Reporte Interno Guido chávez

William Ipanaqué

Implementación de un controlador Pid-Predictivo en un proceso de secado de harina de pescado. 1 Preliminares. La principal motivación para el desarrollo del presente tema es la extensión del clásico Algoritmo Pid en ambientes industriales para hacer un control avanzado sin el empleo de un software especializado. Las constantes del Pid-Predictivo, así como el modelo interno son elegidas igualando la ley de control discreta del Pid, con la forma lineal del Gpc (Generalized Predictive Control), el resultado es una ley de control predictiva de amplio rango con una estructura Pid basada en modelo. La principal ventaja de este algoritmo (Pid-Predictivo), radica en que su costo efectivo aun mantiene la mayoría de las ventajas del control Mpc para lazos de control Siso. El algoritmo involucra la reformulación del Gpc con un factor de peso de estado estacionario, denotado como γGpc, dentro de una estructura Pid basada en modelo; por lo tanto el Pid-Predictivo conserva la misma ideología del Pid, la cual es familiar al operario, mientras que el comportamiento a lazo cerrado es la del Mpc. 2. Gpc con factor de peso de estado estacionario (γGpc). Una condición terminal de encuentro, definida como el peso cuadrado del error de estado estacionario es incluida en la función de costo del Gpc, para derivar el γGpc: ϋ= [GTГyG+Λ+GT

s ГGs]-1[GTГy(w-f)+GTs Г (ws-fs)] (2.1)

Donde: Гy = γyIN2-N1+1xN2-N1+1 Λ = λINuxNu Г= γINuxNu La función de costo del γGpc contiene los dos primeros términos de la función de costo del Gpc más un error de predicción de estado estacionario.

3. La forma lineal del Gpc. La ley de control del γGpc es implementada en un Horizonte recesivo, en cada intervalo el vector ϋ es calculado para el horizonte de control t, t+1, ... t+Nu-1 basado en el horizonte de predicción t+N1, …,t+N2. Para el horizonte recesivo solo el primer elemento de ϋ es implementadoen el intervalo corriente y los elementos remanentes son descartados. Esta implementación puede ser expresada en una forma lineal resolviendo para el primer movimiento de control ∆u(t) en la ley de control. ∆u(t)= h(w-f) + hs(ws-fs) (3.1) Donde: h: primera fila de [GTГyG+Λ+GT

s ГGs]-1GTГy hs: ∑{ primera fila de [GTГyG+Λ+GT

s ГGs]-1)+GTsГ

Al expandir obtenemos {C + z-1[∑Gjhj + Gshs]}∆u(t) = {C[∑hj + hs]}w(t) - {∑Fjhj + Fshs}y(t) (3.2) Que en forma lineal será T∆u(t) = Rw(t) - Sy(t) (3.3) Donde T = {C + z-1[∑Gjhj + Gshs]}, nT = max(nB,nC) R = C[∑hj + hs], nR = nC S = ∑Fjhj+Fshs, nS = max(nA,nC-1) (3.4) 4. La Ley de control discreta del PID. La ley de control discreta del Pid es desarrollada empezando con el algoritmo continuo no interactivo: u(t)=KPe(t)+KI∑e(i)+KD[e(t)-e(t-1)], (4.1)

Luego, la ley de control incremental es determinada aplicando el operador diferencia en la salida de control. ∆u(t)=[(KP+KI+KD)+(-KP-2KD)z-1+(KD)z-2]e(t). (4.2) Una practica industrial común es remover la señal de setpoint de los términos proporcional y derivativo para eliminar acciones de control abruptas, el resultado es el controlador Spi ( setpoint on integral only), descrito como: ∆u(t)=Gcww(t)- Gcyy(t) (4.3) donde : Gcw =KI

Gcy =[(KP+KI+KD)+(-KP-2KD)z-1+(KD)z-2]. (4.4) Esto muestra, al observar los polinomios Gcw y Gcy , que controlador PI es de primer orden en y(t) y un controlador Pid es de segundo orden en y(t), ambos controladores son de orden cero en w(t). 5. La forma Pi/Pid del γGpc Las condiciones bajo las cuales el γGpc es equivalente al Pid son determinadas a continuación; para una ley de control lineal y deterministica (C=1), para un polinomio A de segundo orden, y un polinomio B de de orden cero, un modelo de planta de segundo orden sin retarde de tiempo, se tendrá que los polinomios T,R,S serán de orden cero, cero y dos respectivamente, por lo tanto la ley de control (3.3) puede ser escrita como: ∆u(t)=r0w(t)-(s0+s1z-1+s2z-2)y(t). (5.1) Donde ri, si son los coeficientes de los polinomios R y S. Igualando la forma Spi de la ley de control del Pid y el controlador γGpc, habra un encuentro exacto si: Gd

cw=R (5.2) Gd

cy=S (5.3) Las constantes del Pid, pueden ser expresadas en terminos de los coeficientes lineales de γGpc, igualando (4.3) con (5.1), para obtener: KP=-(s0+2s2) =s0-r0-s2 KI=r0

KD=s2 (5.4) Como se puede observar entonces, una modelo de planta de primer orden resulta en un polinomio S de primer orden y en un controlador Pi equivalente, mientras que un modelo de planta de segundo orden da un controlador Pid. 6. Implementación del Pid-Predictive en un modelo de planta inestable. Ahora implementaremos el controlador Pid-Predictivo en la planta descrita por: GP=-0.015/(1-1.95z-1+0.935z-2) El calculo de los parámetros del controlador se efectúa en una función desarrollada en ambiente Matlab, posteriormente se simulara el proceso descrito en un modelo ambientado en Simulink. La elección de los parámetros fue la siguiente Horizonte inicio (N1)=1 Horizonte fin (N2)=5 Horizonte Control (Nu)=2 γ=0.05 γy=1.0 λ=0.02 CC=1 Los parámetros obtenidos para el controlador Pid-Predictivo, fueron los siguientes: KP =20.74 KI =-4.49 KD =-37.83 Los resultados de la simulación a continuación:

0 50 100 150 200 250 300 350

0

0.5

1

0 50 100 150 200 250 300 350-4

-2

0

2

4

6

7. Implementación del Pid-Predictivo en procesos con retardo. El controlador Pid propuesto anteriormente no ofrece una solución práctica para problemas de control con retardo de tiempo, esto implica el desarrollo de un predictor de peso estocástico de tal manera que el controlador Pid basado en modelos sea equivalente al Gpc Luego rescribiendo la ecuación (3.2) como: ∆u(t)={C[∑hj+hs]}w(t)-{∑Fjhj+Fshs}y(t)-{[∑Gjhj + Gshs]+(C-1)}∆u(t-1) 7.1 Esta última expresión se puede aproximar como: ∆u(t)={ ∑C[∑hj+hs]}w(t)-{∑Fjhj+Fshs}y(t)-{[∑Gjhj + Gshs]+(C-1)}∆u(t-1) 7.2 Ahora como se mostró antes, los polinomios S y R del γGPC son relacionados con los términos discretos Gcw y Gcy del Pid, luego (7.2) será ahora ∆u(t) = Gcww(t) - Gcyy(t) - GmpGcy∆u(t-1) 7.3 Donde: Gmp = {[∑Gjhj + Gshs] + (C-1)}/Gcy 7.4 La ecuación (7.4) es un predictor de peso multipaso cuando es usado como un modelo interno para el control Pid. A continuación, se implementara en un modelo de planta con retardo el modelo desarrollado líneas arriba. Gp = e-5s/ (3s+1)(5s+1) Los parámetros escogidos para la simulación fueron:

Horizonte inicio (N1)=1 Horizonte fin (N2)=10 Horizonte Control (Nu)=1 γ=0.00 γy=1.0 λ=0.00 CC=1 Los parámetros obtenidos para el controlador Pid-Predictivo, fueron los siguientes: KP =20.74 KI = 3.49 KD = 38.87 Los resultados se muestran a continuación

0 50 100 150 200 250 300 350-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300 350-4

-2

0

2

4

6

8. Aplicación del Pid-Predictivo en el proceso del secador de harina de pescado A continuación, procederemos a implementar el modelo del pid-predictivo, en un proceso de secado de harina, Xs,out(s)= 8.41e-420s/(405s+1) Vs Los resultados se muestran a continuación, con las condiciones

0 50 100 150 200 250 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5