan veinte minutos intentándolo. En eso, cio: la camarera les dice:

- Perdonen, ¿quieren dejarme probar?

- Por supuesto, señora.

Lo resolvió al instante.

(

•

FJERCICIO

Siempre está claro lo que se pide.

InmecUatamente se ve el cami­no para llegar a la solución.

Se puede resolver aplicando conocimientos y mecanismos previamente aprendidos.

Se sabe, aproximadamente, cuánto tiempo se va a invertir en resolverlo.

Suele ser de cierto nivel : trivial para los que tienen un nivel su­perior, imposible para los ele nivel inferior.

PROBLEMA

A veces no está claro cuál es la pregunta.

De entrada, se desconoce có­mo abordarlo.

Para su resolución se requiere profundizar, reflexionar, re la­cionar ...

No se sabe el tiempo que pue­de llevar el conse&TUir encontrar un camino para su resolución.

Suele ser factible, e interesante, para personas de muy distintos niveles.

ALGUNOS CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS (ACTITUDES)

"Actuar sin método oscumce la razón y cie­ga la inteligencia".

R. Descmtes

Cada vez que te has enfrentado a la resolución de un problema, seguro que habrás buscado caminos distintos para abordarlo. Resolver un pro­blema requiere buscar conscientemente alguna acción o recurso apro­piado para lograr una meta claramente concebida, pero no inmediata de alcanzar.

Para obtener un buen rendimiento de tu trabajo, es conveniente que dispongas de un cierto método que, aunque no te asegure el éxito, sí te ayude en su búsqueda.

Quizá te vengan bien algunos consejos, tanto para cuando te dispongas a resolver un problema en concreto como para la ta rea de mejorar tu ca­pacidad de resolución de problemas, en general.

Ten confianza en tus capacidades

Con frecuencia no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

Sé paciente y constante

No abandones a la menor dificultad. Cada problema requiere su tiem­po. Algunos problemas se te pueden resistir horas e, incluso, días o semanas ...

Concéntrate en lo que haces

Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere po­ner en tensión todos nuestros resortes mentales.

Busca el éxito a largo plazo

Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tarda­rán un cierto tiempo en llegar. Tal vez al principio tengas sentimien­tos de ansiedad, de fracaso, de subestima, pero cuando notes los pro­gresos sentirás una gran satisfacción.

Da por bueno el tiempo empleado

Ten la seguridad de que todo el tiempo que dediques a esta tarea ha sido sumamente provechoso. ¡Aunque no hayas sido capaz de resol­ver un problema!

Sácales partido a los buenos problemas

Un buen problema es una magnífica fuente de aprendizaje. Aunque ya lo hayas resuelto (con o sin ayuda), vuelve a él al cabo del tiempo. Intenta resolverlo de nuevo. Reflexiona ...

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RESOLUCION DE PROBLEMAS

~ ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para actuar con método, cuando vayas a resolver un problema es reco­mendable que des w1a serie de pasos.

l. COMPRENDER EL PROBLEMA

- Léelo con toda atención y reflexiona sobre él.

- Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones ...

2. ELABOUAR UN PLAN DE AC11JACIÓN

Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Más adelante veremos algunas de ellas.

Es posible que encuentres y sigas un plan de actuación que no se en­cuadre en ninguna de las estrategias aprendidas. ¡Mejor! El camino ideal es el que más claro te resulte a ti.

3. LLEVAR A CABO EL PLAN PREVISTO

Una vez que hayas elegido tu estrategia, llévala a cabo . Pero si ves que te atascas o que entras en un camino sin salida, vuelve al paso anterior. Tal vez te convenga probar una estrategia nueva.

4. REFLEXIONAR SOBRE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

Muy a menudo nos olvidamos de este paso y es tan importante como todos los anteriores.

- Tienes que verificar si la solución que has dado es buena: si es completa, si responde a lo que el problema planteaba, si es razo­nable ...

- Reflexiona sobre e l proceso que has seguido y sobre las dificulta­des que has tenido. (Incluso si no has llegado a la solución, no im­porta; seguro que has aprendido algo).

- También puedes plantearte nuevos problemas o intentar buscar otras soluciones o, ta l vez, este te pueda servir para resolver aquel problema que no te salía .

5. REDACfAR LA RESOLUCIÓN

- Redacta el proceso de resolución de forma clara, ordenada, ele­gante, que pueda ser comprendida por otra persona .

- Da la solución de manera coherente con los términos de l enun­ciado.

- Aunque no hubieras sido capaz de llegar a resolverlo, hacer una buena redacción describ iendo e l proceso que has seguido, los sucesivos intentos, por qué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te Jo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

... ANÁLISIS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS

Hacer un esquema, dibuio

PROBLEMAS

LA CABRA

Una cabra está atada, mediante una cuerda de 20 metros, a una esquina de una casa de campo de planta cuadrada de 1 O metros de lado.

¿Cuál es la supe1jkie de la porción de parcela en la que puede pastar la cabra?

IDI OMAS

En una academia de idiomas hay 133 alumnos, de los que 87 estudian inglés y 34 francés. De ellos, 16 estudian ambos idiomas.

¿Cuántos hay que no estudian fran­cés ni inglés?

rama

Bien para entender el enunciado, bien para intentar relacionar los datos y lo que deseamos conseguir, la representación gráfica es una gran ayu­da. Si el problema es geométrico, es imprescindible.

La representación gráfica nos permite resolverlo sin dudas :

A = ~ · 1t · 202 + ~ · 1t · 102 = 1099,56 m2

La superficie en la que puede pastar la cabra es de 1 099,56 m2.

m+ 16 = 87 --? m = 71; n + 16 = 34 --? n = 18

En total, estudian francés o inglés:

71 + 16 + 18 = 105

No estudian francés n i inglés:

133- 105 = 28

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUELVE

OTRA VEZ IA CABRA

En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, ele 1 O m x 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra miele 30m. Halla la superficie en la que puede pastar.

IA CIASE

En una clase hay 30 alumnos y alumnas, ele los cuales 22 estudian in­glés y 15 estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudian solo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?

12

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RESOLUCION DE PROBLEMAS ------~==------------------------------------

Estudiar todos los casos posibles

PROBLEMA

LAS EDADES DE LAS HIJAS

Don Anselmo y don Antonio se encuentran después de mucho tiempo y mantienen la siguiente conversación:

D. ANSELMO: Tengo t1·es hijas. El producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casa.

D. ANToNio (después de pensar un poco): No puedo resolverlo.

D. ANSELMO: 1Ah, es cierto! Pues ... la mayor toca el piano.

D. ANToNio: ¡Ahora sí! Ya sé las edades de tus hijas.

¿Cuáles son?

Se trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pue­den aceptar o descartar, y por qué. Veamos un ejemplo.

Veamos todas las posibles descomposiciones del número 36 e n produc­to de tres factores, y la suma, en cada caso, de los tres factores.

~ 1.0 HUA 2.0

HUA 3.0 HUA SUMA ~

36 = 36 . 1 . 1 36 1 1 38 36 = 18. 2. 1 18 2 1 21

36=9·4· 1 9 4 1 14

36 = 2. 2. 3. 3 36 = 12 . 3 . 1 12 3 1 16 36 = 6. 6. 1 6 6 1 13 36=9·2·2 9 2 2 13 36=6·3 ·2 6 3 2 11 36 = 4. 3. 3 4 3 3 10

Si don Antonio no puede resolver el problema es porque se trata de uno de Jos dos casos con la misma suma: 6, 6, 1 y 9, 2, 2.

Al decirle don Anselmo que la mayor toca el piano, ya sabe que es el segundo de Jos casos. (En el primero no hay una mayor que las otras).

Por tanto, las edades de las hijas de don Anselmo son 9, 2 y 2 años.

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUELVE

TRANSPORTANDO PANES

Una comitiva de doce personas acarrea 12 panes: cada hombre lleva dos panes; cada mujer, medio pan, y cada niño, un cuarto de pan . ¿Cuántos hombres, mujeres y niños componen la comitiva?

,.... Sean x bombres, y mujeres y z niiios. Se tiene: 2x + f + f = 12

Prueba las distintas posibilidades teniendo en cuenta que x, y, z ban de ser números enteros y positivos.

LOS NÚMEROS OCULTOS

Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en ca­da una de las cuatro caras.

®® Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pue­den obtenerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55.

Observa la figura y averigua los números que quedan ocultos.

Elegir una buena notación

PROBLEMA

UN RECTÁNGULO FORMADO

POR CUADRADOS

Se tiene un mctángulo formado por la unión de 9 cuadrados no supe1puestos, como ves en lafigunt:

Si el cuadrado más peque·ño tiene 2 metms de lado, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo grande?

Eligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar nota­blemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de ele­gir una buena notación, debemos tener presente que esta sea clara, con­cisa y sin ambigüedades .

Para resolver este problema es fundamental elegir una buena variable (una adecuada notación).

Es claro que, partiendo de los cuadrados A y B, podemos obtener mu­chas cosas. (Si lo hiciéramos con otros, no podríamos decir lo mismo. Compruébalo).

Llamando a y b a los lados de los cua­drados A y B, obtenemos los datos que ves en la figura de la derecha.

Teniendo en cuenta que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma longitud:

a+6

a+b+6

a + 2 r:-1-'b:...J._ __ __, '1 a+ 2/J + 6

2a + 2

(a + 4) + (a + 6) + (a + b + 6) = (2a + 2) + (a + 2b + 6) } ---+ { a = 14 (a + 4) + (a + 2) + (2a + 2) = (a + b + 6) + (a + 2b + 6) b = 8

Por tanto, las dimensiones del rectángulo dado son 66 metros ele ancho y 64 metros de alto.

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUELVE

S EL CUENTO

María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. El martes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte del resto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decidido acabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas.

Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas pá­ginas tiene el cuento?

6. UN SISTEMA

Resuelve el sistema:

.- Llama z = 1/x, 1 = 1/y.

_!_+2=8¡ X y

3 1 - - - = 3 X y

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Considerar casos particulares. Experimentar

PROBLEMA ~

SUMA DE IMPARES

Averiguar a qué es igual el msultaclo ele sumar los n primeros números impa1'es.

En algunas ocasiones, experimentar con casos particulares viene bien. Se suelen obtener ideas muy interesantes y provechosas.

Probamos con los casos más sencillos. Observamos e intentamos elabo­rar una conjetura:

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Parece razonable conjeturar que:

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n - 1) = n 2

su1na de los n. prin1eros números impares

¿Será cierto? ¿Cómo comprobarlo?

Una manera elegante de proceder es la siguiente:

1 + 3 + 5 + 7 + + 2n - 1 = n 2 ' • ' • • o o ' ' -- w---

• • • o o ----------- 1

• • • o o ' -- ---- ----- ---- --o o o o o

o o o o o Como ves, existe una disposición geométrica en forma de cuadrado .

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUElVE

7. LAS PUERTAS

El conserje de un hotel cierra y abre las pue1.tas de las habitaciones del siguiente modo:

• El primer día cierra todas las puertas.

• El segundo día abre las pares.

• El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si es-taba cerrada, la abre) las múltiplos de 3.

• El cuarto día las múltiplos de 4.

• Etcétera.

¿Qué puertas son las que quedarán cerradas al final del p roceso?

Aprovechar la regularidad del problema

PROBLEMA

EL CUADRADO

Calcula el área sombreada en la figum de abajo, en la que el lado del cuadrado grande mide l = 9 cm. A, B, C y D son los puntos medios de los lados.

En a lgunos problemas existen unas ciertas regularidades o simetrías que, si somos capaces de descubrir, nos ayudarán notablemente en la resolución de los mismos.

Es claro que la figura tiene un marcado carácter simétrico. De hecho, si unimos dos figuras iguales, observamos que el cuadrado original se ha dividido en 5 pequeños cuadrados.

' 92 81 2 Por tanto: Area sombreada = - = - cm 5 5

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUELVE

8. LAS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

9. MÁS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tanteo (ensayo-error)

PROBLEMA

PESANDO MONEDAS

Un coleccionista de monedas tiene 24 que parecen idénticas, pero sabe que una de ellas es falsa y pesa algo menos que las demás.

El coleccionista ha decidido encontm1' la moneda falsa utilizando una balanza de dos brazos. Pero, ¡qué contrariedad!, solo puede utiliza¡- la balanza tres veces. ¿Cómo lo hará?

Es una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una deter­minada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo-error. En matemáticas se suele em­plear en multitud de ocasiones.

Probamos distintos caminos de resolución hasta que nos damos cuenta de que el siguiente puede ser válido:

1 ~ PESADA. Se colocan ocho monedas cualesquie ra en un platillo y ocho en el otro. Pueden pasar dos cosas:

CASO A. Supongamos que no pesan lo mismo. La falsa estará entre las que pesan menos.

2~ PESADA. Pesamos 3 y 3 de estas últimas.

CASO Al. Si pesan lo mismo, la falsa estará entre las dos que quedan.

3~ PESADA. La falsa será la que menos pese de las dos que quedan.

CASO A2. Si no pesan lo mismo, tomamos las 3 que menos pesan.

3~ PESADA. De esas tres comparamos los pesos de dos de ellas. Si pesan lo mismo, la falsa es la tercera y si no es así, la falsa es la que menos pesa.

CASO B. Supongamos que pesan lo mismo. En este caso procede­mos con las ocho restantes como hicimos en el CASO A.

A

1.' PESADA --------+ 2 3 4

e 2.' PESADA -- 1

,•

,_9 0

E~F 3.' PESADA --------+ 1 2

X FAtSA 1 PAtSA 3

B

- 1~ 1(j)

M!SMOCASO

'El caso B < A es similar al expuesto .

"El caso D < C es similar al expuesto.

'"El caso F < E es similar al expuesto.

Reflexiona sobre el proceso, sobre la solución: ¿Lo entiendes bien? ¿Te convence la solución? ¿Contesta a lo que se nos preguntaba?

APLICA LA ESTRATEGIA Y RESUELVE

1 0 . MÁS MONEDAS

Siguiendo con el p roblema resuelto de la página anterior, ¿cuál es el número máximo de monedas que podemos tener para que se pue­da averiguar cuál es la moneda falsa con tan solo tres pesadas?

11 . NÚMERO PAR DE FICHAS

En un tablero cuadrado de 16 casillas hay dispuestas 10 fichas, co­mo indica la figura.

• • • • • • •

• • •

Se propone colocarlas, una en cada casilla, de tal manera que en cada fila horizontal o vertical y en las dos diagonales se ubiquen un número par de fichas.

12. EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL

Un pastor con una enorme col, una enorme oveja y un enorme lo­bo llega a un río en el que hay una d iminuta barca en la que no cabe más que el pastor y una sola de sus pertenencias.

Si deja al lobo y a la oveja solos, el lobo ... Y si deja a la oveja y a la col sin vigilancia, no te digo lo que le pasará a la col. .. Eso sí, el lo­bo no es vegetariano. Quiere pasar a todos al otro lado del río. ¿Có­mo lo hará?

.. ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR Después de haber realizado un buen número de problemas, es conve­niente que, ahora, dediques un tiempo a examinar tu forma de pensar.

Para ser aún más eficaz resolviendo problemas, es conveniente que ten­gas en cuenta algunas de las siguientes recomendaciones:

- Antes de atacar el problema, léelo con cietta tranquilidad y planifica mentalmente los pasos que vas a dar.

- Genera muchas ideas, aunque en principio te parezcan descabelladas.

- Actúa de modo planificado y sistemático.

- Mantén el problema en tu mente e intenta comprenderlo en su tota­lidad.

- Si te quedas atascado, no te des por vencido; busca un nuevo enfo­que del problema.

.----------, -----RESOLUCION DE PROBLEMAS

PROBLEMAS PARA PRACTICAR

1. UN RELOJ TARDÓN

Si el reloj de una iglesia tarda treinta segundos en dar las seis, ¿cuánto tiempo tardará en dar las doce?

2. DIFÍCIL REPARTO

Un grupo de 17 concursantes ha de repartirse un premio, que consiste en una bolsa con varias monedas de oro, en número menor que 300. Al intentar repartirlas, se observa que sobra una moneda. Para que no sobre ninguna, deciden hacer un juego y el que pierda será eliminado del reparto. Cuando quedan 16 concursantes, al intentar repartir las monedas, vuelve a sobrar una. Deciden seguir eliminando concursantes hasta que el reparto pueda ser exacto.

a) ¿Cuántas monedas contiene la bolsa?

b) ¿Cuántos concursantes deberán ser elimina­dos para que al hacer el reparto no sobre ninguna moneda?

3. LOS PENDIENTES

En un remoto poblado de Nueva Guinea hay 1400 mujeres. El 14% de ellas lleva un solo pen­diente. Del 86% restante, la mitad lleva dos pen­dientes y la otra mitad no lleva ninguno.

Si los hombres no llevan pendientes, ¿cuántos pendientes ha y en total en el poblado?

4. MEZClAS

De un balde que contiene 5 litros de agua, se vierte un litro fuera ele él y, en su lugar, se relle­na el balde con un litro de zumo ele naranja. Se mezcla bien el zumo con el agua y nuevamente se vierte fuera un litro ele la mezcla, sustituyén­dola por un litro de zumo ele naranja. Y se hace lo mismo por tercera vez.

¿Cuánta agua quedará en el balde después del proceso?

S. VACAS LECHERAS

4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 días que 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 dias. ¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra?

~=-------------------------------------

6. EL NÚMERO OCULTO

Este juego consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empieza por cero.

Escrito un número en la tabla, en la columna B se indica cuántos ele sus dígitos tienen en común con el número buscado y en la misma posición. En la columna R se indica cuántos dígitos tiene ese número en común con el buscado, pero en posición incorrecta.

3476 o 2 Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz ele encontrar

3965 o 2 el número oculto? 4269 o 1

1057 2

7. lAS CARTAS

En una mesa hay cinco cartas:

Cada carta tiene, en un lado, un número natural, y en el otro, una letra.

Enrique afirma: "Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene un número par en el otro lado".

¿A qué cartas tuvo que dar la vuelta Pedro para convencerse de que Enrique decía la verdad?

8. FUERA DE LA LEY

Cuatro hombres, uno ele los cuales había cometi­do un determinado crimen, hicieron las siguien­tes afirmaciones al ser interrogados por la policía:

ARTURO: David lo hizo.

DAvm: Antonio Jo hizo.

GusTAVO: Yo no lo hice.

ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.

Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Por otro lado, si solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién se­ría entonces el culpable?

9, EN EL PARQUE DE ATRACCIONES

Cuatro amigas (Alicia, Rocío, Carmen y Merce­des) van al parque de atracciones con otros cua­tro amigos (Pablo, Luis, Carlos y Ramón).

A lo largo de la jornada, las cuatro chicas han montado en las siguientes atracciones: montaña msa, barcas, casa del terror y alfombra mágica. Además, siempre montan un chico y una chica juntos en cada atracción. A la salida comentan:

ALICIA: Me lo pasé mejor en la montaña rusa con Pablo que en las barcas con Luis.

Rocío : Cuando monté en la montaña rusa con Carlos, se estropeó y se quedó un rato parada.

CARMEN: Ramón me dio un buen susto en la casa del terror.

MERCEDES: Pues yo no vuelvo a entrar en la casa del tenor con Pablo.

¿Cómo se formaron las parejas al montar en la al­fombra mágica?

1 0, LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES

Tres exploradores y tres caruoales deben cmzar un río, pero disponen de una sola barca y, además:

• En la barca solo pueden viajar una o dos per­sonas.

• Al menos uno debe saber remar.

• Saben remar los tres exploradores y un caníbal.

• En ninguna orilla los caruoales pueden superar en número a los exploradores, pues se los co­merían.

¿Cómo conseguirán cruzar el río?

_.. Debes distinguir el caníbal que sabe remar de los demás caníbales.

11, EL PROBLEMA DE TARTAGLIA

Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros en tres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11 y 13 litros, respectivamente.

12, LAS lÁMPARAS

Sobre una plataforma hay 7 lámparas encendidas y un dispositivo mediante el que podemos apa­gar una sola lámpara o dos lámparas contiguas, pudiendo elegir cualquiera de las dos opciones.

Dos personas juegan: apagan alternativamente lámparas y gana la persona que apague la últi­ma. Si los dos jugadores actúan de forma inteli­gente, ¿quién crees que ganará, el prin1ero o el segundo?

13, UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO

Hay dos montones de piedras, uno con 7 piedras y otro con 6 piedras. Dos personas juegan de ma­nera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras como deseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra. ¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo?

14, AHORRANDO PESADAS

A Carlos, mientras esperaba un día la cola para comprar el pan, se le ocurrió un problema que proponer al panadero de su pueblo:

CARLOS: Pedro, aquí tienes 1 kg de harina y una pesa de 50 gramos. ¿A que no eres capaz de obtener 300 gramos de harina con es­ta balanza de dos brazos?

PANADERO: Pero eso es muy fácil .. .

CARLOS: No, no. Solo con tres pesadas.

Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de harina. ¿Cómo lo hizo?

15. EL TOSTADOR

Un tostador tuesta por un lado 2 rebanadas de pan juntas. A los 30 segundos damos la vuelta a las 2 rebanadas y las tostamos por el otro lado. Por tanto, necesito un minuto para tostar 2 reba­nadas. ¿Cuánto tiempo necesito para tostar 3 re­banadas de pan por los dos lados?

, RESOLUCION DE PROBLEMAS

16. LOS ESCALONES

Eva sube las escaleras de un edificio de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo que da un total de 100 saltos. ¿Cuántos escalones hay en el edificio?

17. EL DINERO

En un bolsillo tenemos monedas de tres clases: de 5, de 20 y ele 50 céntimos. En total, 12 monedas con un valor ele 2 euros y 85 céntimos (285 céntimos). ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

(i • . ·.. . ,_-¡1 ) '' .'/ / '\ ;- ( 1 1

"·''M-i j / ~ ' ' ' •' ' . }

18. lA ÚNEA NAVIERA

Se ha establecido una línea regular de barcos en­tre Cádiz y Santander. Cada día, a las 12 de lama­ñana, sale un barco de cada uno de los pue1tos, empleando en la travesía 5 días.

Si hoy sale un barco de Cádiz, ¿con cuántos bar­cos de la compañía naviera se encontrará hasta su llegada a Santander?

19, LA IMPRENTA

Una imprenta debe hacer 3 000 tarjetas de 8 cm X 8 cm. Para ello dispone de hojas de dos tamaños, 22 cm x 34 cm y 21 cm x 28 cm, que deberá cortar. ¿Qué tamaño de hojas es conve­niente utilizar para desperdiciar la menor canti­dad posible de papel?

20, PLEGANDO UNA HOJA DE PAPEL

Toma hojas de papel rectangular y, mediante plie­gues, construye ángulos de 180°; 90°; 45°; 22°30'. Toma otra hoja y haz con ella lo siguiente:

D•,_--~Mr-__ ,c Dr---~Mr---,•C D',---~~rl---,c

T .

' l : .. .. ·-t ' A n ll A R

a) ¿Cuánto valen los ángulos a y P? b) ¿Podrías construir con la hoja ele papel un

triángulo equilátero?

21. LA SUMA

¿Cuántos números menores que 1 000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?

22. LAS VELAS

Dos velas de la misma altura se encienden simul­táneamente. Una se consume en 4 horas y la otra en 10 horas.

¿Cuántas horas deberán arder hasta que la longi­tud de una de ellas sea el doble que la longitud de la otra?

23. lA CAJA

Pedro tiene lagartijas, escarabajos y gusanos. En total tiene 12 animales y 26 patas. Tiene más gu­sanos que lagartijas y escarabajos juntos. ¿Cuán­tos animales tiene de cada clase?

24. ETAPA DE MONTAÑA

Un ciclista puede recorrer una media de 20 km por hora cuesta arriba y 60 km por hora cuesta abajo.

¿Cuál será su velocidad media en un recorrido con salida y llegada en el mismo punto?

25. FilA DE NÚMEROS

Si escribimos los números naturales seguidos, de la siguiente manera:

1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 " .

¿qué dígito ocupará el lugar cien mil?

26. LOS CEROS

¿En cuántos ceros acaba el número 125!?

.- Recuerda que:

125! = 1. 2. 3 . 4. 5 . .... 123. 124. 125

27. ¿ÚLTIMO DÍGITO?

¿Cuál es el último dígito de la expresión 2103 + 3?

28. AVELLANAS MÁGICAS

En un canasto hay avellanas cuyo número se du­plica cada minuto. Después de una hora, el ca­nasto está completamente lleno.

¿Cuánto tiempo se necesitó para llenarlo hasta la mitad?

29. MEZClA DE CROMOS •••

Héctor es aficionado a los coches y tiene un gran montón de cromos de ellos.

Leticia es aficionada a las motos y tiene un gran montón de cromos de motos.

Un día Héctor, complaciente, le regala un puña­do de sus cromos (40) a Leticia . Como son del mismo tamaño, ella los mezcla con los suyos. Más tarde se pelean y Héctor le pide que le devuelva sus cromos y Leticia, muy digna, cuen­ta 40 cromos cualesquiera y se los da. Él los mez­cla con los suyos.

¿Hay más cromos de motos entre los coches de Héctor o más cromos de coches entre las motos de Leticia?

30. . .. Y MEZClA DE ÚQUIDOS

Tienes dos jarras, una con zumo y la otra con agua, y un vaso vacío.

Llenamos el vaso con zumo de la primera y lo vertemos en la jarra de agua. Una vez mezclado, se vuelve a llenar el vaso con mezcla de la segunda y se viette en la primera.

¿Hay más zumo en el agua que agua en el zumo? ¿Es al contrario? ¿Hay, acaso, la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo? ¿O depende de las cantidades de cada una que tuviéramos al principio?

3). UN ROBOT MUY MARCIAL

Un robot, al ponerse en marcha, camina de la si­guiente fo1ma:

Da un paso. Cambia de dirección y da dos pasos. Cambia de dirección y da tres pasos .. . Así, sucesi­vamente, tras cada cambio de dirección da un pa­so más que en el tramo anterior. Y cada nueva di­rección es perpendicular a la que traía.

¿Es posible que el robot pase por el punto de par­tida? ¿Y que cambie de dirección allí? ¿Cuál es el menor número de pasos con que se puede conse­guir cada una de estas dos posibilidades?

32. PElADOS Y MELENUDOS

A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el próximo sábado . Todavía no sabe si irá o no, pero hace indaga­ciones y averigua que, entre los pijos, la proba­bilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es mayor si tiene melena que si está pelado.

(1) PIJOS: P[DIVER./MELENA] > P[DNER./PELADO)

Decide que, si va a la fiesta , ligará con un melenudo.

Estando en esas le llaman del Club de los Macanas para invitarle a una fiesta a la misma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:

(2) MACARRAS: P(DIVER./MELENA] > P(DNER./PELADO)

Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la que vaya, ligará con un melenudo.

Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndole ele que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fiesta. Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de todos ellos las cosas cambian radicalmente.

(3) PJ]OS + MACARRAS:

P[DNERTIDO/MELENA] < P[DIVERTIDO/ PELADO)

Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.

¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para dos tablas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la primera se cumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas se cumpla (3):

~

RESOLUCION DE PROBLEMA....::S:......J....----------

33. HOJAS DE PAPEL

Los tamaños estándar de papel se denominan AO, Al, A2, A3, A4, AS .. . Cada uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.

1 Teniendo esto en cuenta y sabiendo que la superficie de AO es 1 m 2, calcula las dimensio­nes de una hoja A4 (es la de uso más frecuen­te) redondeando hasta los milímetros. Com­prueba el resultado midiendo una hoja A4.

o A

A2

Al A4

A3 r-rs 11 Demuestra que cualesquiera de las hojas ante­

riores cumple lo siguiente:

Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene la peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángulo, MRSQ, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).

i'v/0----p A3 : ----+

Q -- --~p

M R

11 Q S

34. ALCOHOL A CAZOS

Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de 3 a 5?

35. AUGERANDO EL PASO

Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuenta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde. Acelera el paso y reco­rre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes de que salga el tren. ¿Qué distancia tenía que recorrer?

36. SELLOS

Se ordenan 31 sellos de izquierda a derecha en orden creciente de precios. El precio ele cada sello difiere en 2 € de sus dos adyacentes. Por el precio del último sello podríamos comprar el sello central

~ y uno de lns que tiene el lado. ¿Cuál Ue ello''

37. LIBROS

Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2 250 € y después los vendió obteniendo un beneficio del 40%. El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25% y el segundo un beneficio del 50%, ¿cuánto pagó por cada manuscrito?

38. ÁNGULOS SOBRE CUADRÍCULA

Demuestra que, en esta figura, a = ¡3 + y

I:Iit11 Intenta utilizar una cuadrícula __cE como e>ta par.> demostrado. c:f-Ej

39, jCON CALCULADORA!

a) Tu calculadora tiene la tecla 0. Utilízala para

calcular V6 765 201. Fácil, ¿no?

b) Se llama n! al producto

n · (n -1) · (n- 2) · ... · 3 · 2 · 1

Averigua el valor de n para el cual n!

_ _:___ = 110 355024 (n- 4)!

,..- Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utiliza la calculadora .

40. PESOS, PESAS Y PESADAS

a) Con este juego de pesas:

1g 2 g 4 g 8 g 16 g 32 g 64 g

puedes realizar cualquier pesada comprendida entre 1 g y 127 g. Compruébalo "pesando" 23 g, 89 g y 111 g.

Añade dos pesas más a dicho juego. ¿Hasta qué peso puedes llegar ahora?

b) Con este otro juego de pesas:

1 g 3 g 9 g 27 g 81 g

también puedes realizar muchas pesadas . ¿Cuál es la pesada máxima? ¿Cómo pesarías 60 g? ¿Y 100 g? Añade otra pesa y consigue pesar 314 g.

..- Prueba a poner pesas en los dos platillos.