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Dr. Luis Paihua M. 1


Números Complejos

2/ , , 1z x i y x y i

1 1 1 2 2 2Si ,z x iy z x iy

1 2 1 2 1 2Suma: z z x x i y y

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1Producto: z z x x y y i x y x y

Operaciones:

Conjugado: z x i y

Parte Real: e( )z x Parte Imaginaria: ( )m z y

22

21

2

1

zzzz

zz

División:


z x i y

x

y

2 2Módulo: |z|= x y

1Argumento principal: = tan ,yx

cos( )( )

x ry r sen

cos( ) ( ) iz r i sen r e

Forma Polar Forma Exponencial


Algunas propiedades en los complejos

1 2 1 2 1 2 1 2

2

1 11 2 1 2

2 2

1 2 1 2

11 2

2

1 : 2 :

3 : | | 4 : | | 1

| |5 : | | | | 6 :| |

7 : ( ) ( ) ( )

8 : ( ) ( )

i

z z z z z z z z

z z z e

z zz z z zz z

Arg z z Arg z Arg z

zArg Arg z Arg zz


CURVAS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO

| | 4z Representa la ecuación de los complejos que están en la circunferencia de radio 4 y centro el origen.

| | 4z Representa la región llamada disco cerrado de radio 4 y centro el origen.

2 | | 4z Representa la corona (anillo) circular cerrada de centro el origen y radios comprendidos entre 2 y 4.

¿Qué representa la siguiente ecuación ?

2 24 9 144z z z z

| | 2z Representa la parte exterior del disco abierto de radio 2 y centro el origen.


Solución de zn-w=0 (raices de w)

Sea el complejo w=r0eθi luego las soluciones a la ecuación dada son:

1)-(..., 1, 0,,)(2

/10

0

nkerz nk

nk

Observar que al graficar estos n complejos se tiene el disco dividido en n sectores iguales.


Resolver la ecuación z3 -2=2*31/2i

Debemos hallar las raíces cúbicas de (2+2* 31/2 i)=2 e(π/3)i

Luego las soluciones son:

ii

i

i

eez

ez

ez

)9/5(3)9/13(33

)9/7(32

)9/(31

22

2

2


FUNCIÓN COMPLEJA

: ( )f D

z w f z

Es una relación uno a uno que asocia a cada complejo z el complejo w

D es el dominio de la función f y corresponde al conjunto más grande en los complejos donde es posible calcular el complejo w aplicando la regla dada por f.

Ejemplo: w=z2 su dominio es todo el plano complejo.

Así como z=x+iy, también podemos escribir w=u+iv

En nuestro ejemplo w=f(z)=x2-y2+i2xy

Parte real de w es: u(x,y)=x2-y2

Parte imaginaria de w es: v(x,y)=2xy

De manera general se tiene w=f(z)=u(x,y)+i v(x,y)


FUNCIONES ELEMENTALES

0 0

0 1

1

ln( )

1. ( )2. ( ) ...

( )3. ( ) función racional( )

4. ( ) cos( ) ( ) exponencial

5. ln( ) ln | | tan ( / ) logaritmo, el argumento en <- , ]6. ( ) potenc

n

nn

z x

z z z

f z zp z c c z c z

p zf zq z

f z e e y i sen y

z z i y xf z z e

ia general1 1 ( )7. cos( ) ( ) , s ( ) ( ) , tan( )2 2 cos( )

cot( ) 1 / tan( ) , sec( ) 1 / cos( ) , cos ( ) 1 / ( )1 1 ( )8. cosh(z)= ( ) , ( ) ( ) , tanh( )2 2 cosh( )

iz iz iz iz

z z z z

sen zz e e en z e e zi z

z z z z ec z sen zsenh ze e senh z e e z

z

coth( ) 1 / tanh( ) , sec ( ) 1 / cosh( ) , cos ( ) 1 / ( )z z h z z ech z senh z


Determinar el valor del complejo z, si:

))2/(1(.4)2/cos(.3)1(.2)1ln(.1 )43(

isenhiziziz i

ln 1 i( ) complejosln 2( )

2

4i

1 i( ) 3 4 i( ) complejos2 e cos

42 ln 2( )

4

2 e sin

42 ln 2( )

4i

cos

2i

complejos 0 sinh 1( ) i sinh 1

2i

complejos 0 cosh 1( ) i

Respuesta:


LÍMITE

Noción que nos permite estudiar el comportamiento de la función f en una vecindadde cierto punto, y escribimos:

lim ( )oz z

f z L

Cuando existe límite el valor de f(z) está muy cerca del valor L, para aquellos z que estén suficientemente cerca de z0.

Formalmente se escribe:

0

0

0 (pequeño) puede hallarse un número >0 de modo que para los complejos z zdel disco |z-z | se tiene |f(z)-L|<

Observación: |z-z0|<δ es una vecindad (básica) abierta de z0.


Criterio para la no existencia de límite: Si f(z) tiende a dos valores complejos L1≠ L2 a lo largo de dos trayectorias distintas que pasan por z0 , entonces no existe límite de f(z) en z0.

T.H. laen 1T.V. laen 1

zzLim

iz

Ejemplo:

2 2 21 ( ) 2z i z i z i

z z iLim Lim Lim z i iz i z i

Ejemplo:


0

0 0

0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

Si tenemos ( ) ( , ) ( , )luego lim ( ) existe si y sólo si

lim ( , ) ( ), existen

lim ( , ) ( )

z z

x y x y

x y x y

f z u x y i v x yf z L

u x y e L

v x y m L

Continuidad: Se dice que f(z) es continua en z0 si tenemos:

0lim ( ) ( )oz z

f z f z

Una función compleja es continua en el conjunto B, si es continua en cada complejo del conjunto B.


DERIVADA

Una función f(z) se dice que es diferenciable en el punto z0 si existe el siguiente límite

0

00

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

( ) ( )lim

z z

h

f z f zf zz z

f z h f zh

Verificar que f(z)=z2 tiene por derivada f’(z)=2z, es decir es diferenciable en el plano complejo.

Observación:

El concepto de límite dado implica que la función f esté en definida en una vecindad del punto donde se halla la derivada.

Al valor de este límite se le llama derivada de la función en el punto z0

No tiene derivada en el plano complejozzf )(


ANALITICIDAD

Se dice que una función f(z) es analítica en el comjunto D, si f(z) está definida y es diferenciable en todos los puntos de D.

Se dice que es analítica en un punto z= z0 en D, si f(z) es analítica en una vecindad de z0, es decir que f(z) tiene derivada en todo punto de alguna vecindad de z0 (incluyendo al mismo punto).

Consideremos que f(z)=u(x,y)+i v(x,y), y que exista f’(z), luego se tiene que:

' ( ) u vf z ix x

' ( ) v uf z iy y


ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN

Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida y continua en una vecindad de z=x+i y además diferenciable en z, luego en ese punto las derivadas parciales de u y v existen y verifican las ecuaciones siguientes que se llaman las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

,u v u vx y y x

Si f(z) es analítica en D, esas derivadas parciales existen y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo D.


Si las funciones u(x,y), v(x,y) son continuas y tienen sus primeras derivadas parciales continuas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en algún dominio D, entonces la función compleja f(z)=u(x,y)+i v(x,y) es analítica en D.

ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN

Si f(z)=u(r,θ)+i v(r, θ), verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben:

1 1,u v v ur r r r


ECUACIÓN DE LAPLACE

Si f(z)=u(x,y)+i v(x,y) es analítica en D, luego u, v son soluciones de la ecuación de Laplace, luego son armónicas.

A la función v se le llama armónica conjugada

2 22

2 2 0u ux y

Una función Φ(x,y) que tiene sus 1ras y 2das derivadas parciales continuas en D y que verifica la ecuación de Laplace se llama función armónica


Ver si las funciones dadas son armónicas, en el caso afirmativo construir su armónica conjugada.

)3cos(),(.3

tan),(.2

)(),(.1

3

1

rruxyuxu

yseneyxu x

Mostrar que la ecuación de Laplace en coordenadas polares está dada por:

02

2

2

22

rr

rr


MAPEO de D sobre W

: z D Wf

w

Estudio de como se transforma el conjunto D en el conjunto W (imagen) cuando aplicamos la función compleja f.

Ejemplo: Dada la función compleja f(z)=z2

Verificar que la imagen del arco de la circunferencia x2+y2=4 del 1er cuadrante, es el arco de la circunferencia u2+v2=16 que se encuentra en el 1er y 2do cuadrantes.

Verificar que la imagen de la mitad superior del disco x2 +y2 ≤ 4, es el disco u2+v2 ≤16


Analizar la siguientes transformaciones:

0

0

1. ( ) Traslación2. ( ) Rotación-Expansión/Contracción3. ( ) Lineal (Rotación-Expansión/Contracción, traslación)4. ( ) 1/ Recíproco (Inv

f z z zf z z zf z az b

f z z

ersión y Reflexión en el eje X)

5. ( ) Fraccionarias lineales.az bf zcz d


MAPEO CONFORME

Es la transformación que conserva los ángulos de curvas orientadas, es decir la imagen de dos curvas orientadas que se intersectan forman el mismo ángulo en magnitud y sentido que las curvas dadas, este ángulo está en el intervalo [0 , π].

Una función compleja f(z) analítica es conforme en todos los puntos donde f ’(z)≠0


Para D, región del plano complejo limitado por la curva r=2 del 4to cuadrante y la gráfica de y-x=-2, halle la imagen f(D) siendo f(z)=1/z

La curva r=2 es x2+y2=4 es arco de circunferencia

La recta y=x-2

0 0.25 0.5 0.75 1

0.25

0.5

0.75

1Región f(D)

0 0.5 1 1.5 2

2

1.5

1

0.5

Región D


Para D, región del plano complejo limitado por la curva r=2 del 3er y 4to cuadrante y la gráfica de 4y-x2+4=0 halle la imagen f(D) siendo f(z)=1/z (emplear el asistente)

1 0.5 0 0.5 1

0.5

0.5

1Región f(D)

2 1 0 1 2

2

1

1

2Región D

La curva r=2 es x2+y2=4 es arco de circunferencia

La curva 4y-x2+4=0 es una parábola


Aplicación en flujo de fluido bidimensional

1er caso:

La función compleja f(z)=u(x,y)+i v(x,y) donde z=x+iy , representa el campo vectorial de velocidad, la parte real y parte imaginaria de f(z) son las componentes de este campo de velocidad, es decir: V(x,y)=(u(x,y),v(x,y))

El vector V(x,y) da la dirección del flujo en dicho punto.

El valor |f(z)| se llama rapidez de la partícula.


Si z(t)=x(t)+i y(t) es la parametrización de la trayectoria que sigue una partícula en el fluido (línea de corriente), entonces el vector tangente a la trayectoria z´(t)=x´(t)+i y´(t) debe coincidir con f(z(t)) es decir:

),(

),(

yxvdtdy

yxudtdx La familia de soluciones de

este sistema de ecuaciones diferenciales se llama:

LÍNEAS DE CORRIENTE del flujo.


( , )'( , )

v x yyu x y

La EDO de las LÍNEAS DE CORRIENTE se puede expresar en la forma

Las CURVAS EQUIPOTENCIALES se determinan teniendo presente que son curvas ortogonales a las líneas de corriente , luego la EDO a resolver será:

( , )'( , )

u x yyv x y


Ejemplo: Describa el flujo asociado a la función

ydtdyx

dtdxyixzf ,)()(

Resolviendo, se tiene:

cxyecyecx tt 21 ,

Las líneas de corriente son hipérbolas, los ejes son las líneas de nivel 0, tomando un cuadrante podemos decir que es el movimiento en una esquina, f

( )f z z


La orientación de las líneas de corriente dependen de la zona elegida, como hemos tomado el 1er cuadrante la constante c debe ser positiva, líneas de corriente no negativa.

)/,1(´)/,(: 2tcztctzC

Movimiento de arriba hacia abajo a lo largo de cada hipérbola.


Para determinar las curvas equipotenciales, tener en cuenta que es una familia ortogonal a las líneas de corriente, en consecuencia en cada punto (x,y) se tiene:

1/

dy dy xdx y x dx y

En cada línea de corriente en el punto (x,y) tenemos:

dy ydx x

EDO de las curvas equipotenciales

La solución es: cxy 22


Líneas de corriente (color)-Curvas Equipotenciales

f g


Analizar la naturaleza del flujo asociado a la función compleja f(z):

zzf 1)(

( ) zf z

z

zizf )( 2( )f z z


2do caso: FLUJO BIDIMENSIONAL DE FLUIDOS Estacionario de fluido no viscoso

Consideremos el movimiento estacionario bidimensional de un fluido no viscoso, luego el campo de velocidad del flujo podemos representarlo en forma compleja, es decir V=V1+iV2 el valor de la velocidad en cada punto (x,y) es un vector tangente a la trayectoria del movimiento del fluido, esta trayectoria se llama línea de corrientedel movimiento.

Sea C una curva suave, s la longitud de arco y Vt la componente de la velocidad sobre la tangente de C, luego llamamos por circulación del fluido a lo largo de Cal valor de la integral

1 2( )tC C

V ds V dx V dy

Para el caso de C curva cerrada simple suave por tramos orientado positivamente siendo D la región cuyo borde es C se tiene

2 1t

C D

V VV ds dAx y


ALGUNOS CONCEPTOS

Velocidad media del flujo, donde (l(C) longitud de C

Velocidad media del flujo, cuando C es una circunferencia de radio r

1( ) t

C

V dsl C

2 112 D

V V dAr x y

C una circunferencia de radio r , Velocidad angular media del flujo

2 10 2

12 D

V V dAr x y

2 112

V Vx y

Función Rotación y 2ω es la vorticidad del movimiento.


FLUJOS IRROTACIONALES

F(z)=Φ(x,y)+i Ψ(x,y) (función analítica)

Se muestra:1 2( , )V V V '( )V F z

F(z) se llama potencial complejo del flujo

Ψ(x,y) se llama función de corriente

Ψ(x,y)=k son las líneas de corriente de nivel k

Φ(x,y) se llama potencial de la velocidad

Φ(x,y)=k son las líneas equipotenciales.

Las líneas de corriente y equipotenciales son familia de curvas ortogonales.

Rapidez: |V|


Ejemplo: Sea F(z)=z2 el potencial complejo de cierto flujo, describa la naturaleza de dicho flujo.

2

2 2

( ) =( ) 2F z z

x y i xy

2 2( , ) función potencial de velocidad

( , ) 2 función de corrientex y x yx y xy

2 2 líneas de corriente (hipérbolas ejes X , Y)2 líneas equipotenciales (hipérbolas ejes rectas X=Y, X= -Y)x y kxy k

2 2( , ) 2 rapidezv x y x y

2 2 vector velocidadV x y i


Curvas Equipotenciales

Linea de corriente del flujo


Linea de corriente del flujo

El flujo puede interpretarse como el movimiento del fluido en una esquina, los ejes X, Y que corresponde a la línea de corriente de nivel k=0 son las paredes.

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