ii segundo semestreguia 2- relacion funcional de las variables

5/17/2018 II SEGUNDO SEMESTREGuia 2- Relacion Funcional de Las Variables - slidepdf.com

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Relación Funcional de las Variables Físicas

Modelación Matemática

INTRODUCCIÓN

El estudio conjunto de dos variables (x,y) tiene como objetivo fundamental

determinar si están relacionadas esas variables y, si hay alguna relación, cuantificar esa

relación es parte de la experiencia de laboratorio. Es común en física experimental el

medir dos o más cantidades físicas que están relacionadas entre sí. Esta relación

puede ser desconocida o bien puede ser obtenida mediante alguna teoría o modelo

matemático.

Por ejemplo en la segunda Ley de Newton es interesante ver como

al variar la fuerza F aplicada a un móvil de masa m, cambia su aceleración a. En este

caso se harían una serie de medidas donde se varía F y se mide la aceleración

resultante. La tabla de datos sería: a= f (F), es decir a (la variable dependiente) como

función de F (la variable independiente). La relación matemática es aquí: a = ·F, es

decir que existe una relación lineal entre a y F , o también se dice que a es proporcional

a F y la constante de proporcionalidad es: . A partir de los resultados experimentales

sería posible encontrar el valor de la masa m.

Sea o no conocida la relación entre la variables, es conveniente representar

visualmente las cantidades físicas que se están midiendo mediante un gráfico. De esta

manera podemos comprobar si el modelo matemático que se asume relaciona a las

cantidades es correcto o, en caso de ser la relación desconocida, se facilita la

escogencia de un modelo matemático que relacione las cantidades medidas. En el caso

de la segunda Ley de Newton, un gráfico de aceleración en función de la fuerza

aplicada (a vs. F ) nos daría una línea recta de pendiente .



I.- ELABORARACION DE UN GRAFICO.

En esta experiencia de laboratorio nos concentraremos en el caso de gráficos

en dos dimensiones, es decir sólo se representan dos cantidades físicas. Una de ellasserá la variable independiente y la otra la dependiente. Utilizaremos así mismo un

sistema de ejes cartesiano con un eje horizontal y un eje vertical. La variable

independiente se representará en el eje horizontal, también conocido como eje de las

abscisas. La variable dependiente se representará en el eje vertical, o eje de las

ordenadas.

Como ejemplo, vamos a graficar la aceleración en unidades de metros por segundo al

cuadrado en función de la fuerza en unidades de newton: N, de un experimento

para comprobar la segunda Ley de Newton cuyos datos se muestran en la siguiente

tabla:

TABLA 1

Tabla I: Resultados de un experimento para comprobar la segunda Ley de Newton. El

error relativo en la medida de la aceleración es de 5% para todos los puntos.

A cada línea de la tabla le corresponde a un punto experimental y le corresponderá

una posición en el plano cartesiano definido por nuestros ejes. F v/s a



Figura 1

Como podemos observar en la figura 1, cada eje viene identificado con la variable

correspondiente. En este caso la variable independiente, la fuerza, se asocia al eje

horizontal y se identifica con su abreviatura acostumbrada , y al lado se coloca entre

paréntesis las unidades utilizadas. Análogamente, el eje vertical de la izquierda con la

variable dependiente, en este caso la aceleración medida para un objeto de masa m al

aplicar una fuerza, y se identifica al eje con la abreviatura acostumbrada, a, señalando

las unidades correspondientes.

En un gráfico también es posible trazar líneas, bien sea para representar algún

modelo matemático que se ajuste a los datos experimentales, o para guiar. Estas líneas

no pueden ser continuas, ya que representaría que existe información en cada punto,

por lo cual cada punto se unirá por segmentos no continuos a menos que realicemos

una modelación de la experiencia, la línea de unión será punteada, segmentada o

combinaciones. Al igual que con los símbolos, el uso de varios tipos de línea es útil

cuando se grafican varias curvas experimentales sobre un mismo gráfico. O también,

por ejemplo, supongamos que ajustamos varios modelos teóricos a los mismos datos

experimentales, estos se grafican con símbolos y los distintos ajustes con distintos

tipos de línea, y para resaltar alguno de ellos se puede utilizar un espesor distinto para

esa línea.

La línea continua corresponder al ajuste de algún modelo, como es el caso de lalínea recta en la figura 1, que corresponde a un ajuste de los datos experimentales a la



recta a = ( ) F , como es de esperarse para la segunda Ley de Newton. En este caso se

obliga a la recta a pasar por el origen de coordenadas y la pendiente de esta recta

corresponde al valor de . Explicaremos con más detalle como ajustar datosexperimentales a una recta.

Como todo proceso de medida conlleva un error que Ud. ha tenido que evaluar

tanto para la variable independiente como para la dependiente, estos errores se

deben representar en el gráfico. Esto se hace utilizando las barras de error. Estas

barras de error son segmentos de recta paralelos al eje correspondiente que con su

largo indican la magnitud del error absoluto cometido en la medición de la cantidad

física. Como existe el error en ambas variables.

La leyenda de un gráfico, debe ser autosuficiente, es decir contener toda la

información necesaria para interpretar el gráfico, sin necesidad de tener que recurrir al

texto en donde este insertado. Debe indicar que se está representando, las

condiciones experimentales de la medida, el significado de los símbolos y/o líneas

utilizadas y cualquier otra información relevante, como por ejemplo cuando las barras

de error no son visibles, o si no se dibujan a propósito, el porqué, etc.

INTERPRETACION DE GRAFICOS Y RELACION FUNCIONAL ENTRE LAS VARIABLES

En Física como también en otras ciencias, uno de los principales objetivos de

representar gráficamente el comportamiento de magnitudes físicas medidas en forma

experimental, es encontrar un MODELO LINEAL que permita determinar los

parámetros característicos del sistema o mecanismo en estudio.

En el campo de las matemáticas, una función es una relación que hace

corresponder a cada elemento del dominio un único elemento del codominio, es

decir, una variable que podemos llamar “y” (variable dependiente) es función de otra

variable “x” (variable independiente), entendiendo por variable independiente a la

que se le atribuye un valor arbitrario y por variable dependiente a aquella cuyo valor

depende de la independiente.

Con frecuencia los datos de una experiencia o de un suceso se presentan enuna tabla de valores, y de esta tabla se pueden representar en un GRAFICO el cual



permitirá de una forma visual estudiar una relación funcional para las variables que se

están usando.

Para obtener la expresión matemática o la relación funcional entre lasvariables en estudio se debe recurrir a algunos elementos matemáticos como lo es la

teoría de funciones que entrega un aporte más rico a la situación dada.

A continuación se da una tabla de valores y su representación en un gráfico. La

determinación de la relación funcional o la función algebraica que liga las variables x e

y, es uno de los objetivos importantes del laboratorio y que analizaremos como

realizarla.

NORMAS PARA UNA REPRESENTACION GRAFICA ADECUADA

1. Se debe elegir un sistema de coordenadas adecuado, a menudo se usa el

sistema de coordenadas ortogonal.

2. Todo gráfico debe llevar un título que indique el fenómeno que representa

para que sirva de guía a quien haga uso de él.

3. Sobre los ejes se indican las magnitudes físicas que ellos representan con sus

respectivas unidades. Se debe usar las escalas adecuadas para representar las

medidas.

4. Generalmente en el eje de las abscisas (eje x) se representa la variable

independiente y en el eje de las ordenadas (eje y) la variable dependiente.

5. Para la confección del gráfico puede usarse papel milimetrado, logarítmico o

semilogarítmico dependiendo de las relaciones entre las variables.

6. Al seleccionar la escala en la representación gráfica se recomienda



a) Que los puntos no queden muy juntos y esto se logra ampliando la o las

escalas.

b)

Los puntos obtenidos experimentales no deben unirse por medio desegmentos rectos como lo muestra el gráfico Nº1, sino que debe

construirse mediante una curva suave y continua o si así se vislumbra

puede ser una línea recta como lo muestra el gráfico Nº2 (ambos

gráficos están incompletos )

GRAFICO Nº1 GRAFICO Nº2

Dependiendo del orden de magnitud de los valores experimentales obtenidos,

se debe utilizar la notación científica adecuada para realizar los gráficos

RELACIÓN FUNCIONAL LINEAL

Cuando la relación funcional entre dos variables medidas experimentalmente

es una relación lineal, es decir, la gráfica es una línea recta, su representación es de laforma:

y(x) = mx + n (1)

Es decir, la ecuación de una línea recta, donde m es la pendiente de la recta y

b el intercepto con el eje de las ordenadas.

Para determinar el valor de estos parámetros, se pueden aplicar los siguientes

métodos:



a) Método Gráfico

b) Método de Promediosc) Método de Mínimos Cuadrados.

Se analizará el método gráfico.

a) METODO GRAFICO:

Analicemos la siguiente tabla de datos que nos entrega la forma como

cambia la posición (d) en función del tiempo (t) de un cuerpo que se desplaza

describiendo una trayectoria lineal.

Se utiliza para un número límite de puntos de moderada precisión. Para

determinar “m” y “n”, se traza la mejor recta que se ajuste a los puntos

representados y para su cálculo, se eligen dos puntos de fácil lectura que se

encuentren sobre la recta trazada.

La pendiente m de la recta se determina como

El intercepto n es la ordenada donde la recta trazada corta al eje. Para nuestro

gráfico se tiene que n = 5.



La relación funcional para este gráfico es: x (t) = 3·t + 5

Desde el punto de vista de la física la pendiente en este gráfico representa la

rapidez (módulo de la velocidad) con que se mueve el cuerpo, la cual es

constante de valor 3 .

En el instante en que el móvil empieza a desplazarse, en t=0, se encontraba a

5 [m] desde la posición que se tomo como cero.

Se puede deducir por ejemplo que la posición del móvil a los 2,5 [s] de iniciado

el movimiento era 12,5 [m] respecto de la posición que se tomo cono cero.

b) METODO

c) MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Las regresiones lineales o método de mínimos cuadrados es una herramienta

matemática poderosa que permite calcular los parámetros característicos (pendiente y

coeficiente de posición) de las rectas que describen mejor el comportamiento global

de un conjunto de datos experimentales. Este método se basa en minimizar la

dispersión cuadrática media de los valores medidos (experimentales), respecto a los

calculados con un modelo lineal (recta).

Figura Nº 5. Recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas.

En esta sección consideraremos el caso re rectas que pasan por el origen del sistema

de coordenadas (ver Fig. Nº 2), cuya ecuación general es de la forma:

X

Y

0



y = m · x (1)

Geométricamente, la pendiente de una recta corresponde a la tangentetrigonométrica del ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje X:

m = tan ( α ) (1.2)

siendo el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje X.

Se puede demostrar que si se dispone de un conjunto de N datos experimentales de la

forma {(xi, yi) con i = 1, 2 ,3,..., N}, la pendiente de la recta que pasa por el origen y que

representa mejor el comportamiento global de los valores está dada por la fórmula:

(1.3)

La desviación o incerteza, , de la recta respecto de los valores experimentales se

puede calcular mediante la expresión:

(1.4)



ACTIVIDADES A DESARROLLAR

RELACIONES LINEALES

Objetivos

1) Estudiar el alargamiento de un resorte en función de una carga aplicada.

2) Determinar el modelo matemático que describe el alargamiento de un resorte en

función de la carga aplicada.

3) Estudiar y aplicar el método de mínimos cuadrados (regresiones lineales) para

calcular rectas a partir de datos experimentales.

Actividad 1.

Cuelgue el resorte verticalmente sin carga. Como lo muestran las figuras de armado de

experiencia. A continuación cuelgue diferentes pesos y mida el alargamiento del

resorte para cada uno. Registre sus mediciones.

Actividad 2.

Grafique los alargamientos del resorte a partir de la posición de equilibrio inicial (sin

carga) de éste, en función del peso aplicado, verificando la relación lineal existente

entre la carga y el alargamiento.

Actividad 3.

Mediante el método de mínimos cuadrados (ecuaciones (1.3) y (1.4)), calcule la

constante elástica del resorte y la incerteza de su modelo experimental.



Instrucciones de armado de experiencia

Set up a stand with the support base and the support rod as you can see in Fig. 3 and

Fig. 4.

Fig. 3 Fig.4

Clamp the extended measuring tape in the glass tube holder (Fig. 5) and clamp both onthe base of the support rod (Fig. 6).

Fig. 5 Fig. 6

Fix the holding pin in the bosshead (Fig. 7) and hang the helical spring 1 in it (Fig. 8).

Fig. 7 Fig. 8

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