IES LILA Curso 10/11 1º BACH. MÁT. APLICADAS I

DOCUMENTO 7: PARÁMETROS DE DISPERSIÓNA dos grupos diferentes de alumnos/as se les pasó un test de 100 preguntas. En la siguiente tabla,

aparece representado el número de respuestas correctas de cada alumno/a:

GRUPO A 46 48 49 50 50 51 52 54GRUPO B 10 18 30 50 50 70 82 90

Halla la media, moda y mediana de cada grupo. Representa el diagrama de barras de cada distribución.

Como habrás comprobado realizando la actividad anterior, la investigación acerca de una distribución queda incompleta si sólo se estudian las medidas de centralización, siendo imprescindible conocer si los datos numéricos están agrupados o no alrededor de los valores centrales. A esto es a lo que se llama dispersión, y a los parámetros que miden estas desviaciones respecto a la media se les llama medidas de dispersión o parámetros de dispersión.

Los más importantes son: el rango o recorrido, la varianza y la desviación típica.

Antes de ver cómo se calcula cada uno de estos parámetros, realiza las siguientes actividades:

1

1.-

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2.- Las desviaciones típicas de las cuatro distribuciones siguientes son: 3,2; 4,3; 5,2; 6,8. ¿Cuál corresponde a cada una? ¿Cuál es la media de todas ellas?

3.- Las estaturas de los componentes de tres equipos infantiles de baloncesto A, B, C se distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a continuación:

¿Qué gráfica corresponde a cada equipo?

Vamos a definir ahora cada uno de los parámetros de dispersión:

RANGO O RECORRIDO:Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de la variable estadística.

Ejemplo: En la siguiente serie de datos 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9 el rango es R =……………………………..

Observaciones:

- Cuanto menor es el recorrido de una distribución, mayor es el grado de representatividad de los parámetros centrales.

- Ventajas: es fácil de calcular. Tiene gran aplicación en procesos de control de calidad, y de manera general, en aquellos procesos en que se pretenda verificar longitudes, pesos, volúmenes, estando fijados de antemano los límites permitidos.

- Inconvenientes: sólo depende de los valores extremos. Si uno de ellos se separa mucho del resto, el recorrido se ve sensiblemente afectado.

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VARIANZA ( ) Y DESVIACIÓN TÍPICA ( )

Imagina que se celebra un debate radiofónico sobre el tema “Animales domésticos, sí o no”, con la participación de cuatro especialistas: un biólogo, una veterinaria, un miembro de la Sociedad Protectora de Animales y una domadora.

Cada uno dispone de 10 minutos para explicar sus teorías, de modo que la duración total del programa sea de 40 minutos.

El biólogo, hombre de pocas palabras, acaba en dos minutos; la veterinaria habla durante un cuarto de hora; el domador habla 22 minutos.

a) ¿Cuánto tiempo debe hablar el miembro de la Sociedad Protectora de Animales para cubrir los 40 minutos de programa?..............................................

b) ¿Cuál es el tiempo medio de las cuatro intervenciones?................................c) ¿Cuánto tiempo se ha desviado cada uno de la media?....................................

Te habrás dado cuenta de que algunos de los cuatro especialistas se han pasado de la media prevista (10 minutos), mientras que otros no han llegado. Las diferencias entre cada tiempo y la media, x i -

, las desviaciones, son, positivas en unos casos y negativas en otros.

d) ¿Cuánto suman todas las desviaciones xi - ?.....................................................

Sin duda, has obtenido cero; para no obtener cero, se hallan las desviaciones en valor absoluto y luego se suman. A esa suma dividida por el número total de datos se le llama desviación media.

e) Completa la siguiente tabla y halla la desviación media.

Especialistas Tiempos (en min.)xi

Desviaciones

xi - Desviaciones en valor absoluto:

VeterinariaDomadorBiólogoSociedad Prot.TOTAL

La desviación media es la media de los valores absolutos de las desviaciones de cada dato respecto a la media, o sea:

Acabas de comprobar que las desviaciones de los datos con respecto a la media, , son positivas en algunos casos y negativas en otros, de tal modo que la suma de todas ellas es cero. Para evitar las desviaciones negativas se hallan sus valores absolutos, y de este modo se llega a la desviación media.

Otra manera de evitar las desviaciones negativas consiste en elevarlas al cuadrado. Así vamos a definir ahora un nuevo índice de dispersión que se llama varianza.

La varianza de un conjunto de datos numéricos x1, x2, …, xn en los que la media es , es la media de los cuadrados de las desviaciones. En lenguaje matemático:

o también

El empleo de la varianza presenta una dificultad, y es que viene expresada en unidades cuadradas. Por ejemplo, si los datos son cm, la varianza se expresa en cm2.

Por eso resulta práctico hallar su raíz cuadrada, obteniendo así el más importante de los índices de dispersión, la desviación típica, que se representa por s o por .

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La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo: A dos grupos diferentes de alumnos/as se les pasó un test de 100 preguntas. En la siguiente tabla, aparece representado el número de respuestas correctas de cada alumno/a:

GRUPO A 46 48 49 50 50 51 52 54GRUPO B 10 18 30 50 50 70 82 90

Halla el rango, la varianza y la desviación típica de cada grupo.

GRUPO A:Nº de respuestas correctas

xi

Nº de alumn@sfi

xi*fi xi2*fi

46484950515254

TOTAL

GRUPO B:Nº de respuestas correctas

xi

Nº de alumn@sfi

xi*fi xi2*fi

ACTIVIDADES

4.- Los siguientes histogramas representan las estaturas de 4 grupos distintos de personas, que son: Grupo A: Los hombres y las mujeres adultos de un pueblo de 1500 habitantes. Grupo B: los jugadores de baloncesto de la Liga Española. Grupo C: Los alumnos y alumnas de Educación primaria de un colegio, junto a sus padres y

madres. Grupo D: Los recién nacidos en una maternidad a lo largo del último año

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a) Asocia a cada uno de los anteriores grupos el gráfico que mejor lo represente.b) Ordena las distribuciones anteriores de mayor a menor desviación típica.c) Las medias y las desviaciones típicas de las distribuciones anteriores figuran, sin identificar, en la tabla

siguiente: Medias 49,3 192 157,5 172,2

Desviaciones típicas 11,8 3 23,5 8,4

Asocia a cada gráfico su media y su desviación típica.d) ¿En cuál de las distribuciones anteriores la media es más representativa? ¿En cuál menos?

5.- Los alumnos y alumnas de un centro han anotado las calificaciones de dos profesores A y B, de la misma asignatura, y han obtenido:

Media Desviación típicaProfesor A 5,5 2,5Profesor B 5,5 0,8

a) ¿A un alumno/a que aspira a sobresaliente le conviene el profesor A?b) ¿A un alumno/a que se conforma con aprobar, también le conviene el profesor A?

6.- Halla la varianza y la desviación típica de los ejemplos * y ** del DOCUMENTO 6.

7.- Halla la varianza y desviación típica de las actividades 2,3, 4 y 5 del DOCUMENTO 5.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON.

La desviación típica es un término absoluto del que se pueden sacar conclusiones erróneas sobre la

dispersión de la muestra. Por ejemplo, de dos muestras, la primera A con = 30 y = 4 y la segunda con

= 60 y = 6, ¿cuál es la que aparece más dispersa?.

Si consideramos sólo las desviaciones típicas, diríamos que la segunda, B. Sin embargo reduciendo los datos a una misma escala (puesto que una media es el doble de la otra) ocurre lo contrario. Por ello se recurre al llamado coeficiente de variación de Pearson para medir la dispersión relativa de la muestra:

d= /

Su valor para la muestra A es ………………………………… = ……………………………………….

Su valor para la muestra B es ………………………………… = ………………………………………

Por tanto ………………………. es la muestra con mayor dispersión.

Nota: El coeficiente de variación de Pearson no debe ser usado cuando es próxima a 0 ya que un

denominador pequeño distorsiona el coeficiente.

ACTIVIDADES

8.- Un fabricante de bombillas tiene dos tipos, A y B. El modelo A tiene una duración media de 750 horas, con desviación típica de 120 h. El modelo B tiene 920 h de duración y 135 de desviación típica. ¿Cuál de los dos modelos tiene una fabricación más uniforme, es decir, menos dispersa relativamente?

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9.- La duración de 5 baterías para transistores del modelo A y de 5 baterías para transistores del modelo B son:

Modelo A: 24, 22, 18, 20 y 26 horas Modelo B: 21, 29, 19, 23 y 15 horasa) ¿Qué marca tiene la vida media más larga?b) ¿Qué marca tiene la vida media más uniforme?

10.- En una factoría inglesa, el sueldo medio de sus trabajadores es de 952£ (libras esterlinas) y su desviación típica 157£. En una fábrica marroquí, el sueldo medio es de 2630 DH (dirhams) y su desviación típica es de 980 DH. ¿En cuál de las dos factorías es menor la dispersión de los sueldos?.

11.- En un tratamiento para reducir la obesidad de un grupo de enfermos se contrastaron dos tipos de regímenes, uno de ellos (A) que permitía utilizar pan con elevado contenido en proteínas y otro (B) en el que el pan permitido debería ser integral. Los resultados de ambos tipos de regímenes se reflejan en los siguientes histogramas.

13

12 810

64 4

33 6 9 12 3 6 9 12

a) A partir de los histogramas, construye las correspondientes tablas de frecuencias.b) ¿Cuántos enfermos fueron tratados en cada grupo?c) ¿Con cuál de los métodos se pierde más peso?d) ¿Cuál de los dos es más fiable, es decir presenta menor dispersión?

6

A B