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IEM-315. Unidad I: Circuitos RC, RL y RLC.

Profesor Julio Ferreira.

IEM-315-T

Ingeniería Eléctrica

Circuitos RC y RL.

Circuitos de Segundo Orden.

Capacitores y Circuitos RC.

El Capacitor.

El capacitor es un elemento pasivo capaz de almacenar y suministrar cantidades finitas de energía. A diferencia de una fuente ideal, no puede proporcionar una potencia promedio finitadurante un tiempo infinito. La relación voltaje-corriente para este elemento depende del tiempo.

El capacitor consiste en dos superficies conductoras separadas por un material no conductor o dieléctrico.



Un capacitor simplificado y su símbolo eléctrico se muestran en la siguiente figura:

La carga eléctrica se almacena en las placas. El capacitor se carga al voltaje v, que será proporcional a la carga q, por tanto se escribe:

q = Cv



La capacitancia C puede definirse como

donde ε es la constante dieléctrica, A es el área de las placas y d el espacio entre las placas.

Capacitancia es una medida de la propiedad de un dispositivo de almacenar energía en forma de cargas separadas o de un campo eléctrico.



Cuando se conecta por primera vez una batería al capacitor, fluye una

corriente mientras las cargas pasan de una placa a la otra. Puesto que la

corriente es

y anteriormente vimos que q = Cv, derivamos esta ecuación para

obtener:

esta última ecuación es la relación voltaje-corriente para un modelo de

capacitor y puede demostrarse fácilmente que es una relación lineal.

Recuerde que v implica que el voltaje es una función del tiempo y podría

escribirse como v(t). Si el voltaje es constante, entonces i = 0.



Energía almacenada en el Capacitor.

La energía almacenada en el capacitor es



Capacitores en Paralelo.

Consideremos la siguiente figura, en la cual aparecen n capacitores

conectados en paralelo:

La capacitancia equivalente es:

CEq = C1 + C2 + ... + CN



Capacitores en Serie.

Consideremos ahora la conexión de n capacitores en serie:

La capacitancia equivalente es:



Circuito de descarga RC.

Consideremos el siguiente circuito RC simple:

Supondremos que hay una energía inicial almacenada en el capacitor. V(t0) = V0.

El voltaje en el capacitor es:



V(t) = V0

t

RC-

e

Designamos el valor del tiempo que tarda V/ V0 en disminuir desde la unidad hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento constante, mediante la letra griega τ (tau). De tal modo:

La proporción RC se mide en segundos, pues el exponente t/RC debe ser adimensional. El valor de τ se denomina constante de tiempo.



RC

1τ = 1 entonces, RCτ =

Accionamiento de circuito RC.

Consideremos el siguiente circuito RC:

El voltaje en el capacitor es:

y esta ecuación es la que define la curva de carga del capacitor.



VS

R

+

-C

t = 0

VC(t)

+

-

Respuesta Natural y Forzada.

La respuesta completa en los circuitos RC tiene dos

componentes: la respuesta natural y la respuesta forzada.

Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada.

La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito de primer orden, cuando la entrada se hace igual a cero. La respuesta forzada es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito.



Bobinas y Circuitos RL.

Introducción.

A principios de la década de 1800, el científico danés Oersteddemostró que siempre que la corriente fluye por un conductor, se genera un campo magnético alrededor de ese conductor. Un poco después, Ampere realizó algunas mediciones cuidadosas que demostraron que el campo magnético se relacionaba linealmente con la corriente que lo producía.

El siguiente paso se dio cerca de 20 años después cuando el ingles Michael Faraday y el inventor estadounidense Joseph Henry descubrieron casi de manera simultánea que un campo magnético variable podía inducir un voltaje en un circuito cercano.



Faraday y Henry demostraron que el voltaje era proporcional a latasa de cambio en el tiempo de la corriente que producía el campo magnético. Esa constante de proporcionalidad la llamamos inductancia, es simbolizada por L y podemos decir que:

donde debemos reconocer que tanto v como i son funciones del tiempo.

Un alambre puede enrollarse para formar una bobina o devanado de múltiples vueltas o espiras.



El símbolo de circuito del inductor es:

La unidad con que se mide la inductancia es el henrio (H), y la ecuación

anterior muestra que el henrio es solo una expresión más breve de un

voltio-segundo por ampere.

Se podría construir un inductor físicamente enrollando un alambre largo

alrededor de un cilindro bobina.

Una bobina se define como un elemento de dos terminales formado por

un embobinado de N vueltas, que introduce inductancia en un circuito

eléctrico.

La inductancia se define como la propiedad de un dispositivo eléctrico

que hace que la corriente variable con el tiempo produzca un voltaje a

través del mismo.



L

Almacenamiento de Energía en la Bobina.

La energía almacenada en el capacitor es



Bobinas en Serie.

Consideremos la siguiente figura, en la cual aparecen n bobinas

conectadas en serie :

La inductancia equivalente es:

Leq = L1 + L2 + ... + LN



Leq VS

+

-

+

-VS

i

VS

L1 L2

LN

i

+

-

VN+

-

+ +- -V1 V2

Circuito EquivalenteCircuito Original

Bobinas en Paralelo.

Consideremos ahora la siguiente figura, en la cual aparecen n

bobinas conectadas en paralelo :

La inductancia equivalente es:



Circuito de descarga RL.

Consideremos el siguiente circuito RL simple:

Supondremos que hay una energía inicial almacenada en la bobina i(t0) = I0.

La corriente en la bobina es:



R VL

+

-

i(t)

LVR

+

-

En este caso:



i

I0

t

1

0.5

0.20.14

0.37

0.050.02

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

0.6

Curva de descarga de una bobina.

Accionamiento de circuito RL.

Si tenemos el siguiente circuito RL:

La corriente en la bobina es:



VS

R

+

-L

t = 0

i(t)



La curva de carga en la bobina se muestra en la siguiente figura:

t

1

0.5

0.1

0.39

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

0.63

0.86

0.95

0.22

0.78

Curva de corriente en una bobina.

i

V0 / R

Respuesta Natural y Forzada de circuitos RL.

La respuesta completa en los circuitos RL, al igual que los

circuitos RC, tiene dos componentes: la respuesta natural y la respuesta forzada.

Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada.



Circuitos de Segundo Orden.

Introducción.

La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito produce al menos un sistema de segundo orden, que estáconstituido por una ecuación diferencial que incluye una derivada de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este aumento en el orden hará necesario evaluar dos constantes arbitrarias. Además, se requerirá determinar las condiciones iniciales para las derivadas.



Estos circuitos, denominados a menudo como circuitos RLC, no solo aparecen a menudo en la práctica, sino que resultan modelos bastante precisos para otros tipos de sistemas, como:

� El sistema de suspensión de un automóvil.

� El comportamiento de un sistema de control de temperatura.

� La respuesta de un avión a los controles del timón de altitud y el alerón.



Respuesta Natural del Circuito Paralelo.

Analizaremos el siguiente circuito:

Se definen los siguientes términos:



R L

V

C

El voltaje es:

V(t) = A1 es1t + A2 es2t

Donde A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las condiciones iniciales.

S1 y S2 se calculan de la siguiente forma:

Dependiendo de los valores de α y w0, se tienen 3 posibilidades:



s1 = - +α α2 - W02

s2 = - -α α2 - W02

1. Sistema Sobre amortiguado.

Este caso se da si α es mayor que w0.

La respuesta natural entonces es:

V(t) = A1 es1t + A2 es2t



2. Amortiguamiento crítico.

Este caso se da si α es igual a w0.

.


V(t) = e-αt (A1t + A2)



3. Sistema sub amortiguado.

Este caso se da si α es menor que w0.

.

.


V(t) = e-αt [B1 cos wdt + B2 sen wdt ]



Respuesta Natural del Circuito Serie.

Analizaremos el siguiente circuito:

En este caso:



Y las respuestas son:



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