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IES Alonso Cano – Dúrcal Preparación Olimpiada de Matemáticas TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales

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1. Material de dibujo técnico. 1.1 Lápices. Antes de descubrirse la mina de grafito en la segunda mitad del siglo XVI, los dibujos se hacían con varillas formadas por una mezcla de plomo y estaño o de latón generalmente. Con la invención del lápiz, el uso de estas varillas se fue abandonando poco a poco. Las minas de grafito se clasifican según su dureza en:

Designación Dureza Aplicación

8B 7B 6B

Extremablanda Sombrear

5B 4B 3B

Muy blanda Croquis

Dibujo artístico Dibujo arquitectónico

2B B

HB Blanda

Dibujos Escritura

Estenografía F H 2H

Dura Dibujos técnicos

3H 4H 5H

Muy dura Dibujos a lápiz

6H 7H 8H 9H

Extradura Cartografía Litografía Xilografía

La mina se fabrica en 19 graduaciones diferentes de dureza. La serie B comprende las minas blandas y la serie H comprende las duras. Nosotros utilizaremos sólo dos tipos: Un lápiz 3H (proceso) y otro lápiz HB (resultado). 1.2 Sacapuntas. Para el afilado de las minas se utilizan diversos útiles, tales como el raspador, sacapuntas rotativo. El sacapuntas se utiliza para sacar punta a un lápiz. Hay diferentes formas: sencillos, de sobremesa, eléctricos… Para un correcto uso del lápiz, éste debe estar bien afilado. 1.3 Goma de borrar Es una goma elástica a base de caucho, preparada especialmente para borrar los trazos de lápiz. La goma no debe manchar y colorear; en el caso de estar sucia hay que frotarla sobre una superficie limpia antes de usarla.


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1.4 Reglas y escuadras Las reglas se usan para medir longitudes y llevar magnitudes sobre los planos. Suelen ser de plástico, de diferentes medidas y de buena calidad. El juego de escuadras lo constituye la escuadra y el cartabón. - La escuadra es la que tiene forma de triángulo rectángulo isósceles con los ángulos iguales a 45º. - El cartabón tiene forma de triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos son de 30º y 60º. Las escuadras suelen ser de plástico, pudiendo tener un lado graduado y/o biselado. Para que formen juego, la hipotenusa de la escuadra ha de ser de igual longitud que el cateto mayor del cartabón. 1.5 Transportador de ángulos

Sirve para medir ángulos. Puede tener forma de semicírculo o círculo entero, de plástico y dividido en grados sexagesimales. Para medir un ángulo se coloca el vértice del ángulo en el centro del transportador, de forma que uno de los lados pase por el 0º (origen de ángulos); el otro lado marcará la graduación.

1.6 Compás y bigotera El compás sirve para trazar arcos de circunferencia y transportar medidas. Consta de dos piezas metálicas articuladas, una terminada en una aguja de acero y la otra con el elemento de trazo, bien lápiz o tinta. La mina debe ser semidura y afilada con el bisel hacia dentro y no terminada en punta. El manejo del compás se hace de la siguiente forma: con la ayuda de un dedo se “pincha” la aguja en el papel y luego, cogiendo el compás por la parte superior con los dedos pulgar e índice, se hace el trazado. Al compás se le puede aplicar el accesorio alargadera cuando se tienen que trazar arcos de gran radio. La bigotera es un compás pequeño que se utiliza para trazar arcos de circunferencia de radio pequeño. Tiene la ventaja sobre el compás de que es más preciso debido a que la abertura o cierre de las piezas se hace por medio de una rueda moleteada montada sobre un eje roscado.


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2. Paralelismo. 2.1 Definiciones Se denomina recta a una sucesión ilimitada de puntos en la misma dirección; una semirrecta es una recta limitada en uno de sus extremos; y se llama segmento a la parte de la recta limitada por dos puntos. Recibe el nombre de lugar geométrico el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad. Dos rectas coplanarias, es decir, que pertenecen a un mismo plano, son paralelas cuando su punto de intersección se encuentra en el infinito (se dice entonces que el punto es impropio). 2.2 Trazar por un punto la paralela a una recta dada.1 Elegido un punto cualquiera de la recta, punto M, trazar con centro en el mismo un arco de circunferencia que pase por el punto dado P y corte a la recta en dos puntos A y B. Transportar la cuerda PB a partir de A sobre la semicircunferencia, obteniendo el punto C, que unido con P nos proporciona la paralela pedida. 2.3 Trazar la paralela a una recta dada a una distancia determinada. Trazar una perpendicular a la recta por un punto cualquiera de ella, punto A (véase el apartado “Perpendicularidad”). Transportar sobre dicha perpendicular la distancia dada a partir de A. El punto obtenido B dista de la recta la distancia dada. Al segmento BA trazarle la perpendicular por B, siendo CB perpendicular a BA y por consiguiente paralela a r. 2.4 Trazar paralelas con escuadra y cartabón. Situando la escuadra de forma que la hipotenusa coincida con la recta dada, adosarle la otra plantilla que se mantendrá inmóvil. Deslizando la primera plantilla sobre la fija, podemos trazar por su hipotenusa rectas paralelas a la dada. 1 Por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a dicha recta (postulado de Euclides)


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3. Perpendicularidad. 3.1 Definiciones Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90º. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento trazada por su punto medio. La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.

3.2 Trazar la mediatriz de un segmento Considerando AB el segmento dado, con centro en sus extremos y radio mayor que la mitad del mismo, describir arcos, cuyas intersecciones, unidas entre sí, nos determinan la mediatriz del segmento. 3.3 Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo Con radio arbitrario, pero fijo, describir sucesivamente arcos de circunferencia en los puntos P (dado) y A, B y C (obtenidos), determinando final el punto D. Unir D con P para obtener la perpendicular buscada.

3.4 Trazar la perpendicular a una recta por un punto de la misma Con centro en el punto dado P de la recta r, y con radio arbitrario, describir un arco que cortará a la recta en los puntos A y B. Con centro asimismo en estos puntos y radio mayor que la mitad del segmento que determinan A y B, describir arcos cuya intersección C unida con P resuelve el problema.


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3.5 Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella Con centro en el punto dado P, describir un arco que con radio arbitrario corte a la recta r en dos puntos A y B, para lo cual el radio mayor que la distancia del punto a la recta. El problema queda reducido a trazar la mediatriz del segmento AB. 3.6 Trazar perpendiculares con escuadra y cartabón Para su realización basta con adosar la escuadra y el cartabón entre sí como indica la figura, colocando estas plantillas de forma que la hipotenusa de la escuadra coincida con la recta dada. Una vez en esta posición y manteniendo fijo el cartabón, dar un giro de 90º a la escuadra, de manera que quede igualmente adosada el cartabón, si bien por su otro cateto. Deslizándose de este modo la escuadra, por su hipotenusa puede trazarse cualquier recta perpendicular a la dada.


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4. Ángulos. 4.1 Definiciones Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con el origen común. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice .

� Un ángulo agudo es el que mide menos de 90º. � Un ángulo recto es el que mide 90º. � Un ángulo obtuso es el que mide más de 90º. � Un ángulo llano es el que mide 180º. � Un ángulo convexo es el que mide menos de 180º. � Un ángulo cóncavo es el que mide más de 180º. � Dos ángulos son suplementarios si suman 180º. � Dos ángulos son complementarios si suman 90º.

Se llama bisectriz t de un ángulo a la recta que divide a este en dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Propiedades: - Dos ángulos cuyos lados son paralelos son iguales. - Los ángulos cuyos lados son perpendiculares son iguales. 4.2. Construcción de un ángulo igual a otro. Trazar con centro en el vértice del ángulo dado un arco de radio arbitrario que nos determinará los puntos N y M sobre los lados del mismo. Con el, mismo radio y centro en O’, origen de una semirrecta, trazar un arco igual al anterior que nos determina N’ en la semirrecta. Transportar sobre este arco, a partir de N’, el valor de la cuerda NM, obteniendo el punto M’, que unido con O’ nos determina la posición del otro lado del ángulo. 4.3. Construcción de un ángulo igual a la suma de otros dos dados. Este problema se reduce a construir dos ángulos consecutivos e iguales respectivamente a los dos dados. El ángulo suma A’O’D’ está formado por el lado del origen del primer sumando (O’D’) y el lado extremo del último (O’A’). 4.4. Construcción de un ángulo igual a la diferencia de otros dos dados. Construir dos ángulos con origen y vértices comunes. El ángulo diferencia será A’O’C’.


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4.5. Trazar la bisectriz a un ángulo dado. Describir con centro en el vértice del ángulo un arco que nos determinará los puntos A y B en los lados del ángulo. Con centro en estos puntos y radio mayor que la mitad del segmento AB, trazar arcos de igual radio que se cortarán en C. CO es la bisectriz del ángulo, la cual es, por tanto, mediatriz del segmento AB. 4.6 Construcción de ángulos con el compás. Cuando no se dispone de un transportador de ángulos, es posible trazar determinados ángulos con sencillas construcciones realizadas con un compás. Así, por ejemplo, se pueden trazar los ángulos de 15º, 30º, 45º, 60º, 75º y 90º, así como sus suplementarios.

4.7 Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón. Con el simple manejo de la escuadra y el cartabón también pueden obtenerse determinados ángulos.


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5. Circunferencia. 5.1 Definiciones.

� Circunferencia : Es el Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

� Círculo: Es la parte de plano interior a la circunferencia. � Sector circular: Es la porción de círculo comprendida entre dos radios. � Segmento circular: Es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su

arco. 5.2 Elementos de una circunferencia. � Centro (O): Punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia. � Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de la

misma. � Cuerda (c): Segmento que une dos puntos de la circunferencia. � Arco : Parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. A cada

cuerda le corresponden dos arcos, uno de menor longitud que el otro. � Diámetro (d): Cualquier cuerda que pasa por el centro O.

5.3 Posiciones relativas de un punto y una circunferencia. Dada una circunferencia, un punto P puede situarse en diferentes posiciones respecto a ella.

1. Dentro de la circunferencia. P es un punto interior y se verifica que ( )dist ,P O r< .

2. Sobre la circunferencia. P es un punto de la circunferencia y se verifica que ( )dist ,P O r= .

3. Fuera de la circunferencia. P es un punto exterior y se verifica que ( )dist ,P O r> .


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5.4 Posiciones relativas de un punto y una recta. Una recta s puede situarse en tres posiciones respecto de una circunferencia. 1. Corta a la circunferencia en dos puntos. La recta es secante a la circunferencia. Se verifica que

( )dist ,s O r< .

2. La recta y la circunferencia tienen un punto en común. La recta es tangente a la circunferencia. Se

verifica que ( )dist ,s O r= .

3. La recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. La recta es exterior a la circunferencia.

Se verifica que ( )dist ,s O r> .

5.5 Propiedad de las rectas tangentes a una circunferencia. La recta s es tangente a la circunferencia en el punto P (punto de tangencia). Se puede comprobar que en dicho punto la tangente es perpendicular al radio . Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

5.6 Posiciones relativas de dos circunferencias. Dos circunferencias, C y C’, con radios r y r’ pueden ocupar las posiciones siguientes:

Exteriores Tangentes exteriores Secantes

No tienen ningún punto común.

d r r′> +

Tienen un solo punto común.

d r r′= +

Tienen dos puntos comunes.

d r r′< +

Tangentes interiores Interiores Concéntricas

Tienen un punto común.

d r r′= −


d r r′< −


0d =


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5.7 Ángulos en la circunferencia.

Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo semiinscrito Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son

dos secantes.

Es el que tiene un vértice en la circunferencia, uno de sus lados

es tangente y el otro secante.

Ángulo interior Ángul o exterior Ángulo circunscrito Es el ángulo que tiene su vértice

en un punto interior de la circunferencia.

Es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus dos lados

son secantes.

Es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus dos lados

son tangentes.

5.8. Arco capaz Se llama arco capaz de un ángulo dado φ respecto de un segmento también conocido, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento bajo el ángulo φ. Dados el segmento AB y el ángulo φ, se traza la mediatriz del segmento AB. Por unos de los extremos A del segmento dado, se traza una recta m perpendicular a AB, restando a continuación el ángulo φ hasta cortar a la mediatriz en O1, de tal forma que el ángulo O1AB es de 90- φ. Se construye el ángulo simétrico de 90 – φ, respecto de AB hasta cortar a la mediatriz en O2. Con centros en O1 y O2 se trazan dos arcos de circunferencia que comiencen en A y terminen en B. Dichos arcos son los arcos capaces buscados.

180º·

a

r

ϕπ

=2

αϕ =2

αϕ =

2

α βϕ +=2

α βϕ −=2

α βϕ −=

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