Es conocido que en un transformador, las corrientes, los voltajes y las impedancias pueden referirse al lado primario, utilizando las siguientes expresiones

Luego, podemos representar el circuito equivalente por fase del motor de inducción en la forma:

ROefR EaEE *`1 ef

R

a

II 2

)(22 RO

Ref jX

s

RaZ

)13......(

2'

'

'

ss

ssp

ssp

ZaZ

aIII

aVVV

Luego, podemos representar el circuito equivalente por fase del motor de inducción en la forma:

ROef

Ref

XaX

RaR

*

*2

2

22

R1jX1

IM

I2

E1jXMRC

+

-

I1

+

-

02

Ref Xja

s

Ra Ref

2VVp

Haciendo:

El circuito equivalente definitivo de la maq. de inducción por fase será:

En un motor de jaula de ardilla, los valores de la resistencia del rotor RR, la reactancia a rotor bloqueado XRO y la relación efectiva de

espiras es muy difícil de medir , sin embargo es posible medir de forma directa los valores X2 y R2.

R1jX1

IM

I2 jX2

R2E1jXMRC

+

-

I1

s

+

-

V

Para ilustrar la variación de la corriente del rotor en función de la velocidad mecánica del mismo (y por tanto del deslizamiento) se muestra la siguiente gráfica:

0 25 50 75 100 125

Cor

rient

e d

el ro

tor

nm Porcentaje de la velocidad sincrónica

0. RMaxR II

1s 0s%

Observe en la gráfica, que IR se comporta de acuerdo

a la relación:

0RR sII

0%100:

10:

snnSi

snSi

sm

m

:

Potencia y momento de torsión en los motores de inducción

Un motor de inducción convierte la potencia de energía eléctrica en potencia mecánica.

La potencia eléctrica es la entrada y la potencia mecánica es la salida.

Para determinar la potencia desarrollada por el motor y el momento de torsión, se usa un diagrama de potencias del motor

Potencia y momento de torsión en los motores de inducción

Potencia del

entrehierro

Pdiv.

PRCL

Pnúcleo PSCL

cos3 LLent IVP

racsalP *arg

rindconvP *AGP

WFP ,

Fig 12. Diagrama del flujo de potencia en un motor de inducción

PSCL = Pérdidas de potencia en el cobre del estatorPnúcleo = Pérdidas de potencia en el núcleoPRCL = Pérdidas de potencia en el cobre del rotorPF,W = Pérdidas de potencia por fricción y por viento

Pdiv = Pérdidas de potencia diversas o misceláneasPent = Potencia eléctrica de entradaPsal = potencia mecánica de salida

Potencia eléctrica de entrada (Pent)

Es la potencia de entrada al motor dada en forma de voltajes y corrientes trifásicas

Pérdidas en el cobre del estator (Pscl)

Son las primeras Pérdidas que se presentan en el motor y se manifiestan en forma de calor. Estas Pérdidas por fase están dadas por:

Pérdidas en el núcleo (Pnucleo)

Es la pérdida de potencia por histéresis y por corrientes parasitas del estator.

faseWIRPSCL /* 211

Potencia del entrehierro (PAG)

Es la potencia que fluye a través del entrehierro de la máquina, hacia el rotor de la misma. Es decir, la potencia que llega al rotor de la máquina estará dada por:

núcleoSCLentAG PPPP

Pérdidas en el cobre del rotor (PRCL)

Una vez que la potencia PAG esta presente en el

rotor, inmediatamente después se presenta las Pérdidas de potencia en los embobinados del rotor, estas Pérdidas se manifiestan en forma de calor, la cual esta dada por:

faseWIRPRCL /* 222

Potencia convertida (Pconv)

Es la potencia que se convierte de eléctrica en mecánica, la cual esta dada por:

La potencia convertida suele llamarse también potencia desarrollada (Pd)

Pérdidas por fricción (Pf,w)

Es la potencia que se pierde por rozamiento mecánico de las pastes móviles de la máquina y por fricción del viento

Pérdidas diversa (Pdiv)

Es un conjunto de Pérdidas que no están incluidas en ninguna de las anteriores.

mindRCLnúcleoSCLentconv wPPPpP *

Es la potencia mecánica obtenida en el eje del motor de inducción, la cual estará dada por:

Potencia de salida (Psal).

mdivWFRCLnúcleoSCLentsal PPPPPPP *carga,

CORREGIR DESDE AQUI

Ejemplo (CORREGIR)

Un motor de inducción de 480 v, 50 Hz, trifásico, consume una corriente de 50 A, con factor de potencia de 0.85 en retraso (-), las Pérdidas en el cobre del estator son de 2 Kw, y en el cobre del rotor son de 0.7 Kw. Las Pérdidas por fricción y vendaval son de 1800 w, y las Pérdidas diversas se pueden despreciar, se pide encontrar las siguientes magnitudes:

a) La potencia del entrehierro PAG

b) La potencia convertida Pconv

c) La potencia de salida Psal

d) la eficiencia del motor

nota: este ejemplo ha sido tomado del ejemplo 10.2 (pag 569) de máquinas eléctricas de S. Chapman.

Expresiones de la potencia y momento de torsión en un motor de inducción

El circuito equivalente por fase de un motor de inducción es:

La corriente que entrega a una de las fases del motor, se puede encontrar mediante

VФ

R1 jX1

IM

I2 jX2

R2E1jXMRC

+

-

Figura 9

I1

s

eqZ

VI 1

Donde: = impedancia equivalente de todo el circuito

Una vez que se ha determinado el valor de I1, las Pérdidas en el cobre

del estator, las Pérdidas en el núcleo y las Pérdidas en el rotor pueden calcularse.

PSCl = 3* R1* I12

…… (14) Pnucleo = 3* Rc* Ic2 E1 = RC * IC

PAG = Pent - PSCL – Pnucleo …..(16)

eqZ

SR

jXjBG

jXR

SR

jXjXR

jXRZ

McMc

eq

22

11

22

11 11

1111

cc R

G1

M

M XB

1

Cnucleo R

EP

21*3

En el circuito equivalente, se puede observar que el único elemento que dispara esta potencia (PAG ) es la resistencia R2 / S , por tanto la potencia

del entrehierro se puede expresar en la forma

Por otro lado, las pérdidas reales en el cobre del rotor se puede hallar de:

PRCL = 3* RR * IR2

PRCL = 3 * R2 * I22 …………….(19)

Luego la potencia que se convierte de eléctrica a mecánica estará dada por:

SR

IISR

PAG22

22

22 **3**3

SS

IRS

IRP

IRISR

PPP

conv

RCLAGconv

1***31

1*3

**3*3

222

222

222

22

2

S

SIRPconv

1***3 2

22

Esta potencia convertida, por lo general es llamada potencia mecanica desarrollada

3 * R2 * I22 = PRCL PRCL = S * PAG ……..

(21)

Por tanto, las Pérdidas de potencia en el cobre del rotor es igual a la potencia del entrehierro multiplicada por el deslizamiento.”S”.

Finalmente, si las pérdidas mecánicas por fricción y vendaval y las pérdidas diversas también se conoce, la potencia de salida podrá determinarse a partir de la expresión:

Psal = Pconv – PF,W - Pdiv ……………… (23)

S

RIPAG

22

2 **3

S

PP RCLAG

SPSS

IRP AGconv 1*1

**3 222 )22........(1* SPP AGconv

Para determinar el momento inducido en la máquina (τind), se hace uso

de la siguiente expresión

Pconv = τind * m

El momento inducido (τind) se diferencia del momento realmente

disponible en el eje de la máquina en una cantidad equivalente a los momentos de fricción y vendaval y momentos debido a las Pérdidas diversas

Pconv = (1 - S) * PAG m = (1 – S) * sinc

El momento de torsión inducido τind se denomina también momento de

torsión desarrollado por la máquina.

)24.....(m

convind

P

c

AG

c

AG

m

convind

P

S

PSP

sinsin*)1(

*)1(

)25.......(

sinc

AGind

P

CORREGIR HASTA AQUI

SEPARACION DE LAS PÉRDIDAS EN EL COBRE DEL ROTOR (PRCL) DE LA POTENCIA CONVERTIDA, EN EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN MOTOR DE INDUCCIÓNLa potencia convertida de eléctrica en mecánica es:

Pconv = PAG - PRCL …………….. (26)

PAG = Pconv + PRCL ………………(27)De donde:

La potencia en el entrehierro se subdivide en dos potencias:

La potencia convertida (Pconv) y Las pérdidas de potencia en el cobre del rotor (PRCL).

222

22

2 **3;**3 IRPIsR

P RCLAG

Reemplazando en (26) se tiene:

222

222

222

22

2 *1

**311

***3**3**3 Is

sR

sIRIRI

s

RPconv

La potencia en el entrehierro se disipará en una resistencia de valor R2 /s.La potencia de pérdidas en el cobre del rotor, es la potencia que se disipará en la resistencia R2 .Por tanto, la potencia convertida (Pconv) es la potencia que se disipará en una resistencia cuyo valor es:

s

sRRconv

1*2

Por tanto: Pconv = 3 * Rconv * I22 ……..(29)

Las potencias Pconv y PRCL se han logrado separar y pueden representarse en el circuito equivalente del motor de inducción de manera independiente, como se muestra en la figura:

R1jX1

IM

I2 jX2

E1jXMRC

+

-

I1

+

-

V

R2

s

sR

12

RCLPSCLP

núcleoP

convP

Fig.15 Circuito equivalente del motor de inducción por fase, con la potencia de pérdidas del rotor (PRCL) y la potencia convertida (Pconv) separadas

Ejemplo 1

Un motor de inducción de 460 [V], 25 [Hp], 60 [Hz], cuatro polos, conexión Y, tiene las siguientes impedancias en ohmios por fase [Ω/fase], referidas al circuito del estator:

R1 = 0.641 [Ω] R2 = 0.332 [Ω] xM = 26.3 [Ω]x1 = 1.106 [Ω]x2 = 0.464 [Ω]

Las pérdidas rotacionales son de 1100 [W], y se supone que son constantes. Las pérdidas del núcleo están incluidas en las pérdidas rotacionales. Para un deslizamiento del rotor del 2.2%, al voltaje y frecuencia nominales, se pide hallar las siguientes magnitudes del motor.

a).- La velocidadb).- La corriente en el estatorc).- El factor de potenciad).- Pconv y Psal e).- El torque inducido (τind ) y el torque de carga (τcarga)f).- La eficiencia.

Ejemplo 2

Un motor de inducción de 20 [Hp], 440[V], 60[Hz], tiene un deslizamiento del 6% cuando esta funcionando en condiciones de plena carga. En estas condiciones las pérdidas por fricción y vendaval, son de 220 [W], y las pérdidas en el núcleo son de 200 [W]. Halle los siguientes valores para condiciones de plena carga.

a). La velocidad del ejeb). La potencia de salida en vatios.c). El momento de torsión de la carga (τcarga) en Newton* metro [N*m]. Considere que el motor tiene 4 polos.

CARACTERISTICAS MOMENTO DE TORSION- VELOCIDAD DEL MOTOR DE INDUCCION El momento de torsión inducido en el motor de inducción esta dado por:

netoRind BBk

*Expresando en módulo se tiene:

τind = k* BR * Bneto *sen(δ)

Donde:k = constante de proporcionalidadBR = densidad de campo magnético originado por la corriente del rotorBneto = densidad de campo magnético neto en la máquina.δ = ángulo entre el campo neto Bneto y BR

Estas magnitudes se ilustran de manera gráfica en la siguiente figura:

a) Campos magnéticos de un de inducción funcionando casi en vacío

Campos magnéticos del motor de Inducción cuando opera con una carga pesada

θR es el ángulo entre el voltaje inducido y la corriente del rotor, conocido también como ángulo del factor de potencia del rotor.

Las magnitudes:

BR

Bneto

sen(δ)

Pueden graficarse en función de la velocidad del motor. Estas gráficas se muestran a continuación:

IRó

|BR|

nsincnr

a)

nsincnr

0

Bneto

b)

nsincc)0

1

1s 0s

Rcos

nr

nsinc

d)

ind

arrq

máxind.

nr

Cte

fig(a): Es la gráfica de la corriente del rotor vs. la velocidad del motor.fig(b): Es la gráfica del campo magnético neto vs. la velocidad del motor.fig(c): Es la gráfica de sen(δ) en función de la velocidad.

IRó

|BR|

nsincnr

a)

nsincnr

0

Bneto

b)

nsincc)0

1

1s 0s

Rcos

nr

nsinc

d)

ind

arrq

máxind.

nr

Cte

fig.(d). El momento inducido en el motor de inducción en función de la velocidad del rotor

nsinc

c)

0

1

cos ӨREsta gráfica se presenta como una curva del factor de potencia del rotor vs. la velocidad del motor. Esto es así puesto que:

δ = π/2 + θR

Luego:

sen(δ) = sen(π/2 + θR) = sen(π/2) * cos(θR) +cos(π/2) * sen(θR) = cos(θR)

sen(δ) = cos(θR)

Por tanto, el momento inducido esta dado por:

τind = k* BR * Bneto *sen(δ)

τind = k* BR * Bneto * cos(θR)

La impedancia del rotor puede expresarse mediante:

ZR = RR + jXR

De donde el ángulo del factor de potencia del rotor será:

R

R0

R

RR

R

RR

*arctantg(

R

Xsarctag

R

X

R

X

R

R0R

*cos)cos(

R

Xsarctag

es el factor de potencia del rotor

DEDUCCION ANALITICA DE LA ECUACION DEL MOMENTO DE TORSION INDUCIDO EN UN MOTOR DE INDUCCIONEl torque inducido en el motor de inducción esta dado por:

s

AG

r

convind

PP

El torque inducido depende fundamentalmente de la potencia en el entrehierro (PAG), puesto que la velocidad síncrona es constante para una frecuencia de red y un número de polos dados.

La potencia del entrehierro está dada por:

22

2 **3 Is

RPAG

Para hallar I2 se hace uso del circuito equivalente del motor de inducción.

R1jX1

IM

I2 jX2

R2jXM

I1

s

+

-

V

b

a

R1jX1

IM

I2 jX2

R2jXM

I1

s

+

-

V

b

a

En éste circuito equivalente, las pérdidas en el núcleo (Pnúcleo) se han despreciado o son consideradas dentro de las pérdidas rotacionales.

R1jX1

IM

I2 jX2

R2jXM

I1

s

+

-

V

b

a

El equivalente de Thevenin del lado izquierdo del circuito respecto a los terminales a-b es.

jXM

+

-

jX1R1

VTH

+

-

V

VTH

R2

s

a

ZTHjX2

b

I2

+

-

VjXjXR

jXV

M

MTH *

11

V

XXR

XV

M

MTH *

21

21

jXM

+

-

jX1R1

VTH

+

-

V

Para hallar el voltaje de Thevenin, se aplica el teorema del divisor de voltaje.

Expresando en módulo:

VTH = Voltaje de Thevenin

)(

)(*)(*)(

11

11

11

11

M

M

M

MTH XXjR

jXRjX

jXjXR

jXjXRZ

Para hallar la impedancia de Thevenin, se cortocircuita la fuente V

jXM

jX1R1

ZTH

Por tanto, el circuito equivalente de Thevenin del lado izquierdo respecto de los terminales a y b es:

VTH

R2

s

a

ZTHjX2

b

I2

+

-

Fig.22 Equivalente de Thevenin respecto de los terminales a-b

Consideraciones a hacer:

La reactancia de magnetización:

XM >> X1 y XM >> R1

Por tanto: X1 + XM >> R1

Con lo cual, el voltaje y la impedancia de Thevenin toman la forma:

VXX

XV

XX

XV

XXR

XV

M

M

M

M

M

MTH **

)(*

)( 12

12

112

)33.......(*1

VXX

XV

M

MTH