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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Facultad de Geologa, Minas, Petrleos y Ambiental

Examen I Hemisemestre FECHA : ____MAYO__________/2015 ASIGNATURA :_MATEMTICAS I

APELLIDOS Y NOMBRES_____________________________________CI______________ PARALELO:___

EJERCICIOS DE DEFINICIN Y ANLISIS DE FUNCIONES

Se sabe que si)1(

)1(log)(

x

xxf

, entonces )

1()()(

xy

yxfyfxf

. Luego si

x

xxf

1)(

Encuentre el Df y el Rf (Dominio y Recorrido) y encuentre los intervalos en donde

es creciente o decreciente. Demuestre si es par o impar, simtrica respecto a los ejes, o al

origen. Demuestre si es biyectiva en esos intervalos de Df y encuentre la funcin inversa.

Muestre las asntotas verticales y horizontales. Dibuje la funcin f. Sugerencia( 1+xy debe ser

diferente de cero)

Se sabe que si )(2

1)( xx aaxf y )(

2

1)( xx aaxg

entonces f(x+y) = f(x).f(x)+g(x)g(y) y que g(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)

Pruebe si se cumple que las operaciones f(x) + g(x) dan como resultado una funcin biyectiva y

en qu intervalos. Encuentre el dominio y recorrido de f(x+y), pruebe que f(x+y) es biyectiva en

qu intervalos. Demuestre si f(x+y) es par o impar, si es simtrica respecto a los ejes x o y o

respecto al origen si es simtrica, si tiene asntotas verticales u horizontales, muestre el

intervalo en donde es creciente o decreciente. Encuentre la funcin inversa de f(x+y) y de

g(x+y). En qu invervalos f(x)-g(x) es inyectiva? Encuentre el dominio y recorrido de f(x-y),

pruebe que f(x-y) es biyectiva en qu intervalos. Demuestre si f(x-y) es par o impar, si es

simtrica respecto a los ejes x o y o respecto al origen si es simtrica, si tiene asntotas

verticales u horizontales, muestre el intervalo en donde es creciente o decreciente. Encuentre

la funcin inversa de f(x-y) y de g(x-y).

Encuentre el dominio y recorrido de g(x+y), pruebe que g(x+y) es biyectiva en qu intervalos.

Demuestre si g(x+y) es par o impar, si es simtrica respecto a los ejes x o y o respecto al origen

si es simtrica, si tiene asntotas verticales u horizontales, muestre el intervalo en donde es

creciente o decreciente. Encuentre el dominio y recorrido de g(x-y), pruebe que g(x-y) es

biyectiva en qu intervalos. Demuestre si g(x-y) es par o impar, si es simtrica respecto a los

ejes x o y o respecto al origen si es simtrica, si tiene asntotas verticales u horizontales,

muestre el intervalo en donde g(x-y) es creciente o decreciente.

Para qu intervalos de g(x+y) se puede definir como la divisin )(

)(

xg

xf




Para qu intervalos de f(x-y) se puede definir como la divisin )(

)(

xf

xg

Sea la parbola y = ax2

+bx+c, si a




f o g = g o f

f *o g* = g* o f*

f *o g = g o f*

(f o g)* =f*o g*

f par y g par entonces f o g impar

f impar y g impar entonces f o g par

f par y g impar entonces f o g impar

f creciente y g creciente entonces f o g creciente

f decreciente y g creciente entonces f o g creciente

f decreciente y g creciente entonces f o g decreciente

f creciente y g decreciente entonces f o g decreciente

Si existen el Dg y Rf entonces existe el Recorrido de g o f

Si existen el Df y Rg entonces existe el Recorrido de f o g

Se define la inversa de g o f en el intervalo Rf

Se define la inversa de f o g en el intervalo Rg

( Preguntas opcionales por puntos extra )Determine el valor de la constante a > 0, encuentre los

intervalos de dominio y recorrido para que exista la funcin compuesta g o f. Si

))cos(ln()( xxaxf

En los intervalos donde exista funcin inversa, sea f(x) = ln(x+4) - ex y

g(x) = cos(ln(x3-1)) Hallar las siguientes funciones: g* o f*, f* o g* , (f o g)* y (g o f)*

Demuestre que para estas funciones (f o g)*(x) = (g* o f*)(x). Demuestre tambin que (f* )* = f

PROBLEMAS DE APLICACIN

Supongamos que necesitamos 50 libras de aleacin de dos productos que tienen 1,25 onzas de cobre

y 1,6 onzas de hierro respectivamente. Verificar que el peso de la aleacin total es

y = 1,25x + 1,6(50-x) donde x es el nmero de libras del producto menos pesado. Hallar la inversa de la funcin del peso de aleacin, y explique el significado de esta funcin. Determine cuanto

debe tener de cobre para que el peso total sea de 73 libras.

La funcin f(x) = k(2-x-x3) es inyectiva y f*(3)=-2 o funcin inversa f*, hallar el valor de k.

))(log2()( ln xsenxaxg x




Para f(x) definida en los nmeros reales menos el uno, x

xf

1

1)( demuestre que

)()()()()()( bfafbfafbfaf

Escribir una sola frmula que exprese la funcin f(x) = ( ) {

Si la poblacin de bacterias comienza con 100 bacterias y se duplica cada tres horas, entonces

el nmero de bacterias en funcin del tiempo es f(t)= 100 . 2 t/3, y las bacterias dependen de la

cantidad de oxgeno Q(t) = Qo( 1- e t), Qo es la cantidad inicial de oxgeno. Encuentre la funcin

compuesta inversa f(Q(t))*

La presin en un pozo vertical es de p(y) = y3 2y -200, si la masa m de cada capas geolgicas es de m1,

m2, m3 y m4, si y es la profundidad de la capa, expresar la presin en funcin de la profundidad, si se

sabe que las cuatro capas son de la misma profundidad, y que en la primera capa hay agua densidad 1,

en la segunda arena densidad 2, en la tercera petrleo densidad 1,3, en la cuarta roca densidad 2,5.

Sugerencia, la presin aumenta con la profundidad, presin es h = presin. Calcule la funcin inversa

P*(y).

Se sabe que una montaa tiene los siguientes intervalos, con las distancias desde la base constantes a, b

y c elemento de los reales.

0 a es funcin lineal 3x.

0 a b es funcin cuadrtica x2, los brazos hacia arriba y simtrica respecto al origen.

0 b c es funcin cbica x3, concavidad hacia abajo..

Se sabe que la montaa es simtrica, calcule las funciones en cada intervalo, los valores mximos en

cada intervalo, la altura y el ancho de la montaa en funcin de a, b y c.

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